Về một phương pháp xây dựng hàm băm cho việc xác thực trên cơ sở ứng dụng thuật toán mã hóa đối xứng

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và
kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được công bố ở bất kỳ
công trình nào khác.
Tác giả

Hồ Quang Bửu



ii


LỜI CẢM ƠN

Luận án Tiến sĩ kỹ thuật này được thực hiện tại Học viện Công nghệ Bưu
chính Viễn thông. Tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo GS.TSKH. Nguyễn
Xuân Quỳnh đã trực tiếp định hướng, tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình
nghiên cứu. Tác giả cũng xin cảm ơn GS.TS. Nguyễn Bình đã trực tiếp hướng dẫn
học thuật hóa, kiểm tra những kết quả của các công trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn
thông đã tạo những điều kiện thuận lợi để hoàn thành và bảo vệ luận án trong thời
gian nghiên cứu của nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn khoa Quốc tế và Đào tạo sau
đại học, Sở Thông tin truyền thông tỉnh Quảng Nam (nơi tôi đang công tác), cũng
như các đồng nghiệp đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành được đề tài nghiên
cứu của mình.
Cuối cùng là sự biết ơn tới gia đình, bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ
cho tôi có đủ nghị lực để hoàn thành luận án.

Hà nội, tháng 12 năm 2013
iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT vi
DANH MỤC CÁC BẢNG viii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix
PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. MỞ ĐẦU 1
2. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU 1
3. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 4
4. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU 4
5. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5
7. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIÊN CỦA ĐỀ TÀI 5
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ HỌC 6
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 6
1.2. CÁC HỆ MẬT KHÓA BÍ MẬT 8
1.2.1. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa bí mật 8
1.2.2. Các hệ mật thay thế 8
1.2.3. Các hệ mật hoán vị (MHV) 11
1.2.4. Các hệ mật mã tích 12
1.2.5. Các hệ mật mã dòng và việc tạo các dãy giả ngẫu nhiên 15
1.2.6. Chuẩn mã dữ liệu DES 26
1.2.7. Ưu nhược điểm của mật mã khóa bí mật 29
iv

1.3. HỆ MẬT KHÓA CÔNG KHAI 30
1.3.1. Sơ đồ chức năng 30
1.3.2. Một số bài toán xây dựng hệ mật khóa công khai 31
1.4. CƠ BẢN VỀ HÀM BĂM 33
1.4.1. Mở đầu 33
1.4.2. Các định nghĩa và tính chất cơ bản 35
1.4.3. Một số phương pháp xây dựng hàm băm 37
1.4.4. Các loại tấn công hàm băm cơ bản 41
1.4.5. Độ an toàn mục tiêu 43
1.5. TÍNH TOÀN VẸN CỦA DỮ LIỆU VÀ XÁC THỰC THÔNG BÁO 44
1.5.1. Các phương pháp kiểm tra tính toàn vẹn dữ liệu 44
1.5.2. Chữ ký số 46
1.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 49
CHƯƠNG 2. HỆ MẬT XÂY DỰNG TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC 50
2.1. NHÓM NHÂN CYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC 50
2.1.1. Định nghĩa nhóm nhân cyclic trên vành đa thức 50
2.1.2. Các loại nhóm nhân cyclic trên vành đa thức 52
2.2. CẤP SỐ NHÂN CYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC 54
2.2.1. Khái niệm về cấp số nhân cyclic trên vành đa thức 54
2.2.2. Phân hoạch vành đa thức 55
2.3. XÂY DỰNG M-DÃY LỒNG GHÉP TRÊN VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI
LỚP KỀ CYCLIC 61
2.3.1. Vành đa thức có hai lớp kề 61
2.3.2. M-dãy xây dựng trên vành đa thức 63
2.3.3. Xây dựng M-dãy lồng ghép từ các cấp số nhân cyclic trên vành
đa thức có hai lớp kề 64
v

2.4. HỆ MẬT XÂY DỰNG TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC 71

2.4.1. Vấn đề mã hóa 71
2.4.2. Xây dựng hệ mật dùng cấp số nhân cyclic 76
2.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 82
CHƯƠNG 3. HÀM BĂM XÂY DỰNG TRÊN CẤP SỐ NHÂN CYCLIC 83
3.1. CÁC HÀM BĂM HỌ MD4 83
3.1.1. Cấu trúc 83
3.1.2. Mở rộng thông báo 87
3.1.3. Các bước mã hóa 89
3.2. XÂY DỰNG HÀM BĂM MỚI TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC 94
3.2.1. Sơ đồ khối mật mã trong hàm băm 94
3.2.2. Các đánh giá kết quả mô phỏng hàm băm mới 100
3.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 101
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 102
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO 105
PHỤ LỤC A: THÔNG SỐ CỦA MỘT SỐ HÀM BĂM 109
PHỤ LỤC B: CÁC CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG 122

vi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT

AES
Advanced Encryption Standard
ANSI
American National Standards Institute
CAST
Carlisle Adams and Stafford Tavares
CBC
Cipher Block Chaining

CFB
Cipher Feedback Block
CGP
Cấp số nhân cyclic (Cyclic Geometic Progressions)
CMG
Nhóm nhân cyclic (Cyclic Multiplicate Group)
CRC
Cyclic Redundancy Check
CRF
Collision Resistant Function
CRHF
Collision Resistant Hash Function
S
C

Chu trình
0
d

Khoảng cách Hamming
deg
Bậc của đa thức (Degree)
DEA
Data Encryption Algorithm
DES
Chuẩn mã dữ liệu (Data Encryption Standard)
()ex

