Luận văn thạc sĩ điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ NHÀN

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI
VI PHÂN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015

c


i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung

thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam ®oan r»ng mäi sù

gióp ®ì cho viƯc thùc hiƯn luận văn này đà được cảm ơn và các thông tin trích

dẫn trong luận văn đà được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Người viết luận văn

Trần Thị Nhµn

c


ii

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học

Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Đỗ Văn Lưu. Qua đây,

tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,

người hướng dẫn khoa

học của mình, PGS. TS. Đỗ Văn Lưu, người đà tận tình hướng dẫn trong suốt

quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các

thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm, Đại học

Thái Nguyên, đà tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác

giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán K21b,

đà động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được

sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Người viết luận văn

Trần Thị Nhµn

c


iii

Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1

3

Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu
1.1

Các kiến thức bổ trợ

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3

1.1.1.

Dưới vi phân suy rộng

1.1.2.

Các dưới vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot

1.1.3.

Dưới vi ph©n suy réng chÝnh quy, d­íi vi ph©n suy rộng tối

thiểu

1.2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu

7

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

.

.

.

.

.

.

.

.

.

13

Điều kiện chính quy và điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker

24

2.1

Điều kiện chính quy và điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker

.

.

.

.

24

2.2

Điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu .

Kết luận

.

.

.

.

.

.

Tài liệu tham khảo

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

28

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

30

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

31

c

1

Mở đầu

1. Lý do chọn luận văn
Năm 1994, Demyanov [5] đà đưa ra khái niệm dưới vi phân suy rộng compăc

lồi. Khái niệm này là một tổng quát hoá của khái niệm lồi trên và lõm dưới (xem

[6]).

Các khái niệm dưới vi phân suy rộng đóng, không lồi và Jacobian xấp xỉ

được đề xuất bởi Jeyakumar và Luc trong [9] và [10].

Khái niệm dưới vi phân

suy rộng là tổng quát hoá của một số các khái niệm dưới vi phân ®· biÕt cđa

Clarke [4], Michel-Penot [17], Mordukhovich [18]. Mét ®iỊu kiện cần Fritz John

cho cực tiểu yếu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu dưới ngôn ngữ Jacobian

xấp xỉ được đưa ra bởi Luc [12].

Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho cực tiểu

yếu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng được đưa ra bởi Dutta- Chandra [7,8]

cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các ràng buộc bất đẳng thức. Điều kiện cần

cho cực tiểu yếu và cực tiểu Pareto được đưa ra bởi Luu [15] với các ràng buộc

đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập.

Dựa

(2014)

trên

đÃ

định

thiết

lí

lập

Ljusternik

các

điều

mở

kiện

rộng

tối

ưu

của

cho

Jiménez-Novo

cực

tiểu

Pareto

(2002),

yếu

của

D.V.Luu

bài

toán

tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập dưới

ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng (convexificator). Đây là đề tài đang được nhiều

tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế em chọn đề tài :

Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua

dưới vi phân suy rộng.

2. Phương pháp nghiên cứu

c


2
Sưu tầm và đọc tài liệu từ các sách, tạp chí toán học trong nước và quốc tế

liên quan đến điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véc tơ.

Qua đó, tìm hiểu và

nghiên cứu về vấn đề này.

3. Mục đích của luận văn
Luận văn trình bày các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn

ngữ dưới vi phân suy rộng trong bài báo của D. V. Lưu đăng trong tạp chí Journal

of Optimization Theory and Applications, Vol. 160 (2014), pp. 510-526.

4. Néi dung cña luËn văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục các tài liệu

tham khảo

Chương 1: Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu
Trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần

Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc

đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm Lipschitz địa phương.

Chương 2: Điều kiện chính quy và điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker
Trình bày các điều kiện chính quy và điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho

bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc

tập với các hàm Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng với

các giả thiết về tính lồi suy rộng, các điều kiện cần tối ưu trở thành các điều kiện

đủ tối ­u.

c


3

Chương 1

Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu

Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân

suy rộng và điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu

đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngôn

ngữ dưới vi phân suy rộng. Các kết quả trình bày trong chương này được tham

khảo trong [9], [14].

1.1

Các kiến thức bổ trợ

1.1.1.

Cho

Dưới vi phân suy rộng

f

là hàm giá trị thực mở rộng được xác định trên

hàm theo phương Dini dưới và trên

v Rn

f

và

f+

f

của

tại

Rn

. Nhắc lại rằng đạo

x Rn

theo phương

được xác định như sau:

f (x + tv) f (
x)
,
t0
t



f (¯
x + tv) − f (¯
x)
+
f (¯
x; v) := lim sup
.
t↓0
t
f − (¯
x; v) := lim inf

NÕu

f

t¹i

t¹i

x¯

x¯

f + (¯
x; v) = f (
x; v)

, thì giá trị chung đó được gọi là đạo hàm của hàm

theo phương

v

và ký hiệu là

f 0 (
x; v)

. Hàm

nếu tồn tại đạo hàm theo phương của nó tại

khả vi Fréchet tại

x

với đạo hàm Fréchet

c

f (
x)

f

x
thì

gọi là khả vi theo phương

theo mọi phương. Nếu

f

f 0 (¯
x; v) = h∇f (¯
x, v)i .

lµ


4

f

Theo [9] hàm

f (
x)

) tại

được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên

x Rn

nếu

f (
x)

(hay

( f (¯
x)) ⊆ Rn

f − (¯
x; v) ≤ sup hξ, vi
f + (¯
x; v) ≥

ξ∈∂∗ f (¯
x)
Mét tËp ®ãng

nÕu

∂ ∗ f (
x)

Theo

f (
x) Rn

) là tập đóng và


(v Rn ) .

h, vi

inf

được gọi là một dưới vi phân suy rộng của

đồng thời là dưới vi phân suy rộng trên và dưới của

[8]

hàm

f (
x) Rn

tại

f
x

được

nếu

(hay dưới

(v Rn ),

f (
x)



f (
x)

gọi

là

f (
x)

có

dưới

vi

phân

suy

rộng

bán

f

tại

x

chính

f

tại

x

.

quy

trên

là tập đóng và

f + (
x; v) ≤ sup hξ, vi

(∀v ∈ Rn ).

ξ∈∂ ∗ f (¯
x)

(1.1)

VÝ dơ 1.1.1
Cho hµm

f :R→R



 x,
f (x) := x4 − 4x3 + 4x2 ,



0,
được xác định bởi

khi

x Q [0; +[,
x Q ]; 0],

khi

,

trong các trường hợp khác

trong đó

Q

là tập các số hữu tỷ. Khi đó


v,
+
f (0; v) =
 0,

khi

v ≥ 0,

khi

v < 0,

f − (0; v) = 0 (v R).
Tập

{0; 1}

là dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên của

nó cũng là dưới vi phân suy rộng trên của

rộng dưới của

Theo

[9],

f

tại

nếu

f

tại

x

. Tập

{0}

f

tại

x

, cho nên

là dưới vi phân suy

x

.

xảy

ra

đẳng

thức

trong

(1.1)

thì

f (
x)

được

gọi

là

dưới

vi

phân suy rộng chính quy trên. Với một hàm Lipschitz địa phương, dưới vi ph©n

c


5
Clarke và dưới vi phân Michel-Penot là những dưới vi phân suy rộng của

x

(xem [9]).

f

tại

Hơn nữa với một hàm Lipschitz địa phương chính quy trong theo

nghĩa Clarke [4], dưới vi phân Clarke là một dưới vi phân suy rộng chính quy

f

trên (xem [7]). Chú ý rằng, nếu hàm

trên tại

x

có một dưới vi phân suy rộng chính quy

thì nó cũng là dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên tại

x

đó nó được là dưới vi phân suy rộng trên tại

x

, và do

.

Ví dụ 1.1.2
Ta xét hàm

f :RR

được xác định bởi:


x2

cos π

,
x
f (x) =
0,
Ta có

f

tại

x = 0

tương ứng là

x = 0.

f

tại

f

x Q

theo

tính tại

x Q

theo

Q

Q

nếu

tại

{0}

phân Clarke

.

Các tập

x

. Tập

{0}

và

Michile-

{0} [; ]
,

và

là dưới vi phân suy

.

Q

nếu với mỗi

f (x) f (
x) t ]0, 1[ ,
được gọi là tựa lồi trên

và

vi

x

Theo [16] một hàm giá trị thực mở rộng

gọi là tựa lồi tại

Dưới

[; ]

là các dưới vi phân suy rộng của

rộng chính quy trên của

nếu

f

f

xác định trên tập

xQ

Q

f

Q Rn

được

,

f (tx + (1 t)
x) f (
x).

là tựa lồi tại

suy rộng dưới lồi trên một tập lồi

f

là tựa lồi tại mỗi

Trong [20] Yang chỉ ra rằng, nếu

x

theo

Q

xQ f
.

gọi là tựa tuyến

.

là liên tục, tựa lồi và có một dưới vi phân

thì với mỗi

f (x) f (y) ⇒ ∃ξ (n) ∈ ∂∗ f (y),
f

khi

.

{−π; π}

NÕu

x 6= 0,

f + (0; v) = f − (0; v) = 0, (∀v ∈ R)

Penot cña

f

khi

x, y ∈ Q

,

lim (ξ (n) , x − y) ≤ 0.

n→∞

cã mét d­íi vi ph©n suy rộng chính quy trên tại

x

thì ta có mệnh đề sau

đây.

Mệnh đề 1.1.1
Giả sử

f

có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên

c

f (
x) tại x và f

tựa lồi


6
tại

x Q theo tập lồi Q. Khi đó,
x Q, f (x) ≤ f (¯
x) ⇒ ∀ξ ∈ ∂ f (
x), h, x xi 0.

Chứng minh
Vì

f

x

là tựa lồi tại

theo

Q

, với mỗi

xQ

thỏa mÃn

f (x) f (
x)

, ta cã

f + (¯
x; x − x¯) ≤ 0.
Do tÝnh chính quy trên của dưới vi phân suy rộng

mÃn

f (
x)

, với mỗi

xQ

thỏa

f (x) f (
x)

, ta có

sup hξ, x − x¯i = f + (¯
x; x − x¯) ≤ 0.
ξ∈∂ ∗ f (¯
x)

2

Tõ ®ã, ta cã ®iỊu phải chứng minh.

Theo [20], hàm thực mở rộng

trên

Q

f

có một dưới vi ph©n suy réng d­íi låi

Q
x, y ∈ Q
D
E
(n)
lim ξ , y − x ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x).

được gọi là giả lồi tiệm cận dưới trên

(n) f (x),
Hàm giá trị thực mở rộng

là giả lồi tiệm cận tại

x

f

nếu với mỗi

,

n

có một dưới vi ph©n suy réng

theo

∃ξ (n) ∈ conv∂ ∗ f (¯
x),

Q

∂ ∗ f (
x)

tại

x

được gọi

xQ
D
E
lim (n) , x x 0 f (x) f (
x).
nếu, với mỗi

ta có

n

trong ®ã conv kÝ hiƯu bao låi

VÝ dơ 1.1.3
Cho

∂∗ f (x)

f, g : R → R

 x, khi x ≤ 0,
f (x) :=
 1 x, khi x > 0,
2


khi x ∈ Q,


 x,
g(x) :=
2x,
khi x ∈ (R\Q) ∩ ]−∞, 0] ,


 1
khi x ∈ (R\Q) ∩ [0, ∞[ .
2 x,

c


7
Khi đó một dưới vi phân suy rộng của

lồi tiệm cận tại 0 theo

1


g(0) = 2 ; 2
Cho

K

và

g

Q=R

.

f

tại 0 là

f (0) =

1


;
1
2

và

Một dưới vi phân suy rộng dưới của

là giả lồi tiệm cận dưới tại 0 theo

là một nón lồi đóng trong

Rn

f

g

là giả

tại 0 là

Q=R

.

và

K := {ξ ∈ Rn : hξ, xi ≥ 0, ∀x ∈ K}
là

nón

cực

không

âm

. Giả sử

fk

(f1 , ..., fm )

gọi là giả lồi

T f

K

K

cđa

.

Cho

f : Q ⊆ Rn → Rm

cã mét d­íi vi phân suy rộng

- tiệm cận vô hướng tại

là giả lồi tiệm cận tại

x

trên

Q

x

theo

và

fk (
x)

Q

tại

như

x

vậy

f =

f

được

. Hàm

K

nếu với mỗi

, hàm

.

Các nón tiếp tuyến Bouligand và Clarke của tập

C Rn

tại một điểm

x C

được định nghĩa tương øng bëi

K(C, x¯) := {v ∈ Rn : ∃ vn → v, ∃ tn ↓ 0

sao cho

x¯ + tn vn ∈ C, ∀n} ,

T (C, x¯) := {v ∈ Rn : ∀ xn ∈ C, xn → x¯, ∀ tn 0 , vn v
sao cho

Nón các phương đạt được của

A(C, x) =

n

C

tại

x C

xn + tn vn ∈ C, ∀n} .

lµ:

v ∈ Rn : ∃δ > 0, ∃γ : [0, δ] → Rn

γ(0) = x¯, γ(t) ∈ C, ∀t ∈ ]0, δ] , γ , (0) =
Nãn pháp tuyến Clarke của

C

tại

x

sao cho

lim (t)(0)
t
t0



=v .

là

N (C, x) = {ξ ∈ Rn : hξ, vi ≤ 0 ∀ v ∈ T (C, x¯)} .
Chó ý r»ng c¸c nãn

−T ∗ (C, x¯)

vµ

T (C, x¯)

vµ

N (C, x¯)

T (C, x¯) ⊆ K(C, x)

.

là không rỗng, đóng và lồi;

Trong

trường

hợp

C

lồi

thì

N (C, x) =
T (C, x) =

K(C, x)

.

1.1.2.

Các dưới vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot

Sau đây ta sẽ thấy rằng các dưới vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-

Penot,...đều là dưới vi phân suy rộng.

c


8


f : Rn R

Cho hàm

x

dưới tại

là hữu hạn tại điểm

xX

.

f

Nếu

thì dưới đạo hàm trên Clarke - Rockafellar của

f

tại

là nửa liên tục

x

theo

v

được

xác định bởi:

f (x, v) = lim sup inf
[f (x0 + tv 0 ) − f (x0 )] /t,

0
x0 f x v v
t0

trong đó

Nếu

f

tại

x

f

x0 f x

nghĩa là

x0 x

là nửa liên tục trên tại

theo

v

x

và

f (x0 ) f (x) .

thì dưới đạo hàm dưới Clarke-Rockafellar của

được xác ®Þnh bëi

f ↓ (x, v) = lim
inf sup [f (x0 + tv 0 ) − f (x0 )] /t.
0
x → f x v 0 v
t0

Nếu

f

là liên tục tại

x

thì

x0 f x

trong các định nghĩa trên trở thành

Dưới gradient suy rộng trên và dưới của

f

tại

x

x0 x

.

được cho bởi



f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ↑ (x, v) , ∀v ∈ X ,


∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≥ f ↓ (x, v) , ∀v ∈ X .
Nếu

mỗi

f (x, 0) >

thì

f (x)

là tập con không rỗng, lồi, đóng của

Rn

và với

v Rn ,
f ↑ (x, v) =

sup

hx∗ , vi .

x∗ ∈ ∂ ↑ f (x)
T­¬ng tù, nÕu

f ↓ (x, 0) < ∞

Rn

v Rn ,

và với mỗi

thì

f (x)

f (x, v) =
Nếu

f

là Lipschitz địa phương tại

x

là tập con không rỗng, lồi, đóng của

inf

x f (x)

hx , vi .

thì

f ↑ (x; v) = f o (x, v) , f ↓ (x; v) = fo (x, v) ,
trong ®ã,

f o (x, v) = lim sup [f (x0 + tv) − f (x0 )] /t,
x0 → x
t↓0

fo (x, v) = lim
inf [f (x0 + tv) − f (x0 )] /t.
0
x →x
t↓0

c

9

f

là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke của

v

tại

x

theo phương

. Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bởi

o f (x) = {x X ∗ : hx∗ , vi ≤ f o (x, v) , v X} .
Hơn nữa,

f o (x, v) =

f

Do đó, nếu

của

f

tại

x


max
hx
, vi ,

o

x f (x)

là Lipschitz địa phương tại

x

thì

min

o

x f (x)

o f (x)

hx , vi .

là dưới vi phân suy rộng

, bởi vì

f (x, v) f o (x, v) ,
với mỗi

fo (x, v) =

v∈X

T­¬ng tù, nÕu

f + (x, v) ≥ fo (x, v) .

.

f

là Lipschitz địa phương tại

dưới Michel Penot của

f

tại

x

x

thì đạo hàm theo phương trên và

tương ứng được cho bëi

f ♦ (x, v) = sup lim sup λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)] ,
z∈X

λ↓0

f♦ (x, v) = inf lim inf λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)] .
z∈X

λ↓0

Khi đó dưới vi phân Michel Penot được xác định bëi



∂ ♦ f (x) := x∗ ∈ Rn : f ♦ (x, v) ≥ hx∗ , vi , ∀v ∈ Rn .
Đạo hàm theo phương trên và dưới Michel Penot

tuyến tính, hữu hạn,

f (x, v) =
Do đó,

f (x)

∂ ♦ f (x)
max

hx∗ , vi ,

f♦ (x, v) =

f + (x, v) ≥ f♦ (x, v)

VÝ dô 1.1.4

f : R2 R

f (x, .)

xác định bởi

f (x, y) = |x| − |y| .

c

hx∗ , vi .

min

x∗ ∈ ∂ f (x)

cũng là một dưới vi phân suy rộng cđa

vµ

vµ

lµ compact låi

x∗ ∈ ∂ ♦ f (x)

f − (x, v) f (x, v)

Định nghĩa

f (x, .)

f

tại

với mỗi

x

, bởi vì

v Rn .

là dưới


10
Khi ®ã

∂ ∗ f (0) = {(1, −1) , (−1, 1)} .

là một dưới vi phân suy rộng của

f

tại 0. Ta cã

∂ ♦ f (0) = ∂ o f (0) = co ({(1, 1) , (−1, 1) , (1, −1) , (−1, −1)}) .
Chó ý r»ng

co (∂ ∗ f (0)) ⊆ ∂ ♦ f (0) = ∂ o f (0) .

1.1.3.

D­íi vi ph©n suy réng chÝnh quy, d­íi vi ph©n suy rộng tối thiểu

Rõ ràng từ định nghĩa ta thấy dưới vi phân suy rộng trên và dưới không duy

nhất. Vì vậy trong phần này chúng ta sẽ trình bày các điều kiện về tính duy nhất

và tối thiểu của dưới vi phân suy rộng trên hoặc dưới.

Trước tiên ta trình bày

khái niệm dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới.

Hàm

f : Rn R

f (x) Rn

tại

x

được gọi là có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên

nếu

f (x)

là tập đóng và với mỗi

f + (x, v) =

v Rn ,

hx , vi .

sup
x f (x)

Tương

tự,

hàm

f (x) Rn

f

tại

được

x

nếu

gọi

là

có

f (x)

một

vi

phân

suy

là tập đóng và với mỗi

f (x, v) =
Rõ ràng,

dưới

inf

x f (x)

rộng

chính

f

tại

x

dưới

v Rn .

hx , vi .

mỗi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của

dưới vi phân suy rộng của

quy

f

tại

x

là một

.

Trong mệnh đề sau chúng ta sẽ trình bày mối liên hệ giữa tính khả vi và tính

chính quy.

Mệnh đề 1.1.2
Hàm

f : Rn R

phương tại

x0

và

f

là khả vi Gâteaux tại

x0

nếu và chỉ nếu

f

là khả vi theo

cã mét d­íi vi ph©n suy réng chÝnh quy trên và chính quy

c


11
dưới tại

x0 .

Chứng minh
Nếu

f

là khả vi Gâteaux tại

{f 0 (x0 )}

x0

thì nó khả vi theo phương và đạo hàm Gâteaux

f

và là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới của

Ngược lại, nếu

f

khả vi theo phương tại

x0

và nếu

v Rn

suy rộng chính quy trên và dưới thì với mỗi

f 0 (x0 , v) = f (x0 , v) =
= f + (x0 , v) =

∂ ∗ f (x0 )

tại

x0

.

là một dưới vi phân

.

inf


x f (x)

hx , vi

hx∗ , vi .

sup
x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Do ®ã

∂ ∗ f (x0 )

Ta nói rằng

là tập một phân tử và vì vậy

f (x)

và

khả vi Gâteaux tại

C (x)

C (x)

trong

Rn

sao cho

là

2

.

f

tại

x

C (x) f (x) ,

là một dưới vi phân suy rộng (trên/dưới) của

Ký hiệu tập các điểm cực biên của dưới vi phân suy rộng

x

x0

là dưới vi phân suy rộng tối thiểu (trên/dưới) của

nếu không tồn tại mét tËp ®ãng

C (x) 6= ∂ ∗ f (x)

f

∂ ∗ f (x)

f

của

tại

x

f

tại

.

Ext ( f (x))

.

Mệnh đề 1.1.3
Giả sử rằng

(dưới)

f : Rn → R cã mét d­íi vi ph©n suy rộng chính quy compăc trên

f (x) tại x.

Khi đó

Ext (co ( f (x))) là dưới vi phân suy rộng chính

quy trên (dưới) tối thiểu duy nhất của

f

tại

x.

Chứng minh
Cho

A Rn

với mỗi

có một dưới vi phân suy rộng chÝnh quy trªn cđa

v ∈ Rn ,
f + (x, v) =

sup

hx∗ , vi = sup hx∗ , vi .
x∗ ∈A

x∗ f (x)
Nên A là tập con đóng và bị chặn của

Rn

với

co ( f (x)) = co (A) .
Khi ®ã,

Ext (co (∂ ∗ f (x))) = Ext (co (A)) .

c

f

tại

x

. Khi đó,


12
Chóng ta chØ ra r»ng

Ext (co (∂ ∗ f (x))) ⊆ A.
ThËt vËy hiĨn nhiªn ta cã

Ext (co (A)) ⊆ Ext (A) .
Do ®ã,

Ext (co (∂ ∗ f (x))) = Ext (co (A)) Ext (A) A.
Bởi vì

A

là tập ®ãng, ta cã

Ext (co (∂ ∗ f (x))) ⊆ A.
MỈt khác bởi vì,

cho

nên

trên của

f (x)

là một dưới vi phân suy rộng chính quy compăc trên,

Ext (co ( f (x)))
f

x

tại

. Do đó,

cũng

là

dưới

vi

Ext (co ( f (x)))

tối thiểu trên duy nhất của

f

tại x.

phân

suy

rộng

chính

quy

compăc

là dưới vi phân suy rộng chính quy

Chứng minh tương tự cho trường hợp

f

2

dưới vi phân suy rộng chính quy dưới.

Ta nói hàm

v Rn

f

có

hữu hạn và liên tục tại

x

là chính quy trên tại

x

nếu với mỗi

,

f + (x, v) = f ↑ (x, v) .
T­¬ng tù hàm

f

là chính quy dưới tại

x

nếu với mỗi

v Rn

,

f (x, v) = f ↓ (x, v) .
Chó ý r»ng, nÕu

f : Rn → R

v ∈ Rn f + (., v) [f (., v)]
,

là Lipschitz địa phương trên

Rn

và nếu với mỗi

là nửa liên tục trên [dưới], thì với mỗi

x ∈ Rn

vµ

v ∈ Rn ,


f + (x, v) = f o (x, v) = f ↑ (x, v) f − (x, v) = fo (x, v) = f ↓ (x, v) ,
cho nên,

Nếu

f

là chính quy trên [dưới] tại

f (x, 0) >

lồi, đóng của

Rn

và nếu

và với mỗi

f

x

(xem [6]).

là chính quy trên tại

x

thì

v Rn ,

f + (x, v) = f ↑ (x, v) =

sup
x∗ ∈∂ ↑ f (x)

c

hx∗ , vi .

f (x)

khác rỗng,


13

Do ®ã,

∂ ↑ f (x)

tù, nÕu

f ↓ (x, 0) <

của

Rn

là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên của

và với mỗi

và

f

chính quy dưới tại

f (x)

với mỗi

f (x)

. Tương

khác rỗng, lồi, đóng

inf

x f (x)

hx , vi .

là dưới vi phân suy rộng chính quy dưới của

f : Rn R

Nếu

thì

x

tại

v Rn ,
f (x, v) = f (x, v) =

Cho nên

x

f

là Lipschitz địa phương trên

Rn

f

tại

x

.

và chính quy trên tại

x

, thì

v Rn ,
∗
f + (x, v) = f ↑ (x, v) = f o (x, v) = ∗ max
hx
, vi .
o
x f (x)

Do đó,

của

f

Ext ( o f (x))

tại

x

là dưới vi phân suy rộng chính quy tối thiểu trên duy nhất

. Chú ý rằng, nếu

f

là lồi thì

chính quy tối thiểu trên duy nhất của

f

Ext (f (x))

tại

là dưới vi phân suy rộng

x

, trong ®ã

∂f (x) := {x∗ ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ hx∗ , y − xi , y Rn }

là dưới vi phân lồi của

1.2

f

tại

x

.

Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu

Phần này trình bày các điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương

dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng chính quy trên và bán chính quy trên. Xét

bài toán tối ưu đa mục tiêu (P) sau:



min f (x),




g (x) ≤ 0,

h (x) = 0,





 x ∈ C,

f g h

trong đó

con của

,

Rn

,

tương ứng là các ánh xạ từ

. Khi đó

,

vào

Rr Rm Rl C
,

,

;

là một tập

f = (f1 , ..., fr ) g = (g1 , ..., gm ) h = (h1 , ..., hl )

f1 , ..., fr g1 , ..., gm h1 , ..., hl
,

Rn

,

,

, trong đó

là những hàm giá trị thực mở rộng xác định trên

c


14

Rn
cã

x, y ∈ Rn

. Víi

nghÜa

, ta viÕt

x≤y

nÕu

xi ≤ yi , (i = 1, ..., n)

. Nh­ vËy

gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., m)

là

,

(j = 1, ..., l)

.

Đặt

và

h(x) = 0

cã

nghÜa

lµ

I = {1, ..., m} J = {1, ..., r} L = {1, ..., l}
,

,

.

g(x) ≤ 0

hj (x) = 0

,

Chó ý rằng

điều kiện cần dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng cho bài toán với ràng buộc

tập hoặc ràng buộc bất đẳng thức đà được nghiên cứu bởi Dutta-Chandra [7,8]

và có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức đà được nghiên cứu bởi Luu [15].

Kí hiệu

M

là tập chấp nhận được của bài toán (P):

M := {x C : g(x) ≤ 0, h(x) = 0} ,
vµ

I(¯
x) := {i ∈ I : g(¯
x) = 0} ,
H := {x ∈ Rn : h(x) = 0} .
Mở rộng của định lý Ljusternik cổ điển của Jiménez-Novo trong [11] sẽ được

sử dụng để dẫn điều kiện cần tối ưu.

Mệnh đề 1.2.1

[11]

Giả sử rằng

x H C ;

(a)

C

là tập lồi và

(b)

h

liên tục trong một lân cận của

Fréchet là

x

và khả vi Fréchet tại

x

với đạo hàm

h(
x);

(c) Điều kiện chính quy (RC) sau đây đúng:

0

X

j ∇hj (¯
x) + N (C, x¯) ⇒ γ1 = ... = γl = 0.

j∈L
Khi ®ã,

A(H ∩ C; x¯) = T (H ∩ C; x¯) = (ker ∇h(¯

x)) ∩ T (C; x¯)
= cl [(ker ∇h(¯
x)) ∩ cone(C − x¯)] ,
trong ®ã

cl kÝ hiƯu bao ®ãng.

c


15
NhËn xÐt 1.2.1
NÕu

C = Rn h
,

thc líp

C1

trong mét l©n cËn của

x

và

h1 (
x), ..., hr (
x)

là

độc lập tuyến tính, thì mệnh đề 1.2.1 trở thành định lý Ljusternik cổ điển. Thật

vậy, khi đó ánh xạ

đúng và ta có

h(
x)

là toàn ánh,

T (C; x¯) = Rn

, ®iỊu kiƯn chÝnh quy (RC)

ker ∇h(¯
x) = T (C; x).

