Bài giảng toán cao cấp A2

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
- - - - - - - ( - - - - - - -




BÀI GING
TOÁN CAO CP (A2)
Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG
Ths.  PHI NGA












Lu hành ni b


HÀ NI - 2006
LI NÓI U

Toán cao cp A
1
, A

2
, A
3
là chng trình toán đi cng dành cho sinh viên các nhóm ngành
toán và nhóm ngành thuc khi k thut. Ni dung ca toán cao cp A
1
, A
3
ch yu là phép tính
vi tích phân ca hàm mt hoc nhiu bin, còn toán cao cp A
2
là các cu trúc đi s và đi s
tuyn tính. Có khá nhiu sách giáo khoa và tài liu tham kho vit v các ch đ này. Tuy nhiên
vi phng thc đào to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên làm vic đc lp nhiu
hn, do đó cn phi có tài liu hng dn hc tp thích hp cho tng môn hc. Tp tài liu hng
dn hc môn toán cao cp A
2
này đc biên son cng nhm mc đích trên.
Tp tài liu này đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca Hc vin Công
ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi
hc k thut, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông
biên son nm 2001 và theo kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình
này cng có th dùng làm tài liu hc tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các
ngành đi hc và cao đng.
Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc
cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn
gii thiu ca mi chng cng nh mc đích ca chng (trong sách Hng dn hc tp Toán
A2 đi kèm) đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi
ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ
ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m rng tng

quát hn các kt qu. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: t bài toán, chng minh
s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là
đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng
hn khi tip thu bài hc.
Giáo trình gm 7 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit):
Chng I: Lô gích toán hc, lý thuyt tp hp, ánh x và các cu trúc đi s.
Chng II: Không gian véc t.
Chng III: Ma trn.
Chng IV: nh thc.
Chng V: H phng trình tuyn tính
Chng VI: Ánh x tuyn tính.
Chng VII: Không gian véc t Euclide và dng toàn phng.
Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa hc khác, toán hc còn đc xem là mt
ngành khoa hc có phng pháp t duy lp lun chính xác cht ch. Vì vy vic hc toán cng
giúp ta rèn luyn phng pháp t duy. Các phng pháp này đã đc ging dy và cung cp
tng bc trong quá trình hc tp  ph thông, nhng trong chng I các vn đ này đc h
thng hoá li. Ni dung ca chng I đc xem là c s, ngôn ng ca toán hc hin đi. Mt
vài ni dung trong chng này đã đc hc  ph thông nhng ch vi mc đ đn gin. Các
cu trúc đi s thì hoàn toàn mi và khá tru tng vì vy đòi hi hc viên phi đc li nhiu
ln mi tip thu đc.
Các chng còn li ca giáo trình là đi s tuyn tính. Kin thc ca các chng liên h
cht ch vi nhau, kt qu ca chng này là công c ca chng khác. Vì vy hc viên cn thy
đc mi liên h này. c đim ca môn hc này là tính khái quát hoá và tru tng cao. Các
khái nim thng đc khái quát hoá t nhng kt qu ca hình hc gii tích  ph thông. Khi
hc ta nên liên h đn các kt qu đó.
Tuy rng tác gi đã rt c gng, song vì thi gian b hn hp cùng vi yêu cu cp bách ca
Hc vin, vì vy các thiu sót còn tn ti trong giáo trình là điu khó tránh khi. Tác gi rt mong
s đóng góp ý kin ca bn bè đng nghip, hc viên xa gn và xin cám n vì điu đó.
Cui cùng chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu
Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã

khuyn khích đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài lii này.

Hà Ni, cui nm 2004.
Ts. Lê Bá Long
Khoa c bn 1
Hc Vin Công ngh Bu chính Vin thông
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
1. CHNG 1: M U V LÔGÍC MNH , TP HP
ÁNH X VÀ CÁC CU TRÚC I S
1.1 S LC V LÔGÍC MNH 
1.1.1 Mnh đ
Lôgíc mnh đ là mt h thng lôgích đn gin nht, vi đn v c bn là các mnh đ
mang ni dung ca các phán đoán, mi phán đoán đc gi thit là có mt giá tr chân lý nht
đnh là đúng hoc sai.
 ch các mnh đ cha xác đnh ta dùng các ch cái
...,,
rqp
và gi chúng là các bin
mnh đ. Nu mnh đ
p đúng ta cho p nhn giá tr 1 và p sai ta cho nhn giá tr 0. Giá tr 1
hoc 0 đc gi là th hin ca
p .
Mnh đ phc hp đc xây dng t các mnh đ đn gián hn bng các phép liên kt
lôgích mnh đ.
1.1.2 Các phép liên kt lôgíc mnh đ
1. Phép ph đnh (negation): Ph đnh ca mnh đ
p là mnh đ đc ký hiu
,p
đc là
không

p . Mnh đ
p
đúng khi p sai và
p
sai khi p đúng.
2. Phép hi (conjunction): Hi ca hai mnh đ q
p, là mnh đ đc ký hiu qp ∧ (đc
là
p và ). Mnh đ q qp ∧ ch đúng khi p và q cùng đúng.
3. Phép tuyn (disjunction): Tuyn ca hai mnh đ q
p, là mnh đ đc ký hiu qp ∨
(đc là
p hoc ). q qp ∨ ch sai khi p và cùng sai. q
4. Phép kéo theo (implication): Mnh đ kéo theo , ký hiu , là mnh đ ch
sai khi
p
q
qp ⇒
p đúng sai. q
5. Phép tng đng (equivalence): Mnh đ )()(
pqqp ⇒∧⇒ đc gi là mnh đ
p tng đng , ký hiu . q
qp ⇔
Mt công thc gm các bin mnh đ và các phép liên kt mnh đ đc gi là mt công
thc mnh đ. Bng lit kê các th hin ca công thc mnh đ đc gi là bng chân tr.
T đnh ngha ca các phép liên kt mnh đ ta có các bng chân tr sau

5
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s

10
01
pp

0000
1010
1001
1111
qpqpqp ∨
∧


100
110
001
111
qpqp ⇒
11100
00110
01001
11111
qppqqpqp
⇔⇒⇒

Nh vy là mt mnh đ đúng khi c hai mnh đ
qp ⇔
p và q cùng đúng hoc cùng
sai và mnh đ sai trong trng hp ngc li.
qp ⇔
Mt công thc mnh đ đc gi là hng đúng nu nó luôn nhn giá tr 1 trong mi th hin

ca các bin mnh đ có trong công thc. Ta ký hiu mnh đ tng đng hng đúng là "
≡ "
thay cho " ".
⇔
1.1.3 Các tính cht
Dùng bng chân tr ta d dàng kim chng các mnh đ hng đúng sau:
1)
pp ≡ lut ph đnh kép.
2)
)()( qpqp ∨≡⇒
.
3)
pqqppqqp ∨≡∨∧≡∧ , lut giao hoán.
4)
rqprqp ∧∧≡∧∧ )()(

rqprqp ∨∨≡∨∨ )()( lut kt hp.
5)
[][
)()()( rpqprqp
]
∧∨∧≡∨∧


[][
)()()( rpqprqp ∨
]
∧∨≡∧∨
lut phân phi.
6) Mnh đ

pp ∨
luôn đúng lut bài chung.

pp ∧
luôn sai lut mâu thun.
7)
qpqp ∧≡∨

qpqp ∨≡∧ lut De Morgan.

6
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
8)
pqqp ⇒≡⇒
lut phn chng.
9)
pppppp ≡∧≡∨ ; lut ly đng.
10)
pqpppqpp ≡∨∧≡∧∨ )(;)( lut hp thu.
1.2 TP HP
1.2.1 Khái nim tp hp
Khái nim tp hp và phn t là khái nim c bn ca toán hc, không th đnh ngha qua
các khái nim đã bit. Các khái nim "tp hp", "phn t" xét trong mi quan h phân t ca tp
hp trong lý thuyt tp hp là ging vi khái nim "đng thng", "đim" và quan h đim trên
đng thng đc xét trong hình hc. Nói mt cách nôm na, ta có th xem tp hp nh mt s t
tp các vt, các đi tng nào đó mà mi vt hay đi tng là mt phn t ca tp hp. Có th ly
ví d v các tp hp có ni dung toán hc hoc không toán hc. Chng hn: tp hp các s t
nhiên là tp hp mà các phn t ca nó là các s 1,2,3..., còn tp hp các cun sách trong th vin
ca Hc vin Công ngh Bu chính Vin thông là tp hp mà các phn t ca nó là các cun
sách.

Ta thng ký hiu các tp hp bi các ch in hoa
,...,
BA ,...,YX
còn các phn t bi các
ch thng
,..., y
x Nu phn t x thuc
A
ta ký hiu Ax∈ , nu x không thuc
A
ta ký hiu
Ax∉
. Ta cng nói tt "tp" thay cho thut ng "tp hp".
1.2.2 Cách mô t tp hp
Ta thng mô t tp hp theo hai cách sau:
a) Lit kê các phn t ca tp hp
Ví d 1.1
: Tp các s t nhiên l nh hn 10 là
{ }
9,7,5,3,1
.
Tp hp các nghim ca phng trình 01
2
=−x là
{ }
1,1−
.
b) Nêu đc trng tính cht ca các phn t to thành tp hp
Ví d 1.2
: Tp hp các s t nhiên chn

{
∈= nP  ∈= mmn ,2 }
Hàm mnh đ trên tp hp
D
là mt mnh đ )(xS ph thuc vào bin Dx∈ . Khi cho
bin
x mt giá tr c th thì ta đc mnh đ lôgích (mnh đ ch nhn mt trong hai giá tr hoc
đúng hoc sai).
Nu )(
xS là mt mnh đ trên tp hp
D
thì tp hp các phn t Dx ∈ sao cho )(xS
đúng đc ký hiu
{ }
)(xSDx ∈ và đc gi là min đúng ca hàm mnh đ )(xS .
i) Xét hàm mnh đ )(
xS xác đnh trên tp các s t nhiên : " 1
2
+x là mt s nguyên
t" thì
)2(),1(
SS đúng và )4(),3( SS sai ...

7
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
ii) Mi mt phng trình là mt hàm mnh đ

{ }
{}
1,101

2
−==−∈ xx 
.
 có hình nh trc quan v tp hp, ngi ta thng biu din tp hp nh là min phng
gii hn bi đng cong khép kín không t ct đc gi là gin đ Ven.
c) Mt s tp hp s thng gp
- Tp các s t nhiên 
{ }
...,2,1,0=
.
- Tp các s nguyên
{ }
...,2,1,0 ±±=
.
- Tp các s hu t
{ }
 ∈≠= qpqqp ,,0 .
- Tp các s thc .
- Tp các s phc
{ }
1;,
2
−=∈+== iyxiyxz 
.
1.2.3 Tp con
nh ngha 1.1
: Tp
A
đc gi là tp con ca
B

nu mi phn t ca
A
đu là phn t
ca
B
, khi đó ta ký hiu
BA ⊂
hay
AB ⊃
.
Khi
A
là tp con ca
B
thì ta còn nói
A
bao hàm trong
B
hay
B
bao hàm
A
hay B
cha A.
Ta có:  .
 ⊂⊂⊂⊂
nh ngha 1.2
: Hai tp
A
,

B
bng nhau, ký hiu
,
BA =
khi và ch khi
BA ⊂
và
AB ⊂
.
Nh vy đ chng minh
BA ⊂
ta ch cn chng minh BxAx ∈⇒∈ và vì vy khi
chng minh
BA =
ta ch cn chng minh BxAx ∈⇔∈ .
nh ngha 1.3
: Tp rng là tp không cha phn t nào, ký hiu
.
φ

Mt cách hình thc ta có th xem tp rng là tp con ca mi tp hp.
Tp hp tt c các tp con ca
X
đc ký hiu
)(X
P
. Vy
)(XA
P∈
khi và ch khi

XA ⊂
. Tp
X
là tp con ca chính nó nên là phn t ln nht còn
φ
là phn t bé nht trong
)(X
P
.
Ví d 1.3
:
{}
cbaX ,,=
có
{}{ } { } { } { } { }{}
XaccbbacbaX ,,,,,,,,,,)(
φ
=P
.

8
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ta thy
X
có 3 phn t thì
)(X
P
có 82
3
= phn t. Ta có th chng minh tng quát

rng nu
X
có n phn t thì
)(X
P
có phn t.
n
2
1.2.4 Các phép toán trên các tp hp
1. Phép hp: Hp ca hai tp
A
và
B
, ký hiu
BA∪
, là tp gm các phn t thuc ít
nht mt trong hai tp
A
,
B
.
Vy
()( ) ( )( )
BxAxBAx ∈∨∈⇔∪∈ .
2. Phép giao: Giao ca hai tp
A
và
B
, ký hiu
BA∩

, là tp gm các phn t thuc
đng thi c hai tp
A
,
B
.
Vy
()( ) ( )( )
BxAxBAx ∈∧∈⇔∩∈ .
3. Hiu ca hai tp: Hiu ca hai tp
A
và
B
, ký hiu BA \ hay
BA −
, là tp gm các
phn t thuc
A
nhng không thuc
B
.
Vy
()( ) ( )( )
BxAxBAx ∉∧∈⇔∈ \ .
c bit nu
XB ⊂
thì tp BX \ đc gi là phn bù ca
B
trong
X

và
đc ký hiu là
B
X
C . Nu tp
X
c đnh và không s nhm ln thì ta ký hiu B thay cho
B
X
C .
Ta có th minh ho các phép toán trên bng gin đ Ven:





BA ∩

BA ∪

B
X
C


Áp dng lôgích mnh đ ta d dàng kim chng li các tính cht sau:
1.
ABBA ∪=∪
,

ABBA ∩=∩
tính giao hoán.
2.
CBACBA ∪∪=∪∪ )()( ,

CBACBA ∩∩=∩∩ )()( tính kt hp.
3. )()()(
CABACBA ∪∩∪=∩∪ ,

9
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
)()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ tính phân b.
Gi s
BA,
là hai tp con ca
X
thì:
4.
AXAAAAA =∩=∪= ;;
φ

5.
φ
=∩=∪ AAXAA ;
6.
BABA ∩=∪
;
BABA ∪=∩
lut De Morgan
7.

( )
BA
A
CBAABAABABA
∩
=∩=∩∩=∩= )(\\ .
1.2.5 Lng t ph bin và lng t tn ti
Gi s )(xS là mt hàm mnh đ xác đnh trên tp
D
có min đúng
{ }
)(
)(
xSDxD
xS
∈=
. Khi đó:
a) Mnh đ )(,
xSDx∈∀ (đc là vi mi )(, xSDx∈ ) là mt mnh đ đúng nu
và sai trong trng hp ngc li.
DD
xS
=
)(
Ký hiu ∀(đc là vi mi) đc gi là lng t ph bin.
Khi
D
đã xác đnh thì ta thng vit tt )(, xSx∀ hay
( )
)(, xSx∀

.
b) Mnh đ )(,
xSDx∈∃ (đc là tn ti )(, xSDx∈ ) là mt mnh đ đúng nu
φ
≠
)(xS
D
và sai trong trng hp ngc li.
Ký hiu (đc là tn ti) đc gi là lng t tn ti.
∃
 chng minh mt mnh đ vi lng t ph bin là đúng thì ta phi chng minh đúng
trong mi trng hp, còn vi mnh đ tn ti ta ch cn ch ra mt trng hp đúng.
c) Ngi ta m rng khái nim lng t tn ti vi ký hiu
)(,!
xSDx∈∃ (đc là tn ti
duy nht
)(,
xSDx∈ ) nu có đúng mt phn t.
)(xS
D
d) Phép ph đnh lng t

( )
)(,)(, xSDxxSDx ∈∃⇔∈∀

( )
)(,)(, xSDxxSDx ∈∀⇔∈∃ (1.1)
Ví d 1.4: Theo đnh ngha ca gii hn
εδδε
<−⇒<−<∀>∃>∀⇔=

→
LxfaxxLxf
ax
)(0:;0,0)(lim
.

10
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
S dng tính cht hng đúng )()( qpqp ∨≡⇒ (xem tính cht 1.3) ta có

εδ
<−⇒<−< Lxfax )(0 tng đng vi
( )
( ) ( )
εδ
<−∨=∨≥− Lxfaxax )()( .
Vy ph đnh ca là
Lxf
ax
=
→
)(lim
( ) ( )
εδδε
≥−∧<−<∃>∀>∃ Lxfaxx )(0:;0,0 .
1.2.6 Phép hp và giao suy rng
Gi s
()
là mt h các tp hp. Ta đnh ngha là tp gm các phn t thuc
ít nht mt tp nào đó và là tp gm các phn t thuc mi tp .

Ii
i
A
∈
U
Ii
i
A
∈
i
A
I
Ii
i
A
∈
i
A
Vy
( )
( )
0
;
0 i
Ii
i
AxIiAx ∈∈∃⇔∈
∈
U

( )
( )
i
Ii
i
AxIiAx ∈∈∀⇔∈
∈
;
I
. (1.2)
Ví d 1.5
:
{ }
)1(0 +≤≤∈= nnxxA
n


{ }
)1(11)1(1 ++<≤+−∈= nxnxB
n


[
)
1;0
1
=
∞
=

U
n
n
A
,
[]
1;0
1
=
∞
=
I
n
n
B
.
1.2.7 Quan h
1.2.7.1 Tích  các ca các tp hp
nh ngha 1.4
: Tích  các ca hai tp YX , là tp, ký hiu
Y
X ×
, gm các phn t có
dng
),( y
x trong đó Xx ∈ và Yy∈ .
Vy
{ }
YyXxyxYX ∈∈=× vµ ),( . (1.3)
Ví d 1.6

:
{ }
cbaX ,,= ,
{ }
2,1=Y


{}
)2,(),2,(),2,(),1,(),1,(),1,( cbacbaYX =×

Ta d dàng chng minh đc rng nu
X
có phn t,
Y
có phn t thì n m
Y
X ×
có
phn t.
mn×

11
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Cho là n tp hp nào đó, ta đnh ngha và ký hiu tích  các ca n tp
hp này nh sau:
n
XXX ...,,,
21

{ }

niXxxxxXXX
iinn
,...,2,1,),...,,(...
2121
=∈=××× . (1.4)
Chú ý 1.1
:
1. Khi
XXX
n
=
== ...
1
thì ta ký hiu thay cho
n
X
43421
lÇn n
XX
××... .
2. Tích  các còn đc ký hiu
n
XXX ××× ...
21
∏
∈Ii
i
X
.
3. Gi s

nn
XXxx
××∈ ...),...,(
11
;
nn
XXxx ××∈ ...)',...,'(
11
thì
nixxxxxx
iinn
,...,1,')',...,'(),...,(
11
=∀=⇔=

4. Tích  các ca các tp hp không có tính giao hoán.
1.2.7.2 Quan h hai ngôi
nh ngha 1.5
: Cho tp
φ
≠X , mi tp con
XX ×⊂R
đc gi là mt quan h hai
ngôi trên
X
. Vi Xyx ∈, mà R∈),( yx ta nói x có quan h vi theo quan h y
R
và ta
vit
y

xR .
Ví d 1.7
: Ta xét các quan h sau trên tp các s:

yxyx M
⇔
11
:
RR
x( chia ht cho , )y ∈∀ yx, 

1),(:
22
=
⇔ yxyxRR
x( và nguyên t cùng nhau) y
∈
∀ yx,


yxyx ≤
⇔
33
:
RR
x( nh hn hay bng )y

∈∀ yx,

myxyx M−
⇔
44
:
RR
,

∈∀ yx,
. Ta ký hiu )(mo
dmyx ≡ và đc là
x đng d vi môđulô m. y
nh ngha 1.6: Quan h hai ngôi
R
trên
X
đc gi là có tính:
a) Phn x, nu X
xxx ∈∀,R ;
b) i xng, nu Xy
x ∈∀ , mà yxR thì cng có xyR ;
c) Bc cu, nu Xzy
x ∈∀ ,, mà yxR và zyR thì cng có zxR ;
d) Phn đi xng, nu Xy
x ∈∀ , mà yxR và xyR thì yx = .

12
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.8:
1
R

phn đi xng, bc cu nhng không đi xng, không phn x (vì 0 không
chia ht cho 0).
2
R
đi xng, không phn x, không phn xng, không bc cu.
3
R
phn x,
phn đi xng, bc cu.
4
R
phn x, đi xng, bc cu.
1.2.7.3 Quan h tng đng
nh ngha 1.8
: Quan h hai ngôi
R
trên
φ
≠X đc gi là quan h tng đng nu có
ba tính cht phn x, đi xng, bc cu.
Vi quan h tng đng
R
ta thng vit )(~ Ryx hoc yx ~ thay cho yxR .
Ta đnh ngha và ký hiu lp tng đng ca phn t X
x∈ là tp hp
{
xyXyx ~∈=
}
. Mi phn t bt k ca lp tng đng x đc gi là phn t đi din
ca

x . Ngi ta cng ký hiu lp tng đng ca x là )(xcl .
Hai lp tng đng bt k thì hoc bng nhau hoc không giao nhau, ngha là
'xx ∩
hoc bng
'xx = hoc bng
φ
, nói cách khác các lp tng đng to thành mt phân hoch
các tp con ca
.X
Tp tt c các lp tng đng đc gi là tp hp thng, ký hiu
~X
. Vy
{ }
XxxX ∈=~ .
Ví d 1.9
: Quan h
4
R
trong ví d 1.7 là mt quan h tng đng gi là quan h đng
d môđulô m trên tp các s nguyên . Nu y
x ~ , ta vit
)(mo
dmyx ≡ .
Ta ký hiu tp thng gm m s đng d môđulô m:
{ }
1...,,1,0 −= m
m
 .
Ví d 1.10: Trong tp hp các véc t t do trong không gian thì quan h "véc t
u

r
bng
véc t
v
r
" là mt quan h tng đng. Nu ta chn gc O c đnh thì mi lp tng đng bt
k đu có th chn véc t đi din dng
OA
.
1.2.7.4 Quan h th t
nh ngha 1.8
: Quan h hai ngôi
R
trên
φ
≠X đc gi là quan h th t nu có ba
tính cht phn x, phn đi xng, bc cu.
Ví d 1.11
:
1) Trong , , ,  quan h "" y
x ≤ là mt quan h th t.

13
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s

14
2) Trong  quan h là mt quan h th t.
"" yxM
3) Trong
)(X

P
, tp hp tt c các tp con ca
X
, quan h "tp con" (
BA ⊂
) là mt
quan h th t.
Khái nim quan h th t đc khái quát hoá t khái nim ln hn (hay đng sau) trong
các tp s, vì vy theo thói quen ngi ta cng dùng ký hiu
""
≤
cho quan h th t bt k.
Quan h th t trên tp
""≤
X
đc gi là quan h th t toàn phn nu hai phn t bt
k ca
X
đu so sánh đc vi nhau. Ngha là vi mi Xyx ∈, thì
y
x ≤
hoc
xy ≤
. Quan
h th t không toàn phn đc gi là quan h th t b phn.
Tp
X
vi quan h th t
""
≤

đc gi là tp đc sp. Nu là quan h th t
toàn phn thì
""≤
X
đc gi là tp đc sp toàn phn hay sp tuyn tính.
Ví d 1.12
: Các tp ,
(
),≤
),,(
≤ ),,( ≤ ),( ≤
đc sp toàn phn, còn , và
(
)M
( )
⊂),(XP
đc sp b phn (nu
X
có nhiu hn 1 phn t).
nh ngha 1.9
: Cho tp đc sp ),( ≤X và tp con
XA ⊂
. Tp
A
đc gi là b chn
trên nu tn ti sao cho , vi mi
Xq ∈
qa ≤
Aa∈ . Khi đó đc gi là mt chn trên ca q
A

.
Hin nhiên rng nu là mt chn trên ca
q
A
thì mi Xp ∈ mà
pq ≤
đu là chn
trên ca
A
.
Phn t chn trên nh nht ca q
A
( theo ngha 'qq ≤ , vi mi chn trên ca 'q
A
)
đc gi là cn trên ca
A
và đc ký hiu Aq sup= . Rõ ràng phn t cn trên nu tn ti là
duy nht.
Tng t tp
A
đc gi là b chn di nu tn ti Xp ∈ sao cho
a
p ≤
, vi mi
Aa∈ . Phn t chn di ln nht đc gi là cn di ca
A
và đc ký hiu
Ainf
. Cn

di nu tn ti cng duy nht.
Nói chung
Asup ,
Ainf
cha chc là phn t ca
A
. Nu AAq ∈= sup thì q
đc gi là phn t ln nht ca
A
ký hiu Aq max= .
Tng t nu
AAp ∈= inf thì p đc gi là phn t bé nht ca
A
ký hiu
Ap min= .
Ví d 1.13
: Trong , tp
),( ≤
[
)
{ }
101;0 <≤∈== xxA  có
AA∉= sup1 ,
AA ∈= 0inf

do đó không tn ti
Amax nhng tn ti
0infmi
n == AA
.

Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
1.3 ÁNH X
1.3.1 nh ngha và ví d
Khái nim ánh x đc khái quát hoá t khái nim hàm s trong đó hàm s thng đc
cho di dng công thc tính giá tr ca hàm s ph thuc vào bin s. Chng hn, hàm s
xy 2= vi ∈x  là quy lut cho ng

,21,00 aa
...,63,42 aa
Ta có th đnh ngha ánh x mt cách trc quan nh sau:
nh ngha 1.10
: Mt ánh x t tp
X
vào tp
Y
là mt quy lut cho tng ng mi mt
phn t
X
x∈ vi mt phn t duy nht )(xfy = ca
Y
.
Ta ký hiu hay
YXf ⎯→⎯:
YX
f
⎯→⎯

)(
xfyx =a )(xfyx =a
X

đc gi là tp ngun,
Y
đc gi là tp đích.
Ví d 1.14
:





Y Y Y X X X
Trong 3 tng ng trên ch có tng ng th 3 xác đnh mt ánh x t
X
vào
Y
.
Ví d 1.15
: Mi hàm s )(xfy = bt k có th đc xem là ánh x t tp
D
là min
xác đnh ca
)(
xfy = vào . Chng hn:
Hàm lôgarit
xy ln= là ánh x  →
+
*
:ln

xyx ln=a

Hàm cn bc hai
xy =
là ánh x
 →
+
:


xyx =a
.
nh ngha 1.11
: Cho ánh x YXf →: và
XA ⊂
,
YB ⊂
.
{ }
AxxfAf ∈= )()( (1.5)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

15
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
đc gi là nh ca
A
qua ánh x f .
Nói riêng
fXf Im)( = đc gi là tp nh hay tp giá tr ca f .
{
BxfXxBf ∈∈=
−
)()(
1
}
(1.6)
đc gi là nghch nh ca tp con
B
ca

Y
.
Khi
B
là tp hp ch có mt phn t
{ }
y
thì ta vit )(
1
yf
−
thay cho . Vy
{}(
yf
1−
)
{
)()(
1
xfyXxyf =∈=
−
}
. (1.7)
1.3.2 Phân loi các ánh x
nh ngha 1.12
:
1) Ánh x
YXf →: đc gi là đn ánh nu nh ca hai phn t phân bit là hai phn
t phân bit.
Ngha là: Vi mi

)()(;,
212121
xfxfxxXxx
≠⇒≠∈
hay mt cách tng đng,
vi mi .
;,
21
Xxx ∈
2121
)()( xxxfxf =⇒=
(1.8)
2) Ánh x
YXf →: đc gi là toàn ánh nu mi phn t ca
Y
là nh ca phn t nào
đó ca
X
. Ngha là YXf =)( hay
X
xYy ∈∃∈∀ , sao cho )(xfy = . (1.9)
3) Ánh x
YXf →: va đn ánh va toàn ánh đc gi là song ánh.
Chú ý 1.2
: Khi ánh x YXf →: đc cho di dng công thc xác đnh nh )(xfy =
thì ta có th xác đnh tính cht đn ánh, toàn ánh ca ánh x
f bng cách gii phng trình:

Yyxfy ∈= ),( (1.10)
trong đó ta xem

x là n và là tham bin. y
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) luôn có nghim Xx∈ thì ánh x f là toàn
ánh.
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) có không quá 1 nghim Xx ∈ thì ánh x f
là đn ánh.
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) luôn có duy nht nghim Xx∈ thì ánh x
f là song ánh.

16
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.16: Cho ánh x

Xét phng trình hay .
xxxxxfy +=+==
2
)1()( 0
2
=−+ yxx
Bit s 041 >
+=Δ y (vì ∈y ). Phng trình luôn có 2 nghim thc
( ) ( )
2411,2411
21
yxyx +−−=++−=
. Vì
0
2

<x
nên phng trình có không
quá 1 nghim trong . Vy
f là đn ánh. Mt khác tn ti ∈y  mà nghim  (chng hn
), ngha là phng trình trên vô nghim trong . Vy
∉
1
x
1=y
f không toàn ánh.
Ví d 1.17: Các hàm s đn điu cht:
• ng bin cht:
)()(
2121
xfxfxx
<⇒<

• Nghch bin cht:
)()(
2121
xfxfxx >⇒<
là các song ánh t tp xác đnh lên min giá tr ca nó.
Ví d 1.18
: Gi s
A
là tp con ca
X
thì ánh x

là mt đn ánh gi là nhúng chính tc.
c bit khi
XA =
ánh x
i
đc ký hiu gi là ánh x đng nht ca
X
Id
X
.
Ví d 1.19
: Gi s ~ là mt quan h tng đng thì ánh x sau là mt toàn ánh


1.3.3 Ánh x ngc ca mt song ánh
nh ngha 1.13
: Gi s YXf →: là mt song ánh khi đó vi mi Yy∈ tn ti duy
nht
X
x∈ sao cho )(xfy = . Nh vy ta có th xác đnh mt ánh x t
Y
vào
X
bng cách
cho ng mi phn t
Yy∈ vi phn t duy nht Xx∈ sao cho )(xfy = . Ánh x này đc
gi là ánh x ngc ca
f và đc ký hiu
1−
f .

Vy và
XYf →
−
:
1
)()(
1
xfyxyf =⇔=
−
.
(1.11)
cng là mt song ánh.
1−
f
:
f   →
)1()(
+== xxxfyx a
xxix
X
Ai
=
→
)(
:
a

xxpx
XXp →:
=)(

~
a


17
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.20: Hàm m 1,0, ≠>= aaay
x
là mt song ánh (vì hàm m đn điu cht) có hàm ngc là hàm lôgarit
. yxay
a
x
log=⇔=
Ví d 1.21
Các hàm lng giác ngc
Xét hàm

đn điu tng cht và toàn ánh nên nó là mt song ánh. Hàm ngc đc ký hiu


[ ] [ ]
2;2,1;1,sinarcsin
ππ
−∈−∈∀=⇔= yxxyyx
.
Tng t hàm
[][
1;1;0:cos −→
[ ] [ ]
xx

2:sin
sin
1;12;
a
→−
π π
−

[][ ]
yy arcsin
2;21;1:arcsin
a
ππ
−→−
]
π
đn điu gim cht có hàm ngc
[][]
π
;01;1:arccos →− ;
xyyx cosarccos =⇔=
.
Hàm ngc
arctg
đc xác đnh nh sau
arcotg,
( ) ( )
2;2,;,tgarctg
ππ
−∈∞∞−∈∀=⇔= yxxyyx

.
( ) ( )
π
;0,;,gcotgcotarc ∈∞∞−∈∀=⇔= yxxyyx
.
1.3.4 Hp (tích) ca hai ánh x
nh ngha 1.14
: Vi hai ánh x ZYX
gf
→→ thì tng ng ))(( xfgx a xác đnh mt
ánh x t
X
vào
Z
đc gi là hp (hay tích) ca hai ánh x f và g , ký hiu fg o . Vy
ZXfg →:o có công thc xác đnh nh
))(()(
xfgxfg =o . (1.12)
Ví d 1.22: Cho vi công thc xác đnh nh
  →→ :,: gf
,sin)( xxf =
. Ta có th thit lp hai hàm hp
42)(
2
+= xxg
fg o và gf o t  vào .
4sin2)(,)42sin()(
22
+=+= xxfgxxgf oo .
Qua ví d trên ta thy nói chung

fggf oo ≠ , ngha là phép hp ánh x không có tính
giao hoán.

18
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Nu YXf →: là mt song ánh có ánh x ngc XYf →
−
:
1
, khi đó ta d dàng
kim chng rng
X
Idff =
−
o
1
và
Y
Idff =
−1
o . Hn na ta có th chng minh đc
rng ánh x
YXf →: là mt song ánh khi và ch khi tn ti ánh x XYg →: sao cho
X
Idfg =o
và , lúc đó
Y
Idgf =o
1
−

= fg .
1.3.5 Lc lng ca mt tp hp
Khái nim lc lng ca tp hp có th xem nh là s m rng khái nim s phn t ca
tp hp.
nh ngha 1.15: Hai tp hp
YX ,
đc gi là cùng lc lng nu tn ti song ánh t
X

lên
Y
.
Tp cùng lc lng vi tp
{
đc gi là có lc lng . Vy
}
n,...,2,1 n
X
có lc lng
khi và ch khi
n
X
có phn t. còn đc gi là bn s ca n n
X
, ký hiu XCard hay X .
Quy c lc lng ca
φ
là 0.
nh ngha 1.16: Tp có lc lng hoc 0 đc gi là các tp hu hn. Tp không hu
hn đc gi là tp vô hn. Tp có cùng lc lng vi tp các s t nhiên  hay hu hn đc gi

là tp đm đc.
n
Chú ý 1.3
:
1) Tp vô hn đm đc là tp cùng lc lng vi .
2) Bn thân tp  là tp vô hn đm đc.
3) Ngi ta chng minh đc ,  là tp vô hn đm đc, còn tp  không đm đc.
4) Gi s
YX , là hai tp hu hn cùng lc lng. Khi đó ánh x YXf →: là đn ánh
khi và ch khi là toàn ánh, do đó là mt song ánh.
1.4 GII TÍCH T HP- NH THC NEWTON
1.4.1 Hoán v, phép th
Cho tp hu hn . Mi song ánh t
{
n
xxxE ,...,
21
=
}
E
lên
E
đc gi là mt phép
th, còn nh ca song ánh này đc gi là mt hoán v n phn t ca
E
.
Nu ta xp các phn t ca
E
theo mt th t nào đó thì mi hoán v là mt s đi ch
các phn t này.

c bit nu
{
nE ,...2,1
}
= thì mi phép th đc ký hiu bi ma trn
(1.13)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
)(...)2()1(
...21
n
n
σσσ
σ

19
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
trong đó hàng trên là các s t 1 đn sp theo th t tng dn, hàng di là nh tng
ng ca nó qua song ánh
n
σ
. Còn
[]
)(),...,2(),1( n
σσσ

là hoán v ca phép th
σ
.
Ví d 1.23
: là hoán v t phép th có
[
3124
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3124
4321
σ
4)1( =
σ
,
2)2( =
σ
, 1)3( =
σ
, 3)4( =
σ
.
Tp hp
{

có hai hoán v là
}
2,1
[ ]
21
và
[ ]
12
.
Tp hp
{
có sáu hoán v là
}
3,2,1
[ ]
321
,
[ ]
312
,
[ ]
213
,
[ ]
231
, và
[]
.
[]
132 123

Vi tp thì có n cách chn giá tr
{
n
xxxE ,...,,
21
=
}
)(
1
x
σ
, cách chn giá tr 1−n
)(
2
x
σ
.... cho mt phép th
σ
bt k.
Vy có hoán v (phép th) ca tp phn t. !1)...2)(1( nnnn =−− n
1.4.2 Chnh hp
Cho tp hp hu hn có phn t
n
{ }
n
xxxE ,...,,
21
=
và tp hp hu hn
.