Đa thức lũy đẳng
ECB

Electronic Codebook
F

Trường (Field)
G
Nhóm (Group)
GF(p)
Trường đặc số
p

h

Hàm băm (Hash)
I
Ideal
IDEA
International Data Encryption Algorithm
IV
Initial Value
MAC
Message Authentication Code
MDC
Manipulation Detection Code
MD-x
Message Digest x
NESSIE
New European Schemes for Signatures, Integrity
and Encryption
vii

NIST
National Institute for Standards and Technology (US)
OFB
Output Feedback
ord
Cấp của đa thức (Order)
OWF
One-Way Function
OWHF
One-Way Hash Function
R
Vành (Ring)
RIPE
Race Integrity Primitives Evaluation
RSA
Rivest Shamir Adleman
SHA
Secure Hash Algorithm
TDEA
Triple Data Encryption Algorithm
UOWHF
Universal One-Way Hash Function
VEST
Very Efficient Substitution Transposition
W

Trọng số (Weight)
2
[ ]/ 1
n

xxZ

Vành đa thức trên
2
GF


viii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1. Một số hàm băm 3
Bảng 1.1. Trạng thái của các vector đầu ra M-dãy 22
Bảng 1.2. Các đặc tính của dãy tuyến tính có chu kỳ 2
m
-1 26
Bảng 1.3. Bảng IP và IP
-1
28
Bảng 1.4. Độ an toàn mục tiêu của hàm băm 43
Bảng 2.1. Số kiểu phân hoạch không suy biến M của một số vành 57
Bảng 2.2. Tổng số các kiểu phân hoạch của vành
2
[ ]/ 1
n
xxZ
58
Bảng 2.3. M-dãy xây dựng trên vành
15
2
[ ]/ 1xxZ

63
Bảng 2.4. Các tam thức cấp cực đại 4095 (3
2
.5.7.13) trên vành x
13
+ 1 68
Bảng 2.5. Một số phần tử của M-dãy trên vành x
13
+1 69
Bảng 2.6. M-dãy với chiều dài 4095 theo phân hoạch cực đại 69
Bảng 2.7. Số lượng M-dãy lồng ghép với một vài giá trị n khác nhau 70
Bảng 2.8. Bảng hoán vị ban đầu (IP) 78
Bảng 2.9. Bảng hoán vị đảo (IP
-1
) 78
Bảng 2.10. Khoảng cách Hamming d
H
(C
1
,C
i
) giữa các cặp bản mã khi các bản rõ
khác nhau 1 bit, d
H
(M
1
,M
i
) = 1, với cùng một khóa K 80
Bảng 2.11. Khoảng cách Hamming d

H
(C
1
,C
i
) giữa các cặp bản mã khi các khóa
khác khóa K
1
2 bit d
H
(K
1
, K
i
)=2 với cùng một bản rõ M 81
Bảng 3.1. Thông số của các hàm băm họ MD4 85
Bảng 3.2. Ký hiệu các thông số và các biến 86
Bảng 3.3. Khoảng cách Hamming d
H
(MD
1
, MD
i
) khi các khối dữ liệu khác khối
ban đầu 1 bit 97
Bảng 3.4. Khoảng cách Hamming d
H
(MD
1
, MD

i
) giữa các cặp giá trị băm khi các
khóa khác khóa K
1
2 bit. 99
Bảng 3.5. Tính khoảng cách Hamming trung bình khi thay đổi khóa K và thay đổi
bản tin rõ. 100

ix

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa bí mật 8
Hình 1.2. M-dãy tạo từ thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính LFSR 22
Hình 1.3. Mạch tạo M-dãy từ đa thức g(x) = 1+x+x
4
23
Hình 1.4. Bộ tạo dãy Gold đối với g
1
(d) = d
3
+ d +1 và g
2
(d) = d
3
+ d
2
+1 24
Hình 1.5. Sơ đồ mã hóa DES 27
Hình 1.6. Mô tả hàm f trong DES 28
Hình 1.7. Các bước tạo khóa cho các vòng mã hóa của DES 29

Hình 1.8. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa công khai 30
Hình 1.9. Phân loại hàm băm 36
Hình 1.10. Các sơ đồ hàm băm đơn a) Matyas-Mayer–Oseas;
b) Davies-Mayer và c) Miyaguchi – Preneel 37
Hình 1.11. Thuật toán MDC-2 39
Hình 1.12. Thuật toán MDC-4 40
Hình 1.13. Sơ đồ Miyaguchi – Preneel 41
Hình 1.14. Kiểm tra tính toàn vẹn bằng MAC 45
Hình 1.15. Kiểm tra tình toàn vẹn dùng MDC và thuật toán mã hóa 45
Hình 1.16. Kiểm tra tính toàn vẹn dùng MDC và kênh an toàn 46
Hình 1.17. Quá trình tạo chữ ký số và kiểm tra chữ ký số 47
Hình 1.18. Sơ đồ chữ ký số dùng RSA 47
Hình 1.19. Sơ đồ chữ ký số dùng RSA và có bảo mật thông báo 48
Hình 2.1. Mã hóa và giải mã xây dựng trên cấp số nhân cyclic 71
Hình 2.2. Sơ đồ thiết bị mã hoá 75
Hình 2.3. Sơ đồ thiết bị giải mã 75
Hình 2.4. Sơ đồ mạng thay thế Feistel 76
Hình 2.5. Sơ đồ mã hóa khối E 77
Hình 2.6. Sơ đồ khối mã hóa , với khóa
45
1
1K x x  
79
Hình 3.1. Tương tác giữa mở rộng thông báo và các thao tác bước 83
Hình 3.2. Một bước mã hóa của MD5 92
Hình 3.3. Sơ đồ thực hiện hàm băm 95
Hình 3.4. Sơ đồ bộ mã hóa khóa E với khóa K
1
95
1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. MỞ ĐẦU
Trong sự phát triển của xã hội loài người, kể từ khi có sự trao đổi thông tin,
thì an toàn thông tin trở thành một nhu cầu gắn liền với nó. Từ thủa sơ khai, an
toàn thông tin được hiểu đơn giản là giữ bí mật và điều này được xem như một
nghệ thuật chứ không phải là một ngành khoa học. Với sự phát triển của khoa học
kỹ thuật và công nghệ, cùng với các nhu cầu đặc biệt có liên quan tới an toàn thông
tin, ngày nay cần có các yêu cầu kỹ thuật đặc biệt trong việc đảm bảo an toàn
thông tin, các kỹ thuật đó bao gồm: Kỹ thuật mật mã (Cryptography); kỹ thuật
ngụy trang (Steganography); kỹ thuật tạo bóng mờ (Watermarking – hay thủy
vân).
Hiện nay việc trao đổi thông tin thương mại trên Internet có nhiều nguy cơ
không an toàn do thông tin có thể bị lộ hay bị sửa đổi. Nói chung, để bảo vệ các
thông tin khỏi sự truy cập trái phép cần phải kiểm soát được những vấn đề như:
thông tin được tạo ra, lưu trữ và truy nhập như thế nào, ở đâu, bởi ai và vào thời
điểm nào.
Để giải quyết các vấn đề trên, kỹ thuật mật mã hiện đại phải đảm bảo các dịch vụ
an toàn cơ bản: (1) bí mật (Confidential); (2) xác thực (Authentication); (3) đảm bảo tính
toàn vẹn (Integrity), và để thực hiện các nhiệm vụ này người ta sử dụng hàm băm mật mã
(Cryptographic Hash Function).
2. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU
Cho đến nay các nghiên cứu về hàm băm được chia thành hai loại: hàm băm
không khóa và hàm băm có khóa. Thông thường các hàm băm đều xây dựng dựa
trên mật mã khối với hai phương pháp chính là Mã phát hiện sửa đổi (MDC-
Manipullation Detection Code) và Mã xác thực thông báo (MAC-Message
Authentication Code).
2

Hiện nay trên thế giới có khá nhiều hệ mật mã khối khóa bí mật đã được
nghiên cứu sử dụng cho các lược đồ xây dựng hàm băm, điển hình là các hệ mật
sau: DES, IDEA, TDEA, AES, CAST,… Những nghiên cứu về các hệ mật này đã
xuất hiện trong rất nhiều công trình từ rất nhiều năm qua, tuy nhiên chúng đã được
tổng kết trong các công trình sau [19], [20], [25], [28], [31], [33]. Các sơ đồ mã
hóa thường sử dụng một số lưu đồ như: Feistel cân bằng (như trong DES), Feistel
không cân bằng 4 nhánh, Lai-Massey, các mạng thay thế hoán vị…
Một hàm băm mật mã học là một hàm
()hx
phải có các tính chất sau [24], [25],
[26]:
 Tính chất nén
 Tính chất dễ tính toán.
 Kháng tiền ảnh.
 Kháng tiền ảnh thứ hai.
 Kháng va chạm.
Các lược đồ được sử dụng để xây dựng hàm băm phổ biến bao gồm [4], [15],
[22], [29], [37]:
 Matyas – Mayer – Oseas (M-M-O).
 Davies – Mayer (D-M).
 Miyaguchi – Preneel (M-P).
 MDC-2
 MDC-4
 MAC…
Cho đến nay đã có nhiều nghiên cứu về hàm băm trên thế giới, các nghiên cứu
tập trung xây dựng các hàm băm có độ bảo mật tốt và đặc biệt là khả năng kháng
va chạm, thông thường để có được các tính chất này người ta thường phát triển các

thuật toán mã hóa, các các phép toán trong hàm mã hóa và tăng chiều dài mã
băm… Một số hàm băm cho trong bảng 1 dưới đây.
Bảng 1: Một số hàm băm
3



TT
Thuật toán
Kích thước đầu ra (bit)
Xung đột
1
HAVAL
256/224/192/160/128
Có
2
MD2
128
Khả năng lớn
3
MD4
128
Có
4
MD5
128
Có
5
PANAMA
256

Có lỗi
6
RIPEMD
128
Có
7
RIPEMD-128/256
128/256
Không
8
RIPEMD-160/256
160/256
Không
9
SHA-0
160
Không
10
SHA-1
160
Có lỗi
11
SHA-256/224
256/244
Không
12
SHA-512/384
512/384
Không
13

Tiger 192/160/128
192/160/128
Không
14
VEST-4/8
160/256
Không
15
VEST-16/32
320/256
Không
16
WHIRLPOOL
512
Không

