Toán cao cấp potx

HỌC PHẦN :
HỌC PHẦN :
TOÁN CAO
TOÁN CAO
C
C
ẤP 1
ẤP 1
Giảng viên : Trần Thị Phương
Email:
Số tín chỉ: 4 ( 60
tiết )

www.themegallery.com
LOGO
MỤC TIÊU HỌC PHẦN:
1. Mục tiêu kiến thức:


Học phần này sẽ trang bị cho sinh viên khối kiến
thức về phép tính vi phân, tích phân hàm một biến .
Sinh viên tiếp cận với khối kiến thức mới về Đại số
tuyến tính: Ma trận – định thức, hệ phương trình tuyến
tính, không gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính.


Khi nghiên cứu học phần này sinh viên sẽ được tiếp
cận các phương pháp, các công cụ giải toán đồng thời
là cơ sở để nghiên cứu các môn toán tiếp theo. Thông
qua đó nâng cao được khả năng tư duy toán học cũng
như các học phần khác cho sinh viên.

www.themegallery.com
LOGO
2. Mục tiêu kỹ năng:
Từ các kiến thức lý thuyết, sinh viên phải thành thạo
các kỹ năng sau:

Kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến hàm
số một biến số: đạo hàm, vi phân, giới hạn hàm số,
tích phân hàm một biến số.

Thành thạo trong việc giải quyết các bài toán về ma
trận, định thức.

Giải quyết một số bài toán cơ bản liên quan đến
Không gian véc tơ và Ánh xạ tuyến tính

www.themegallery.com
LOGO
3. Mục tiêu thái độ:

Chủ động, tích cực trong học tập.

Nâng cao tinh thần tự nghiên cứu, sáng tạo.

Tính kỹ luật cao trong học tập, trong làm việc nhóm.

Rèn luyện tính cẩn thận.

Nâng cao khả năng làm việc nhóm

www.themegallery.com
LOGO
YÊU CẦU ĐỐI VỚI SINH VIÊN

Chủ động học tập, tự nghiên cứu

Thực hiện đầy đủ các yêu cầu của giảng viên

Chuẩn bị bài trước khi lên lớp.

Làm bài tập về nhà.

Làm các bài tập nhóm.

Làm đầy đủ các bài kiểm tra.

www.themegallery.com
LOGO
ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP
1. Điểm quá trình ( 30%):

3 cột điểm thành phần ( chuyên cần , bài tập nhóm,
một cột điểm kiểm tra ).

1 cột điểm giữa kỳ.
2. Điểm kết thúc học phần ( 70%)
Hình thức thi : tự luận

www.themegallery.com

LOGO
GIÁO TRÌNH HỌC TẬP
1. Tài liệu học tập:
[1] Giáo trình Toán học cao cấp, tập 1. Nguyễn Đình Trí, (Dành cho
sinh viên các trường cao đẳng), NXB Giáo dục.
[2] Bài tập Toán học cao cấp, tập 1. Nguyễn Đình Trí, (Dành cho
sinh viên các trường cao đẳng), NXB Giáo dục.
2. Tài liệu tham khảo:
[1] Toán cao cấp - phần giải tích. Thái Xuân Tiến, Đặng Ngọc Dục.
Tủ sách Đại học Kinh tế Đà Nẵng.
[2] Bài tập Toán cao cấp-phần giải tích. Thái Xuân Tiến, Đặng Ngọc
Dục., Tủ sách Đại học kinh tế Đà Nẵng.
[3] Phép tính vi tích phân, tập 1. Phan Quốc Khánh, NXB Giáo dục.
[4] Giải tích hàm một biến, tập 1. Đỗ Công Khanh Tủ sách Đại học
Đại cương

www.themegallery.com
LOGO
Chương 1: Tập hợp & ánh xạ . Số thực & sốphức
Chương 1: Tập hợp & ánh xạ . Số thực & sốphức
Chương 2: Hàm số một biến số
Chương 2: Hàm số một biến số
Chương 3: Các định lí về giá trị TB & UD
Chương 3: Các định lí về giá trị TB & UD
Chương 4: Định thức – ma trận- HPTTT
Chương 4: Định thức – ma trận- HPTTT
Chương 5: Không gian véc tơ
Chương 5: Không gian véc tơ
Chương 6: Tích phân hàm một biến số
Chương 6: Tích phân hàm một biến số

NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH

www.themegallery.com
LOGO
SỐ PHỨC
TẬP HỢP
ÁNH XẠ
SỐ THỰC
Chương 1: Tập hợp – ánh xạ.
Số thực - số phức

www.themegallery.com
LOGO
1.2 ÁNH XẠ
Thí dụ:
Cho hai tập X, Y và một quy luật f liên hệ giữa các phần
tử cuả X và một số phần tử của Y như sau:
1) X = Y = R
x ∈ R liên hệ với y ∈ R bởi y = x
3
2) X = R, Y = R
+

x ∈ X liên hệ với y ∈ Y bởi y = x
2
3) X = R, Y = ∅
x ∈ X liên hệ với y ∈ Y bởi y = x + 2

www.themegallery.com
LOGO

1.2 ÁNH XẠ
1.2.1 Định nghĩa:
Cho hai tập X, Y khác ∅. Ta gọi ánh xạ từ tập X vào tập
Y là một quy luật cho ứng với mỗi phần tử bất kỳ x∈ X có
duy nhất một phần tử tương ứng xác định y ∈ Y. Kí hiệu:
f, g, h,…
Kí hiệu:
)(
:
xfyx
YXf
=
→

•
X được gọi là tập hợp nguồn, Y được gọi là tập hợp
đích.
•
Phần tử y được gọi là ảnh của x và x được gọi là nghịch
ảnh của y

www.themegallery.com
LOGO
1.2.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh:
1.2 ÁNH XẠ
)()(,,
212121
xfxfxxXxx ≠⇒≠∈∀
1. Đơn ánh:
Ánh xạ f : X → Y gọi là đơn ánh nếu:

Ví dụ:
f là đơn ánh.
x y = f(x) = 2x

f: R → R
g: R → R
x y = f(x) = x
3
+ 1

f là đơn ánh.

www.themegallery.com
LOGO
2. Toàn ánh
Ánh xạ f : X → Y gọi là toàn ánh nếu:
Với mỗi phần tử bất kỳ y ∈Y tồn tại ít nhất 1 phần tử x
∈X sao cho y = f(x)
1.2 ÁNH XẠ
Ví dụ:
f: R → R
+
x y= f(x)= x
2


+
∈∀ Ry
Ryx ∈=
Ánh xạ f là một toàn ánh. Vì:

ta luôn tìm được: hay
Ryx ∈−=
thoả mãn:
)(
2
xfxy ==

www.themegallery.com
LOGO
1.2 ÁNH XẠ
Ánh xạ f: X→Y gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa
là toàn ánh, hay với mọi phần tử y ∈Y tồn tại duy nhất
một phần tử x ∈X là tạo ảnh của y
3. Song ánh:
Ví dụ:
Cho f : R
→
R
53)( +== xxfyx 
f là một song ánh.
Vì:
Với mỗi phần tử y ∈ R ta luôn tìm được duy nhất một
R
y
x ∈
−
=
3
5
thoả mãn y = 3x + 5 = f(x)

www.themegallery.com
LOGO
Ví dụ:
1.2 ÁNH XẠ
Phân loại các ánh xạ sau đây:
1) f : R
→
R
1)(
3
+== xxfyx 
2) f : R
→
R
2
)( xxfyx ==
3) f : R
+

→
R
+

2
)( xxfyx ==
4) f : R
→
R
32)(

2
−+== xxxfyx 
5) f : [4,9] → [21,96]
32)(
2
−+== xxxfyx 
6) f : R
→
R
*
+

1
)(
+
==
x
exfyx 

www.themegallery.com
LOGO
1.2 ÁNH XẠ
1.2.3. Ánh xạ ngược:
1. Định nghĩa:
Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó với mỗi y ∈ Y
có một và chỉ một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y, nên
ta cũng xác định được một ánh xạ tương ứng từ Y vào
X, kí hiệu f
-1
(x), thoả.

