ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013.Môn : Toán- Lớp 9 pot

PGD KRÔNG PẮC ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 – 2013
TRƯỜNG THCS EA YÔNG Môn : Toán- Lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1: (3điểm): Cho A =
4
x x
x x
x
+
− − +

a) Rút gọn A.
b) Tìm
x
để A nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2 : (2điểm): Giải hệ phương trình:
2007 2007
2007 2007
x y
x y

+ + =


+ + =


Bài 3 : (3điểm): Giải phương trình:
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +

Bài 4 : (3điểm): Cho
0, 0x y> >
và
4x y+ =
Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
2
2
1 1
1994,5x y
x y
 
 
+ + + +
 ÷
 ÷
 
 
.
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BM vuông góc với AC, gọi N là trung
điểm của AM, P là trung điểm của CD. Chứng minh:
·
90BNP = °
.
Bài 6: (3 điểm) Cho
ABC∆
( AB = AC). Đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AC, gọi
O là trung điểm của EH.
Chứng minh: AO
⊥
BE

Bài 7: (3 điểm) Cho
ABC∆
Có AB = c, AC = b, BC = a.
Chứng minh rằng:
1
2 2 2 8
A B C
Sin Sin Sin× × ≤
*********************** Hết ************************
PGD KRÔNG PẮC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – NĂM HỌC
2007 – 2008
TRƯỜNG THCS EA YÔNG Môn : Toán- Lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1: a) Đ/K:
0x >
0.5
điểm
A =
4 1x x x− − − +
0.5 điểm
=
2 3x x− +
0.5 điểm
b) A =
( )
2
1 2 2x − + ≥
0x
∀ >
0.5 điểm

MinA = 2
⇔

1x =
(TMĐK) 1.0
điểm
Bài 2:
2007 2007
2007 2007
x y
x y

+ + =


+ + =


ĐK:
0; 0x y≥ ≥
0.5 điểm
⇒

2007 2007x y+ + ≥
0.5 điểm

2007 2007x y+ + ≥
0.5 điểm
Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất
0

0
x
y
=


=

0.5
điểm
Bài 3:
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
ĐK:
3 5
2 2
x≤ ≤
0.5 điểm
Áp dụng Bunnhiacopski
VT:
2 2
1. 2 3 1. 5 2 (1 1 )(2 3 5 2 ) 2x x x x− + − ≤ + − + − =
(1) 0.5 điểm
VP:
2 2
3 12 14 3( 2) 2 2x x x− + = − + ≥

x
∀
(2) 0.5

điểm
⇒
Phương trình:
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
có nghiệm
⇔
Dấu “=” xảy ở (1) và (2)
đồng thời xảy ra.

⇔

2 3 5 2
2
2 0
x x
x
x

− = −

⇔ =

− =


1.5 điểm
Bài 4:
a
∀

,b
∈
R
+
thì
( )
2
2 2
1
2
a b a b+ ≥ +
dấu “=”
⇔
a = b
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b. 0.5 điểm
A =
2 2
2
1 1 1 1 1
1994,5 1994,5
2
x y x y
x y x y
   

 
+ + + + ≥ + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
2
2
1 4 1 4
1994,5 4 1994,5
2 2 4
x y
x y
 
 
≥ + + + = + +
 ÷
 ÷
+
 
 
= 2007 1.0
điểm
⇒
A
2007
≥
Do đó MinA = 2007
4
2

x y
x y
x y
+ =

⇔ ⇔ = =

=

0.5 điểm
Bài 5:

Gọi I là trung điểm của BM.
NI cắt BC tại E.
Ta có NI là đường trung bình của
BMA∆
.
⇒
NI // AB và NI =
1
2
AB. 0.5
điểm
AB
⊥
BC
⇒
NI
⊥
BC tại E 0.5

điểm
⇒
I là trực tâm của
BCN∆
⇒
CI
⊥
BN (1) 0.5 điểm
Ta có:
1
2
1
2
IN AB
CP CD

=




=


mà AB = CD
⇒
IN = CP
⇒
CINM là hình bình hành
⇒

CI // NP (2)
0.5 điểm

//
//
//
IN AB
IN CP
AB CP

⇒


0.5 điểm
Từ (1) và (2)
⇒
NP
⊥
BN tại N
⇒

·
90BNP = °
0.5
điểm
Bài 6:
Kẻ BD
⊥
AC
⇒

·
·
CBD HAC=
( cùng phụ với
µ
C
)

⇒

BDC
∆

S

EAH∆
(gg)
⇒

BC CD
AH EH
=
0.5
điểm
I
N
M
P
D

C
B
A
BDC
∆
có BH = HC (
ABC
∆
cân tại A)
⇒
DE = EC =
2
CD
0.5
điểm
HE // BD (cùng
⊥
AC)
⇒
2
2
BC CD CE CE
AH EH HO HO
= = =
0.5 điểm
CBE
∆
và
HAO
∆

có
·
·
BCE AHO=
(
DBC
∆
S

EAH∆
)
BC CE
AH HO
=
⇒

CBE
∆

S

HAO
∆
(c.g.c)
⇒

·
·
CBE HAO=
0.5 điểm

Gọi K là giao điểm của AH và BE.
Ta có:
·
¶
1
90CBE K+ = °
⇒

·
¶
1
90HAO K+ = °
(Vì
¶
¶
·
·
1 2
,K K CBE HAO= =
) 0.5 điểm
⇒
AO
⊥
BE. 0.5
điểm
Bài 7:
Kẻ phân giác AD của
·
BAC

kẻ BE
⊥
AD; CF
⊥
AD
∆
BED vuông tại E
⇒
BE
≤
BD
∆
CFD vuông tại F
⇒
CF
≤
CD
⇒
BE + CF
≤
BD + CD = a 0.5
điểm
∆
ABE (
µ
E
= 1v)
⇒
BE = AB. SinA
1

= c. sin
2
A
0.5
điểm
∆
ACF (
µ
F
= 1V)
⇒
CF = AC. SinA
2
= b. sin
2
A
0.5 điểm
⇒
BE + CF = (b + c) sin
2
A

≤
a
⇒
sin
2
A

≤

a
b c+
0.5
điểm
b>0; c>0 áp dụng bất đẳng thức Côsi: b + c
2 bc≥

⇒

2
a a
b c
bc
≤
+
⇒
Sin
2
A
≤
2
a
bc

0.5 điểm
H
2
1
O

K
E
D
C
B
A
c
b
a
F
E
C
B
A
2
1
Tương tự ta cũng có: Sin
2
2
B b
ac
≤
; Sin
2
2
C c
ab
≤

⇒

Sin
2
A
. Sin
2
B
. Sin
2
C

≤

2
a
bc
.
2
b
ac
.
2
c
ab
=
1
8
0.5 điểm
************************************