SHA-1, MD5, và RIPEMD-160 nằm trong số các thuật toán băm được dùng
rộng rãi nhất của năm 2005. Tháng 8 năm 2004, các nhà nghiên cứu đã tìm được
các điểm yếu của một loạt hàm băm, trong đó có MD5, SHA-0 và RIPEMD.
Tháng 2 năm 2005, người ta ghi nhận một tấn công đối với SHA-1. Tháng 8 năm
2005 người ta lại ghi nhận một tấn công khác đối với SHA-1.
Các hàm băm SHA-1, MD5, RIPEMD đều thuộc họ MD4. Cấu trúc và thuật
toán mã hóa của họ MD4 khá phức tạp (được trình bày trong chương 3 của luận
án) và trải qua nhiều bước như: mở rộng thông báo đầu vào (theo kiểu hoán vị
4



vòng hoặc đệ quy), các bước mã hóa sử dụng các phép toán Boolean, phép cộng số
tự nhiên theo modulo, phép dịch và quay bit, tổ hợp mã băm đầu ra với vector khởi

tạo IV…[23], [24].
Ở Việt Nam việc nghiên cứu các hệ mật cũng đã rất phát triển từ nhiều năm
qua, tuy nhiên việc sử dụng các hệ mật này cho các lược đồ xây dựng hàm băm
còn khá mới mẻ. Cũng có một số công trình nghiên cứu về hệ mật [13], [14] và
xây dựng hạ tầng khóa công khai phục vụ thương mại điện tử [3].
3. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc sử dụng cấu trúc nhóm nhân cyclic và cấp số nhân cyclic trên vành đa
thức trong việc tạo mã sửa sai trong thời gian qua ở Việt nam đã có các kết quả
đáng khích lệ [2,] [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], bởi một số lý do: cấu
trúc đại số chặt chẽ, số lượng cấp số nhân trên vành đa thức nhiều (thuận lợi cho
việc tạo khóa trong các hệ mật), mạch điện phần cứng thực hiện khá dễ dàng
(thuận lợi cho việc áp dùng vào thực tế).
Trên cơ sở đó phân tích các hàm băm hiện có tác giả thấy rằng, mặc dù các
hàm băm có tính chất tốt nhưng lại có nhược điểm là phức tạp dẫn tới yêu cầu về
tài nguyên tính toán và thời gian tính toán. Với các ưu điểm của cấu trúc của cấp
số nhân cyclic như đề cập ở trên tác giả nhận thấy việc sử dụng cấu trúc này vào
việc xây dựng các hệ mật và các hàm băm là hướng nghiên cứu mở, đây là một
vấn đề cần thiết trong quá trình phát triển lý thuyết mật mã nói chung và xây dựng
các hàm băm mới nói riêng ở Việt Nam.
4. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
 Khảo sát đánh giá hệ mật khối sử dụng cho lược đồ hàm băm.
 Xây dựng hệ mật trên các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức.
 Xây dựng các hàm băm mới sử dụng hệ mật dựa trên các cấp số nhân cyclic
trên vành đa thức.
5



 Viết các chương trình phần mềm mô phỏng, thử nghiệm và đánh giá kết quả
đã nghiên cứu.

5. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Luận án thuộc phạm vi lý thuyết cơ sở, tập trung nghiên cứu các thuật toán
mật mã hóa và sử dụng chúng trong lược đồ xây dựng các hàm băm. Các thuật
toán mã hóa và sơ đồ tạo khóa trong các sơ đồ mã hóa được xây dựng trên cấu trúc
cấp số nhân cyclic, đây là một cấu trúc đại số chặt chẽ được xây dựng trên cơ sở là
nhóm nhân cyclic trên vành đa thức.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phân tích và tổng hợp dựa vào các
công cụ toán học, đặc biệt là đại số đa thức, lý thuyết thông tin và mật mã, lý
thuyết xác xuất cùng với sự hỗ trợ tính toán của máy tính và các chương trình
phần mềm mô phỏng để thử nghiệm đánh giá.
7. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIÊN CỦA ĐỀ TÀI
Những kết quả trong luận án này là một đóng góp nhỏ bé vào việc phát triển
lý thuyết mật mã nói chung và các hàm băm nói riêng. Các nghiên cứu trong luận
án đưa ra được một phương pháp xây dựng mật mã khối và một số hàm băm trên
cơ sở là các cấp số nhân cyclic của vành đa thức.


6



CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ HỌC
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Mật mã học là một bộ phận của khoa học mật mã (Cryptology), được chia
thành 2 bộ phận chính [4]:
+ Mật mã học (Cryptography): chia thành 3 nội dung:
 Mật mã khóa bí mật (Khóa đối xứng)
 Mật mã khóa công khai (khóa bất đối xứng)
 Hàm băm, xác thực và chữ ký số

+ Phân tích mật mã (Cryptonalys): Dành riêng cho các nhà nghiên cứu
chuyên sâu về mật mã, chuyên nghiên cứu tìm hiểu các phương pháp thám mã:
 Phương pháp tấn công tổng lực (tìm khóa vét cạn)
 Phương pháp thống kê
 Phương pháp phân tích cấu trúc…
Trong lý thuyết mã mã hóa nguồn và mã sửa sai khâu mã hóa (coding)
thường chỉ có đầu vào là bản tin và đầu ra là bản mã (và ngược lại với khâu giải
mã (decoding)). Tuy nhiên với mật mã học thì hai khâu này có một sự khác biệt đó
là đầu vào của mã hóa (giải mã) ngoài bản tin ra còn có thêm khóa (K).


