BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM doc

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM
1.1.2 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập mở
nếu và chỉ nếu mọ i x trong A, có r > 0 sao cho B (x, r) ⊂ A.
Giải
• Giả sử mọi x trong A, có r
x
> 0 sao cho B(x, r
x
) ⊂ A. Ta chứng minh
A =

x∈A
B(x, r
x
).
Cho z trong A, ta có z ∈ B(z, r
z
). Vậy
A ⊂

x∈A
B(x, r
x
).
Ch z trong

x∈A
B(x, r
x
), Có x ∈ A sao cho z ∈ B(x, r
x

). Vì B(x, r
x
) ⊂ A, ta có z ∈ A.
• Giả sử A là tập mở , ta chứng minh với mọi x trong A, có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A.
Có một họ quả cầu mở {B(a
i
, r
i
)}
i∈I
trong E sao cho
A =

i∈I
B(a
i
, r
i
).
Cho x trong E, có i trong I sao cho x ∈ B(a
i
, r
i
). Đặt r = r
i
− ||x − a
i
||, ta có
B(x, r) ⊂ B(a
i

, r
i
) ⊂

i∈I
B(a
i
, r
i
) ⊂ A.
1.1.4 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập đóng
nếu và chỉ nếu mọ i dãy {x
n
} trong A hội tụ về x trong E thì x ∈ A.
Giải
Giả sử A là một tập đóng. Cho dãy {x
n
} trong A hội tụ về x trong E ta chứng minh x ∈ A. Ta
dùng phản chứng: giả sử x ∈ E \ A. Ta có E \ A là một tập mở, nên có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ E \ A,
hay
y ∈ E \ A ∀ y ∈ E, ||y − x|| < r. (1)
Mặt khác với ε = r, ta tìm được một số nguyên N sao cho
||x
n
− x|| < ε ∀ n ≥ N. (2)
1
Từ đó ta có x
N
∈ A ∩ (E \ A) : mâu thuẩn. Vậy x ∈ A. Nay giả sử mọi dãy {x
n

} trong A hội tụ về
x trong E thì x ∈ A. Ta chứng minh A đóng, hay E \ A là một tập mở . Ta dùng phản chứng: E \ A
không là một tập mở. Lúc đó có một x trong E \ A, và với mọi số thực dương r có một y
r
sao cho
||y
r
− x|| < r và y
r
∈ A.
Đặt x
n
= y
1/n
. Ta thấy {x
n
} trong A hội tụ về x trong E nhưng x ∈ E \ A: vô lý.
1.3.10 Cho A là một tập con của một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh A là một tập
đóng nếu và chỉ nếu A =
A.
Giải
Giả sử A là một tập đóng. Ta chứng minh A =
A.
• Chứng minh A ⊂
A:
Cho x trong A, ta chứng minh x ∈
A, hay B(x, r) ∩ A = ∅. Vì x ∈ B(x, r) ∩ A, ta có kết quả
• Chứng minh
A ⊂ A:
Cho x trong

A, chứng minh x trong A. Với mọi r > 0 có y
r
∈ A ∩ B(x, r). Đặt x
n
= y
1/n
với mọi
số nguyên n. Ta có
||x
n
− x|| <
1
n
∀ n ∈ IN.
Từ đó {x
n
} hội tụ về x. áp dụng bài 1.1.4, ta thấy x ở trong A.
Giả sử A =
A . Ta chứng minh A là một tập đóng.
Ta dùng bài 1.1.4. Cho dãy {x
n
} trong A hội tụ về x tr ong E ta chứng minh x ∈ A. Với giả thiết
A = A, ta chỉ cần chứng minh x ∈ A. Ta có : với mọi ε = r > 0 có mộ t số nguyên N sao cho
||x
n
− x|| < ε ∀ n ≥ N.
Vậy B(x, r) ∩ A = ∅ với mọi r > 0 : x ∈ A
1.3.1 Cho a và b là hai vectơ trong một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh
|||a|| − ||b||| ≤ ||a − b||. (1)
Suy ra hàm số f liên tục trên (E, ||.||), nếu f (x) = ||x|| với mọi x trong E.

Giải
Ta thấy (1) tương đương với

||a|| − ||b|| ≤ ||a − b||,
||b|| − ||a|| ≤ ||a − b||.
2
hay

||a|| ≤ ||a − b|| + ||b||,
||b|| ≤ ||a − b|| + ||a||.
hay

||(a − b ) + b|| ≤ ||a − b|| + ||b||,
||(b − a) + a|| ≤ ||a − b|| + ||a||.
Vậy ta có (1). Từ (1) ta có
|f(y) − f(x)| ≤ ||y − x|| ∀ x, y ∈ E.
Vậy với mọi ε > 0, chọn δ =
ε
2
ta có
|f(y) − f(x)| < ε ∀ x, y ∈ E, ||x − y|| < δ.
Vậy f liên tục trên E.
1.3.2 Cho A là một tập hợp bị chặn trong một không gian định chuẩn (E, ||.||). Chứng minh có một
số thực dương r sao cho A ⊂ B(0, r).
Giải
Có số thực M sao cho
||x|| ≤ M ∀ x ∈ A.
Đặt r = M + 1, ta có
||x − 0|| = ||x|| < r ∀ x ∈ A.
Vậy x ∈ B(0, r), từ đó A ⊂ B(0, r).

1.3.11 Cho A là một tập hợp compắc trong một không gian định chuẩn (E, ||||). Chứng minh
(i) A đóng.
(ii) A bị chặn.
Giải
Cho một dãy {y
n
} trong A, ta có một dãy con {y
n
k
} của {y
n
}, sao cho {y
n
k
} hội tụ về y trong A.
Áp dụng bài 1.1.4 , ta thấy A là một tập đóng trong E.

Nay ta chứng minh A bị chặn. Ta dùng phản chứng : giải sử A không bị chặn. Dùng qui nạp toán học
ta tìm được một dãy {x
n
} có tính chất
1 + ||x
1
|| + · · · + ||x
n
|| < ||x
n+1
|| ∀ n ∈ IN.
3
Vậy

1 < ||x
m
|| − ||x
n
|| ≤ ||x
m
− |x
n
|| ∀ m, n ∈ IN , m > n.
hay
1 < ||x
m
− |x
n
|| ∀ m, n ∈ IN , m = n. (1)
Cho {x
n
k
} là một dãy con của dãy {x
n
}. Theo (1),
1 < ||x
n
k
− |x
n
k
′
|| ∀ k, k
′

∈ IN , k = k
′
.
Vậy {x
n
k
} không là mộ t dãyCauchy, nên không hội tụ : mâ u thuẩn với giả thiết compắ c của A.
1.1.6 Cho A là một tập hợp khác trống trong một không gian định chuẩn (E, ||||
E
) và f là một ánh
xạ từ A vào một không gian định chuẩn (F, ||||
F
) . Chứng minh f liên tục trên A nếu và chỉ nếu với
mọi tập mở V trong F , có một tập mở W trong E s ao cho f
−1
(V ) = W ∩ A.
Giải
• Giả sử f liê n tục trên A. Cho một tập mở V trong F , ta tìm một tập mở W trong E sao cho
f
−1
(V ) = W ∩ A.
Cho x trong B ≡ f
−1
(V ), ta có y = f(x) ∈ V . Do bài 1.1.2 và sự liên tục của f tại x, ta thấy có
r
x
> 0 sao cho B(y, r
x
) ⊂ V , và với ε = r
x

, có một δ
x
> 0 sao cho
||f(z) − f(x)||
F
< ε ∀ z ∈ A, ||z − x||
E
.
hay f(z) ∈ B(y, ε) với mọi z ∈ A ∩ B(x, δ
x
), hay f(A ∩ B(x, δ
x
)) ⊂ B(y, ε) = B(y, r
x
) ⊂ V .
Đặt W =

x∈B
B(x, δ
x
). Ta có W ∩ A =

x∈B
B(x, δ
x
) ∩ A và
f(W ∩ A) = f(

x∈B
B(x, δ

x
) ∩ A) ⊂

x∈B
f(B(x, δ
x
) ∩ A) ⊂ V
V =

x∈B
{f (x)} ⊂ f (W ∩ A).
Vậy
f(W ∩ A) = V .
• Giả sử với mọi tập mở V trong F, có một tập mở W trong E sao cho f
−1
(V ) = W ∩ A. Ta chứng
minh f liên tục trên A.
Cho x trong A, và ε > 0, ta tìm δ sao cho
||f(z) − f(x)||
F
< ε ∀ z ∈ A, ||z − x||
E
.
4
hay
f(A ∩ B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ε).
hay
A ∩ B(x, δ) ⊂ f
−1
(B(f (x), ε)).

Đặt V = B(f (x), ε). Theo giả thiết có một tập mở W trong E sao cho f
−1
(V ) = W ∩ A. Vậy
x ∈ W. Theo bài 1.1.2, ta có r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ W . Đặt δ = r, ta có
A ∩ B(x, δ) ⊂ W ∩ A = f
−1
(B(f (x), ε)).
1.1.6 Cho A là một tập hợp compắc trong một không gian định chuẩn (E, ||||
E
) và f là một á nh xạ
liên tục từ A vào một không gia n định chuẩn (F, ||||
F
) . Chứng minh f (A) compắc trong F .
Giải
Cho {y
n
} là một dãy trong f(A). Ta sẽ tìm mộ t dãy con {y
n
k
} của {y
n
} hội tụ về y tr ong f(A).

Chọn x
n
trong A sao cho f (x
n
) = y
n
. Vì A compắc, có một dãy con {x

n
k
} của {x
n
} hội tụ về x trong
A. Do tính liên tục của f , {f (x
n
k
)} hội tụ về y = f(x).
1.2.5i Cho A là một tập hợp khác tr ống và (E, ||||) là một không gian định chuẩn trên Φ. Đặt B(A, E)
là tập hợp các ánh xạ f từ A vào E sao cho f (A) bị chặn trong E. Với mọi f và g trong B(A, E), x
trong A và α trong Φ ta đặt
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(αf)(x) = αf (x),
||f||
∞
= sup{||f (y)|| : y ∈ A}.
Chứng minh (B(A, F ), ||.||
∞
) là một không gian định chuẩn.
Giải
Cho f và g trong B(A, E) và α trong Φ, ta chứng minh f + g và αf ở trong B(A, E). Có hai số
thực dương M
1
và M
2
sao cho
||f(x)|| ≤ M
1
∀ x ∈ A. (1)

||g(x)|| ≤ M
2
∀ x ∈ A. (2)
5
Từ (1) và (2) ta có
||(f + g)(x)|| = ||f (x) + g(x)|| ≤ ||||f(x)|| + ||g(x)||M
1
+ M
2
∀ x ∈ A.)
||(αf)(x)|| = ||αf(x)|| = |α||f(x)|| ≤ |α|M
1
∀ x ∈ A.
Vậy f + g và αf ở trong B(A, E). Từ đó B(A, E) là một không gian vectơ.
Nay ta chứng minh ||.||
∞
là một chuẩn trên B(A, E). Cho f và g trong B(A, E), x trong A và α
trong Φ. Vì ||f (x)|| ≥ 0, nên
||f||
∞
= sup{||f (y)|| : y ∈ A} ≥ 0.
Nếu ||f ||
∞
= 0, ta có
sup{||f (y)|| : y ∈ A} = 0.
Vậy
||f(y)|| = 0 ∀ y ∈ A.
Vậy f(y) = 0 với mọi y trong A hay f = 0. Ta có
||αf||
∞

= sup{||αf(y)|| : y ∈ A} = sup{|α|||f(y)|| : y ∈ A}
= sup |α|{||f(y)|| : y ∈ A} = α| sup |{||f (y)|| : y ∈ A} = ||α|||f||
∞
.
Đặt C = {||f(y)|| : y ∈ A} và D = {||g(y)|| : y ∈ A}, ta c ó
||f + g||
∞
= sup |{||f (y) + g(y)|| : y ∈ A} ≤ s up |{||f(y)|| + ||g(y)|| : y ∈ A}
≤ sup(C + D) ≤ sup C + sup D = ||f ||
∞
+ ||g||
∞
.
Vậy ||.||
∞
là một chuẩn trên B(A, E).
1.2.7i,ii Cho [a, b] là một khoảng đóng bị chặn trong IR. Đặt X = C([a, b], IR) là tập các hàm số thực
liên tục trên [a, b]. Với mọi f và g trong X, x tr ong [a, b] và α trong IR ta đặt
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(αf)(x) = αf (x),
||f||
∞
= sup{|f (y)| : y ∈ [a, b]}.
Chứng minh (X, ||.||
∞
) là một không gian định chuẩn con của B([a, b], IR), và (X, ||.||
∞
) là một
không gian Banach.
6

Giải
Cho f và g trong X và α trong IR. Ta thấy f + g và αf là các hàm số thực liên tục, nên X là một
không gian vectơ trên IR. Vì f ([a, b]) bị chặn với mọi f trong X, nên X chứa trong B([a, b], IR). Vậy
X là không gian vec tơ con của B([a, b], IR). Suy ra (X, ||.||
∞
) là không gian vectơ định chuẩn con của
B([a, b], IR).
Ta chứng minh (X, ||.||
∞
) là một không gian Banach. Cho {f
m
} là một dãy Cauchy trong X. Ta
tìm một f trong X sao cho {f
m
} hội tụ về f trong X, hay
lim
m→∞
||f
m
− f ||
∞
= 0. (1)
Trước hết ta xác định f. Vì {f
m
} là một dãy Cauchy trong X ta có
∀ ε > 0, ∃N (ε) ∈ IN : |f
m
− f
n
||

∞
< ε m > n ≥ N(ε).
hay
∀ ε > 0, ∃N (ε) ∈ IN : |f
m
(x) − f
n
(x)| < ε m > n ≥ N(ε), x ∈ [a, b]. (2)
Vậy, với mọi x trong [a, b], {f
m
(x)} là một dãy Cauchy trong IR , và hội tụ về một số thực được ký
hiệu là f (x).
Ta đã xác định được một hàm số thực f trên [a, b]. Nay ta chứng minh f thuộc X, nghĩa là f liên
tục trên [a, b]. Cho x trong [a, b], ta có
∀ ε
′
> 0, ∃M (x, ε
′
) ∈ IN : |f
k
(x) − f(x)| < ε
′
∀ k ≥ M(x, ε
′
). (3)
Từ (2) và (3), ta thấy
|f
n
(x) − f (x)| ≤ |f
n

(x) − f
m
(x)| + |f
m
(x) − f (x)| < ε
′
+ ε
∀ n ≥ N(ε), m ≥ max{n, N(ε), M(x, ε
′
)}, x ∈ [a, b]. (4)
Chọ ε, chọn ε
′
=
ε
2
và m = max{n, N (ε) ≥ M(x, ε
′
)}, ta có
|f
n
(x) − f(x)| < 2ε ∀ n ≥ N(ε), x ∈ [a, b]. (5)
Cho y và z trong [a, b], từ (5)
|f(y) − f(z)| ≤ |f(y) − f
k
(y)| + |f
k
(y) − f
k
(z)| + |f
k

(z) − f(z)|
≤ 4ε + |f
k
(y) − f
k
(z)| k ≥ N(ε). (6)
7
Chọn k = N(ε), do tính liên tục đều của f
k
, ta có
∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f
k
(y) − f
k
(z)| < ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”). (7)
Từ (6) và (7) ta có
∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f(y) − f(z)| < 4ε + ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”), ε > 0,
hay
∀ ε” > 0, ∃η(ε”) > 0 : |f(y) − f(z)| ≤ ε” ∀ y, z ∈ [a, b], |y − z| < η(ε”).
Vậy f liên tục trên [a, b]. Nay ta chứng minh (1). Theo (5), ta có
|f
n
(x) − f(x)| < 2ε ∀ n ≥ N(ε), x ∈ [a, b].
Vậy
||f
n
− f ||
∞
= sup{|f
n

(x) − f (x)| : x ∈ [a, b]} < 2ε ∀ n ≥ N (ε).
1.2.7i,ii Cho [a, b] là một khoảng đóng bị chặn trong IR. Đặt X = C([a, b], IR) là tập các hàm số thực
liên tục trên [a, b]. Với mọi f và g trong X, x tr ong [a, b] và α trong IR ta đặt
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(αf)(x) = αf (x),
||f||
1
=

b
a
|f(t)|dt.
Chứng minh (X, ||.||
1
) là một không gian định chuẩn, nhưng không là một không gian Banach.
Giải
Cho f và g trong X, và s trong IR.
Vì |f | ≥ 0, ta có
||f||
1
=

b
a
|f(t)|dt ≥ 0.
Giả sử f ≡ 0. Ta có y trong [a, b] sao cho f(y) = α = 0. Cho ε =
|α|
2
> 0. Vì f liên tục nên có
δ(y, ε ) > 0 sao cho

|f(y) − f(t)| < ε ∀ t ∈ [a, b] ∩ [y − δ(y, ε), y + δ(y, ε)]. (1)
8
Có c < d sao cho [a, b] ∩ [y − δ(y, ε), y + δ(y, ε)] = [c, d]. Với t trong [c, d], do (1)
|f(y)| − |f(t)| < ε or
|α|
2
< |f (t)|.
Suy ra
||f||
1
=

b
a
|f(t)|dt ≥

d
c
|f(t)|dt ≥

d
c
|α|
2
dt ≥
|α|
2
(d − c) > 0.
Vậy f ≡ 0 nếu ||f ||
1

= 0.
Ta có
||sf||
1
=

b
a
|sf(t)|dt =

b
a
|s||f(t)|dt = |s|

b
a
|f(t)|dt = |s|||f ||
1
.
||f + g||
1
=

b
a
|f(t) + g(t)|dt ≤

b
a
[|f(t)| + |g(t)]dt

=

b
a
|f(t)|dt +

b
a
|g(t)dt = ||f||
1
+ ||g||
1
.
Vậy ||.||
1
là một chuẩn trên X.
Nay ta chứng minh (X, ||.||
1
) không là một không gian Ba nach. Ta sẽ tìm một dãy Cauchy trong
(X, ||.||
1
) nhưng không hội tụ. Đặt c =
1
2
(a + b ) , c
n
= c +
b − a
4n
với mọi số nguyên dương n và

f
n
(t) =











0 a ≤ t ≤ c,
t − c
c
n
− c
c ≤ t ≤ c
n
,
1 c
n
≤ t ≤ b.
Cho hai số nguyên dương m và n sao cho m > n. Ta có c
m
< c
n
và

||f
n
− f
m
||
1
=

b
a
|f
n
(t) − f
m
(t)|dt =

c
n
c
|f
n
(t) − f
m
(t)|dt
≤

c
n
c
(|f

n
(t)| + |f
m
(t)|)dt ≤

c
n
c
2dt =
b − a
2n
.
Từ đó {f
n
} là một dãy Cauchy trong (X, ||.||
1
). Nay giả sử có f trong X sao cho {f
n
} hội tụ về f
trong (X, ||.||
1
). Lúc đó, cho một số dương ε, ta tìm được một số nguyên dương N(ε) sao cho