{}
pB ,...,2,1=
nh ngha 1.17: Mt chnh hp lp chp p các phn t ca
E
là nh ca mt ánh x t
B
đn
E
.
Ta cng có th xem mt chnh hp lp chp
p nh mt b gm p thành phn là các phn
t có th trùng nhau ca
E
. Nói cách khác, mt chnh hp lp chp p là mt phn t ca tích
Descartes
p
E
. Vy s các chnh hp lp chp p ca vt là . n
p
n
Ví d 1.24
: Cho vt và tin hành bc có hoàn li n
{
n
xxxE ,...,,
21
=
}
p ln theo cách
sau: Bc ln th nht t tp

E
đc , ta tr li cho
1
i
x
1
i
x
E
và bc tip ln th hai ... Mi kt
qu sau
p ln bc
(
)
p
iii
xxx ,...,,
21
là mt chnh hp có lp chp n
p .
nh ngha 1.18
: Mt chnh hp (không lp) chp p gm phn t ca n )( npE ≤ là
nh ca mt đn ánh t
B
vào
E
.
Hai chnh hp chp n
p là khác nhau nu:
̇ hoc chúng có ít nht mt phn t khác nhau,

̇ hoc gm
p phn t nh nhau nhng có th t khác nhau.
Nh vy ta có th xem mi chnh hp là mt b có
p thành phn gm các phn t khác
nhau ca
E
hay có th xem nh mt cách sp xp phn t ca n
E
vào p v trí.

20
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Có cách chn vào v trí th nht, n 1−n cách chn vào v trí th hai, ... và 1+− pn
cách chn vào v trí th
p . Vy s các chnh hp chp n p là

)!(
!
)1)...(1(
pn
n
pnnnA
p
n
−
=+−−=
(1.14)
1.4.3 T hp
nh ngha 1.19
: Mt t hp vt ca n

E
chp p là mt cách ly ra đng thi p vt t
E
có n vt. Nh vy ta có th xem mt t hp chpn p là mt tp con p phn t ca tp có
phn t
n
E
.
Nu ta hoán v
p vt ca mt t hp thì ta có các chnh hp khác nhau ca cùng p vt này.
Vy ng vi mt t hp
p vt có đúng !p chnh hp ca p vt này. Ký hiu là s các t
hp chp
p
n
C
n
p thì
)!(!
!
! pnp
n
p
A
C
p
n
p
n
−

==
. (1.15)
Ví d 1.25
: a) Có bao nhiêu cách bu mt lp trng, mt lp phó và mt bí th chi đoàn
mà không kiêm nhim ca mt lp có 50 hc sinh.
b) Có bao nhiêu cách bu mt ban chp hành gm mt lp trng, mt lp phó và mt bí
th chi đoàn mà không kiêm nhim ca mt lp có 50 hc sinh.
Gii:
a) Mi kt qu bu là mt chnh hp 50 chp 3.
Vy có cách bu.
600.117484950
3
50
=××=A
b) Mi kt qu bu mt ban chp hành là mt t hp 50 chp 3.
Vy có
600.19
6
484950
!47!3
!50
3
50
=
××
==C
cách bu.
1.4.4 Nh thc Niu-tn
Xét đa thc bc : n
444344421

sèthõa n
n
xxxx )1)...(1)(1()1( +++=+
Khai trin đa thc này ta đc:
1...)1(
2
2
1
1
++++=+
−
−
−
−
n
n
n
n
nn
xaxaxx

21
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
H s ca
p
x bng s cách chn p tha s trong tha s trên. Mi cách chn là mt t
hp chp
n
n
p , do đó .

p
np
Ca =
Vy
011
......)1(
n
pp
n
nn
n
nn
n
n
CxCxCxCx +++++=+
−−

Thay
bax =
(nu ) ta có: 0≠b
∑
=
−−−
=+++=+
n
p
pnpp
n
n
n

nn
n
nn
n
n
baCbCbaCaCba
0
011
...)( (1.16)
Công thc này đc gi là nh thc Niu-tn, đúng vi mi 
∈ba, (k c trng hp
).
0=b
1.4.5 S lc v phép đm
Khi mun đm s phn t ca các tp hu hn ta có th áp dng các cách đm hoán v,
chnh hp, t hp và các công thc sau:
a)
BABABA +=∩+∪ , (công thc cng) (1.17)
b)
BABA ⋅=× , (công thc nhân) (1.18)
c)
{}
B
ABAf =→: , (chnh hp có lp) (1.19)
d)
A
A 2)( =P
, (1.20)
e) Nu
BAf →: song ánh thì BA = . (1.21)

Công thc cng a) thng đc s dng trong trng hp đc bit khi A, B ri nhau
φ
=∩ BA , lúc đó BABA +=∪ .
Công thc nhân b) có th m rng cho k tp bt k

kk
AAAA ⋅⋅
=×× ......
11
(1.22)
Hoc nu mt hành đng H gm k giai đon
k
AA ,...,
1
. Mi giai đon có th thc hin
theo phng án thì c thy có
i
A
i
n
k
nn ×× ...
1
phng án thc hin H.

22
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.26: Cho mch đin

a) Có bao nhiêu trng thái ca mch.
b) Có bao nhiêu trng thái có th ca mch đ có dòng đin chy t A đn B
Gii:
Áp dng công thc nhân ta có:
a) S các trng thái ca mch
51222.2.2
9432
== .
b)  có trng thái nhng có 1 trng thái dòng đin không qua đc, do đó 
có 3 trng thái dòng đin qua đc. Tng t  có
1
U
2
2
1
U
2
U
12
3
−
và  có trng thái
dòng đin qua đc. Vy s các trng thái ca mch có dòng đin chy t A đn B là
.
3
U

12
4
−
3151573 =××
Ví d 1.27
: Có bao nhiêu s t nhiên vit di dng thp phân có ch s trong
đó có đúng hai ch s 8.
n )3( ≥n
Gii: Gi s
N
là s t nhiên có ch s mà ch s th nht bên trái khác ch s 0 và có
đúng hai ch s 8.
n
♦Trng hp 1: Nu ch s th nht bên trái là ch s 8 thì có 1
−n v trí đ đt ch s 8
th hai, có 9 cách chn cho mi ch s 
2
−n v trí còn li. Vy có đúng s
2
9)1(
−
−
n
n
N

thuc loi này.
♦Trng hp 2: Nu ch s th nht bên trái không phi là ch s 8 thì có
2
1

−n
C v
trí đ đt 2 ch s 8, có 8 cách chn ch s cho v trí th nht, có 9 cách chn cho mi ch
s  v trí khác v trí th nht và hai v trí đã chn cho ch s 8. Vy có đúng
3−n
332
1
98
2
)2)(1(
98
−−
−
⋅⋅
−
−
=⋅⋅
nn
n
nn
C
s
N thuc loi này.
S dng công thc cng ta suy ra s các s t nhiên cn tìm là:
332
9)1)(14(9)2)(1(49)1(
−−−
−+=−−+−
nnn
nnnnn

3
U

2
U

1
U

A
B



23
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.28: Trong mt phng cho đng thng đôi mt ct nhau và các giao đim này
khác nhau .
n
)4( ≥n
a) Tìm s các giao đim ca chúng.
b) Tìm s các đng thng mi đc to bi các giao đim trên.
Gii:

a) S các giao đim ca đng thng bng s các cp ca đng thng này. Vy có
giao đim.
n n
2
n
C
b) Xét ti đim
A
bt k trong giao đim ca câu a). Tn ti đúng hai đng trong n
đng trên đi qua
2
n
C
A
là .
jiDD
ji
<;,
Trên mi đng có đúng đim trong s giao đim ca câu a). 1−n
2
n
C
Vy trên có
ji
DD ,
1)1(2
−−n đim, do đó có

2
)3)(2(
)1)1(2(
2
−−
=−−−
nn
nC
n
đng thng mi ni đn
A
. Vì mi đng
thng mi đu ni hai đim  câu a) nên s đng thng mi là:

)3)(2)(1(
8
1
2
)3)(2(
2
1
2
−−−=
−−
nnnn
nn
C
n
.
Ví d 1.29

: Cho tp con
A
có p phn t ca tp
E
có phn t. Hãy đm s các cp n
),(
YX các tp con ca
E
sao cho:
A

j
D

4=n


24
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
AYXEYX ⊃∩=∪ , (1.23)
Gii: Ký hiu
AEB \= .
t
()
{ }
AYXEYXYX ⊃∩=∪= ,,A

( )
{ }
BYXBYBXYX =∪⊂⊂= '';','','B

Tng ng ;
BA →:f
),(),(
BYBXYXf ∩∩a là mt song ánh.
Mt khác
''
\'',',' YXBBYXBYBX ⊂⇔=∪⊂⊂
.
Vy s các cp ),(
YX tho mãn điu kin (1.23) cn tìm bng bn s ca tp
{ }
'",',")',"( YXBYBXYX ⊂⊂⊂ .
Vi mi tp
BY ⊂'
có bn s thì bn s ca tp 'y
{ }
'"" YXX ⊂ là ; S các tp
con
'
2
y
BY ⊂'
có phn t là . Áp dng công thc cng suy ra bn s cn tìm là
.
'y
'y
pn
C
−
∑

−
=
−
−
=
pn
y
pny
pn
y
C
0'
''
32
1.5 CÁC CU TRÚC I S
1.5.1 Lut hp thành trong
nh ngha 1.20
: Mt lut hp thành trong trên tp
φ
≠X là ánh x t
XX ×
vào
X
.
Ta thng ký hiu XXX →
×:*
y
xyx *),( a
Lut hp thành trong kt hp hai phn t y
x, ca

X
thành mt phn t
y
x ∗
ca
X
vì
vy lut hp thành trong còn đc gi là phép toán hai ngôi.
Ví d 1.30
: Phép cng và phép nhân là các lut hp thành trong ca các tp s , , , ,
.
Ví d 1.31: Phép cng véc t theo quy tc hình bình hành là phép toán trong ca tp
các véc t t do trong không gian, nhng tích vô hng không phi là phép toán trong vì
3
R
3
),cos( Rvuvuvu ∉⋅=⋅
rrrrrr
.
nh ngha 1.21
: Lut hp thành trong * ca tp
X
đc gi là:
1) Có tính kt hp nu
zy
xzyxXzyx ∗∗=∗∗∈∀ )()(:,,

25
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
2) Có tính giao hoán nu xyyxXyx ∗=∗∈∀ :,

3) Có phn t trung hoà (hay có phn t đn v) là Xe
∈ nu
xxeexXx =∗=∗∈∀ :
4) Gi s * có phn t trung hoà Xe∈ . Phn t Xx ∈' đc gi là phn t đi xng
ca X
x∈ nu exxxx =∗=∗ '' .
Ta d dàng thy rng phn t trung hoà có phn t đi xng là chính nó.
Các phép hp thành trong hai ví d trên đu có tính kt hp và giao hoán. S 0 là phn t
trung hoà đi vi phép cng và 1 là phn t trung hoà đi vi phép nhân trong. Véc t
r
là phn
t trung hoà ca phép toán cng véc t trong . i vi phép cng thì mi phn t
0
3
R
x trong ,
, ,  đu có phn t đi là
x− . Phn t đi ca 0≠x ng vi phép nhân trong , ,  là
x1
, nhng mi phn t khác trong  vi phép + không có phn t đi. 0
Tính cht 1.4
:
1) Phn t trung hoà nu tn ti là duy nht.
2) Nu * có tính kt hp, thì phn t đi ca mi phn t là duy nht.
3) Nu * có tính kt hp và phn t có phn t đi thì có lut gin c: a
y
xyaxa =⇒∗=∗
và phng trình b
xa =∗ có duy nht nghim bax ∗= ' vi ' là
phn t đi ca .

a
a
Chng minh:
1) Gi s và là hai phn t trung hoà thì e 'e eeee
=∗= '' (du "=" th nht có đc do
là phn t trung hoà, còn du "=" th hai là do là phn t trung hoà).
e 'e
2) Gi s có hai phn t đi xng là 'a và , khi đó: a "a
"")'("')"('' aeaaaaaaaaea
=∗=∗∗=∗∗=∗= .
Theo thói quen ta thng ký hiu các lut hp thành trong có tính giao hoán bi du ""
+ ,
khi đó phn t trung hoà đc ký hiu là 0 và phn t đi ca
x là x− . Nu ký hiu lut hp
thành bi du nhân
"."
thì phn t trung hoà đc ký hiu 1 và gi là phn t đn v, phn t đi
ca
x là
1−
x
.
1.5.2 Nhóm
nh ngha 1.22
: Gi s là tp khác trng vi lut hp thành *, cp đc gi là
mt v nhóm nu tho mãn hai điu kin sau:
G ,*)(G
G1: * có tính kt hp.

26