)(fxy
X:
1-
1
y
Yf
=
→
−

với y = f(x)
Ánh xạ f
-1
gọi là ánh xạ ngược của f

www.themegallery.com
LOGO
Ví dụ :
32)(
:
+==
→
xxfyx
RRf

Cho ánh xạ
Ta có f là một song ánh và ánh xạ ngược của f là f
-1
2
3

)(
:
1
1
−
==
→
−
−
y
yfxy
RRf

1.2 ÁNH XẠ

www.themegallery.com
LOGO
1.2 ÁNH XẠ
1.2.4. Ánh xạ hợp ( tích ):
1. Định nghĩa: Cho f : X → Y và g : Y → Z
mỗi x ∈ X ta có y = f(x) ∈ Y và có z = g(y) = g[f(x)] ∈ Z.
Như vậy tồn tại 1 ánh xạ h : X → Z sao cho:
với mỗi x ∈ X ta có z = h(x) thỏa z = g[f(x)].
Ta gọi h là ánh xạ hợp ( tích ) của ánh xạ f và g.
Kí hiệu: h = g
0
f

www.themegallery.com
LOGO

Ví dụ : Cho f : R
→
R
3)(
2
+== xxfyx 
g : R
→
R
yxgzy cos)( ==
Khi đó ta có :
h : R
→
R
[ ]
)3cos()3()()(
22
+=+=== xxgxfgxhzx 

www.themegallery.com
LOGO
1.5 SỐ PHỨC
Định
nghĩa
Dạng lượng
giác của
số phức
Các phép
tính
Khai căn

số phức

www.themegallery.com
LOGO
1.5.1 ĐỊNH NGHĨA
1. Định nghĩa:
Số phức là số có dạng z = a + ib ( i
2
= -1 ), trong đó a, b ∈ R
•
a gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez.
•
b gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu là Imz.
2. Ví dụ:
1) z = 2 + 3i 3) z = 3( số thực là trường hợp riêng của số phức)
2) z = -2 - i 5) z = 4i ( số ảo thuần tuý)
3) z = -3 – i 6) z = 0
Tập hợp tất cả các số phức kí hiệu là C

www.themegallery.com
LOGO

Số phức - z = - a – bi gọi là số phức đối của z

Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, kí hiệu


z
Ví dụ: cho số phức z = 3 + 5i
thì ta có –z = -3 – 5i,

iz 53 −=

www.themegallery.com
LOGO
1.5.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
1. Phép cộng các số phức:
Cho hai số phức z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Tổng của hai số phức z
1

+ z
2
là số phức z thoả mãn z = z
1
+ z
2
= (a
1
+a

2
) + i (b
1
+ b
2
)
2.Ví dụ: Cho hai số phức z
1
= 3 - 4i , z
2
= -2 + 7i , z
3
= 1 - i
z
1
+ z
2
=
z
1
- z
2
=
z
1
+ z
2
+ z
3
=

z
1
+ 0 =
( 3 – 2) + i(-4 + 7) = 1 + 3i
( 3 + 2) + i(-4 - 7) = 5 - 11i
( 3 – 2 + 1) + i(-4 + 7 - 1) = 2 +2i
z
1
= 3 – 4i

www.themegallery.com
LOGO
1.5.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
1. Phép nhân các số phức:
Cho 2 số phức: z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
Tích của hai số phức z
1
, z
2

, là số phức, kí hiệu là z
1
.z
2
xác định bởi:
z
1
.z
2
= (a
1
+ ib
1
). (a
2
+ ib
2
) = a
1
(a
2
+ ib
2
) + ib
1
(a
2
+ ib
2
)

= a
1
a
2
+ ia
1
b
2
+ ib
1
a
2
+ i
2
b
1
b
2

= a
1
a
2
– b
1
b
2
+ i(a
1

b
2
+ a
2
b
1
)

www.themegallery.com
LOGO
1.5.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
2.Ví dụ: Cho các số phức sau:
31;31;1
321
iziziz +−=+=−=
Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
321
)1 zzz
3
2
)2
z
z
3. Tính chất: