HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
- - - - - - - ( - - - - - - -
BÀI GING
TOÁN CAO CP (A2)
Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG
Ths. PHI NGA
Lu hành ni b
HÀ NI - 2006
LI NÓI U
Toán cao cp A
1
, A
2
, A
3
là chng trình toán đi cng dành cho sinh viên các nhóm ngành
toán và nhóm ngành thuc khi k thut. Ni dung ca toán cao cp A
1
, A
3
ch yu là phép tính
vi tích phân ca hàm mt hoc nhiu bin, còn toán cao cp A
2
là các cu trúc đi s và đi s
tuyn tính. Có khá nhiu sách giáo khoa và tài liu tham kho vit v các ch đ này. Tuy nhiên
vi phng thc đào to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên làm vic đc lp nhiu
hn, do đó cn phi có tài liu hng dn hc tp thích hp cho tng môn hc. Tp tài liu hng
dn hc môn toán cao cp A
2
này đc biên son cng nhm mc đích trên.
Tp tài liu này đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca Hc vin Công
ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi
hc k thut, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông
biên son nm 2001 và theo kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình
này cng có th dùng làm tài liu hc tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các
ngành đi hc và cao đng.
Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc
cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn
gii thiu ca mi chng cng nh mc đích ca chng (trong sách Hng dn hc tp Toán
A2 đi kèm) đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi
ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ
ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m rng tng
quát hn các kt qu. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: t bài toán, chng minh
s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là
đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng
hn khi tip thu bài hc.
Giáo trình gm 7 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit):
Chng I: Lô gích toán hc, lý thuyt tp hp, ánh x và các cu trúc đi s.
Chng II: Không gian véc t.
Chng III: Ma trn.
Chng IV: nh thc.
Chng V: H phng trình tuyn tính
Chng VI: Ánh x tuyn tính.
Chng VII: Không gian véc t Euclide và dng toàn phng.
Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa hc khác, toán hc còn đc xem là mt
ngành khoa hc có phng pháp t duy lp lun chính xác cht ch. Vì vy vic hc toán cng
giúp ta rèn luyn phng pháp t duy. Các phng pháp này đã đc ging dy và cung cp
tng bc trong quá trình hc tp ph thông, nhng trong chng I các vn đ này đc h
thng hoá li. Ni dung ca chng I đc xem là c s, ngôn ng ca toán hc hin đi. Mt
vài ni dung trong chng này đã đc hc ph thông nhng ch vi mc đ đn gin. Các
cu trúc đi s thì hoàn toàn mi và khá tru tng vì vy đòi hi hc viên phi đc li nhiu
ln mi tip thu đc.
Các chng còn li ca giáo trình là đi s tuyn tính. Kin thc ca các chng liên h
cht ch vi nhau, kt qu ca chng này là công c ca chng khác. Vì vy hc viên cn thy
đc mi liên h này. c đim ca môn hc này là tính khái quát hoá và tru tng cao. Các
khái nim thng đc khái quát hoá t nhng kt qu ca hình hc gii tích ph thông. Khi
hc ta nên liên h đn các kt qu đó.
Tuy rng tác gi đã rt c gng, song vì thi gian b hn hp cùng vi yêu cu cp bách ca
Hc vin, vì vy các thiu sót còn tn ti trong giáo trình là điu khó tránh khi. Tác gi rt mong
s đóng góp ý kin ca bn bè đng nghip, hc viên xa gn và xin cám n vì điu đó.
Cui cùng chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu
Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã
khuyn khích đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài lii này.
Hà Ni, cui nm 2004.
Ts. Lê Bá Long
Khoa c bn 1
Hc Vin Công ngh Bu chính Vin thông
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
1. CHNG 1: M U V LÔGÍC MNH , TP HP
ÁNH X VÀ CÁC CU TRÚC I S
1.1 S LC V LÔGÍC MNH
1.1.1 Mnh đ
Lôgíc mnh đ là mt h thng lôgích đn gin nht, vi đn v c bn là các mnh đ
mang ni dung ca các phán đoán, mi phán đoán đc gi thit là có mt giá tr chân lý nht
đnh là đúng hoc sai.
ch các mnh đ cha xác đnh ta dùng các ch cái
...,,
rqp
và gi chúng là các bin
mnh đ. Nu mnh đ
p đúng ta cho p nhn giá tr 1 và p sai ta cho nhn giá tr 0. Giá tr 1
hoc 0 đc gi là th hin ca
p .
Mnh đ phc hp đc xây dng t các mnh đ đn gián hn bng các phép liên kt
lôgích mnh đ.
1.1.2 Các phép liên kt lôgíc mnh đ
1. Phép ph đnh (negation): Ph đnh ca mnh đ
p là mnh đ đc ký hiu
,p
đc là
không
p . Mnh đ
p
đúng khi p sai và
p
sai khi p đúng.
2. Phép hi (conjunction): Hi ca hai mnh đ q
p, là mnh đ đc ký hiu qp ∧ (đc
là
p và ). Mnh đ q qp ∧ ch đúng khi p và q cùng đúng.
3. Phép tuyn (disjunction): Tuyn ca hai mnh đ q
p, là mnh đ đc ký hiu qp ∨
(đc là
p hoc ). q qp ∨ ch sai khi p và cùng sai. q
4. Phép kéo theo (implication): Mnh đ kéo theo , ký hiu , là mnh đ ch
sai khi
p
q
qp ⇒
p đúng sai. q
5. Phép tng đng (equivalence): Mnh đ )()(
pqqp ⇒∧⇒ đc gi là mnh đ
p tng đng , ký hiu . q
qp ⇔
Mt công thc gm các bin mnh đ và các phép liên kt mnh đ đc gi là mt công
thc mnh đ. Bng lit kê các th hin ca công thc mnh đ đc gi là bng chân tr.
T đnh ngha ca các phép liên kt mnh đ ta có các bng chân tr sau
5
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
10
01
pp
0000
1010
1001
1111
qpqpqp ∨
∧
100
110
001
111
qpqp ⇒
11100
00110
01001
11111
qppqqpqp
⇔⇒⇒
Nh vy là mt mnh đ đúng khi c hai mnh đ
qp ⇔
p và q cùng đúng hoc cùng
sai và mnh đ sai trong trng hp ngc li.
qp ⇔
Mt công thc mnh đ đc gi là hng đúng nu nó luôn nhn giá tr 1 trong mi th hin
ca các bin mnh đ có trong công thc. Ta ký hiu mnh đ tng đng hng đúng là "
≡ "
thay cho " ".
⇔
1.1.3 Các tính cht
Dùng bng chân tr ta d dàng kim chng các mnh đ hng đúng sau:
1)
pp ≡ lut ph đnh kép.
2)
)()( qpqp ∨≡⇒
.
3)
pqqppqqp ∨≡∨∧≡∧ , lut giao hoán.
4)
rqprqp ∧∧≡∧∧ )()(
rqprqp ∨∨≡∨∨ )()( lut kt hp.
5)
[][
)()()( rpqprqp
]
∧∨∧≡∨∧
[][
)()()( rpqprqp ∨
]
∧∨≡∧∨
lut phân phi.
6) Mnh đ
pp ∨
luôn đúng lut bài chung.
pp ∧
luôn sai lut mâu thun.
7)
qpqp ∧≡∨
qpqp ∨≡∧ lut De Morgan.
6
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
8)
pqqp ⇒≡⇒
lut phn chng.
9)
pppppp ≡∧≡∨ ; lut ly đng.
10)
pqpppqpp ≡∨∧≡∧∨ )(;)( lut hp thu.
1.2 TP HP
1.2.1 Khái nim tp hp
Khái nim tp hp và phn t là khái nim c bn ca toán hc, không th đnh ngha qua
các khái nim đã bit. Các khái nim "tp hp", "phn t" xét trong mi quan h phân t ca tp
hp trong lý thuyt tp hp là ging vi khái nim "đng thng", "đim" và quan h đim trên
đng thng đc xét trong hình hc. Nói mt cách nôm na, ta có th xem tp hp nh mt s t
tp các vt, các đi tng nào đó mà mi vt hay đi tng là mt phn t ca tp hp. Có th ly
ví d v các tp hp có ni dung toán hc hoc không toán hc. Chng hn: tp hp các s t
nhiên là tp hp mà các phn t ca nó là các s 1,2,3..., còn tp hp các cun sách trong th vin
ca Hc vin Công ngh Bu chính Vin thông là tp hp mà các phn t ca nó là các cun
sách.
Ta thng ký hiu các tp hp bi các ch in hoa
,...,
BA ,...,YX
còn các phn t bi các
ch thng
,..., y
x Nu phn t x thuc
A
ta ký hiu Ax∈ , nu x không thuc
A
ta ký hiu
Ax∉
. Ta cng nói tt "tp" thay cho thut ng "tp hp".
1.2.2 Cách mô t tp hp
Ta thng mô t tp hp theo hai cách sau:
a) Lit kê các phn t ca tp hp
Ví d 1.1
: Tp các s t nhiên l nh hn 10 là
{ }
9,7,5,3,1
.
Tp hp các nghim ca phng trình 01
2
=−x là
{ }
1,1−
.
b) Nêu đc trng tính cht ca các phn t to thành tp hp
Ví d 1.2
: Tp hp các s t nhiên chn
{
∈= nP ∈= mmn ,2 }
Hàm mnh đ trên tp hp
D
là mt mnh đ )(xS ph thuc vào bin Dx∈ . Khi cho
bin
x mt giá tr c th thì ta đc mnh đ lôgích (mnh đ ch nhn mt trong hai giá tr hoc
đúng hoc sai).
Nu )(
xS là mt mnh đ trên tp hp
D
thì tp hp các phn t Dx ∈ sao cho )(xS
đúng đc ký hiu
{ }
)(xSDx ∈ và đc gi là min đúng ca hàm mnh đ )(xS .
i) Xét hàm mnh đ )(
xS xác đnh trên tp các s t nhiên : " 1
2
+x là mt s nguyên
t" thì
)2(),1(
SS đúng và )4(),3( SS sai ...
7
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
ii) Mi mt phng trình là mt hàm mnh đ
{ }
{}
1,101
2
−==−∈ xx
.
có hình nh trc quan v tp hp, ngi ta thng biu din tp hp nh là min phng
gii hn bi đng cong khép kín không t ct đc gi là gin đ Ven.
c) Mt s tp hp s thng gp
- Tp các s t nhiên
{ }
...,2,1,0=
.
- Tp các s nguyên
{ }
...,2,1,0 ±±=
.
- Tp các s hu t
{ }
∈≠= qpqqp ,,0 .
- Tp các s thc .
- Tp các s phc
{ }
1;,
2
−=∈+== iyxiyxz
.
1.2.3 Tp con
nh ngha 1.1
: Tp
A
đc gi là tp con ca
B
nu mi phn t ca
A
đu là phn t
ca
B
, khi đó ta ký hiu
BA ⊂
hay
AB ⊃
.
Khi
A
là tp con ca
B
thì ta còn nói
A
bao hàm trong
B
hay
B
bao hàm
A
hay B
cha A.
Ta có: .
⊂⊂⊂⊂
nh ngha 1.2
: Hai tp
A
,
B
bng nhau, ký hiu
,
BA =
khi và ch khi
BA ⊂
và
AB ⊂
.
Nh vy đ chng minh
BA ⊂
ta ch cn chng minh BxAx ∈⇒∈ và vì vy khi
chng minh
BA =
ta ch cn chng minh BxAx ∈⇔∈ .
nh ngha 1.3
: Tp rng là tp không cha phn t nào, ký hiu
.
φ
Mt cách hình thc ta có th xem tp rng là tp con ca mi tp hp.
Tp hp tt c các tp con ca
X
đc ký hiu
)(X
P
. Vy
)(XA
P∈
khi và ch khi
XA ⊂
. Tp
X
là tp con ca chính nó nên là phn t ln nht còn
φ
là phn t bé nht trong
)(X
P
.
Ví d 1.3
:
{}
cbaX ,,=
có
{}{ } { } { } { } { }{}
XaccbbacbaX ,,,,,,,,,,)(
φ
=P
.