Trong đó: M – bản rõ; C – bản mã; K – khóa
* Các phương pháp xử lý thông tin số trong các hệ thống mật mã bao gồm:
+ Mật mã khóa bí mật (khóa đối xứng):
Decryption
C
M
K
* Giải mã (Decryption)
Ta có:
     
1
,
KK
M E C D C D C K

  


* Mã hóa (Encryption):

Ta có:
 
K
C E M
hay
 
,C E M K


Encryption
M
C
K
7



Với hệ mật này, việc mã hóa và giải mã sử dụng chung một khóa, do đó hai
bên liên lạc phải thống nhất và bảo mật khóa trước khi truyền tin. Các thuật toán
mã hóa trong hệ mật khóa bí mật thường sử dụng các phương pháp sau:
 Hoán vị.
 Thay thế.
 Xử lý bit (chủ yếu trong các ngôn ngữ lập trình).
 Phương pháp hỗn hợp (điển hình là chuẩn mã hóa dữ liệu – DES).
+ Mật mã khóa công khai (khóa không đối xứng):
Thông thường mỗi bên liên lạc tự tạo cho mình một cặp khóa Công khai và bí
mật, khóa công khai dùng để mã hóa bản tin và khóa này được công khai trên
mạng, còn khóa bí mật dùng để giải mã (chỉ có bên nhận tin lưu trữ). Các thuật
toán mã hóa công khai cho đến nay được xây dựng theo một trong năm bài toán
một chiều cơ bản đó là:

 Bài toán logarit rời rạc
 Bài toán phân tích thừa số
 Bài toán xếp ba lô
 Bài toán mã sửa sai
 Bài toán trên đường cong elliptic
+ Mật mã khối:
Trong các hệ mật mã khối quá trình xử lý thông tin được thực hiện theo các
khối bit có độ dài xác định.
+ Mật mã dòng: Trong các hệ mật mã dòng quá trình xử lý thông tin thực
hiện trên từng bit.
+ Độ phức tạp tính toán:
- Độ phức tạp tính toán P (theo thời gian đa thức) các bài toán này là khả thi
và khá đơn giản.
- Độ phức tạp NP: NP là ký hiệu lớp các bài toán giải được bằng thuật toán
không tất định (NonDeterminal) trong thời gian đa thức (Polynomial). Bài toán
thuộc lớp NP thường khó giải và khá phức tạp.

8



1.2. CÁC HỆ MẬT KHÓA BÍ MẬT
1.2.1. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa bí mật

Hình 1.1. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa bí mật
Một hệ mật là một bộ gồm 5 tham số
 
DEKCP ,,,,
thoả mãn các điều kiện
sau [4]:

a) P là một tập hữu hạn các bản rõ có thể.
b) C là một tập hữu hạn các bản mã có thể.
c) K là một tập hữu hạn các khoá có thể (không gian khoá).
d) Đối với mỗi
Kk
có một quy tắc mã
Ee
k


CPe
k
:

và một quy tắc giải mã tương ứng
Dd
k


PCd
k
:

sao cho:
  
xxed
kk

với
Px

.
1.2.2. Các hệ mật thay thế
1.2.2.1. Các hệ mật thay thế đơn biểu
a) Mật mã dịch vòng (MDV)
Giả sử
26
P C K Z  
với
0 25k
, ta định nghĩa:
Mã hóa:
modC M K n

Giải mã:
modM C K n

(Oscar)
(Bob)
(Alice)
D
K

E
K

Bản rõ M
Bản mã C
Bản mã C
Bản rõ M
Kênh an toàn

Thám mã
Nguồn khoá
K
Nguồn tin
Bộ mã hoá
Kênh mở
(không an toàn)
Bộ giải mã
Nhận tin
9



Ví dụ 1.1:
Với văn bản tiếng Anh,
26n 
hoặc 27, như vậy
26
,,M C K Z
hoặc
27
Z

Ta sử dụng MDV (với modulo 26) để mã hoá một văn bản tiếng Anh thông
thường bằng cách thiết lập sự tương ứng giữa các ký tự và các thặng dư theo mod
26 như sau:

Ký tự
A
B

C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Mã tương ứng
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ký tự
N
O
P
Q

R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Mã tương ứng
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Nhận xét:
- Khi
3k
, hệ mật này thường được gọi là mã Caesar đã từng được Hoàng đế
Caesar sử dụng.
- MDV (theo mod 26) là không an toàn vì nó có thể bị thám theo phương pháp
tìm khoá vét cạn (thám mã có thể dễ dàng thử mọi khoá

k
d
có thể cho tới khi
tìm được bản rõ có nghĩa). Trung bình có thể tìm được bản rõ đúng sau khi
thử khoảng
 
13226 
quy tắc giải mã.
- Từ ví dụ trên ta thấy rằng, điều kiện cần để một hệ mật an toàn là phép tìm
khoá vét cạn phải không thể thực hiện được. Tuy nhiên, một không gian khoá
lớn vẫn chưa đủ để đảm bảm độ mật.
b. Mã thay thế (MTT).
Thay thế một ký tự bằng một ký tự khác trong bảng ký tự. Số khóa có thể có
là:
26!K 
, với các máy tính hiện nay thì chưa đủ an toàn.
Khi độ dài bản rõ đủ lớn, có thể sử dụng phương pháp thống kê để thám mã.
c) Hệ mật Affine
Mã hóa:
modC aM b n
đây là một phương trình tuyến tính
Giải mã:
1
( )modM a C b n