b
a
|f
n
(t) − f(t)|dt = ||f
n
− f ||

1
< ε ∀ n ≥ N (ε).
Vậy

c
a
|f(t)|dt +

b
c
n
|1 − f(t)|dt =

c
a
|f
n
(t) − f(t)|dt +

b
c
n
|f
n
(t) − f(t)|dt
≤

b
a
|f

n
(t) − f(t)|dt < ε ∀ n ≥ N(ε ).
9
Cố định một số nguyên dương k, ta tìm được một số nguyên dương n ≥ max{k, N (ε)}. Lúc đó
c
n
< c
k
và

c
a
|f(t)|dt +

b
c
k
|1 − f(t)|dt ≤

c
a
|f(t)|dt +

b
c
n
|1 − f(t)|dt < ε
hay

c

a
|f(t)|dt +

b
c
k
|1 − f(t)|dt < ε ∀ ε > 0, k ∈ IN
hay

c
a
|f(t)|dt +

b
c
k
|1 − f(t)|dt = 0 < ε ∀ k ∈ IN
Như bê n trên ta có với mọi số nguyên dương k
f(t) =

0
1
a ≤ t ≤ c,
c
n
≤ t ≤ b.
Từ đó ta có f (c) = 0 và f(c
k
) = 1. Nhưng f liên tục tại c và {c
k

} hội về c. Ta có mâu thuẩn.
1.3.7i Cho n là một số nguyên ≥ 2, Φ là IR hay C
/
, (E
1
, ||.||
1
), · · ·, (E
n
, ||.||
n
) là n k hông gian định
chuẩn trên Φ. Đặt
E = E
1
× · · · E
n
,
x + y = (x
1
+ y
1
, · · · , x
n
+ y
n
) ∀ x = (x
1
, · · · , x
n

), y = (y
1
, · · · , y
n
) ∈ E,
αx = (αx
1
, · · · , αx
n
) ∀ α ∈ Φ, x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ E,
||x|| = ||x
1
||
1
+ · · · + ||x
n
||
n
∀ x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ E.
Chứng minh E là một không gian vectơ định chuẩn trên Φ.
Giải
Ta dùng qui nạp toán học . Xét trường hợp n = 2. Cho x = (x

1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
), z = (z
1
, z
2
) trong
E = E
1
× E
2
và α trong Φ. Ta có
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
) = (y
1
+ x
1
, y

2
+ x
2
) = y + x.
x + (y + z) = (x
1
+ (y
1
+ z
1
), x
2
+ (y
2
+ z
2
)) = ((x
1
+ y
1
) + z
1
, (x
2
+ y
2
) + z
2
) = (x + y) + z.
Cho 0

1
và 0
2
là các vectơ không trong E
1
và E
2
. Đặt 0 = (0
1
, 0
2
), ta có
x + 0 = (x
1
+ 0
1
, x
2
+ 0
2
) = (x
1
, x
2
) = x ∀ x = (x
1
, x
2
) ∈ E.
10

Tương tự, ta chứng minh được các tính chất khác để cho thấy E là một không gian vectơ trên Φ.
Nay ta chứng minh ||.|| là một chuẩn trê n E. Cho t ∈ Φ, x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) và z = (z
1
, z
2
) trong
E = E
1
× E
2
, ta có
||x|| = ||x
1
||
1
+ ||y
1
||
1
≥ 0.
||x|| = ||x
1

||
1
+ ||y
1
||
1
= 0 =⇒ ||x
1
||
1
= ||y
1
||
1
= 0 =⇒ x
1
= y
1
= 0 =⇒ x = 0.
||tx|| = ||tx
1
||
1
+ ||tx
2
||
2
= |t|||x
1
||

1
+ |t|||x
2
||
2
= |t|||x||.
Vậy (E, ||.||) là một không gian định chuẩn nếu n = 2.
Giả sử bài toán đúng nếu n = k. Cho (E
1
, ||.||
1
), · · ·, (E
k+1
, ||.||
k+1
) là k + 1 không gian định chuẩn
trên Φ. Đặt
E = E
1
× · · · E
k
.
||x||
E
= ||x
1
||
1
+ · · · + ||x
n

||
k
∀ x = (x
1
, · · · , x
k
) ∈ E.
Theo giả thiết qui nạp toán học (E, ||.||
E
) là một không gian định chuẩn.
Đặt F = E × E
k+1
và
||(x, y)||
F
= ||x||
E
+ ||y||
E
k+1
.