8
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ta thy
X
có 3 phn t thì
)(X
P
có 82
3
= phn t. Ta có th chng minh tng quát
rng nu
X
có n phn t thì
)(X
P
có phn t.
n
2
1.2.4 Các phép toán trên các tp hp
1. Phép hp: Hp ca hai tp
A
và
B
, ký hiu
BA∪
, là tp gm các phn t thuc ít
nht mt trong hai tp
A
,
B
.
Vy
()( ) ( )( )
BxAxBAx ∈∨∈⇔∪∈ .
2. Phép giao: Giao ca hai tp
A
và
B
, ký hiu
BA∩
, là tp gm các phn t thuc
đng thi c hai tp
A
,
B
.
Vy
()( ) ( )( )
BxAxBAx ∈∧∈⇔∩∈ .
3. Hiu ca hai tp: Hiu ca hai tp
A
và
B
, ký hiu BA \ hay
BA −
, là tp gm các
phn t thuc
A
nhng không thuc
B
.
Vy
()( ) ( )( )
BxAxBAx ∉∧∈⇔∈ \ .
c bit nu
XB ⊂
thì tp BX \ đc gi là phn bù ca
B
trong
X
và
đc ký hiu là
B
X
C . Nu tp
X
c đnh và không s nhm ln thì ta ký hiu B thay cho
B
X
C .
Ta có th minh ho các phép toán trên bng gin đ Ven:
BA ∩
BA ∪
B
X
C
Áp dng lôgích mnh đ ta d dàng kim chng li các tính cht sau:
1.
ABBA ∪=∪
,
ABBA ∩=∩
tính giao hoán.
2.
CBACBA ∪∪=∪∪ )()( ,
CBACBA ∩∩=∩∩ )()( tính kt hp.
3. )()()(
CABACBA ∪∩∪=∩∪ ,
9
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
)()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ tính phân b.
Gi s
BA,
là hai tp con ca
X
thì:
4.
AXAAAAA =∩=∪= ;;
φ
5.
φ
=∩=∪ AAXAA ;
6.
BABA ∩=∪
;
BABA ∪=∩
lut De Morgan
7.
( )
BA
A
CBAABAABABA
∩
=∩=∩∩=∩= )(\\ .
1.2.5 Lng t ph bin và lng t tn ti
Gi s )(xS là mt hàm mnh đ xác đnh trên tp
D
có min đúng
{ }
)(
)(
xSDxD
xS
∈=
. Khi đó:
a) Mnh đ )(,
xSDx∈∀ (đc là vi mi )(, xSDx∈ ) là mt mnh đ đúng nu
và sai trong trng hp ngc li.
DD
xS
=
)(
Ký hiu ∀(đc là vi mi) đc gi là lng t ph bin.
Khi
D
đã xác đnh thì ta thng vit tt )(, xSx∀ hay
( )
)(, xSx∀
.
b) Mnh đ )(,
xSDx∈∃ (đc là tn ti )(, xSDx∈ ) là mt mnh đ đúng nu
φ
≠
)(xS
D
và sai trong trng hp ngc li.
Ký hiu (đc là tn ti) đc gi là lng t tn ti.
∃
chng minh mt mnh đ vi lng t ph bin là đúng thì ta phi chng minh đúng
trong mi trng hp, còn vi mnh đ tn ti ta ch cn ch ra mt trng hp đúng.
c) Ngi ta m rng khái nim lng t tn ti vi ký hiu
)(,!
xSDx∈∃ (đc là tn ti
duy nht
)(,
xSDx∈ ) nu có đúng mt phn t.
)(xS
D
d) Phép ph đnh lng t
( )
)(,)(, xSDxxSDx ∈∃⇔∈∀
( )
)(,)(, xSDxxSDx ∈∀⇔∈∃ (1.1)
Ví d 1.4: Theo đnh ngha ca gii hn
εδδε
<−⇒<−<∀>∃>∀⇔=
→
LxfaxxLxf
ax
)(0:;0,0)(lim
.
10
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
S dng tính cht hng đúng )()( qpqp ∨≡⇒ (xem tính cht 1.3) ta có
εδ
<−⇒<−< Lxfax )(0 tng đng vi
( )
( ) ( )
εδ
<−∨=∨≥− Lxfaxax )()( .
Vy ph đnh ca là
Lxf
ax
=
→
)(lim
( ) ( )
εδδε
≥−∧<−<∃>∀>∃ Lxfaxx )(0:;0,0 .
1.2.6 Phép hp và giao suy rng
Gi s
()
là mt h các tp hp. Ta đnh ngha là tp gm các phn t thuc
ít nht mt tp nào đó và là tp gm các phn t thuc mi tp .
Ii
i
A
∈
U
Ii
i
A
∈
i
A
I
Ii
i
A
∈
i
A
Vy
( )
( )
0
;
0 i
Ii
i
AxIiAx ∈∈∃⇔∈
∈
U
( )
( )
i
Ii
i
AxIiAx ∈∈∀⇔∈
∈
;
I
. (1.2)
Ví d 1.5
:
{ }
)1(0 +≤≤∈= nnxxA
n
{ }
)1(11)1(1 ++<≤+−∈= nxnxB
n
[
)
1;0
1
=
∞
=
U
n
n
A
,
[]
1;0
1
=
∞
=
I
n
n
B
.
1.2.7 Quan h
1.2.7.1 Tích các ca các tp hp
nh ngha 1.4
: Tích các ca hai tp YX , là tp, ký hiu
Y
X ×
, gm các phn t có
dng
),( y
x trong đó Xx ∈ và Yy∈ .
Vy
{ }
YyXxyxYX ∈∈=× vµ ),( . (1.3)
Ví d 1.6
:
{ }
cbaX ,,= ,
{ }
2,1=Y
{}
)2,(),2,(),2,(),1,(),1,(),1,( cbacbaYX =×
Ta d dàng chng minh đc rng nu
X
có phn t,
Y
có phn t thì n m
Y
X ×
có
phn t.
mn×
11
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Cho là n tp hp nào đó, ta đnh ngha và ký hiu tích các ca n tp
hp này nh sau:
n
XXX ...,,,
21
{ }
niXxxxxXXX
iinn
,...,2,1,),...,,(...
2121
=∈=××× . (1.4)
Chú ý 1.1
:
1. Khi
XXX
n
=
== ...