Điều kiện tồn tại: để có
1
a


thì
 
,1an 

10



Nhận xét: Do khoảng trống xuất hiện nhiều trong văn bản, nên khi mã hóa
nên mã hóa cả khoảng trống để giảm số lần xuất hiện.
d) Mật mã cũi lợn
Sử dụng các hình tượng khác nhau không nằm trong bảng ký tự thay thế cho
các ký tự.
1.2.2.2. Các hệ mật trên là hệ mật thay thế đa biểu
Hệ mậtVigenère
Sử dụng phép tương ứng
25Z1B0A  ,,, 
mô tả ở trên, ta có thể
gắn cho mỗi khoá
K
một chuỗi ký tự có độ dài m, được gọi là từ khoá. Mật mã
Vigenère sẽ mã hoá đồng thời m ký tự: mỗi phần tử của bản rõ tương đương với m
ký tự.
Ví dụ 1.2:
Giả sử bản tin m = 6 và từ khoá là k = CIPHER. Từ khoá này tương ứng với
dãy số k = (2, 8, 15, 7, 4, 17). Giả sử bản rõ là:
meet me at sunset
Ta sẽ biến đổi các phần tử của bản rõ thành các thặng dư theo mod 26, viết
chúng thành các nhóm 6 rồi cộng với từ khoá theo modulo 26 như sau:

12
4
4
19
12
4
0
19
18
20
13
18
4
19
Bản rõ
2
8
15
7
4
17
2
8
15
7
4
17
2
8

Khoá
14
12
19
0
16
21
2
1
7
1
17
9
6
1
Bản mã

Như vậy, dãy ký tự tương ứng với xâu bản mã sẽ là:
OMTA QV CB HBRJGB
Ta có thể mô tả mật mã Vigenère như sau:
Cho m là một số nguyên dương cố định nào đó.
Ta định nghĩa
 
26
n
P C K Z  

Với khoá
 
12

, , ,
m
k k k k
, ta xác định:
   
1 2 1 1 2 2
, , , , , ,
k m m m
e x x x x k x k x k   

và

   
1 2 1 1 2 2
, , , , , ,
k m m m
d y y y y k y k y k   

trong đó tất cả các phép toán được thực hiện trong
26
Z
.
11




Chú ý: Để giải mã, ta có thể dùng cùng từ khoá nhưng thay cho cộng, ta trừ
nó theo modulo 26.
Ta thấy rằng, số các từ khoá có thể với độ dài m trong mật mã Vigenere là

m
26
. Bởi vậy, thậm chí với m khá nhỏ, phương pháp tìm kiến vét cạn cũng yêu
cầu thời gian khá lớn. Ví dụ, với m = 6 thì không gian khoá cũng có kích thước lớn
hơn
8
103.
khoá.
1.2.3. Các hệ mật hoán vị (MHV)
Khác với MTT, ý tưởng của MHV là giữ các ký tự của bản rõ không thay đổi
nhưng sẽ thay đổi vị trí của chúng bằng cách sắp xếp lại các ký tự này. Ở đây
không có một phép toán đại số nào cần thực hiện khi mã hoá và giải mã.
* Hệ mật hoán vị độ dài K
Chia bản rõ thành khác khối độ dài
K
và hoán vị các ký tự trong mỗi khối
Ví dụ 1.3:
Giả sử m = 6 và khoá là phép hoán vị sau:

1
2
3
4
5
6
3
5
1
6
4

2
Khi đó, phép hoán vị ngược sẽ là:

1
2
3
4
5
6
3
6
1
5
2
4
Giả sử ta có bản rõ: asecondclasscarriageonthetrain
Trước tiên, ta nhóm bản rõ thành các nhóm 6 ký tự:
etraingeonthcarriadclassonseca

Sau đó, mỗi nhóm 6 chữ cái lại được sắp xếp lại theo phép hoán vị
π
, ta có:
RIENATOTGHNERICARALSDSACEOANCS

Cuối cùng, ta có bản mã sau:
EOANCSLSDSACRICARAOTGHNERIENAT
12

Khi sử dụng phép hoán vị ngược
1
π

trên dãy bản mã (sau khi đã nhóm lại
theo các nhóm 6 ký tự), ta sẽ nhận lại được bản rõ ban đầu.
Từ ví dụ trên, ta có thể định nghĩa MHV như sau:
Định nghĩa 1.1 [[4]: Cho m là một số nguyên dương xác định nào đó.
Cho
 
26
m
P C Z
và cho K là tất cả các hoán vị có thể có của
 
1, 2, , m
.
Đối với một khoá

(tức là một phép hoán vị nào đó), ta xác định:

 
   
 
1
1
, , , ,
m
m
e x x x x





và
 
   
 
11
1
1
, , , ,
m
m
d x x y y





trong đó
1


là phép hoán vị ngược của


1.2.4. Các hệ mật mã tích
Một phát minh khác do Shannon đưa ra trong bài báo của mình năm 1949 là ý
tưởng kết hợp các hệ mật bằng cách tạo tích của chúng. Ý tưởng này có tầm quan

trọng to lớn trong việc thiết kế các hệ mật hiện nay.
Để đơn giản, trong phần này chỉ hạn chế xét các hệ mật trong đó C=P; các hệ
mật loại này được gọi là tự đồng cấu. Giả sử
 
1111
D,E,K,P,PS 
và
 
2222
D,E,K,P,PS 
là hai hệ mật tự đồng cấu có cùng các không gian bản mã
và rõ. Khi đó, tích của
1
S
và
2
S
(kí hiệu là
21
SS 
) được xác định là hệ mật sau:

12
( , , , , )P P K K E D
(1.1)
Khoá của hệ mật tích có dạng
 
21
k,kk 
trong đó

11
Kk 
và
22
Kk 
.
Các quy tắc mã và giải mã của hệ mật tích được xác định như sau: Với mỗi
 
21
k,kk 
, ta có một quy tắc mã
k
e
xác định theo công thức:

1 2 2 1
( , )
( ) ( ( ))
k k k k
e x e e x
(1.2)
và quy tắc giải mã:

1 2 1 2
( , )
( ) ( ( ))
k k k k
d y d d y
(1.3)
Nghĩa là, trước tiên ta mã hoá x bằng

1
k
e
rồi lại mã hóa bằng
2
k
e
. Quá trình
giải mã tương tự nhưng thực hiện theo thứ tự ngược lại:
13



1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 2 1
11
( , ) ( , ) ( , )
( ( )) ( ( ( )))
( ( ( ( ))))
( ( ))
k k k k k k k k
k k k k
kk
d e x d e e x
d d e e x
d e x
x







Ta biết rằng, các hệ mật đều có các phân bố xác suất ứng với các không gian
khoá của chúng. Bởi vậy, cần phải xác định phân bố xác suất cho không gian khoá
K
của hệ mật tích. Hiển nhiên ta có thể viết:

12
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )
K K K
p k k p k p k
(1.4)
Nói một cách khác, ta chọn
1
k
có phân bố
1
K
p
rồi chọn một cách độc lập
2
k
có phân bố
 
2K
kp
2
.

Sau đây là một ví dụ đơn giản để minh hoạ khái niệm hệ mật tích
Giả sử
26
P C Z
;
 
 
26
, : , 26 1k a Z UCLN a

Với
aK
, ta xác định:
 
mod 26
a
e x ax

và
 
1
mod 26
a
d y a y



 
26
,x y Z

Cho M là một hệ mã nhân (với các khoá được chọn đồng xác suất) và S là
MDV (với các khoá chọn đồng xác suất). Khi đó dễ dàng thấy rằng
SM
chính là
hệ mã Affine (cùng với các khoá được chọn đồng xác suất). Tuy nhiên, việc chứng
tỏ
MS
cũng là hệ mã Affine khó hơn một chút (cũng với các khóa đồng xác
suất).
Ta sẽ chứng minh các khẳng định này. Một khoá dịch vòng là phần tử
26
Zk
và quy tắc giải mã tương ứng là
 
26modkxxe
k

. Còn khoá trong hệ
mã nhân là phần từ
26
Za
sao cho
 
126,aUCLN 
. Quy tắc mã tương ứng là
 
26modaxe
a


. Bởi vậy, một khoá trong mã tích
SM
có dạng
 
k,a
, trong
đó:

( , )
( ) mod26
ak
e x ax k
(1.5)
Đây chính là định nghĩa về khoá trong hệ mã Affine. Hơn nữa, xác suất của
một khoá trong hệ mã Affine là:
   
2611213121 
. Đó là tích của xác suất
tương ứng của các khoá a và k. Bởi vậy
SM
là hệ mã Affine.
14



Bây giờ ta sẽ xét
MS
. Một khoá này trong hệ mã này có dạng
( , )ka
, trong

đó:

( , )
( ) ( ) mod26
ka
e x a x k ax ak   
(1.6)
Như vậy, khoá
 
a,k
của mã tích
MS
đồng nhất với khoá
 
ak,a
của hệ
mã Affine. Vấn đề còn lại là phải chứng tỏ rằng mỗi khoá của mã Affine xuất hiện
với cùng xác suất 1/312 như trong mã tích
MS
. Nhận thấy rằng
1
ak k
khi và
chỉ khi
1
1
k a k


, (hãy nhớ lại rằng

 
126,aUCLN 
, bởi vậy a có phần tử nghịch
đảo). Nói cách khác, khoá
 
1
k,a
của hệ mã Affine tương đương với khoá
1
1
( , )a k a

của mã tích
MS
. Bởi vậy, ta có một song ánh giữa hai không gian
khoá. Vì mỗi khoá là đồng xác suất nên có thể thấy rằng
MS
thực sự là mã
Affine.
Ta chứng minh rằng
MSSM 
. Bởi vậy, hai hệ mật là giao hoán. Tuy
nhiên, không phải mọi cặp hệ mật đều giao hoán; có thể tìm ta được các cặp phản
ví dụ. Mặt khác ta thấy rằng phép tích luôn kết hợp:
   
321321
SSSSSS 

Nếu lấy tích của một hệ mật tự đồng cấu với chính nó thì ta thu được hệ mật
SS

(kí hiệu là
2
S
). Nếu lấy tích n lần thì hệ mật kết quả là
n
S
. Ta gọi
n
S
là hệ
mật lặp.
Một hệ mật S được gọi là luỹ đẳng nếu
SS
2

. Có nhiều hệ mật đã nghiên
cứu trong chương 1 là hê mật luỹ đẳng. Chẳng hạn các hệ MDV, MTT, Affine,
Hill, Vigenère và hoán vị đều là luỹ đẳng. Hiển nhiên là nếu hệ mật S là luỹ đẳng
thì không nên sử dụng hệ mật tích
2
S
vì nó yêu cầu lượng khoá cực lớn mà không
có độ bảo mật cao hơn.
Nếu một hệ mật không phải là luỹ đẳng thì có thể làm tăng độ mật bằng cách
lặp nhiều lần. Ý tưởng này đã được dùng trong chuẩn mã dữ liệu (DES). Trong
DES dùng 16 phép lặp, tất nhiên hệ mật ban đầu phải là hệ mật không luỹ đẳng.
Một phương pháp có thể xây dựng các hệ mật không luỹ đẳng đơn giản là lấy tích
của hai hệ mật đơn giản khác nhau.
Nhật xét:
Có thể dễ dàng chứng tỏ rằng, nếu cả hai hệ mật

