Về cấu trúc của vành QF và một số vành mở rộng

Bé gi¸o dơc vµ ®µo t¹o
®¹i häc h





Lª ®øc thoang






VỀ CẤU TRÚC CỦA VÀNH QF
VÀ MỘT SỐ VÀNH MỞ RỘNG



Chuyªn ngµnh : §¹i sè vµ Lý thut sè
M· sè : 62.46.05.01



ln ¸n tiÕn sÜ to¸n häc




Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: pgs. Ts. lª v¨n thut

H, 2006

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả
viết chung với các tác giả khác đã đợc sự nhất trí của đồng tác giả khi đa
vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực cha từng đợc ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả








ii
Công trình đợc hoàn thành tại: Khoa Toán, Trờng Đại Học S
Phạm Huế - Đại Học Huế.

Ngời hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung Viện Toán Học

Phản biện 2: PGS. TS. Bùi Xuân Hải Trờng Đại Học Khoa Học

Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Trờng Đại Học Khoa
Học, Đại Học Huế

Luận án sẽ đợc bảo vệ trớc hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc
họp tại

vào hồi giờ ngày tháng năm .


Có thể tìm hiểu luận án tại th viện: .
Mở đầu

Lý thuyết vành QF có nguồn gốc từ lý thuyết biểu diễn nhóm
hữu hạn. Nakayama đã giới thiệu vành QF vào năm 1939, đó là lớp
các vành Artin hai phía và mỗi iđêan một phía đều là một iđêan linh
hóa tử hữu hạn sinh. Các vành QF có vai trò rất quan trọng trong lý
thuyết vành kết hợp không giao hoán và đang đợc nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu.
Trên vành QF thì mỗi môđun trung thành đều là một vật sinh. Sự
phân loại giữa vật sinh và môđun trung thành trong phạm trù Mod-R
(R-Mod), đã tạo ra các lớp vành tổng quát của vành QF.
Năm 1966, tác giả Osofsky đã đa ra ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại
vành R thỏa mãn mọi R-môđun trung thành đều là vật sinh, nhng R
không là vành QF. Đồng thời tác giả cũng đã định nghĩa lớp vành PF
phải (trái), vành mà trên nó mọi môđun phải (trái) trung thành đều là
vật sinh. Các vành PF đã đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Năm 1984, khi nghiên cứu lớp các môđun hữu hạn sinh trên một
vành, tác giả Faith và Page (1984) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp

các vành FPF phải (trái), vành mà trên nó mọi môđun phải (trái)
trung thành hữu hạn sinh đều là vật sinh. Sau đó, vành FPF đã đợc
nhiều tác giả khác quan tâm nghiên cứu nh Faticoni (1987), Faith và
Pillay (1990), Yousif (1994), Khi quan tâm đến lớp các môđun
đối trung thành hữu hạn sinh, tác giả Lê Văn Thuyết (1992) đã định
nghĩa và nghiên cứu lớp các vành FSG phải (trái), tức là vành mà trên
nó mọi môđun phải (trái) đối trung thành hữu hạn sinh đều là vật
sinh. Vành FSG là một mở rộng thực sự của vành FPF và vành tự nội
xạ.
Năm 1967, khi phân loại giữa môđun nội xạ và môđun xạ ảnh,
tác giả Faith và Walker đã đa ra đặc trng rất đẹp của vành QF:
Một vành R là QF khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ
ảnh, khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ. Khi
mọi R-môđun phải (trái) nội xạ đều là môđun nâng thì R đợc gọi là

1
vành H (Harada) phải (trái), còn khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh
đều là môđun CS thì R đợc gọi là vành co-H phải (trái). Khái niệm
môđun CS là một mở rộng thực sự của khái niệm môđun nội xạ, do
đó mọi vành QF đều là vành co-H (phải và trái). Khái niệm vành H
và vành co-H không đối xứng, tuy nhiên vành H trái và vành co-H
phải là trùng nhau.
Nội dung của luận án đợc chia làm ba chơng.
Chơng 1, nêu các khái niệm cơ bản và các kết quả cần thiết để
sử dụng trong các chơng sau. Cuối Chơng 1, chúng tôi nêu mệnh
đề chứng tỏ rằng phần giao của lớp các vành co-H phải với một trong
các lớp vành: GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải hoặc FSG phải,
chính là lớp vành QF.
Chơng 2, chủ yếu nhằm giải quyết bài toán đặc trng vành co-H
phải qua môđun tự do hữu hạn sinh. Với bài toán này, trớc đây tác

giả Dân [12] đã giải quyết cho trờng hợp vành hoàn chỉnh phải,
trờng hợp vành hoàn chỉnh trái vẫn cha đợc giải quyết. Nhiều tác
giả, chẳng hạn nh Oshiro [45], Vanaja [62], cũng đã đặc trng vành
co-H phải qua môđun tự do nhng với hệ sinh đếm đợc. Cũng trong
chơng này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn
chỉnh QF-3 phải, đó là lớp vành mở rộng thực sự của cả hai lớp vành
co-H phải và PF phải. Đây là một mở rộng có ý nghĩa và cần thiết vì
nó thừa hởng đợc cấu trúc đẹp của cả hai lớp vành co-H phải và PF
phải.
Chơng 3, chủ yếu nhằm giải quyết bài toán đặc trng vành QF,
PF phải qua các lớp vành mở rộng của vành tự nội xạ. Đối với vành
tự nội xạ, thì bài toán này đã đợc giải quyết hầu nh hoàn chỉnh.
Tuy nhiên, đối với các mở rộng của vành tự nội xạ nh GP-nội xạ,
FSG thì vấn đề vẫn đang còn để mở. Những kết quả trong Chơng 3
đã làm sáng tỏ đợc mối quan hệ giữa các vành GP-nội xạ, FSG với
các vành QF và PF.


2
Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong luận án này, vành R đã cho luôn đợc giả thiết là vành kết
hợp có đơn vị
10

và mọi R-môđun đợc xét là môđun unita.
Chơng 1 của luận án, nêu những khái niệm cơ bản và một số kết
quả liên quan đến luận án để sử dụng cho các chơng sau. Sau đây là
những khái niệm cơ bản nhất mà luận án quan tâm nghiên cứu.
Định nghĩa 1.2.1. Vành R đợc gọi là QF nếu nó là vành Artin (phải
và trái), tự nội xạ (phải và trái).

Tác giả Harada (1978) đã đa ra và nghiên cứu các điều kiện sau:
(*) : Mọi R-môđun phải không bé đều chứa một môđun con nội xạ.
*
(*)
: Mọi R-môđun phải không đối bé đều chứa một hạng tử trực tiếp
xạ ảnh.
Tác giả Oshiro (1984) đã định nghĩa và nghiên cứu vành H phải
và co-H phải.
Định nghĩa 1.2.8. Vành R đợc gọi là H phải nếu R là vành Artin
phải và thỏa mãn điều kiện
. Vành R đợc gọi là co-H phải nếu R
thỏa mãn điều kiện
và ACC trên các linh hóa tử phải.
(*)
*
(*)
Ta có các quan hệ: QF co-H (hai phía),
co-H phải H trái, tuy nhiên co-H phải H phải.
Định nghĩa 1.2.15. Vành R đợc gọi là:
(i) PF phải nếu mỗi R-môđun phải trung thành là một vật sinh trong
Mod-R.
(ii) FPF phải nếu mỗi R-môđun phải trung thành hữu hạn sinh là
một vật sinh trong Mod-R.
(iii) FSG phải nếu mỗi R-môđun phải đối trung thành hữu hạn sinh là
một vật sinh trong Mod-R.

3
Ta có các quan hệ: QF PF phải FPF phải FSG phải.
Mệnh đề sau đây chứng tỏ rằng giao của lớp vành co-H phải với
một trong các lớp vành: GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải hoặc FSG

phải, chính là lớp vành QF.
Mệnh đề 1.2.22. Giả sử R là vành co-H phải. Khi đó, những phát
biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành QF.
(ii) R là vành GP-nội xạ phải.
(iii) R là vành tự nội xạ đơn phải.
(iv) R là vành FSG phải.
Chơng 2: Vành co-H và các vành liên quan
Trong chơng này, chúng tôi nghiên cứu lớp vành co-H phải (đây
là một trong hai lớp vành mang tên vành Harada (vành H và vành co-
H)) và các lớp vành liên quan. Cụ thể, nội dung gồm những vấn đề
sau:
Đặc trng vành co-H phải qua vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn
ACC trên các iđêan linh hóa tử phải và
R
R
R
R là một môđun CS
(hoặc mọi mở rộng cốt yếu của R
R
đều xạ ảnh) (Định lý 2.1.6 và Định
lý 2.3.6). Kết quả này góp phần làm hoàn chỉnh các kết quả đã có
trớc của các tác giả Dân (1989), Huỳnh và Dân (1992).
Đặc trng lớp vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải. Đó là lớp các
vành nửa hoàn chỉnh, thỏa mãn eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng
không bé e của vành đã cho R và E(R
R
) là một môđun hữu hạn sinh
(Định lý 2.2.3). Đây là lớp vành mở rộng thực sự của cả lớp vành PF
phải và co-H phải. Kết quả này là sự mở rộng một kết quả của tác giả

Harada (1978), trong khi tác giả đã đặc trng vành hoàn chỉnh phải
QF-3 phải.
Chúng tôi chứng minh đợc rằng trên vành nửa hoàn chỉnh R
thỏa mãn
R
R
R
R
là một môđun CS, thì điều kiện tơng đơng
*
(*)

4
với điều kiện mọi lũy đẳng nguyên thủy
,
f
R

fR không đẳng cấu
với bất kỳ môđun con thực sự nào của nó (Định lý 2.2.7). Có đợc
kết quả này là do xuất phát từ việc nhận thấy lớp vành nửa hoàn
chỉnh R thỏa mãn
R
R
R
R là một môđun CS có vai trò quan trọng
trong việc nghiên cứu các lớp vành co-H phải, PF phải và các vành tự
nội xạ phải, liên tục phải, v. v
Ngoài ra, trong quá trình tiếp cận chứng minh một số vấn đề đã
nêu ở trên, chúng tôi cũng đã chứng minh đợc trên vành hoàn chỉnh

phải hoặc trái R thì điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng quát
tơng đơng với điều kiện mọi R-môđun phải 2-sinh đợc phân tích
thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi (Mệnh đề 2.3.2). Kết quả này
là một mở rộng của Định lý 32.3, trang 347 trong cuốn sách "Vành
và phạm trù môđun" (Anderson và Fuller, 1992). Vì trong đó vành R
đợc giả thiết là Artin trái, và điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng
quát tơng đơng với điều kiện mọi R-môđun phải hữu hạn sinh
đợc phân tích thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi.
Chơng 2 đợc viết chủ yếu dựa trên các bài báo 5, 6, 7.
2.1 Đặc trng vành co-H qua môđun tự do hữu hạn sinh thỏa
mãn điều kiện C1
Trớc hết, chúng ta xét ví dụ chứng tỏ lớp các vành co-H là một
mở rộng thực sự của lớp các vành QF.
Ví dụ 2.1.1. Xét vành QF địa phơng
[
]
(
)
22
,,QKxy xy= , trong
đó K là một trờng.
Đặt
()
(
)
(
)
(
)
,,

QQ
J J Q S Soc Q Soc Q== =


{
}
|,QQS aaaS aQ== =+.
Định nghĩa T, W, V nh sau:
,,
,
abc Q
QQ ab
T
dJ
JQ dc






==

5
,,
,
Q Q a b abc Q
V
JQ dc
dJ






==









,,
.
Q Q a b abc Q
W
dJ

JQ dc






==










Khi đó ta có những khẳng định sau:
(i) T là vành QF.
(ii) V là vành H và co-H (phải và trái).
(iii) W là vành H trái và co-H phải. Tuy nhiên, W không là vành H
phải cũng không là vành co-H trái.
(iv) V, W không là vành PF phải (trái) hay QF.
Nhằm đặc trng điều kiện trên vành hoàn chỉnh trái, chúng
ta xét các Bổ đề sau.
*
(*)
Bổ đề 2.1.2. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh. Khi đó, với mọi
môđun địa phơng M

R
ta có
M
eR U

,
trong đó e là một lũy đẳng nguyên thủy của R và U là môđun con nào
đó của eR. Hơn nữa, nếu R là vành QF-2 phải thì mọi R-môđun phải
địa phơng là xạ ảnh hoặc suy biến.
Bổ đề 2.1.3. Cho R là một vành CS phải, nửa hoàn chỉnh và thỏa
mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy
biến. Khi đó, với mọi R-môđun phải đều U ta có:
(i) Với bất kỳ môđun con
N
U

, hoặc là
(
)
N
ZU hoặc
(
)
Z
UN và
(ii)
()
UZU là một môđun chuỗi.
Bổ đề 2.1.4. Cho R là một vành hoàn chỉnh trái, CS phải và thỏa
mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy

biến. Khi đó R là vành QF-3 phải. Hơn nữa, R thỏa mãn điều kiện
.
*
(*)

6
Mệnh đề 2.1.5. Cho vành hoàn chỉnh trái R. Khi đó các phát biểu
sau đây là tơng đơng:
(i) R thỏa mãn điều kiện
.
*
(*)
(ii)
R
R
R
R là một môđun CS.
(ii)' Mọi R-môđun phải 2-sinh là một tổng trực tiếp của một môđun
xạ ảnh và một môđun suy biến.
(iii)
()k
R
R
là một môđun CS với mỗi k

N .
(iii)' Mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là một tổng trực tiếp của một
môđun xạ ảnh và một môđun suy biến.
(iv) R là vành CS phải và mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là
xạ ảnh hoặc suy biến.

Việc đặc trng điều kiện
trên vành hoàn chỉnh trái (Mệnh đề
2.1.5) có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và đặc trng vành
co-H phải.
*
(*)
Trớc đây (1989), tác giả Phan Dân đã đặc trng điều kiện

trên vành hoàn chỉnh phải với những điều kiện tơng tự nh trong
Mệnh đề 2.1.5 (ngoại trừ điều kiện (iv)). Tuy nhiên, trong lý thuyết
vành kết hợp, những tính chất có ở phía phải của một vành R không
nhất thiết có ở phía trái của R. Trong một lớp vành cụ thể, việc chứng
minh những tính chất có ở phía phải của vành cũng có ở phía trái của
vành, cũng nh việc tìm phản ví dụ chứng tỏ rằng tính chất đó có bên
phải nhng không có bên trái là không đơn giản.
*
(*)
Sau đây là đặc trng vành co-H phải trên vành hoàn chỉnh phải
hoặc trái:
Định lý 2.1.6. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành co-H phải.
(ii) R là vành hoàn chỉnh trái hoặc phải, thỏa mãn ACC trên các
linh hóa tử phải, đồng thời thỏa mãn một trong các điều kiện
tơng đơng trong Mệnh đề 2.1.5.

7
Vận dụng Ví dụ 2.1.1, chúng ta có thể thấy rằng việc nghiên cứu
vành co-H rất có ý nghĩa, đó là một mở rộng thực sự của vành QF.
Tiếp theo ta xét một vài ví dụ áp dụng của Định lý 2.1.6.
Ví dụ 2.1.7. Vành R đợc xác định nh sau

,
.
00
ab ab
R
c
c






==








RR R
Q
Q

Ta có R là vành hoàn chỉnh trái (do R là Artin trái) nhng
R
R
R

R không là môđun CS. áp dụng Định lý 2.1.6 ta suy ra R
không là vành co-H phải.
Ví dụ 2.1.8. Vành R đợc xác định nh sau
11
22
3
00
,
00
1, 2, 3; 1, 2
00 00
ij
Vcv
cvV
RVcv
ij
c
,







==



==

C
C
C
C

trong đó V là một C-song đại số với
(
)
(
)
dim dim 1VV
=
=
CC
và
. Khi đó ta có R là vành Artin (hai phía),
2
0V =
R
R
R
R

và
RR

R
R là các môđun CS. áp dụng Định lý 2.1.6 ta có R là vành
co-H (phải và trái). Tuy nhiên R không là vành QF.
áp dụng cho vành co-H, vành H (hai phía) ta đợc: R là vành
co-H khi và chỉ khi R là vành H khi và chỉ khi R là vành Artin phải
(hoặc trái) thỏa mãn
R
R
R
R

và
RR
R
R là các môđun CS (Hệ
quả 2.1.9).

Tiếp theo ta xét mối liên hệ giữa vành Artin chuỗi và vành H, co-
H hai phía trong trờng hợp vành không suy biến. Đó là: Với R là
vành không suy biến phải thì những phát biểu sau đây là tơng
đơng: (i) R là vành Artin chuỗi tổng quát; (ii) R là vành H; (iii) R
là vành co-H; (iv) R là vành hoàn chỉnh trái (hoặc phải) và thỏa mãn
một trong các điều kiện tơng đơng trong Mệnh đề 2.1.5 (Mệnh đề
2.1.10).

8
2.2 Vành nửa hoàn chỉnh QF-3
Chúng tôi sử dụng khái niệm vành QF-3 phải theo Thrall (1948)
và Harada (1978), đó là vành R thỏa mãn bao nội xạ
()

R
E
R là một
môđun xạ ảnh. Nh vậy các vành PF phải, co-H phải đều là vành nửa
hoàn chỉnh QF-3 phải. Trong mục này, chúng tôi mô tả cấu trúc nội
tại của vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải.
Trớc hết ta xét các ví dụ sau đây, để chứng tỏ lớp vành nửa hoàn
chỉnh QF-3 là một mở rộng thực sự của cả hai lớp vành co-H và PF.
Ví dụ 2.2.1. Cho F là một trờng. Vành R xác định nh sau:
12
3
.
0
0
1, 2, 3
i
kFkk
FF
R
k
F
i







==

=







Khi đó R là vành Artin chuỗi tổng quát. Ngoài ra, đế phải và đế
trái của R đợc xác định nh sau:
0
() , ()
00
RR
.
0
F
FF
Soc R Soc R
F


==

)

Do đó
và
() ( )
RR
Soc R Soc R () (
R
R
Soc R Soc R
. Nh vậy R
không là vành tự nội xạ đơn phải (hoặc trái).
Từ đó suy ra R là vành co-H (phải và trái), nửa hoàn chỉnh QF-3,
nhng R không là vành PF phải hoặc trái.
Ví dụ 2.2.2. Vành R đợc xác định nh sau:
1
2
345
00 00
,
00
1, ,5
i
r
rq
Rrq
i
rrr

.







==



=





R
RQ
RQ
RRR

Khi đó, R là vành nửa hoàn chỉnh (do R là nửa nguyên sơ) QF-3
phải (
()
R
E
R xạ ảnh). Nhng R không là vành co-H phải hoặc PF
phải.

Sau đây là một đặc trng của vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải.

9
Định lý 2.2.3. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh. Khi đó, những
điều kiện sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành QF-3 phải.
(ii) (a) eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e
của R,
(b)
()
R
E
R là môđun hữu hạn sinh.
(iii) (a) eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e
của R,
(b)
()
E
fR có phủ xạ ảnh với mọi lũy đẳng nguyên thủy f của R.
Định lý 2.2.3 là một mở rộng kết quả của Harada (1978). Vì ở đó
tác giả đã chứng minh rằng với R là vành hoàn chỉnh phải, thì R là
QF-3 phải nếu và chỉ nếu eR nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy
không bé
. Lớp vành "hoàn chỉnh phải, QF-3 phải" là một mở
rộng thực sự của lớp vành co-H phải, nhng không là mở rộng của
lớp vành PF phải. Định lý 2.2.3 gợi cho chúng ta xuất phát từ một lớp
vành rộng hơn cả co-H phải và PF phải, để từ đó đặc trng ngợc trở
lại vành co-H phải và PF phải. Đây là một mở rộng có ý nghĩa trong
việc nghiên cứu các lớp vành PF phải và co-H phải.
eR

Hệ quả sau đây mô tả kỹ hơn cấu trúc vành nửa hoàn chỉnh QF-3
phải.
Hệ quả 2.2.4. Cho vành nửa hoàn chỉnh R. Khi đó, R là vành QF-3
phải nếu và chỉ nếu
(
)
(
)
11
tm
Rii jj
R
eR f R
==
= ,
trong đó
{}
{
}
1
1
m
t
ij
i
j
ef
=
=
là một tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy

trực giao, thỏa mãn
(i)
mỗi e1,t
i
R là một môđun nội xạ (với mọi i = 1,, t) và mỗi f
j
R
là một môđun không nội xạ (với mọi j = 1,,m).
(ii) Với mỗi f
j
R (j = 1,,m), tồn tại các tập chỉ số hữu hạn
1
, ,
t
F
F

sao cho
()
(
)
(
)
1
1
.
t
jF Ft
E
fR eR eR

10
Để đặc trng điều kiện
trên vành nửa hoàn chỉnh R thỏa
mãn
*
(*)
R
R
R
R là một môđun CS, ta cần các kết quả sau.
Bổ đề 2.2.5. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh. Nếu
R
R
R
R

là
môđun CS, thì eR là một R-môđun nội xạ với mọi lũy đẳng không bé
. eR
Mệnh đề 2.2.6. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn
R
R
R
R là một môđun CS. Khi đó, những phát biểu sau đây là tơng
đơng:
(i) R là vành QF-3 phải.
(ii) Với bất kỳ lũy đẳng bé
f
R

, tồn tại một lũy đẳng không bé
sao cho
eR
f
ReR .
Định lý 2.2.7. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn
R
R
R
R


là một môđun CS. Khi đó, những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R thỏa mãn điều kiện
.
*
(*)
(ii) Với mọi lũy đẳng nguyên thủy f của R, fR không đẳng cấu với bất
kỳ môđun con thực sự nào của nó.
Định lý 2.2.7 cho chúng ta phơng pháp kiểm chứng điều kiện
khi vành R đã cho thỏa mãn
*
(*)
R
R
R
R

là một môđun CS. Điều

này rất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lớp vành co-H phải.
2.3 Vành Artin chuỗi và vành co-H
Lớp các vành Artin chuỗi tổng quát là một lớp con của lớp các
vành co-H phải. Để đặc trng vành Artin chuỗi tổng quát trên vành
hoàn chỉnh phải hoặc trái, chúng ta xét cấu trúc của môđun chuỗi
trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái qua bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.1. Cho vành R và M là một R-môđun phải. Khi đó ta có:
(i) Nếu R là vành hoàn chỉnh phải và M là môđun chuỗi, thì M là
xiclic và Nơte.
(ii) Nếu R là vành hoàn chỉnh trái và M là môđun chuỗi, thì M là
xiclic và Artin.

11
Sau đây là các đặc trng vành Artin chuỗi tổng quát trên vành
hoàn chỉnh phải hoặc trái.
Mệnh đề 2.3.2. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái hoặc phải.
Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành Artin chuỗi tổng quát.
(ii) Mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đợc phân tích thành tổng trực
tiếp các môđun chuỗi.
(iii) Mọi R-môđun phải 2-sinh đợc phân tích thành tổng trực tiếp
các môđun chuỗi.
(iv)
()
E
eR là môđun chuỗi với mọi lũy đẳng nguyên thủy e của R.
Mệnh đề 2.3.2 là một mở rộng kết quả của Định lý 32.3, trang
347 trong cuốn sách "Vành và phạm trù môđun" (Anderson và Fuller,
1992).
Hệ quả 2.3.3. Nếu mọi R-môđun phải đều phân tích đợc thành

tổng trực tiếp các môđun chuỗi, thì R là vành Artin chuỗi tổng quát.
Tiếp theo, ta từng bớc tiếp cận kết quả chính trong mục này
bằng các bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.4. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn mọi mở rộng
cốt yếu của R
R
là xạ ảnh. Khi đó, R là vành QF-3 phải và do đó ta
có:
11
,
Rkkn
R
eR eR e R eR
+
=

trong đó
{
}
1
,,
n
ee là tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao
của R, thỏa mãn: mỗi
là một môđun nội xạ (i = 1,, k); mỗi
i
eR
j
eR là một môđun không nội xạ (j = k+1,, n) và hơn nữa, tồn tại
một

nội xạ sao cho
i
eR .
ji
eR eR
Bổ đề 2.3.5. Cho R là vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn mọi mở rộng
cốt yếu của R
R
là xạ ảnh. Khi đó ta có:
(i)
()(())
E
eR Z E eR
là môđun Artin chuỗi với mọi lũy đẳng nguyên
thủy e của R,
(ii) R thỏa mãn điều kiện
.
*
(*)

12
Tác giả Harada (1978), đã chứng minh rằng: Trên vành nửa hoàn
chỉnh R, thì điều kiện
(* đợc thỏa mãn khi và chỉ khi có thể phân
chia tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của vành R thành
hai bộ phận
{
*
)
}

1
,,
k
ee

và
{
}
1
,,
l
f
f , trong đó: (a) Với mọi
, là nội xạ. (b) Với mọi 1 ik
i
eR
j
f
R , tồn tại sao cho
.
i
eR
ji
f
ReR (c) Với mỗi , tồn tại một số nguyên dơng sao
cho:
là môđun xạ ảnh với mọi và
i
eR
i

t
t
1t
i
eJ
i
tt
i
i
eJ
+
là môđun suy
biến (với
()
J
JR= ).
Để chứng minh vành đã cho trong Bổ đề 2.3.5 (và Bổ đề 2.1.4)
thỏa mãn điều kiện
(* , chúng tôi đã áp dụng kỹ thuật biến đổi trên
môđun địa phơng, dựa vào cấu trúc môđun địa phơng và môđun xạ
ảnh trên vành hoàn chỉnh trái. Đồng thời áp dụng kết quả của Harada
nh đã trình bày ở trên để kiểm chứng các điều kiện (a), (b), (c) đợc
thỏa mãn.
*
)
Định lý 2.3.6. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành co-H phải.
(ii) R là vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn mọi mở rộng cốt yếu của
()
R

R
N
đều xạ ảnh.
(iii) R là vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn ACC trên các linh hóa tử
phải và mọi mở rộng cốt yếu của R
R
đều xạ ảnh.
Trớc đây (năm 1992), các tác giả Huỳnh và Dân đã chứng minh
kết quả trên trong trờng hợp vành đã cho R là hoàn chỉnh phải.
Khi xét vành R không suy biến phải ta có kết quả sau.
Mệnh đề 2.3.7. Những phát biểu sau đây là tơng đơng đối với
vành không suy biến phải R:
(i) R là vành Artin chuỗi tổng quát.
(ii) R là vành co-H (trái và phải).
(iii) R là vành H (trái và phải).
(iv) R là một vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn mọi mở rộng cốt yếu
của R
R
đều xạ ảnh.

13
(v) Vành R tơng đơng Morita với tổng trực tiếp hữu hạn vành các
ma trận tam giác trên mà các phần tử của nó đợc lấy trên một
thể.
Chơng 3: Về các mở rộng của vành tự nội xạ và
vành PF, QF
Vành tự nội xạ đơn, GP-nội xạ, FSG là các mở rộng thực sự của
vành tự nội xạ. Trong chơng này, chúng tôi đặc trng vành QF qua
các vành tự nội xạ đơn, GP-nội xạ và FSG; đặc trng vành PF qua
vành FSG. Cụ thể, nội dung cơ bản gồm những vấn đề sau:

Tác giả Faith (1966) đã chứng minh rằng vành tự nội xạ phải
(hoặc trái) thỏa mãn ACC trên các iđêan linh hóa tử phải là QF.
Chúng tôi tìm đợc ví dụ chứng tỏ vành GP-nội xạ phải, thỏa mãn
ACC trên các iđêan linh hóa tử phải nhng không là vành PF phải
hay QF. Từ đó một vấn đề đặt ra rất tự nhiên là cần thêm điều kiện
tối thiểu nào để vành GP-nội xạ phải, thỏa mãn ACC trên các iđêan
linh hóa tử phải là QF. Chúng tôi đã chứng minh đợc vành R đang
xét là QF nếu nó thỏa mãn thêm một trong các điều kiện sau: R là
vành linh hóa tử đơn phải, hoặc R là vành tự nội xạ đơn trái, hoặc R là
vành đối xứng đơn trái, hoặc Soc(eR) là iđêan phải đơn với mọi lũy
đẳng địa phơng
eR

(Định lý 3.1.8).
Chúng tôi chứng minh đợc một vành R là PF phải khi và chỉ khi
R là nửa hoàn chỉnh, FSG phải và thỏa mãn một trong các điều kiện:
()
R
R
Soc R R , hoặc , hoặc R là vành Kasch phải, hoặc
R là vành Kasch trái và tự nội xạ đơn trái (Định lý 3.2.8). Kết quả này
là sự mở rộng một kết quả của tác giả Faticoni (1987).
()
RR
Soc R R
Khi chứng minh đợc một vành R là nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ
phải khi và chỉ khi nó là vành FSG phải, liên tục phải và có chiều
Goldie phải hữu hạn (Mệnh đề 3.3.7). Chúng tôi đã đặc trng đợc
vành QF qua vành FSG phải, liên tục phải, có chiều Goldie phải hữu
hạn và thỏa mãn với mọi môđun con đều U

R
của môđun xạ ảnh P
R
,
đều tồn tại môđun con hữu hạn sinh V
R
của P
R
, sao cho
R
R
UV


(Định lý 3.3.9).

14
Chơng 3 đợc viết chủ yếu dựa trên các bài báo 1, 2, 3, 4.
3.1 Vành tự nội xạ đơn, GP-nội xạ, FSG và vành QF
Ta có các quan hệ:
Tự nội xạ phải FSG phải, FPF phải FSG phải;
Tự nội xạ phải P-nội xạ phải GP-nội xạ phải tự nội xạ
đơn phải.
a. Vành tự nội xạ đơn và vành QF
Tác giả Kupisch đã khẳng định đối với vành Artin phải hoặc trái
R thì: R là vành QF khi và chỉ khi R là QF-2 và
() ()
RR
Soc R Soc R
=

.
Chúng tôi cũng thu đợc kết quả tơng tự nh trên, nhng chỉ cần
điều kiện vành đã cho là nửa địa phơng và thỏa mãn ACC trên các
iđêan linh hóa tử phải. Trớc hết ta xét bổ đề.
Bổ đề 3.1.1. Cho R là vành nửa địa phơng thỏa mãn ACC trên các
linh hóa tử phải và
() ()
R
R
Soc R Soc R R
R
=
. Khi đó ta có:
(i) R là vành nửa nguyên sơ.
(ii) Nếu R là vành QF-2 thì R là vành Artin (hai phía).
Mệnh đề 3.1.2. Cho R là vành nửa địa phơng thỏa mãn ACC trên
các linh hóa tử phải. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành QF.
(ii) R là vành QF-2 thỏa mãn
() ()
R
RR
Soc R Soc R R= .
(iii)
() ()
R
R
Soc R Soc R R=
R
, Soc(eR) và Soc(Re) là các iđêan phải

và iđêan trái đơn (tơng ứng) với mọi lũy đẳng địa phơng
. eR
áp dụng Mệnh đề 3.1.2, ta chứng minh đợc kết quả sau (đã
đợc chứng minh bởi các tác giả Nicholson và Yousif (2003)).
Mệnh đề 3.1.3. Cho R là vành nửa địa phơng, tự nội xạ đơn (phải
và trái) thỏa mãn
()
R
R
Soc R R . Nếu R thỏa mãn ACC trên các linh
hóa tử phải thì R là vành QF.
Hệ quả 3.1.4. Một vành R là QF khi và chỉ khi R là vành tự nội xạ
đơn (phải và trái) và Artin phải (hoặc trái).

15
b. Vành GP-nội xạ và vành QF
Để thuận tiện chúng tôi định nghĩa vành SGPE nh sau.
Định nghĩa 3.1.5. Một vành R đợc gọi là SGPE phải nếu R là nửa
hoàn chỉnh, GP-nội xạ phải và thỏa mãn
()
R
R
Soc R R .
Với R là vành GP-nội xạ phải thì ta có lr(S) = S với mọi iđêan trái
đơn S của R (Bổ đề 3.1.6). Từ đó suy ra mọi vành SGPE phải đều là
vành PF-đơn phải, và từ đó chúng tôi chứng minh đợc mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1.7. Cho R là vành SGPE phải với J = J(R). Khi đó ta có:
(i) R là vành Kasch (hai phía).
(ii)
cốt yếu trong R() ()

RR
Soc R Soc R S==
R
và
R
R.
(iii)
R
R là hữu hạn đối sinh.
(iv) J = Z(R
R
) = Z(
R
R).
(v) l(S) = J = r(S) và l(J) = S = r(J).
(vi) ánh xạ
(
)
KrK và
(
)
TlT là hai đẳng cấu dàn ngợc
nhau giữa các iđêan trái đơn K và iđêan phải cực đại T.
(vii) Với
{
}
1
,,
n
ee là tập lũy đẳng cơ sở của vành R. Khi đó tồn tại

các phần tử
trong R và một phép thế (hoán vị)

của
tập
{
1
,,
n
kk
}
1, , ,n sao cho các điều kiện sau đợc thỏa mãn với mọi
1, , :in=
(a)
và
ii
kR eR
()ii
R
kRe


.
(b)
() ()iii
kR e R e J

và
iii
R

kReJe

.
(c)
{
}
1
,,
n
kR kR và
{
}
1
,,
n
R
kRk là tập tất cả các đại diện của
các R-môđun phải, trái đơn (tơng ứng).
(d)
() ()
()
iiii
Soc Re Rk Se Re Je
i
=
= là đơn và cốt yếu trong
()i
R
e

với mọi 1 . in
(e)
()
i
Soc e R 0

là thuần nhất và cốt yếu trong , trong đó
mỗi R-môđun con đơn đẳng cấu với
i
eR
() ()ii
eReJ

.

16
Sau đây là các đặc trng vành QF qua vành GP-nội xạ.
Định lý 3.1.8. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành QF.
(ii) R là vành linh hóa tử đơn phải, GP-nội xạ phải và thỏa mãn
ACC trên các linh hóa tử phải.
(iii) R là vành nội xạ đơn trái, GP-nội xạ phải và thỏa mãn ACC trên
các linh hóa tử phải.
(iv) R là vành đối xứng đơn trái, GP-nội xạ phải và thỏa mãn ACC
trên các linh hóa tử phải.
(v) R là vành GP-nội xạ phải và thỏa mãn ACC trên các linh hóa tử
phải và Soc(eR) là iđêan phải đơn với mọi lũy đẳng địa phơng
. eR
Từ định lý trên ta suy ra rằng "vành GP-nội xạ (phải và trái) thỏa
mãn ACC trên các iđêan linh hóa tử phải (hoặc trái) là vành QF". Tuy

nhiên, điều đó không còn đúng đối với vành tự nội xạ đơn. Thật vậy,
với
R
= Z là vành các số nguyên, thì R là Nơte và tự nội xạ đơn.
Nhng rõ ràng R không là vành QF.
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng các điều kiện linh hóa tử đơn phải,
tự nội xạ đơn trái, đối xứng đơn trái, Soc(eR) là iđêan phải đơn với
mọi lũy đẳng địa phơng e của vành R trong Định lý 3.1.8 là không
thể bỏ đợc.
Ví dụ 3.1.9.
Cho trờng F và
F
là một trờng con của F
(
)
F
F . Giả sử
phép đặt tơng ứng
a a là một đẳng cấu trờng từ
F
F . Gọi R
là không gian véctơ trái với cơ sở
{
}
1, t . Định nghĩa phép nhân:
2
0,tta==at với mọi aF

. Khi đó R có cấu trúc F-đại số.
Ta có những khẳng định sau đây:

(i) R là vành Artin trái, P-nội xạ phải.
(ii) R không là vành tự nội xạ đơn trái.

17
Từ đó ta có R là vành P-nội xạ phải (và do đó GP-nội xạ phải)
thỏa mãn ACC trên các iđêan linh hóa tử phải, nhng R không là
vành QF hay PF.
Ví dụ sau đây chứng tỏ tồn tại vành R là GP-nội xạ (phải và trái),
thỏa mãn Soc(eR) và Soc(Re) là iđêan phải đơn và iđêan trái đơn
(tơng ứng) với mọi lũy đẳng địa phơng
eR

. Tuy nhiên, R không
thỏa mãn ACC trên các iđêan phải (hoặc trái). Nên R không là vành
QF. Đồng thời cũng chứng tỏ rằng tồn tại vành PF phải nhng không
là vành QF hay co-H phải.
Ví dụ 3.1.10.
Với số nguyên tố p, ký hiệu
là bộ phận của tích trực tiếp
()p
Z
1
n
n
p

=

ZZ, trong đó mỗi phần tử
(

)
12 ()
,,,,
np
xx x Z
thỏa
mãn:
1
() ( 1),
nn
xx n

=
>
với
là toàn cấu vành
11
,
nnn
ppxpxp

++ZZZ Z Z Z
n
.
Vành con
đợc gọi là vành số nguyên p-adic.
()p
Z
Ký hiệu
p

Z là p-thành phần của QZ (nhóm Prỹfer),
{
}
| , sao cho .
k
p
qq k pq

=+ ZZQ N tồn tại Z
Vành
R đợc định nghĩa:
(
)
()
,
p
p
R

+= ZZ
Phép nhân đợc định nhĩa:
()
(
)
(
)( )
(
)
;.

x
yyxxyR
=
+ ,à, à, à ,à,
Khi đó,
R là vành PF (phải và trái) nhng không là vành QF. Từ đó
suy ra
R không là vành co-H phải (hoặc trái).
c. Vành FSG, GP-nội xạ và vành QF
Tác giả Yousif (1994) đã khẳng định rằng "với R là vành nửa
hoàn chỉnh FPF phải, thì
R là vành tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu
() ( )
R
J
RZR=
". Chúng tôi chứng minh đợc kết quả đó vẫn đúng
cho trờng hợp vành FSG.

18
Mệnh đề 3.1.11
. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải. Khi đó,
R là vành tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu
J(R) = Z(R
R
).
Từ Ví dụ 3.1.9 ta suy ra đợc rằng các lớp vành FSG phải và tự
nội xạ đơn phải (hoặc trái) là không trùng nhau. Trong Định lý 3.1.8,
nếu ta thay điều kiện vành linh hóa tử đơn phải hoặc vành tự nội
xạ đơn trái bởi điều kiện vành FSG phải, thì kết quả vẫn còn đúng.

Đồng thời chúng tôi cũng thu đợc các đặc trng vành QF qua vành
FSG phải, GP-nội xạ phải và thỏa mãn
()
R
R
Soc R là vành Goldie
phải hoặc trái.
Hệ quả 3.1.12. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng
đơng:

(
i) R là vành QF.
(ii) R là vành GP-nội xạ phải, FSG phải và thỏa mãn ACC trên các
linh hóa tử phải.
(iii) R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải, GP-nội xạ phải và thỏa mãn
()
R
R
Soc R là vành Goldie phải.
(iv) R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải, GP-nội xạ phải và thỏa
mãn
()
R
R
Soc R là vành Goldie trái.
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng điều kiện vành GP-nội xạ phải trong
hệ quả trên là không thể bỏ đợc, cũng không thể thay bằng điều
kiện vành tự nội xạ đơn phải.
Ví dụ 3.1.13. Cho
R

=
Z , là vành các số nguyên.
Khi đó
R là vành Nơte, tự nội xạ đơn, FSG và ()
R
R
Soc R là vành
Goldie. Nhng
R không là vành GP-nội xạ phải và rõ ràng R không là
vành QF (hoặc PF phải).
Từ Mệnh đề 3.1.11 ta suy ra "Với
R là vành nửa hoàn chỉnh FSG
phải, thì các điều kiện sau đây là tơng đơng: (
i) R là vành tự nội xạ
phải; (
ii) R là vành P-nội xạ phải; (iii) R là vành GP-nội xạ phải" (Hệ
quả 3.1.14
).

19
3.2 Đặc trng vành PF qua vành FSG

Ta đã biết, một vành
R là PF phải khi và chỉ khi R là vành nửa
hoàn chỉnh, tự nội xạ phải và có đế phải cốt yếu. Tác giả Faticoni
(1987) đã chứng minh rằng kết quả trên vẫn còn đúng, khi thay thế
điều kiện vành tự nội xạ phải bởi điều kiện vành FPF phải. Trong
mục này, bằng cách chứng minh "nếu
R là vành nửa hoàn chỉnh, FSG
phải và có đế phải cốt yếu thì mọi

R-môđun phải trung thành hữu hạn
sinh là đối trung thành", chúng tôi đã chứng minh đợc kết quả trên
vẫn còn đúng khi thay thế điều kiện vành tự nội xạ phải (hay FPF
phải) bởi điều kiện vành FSG phải.
Mệnh đề 3.2.1. Vành R là PF phải khi và chỉ khi R là nửa hoàn
chỉnh, FSG phải và thỏa mãn
()
R
R
Soc R R .
Các tác giả Dischinger và Mỹller (1986) đã chứng minh rằng một
vành PF phải không nhất thiết là vành PF trái. Các tác giả Faith và
Huỳnh (2002) đã khẳng định rằng "nếu
R là vành FPF trái, PF phải
với
J(R) là một iđêan linh, thì R là vành PF trái". áp dụng Mệnh đề
3.2.1, chúng tôi chứng minh đợc kết quả mạnh hơn. Cụ thể, chúng
tôi thay điều kiện vành FPF trái bởi điều kiện vành FSG trái và không
cần điều kiện
J(R) là iđêan linh.
Hệ quả 3.2.2. Một vành PF phải R là PF trái (PF hai phía) khi và
chỉ khi R là vành FSG trái.

Đối với vành hoàn chỉnh phải (hoặc trái)
R thì: R là vành QF khi
và chỉ khi
R là vành FSG (phải và trái) (Hệ quả 3.2.3).
Sau đây là một đặc trng của vành PF phải qua vành nửa hoàn
chỉnh, FSG phải, P-nội xạ trái và Kasch trái.
Mệnh đề 3.2.4. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng

đơng:
(i) R là vành PF phải.
(ii) R là vành SGPE phải, FSG phải.

20
(iii) R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải, P-nội xạ và Kasch trái.
(iv) R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải, P-nội xạ trái và Kasch trái.
Hệ quả 3.2.5. Mọi vành PF phải đều là vành GPF trái (và phải).
Để chứng minh kết quả chính trong mục này, chúng ta cần chứng
minh thêm một số kết quả sau.
Bổ đề 3.2.6. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải và
{
}
1
,,
n
ee
là tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của R,
là lũy đẳng cơ sở của R. Khi đó, nếu R chứa
01 t
ee e=++ (tn )
t iđêan phải đơn không đẳng cấu với nhau thì u.dim
(Soc(R
R
))=n.
Bổ đề 3.2.7. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh tự nội xạ đơn trái. Khi
đó, R là vành Kasch trái nếu và chỉ nếu eSoc
(
R
R) là môđun đơn với

mọi lũy đẳng địa phơng
eR

.
Sau đây là một vài đặc trng của vành PF phải qua vành FSG
phải, thỏa mãn điều kiện Kasch phải (hoặc Kasch trái và tự nội xạ
đơn trái).
Định lý 3.2.8. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh. Những phát biểu sau
đây là tơng đơng:
(i) R là vành PF phải.
(ii) R là vành FSG phải và thỏa mãn ()
R
R
Soc R R .
(iii) R là vành FSG phải và Kasch phải.
(
iv) R là vành FSG phải và thỏa mãn . ()
RR
Soc R R
(
v) R là vành FSG phải, Kasch trái và tự nội xạ đơn trái.
áp dụng cho vành PF hai phía ta đợc.
Hệ quả 3.2.9. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành PF.
(ii) R là vành nửa hoàn chỉnh, FSG và Kasch phải.
(
iii) R là vành nửa hoàn chỉnh, FSG và Kasch trái.

21
3.3 Vành nửa hoàn chỉnh FSG với điều kiện acc, dcc

Trớc tiên ta xét tính chất của vành nửa hoàn chỉnh, FSG phải và
thỏa mãn điều kiện ACC hoặc DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
Bổ đề 3.3.1. Giả sử R một vành nửa hoàn chỉnh FSG phải và
{
}
12
,,,
n
ee e là một tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao
của R. Khi đó ta có:

(
i) Những phát biểu sau là tơng đơng:
(a) R là vành Artin phải.
(b) là môđun Artin, với mọi
i
eR
1, 2, ,in
=
.
(
c) R thỏa mãn DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
(ii) Những phát biểu sau là tơng đơng:
(a) R là vành Nơte phải.
(b) là môđun Nơte, với mọi
i
eR 1, 2, ,in
=
.
(c) R thỏa mãn ACC trên các iđêan phải cốt yếu.

Mệnh đề 3.3.2
. Một vành R là QF khi và chỉ khi R là vành nửa hoàn
chỉnh, FSG phải và thỏa mãn DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
Hệ quả 3.3.3
. Một vành R là QF khi và chỉ khi R là vành FSG phải,
Artin phải hoặc trái.
Để ý rằng, nếu thay thế điều kiện vành Artin bởi điều kiện vành
Nơte trong hệ quả trên, thì kết quả không còn đúng. Thật vậy, vành
các số nguyên
Z là Nơte, FSG hai phía nhng không nội xạ, do đó
không là vành QF.
Ví dụ 3.3.4. Tồn tại vành P-nội xạ phải (do đó GP-nội xạ phải)
nhng không là vành FSG phải hoặc trái.
Thật vậy, xét vành
R đợc xây dựng nh trong Ví dụ 3.1.9. Khi
đó,
R không là vành FSG phải hoặc trái. Vì nếu R là vành FSG phải
hoặc trái, thì theo Hệ quả 3.3.3 ta có
R là vành QF và điều này dẫn
đến mâu thuẫn với khẳng định "
R không là vành tự nội xạ đơn trái".
Vậy
R không là vành FSG phải hoặc trái.

22