Điều kiện (RC) sẽ được minh họa bởi ví dụ sau.

Ví dụ 1.2.1
Cho

h R3 R2
:

và

C R3

được xác định như sau

h := (h1 , h2 )

(
x, y, z¯) = 0,

,

h1 (x, y, z) = x + 2y + z,
h2 (x, y, z) = 2x + 4y − z,
C := {(x, y, z) : −1 ≤ x ≤ 0, −1 ≤ y, z ≤ 1} .
Khi ®ã

∇h1 (0, 0, 0) = (1, 2, 1) ∇h2 (0, 0, 0) = (2, 4, −1) T (C; 0) = −R+ ×
,

,

R × R N (C; 0) = R+ × {0} × {0}
,

và điều kiện (RC) thỏa mÃn. Thật vậy nếu

0 γ1 ∇h1 (0) + γ2 ∇h2 (0) + N (C; 0),
cã nghÜa lµ

(0, 0, 0) ∈ (γ1 + 2γ2 , 2γ1 + 4γ2 , γ1 − γ2 ) + R+ × {0} × {0} ,
khi ®ã ta suy ra

γ1 = 2 = 0

. Do đó, điều kiện (RC) đúng

Nhắc lại rằng điểm

x M

bài toán (P) nếu tồn tại một số

được gọi là cực tiểu Pareto yếu địa phương của

>0

sao cho không tồn tại

x M B (
x; )

thỏa m·n

(∀k ∈ J) ,

fk (x) < fk (¯
x)
trong ®ã

B (¯
x; )

là hình cầu mở bán kính



tâm

x

.

Giả thiết sau đây là cần thiết để dẫn các điều kiện cần cho nghiệm h÷u hiƯu

u.

c


16
Giả thiết 1.2.1
Tồn tại một chỉ số

tại

x

phân

.

Với

suy

mỗi

rộng

gi (i
/ I (
x))

sJ

sao cho

k J, k 6= s
bán

chính

liên tục tại

quy

fs

và

có một dưới vi phân suy rộng trên

i I (
x)

,

trên

fk (
x)

các

và

hàm

fk

gi (
x)

gi

và

tại

x

;

có

tất

fs (
x)

các

cả

dưới

các

vi

hàm

x

.

Trên cơ sở ®Þnh lý Ljusternik suy réng cđa JimÐnez-Novo [11], ta chøng minh

điều kiện cần cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P).

Định lý 1.2.1
Giả sử

x là cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P). Giả sử rằng tất cả các giả

thiết của mệnh đề 1.2.1 và giả thiết 1.2.1 đúng. Giả sử các hàm

gi (i I (
x))

Lipschitz địa phương tại

x.

fk (k J)

và

Khi đó, các hệ sau không có nghiÖm

v ∈ Rn :
hξk , vi < 0 (∀k ∈ J),

sup

(1.2)

ξk ∈conv∂ ∗ fk (¯
x)

sup

hξi , vi < 0 (∀i ∈ I(¯
x)),

(1.3)

ξi ∈conv∂ ∗ gi (¯
x)

h∇hj (¯
x), vi = 0 (∀j ∈ L),

(1.4)

v ∈ T (¯
x; C).

(1.5)

Chøng minh
Ta chØ ra rằng những điều kiện sau không có nghiệm

v Rn

:

fs (¯
x; v) < 0,

(1.6)

x; v) < 0 (∀k ∈ J; k 6= s),
fk+ (¯

(1.7)

gi+ (¯
x; v) < 0 (∀i ∈ I(¯
x)),

(1.8)

h∇hj (¯
x), vi = 0 (∀j ∈ L),

(1.9)

v ∈ T (¯
x; C).

c

(1.10)