1
S
và
2
S
là luỹ đẳng và giao
hoán thì
1
S
và
2
S
cũng là luỹ đẳng. Điều này rút ra từ các phép toán đại số sau:
15



     
 
   
21
2211
2211
21212121
SS
SSSS
SSSS
SSSSSSSS






(Chú ý: Dùng tính chất kết hợp trong chứng minh trên).
Bởi vậy, nếu cả
1
S
và
2
S
đều là luỹ đẳng và ta muốn
21
SS 
là không luỹ
đẳng thì điều kiện cần là
1
S
và
2
S
không giao hoán.
Rất may mắn là nhiều hệ mật đơn giản thoả mãn điều kiện trên. Kỹ thuật
thường được sử dụng trong thực tế là lấy tích các hệ mã kiểu thay thế và các hệ mã
kiểu hoán vị.
1.2.5. Các hệ mật mã dòng và việc tạo các dãy giả ngẫu nhiên
1.2.5.1. Các hệ mã dòng
Trong các hệ mật nghiên cứu ở trên, các phần tử liên tiếp của bản rõ đều được
mã hoá bằng cùng một khoá k. Tức xâu bản mã y nhận được có dạng:

1 2 1 2

( ) ( )
kk
y y y e x e x  
(1.7)
Các hệ mật thuộc dạng này thường được gọi là các mã khối. Một quan điểm
sử dụng khác là mật mã dòng. Ý tưởng cơ bản ở đây là tạo ra một dòng khoá
12
z z z
và dùng nó để mã hoá một xâu bản rõ
12
x x x
theo quy tắc:
12
1 2 1 2
( ) ( )
zz
y y y e x e x  

Mã dòng hoạt động như sau. Giả sử
kK
là khoá, và
12
x x x
là xâu bản
rõ. Hàm
i
f
được dùng để tạo
i
z

(
i
z
là phần tử thứ i của dòng khoá), trong đó
i
f
là
một hàm của khoá k và
1i 
là ký tự đầu tiên của bản rõ:
11
( , , , )
i i i
z f k x x



Phần tử
i
z
của dòng khoá được dùng để mã
i
x
tạo ra
()
i iz i
y e x
. Bởi vậy, để
mã hoá xâu bản rõ
12

xx
ta phải tính liên tiếp
1 1 2 2
, , , z y z y

Việc giải mã xâu bản mã
12
yy
có thể được thực hiện bằng cách tính liên
tiếp
1 1 2 2
, , , z x z x

Sau đây là định nghĩa dưới dạng toán học:
Định nghĩa 1.2 [4].
16



Mật mã dòng là một bộ
( , , , , , , )P C K L F E D
thoả mãn các điều kiện sau:
1) P là một tập hữu hạn các bản rõ có thể.
2) C là tập hữu hạn các bản mã có thể.
3) K là tập hữu hạn các khoá có thể (không gian khoá)
4) L là tập hữu hạn các bộ chữ của dòng khoá.
5)
12
( )F f f
là bộ tạo dòng khoá. Với

1i 

1
:
i
i
f K P L



6) Với mỗi
zL
có một quy tắc mã
z
eE
và một quy tắc giải mã tương
ứng
z
dD
;
:
Z
e P C
và
:
z
d C P
là các hàm thoả mãn
( ( ))
zz

d e x x

với mọi bản rõ
xP
.
Ta có thể coi mã khối là một trường hợp đặc biệt của mã dòng, trong đó dùng
khoá không đổi:
i
Zk
với mọi
1i 
.
Mã dòng được gọi là đồng bộ nếu dòng khoá không phụ thuộc vào xâu bản
rõ, tức là nếu dòng khoá được tạo ra chỉ là hàm của khoá k. Khi đó, ta coi k là một
"mầm" để mở rộng thành dòng khoá
12
zz

Một hệ mã dòng được gọi là tuần hoàn với chu kỳ d nếu
i d i
zz


với mọi số
nguyên
1i 
. Mã Vigenère với độ dài từ khoá m có thể coi là mã dòng tuần hoàn
với chu kỳ m. Trong trường hợp này, khoá là
1
( , , )

m
k k k
. Bản thân k sẽ tạo m
phần tử đầu tiên của dòng khoá:
,1
ii
z k i m  
. Sau đó, dòng khoá sẽ tự lặp lại.
Nhận thấy rằng, trong mã dòng tương ứng với mật mã Vigenère, các hàm mã và
giải mã được dùng giống như các hàm mã và giải mã được dùng trong MDV:
()
z
e x x z
và
()
z
d y y z

Các mã dòng thường được mô tả trong các bộ chữ nhị phân tức là
2
ZLCP 
. Trong trường hợp này, các phép toán mã và giải mã là phép cộng
theo modulo 2.
( ) mod2
z
e x x z
và
( ) mod2
z
d y y z

Nếu ta coi "0" biểu thị giá trị "sai" và "1" biểu thị giá trị "đúng" trong đại số
Boolean thì phép cộng theo modulo 2 sẽ ứng với phép hoặc có loại trừ. Bởi vậy,
phép mã (và giải mã) dễ dàng thực hiện bằng mạch cứng.
Ta xem xét một phương pháp tạo một dòng khoá (đồng bộ) khác. Giả sử bắt
đầu với
1
( , , )
m
kk
và
,1
ii
z k i m  
(cũng giống như trước đây), tuy nhiên bây
giờ ta tạo dòng khoá theo một quan hệ đệ quy tuyến tính cấp m: