Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hoá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————
Hà Thị Ngọc Yến
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN PHI TUYẾN
VỚI KỸ THUẬT TUYẾN TÍNH HOÁ
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 62.46.30.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2009
Công trình được hoàn thành tại:
Đ
ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Tập thể hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh
GS. TS. Nguyễn Hữu Dư
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước
chấm luận án tiến sĩ họp tại

vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
DANH MỤC CÁC BÀI BÁO
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. P. K. Anh, H. T. N. Yen, "On the solvability of initial-value prob-
lems for nonlinear implicit difference equations", Advances in Dif-

ference Equations, 3 (2004) 195 – 200.
2. P. K. Anh, H. T. N. Yen, "Floquet theorem for linear implicit nonau-
tonomous difference equations", Journal of Mathematical Analysis
and Applications 321 (2006) 921-929.
3. P. K. Anh, H. T. N. Yen and T. Q. Binh, "On quasi-linear implicit
difference equations", Vietnam Journal of Mathematics 32 (2004) 75-
85.
-
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, phương trình sai phân ẩn là đối tượng
được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiều lĩnh vực
khác nhau trong toán học cũng như trong thực tế ứng dụng. Đặc biệt,
phương trình sai phân ẩn là kết quả tự nhiên thu được từ việc sai phân
hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số, là
những đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong thời gian gần
đây.
Cho đến nay, phương trình sai phân ẩn tuyến tính với hệ số hằng
dạng Ax
n+1
+ Bx
n
= f
n
, trong đó A ∈ C
m×m
suy biến, đã được nghiên cứu
tương đối đầy đủ và tổng hợp trong một số cuốn sách của các tác giả S. L.
Campbell, L. Dai, v.v. Điều kiện tồn tại nghiệm và công thức nghiệm của
bài toán giá trị ban đầu cho phương trình không thuần nhất đã đượ c thiết
lập. Các tác giả cũng thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm cho bài toán

điều khiển rời rạc Ex
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
,k= 0,N − 1, trong đó E là ma
trận suy biến. Tuy nhiên, những kết quả thu được cho phương trình sai
phân tuyến tính với hệ số hằng không thể mở rộng trực tiếp cho phương
trình với hệ số biến thiên.
Nhóm nghiên cứu của M. Benadbdallakh và A. G. Rutkas quan tâm
đến phương trình sai phân với hệ số hằng trong không gian Bannach và
thu được một số kết quả nhất định như: áp dụng khai triển tiệm cận để
khảo sát phương trình; đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu; nghiên
cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất từ các đặc trưng
của phổ của cặp toán tử tuyến tính đóng trên không gian Bannach; từ đó
thu được định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tính
tương ứng.
Các bài toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số hằng, bài toán có
nhiễu hoặc có trễ tương ứng cũng được nhiều tác giả quan tâm như Q. L.
Zhang, W. Q. Liu, David Hill, X. Z. Dong, X. Ji, H. Su, J.Chu, S. Ma, Z.
Cheng, C. Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v.v. Nhiều kết quả về phương
trình sai phân suy biến với hệ số hằng đã được thiết lập và mở rộng cho
phương trình sai phân có trễ.
1
Nhóm nghiên cứu của Bondarenko và A. G. Rutkas quan tâm tới
một lớp các phương trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt
T
n
x

n+1
+ x
n
= f
n
, trong đó T
n
là ma trận suy biến với mọi n. Họ đã đưa ra
một số kết quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toán
biên tuần hoàn cho phương trình này.
Từ cuối những năm 90 của thế kỷ XX cho tới nay, nhóm nghiên cứu
của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh và GS. TS. Nguyễn Hữu Dư quan tâm nhiều
tới phương trình sai phân ẩn và đã thu đượ c một số kết quả nhất định. Các
khái niệm về chỉ số, tựa chỉ số, chỉ số lạ của phương trình sai phân ẩn được
thiết lập. Tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình
tuyến tính và phi tuyến cũng như bài toán biên nhiều điểm cho phương
trình tuyến tính đã được nghiên cứu. Hơn nữa, các tác giả đã chỉ ra mỗi
quan hệ mật thiết giữa phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
với phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 cũng như sự hội tụ của
nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính tới nghiệm của phương
trình vi phân đại số tuyến tính tương ứng. Thêm vào đó, việc đưa ra được
dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass của phương trình sai phân tuyến
tính ẩn giúp các tác giả xây dựng lý thuyết Floquet cho phương trình sai
phân tuyến tính ẩn, từ đó khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình
sai phân ẩn chỉ số 1 tuần hoàn tuyến tính cũng như phi tuyến. Phương
pháp hàm Lyapunov đã được áp dụng cho phương trình sai phân tựa tuyến
tính ẩn chỉ số 1. Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ phương
trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được
thiết lập. Việc nghiên cứu phương trình sai phân ẩn với chỉ số cao hơn 1
mới chỉ được bắt đầu.

Phương trình sai phân ẩn tuyến tính ngẫu nhiên
A(ξ
n
)X(n +1)=B(ξ
n
)X(n)+q
n
,n∈ N,
trong đó {ξ
n
: n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong không
gian Polish đã được nghiên cứu. Từ đó, khái niệm chỉ số 1 và đặc trưng cho
tập các giá trị ban đầu để bài toán Cauchy với điều kiện X(0) = x
0
∈ R
m
có nghiệm được thiết lập. Khai triển Furstenberg-Kifer cho phương trình
sai phân tuyến tính ẩn ngẫu nhiên thuần nhất dạng Furstenberg-Kifer đã
được chứng minh. Sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình sai phân
2
tuyến tính ẩn ngẫu nhiên không thuần nhất với giá trị ngẫu nhiên q
n
thỏa
mãn những điều kiện nhất định được thiết lập.
Luận án này được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng [1,2,3] và
một vài kết quả áp dụng từ những bài báo đó. Luận án gồm có mở đầu,
kết luận chung và 3 chương được phân bố lần lượt như sau:
1. Chương 1. Lý thuyết floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn:
Trong chương này, chúng tôi đưa ra định nghĩa chỉ số 1, dạng chuẩn
tắc Kronecker - Weierstrass và xây dựng lý thuyết Floquet cho phương

trình sai phân ẩn tuyến tính (trong [2]). Áp dụng kết quả thu được
cho bài toán Cauchy đối với phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ
số 1 và phương trình sai phân tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số
1. Điều kiện ổn định nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính
tuần hoàn chỉ số 1 cũng được thiết lập.
2. Chương 2. Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn: Đưa ra khái niệm
tựa chỉ số. Chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm cho bài toán
giá trị ban đầu của phương trình sai phân tựa tuyến tính chỉ số 1 và
tựa chỉ số 1. Đưa ra một phương pháp giải gần đúng bài toán giá trị
ban đầu cho phương trình sai phân tựa tuyến tính chỉ số 1 (trong [3]).
Đồng thời, chúng tôi áp dụng kết quả thu được trong Chương 1 để
khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân tựa tuyến
tính ẩn tuần hoàn chỉ số 1.
3. Chương 3. Phương trình sai phân phi tuyến ẩn: Đề xuất khái niệm chỉ
số cho phương trình sai phân phi tuyến ẩn. Thiết lập tính giải được
duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (trong [1]). Phần cuối
của chương khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân
phi tuyến ẩn tuần hoàn chỉ số 1.
3
Chương 1
Lý thuyết Floquet cho phương trình
sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1
1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến
tính
Trong mục 1.1, chúng tôi trình bày ngắn gọn lý thuyết Floquet cho
phương trình vi phân tuyến tính.
1.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân
tuyến tính chỉ số 1
Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày sơ lược lý thuyết Floquet cho
phương trình sai phân tuyến tính.

1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại
số tuyến tính chỉ số 1
Mục 1.3 được chia thành 2 tiểu mục. Trong tiểu mục 1.3.1, chúng tôi
nêu lại định nghĩa và một số tính chất cơ bản của phương trình vi phân
đại số tuyến tính chỉ số 1. Trong tiểu mục 1.3.2, chúng tôi trình bày những
nét chính của lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến
tính chỉ số 1.
1.4 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
,n 0, (1.4.1)
trong đó A
n
∈ R
m×m
suy biến với mọi n, B
n
∈ R
m×m
, và x
n

,q
n
∈ R
m
.
4
1.4.1 Khái niệm chỉ số
Cho N là một không gian con k chiều của R
m
và ma trận đường chéo
khối
˜
Q = diag (O
m−k
,I
k
) là phép chiếu chính tắc từ R
m
vào R
k
. Dưới đây
chúng tôi đưa ra liên hệ giữa một phép chiếu bất kỳ từ R
m
lên N và phép
chiếu chính tắc
˜
Q.
Mệnh đề 1.4.1 Mọi phép chiếu Q từ R
m
lên N luôn đưa được về phép

chiếu chính tắc từ R
m
lên R
k
, tức là tồn tại ma trận khả nghịch V ∈ R
m×m
thoả mãn Q = V
˜
QV
−1
.
Mệnh đề 1.4.2 Gọi toán tử Q
αβ
= V
α
˜
QV
−1
β
là toán tử nối giữa hai không
gian có cùng số chiều N
α
và N
β
(gọi tắt là toán tử nối). Khi đó toán tử
nối thoả mãn các tính chất sau:
Q
α
Q
αβ

= Q
αβ
= Q
αβ
Q
β
;(1.4.2)
Q
α
V
α
V
−1
β
= Q
αβ
= V
α
V
−1
β
Q
β
;(1.4.3)
Q
αβ
Q
βα
= Q
α

. (1.4.4)
Toán tử nối là công cụ quan trọng giúp chúng tôi tiếp cận phương trình
sai phân ẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1 cũng như thiết lập khái niệm chỉ số cho
phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính và phi tuyến.
Định nghĩa 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn (1.4.1) được gọi
là có chỉ số 1 nếu:
i/ rankA
n
= r, n  0;
ii/ S
n
∩ ker A
n−1
= {0}, ∀n  1, trong đó S
n
:= {ξ ∈ R
m
: B
n
ξ ∈ imA
n
}.
Ngoài ra, giả thiết rằng dim S
0
= r. Gọi A
−1
∈ R
m×m
là ma trận thoả
mãn điều kiện S

0
⊕kerA
−1
= R
m
. Nếu cặp {A
0
,B
0
} có chỉ số 1 thì ta có thể
lấy A
−1
= A
0
. Gọi Q
−1
là phép chiếu nào đó lên ker A
−1
và P
−1
= I −Q
−1
.
Ta nhận thấy điều kiện ii/ trong Định nghĩa 1.4.3 bây giờ đúng với mọi
n  0 và toán tử nối Q
n−1,n
cũng xác định với mọi n  0.
1.4.2 Các tính chất cơ bản của phương trình sai phân ẩn tuyến
tính chỉ số 1
Trong phần này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất cơ bản của

phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Các tính chất tương tự đã được P.
5
K. Anh, N. H. Dư, L. C. Lợi thiết lập trước đó cho trường hợp Q
n
là phép
chiếu trực giao. Ở đây Q
n
là phép chiếu bất kỳ lên ker A
n
.
Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận G
n
= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
là ma trận không suy
biến thì ta có các đẳng thức sau
(i)
A
n
P
n
= A
n
, (1.4.5)
(ii)
P

n
= G
−1
n
A
n
, (1.4.6)
(iii)
G
−1
n
B
n
Q
n−1,n
= Q
n
, (1.4.7)
P
n
G
−1
n
B
n
Q
n−1
=0,Q
n
G

−1
n
B
n
Q
n−1
= Q
n,n−1
.
Mệnh đề 1.4.5 Các khẳng định sau là tương đương.
i/ S
n
∩ ker A
n−1
= {0}.
ii/ Ma trận G
n
:= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
không suy biến.
iii/ R
m
= S
n
⊕ ker A
n−1

.
Hệ quả 1.4.6 Tính khả nghịch của ma trận G
n
= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
không
phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu Q
n
,Q
n−1
.
Mệnh đề 1.4.7 Giả sử phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.4.1) có chỉ
số 1 và giả sử Q
n−1
= V
n−1
˜
QV
−1
n−1
là phép chiếu nào đó lên ker A
n−1
(n  1).
Khi đó:
i/
˜

Q
n−1
:= Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
là phép chiếu chính tắc lên ker A
n−1
song song
với S
n
;
ii/
˜
Q
n−1
=
˜
V
n−1
˜
Q
˜
V
−1
n−1
, trong đó

˜
V
n−1
=

s
1
n
, , s
r
n
,h
r+1
n−1
, , h
m
n−1

là ma
trận có các cột tương ứng là cơ sở của S
n
và ker A
n−1
, tức là S
n
= span

s
i
n


r
i=1

và ker A
n−1
= span


h
j
n−1

m
j=r+1

.
Mệnh đề 1.4.8 Giả sử {E
n
}
n0
và {F
n
}
n−1
là hai họ các ma trận khả
nghịch và giả sử phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Khi đó (1.4.1) tương
đương với phương trình sai phân tuyến tính ẩn
¯
A

n
¯x
n+1
+
¯
B
n
¯x
n
=¯q
n
, (1.4.8)
với
¯
A
n
= E
n
A
n
F
n
;
¯
B
n
= E
n
B
n

F
n−1
;¯q
n
= E
n
q
n
. Hơn nữa (1.4.8) cũng có
chỉ số 1. E
n
được gọi là ma trận tỷ lệ và F
n
là ma trận của phép đổi biến
x
n
= F
n−1
¯x
n
.
6
1.5 Lý thuyết Floquet
1.5.1 Định lý Kronecker
Trong mục này, chúng tôi sử dụng các tính chất trong tiểu mục 1.4.2
tìm cặp (E
n
,F
n
) đưa phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 về dạng

đơn giản, dễ giải hơn, từ đó đưa ra kết quả về nghiệm của bài toán giá trị
ban đầu.
Định lý 1.5.1 Mọi phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 đều có thể
đưa được về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass

I
r
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
O
m−r

¯x
n+1
+

W
n
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
I
m−r

¯x
n
=¯q

n
. (1.5.1)
Định lý 1.5.2 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn
chỉ số 1 (1.4.1)
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
,n 0,
˜
P
−1
(x
0
− x
0
)=0, (1.5.4)
luôn giải được duy nhất nghiệm với công thức
x
n+1
=(−1)
n+1
˜
V

n
˜
P

n

k=0
˜
G
−1
n−k
B
n−k
˜
V
n−k−1

˜
V
−1
−1
x
0
+
˜
V
n

n


k=0
(−1)
n−k
˜
P

n−k−1

i=0
˜
G
−1
n−i
B
n−i
˜
V
n−i−1

˜
G
−1
k
q
k

+
˜
V
n

˜
Q
˜
G
−1
n
q
n
.
1.5.2 Định lý Floquet
Trong phần này, chúng tôi xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn
tuần hoàn chỉ số 1, được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.5.3 Phương trình (1.4.1) được gọi là phương trình tuần
hoàn với chu kỳ N ∈ N nếu N là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn
A
n+N
= A
n
,B
n+N
= B
n
, và q
n+N
= q
n
∀n  0.
7
Do định nghĩa phương trình tuần hoàn, ta khởi tạo A
−1

:= A
N−1
.
Một cách tương tự như phương trình vi phân đại số, ta cũng có định nghĩa
ma trận cơ bản của phương trình tuần hoàn (1.4.1).
Định nghĩa 1.5.4 Ma trận X
n
∈ R
m×m
thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu
A
n
X
n+1
+ B
n
X
n
= 0; (1.5.5)
P
−1
(X
0
− I)=0, (1.5.6)
với P
−1
= P
N−1
là phép chiếu lên S
N−1

song song với ker A
−1
=kerA
N−1
,
được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình tuần hoàn (1.4.1).
Từ dạng chuẩn tắc Kronecker-Weierstrass và tính chất tuần hoàn
của phương trình (1.4.1) chúng tôi chứng minh được định lý Floquet cho
phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
Định lý 1.5.5 Cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số
1
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
,n 0,
trong đó B
n
khả nghịch. Khi đó, tồn tại họ các ma trận tuần hoàn khả
nghịch F
n
và ma trận hằng R ∈ C
r×r
sao cho ma trận nghiệm cơ bản biểu

diễn dưới dạng
X
n
= F
n−1

R
n
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
O
m−r

F
−1
−1
, (n  1). (1.5.7)
1.5.3 Định lý Lyapunov
Trong phần này, chúng tôi xét tính ổn định của nghiệm x
n
=0của
phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn thuần nhất. Sử dụng Định
lý 1.5.5, chúng tôi chứng minh được định lý Lyapunov dưới đây.
Định lý 1.5.6 Mọi phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số
1 với B
n
không suy biến đều đưa được về dạng Kronecker - Weierstrass với
hệ số hằng


I
r
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
O
m−r

˜x
n+1
+

−RO
r×(m−r)
O
(m−r)×r
I
m−r

˜x
n
=˜q
n
. (1.5.12)
8
Định lý 1.5.6 giúp chúng tôi khảo sát sự ổn định nghiệm của phương
trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
Hệ quả 1.5.7 Nếu mọi giá trị riêng của ma trận R (xác định theo Định

lý 1.5.6) của PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn thuần nhất chỉ số 1 (với B
n
không suy biến ) có môđun nhỏ hơn 1 thì nghiệm tầm thường x
n
=0ổn
định tiệm cận mũ. Trái lại, nếu R có một giá trị riêng với môđun lớn hơn
1 thì nghiệm x
n
=0không ổn định.
1.6 Áp dụng cho phương trình sai phân tuyến tính
ẩn có chậm
Trong phần này, chúng ta xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính
có chậm với hệ số tuần hoàn dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
+ C
n
x
n−n
0
= q
n
(n  0), (1.6.1)
x

−n
0
+i
= γ
i
(i = 0,n
0
), (1.6.2)
trong đó A
n
= A
n+N
,B
n
= B
n+N
,C
n
= C
n+N
,q
n
= q
n+N
và γ
i
(i = 0,n
0
)
là các véc tơ cho trước.

Định nghĩa 1.6.1 Ta nói phương trình (1.6.1) có chỉ số 1 nếu phương
trình sai phân không có trễ tương ứng A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
=0có chỉ số 1.
Định lý 1.6.2 Bài toán giá trị ban đầu (1.6.1), (1.6.2) của phương trình
sai phân tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số 1 giải được duy nhất nghiệm
nếu các giá trị ban đầu thỏa mãn ràng buộc sau
˜
Q

˜
V
−1
−1
γ
n
0
+
˜
G
−1
0
(C
0

γ
0
− q
0
)

=0. (1.6.3)
9
Chương 2
Phương trình sai phân tựa tuyến
tính ẩn
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải được và thuật
toán tìm nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sai phân
tựa tuyến tính ẩn dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
+ f
n
(x
n+1
,x
n
)=0, (n ≥ 0), (2.0.1)
trong đó ma trận A

n
suy biến với mọi n, f
n
: R
m
× R
m
−→ R
m
là hàm
véctơ khả vi theo biến thứ nhất. Hơn nữa, giả sử rằng
ker A
n
⊂ ker
∂f
n
∂y
(y, x) ∀n  0, ∀x, y ∈ R
m
. (2.0.2)
Chúng ta sẽ bắt đầu chương này bằng việc khảo sát sự tồn tại duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn
với điều kiện ban đầu
P
0
x
0
= γ. (2.0.3)
2.1 Một số định lý tồn tại
2.1.1 Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1

Xét phương trình sai phân tựa tuyến tính (2.0.1) thỏa mãn điều kiện
(2.0.2) và có hệ tuyến tính tương ứng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
(2.1.1)
có chỉ số 1, tức là với mọi n  0, 0 < rankA
n
= r<mvà S
n
∩ ker A
n−1
=
{0} với S
n
= {ξ|B
n
ξ ∈ imA
n
}.
10
Từ đây, để ngắn gọn, ta nói phần chính tuyến tính của (2.0.1) có chỉ
số 1 nếu hệ phương trình sai phân tuyến tính (2.1.1) có chỉ số 1 và nói

(2.0.1) là phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn có chỉ số 1 nếu (2.0.1)
có hàm f
n
(y, x) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) và phần chính tuyến tính có
chỉ số 1.
Dựa vào nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh được hai định lý
tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến
tính mà phần chính tuyến tính có chỉ số 1.
Định lý 2.1.1 Giả sử phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1) có
chỉ số 1 và giả sử hàm f
n
(y, x) thỏa mãn bất đẳng thức
f
n
(y, x) − f
n
(ξ,ζ )  α
n
y − ξ + β
n
x − ζ, (2.1.2)
với mọi y,x,ξ,ζ ∈ R
m
, với α
n
và β
n
là các hằng số không âm. Nếu
ω
n

:= α
n


P
n
G
−1
n


+ β
n


V
n−1
V
−1
n
Q
n
G
−1
n


< 1(2.1.3)
thì bài toán (2.0.1), (2.0.3) có nghiệm duy nhất.
Những nhận xét dưới đây cho thấy những đòi hỏi đặt lên hàm f

n
hoàn toàn có thể thỏa mãn được và lớp các bài toán (2.0.1) thỏa mãn yêu
cầu của Định lý 2.1.1 không quá hẹp.
Nhận xét 2.1.2
i/ Nếu ∀x, y ∈ R
m
,




∂f
n
∂y
(y, x)




 α
n
và




∂f
n
∂x
(y, x)





 β
n
thì điều kiện
(2.1.2) được thỏa mãn.
ii/ Nếu f
n
(y, x)=g
n
(A
n
y, x) với g
n
∈ C
1
(R
m
× R
m
, R
m
) thì f
n
thỏa mãn
điều kiện (2.0.2).
Dưới đây là định lý tồn tại nghiệm trong đó một số điều kiện trong
Định lý 2.1.1 đã đượ c thay đổi.

Định lý 2.1.3 Bài toán (2.0.1), (2.0.3) có nghiệm duy nhất nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:
i/ Phương trình (2.0.1) có chỉ số 1;
11
ii/ f
n
thỏa mãn hai điều kiện
im
∂f
n
∂y
(y, x) ⊂ imA
n
, ∀x, y ∈ R
m
, (2.1.16)
max

α
n


P
n
G
−1
n


,β

n


V
n−1
V
−1
n
Q
n
G
−1
n



< 1, (n ≥ 0). (2.1.17)
Nhận xét 2.1.4 Điều kiện (2.0.2) và (2.1.16) đặt ra cho hàm f
n
có thể
thỏa mãn được. Ví dụ, ta có thể chọn
f
n
(y, x)=Σ
k
n
i=1
a
in
A

i
n
y + g
n
(x),
trong đó g
n
∈ C
1
(R
m
, R
m
) là hàm cho trước nào đó.
2.1.2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1.
Trong phần trên, chúng ta đã khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương
trình sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1. Kết quả này có thể mở rộng cho
lớp các phương trình sai phân ẩn có tính chất gần giống với tính chất của
phương trình có chỉ số 1. Lớp các phương trình đó được định nghĩa như
sau.
Định nghĩa 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
=
q

n
,n  0, được gọi là phương trình tựa chỉ số 1 nếu nó thỏa mãn những
tính chất sau:
i/ A
n
suy biến thỏa mãn 0 < rankA
n
= r
n
<m,n 0;
ii/ Với S
n
:= {ξ|B
n
ξ ∈ imA
n
}, thì S
n
∩ker A
n−1
= {0}, trong đó A
−1
được
lấy để thỏa mãn S
0
∩ ker A
−1
= {0}.
Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1, từ định
nghĩa trên, ta chứng minh được các tính chất cơ bản của phương trình sai

phân tuyến tính ẩn tựa chỉ số 1.
Xét Q
n
là phép chiếu nào đó lên ker A
n
,P
n
= I−Q
n
là phép chiếu dọc
theo ker A
n
. Do 0 < rankA
n
= r
n
<mnên tồn tại V
n
khả nghịch thỏa mãn
Q
n
= V
n
Q
(n)
V
−1
n
và P
n

= V
n
P
(n)
V
−1
n
với Q
(n)
=

O
r
n
O
r
n
×(m−r
n
)
O
(m−r
n
)×r
n
I
m−r
n

,

P
(n)
= I −Q
(n)
. Với các ký hiệu trên, dùng suy luận và các biến đổi tương
tự như trong chứng minh Mệnh đề 1.4.4, Mệnh đề 1.4.5, ta thu được các
tính chất sau:
12
Mệnh đề 2.1.6 Các phát biểu sau là tương đương
i/ S
n
∩ A
n−1
= {0}.
ii/ G
n
= A
n
+ B
n
V
n−1
Q
(n)
V
−1
n
không suy biến với mọi n  0.
Mệnh đề 2.1.7 Nếu G
n

= A
n
+ B
n
V
n−1
Q
(n)
V
−1
n
không suy biến thì
(i)
A
n
P
n
= A
n
, (2.1.21)
(ii)
P
n
= G
−1
n
A
n
, (2.1.22)
(iii)

G
−1
n
B
n
V
n−1
Q
(n)
V
n
= Q
n
(2.1.23)
và nếu r
n
 r
n+1
thì
P
n
G
−1
n
B
n
Q
n−1
=0,Q
n

G
−1
n
B
n
Q
n−1
= V
n
Q
(n−1)
V
−1
n−1
. (2.1.24)
Mệnh đề 2.1.8 Cho phương trình sai phân tuyến tính
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
,n≥ 0, (2.1.25)
và hai họ ma trận khả nghịch E
n
,F

n
. Khi đó phương trình (2.1.25) tương
đương với
¯
A
n
¯x
n+1
+
¯
B
n
¯x
n
=¯q
n
,n 0, (2.1.26)
trong đó
¯
A
n
:= E
n
A
n
F
n
;
¯
B

n
= E
n
B
n
F
n−1
;¯q
n
= E
n
q
n
. Hơn nữa, nếu
(2.1.25) là phương trình tựa chỉ số 1 thì (2.1.26) cũng là phương trình
tựa chỉ số 1 và ngược lại.
Bây giờ, ta xét phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1)
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
+ f
n
(x
n+1
,x

n
)=0.
Định nghĩa 2.1.9 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1) được
gọi là phương trình tựa chỉ số 1 nếu phương trình tuyến tính tương ứng
(2.1.1)
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
=0
là phương trình tựa chỉ số 1, còn phần phi tuyến f
n
(y, x) thỏa mãn điều
kiện (2.0.2).
Từ đây, kèm theo giả thiết tựa chỉ số 1 cho phương trình (2.0.1), ta
luôn giả thiết rằng (2.0.1) thỏa mãn
r
n+1
≥ r
n
n  0(2.1.27)
13
với r
n
:= rankA
n

. Xét khai triển kỳ dị của A
n
: A
n
= U
n
Σ
n
V
T
n+1
, trong đó
U
n
(V
n
) là các ma trận trực giao với các cột tương ứng là các véctơ kỳ dị
trái (phải), Σ
n
là ma trận đường chéo Σ
n
= diag

σ
(n)
1
,σ
(n)
2
, , σ

(n)
r
n
, 0, 0

với các phần tử trên đường chéo σ
(n)
1
 σ
(n)
2
  σ
(n)
r
n
> 0 là các giá trị
kỳ dị đã được sắp thứ tự.
Bây giờ, tác dụng cặp (U
T
n
,V
n+1
) lên phương trình (2.0.1), và áp dụng
Mệnh đề 2.1.8, ta có phương trình (2.0.1) tương đương với
Σ
n
y
n+1
+
˜

B
n
y
n
+ g
n
(y
n+1
,y
n
)=0, (2.1.28)
trong đó y
n
= V
T
n
x
n
,
˜
B
n
= U
T
n
B
n
V
n
và g

n
(y, x)=U
T
n
f
n
(V
n+1
y, V
n
x).
Hơn nữa do (2.0.1) là phương trình tựa chỉ số 1 nên (2.1.28) cũng là phương
trình tựa chỉ số 1. Vì vậy, ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.1.10 Ta có các khẳng định sau
1/ Các ma trận G
n
= A
n
+ B
n
V
n
Q
(n)
V
T
n+1
và
˜
G

n
:= Σ
n
+
˜
B
n
Q
(n)
đồng thời
khả nghịch hay không khả nghịch.
2/ Điều kiện (2.0.2) tương đương với
ker Σ
n
⊂ ker
∂g
n
∂y
(y, x). (2.1.29)
3/
∀n  0, ∀y, x ∈ R
m
,g
n
(y, x)=g
n
(P
(n)
y, x). (2.1.30)
Để thuận tiện, trong phần này chúng ta sẽ dùng chuẩn Euclid, do đó

U
n
 = V
n
 =


U
T
n


=


V
T
n


=



P
(n)



=




Q
(n)



=1.
Định lý 2.1.11 Cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tựa chỉ số
1 (2.0.1) thỏa mãn điều kiện (2.1.27). Đồng thời giả sử rằng hàm f
n
(y, x)
thỏa mãn điều kiện (2.0.2). Hơn nữa, giả sử
f
n
(ξ,ζ )  a
n
ξ
ν
n
+ b
n
ζ
µ
n
+ c
n
, (2.1.31)
trong đó a

n
,b
n
,c
n
,ν
n
,µ
n
, là các hằng số không âm nào đó. Đặt θ
n
:=
max {ν
n
,µ
n
}  1 và giả thiết, nếu θ
n
=1thì (a
n
+ b
n
)G
−1
n
 < 1. Khi
đó bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1)
với điều kiện ban đầu (2.0.3) có nghiệm.
14
2.2 Giải gần đúng bài toán Cauchy cho phương trình

sai phân tựa tuyến tính ẩn
Định lý 2.2.1 Giả sử bài toán (2.0.1), (2.0.3) thỏa mãn các điều kiện:
i/ Phương trình (2.0.1) có chỉ số 1;
ii/ f
n
thỏa mãn điều kiện (2.1.2);
iii/Ma trận I − V
n−1
V
−1
n
Q
n
G
−1
n
B
n
bị chặn đều, tức là


I − V
n−1
V
−1
n
Q
n
G
−1

n
B
n


 C
1
;(2.2.1)
iv/ Ma trận P
n
G
−1
n
B
n
có chuẩn bị chặn đều bởi hằng số nhỏ hơn 1


P
n
G
−1
n
B
n


 δ
0
< 1; (2.2.2)

v/ α
n
,β
n
đủ nhỏ thỏa mãn
α
n


P
n
G
−1
n


+ β
n


V
n−1
V
−1
n
Q
n
G
−1
n



 ω<1, (2.2.3)
(1 − ω)
−1


P
n
G
−1
n


(δ
0
α
n
+ C
1
β
n
)  δ
1
< 1 − δ
0
, (2.2.4)
và (1 − ω)
−1



V
n−1
V
−1
n
Q
n
G
−1
n


(δ
0
α
n
+ C
1
β
n
)  C
2
. (2.2.5)
Khi đó, với mọi ε>0 cho trước, ta luôn tính được nghiệm gần đúng
{
x
n
}
n0

của Bài toán (2.0.1), (2.0.3) thỏa mãn x
n
− x
n
  ε, (n ≥ 0),
trong đó {x
n
}
n0
là nghiệm đúng duy nhất của nó.
2.3 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần
hoàn
2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại kết quả của René Lamour, Roswitha
M¨arz, và Renate Winkler về lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân
đại số và sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân đại số tựa tuyến
tính.
15
2.3.2 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn
Xét phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1)
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
+ f
n

(x
n+1
,x
n
)=0, (n ≥ 0)
với phần chính tuyến tính có chỉ số 1, còn phần phi tuyến f
n
nhỏ, liên tục,
có đạo hàm riêng trên Ω mở chứa (0, 0) trong R
m
× R
m
, thỏa mãn điều
kiện (2.0.2)
ker A
n
⊂ ker
∂f
n
∂y
(y, x) ∀n  0, ∀x, y ∈ R
m
.
Ta giả thiết thêm rằng B
n
khả nghịch với mọi n và tồn tại N ∈ N là số tự
nhiên nhỏ nhất thỏa mãn A
n
= A
n+N

,B
n
= B
n+N
, với mọi n  0. Với các
giả thiết trên, ta nói (2.0.1) là phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn
tuần hoàn chỉ số 1. Khi đó, theo Định lý 1.5.6, khi tác động cặp ma trận
(E
n
,F
n
) (xác định như trong Định lý 1.5.6) vào phương trình (2.0.1), ta
thu được phương trình tương đương dạng Kronecker - Weierstrass
˜
P ˜x
n+1
+

−RO
r×(m−r)
O
(m−r)×r
I
m−r

˜x
n
+ h
n
(˜x

n+1
, ˜x
n
)=0, (2.3.6)
trong đó h
n
= E
n
f
n
(F
n
˜x
n+1
,F
n−1
˜x
n
) . Do {E
n
} và {F
n
} là các ma trận
tuần hoàn không suy biến nên (2.0.1) ổn định nghiệm khi và chỉ khi (2.3.6)
ổn định nghiệm.
Định lý 2.3.3 Giả sử phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn
chỉ số 1 (2.0.1) có B
n
khả nghịch với mọi n, và giả sử với mọi ε>0, tồn
tại δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu cặp (y, x) thỏa mãn




˜
P
n
y



+ x  δ(ε) thì
f
n
(y, x)  ε




˜
P
n
y



+ x

, (2.3.7)





∂f
n
∂y
(y, x)




 ε,




∂f
n
∂x
(y, x)




 ε. (2.3.8)
Khi đó, nếu mọi giá trị riêng của ma trận R trong dạng Kronecker - Weier-
strass (2.3.6) của (2.0.1) có môđun nhỏ hơn 1 thì nghiệm tầm thường x
n
≡ 0
ổn định tiệm cận mũ.
16

Chương 3
Phương trình sai phân phi tuyến ẩn
chỉ số 1
Trong các chương trước, chúng ta đã đưa ra khái niệm chỉ số cho
phương trình sai phân ẩn tuyến tính và tựa tuyến tính, trên cơ sở đó khảo
sát tính giải được và ổn định nghiệm của bài toán giá trị ban đầu. Một
cách tương tự như vậy, chúng ta sẽ xây dựng khái niệm chỉ số cho phương
trình sai phân phi tuyến ẩn và khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm của
bài toán giá trị ban đầu, tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân
phi tuyến ẩn tuần hoàn.
3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1
Trong mục này, chúng tôi trình bày ngắn gọn định nghĩa phương
trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 và sự ổn định nghiệm của phương
trình tuần hoàn tương ứng.
3.2 Phương trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1
Xét phương trình sai phân phi tuyến dạng
f
n
(x
n+1
,x
n
)=0,n 0, (3.2.1)
với f
n
: R
m
×R
m
−→ R

m
là hàm véc tơ cho trước f
n
(y, x) không giải được
với biến y. Ta định nghĩa chỉ số 1 cho phương trình (3.2.1) như sau.
3.2.1 Khái niệm chỉ số
Định nghĩa 3.2.1 Phương trình sai phân phi tuyến (3.2.1)
f
n
(x
n+1
,x
n
)=0,n 0
được gọi là có chỉ số 1 nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
17
i/ f
n
là hàm khả vi liên tục;
ii/ N
n
:= ker
∂f
n
∂y
(y, x), không phụ thuộc vào x, y và có số chiều không đổi
dim N
n
= m − r ∀n  0, ∀y, x ∈ R
m

và 0 <r<m;
iii/ Ma trận G
n
=
∂f
n
∂y
(y, x)+
∂f
n
∂x
(y, x)Q
n−1,n
không suy biến với mọi
n  0,
trong đó N
−1
được chọn là không gian bù nào đó của
S
0
=

z,
∂f
0
∂x
(y, x)z ∈ im
∂f
0
∂y

(y, x)

trong R
m
, còn Q
n
= V
n
˜
QV
−1
n
là phép chiếu nào đó lên N
n
,n  −1 và
Q
n−1,n
= V
n−1
˜
QV
−1
n
là toán tử nối hai không gian N
n−1
,N
n
.
Tính chất chỉ số 1 của phương trình sai phân phi tuyến ẩn có tính
địa phương nếu các điều kiện đưa ra trong Định nghĩa 3.2.1 chỉ đúng trong

lân cận nghiệm (y
∗
n
,x
∗
n
) nào đó. Khi đó, tuyến tính hóa phương trình sai
phân phi tuyến ẩn trong lân cận nghiệm (y
∗
n
,x
∗
n
) ta thu được phương trình
sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1.
3.2.2 Một số tính chất của phương trình sai phân phi tuyến ẩn
chỉ số 1
Trong phần này, chúng tôi đưa ra một vài tính chất của phương
trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1 với những chứng minh tương tự trong
Chương 1.
3.3 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân phi
tuyến ẩn chỉ số 1
3.3.1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard
Trong phần này, chúng tôi nêu lại nguyên lý đồng phôi H’admard,
công cụ quan trọng trong việc khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm của
bài toán Cauchy.
Định lý 3.3.1Giả sử F ∈ C
1
(X, Y ) là một đồng phôi địa phương giữa hai
không gian Bannach X, Y và

ζ(R) := inf
xR



[F

(x)]
−1



−1
.
18
Khi đó, nếu

∞
0
ζ(R)dR =+∞ thì F là một đồng phôi từ X vào Y.
Nói riêng, nếu tồn tại α  0,β > 0 để


[F

(x)]
−1


 αx + β với

mọi x ∈ X, thì F là một đồng phôi từ X vào Y.
Hơn nữa, giả sử rằng F = T + H với T ∈ C
1
(X, Y );


[T

(x)]
−1


 γ, ∀x ∈ X
và
H(x) − H(y)  L x − y, ∀x, y ∈ X.
Khi đó, nếu Lγ < 1, thì F là đồng phôi từ X vào Y.
3.3.2 Tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho phương
trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1
Định lý 3.3.2 Giả sử rằng phương trình sai phân phi tuyến ẩn (3.2.1) có
chỉ số 1 và giả sử


G
−1
n
(y, x)


 α
n

y + β
n
x + γ
n
; ∀y, x ∈ R
m
; ∀n  0, (3.3.1)
trong đó, α
n
,β
n
 0,γ
n
> 0 là các hằng số nào đó. Khi đó bài toán Cauchy
cho phương trình sai phân phi tuyến ẩn (3.2.1) với điều kiện ban đầu
P
0
(x
0
− p
0
)=0 (3.3.2)
có nghiệm duy nhất.
Định lý 3.3.3 Giả sử f
n
(y, x)=g
n
(y, x)+h
n
(y, x), trong đó

i/ g
n
(y, x) là hàm khả vi liên tục. Hơn nữa,
ker
∂g
n
∂y
(y, x)=N
n
; dimN
n
= m − r, ∀n  0; ∀x, y ∈ R
m
;
ii/ G
n
(y, x)=
∂g
n
∂y
(y, x)+
∂g
n
∂x
(y, x)Q
n−1,n
, (n  0), có nghịch đảo bị chặn
đều, tức là
G
−1

n
(y, x)  γ
n
, ∀n  0, ∀y, x ∈ R
m
;
iii/ h
n
(y, x) thỏa mãn đẳng thức
h
n
(y, x)=h
n
(P
n
y, x), ∀n ≥ 0, ∀y, x ∈ R
m
;
iv/ ∀n  0, ∀y, x, ¯y, ¯x ∈ R
m
h
n
(y, x) − h
n
(¯y, ¯x)  L
n

y − ¯y
2
+ x − ¯x

2

1/2
.
19
Khi đó, nếu γ
n
L
n
<
1
√
2
với mọi n  0 thì bài toán giá trị ban đầu
(3.2.1), (3.3.2) có nghiệm duy nhất.
Hệ quả 3.3.4 Giả sử f
n
(y, x)=A
n
y + B
n
x + h
n
(y, x), trong đó A
n
,B
n
∈
R
m×m

và h
n
: R
m
× R
m
−→ R
m
thỏa mãn các điều kiện sau:
i/ rankA
n
≡ r và ma trận G
n
= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
không suy biến với mọi
n  0, trong đó Q
n−1,n
là toán tử nối giữa ker A
n−1
và ker A
n
,A
−1
được
chọn thỏa mãn

ker A
−1
∩ S
0
= {0};
ii/ h
n
(y, x) là hàm khả vi liên tục, hơn nữa với mọi n  0, với mọi
y, x, ¯y, ¯x ∈ R
m
,
ker A
n
⊂ ker
∂h
n
∂y
(y, x),
h
n
(y, x) −h
n
(¯y, ¯x)  L
n
(y − ¯y
2
+ x − ¯x
2
)
1/2

.
Khi đó, nếu L
n
G
−1
n
 < 1/
√
2 thì bài toán Cauchy (3.2.1), (3.3.2) có nghiệm
duy nhất.
3.4 Sự ổn định nghiệm của phương trình sai phân phi
tuyến ẩn tuần hoàn
Trong phần này, chúng tôi xét sự ổn định nghiệm của phương trình
sai phân phi tuyến ẩn tuần hoàn chỉ số 1. Xét phương trình (3.2.1):
f
n
(x
n+1
,x
n
)=0, trong đó f
n
là hàm khả vi liên tục thỏa mãn các điều
kiện sau:
• Phương trình (3.2.1) có chỉ số 1, nói cách khác (3.2.1) thỏa mãn:
– Không gian ker
∂f
n
∂y
(y, x) chỉ phụ thuộc n. Đặt N

n
=ker
∂f
n
∂y
(y, x),
dimN
n
= m − r, 1  r  m − 1 nào đó ∀n  0, ∀y, x ∈ R
m
;
– Đặt S
n
(y, x)=

ξ ∈ R
m
:
∂f
n
∂x
(y, x)ξ ∈ im
∂f
n
∂y
(y, x)

. Khi đó S
n
∩

N
n−1
= {0}.
• Phương trình (3.2.1) tuần hoàn theo nghĩa
f
n
(y, x)=f
n+N
(y, x) ∀y, x ∈ R
m
,
20
với N ∈ N cố định nào đó.
• Phương trình (3.2.1) có nghiệm duy nhất và không giảm tổng quát,
ta giả sử nghiệm đó là x
n
≡ 0 hay là f
n
(0, 0) = 0.
•
∂f
n
∂x
(0, 0) khả nghịch.
Trong phần này, ta sử dụng các ký hiệu sau:
+
˜
Q
n
là phép chiếu trực giao từ R

m
lên N
n
.
+
˜
V
n
là ma trận trực giao đưa
˜
Q
n
về dạng chéo, tức là
˜
Q
n
=
˜
V
n
˜
Q
˜
V
−1
n
=
˜
V
n

˜
Q
˜
V
T
n
.
+ A
n
=
∂f
n
∂y
(0, 0),B
n
=
∂f
n
∂x
(0, 0),
˜
G
n
= A
n
˜
V
n
+ B
n

˜
V
n−1
˜
Q.
Ta thấy, f
n
tuần hoàn chu kỳ N đảm bảo tính tuần hoàn cùng chu kỳ cho
các ma trận
˜
Q
n
,
˜
V
n
,
˜
V
T
n
,A
n
,B
n
,
˜
G
n
,

˜
G
−1
n
.
Đặt h
n
(y, x):=f
n
(y, x) −A
n
y −B
n
x thì phương trình (3.2.1) được viết lại
dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
+ h
n
(x
n+1
,x
n
)=0, (3.4.1)

với h
n
(y, x) khả vi liên tục thỏa mãn các tính chất sau:
• h
n
(0, 0) = 0,h
n
(y, x)=h
n+N
(y, x)∀y, x ∈ R
m
;
• h
n
(
˜
P
n
x
n+1
,x
n
)=f
n
(
˜
P
n
x
n+1

,x
n
) −A
n
˜
P
n
x
n+1
−B
n
x
n
= f
n
(x
n+1
,x
n
) −
A
n
x
n+1
− B
n
x
n
= h
n

(x
n+1
,x
n
);
•
∂h
n
∂y
(0, 0) =
∂f
n
∂y
(0, 0) − A
n
= O,
∂h
n
∂x
(0, 0) =
∂f
n
∂x
(0, 0) − B
n
= O.
Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn tương ứng
A
n
x

n+1
+ B
n
x
n
=0. (3.4.2)
Đây là phương trình tuần hoàn có chỉ số 1 với B
n
khả nghịch nên ta áp dụng
Định lý 1.5.6 đưa phương trình (3.4.10) tương đương về dạng Kronecker
với hệ số hằng
˜
P ˜x
n+1
+

−RO
r×(m−r)
O
(m−r)×r
I
m−r

˜x
n
=0. (3.4.3)
21
Ta thấy, với các giả thiết nêu trên, phương trình sai phân phi tuyến ẩn
tuần hoàn chỉ số 1 (3.2.1) tương đương với phương trình sai phân tựa tuyến
tính ẩn tuần hoàn chỉ số 1 (3.4.1). Do đó, áp dụng Định lý 2.3.3, ta thu

được kết quả sau:
Định lý 3.4.1 Nếu phương trình sai phân phi tuyến ẩn tuần hoàn chỉ số
1 (3.2.1) có nghiệm tầm thường là nghiệm duy nhất và có
∂f
n
∂x
(0, 0) khả
nghịch. Khi đó, nếu ma trận R, trong dạng Kronecker (3.4.3) của phương
trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn tương ứng (3.4.2), có các giá trị
riêng đều có môđun nhỏ hơn 1 thì nghiệm tầm thường x
n
≡ 0 của (3.2.1)
ổn định tiệm cận mũ.
22