1
thì ta ký hiu thay cho
n
X
43421
lÇn n
XX
××... .
2. Tích các còn đc ký hiu
n
XXX ××× ...
21
∏
∈Ii
i
X
.
3. Gi s
nn
XXxx
××∈ ...),...,(
11
;
nn
XXxx ××∈ ...)',...,'(
11
thì
nixxxxxx
iinn
,...,1,')',...,'(),...,(
11
=∀=⇔=
4. Tích các ca các tp hp không có tính giao hoán.
1.2.7.2 Quan h hai ngôi
nh ngha 1.5
: Cho tp
φ
≠X , mi tp con
XX ×⊂R
đc gi là mt quan h hai
ngôi trên
X
. Vi Xyx ∈, mà R∈),( yx ta nói x có quan h vi theo quan h y
R
và ta
vit
y
xR .
Ví d 1.7
: Ta xét các quan h sau trên tp các s:
yxyx M
⇔
11
:
RR
x( chia ht cho , )y ∈∀ yx,
1),(:
22
=
⇔ yxyxRR
x( và nguyên t cùng nhau) y
∈
∀ yx,
yxyx ≤
⇔
33
:
RR
x( nh hn hay bng )y
∈∀ yx,
myxyx M−
⇔
44
:
RR
,
∈∀ yx,
. Ta ký hiu )(mo
dmyx ≡ và đc là
x đng d vi môđulô m. y
nh ngha 1.6: Quan h hai ngôi
R
trên
X
đc gi là có tính:
a) Phn x, nu X
xxx ∈∀,R ;
b) i xng, nu Xy
x ∈∀ , mà yxR thì cng có xyR ;
c) Bc cu, nu Xzy
x ∈∀ ,, mà yxR và zyR thì cng có zxR ;
d) Phn đi xng, nu Xy
x ∈∀ , mà yxR và xyR thì yx = .
12
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.8:
1
R
phn đi xng, bc cu nhng không đi xng, không phn x (vì 0 không
chia ht cho 0).
2
R
đi xng, không phn x, không phn xng, không bc cu.
3
R
phn x,
phn đi xng, bc cu.
4
R
phn x, đi xng, bc cu.
1.2.7.3 Quan h tng đng
nh ngha 1.8
: Quan h hai ngôi
R
trên
φ
≠X đc gi là quan h tng đng nu có
ba tính cht phn x, đi xng, bc cu.
Vi quan h tng đng
R
ta thng vit )(~ Ryx hoc yx ~ thay cho yxR .
Ta đnh ngha và ký hiu lp tng đng ca phn t X
x∈ là tp hp
{
xyXyx ~∈=
}
. Mi phn t bt k ca lp tng đng x đc gi là phn t đi din
ca
x . Ngi ta cng ký hiu lp tng đng ca x là )(xcl .
Hai lp tng đng bt k thì hoc bng nhau hoc không giao nhau, ngha là
'xx ∩
hoc bng
'xx = hoc bng
φ
, nói cách khác các lp tng đng to thành mt phân hoch
các tp con ca
.X
Tp tt c các lp tng đng đc gi là tp hp thng, ký hiu
~X
. Vy
{ }
XxxX ∈=~ .
Ví d 1.9
: Quan h
4
R
trong ví d 1.7 là mt quan h tng đng gi là quan h đng
d môđulô m trên tp các s nguyên . Nu y
x ~ , ta vit
)(mo
dmyx ≡ .
Ta ký hiu tp thng gm m s đng d môđulô m:
{ }
1...,,1,0 −= m
m
.
Ví d 1.10: Trong tp hp các véc t t do trong không gian thì quan h "véc t
u
r
bng
véc t
v
r
" là mt quan h tng đng. Nu ta chn gc O c đnh thì mi lp tng đng bt
k đu có th chn véc t đi din dng
OA
.
1.2.7.4 Quan h th t
nh ngha 1.8
: Quan h hai ngôi
R
trên
φ
≠X đc gi là quan h th t nu có ba
tính cht phn x, phn đi xng, bc cu.
Ví d 1.11
:
1) Trong , , , quan h "" y
x ≤ là mt quan h th t.
13
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
14
2) Trong quan h là mt quan h th t.
"" yxM
3) Trong
)(X
P
, tp hp tt c các tp con ca
X
, quan h "tp con" (
BA ⊂
) là mt
quan h th t.
Khái nim quan h th t đc khái quát hoá t khái nim ln hn (hay đng sau) trong
các tp s, vì vy theo thói quen ngi ta cng dùng ký hiu
""
≤
cho quan h th t bt k.
Quan h th t trên tp
""≤
X
đc gi là quan h th t toàn phn nu hai phn t bt
k ca
X
đu so sánh đc vi nhau. Ngha là vi mi Xyx ∈, thì
y
x ≤
hoc
xy ≤
. Quan
h th t không toàn phn đc gi là quan h th t b phn.
Tp
X
vi quan h th t
""
≤
đc gi là tp đc sp. Nu là quan h th t
toàn phn thì
""≤
X
đc gi là tp đc sp toàn phn hay sp tuyn tính.
Ví d 1.12
: Các tp ,
(
),≤
),,(
≤ ),,( ≤ ),( ≤
đc sp toàn phn, còn , và
(
)M
( )
⊂),(XP
đc sp b phn (nu
X
có nhiu hn 1 phn t).
nh ngha 1.9
: Cho tp đc sp ),( ≤X và tp con
XA ⊂
. Tp
A
đc gi là b chn
trên nu tn ti sao cho , vi mi
Xq ∈
qa ≤
Aa∈ . Khi đó đc gi là mt chn trên ca q
A
.
Hin nhiên rng nu là mt chn trên ca
q
A
thì mi Xp ∈ mà
pq ≤
đu là chn
trên ca
A
.
Phn t chn trên nh nht ca q
A
( theo ngha 'qq ≤ , vi mi chn trên ca 'q
A
)
đc gi là cn trên ca
A
và đc ký hiu Aq sup= . Rõ ràng phn t cn trên nu tn ti là
duy nht.
Tng t tp
A
đc gi là b chn di nu tn ti Xp ∈ sao cho
a
p ≤
, vi mi
Aa∈ . Phn t chn di ln nht đc gi là cn di ca
A
và đc ký hiu
Ainf
. Cn
di nu tn ti cng duy nht.
Nói chung
Asup ,
Ainf
cha chc là phn t ca
A
. Nu AAq ∈= sup thì q
đc gi là phn t ln nht ca
A
ký hiu Aq max= .
Tng t nu
AAp ∈= inf thì p đc gi là phn t bé nht ca
A
ký hiu
Ap min= .
Ví d 1.13
: Trong , tp
),( ≤
[
)
{ }
101;0 <≤∈== xxA có
AA∉= sup1 ,
AA ∈= 0inf
do đó không tn ti
Amax nhng tn ti
0infmi
n == AA
.
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
1.3 ÁNH X
1.3.1 nh ngha và ví d
Khái nim ánh x đc khái quát hoá t khái nim hàm s trong đó hàm s thng đc
cho di dng công thc tính giá tr ca hàm s ph thuc vào bin s. Chng hn, hàm s
xy 2= vi ∈x là quy lut cho ng
,21,00 aa
...,63,42 aa
Ta có th đnh ngha ánh x mt cách trc quan nh sau:
nh ngha 1.10
: Mt ánh x t tp
X
vào tp
Y
là mt quy lut cho tng ng mi mt
phn t
X
x∈ vi mt phn t duy nht )(xfy = ca
Y
.
Ta ký hiu hay
YXf ⎯→⎯:
YX
f
⎯→⎯
)(
xfyx =a )(xfyx =a
X
đc gi là tp ngun,
Y
đc gi là tp đích.
Ví d 1.14
:
Y Y Y X X X
Trong 3 tng ng trên ch có tng ng th 3 xác đnh mt ánh x t
X
vào
Y
.
Ví d 1.15
: Mi hàm s )(xfy = bt k có th đc xem là ánh x t tp
D
là min
xác đnh ca
)(
xfy = vào . Chng hn:
Hàm lôgarit
xy ln= là ánh x →
+
*
:ln
xyx ln=a
Hàm cn bc hai
xy =
là ánh x
→
+
:
xyx =a
.
nh ngha 1.11
: Cho ánh x YXf →: và
XA ⊂
,
YB ⊂
.
{ }
AxxfAf ∈= )()( (1.5)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
15
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
đc gi là nh ca
A
qua ánh x f .
Nói riêng
fXf Im)( = đc gi là tp nh hay tp giá tr ca f .
{
BxfXxBf ∈∈=
−
)()(
1
}
(1.6)
đc gi là nghch nh ca tp con
B
ca
Y
.
Khi
B
là tp hp ch có mt phn t
{ }
y
thì ta vit )(
1
yf
−
thay cho . Vy
{}(
yf
1−
)
{
)()(
1
xfyXxyf =∈=
−
}
. (1.7)
1.3.2 Phân loi các ánh x
nh ngha 1.12
:
1) Ánh x
YXf →: đc gi là đn ánh nu nh ca hai phn t phân bit là hai phn
t phân bit.
Ngha là: Vi mi
)()(;,
212121
xfxfxxXxx
≠⇒≠∈
hay mt cách tng đng,
vi mi .
;,
21
Xxx ∈
2121
)()( xxxfxf =⇒=
(1.8)
2) Ánh x
YXf →: đc gi là toàn ánh nu mi phn t ca
Y
là nh ca phn t nào
đó ca
X
. Ngha là YXf =)( hay
X
xYy ∈∃∈∀ , sao cho )(xfy = . (1.9)
3) Ánh x
YXf →: va đn ánh va toàn ánh đc gi là song ánh.
Chú ý 1.2
: Khi ánh x YXf →: đc cho di dng công thc xác đnh nh )(xfy =
thì ta có th xác đnh tính cht đn ánh, toàn ánh ca ánh x
f bng cách gii phng trình:
Yyxfy ∈= ),( (1.10)
trong đó ta xem
x là n và là tham bin. y
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) luôn có nghim Xx∈ thì ánh x f là toàn
ánh.
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) có không quá 1 nghim Xx ∈ thì ánh x f
là đn ánh.
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) luôn có duy nht nghim Xx∈ thì ánh x
f là song ánh.
16
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.16: Cho ánh x
Xét phng trình hay .
xxxxxfy +=+==
2
)1()( 0
2
=−+ yxx
Bit s 041 >
+=Δ y (vì ∈y ). Phng trình luôn có 2 nghim thc
( ) ( )
2411,2411
21
yxyx +−−=++−=
. Vì
0
2
<x
nên phng trình có không
quá 1 nghim trong . Vy
f là đn ánh. Mt khác tn ti ∈y mà nghim (chng hn
), ngha là phng trình trên vô nghim trong . Vy
∉
1
x
1=y
f không toàn ánh.
Ví d 1.17: Các hàm s đn điu cht:
• ng bin cht:
)()(
2121
xfxfxx
<⇒<
• Nghch bin cht:
)()(
2121
xfxfxx >⇒<
là các song ánh t tp xác đnh lên min giá tr ca nó.
Ví d 1.18
: Gi s
A
là tp con ca
X
thì ánh x
là mt đn ánh gi là nhúng chính tc.
c bit khi
XA =
ánh x
i
đc ký hiu gi là ánh x đng nht ca
X
Id
X
.
Ví d 1.19
: Gi s ~ là mt quan h tng đng thì ánh x sau là mt toàn ánh
1.3.3 Ánh x ngc ca mt song ánh
nh ngha 1.13
: Gi s YXf →: là mt song ánh khi đó vi mi Yy∈ tn ti duy
nht
X
x∈ sao cho )(xfy = . Nh vy ta có th xác đnh mt ánh x t
Y
vào
X
bng cách
cho ng mi phn t
Yy∈ vi phn t duy nht Xx∈ sao cho )(xfy = . Ánh x này đc
gi là ánh x ngc ca
f và đc ký hiu
1−
f .
Vy và
XYf →
−
:
1
)()(
1
xfyxyf =⇔=
−
.
(1.11)
cng là mt song ánh.
1−
f
:
f →
)1()(
+== xxxfyx a
xxix
X
Ai
=
→
)(
:
a
xxpx
XXp →:
=)(
~
a
17
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.20: Hàm m 1,0, ≠>= aaay
x
là mt song ánh (vì hàm m đn điu cht) có hàm ngc là hàm lôgarit
. yxay
a
x
log=⇔=
Ví d 1.21
Các hàm lng giác ngc
Xét hàm
đn điu tng cht và toàn ánh nên nó là mt song ánh. Hàm ngc đc ký hiu
[ ] [ ]
2;2,1;1,sinarcsin
ππ
−∈−∈∀=⇔= yxxyyx
.
Tng t hàm
[][
1;1;0:cos −→
[ ] [ ]
xx
2:sin
sin
1;12;
a
→−
π π
−
[][ ]
yy arcsin
2;21;1:arcsin
a
ππ
−→−
]
π
đn điu gim cht có hàm ngc
[][]
π
;01;1:arccos →− ;
xyyx cosarccos =⇔=
.
Hàm ngc
arctg
đc xác đnh nh sau
arcotg,
( ) ( )
2;2,;,tgarctg
ππ
−∈∞∞−∈∀=⇔= yxxyyx
.
( ) ( )
π
;0,;,gcotgcotarc ∈∞∞−∈∀=⇔= yxxyyx
.
1.3.4 Hp (tích) ca hai ánh x
nh ngha 1.14
: Vi hai ánh x ZYX
gf
→→ thì tng ng ))(( xfgx a xác đnh mt
ánh x t
X
vào
Z
đc gi là hp (hay tích) ca hai ánh x f và g , ký hiu fg o . Vy
ZXfg →:o có công thc xác đnh nh
))(()(
xfgxfg =o . (1.12)
Ví d 1.22: Cho vi công thc xác đnh nh
→→ :,: gf
,sin)( xxf =
. Ta có th thit lp hai hàm hp
42)(
2
+= xxg
fg o và gf o t vào .
4sin2)(,)42sin()(
22
+=+= xxfgxxgf oo .
Qua ví d trên ta thy nói chung
fggf oo ≠ , ngha là phép hp ánh x không có tính
giao hoán.
18
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Nu YXf →: là mt song ánh có ánh x ngc XYf →
−
:
1
, khi đó ta d dàng
kim chng rng
X
Idff =
−
o
1
và
Y
Idff =
−1
o . Hn na ta có th chng minh đc
rng ánh x
YXf →: là mt song ánh khi và ch khi tn ti ánh x XYg →: sao cho
X
Idfg =o
và , lúc đó
Y
Idgf =o
1
−
= fg .
1.3.5 Lc lng ca mt tp hp
Khái nim lc lng ca tp hp có th xem nh là s m rng khái nim s phn t ca
tp hp.
nh ngha 1.15: Hai tp hp
YX ,
đc gi là cùng lc lng nu tn ti song ánh t
X
lên
Y
.
Tp cùng lc lng vi tp
{
đc gi là có lc lng . Vy
}
n,...,2,1 n
X
có lc lng
khi và ch khi
n
X
có phn t. còn đc gi là bn s ca n n
X
, ký hiu XCard hay X .
Quy c lc lng ca
φ
là 0.
nh ngha 1.16: Tp có lc lng hoc 0 đc gi là các tp hu hn. Tp không hu
hn đc gi là tp vô hn. Tp có cùng lc lng vi tp các s t nhiên hay hu hn đc gi
là tp đm đc.
n
Chú ý 1.3
:
1) Tp vô hn đm đc là tp cùng lc lng vi .
2) Bn thân tp là tp vô hn đm đc.
3) Ngi ta chng minh đc , là tp vô hn đm đc, còn tp không đm đc.
4) Gi s
YX , là hai tp hu hn cùng lc lng. Khi đó ánh x YXf →: là đn ánh
khi và ch khi là toàn ánh, do đó là mt song ánh.
1.4 GII TÍCH T HP- NH THC NEWTON
1.4.1 Hoán v, phép th
Cho tp hu hn . Mi song ánh t
{
n
xxxE ,...,
21
=
}
E
lên
E
đc gi là mt phép
th, còn nh ca song ánh này đc gi là mt hoán v n phn t ca
E
.
Nu ta xp các phn t ca
E
theo mt th t nào đó thì mi hoán v là mt s đi ch
các phn t này.
c bit nu
{
nE ,...2,1
}
= thì mi phép th đc ký hiu bi ma trn
(1.13)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
)(...)2()1(
...21
n
n
σσσ
σ
19
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
trong đó hàng trên là các s t 1 đn sp theo th t tng dn, hàng di là nh tng
ng ca nó qua song ánh
n
σ
. Còn
[]
)(),...,2(),1( n
σσσ
là hoán v ca phép th
σ
.
Ví d 1.23
: là hoán v t phép th có
[
3124
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3124
4321
σ
4)1( =
σ
,
2)2( =
σ
, 1)3( =
σ
, 3)4( =
σ
.
Tp hp
{
có hai hoán v là
}
2,1
[ ]
21
và
[ ]
12
.
Tp hp
{
có sáu hoán v là
}
3,2,1
[ ]
321
,
[ ]
312
,
[ ]
213
,
[ ]
231
, và
[]
.
[]
132 123
Vi tp thì có n cách chn giá tr
{
n
xxxE ,...,,
21
=
}
)(
1
x
σ
, cách chn giá tr 1−n
)(
2
x
σ
.... cho mt phép th
σ
bt k.
Vy có hoán v (phép th) ca tp phn t. !1)...2)(1( nnnn =−− n
1.4.2 Chnh hp
Cho tp hp hu hn có phn t
n
{ }
n
xxxE ,...,,
21
=
và tp hp hu hn
.
{}
pB ,...,2,1=
nh ngha 1.17: Mt chnh hp lp chp p các phn t ca
E
là nh ca mt ánh x t
B
đn
E
.
Ta cng có th xem mt chnh hp lp chp
p nh mt b gm p thành phn là các phn
t có th trùng nhau ca
E
. Nói cách khác, mt chnh hp lp chp p là mt phn t ca tích
Descartes
p
E
. Vy s các chnh hp lp chp p ca vt là . n
p
n
Ví d 1.24
: Cho vt và tin hành bc có hoàn li n
{
n
xxxE ,...,,
21
=
}
p ln theo cách
sau: Bc ln th nht t tp
E
đc , ta tr li cho
1
i
x
1
i
x
E
và bc tip ln th hai ... Mi kt
qu sau
p ln bc
(
)
p
iii
xxx ,...,,
21
là mt chnh hp có lp chp n
p .
nh ngha 1.18
: Mt chnh hp (không lp) chp p gm phn t ca n )( npE ≤ là
nh ca mt đn ánh t
B
vào
E
.
Hai chnh hp chp n
p là khác nhau nu:
̇ hoc chúng có ít nht mt phn t khác nhau,
̇ hoc gm
p phn t nh nhau nhng có th t khác nhau.
Nh vy ta có th xem mi chnh hp là mt b có
p thành phn gm các phn t khác
nhau ca
E
hay có th xem nh mt cách sp xp phn t ca n
E
vào p v trí.
20
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Có cách chn vào v trí th nht, n 1−n cách chn vào v trí th hai, ... và 1+− pn
cách chn vào v trí th
p . Vy s các chnh hp chp n p là
)!(
!
)1)...(1(
pn
n
pnnnA
p
n
−
=+−−=
(1.14)
1.4.3 T hp
nh ngha 1.19
: Mt t hp vt ca n
E
chp p là mt cách ly ra đng thi p vt t
E
có n vt. Nh vy ta có th xem mt t hp chpn p là mt tp con p phn t ca tp có
phn t
n
E
.
Nu ta hoán v
p vt ca mt t hp thì ta có các chnh hp khác nhau ca cùng p vt này.
Vy ng vi mt t hp
p vt có đúng !p chnh hp ca p vt này. Ký hiu là s các t
hp chp
p
n
C
n
p thì
)!(!
!
! pnp
n
p
A
C
p
n
p
n
−
==
. (1.15)
Ví d 1.25
: a) Có bao nhiêu cách bu mt lp trng, mt lp phó và mt bí th chi đoàn
mà không kiêm nhim ca mt lp có 50 hc sinh.
b) Có bao nhiêu cách bu mt ban chp hành gm mt lp trng, mt lp phó và mt bí
th chi đoàn mà không kiêm nhim ca mt lp có 50 hc sinh.
Gii:
a) Mi kt qu bu là mt chnh hp 50 chp 3.
Vy có cách bu.
600.117484950
3
50
=××=A
b) Mi kt qu bu mt ban chp hành là mt t hp 50 chp 3.
Vy có
600.19
6
484950
!47!3
!50
3
50
=
××
==C
cách bu.
1.4.4 Nh thc Niu-tn
Xét đa thc bc : n
444344421
sèthõa n
n
xxxx )1)...(1)(1()1( +++=+
Khai trin đa thc này ta đc:
1...)1(
2
2
1
1
++++=+
−
−
−
−
n
n
n
n
nn
xaxaxx
21
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
H s ca
p
x bng s cách chn p tha s trong tha s trên. Mi cách chn là mt t
hp chp
n
n
p , do đó .
p
np
Ca =
Vy
011
......)1(
n
pp
n
nn
n
nn
n
n
CxCxCxCx +++++=+
−−
Thay
bax =
(nu ) ta có: 0≠b
∑
=
−−−
=+++=+
n
p
pnpp
n
n
n
nn
n
nn
n
n
baCbCbaCaCba
0
011
...)( (1.16)
Công thc này đc gi là nh thc Niu-tn, đúng vi mi
∈ba, (k c trng hp
).
0=b
1.4.5 S lc v phép đm
Khi mun đm s phn t ca các tp hu hn ta có th áp dng các cách đm hoán v,
chnh hp, t hp và các công thc sau:
a)
BABABA +=∩+∪ , (công thc cng) (1.17)
b)
BABA ⋅=× , (công thc nhân) (1.18)
c)
{}
B
ABAf =→: , (chnh hp có lp) (1.19)
d)
A
A 2)( =P
, (1.20)
e) Nu
BAf →: song ánh thì BA = . (1.21)
Công thc cng a) thng đc s dng trong trng hp đc bit khi A, B ri nhau
φ
=∩ BA , lúc đó BABA +=∪ .
Công thc nhân b) có th m rng cho k tp bt k
kk
AAAA ⋅⋅
=×× ......
11
(1.22)
Hoc nu mt hành đng H gm k giai đon
k
AA ,...,
1
. Mi giai đon có th thc hin
theo phng án thì c thy có
i
A
i
n
k
nn ×× ...
1
phng án thc hin H.
22
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.26: Cho mch đin
a) Có bao nhiêu trng thái ca mch.
b) Có bao nhiêu trng thái có th ca mch đ có dòng đin chy t A đn B
Gii:
Áp dng công thc nhân ta có:
a) S các trng thái ca mch
51222.2.2
9432
== .
b) có trng thái nhng có 1 trng thái dòng đin không qua đc, do đó
có 3 trng thái dòng đin qua đc. Tng t có
1
U
2
2
1
U
2
U
12
3
−
và có trng thái
dòng đin qua đc. Vy s các trng thái ca mch có dòng đin chy t A đn B là
.
3
U
12
4
−
3151573 =××
Ví d 1.27
: Có bao nhiêu s t nhiên vit di dng thp phân có ch s trong
đó có đúng hai ch s 8.
n )3( ≥n
Gii: Gi s
N
là s t nhiên có ch s mà ch s th nht bên trái khác ch s 0 và có
đúng hai ch s 8.
n
♦Trng hp 1: Nu ch s th nht bên trái là ch s 8 thì có 1
−n v trí đ đt ch s 8
th hai, có 9 cách chn cho mi ch s
2
−n v trí còn li. Vy có đúng s
2
9)1(
−
−
n
n
N
thuc loi này.
♦Trng hp 2: Nu ch s th nht bên trái không phi là ch s 8 thì có
2
1
−n
C v
trí đ đt 2 ch s 8, có 8 cách chn ch s cho v trí th nht, có 9 cách chn cho mi ch
s v trí khác v trí th nht và hai v trí đã chn cho ch s 8. Vy có đúng
3−n
332
1
98
2
)2)(1(
98
−−
−
⋅⋅
−
−
=⋅⋅
nn
n
nn
C
s
N thuc loi này.
S dng công thc cng ta suy ra s các s t nhiên cn tìm là:
332
9)1)(14(9)2)(1(49)1(
−−−
−+=−−+−
nnn
nnnnn
3
U
2
U
1
U
A
B
23
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.28: Trong mt phng cho đng thng đôi mt ct nhau và các giao đim này
khác nhau .
n
)4( ≥n
a) Tìm s các giao đim ca chúng.
b) Tìm s các đng thng mi đc to bi các giao đim trên.
Gii:
a) S các giao đim ca đng thng bng s các cp ca đng thng này. Vy có
giao đim.
n n
2
n
C
b) Xét ti đim
A
bt k trong giao đim ca câu a). Tn ti đúng hai đng trong n
đng trên đi qua
2
n
C
A
là .
jiDD
ji
<;,
Trên mi đng có đúng đim trong s giao đim ca câu a). 1−n
2
n
C
Vy trên có
ji
DD ,
1)1(2
−−n đim, do đó có
2
)3)(2(
)1)1(2(
2
−−
=−−−
nn
nC
n
đng thng mi ni đn
A
. Vì mi đng
thng mi đu ni hai đim câu a) nên s đng thng mi là:
)3)(2)(1(
8
1
2
)3)(2(
2
1
2
−−−=
−−
nnnn
nn
C
n
.
Ví d 1.29
: Cho tp con
A
có p phn t ca tp
E
có phn t. Hãy đm s các cp n
),(
YX các tp con ca
E
sao cho:
A
j
D
4=n
24
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
AYXEYX ⊃∩=∪ , (1.23)
Gii: Ký hiu
AEB \= .
t
()
{ }
AYXEYXYX ⊃∩=∪= ,,A
( )
{ }
BYXBYBXYX =∪⊂⊂= '';','','B
Tng ng ;
BA →:f
),(),(
BYBXYXf ∩∩a là mt song ánh.
Mt khác
''
\'',',' YXBBYXBYBX ⊂⇔=∪⊂⊂
.
Vy s các cp ),(
YX tho mãn điu kin (1.23) cn tìm bng bn s ca tp
{ }
'",',")',"( YXBYBXYX ⊂⊂⊂ .
Vi mi tp
BY ⊂'
có bn s thì bn s ca tp 'y
{ }
'"" YXX ⊂ là ; S các tp
con
'
2
y
BY ⊂'
có phn t là . Áp dng công thc cng suy ra bn s cn tìm là
.
'y
'y
pn
C
−
∑
−
=
−
−
=
pn
y
pny
pn
y
C
0'
''
32
1.5 CÁC CU TRÚC I S
1.5.1 Lut hp thành trong
nh ngha 1.20
: Mt lut hp thành trong trên tp
φ
≠X là ánh x t
XX ×
vào
X
.
Ta thng ký hiu XXX →
×:*
y
xyx *),( a
Lut hp thành trong kt hp hai phn t y
x, ca
X
thành mt phn t
y
x ∗
ca
X
vì
vy lut hp thành trong còn đc gi là phép toán hai ngôi.
Ví d 1.30
: Phép cng và phép nhân là các lut hp thành trong ca các tp s , , , ,
.
Ví d 1.31: Phép cng véc t theo quy tc hình bình hành là phép toán trong ca tp
các véc t t do trong không gian, nhng tích vô hng không phi là phép toán trong vì
3
R
3
),cos( Rvuvuvu ∉⋅=⋅
rrrrrr
.
nh ngha 1.21
: Lut hp thành trong * ca tp
X
đc gi là:
1) Có tính kt hp nu
zy
xzyxXzyx ∗∗=∗∗∈∀ )()(:,,
25
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
2) Có tính giao hoán nu xyyxXyx ∗=∗∈∀ :,
3) Có phn t trung hoà (hay có phn t đn v) là Xe
∈ nu
xxeexXx =∗=∗∈∀ :
4) Gi s * có phn t trung hoà Xe∈ . Phn t Xx ∈' đc gi là phn t đi xng
ca X
x∈ nu exxxx =∗=∗ '' .
Ta d dàng thy rng phn t trung hoà có phn t đi xng là chính nó.
Các phép hp thành trong hai ví d trên đu có tính kt hp và giao hoán. S 0 là phn t
trung hoà đi vi phép cng và 1 là phn t trung hoà đi vi phép nhân trong. Véc t
r
là phn
t trung hoà ca phép toán cng véc t trong . i vi phép cng thì mi phn t
0
3
R
x trong ,
, , đu có phn t đi là
x− . Phn t đi ca 0≠x ng vi phép nhân trong , , là
x1
, nhng mi phn t khác trong vi phép + không có phn t đi. 0
Tính cht 1.4
:
1) Phn t trung hoà nu tn ti là duy nht.
2) Nu * có tính kt hp, thì phn t đi ca mi phn t là duy nht.
3) Nu * có tính kt hp và phn t có phn t đi thì có lut gin c: a
y
xyaxa =⇒∗=∗
và phng trình b
xa =∗ có duy nht nghim bax ∗= ' vi ' là
phn t đi ca .
a
a
Chng minh:
1) Gi s và là hai phn t trung hoà thì e 'e eeee
=∗= '' (du "=" th nht có đc do
là phn t trung hoà, còn du "=" th hai là do là phn t trung hoà).
e 'e
2) Gi s có hai phn t đi xng là 'a và , khi đó: a "a
"")'("')"('' aeaaaaaaaaea
=∗=∗∗=∗∗=∗= .
Theo thói quen ta thng ký hiu các lut hp thành trong có tính giao hoán bi du ""
+ ,
khi đó phn t trung hoà đc ký hiu là 0 và phn t đi ca
x là x− . Nu ký hiu lut hp
thành bi du nhân
"."
thì phn t trung hoà đc ký hiu 1 và gi là phn t đn v, phn t đi
ca
x là
1−
x
.
1.5.2 Nhóm
nh ngha 1.22
: Gi s là tp khác trng vi lut hp thành *, cp đc gi là
mt v nhóm nu tho mãn hai điu kin sau:
G ,*)(G
G1: * có tính kt hp.
26