Theo trường hợp n = 2, ta có (F, ||.||
F
) là một không gian định chuẩn. Từ đó bài toán đúng cho trường
hợp n = k + 1.
1.3.7ii Cho (E
1
, ||.||
1

), · · ·, (E
n
, ||.||
n
) và (E, ||.||) như trong bài 1.3.7i. Cho {(x
1,m
, · · · , x
n,m
)}
m
là
một dãy trong E. Chứng minh {(x
1,m
, · · · , x
n,m
)}
m
hội tụ về (a
1
, · · · , a
n
) trong (E, ||.||) nếu và chỉ nếu
{x
i,m
}
m
hội tụ về a
i
với mọi i = 1, · · · n.
Giải

Cho {(x
1,m
, · · · , x
n,m
)}
m
hội tụ về (a
1
, · · · , a
n
) trong (E, ||.||). Ta chứng minh {x
i,m
}
m
hội tụ về a
i
với mọi i = 1 , · · · n. Với mọi số thực dương ε, ta tìm được một số nguyên N(ε) sao cho
||(x
1,m
, · · · , x
n,m
) − (a
1
, · · · , a
n
)|| < ε ∀ m ≥ N (ε)
hay
||(x
1,m
− a

1
, · · · , x
n,m
− a
n
)|| < ε ∀ m ≥ N (ε)
hay
||(x
1,m
− a
1
||
1
· · · + ||x
n,m
− a
n
||
n
< ε ∀ m ≥ N (ε)
11
Từ đó
||(x
i,m
− a
i
||
i
< ε ∀ m ≥ N (ε), i = 1, · · · , n.
Vậy {x

i,m
}
m
hội tụ về a
i
với mọi i = 1, · · · n.
Nay giả sử {x
i,m
}
m
hội tụ về a
i
với mọi i = 1, · · · n . Lúc đó, với một số thực dương ε
′
, ta có các số
nguyên dương M
i
(ε
′
) sao cho
||(x
i,m
− a
i
||
i
< ε
′
∀ m ≥ M(ε
′

), i = 1, · · · , n.
Vậy
||(x
1,m
, · · · , x
n,m
)−(a
1
, · · · , a
n
)|| = ||(x
1,m
−a
1
||
1
· · ·+||x
n,m
−a
n
||
n
< nε
′
∀ m ≥ max{M
1
(ε
′
), · · · , M
n

(ε
′
)}.
Cho một số thực dương ε, đặt ε
′
=
ε
n
và N(ε) = max{M
1
(ε
′
), · · · , M
n
(ε
′
)}, ta có
||(x
1,m
, · · · , x
n,m
) − (a
1
, · · · , a
n
)|| < ε ∀ m ≥ N (ε)
Vậy {(x
1,m
, · · · , x
n,m

)}
m
hội tụ về (a
1
, · · · , a
n
) trong (E, ||.||).
1.5.8i,ii Cho (E
1
, ||.||
1
), · · ·, (E
n
, ||.||
n
) và (E, ||.||) như trong bài 1.3.7i. Đặt
pr
i
(x) = x
i
∀ x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ E, i = 1, · · · , n.
(a) Chứng minh pr
i
là một ánh xạ liên tục từ E vào E
i
.

(b) Cho V là một tập trong E, chứng minh pr
i
(V ) là một tập mở tronjg E
i
.
Giải
(a) Cho x = (x
1
, · · · , x
n
) trong E và ε > 0, ta sẽ tìm δ > 0 sao cho
||pr
i
(z) − pr
i
(x)||
i
< ε ∀ z ∈ E, ||z − x|| < δ.
hay
||z
i
− x
i
||
i
< ε ∀ z ∈ E, ||z
1
− x
1
||

1
+ · · · + ||z
n
− x
n
||
n
< δ.
Từ trên ta có thể chọn δ = ǫ.
(b) Cho x
i
∈ pr
i
(V ), ta có x = (x
1
, · · · , x
n
) trong V sao cho x
i
= pr
i
(x). Theo bài 1.1.2, có r > 0
sao cho B(x, r) ⊂ V . Ta thấy B
E
1
(x
1
,
1
n

r) × · · · × B
E
n
(x
1
,
1
n
r) ⊂ V . Do đó
B
E
i
(x
i
,
1
n
r) ⊂ f(V ).
12
Vậy f(V ) là một tập mở.
1.5.8iii Cho (E
1
, ||.||
1
), · · ·, (E
n
, ||.||
n
), (E, ||.||) và p r
i

như trong bài 1.3.8i. Cho A là một tập con
trong một không gian định chuẩn (F, ||.||
F
), và f là một ánh xạ từ A vào E. Chứng minh f liên tục
trên A nếu và chỉ nếu pr
i
◦ f liên tục trên A với mọi i = 1, · · · , n.
Giải
Cho {x
m
} là một dãy hội tụ về x trong A. Theo bài 1.3.7i i, {f (x
m
)} hội tụ về f (x) nếu và chỉ
nếu {pr
i
(f(x
m
))} hội tụ về pr
i
(f(x)) vớ i mọi i = 1, · · · , n. Vậy ta có kết quả.
2.1.1 Cho (E, ||.||
E
) và
(F, ||.||
F
) là hai không gia n định chuẩn, và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F . Chứng minh các
tính chất sau đây tươ ng đương với nhau
(i) T liên tục trên E.
(ii) T liên tục tại 0.
(iii) Có số thực dương M sao cho

||T x||
F
≤ M ||x|
E
| ∀ x ∈ E.
Giải
• (i) =⇒ (ii) : hiển nhiên.
• (ii) =⇒ (iii)
Cho ε = 1 > 0, ta có một δ > 0 sao cho
||T (y) − T (0)||
F
< ε ∀ y ∈ E, ||y − 0||
E
≤ δ
hay
||T (y)||
F
≤ ε = 1 ∀ y ∈ E, ||y||
E
≤ δ
Cho x = 0, đặt y = δ||x||
−1
E
x. Ta có ||y= δ và
||T (δ||x||
−1
E
x)||
F
= ||T (y)||

F
≤ 1
hay
δ||x||
−1
E
||T (x)||
F
≤ 1
hay
||T (x)||
F
≤ δ
−1
||x||
F
13
Đặt M = δ
−1
, ta có (iii).
• (iii) =⇒ (i)
Cho y và z trong E, từ (iii) ta có
||T (y) − T (z)||
F
= ||T (y − z)||
F
≤ M ||y − z ||
E
∀ y, z ∈ E.
Vậy vớ i mọi ε, chọn δ = M

−1
ε, ta có
||T (y) − T (z)||
F
≤ ε ∀ y, z ∈ E, ||y − z||
E
≤ δ.
2.3.4 Cho (E, ||.||
E
) và (F, ||.||
F
) là hai không gian định chuẩn, và T là một ánh xạ tuyến tính từ E
vào F . Đặt
||T || = sup{||T (x)||
F
: x ∈ E, ||x||
E
≤ 1}.
Chứng minh
(i) ||T || = T
1
≡ sup{||T (y)||
F
: y ∈ E, ||y||
E
= 1}.
(ii) ||T || = T
2
≡ sup{||T (z)||
F

: z ∈ E, ||z||
E
< 1}.
(iii) ||T u||
F
≤ ||T ||||u||
E
∀ u ∈ E.
Giải
(i) Ta thấy T ≥ T
1
. Cho x trong E sao cho 0 ≤ ||x||
E
≤ 1. Đặt y = ||x||
−1
E
x. Vì ||y||
E
= 1, nên
||T (||x||
−1
E
x)||
F
= ||T (y)||
F
≤ T
1
hay
||||x||

−1
E
T (x)||
F
≤ T
1
hay ||T (x)||
F
≤ T
1
||x||
E
≤ T
1
Vậy T ≤ T
1
. Từ đó T = T
1
.
(ii) Ta thấy T ≥ T
2
. Cho x trong E sao cho ||x||
E
≤ 1. Đặt y
n
= (1 −
1
n
)x với mọi số nguyên
dương x. Vì ||y

n
||
E
≤ (1 −
1
n
< 1, ta có
(1 −
1
n
)||T x||
F
= ||T ((1 −
1
n
)x)||
F
≤ T
2
hay ||T (x)||
F
≤ (1 −
1
n
)
−1
T
2
∀ n ∈ IN.
Vậy

||T (x)||
F
≤ T
2
.
14
Từ đó T ≤ T
2
.
(iii) Cho x = 0, đặt y = ||x||
−1
E
x. Ta có ||y||
E
= 1 và
||x||
−1
E
||T (x)||
F
= ||T (||x||
−1
E
x)||
F
= ||T (y)||
F
≤ T
hay
||T (x)||

F
≤ T ||x||
E
2.3.2 Cho E = IR
n
với chuẩn
||x||
E
= |x
1
| + · · · + |x
n
| ∀ x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ E.
Cho T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một khô ng gian định chuẩn (F, ||.||
F
). Chứng minh T
liên tục trên E.
Giải
Đặt e
i
= (δ
i
1
, · · · , δ
i
n

với δ
j
j
= 1 và δ
i
j
= 0 nếu i = j. Ta có
x = x
1
e
1
+ · · · + x
n
e
n
∀ x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ E.
Đặt M = max{||T (e
1
)||
F
, · · · , ||T (e
n
)||
F
}. Cho x = (x
1

, · · · , x
n
) trong E, ta có
||T (x)||
F
= ||x
1
T (e
1
) + · · · + x
n
T (e
n
||
F
≤ |x
1
|||T (e
1
)||
F
+ · · · + |x
n
|||T (e
n
||
F
≤ M(|x
1
| + · · · + |x

n
|) ≤ M||x||
E
.
Vậy T liên tục trên E.
3.3.1(i) Cho f là một dạng Hermite dương trong một không gian vectơ E. Đặt ||x|| = f(x, x)
1/2
với
mọi x trong E. Cho a trong E, và đặt
T (x) = f(x, a) ∀ x ∈ E.
Chứng minh T là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và ||T || = ||a||.
Giải
Cho x và y trong E và α trong Φ. Ta có
T (x + y) = f(x + y, a) = f(x, a) + f(y, a) = T(x) + T (y).
15
T (αx) = f(αx, a) = αf (x, a) = αT (x).
|T (x)| = |f(x, a)| ≤ f (x, x)
1/2
f(a, a)
1/2
= ||a||||x||.
Vậy T là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và ||T || ≤ ||a||.

Nếu a = 0, ta có T = 0 và ||T || = ||a||. Nếu a = 0, đặt x = ||a||
−1
a. Ta có ||x|| = 1 và
T (x) = f(x, a) = f (||a||
−1
a, a) = ||a||
−1

f(a, a) = ||a||.
Vậy ||T || ≥ ||a||. Từ đó ||T || = ||a||.
2.3.5 Cho {T
n
} là một dãy ánh xạ tuyến tính liên tục từ một không gian định chuẩn (E, ||.||
E
) vào
một không gian định chuẩn (F, ||.||
F
). Giả sử {||T
n
||} bị chặn và có một ánh xạ tuyến tính T từ E vào
F sa o cho {T
n
(x)} hội tụ về T (x) trong F với mọi x trong E. Chứng minh T liên tục trên E.
Giải
Có số thực dương M sao cho ||T
n
|| ≤ M. Ta có
||T
n
(x)||
F
≤ M ||x||
E
∀ x ∈ E, n ∈ IN.
lim
n→∞
||T (x) − T
n

(x)||
F
= 0 ∀ x ∈ E.
||T (x)||
F
≤ ||T (x) − T
n
(x)|
F
+ ||T
n
(x)||
F
∀ x ∈ E, n ∈ IN.
Từ đó
||T (x)||
F
≤ M ||x||
E
∀ x ∈ E.

Vậy T liên tục trên E.
2.3.5 Cho x là một vectơ khác không trong một không gian định chuẩn (E, ||.||
E
). Chứng minh có
một ánh xạ tuyến tính T từ E vào Φ sao cho ||f || = 1 và f(x) = ||x||.
Giải
Đặt M = {tx : t ∈ Φ}. Ta có M là một không gian vectơ của E. Đặt
g(y) = t||x|| ∀ y = tx, t ∈ Φ.
Cho {y

n
= t
n
x} hội tụ về y = tx. ta có
lim
n→∞
|t
n
||x|| − t||x||| = lim
n→∞
|t
n
− t|||x|| = lim
n→∞
||(t
n
− t)x|| = 0
16
hay
lim
n→∞
(g(y
n
− g(y)) = lim
n→∞
(y
n
− y) = 0 .

Vậy g liên tục trê n M . Ta có g(x) = 1 và

||g(tx)||
F
= |t|||x||
E
= ||tx||
E
.
Vậy ||g|| = 1. Dùng định lý Hahn-Banach , ta có ánh xạ f.
3.3.3 Cho {a
1
, · · · , a
n
} là một họ trực chuẩn trong một không gian Hilber t E và {c
1
, · · · , c
n
} một họ
phần tử trong Φ. Chứng minh
(i) ||
n

i=1
c
i
a
i
||
2
=
n


i=1
|c
i
|
2
.
(ii) {a
1
, · · · , a
n
} độc lập tuyến tính.
Giải
(i) Ta có
||
n

i=1
c
i
a
i
||
2
=<
n

i=1
c
i

a
i
,
n

j=1
c
j
a
j
>=
n

i,j=1
c
i
c
j
< a
i
, a
j
>=
n

i=1
|c
i
|
2

.
(ii) Nếu
n

i=1
c
i
a
i
= 0. Theo (i) ta có
n

i=1
|c
i
|
2
= 0.
Vậy c
1
= · · · = c
n
= 0. Do đó {a
1
, · · · , a
n
} độc lập tuyến tính.
3.3.4 Cho {a
m
} là một dãy các vectơ trực chuẩn trong một không gian Hilbert E và {c

n
} là một dãy
trong Φ sao cho
∞

n=1
|c
n
|
2
< ∞. Chứng minh
(i)
∞

k=1
c
k
a
k
hội tụ trong E.
(ii) ||
∞

n=1
c
k
a
k
||
2

=
∞

k=1
|c
k
|
2
.
Giải
(i) Đặt x
n
=
n

k=1
c
k
a
k
. Cho n > m, ta có
||x
n
− x
m
||
2
= ||
n


k=m+1
||
2
=
n

k=m+1
|c
k
|
2
.
17
Vì
∞

n=1
|c
n
|
2
< ∞, ta thấy {x
n
} là một dãy Cauchy, nên {x
n
} hội tụ về x =
∞

k=1
c

k
a
k
trong H.
(ii) Ta có
||x||
2
= lim
n→∞
||x
n
||
2
hay
||
∞

k=1
c
k
a
k
||
2
= lim
n→∞
||
n

k=1

c
k
a
k
||
2
= lim
n→∞
n

k=1
|c
k
|
2
=
∞

k=1
|c
k
|
2
.
18