Cac Tinh Huong Dien Hinh Trong Day Hoc Mon Toan.doc

Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN
Trong q trình dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng việc dạy học những khái niệm và định
nghĩa, những định lý và chứng minh, việc dạy giải bài tập toán...được lặp đi lặp lại rất nhiều lần, ta gọi
đó là các tình huống điển hình trong dạy học mơn Tốn.
1. Dạy học các khái niệm tốn học
a) Vị trí và u cầu
Trong mơn Tốn, việc dạy học các khái niệm tốn học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Việc hình
thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của tồn bộ kiến thức tốn học của học sinh, là tiền đề
hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát
triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học.
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường trung học cơ sở phải dần dần làm cho học sinh đạt
được các yêu cầu sau:
 Nắm được đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc một khái
niệm nào đó hay khơng, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra (vẽ, gấp hình,
nêu bằng lời...) một đối tượng là một minh hoạ cụ thể cho một khái niệm cho trước.
 Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm.
 Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán, ứng dụng và
thực tiễn.
 Nắm hệ mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một hệ thống các khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lý do sư phạm, các yêu cầu trên đây
không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm.
Ở trung học cơ sở, có khái niệm được hình thành tương đối chính xác cho học sinh, như khái niệm
số ngun tố, khái niệm hình bình hành..., nhưng cũng có khái niệm chỉ có thể được giải thích, mơ tả,
minh hoạ trên hình ảnh và ví dụ cụ thể, giúp học sinh sử dụng khái niệm đó một cách trực giác mà
thôi, như khái niệm phân số, khái niệm số nguyên, số đối... Giáo viên cần hiểu rõ điều đó để có những
u cầu và biện pháp sư phạm thích hợp.
Chẳng hạn, đối với khái niệm “phân số” thì khơng thể yêu cầu học sinh nắm được những đặc điểm
đặc trưng của khái niệm như đối với khái niệm “hình bình hành”. Ở trường phổ thơng, chưa thể đưa ra

một định nghĩa chính xác về phân số mà chỉ diễn tả dựa vào kinh nghiệm sống của trẻ (một cái bánh
được chia làm “bốn phần” bằng nhau, mỗi em “một phần”; đi bộ mất “nửa giờ”...) nhằm giải thích khái
niệm về phân số, từ đó biết làm các phép tính về phân số. Vì thế khơng nên đặt cho học sinh câu hỏi:
“phân số là gì?”.
b) Các con đường hình thành khái niệm
Thứ nhất là con đường quy nạp được áp dụng cho phần lớn các khái niệm. Theo con đường này,
xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mơ hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể...), bằng cách trừu tượng
hoá và khái quát hoá, ta dẫn dắt học sinh tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm thể hiện ở những
trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa khái niệm.
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, điển hình trong đó dấu
hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn các dấu hiệu khác thì thay đổi. Chẳng
hạn, để hình thành khái niệm “góc ngồi của tam giác”, bước đầu vẽ ba hình như sau (hình 30: a, b, c)

a)

b)

c)

H×
nh 30

Trong các hình này, những dấu hiệu khơng bản chất của khái niệm “góc ngồi của tam giác” được
thay đổi, như “một cạnh của góc ngồi là phần kéo dài của cạnh đáy” chỉ có ở hình a) mà khơng có ở
Page 1 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

hình b) và c), như “góc ngồi ln là góc tù” chỉ có ở hình a) và b) mà khơng có ở hình c), như “đỉnh

góc ngồi ln thuộc cạnh đáy” chỉ có ở hình a) và b) mà khơng có ở hình c) v.v...
Quá trình hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp chứa đựng khả năng phát triển nữhng
năng lực trí tuệ như so sánh, trừu tượng hố, khái qt hố. Vì thế cần chú trọng khai thác khả năng
này.
Con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho học sinh là con đường suy diễn, trong đó việc định
nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm cũ mà học sinh đã biết.
Chẳng hạn, đối với học sinh khá giỏi “khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận” ở lớp 7 có thể được xây
dựng bằng cách dựa vào định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết trong số học lớp 6 để đưa ra
một định nghĩa của khái niệm mới, sau đó mới đưa ra ví dụ để minh hoạ. Sau khi cho học sinh nhắc lại
định nghĩa và tính chất của tương quan tỉ lệ thuận đã học ở lớp 6, ta lưu ý học sinh rằng tương quan tỉ
lệ thuận trong số học có thể định nghĩa bằng hai cách tương đương nhau:
- Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận khi đại lượng này tăng (giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng
tăng (giảm) bấy nhiêu lần. (1)
- Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận khi tỉ số giữa một giá trị bất kỳ của đại lượng này với giá trị tương
ứng của đại lượng kia là một hằng số (hằng số này gọi là hệ số tỉ lệ). (2)
Bây giờ, ta lấy (2) làm định nghĩa của hai đại lượng tỉ lệ thuận trong đại số, hệ số tỉ lệ cũng như giá
trị của hai đại lượng đều là số hữu tỉ, dương, âm hoặc bằng 0.
Từ đó, với cách suy nghĩ tương tự, học sinh có thể đi đến khái niệm “đại lượng tỉ lệ nghịch” mà
khơng cần quy nạp từ những ví dụ cụ thể (thay từ “thuận” bằng từ “nghich”, thay “tỉ số” bằng “tích
số”).
Trong hình học, sau khi học xong hình bình hành, học sinh dễ dàng định nghĩa khái niệm hẹp hơn
như hình chữ nhật, hình vng, hình thoi.
Việc hình thành khái niệm mới bằng con đường suy diễn (sau đó lấy ví dụ cụ thể minh hoạ để
chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy là tồn tại) tiềm tàng khả năng phát huy tính chủ
động và sáng tạo của học sinh trong học tập.
c) Dạy học định nghĩa khái niệm
 Các cách định nghĩa. việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm.
Trong tốn học và trong giảng dạy tốn học có những cách khác nhau để định nghĩa khái niệm. Ở
trường trung học cơ sở, các định nghĩa thường có cấu trúc dạng:

(đối tượng x có tính chất B khi và chỉ khi có tính chất A và tính chất C). Trong cấu trúc trên, tính chất
A là tính chất của một khái niệm bao trùm đối tượng x được định nghĩa, còn C là sự khác biệt đặc
trưng giữa đối tượng có tính chất B với các đối tượng cịn lại mang tính chất A.
Ví dụ:
- Hình chữ nhật:
+ là hình bình hành,
+ có một góc vng.
- Số ngun tố:
+ là số lớn hơn 1,
+ chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó.
Định nghĩa như vậy là tường minh, trong đó các khái niệm được định nghĩa (B(x)) và khái niệm
dùng để định nghĩa (A(x) và C(x)) là tách bạch với nhau. Điều đó cho phép ta thay thế cái được định
nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngược lại. Sự thay thế như vậy rất hay được sử dụng khi chứng
minh định lý hoặc giải tốn.
Nhưng khơng phải tất cả các khái niệm toán học đều được định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở trên.
Lần ngược lại q trình lơgíc định nghĩa các khái niệm, tất phải đến những khái niệm xuất phát đầu
tiên không được định nghĩa qua các khái niệm khác của hệ thống lí thuyết đã cho, bởi vì trong hệ
thống này trước chúng khơng có một khái niệm nào. Nhưng điều đó khơng có nghĩa là những khái
niệm đầu tiên này khơng được định nghĩa. Thực ra, các khái niệm xuất phát này được định nghĩa một
Page 2 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

cách không tường minh, gián tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ thấp) hay
bằng những tiên đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ). Chẳng hạn, khái niệm “điểm) ở lớp 6:
Điểm là hình đơn giản nhất. Một dấu chấm nhỏ trên trang giấy trắng là hình ảnh của điểm (Tốn 6,
tập hai).
Như vậy, khi nói rằng các khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” là những khái niệm xuất
phát nên khơng được định nghĩa thì cần phải hiểu rằng “chúng khơng được định nghĩa tường minh qua

các khái niệm khác”.
Tóm lại, trong dạy học ở trường phổ thơng có những khái niệm khơng được định nghĩa vì hai lí do
khác nhau: hoặc vì chúng là những khái niệm xuất phát trong khoa học tốn học, hoặc vì lí do sư phạm
mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong khoa học toán học (người thầy giáo cần phân biệt hai
trường hợp này). Đối với những khái niệm như vậy thì cần mơ tả, giải thích thơng qua những ví dụ cụ
thể giúp học sinh hình dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa của khái niệm ấy, chẳng hạn như khái
niệm “điểm”, “đường thẳng” trong sách Toán 6, tập hai, khái niệm “trục số” trong sách Đại số 7...
Trong các khái niệm tốn học, có những khái niệm về đối tượng và có những khái niệm về quan
hệ. Khái niệm đơn thức được định nghĩa như sau là một khái niệm về một đối tượng:
Một biểu thức đại số trong đó các phép tốn thực hiện trên các biểu thức chỉ là những phép nhân
hoặc luỹ thừa gọi là một đơn thức (Đại số 7).
Để làm ví dụ cho khái niệm về một quan hệ, ta xét các định nghĩa sau:
- Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức, sau khi thu gọn, có phần biến giống nhau (Đại số 7).
- Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của
đoạn thẳng MM’ (Hình học 8).
Trong mỗi định nghĩa này, quan hệ mới (cái được định nghĩa) được xác định thơng qua quan hệ đã
biết trước đó (cái dùng để định nghĩa).
Chú ý, kí hiệu
được là “có nghĩa là theo định nghĩa” hoặc “được gọi là”, ta cũng hiểu “khi và
chỉ khi theo định nghĩa” để tránh sự nhầm lẫn với kí hiệu mang ý nghĩa “điều kiện cần và đủ” của một
định lí.
 Các yêu cầu của một định nghĩa
Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nói đúng hay sai. Một định nghĩa có thể hợp lí (chấp
nhận được) hay khơng hợp lí (không chấp nhận được) phụ thuộc vào việc thoả mãn hay không thoả
mãn những yêu cầu tối thiểu của định nghĩa.
Yêu cầu quan trọng đầu tiên là định nghĩa không được vòng quanh. Việc vi phạm quy tắc này thể
hiện ở chỗ cái được định nghĩa lại chứa đựng (tường minh hoặc không tường minh) trong cái dùng để
định nghĩa. Điều này có thể được minh hoạ qua các định nghĩa sau:
- “Góc được gọi là góc vng nếu hai cạnh của nó vng góc với nhau”;
- “Hai đường thẳng gọi là vng góc với nhau nếu chúng tạo thành một góc vng”.

Sự vịng quanh thể hiện ở chỗ: trong định nghĩa đầu, góc vng được định nghĩa qua các đường
thẳng vng góc, cịn trong định nghĩa sau thì khái niệm lại được định nghĩa qua khái niệm thứ nhất.
Tương tự, học sinh cũng mắc sai lầm về định nghĩa vịng quanh khi trả lời “góc vng là góc bằng
900”, và để trả lời cho câu hỏi “góc 10 là gì?” thì lại nói “góc 10 là

của góc vng”.

u cầu thứ hai nhằm đảm bảo sự đúng đắn (chuẩn mực) của một định nghĩa, có là định nghĩa phải
có trị nhưng khơng đa trị. Định nghĩa phải có trị nghĩa là phải tồn tại ít nhất một đối tượng thoả mãn
các điều kiện nêu trong định nghĩa. Định nghĩa không được đa trị nghĩa là để chỉ cái được định nghĩa
thì chỉ được dùng một thuật ngữ hay kí hiệu. Sự vi phạm yêu cầu này dẫn đến việc cùng một thuật ngữ
hay kí hiệu lại xác định những khái niệm khác nhau, tức là vi phạm một trong những nguyên tắc sử
dụng kí hiệu hay thuật ngữ dưới dạng tên gọi. Ví dụ về sự vi phạm này là việc dùng cùng một kí hiệu
“AB” để chỉ các đối tượng sau: đường thẳng đi qua hai điểm AB, độ dài đoạn thẳng AB, tia với điểm
gốc A và chứa điểm B...vì vậy trong sách giáo khoa người ta phải đặt trước kí hiệu này thuật ngữ chỉ
loại đối tượng, ví dụ “đoạn thẳng AB”, “đường thẳng AB”, “tia AB”...(Tốn 6, tập 2).
 Những hoạt động củng cố định nghĩa
Page 3 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Trong dạy học khái niệm, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho họ tập luyện
những hoạt động như nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ hay một số hoạt dộng
khác.
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm. Một trong những biểu hiện của chủ
nghĩa hình thức trong học tập mơn Tốn là một số học sinh thuộc cách phát
biểu của định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể có
thoả mãn định nghĩa ấy hay khơng, khơng tự mình tạo ra được những đối
tượng thoả mãn định nghĩa. Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những

hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” để khắc phục chủ nghĩa hình thức, để
củng cố khái niệm.
Chẳng hạn, khi học về tam giác cân (Hình học 7, tr.43), có thể cho học
sinh làm bài tập: Hãy tìm các tam giác cân trong hai hình bên, trước hết đốn
nhận bằng mắt, sau đó đo trực tiếp để kiểm tra lại.
Khi học về “hệ số của đơn thức” (Đại số 7, tr.97) có thể cho các bài tập
H×
nh 31
trong đó lưu ý đến trường hợp khi hệ số bằng
.
Trong việc nhận dạng khái niệm, nên có một số bài tập mà câu trả lời
khơng phải là “có hoặc khơng” mà là “chưa rõ”, ví dụ như:
“Hai góc O1 và O2 có chung đỉnh O và cùng bằng 600. Hai góc đó có đối đỉnh không?”.
Sau khi nêu lên định nghĩa của khái niệm, cần yêu cầu học sinh biết thể hiện khái niệm tức là cụ
thể hố khái niệm đó. Chẳng hạn, sau khi định nghĩa góc ngồi của tam giác, ta u cầu học sinh vẽ
các góc ngồi của một tam giác cho trước...Khi cụ thể hoá khái niệm, chú ý hướng dẫn học sinh nêu
lên các thí dụ một cách đa dạng, kể cả một số trường hợp riêng, tránh sự đơn điệu. Ví dụ, khi cụ thể
hố khái niệm “đường cao của hình tam giác”, gợi ý cho học sinh vẽ hình trong các trường hợp chân
đường cao ở trên một cạnh, trùng với đỉnh, ở phần kéo dài của một cạnh.
- Hoạt động ngôn ngữ. Để giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý
hướng dẫn và khuyến khích học sinh diễn đạt các định nghĩa theo một cách khác, bằng lời lẽ của bản
thân mình. Ví dụ, đối với định nghĩa số nguyên tố, có thể phát biểu “số nguyên tố là số có đúng hai
ước” (tức là “có hai và chỉ có hai ước”)...
Sự chú ý phương diện ngơn ngữ trong dạy học khái niệm cũng sẽ góp phần tích cực phát triển ngơn
ngữ tốn học cho học sinh, bao gồm vốn từ ngữ và các kí hiệu tốn học, tạo cơ sở phát triển năng lực
nhận thức cũng như năng lực vận dụng toán học vào việc học tập các bộ môn khác, vào khoa học và
đời sống.
- Một số hoạt động củng cố khác. Một số hoạt động cần rèn luyện cho học sinh trong dạy học khái
niệm khi có điều kiện là hệ thống hố, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa các khái niệm. Sau
khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng khái niệm đó vào những bài toán,

những hoạt động khác nhau đặc biệt là những bài tốn chứng minh trong mơn tốn. Điều đó có tác
dụng củng cố, nắm vững khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực vận dụng Tốn học vào thực
tiễn.
d) Dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hoá khái niệm
 Dạy học phân chia khái niệm
Khi ta định nghĩa một khái niệm (dưới dạng tường minh hoặc khơng tường minh) thì nội dung của
khái niệm (tức là các tính chất đặc trưng) và phạm vi của khái niệm (tức tập hợp các đối tượng thoả
mãn định nghĩa) được xác định. Phạm vi của khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia
khái niệm (vạch rõ phạm vi của khái niệm). Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của
việc nắm vững các khái niệm toán học cũng như các khái niệm thuộc bất kì một mơn học nào.
Chẳng hạn, học sinh sẽ nắm vững khái niệm số nguyên tố hơn, nếu đồng thời với việc hiểu định
nghĩa này, học sinh cịn biết rằng số ngun tố có thể chẵn, có thể lẻ, nhưng chỉ có một số chẵn là số 2,
còn các số nguyên tố còn lại đều là lẻ. Tương tự như vậy, nếu học sinh biết rằng khái niệm số tự nhiên
được phân chia thành: số 1, số 0, số nguyên tố, hợp số.
Nhiều khi, học sinh cần phải nắm vững cách phân chia khái niệm để có thể giải tốn hoặc xem xét
các vấn đề có liên quan.

Page 4 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Ví dụ, đối với bài toán “Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p + 10 và p + 14
không cùng là các số nguyên tố”, thì học sinh cần phải biết phân loại các số nguyên tố lớn hơn 3 thành
hai loại 3k + 1, 3k + 2 để chứng minh.
Hoặc như, việc giải một số bài tốn có liên quan đến số hữu tỉ x, đòi hỏi phải xét ba trường hợp: x
= 0, x > 0, x < 0.
Ta có thể minh hoạ việc phân chia khái niệm qua hai ví dụ sau:
Tam giác
có ba góc

nhọn

Tam
giác
vng

Hình bình hành

Tam
giác có
góc tù

Hình chữ
nhật

Hình
vng

Hình
thoi

Hình 32
Người ta còn diễn tả việc phân chia khái niệm bằng sơ đồ. Chẳng hạn, sơ đồ các loại tứ giác trong
Hình học 8 như sau:

Hình 33
Sơ đồ này được hiểu là: tứ giác có các loại đặc biệt là hình thang, ngồi ra cịn có tứ giác khơng là
hình thang; hình thang có ba loại đặc biệt là hình thang cân, hình thang vng và hình bình hành, ngồi
ra cịn có những hình thang khác khơng là hình thang cân, khơng là hình thang vng mà cũng khơng
phải là hình bình hành...

Cịn đối với sơ đồ minh hoạ việc phân chia khái niệm hình tam giác trên chẳng hạn, thì lại phải
hiểu là: Hình tam giác có ba loại là tam giác có ba góc nhọn, tam giác vng và tam giác có một góc
tù. Do đó, giáo viên phải thận trọng và giải thích kĩ cho học sinh khi vẽ các sơ đồ.
Ta thường hay gặp cách phân chia khái niệm theo nhiều tầng mà ở mỗi tầng, tập hợp các đối tượng
được chia thành hai lớp theo một tính chất nào đó (gọi là phép chia nhị phân).
Ví dụ sau đây là phép chia nhị phân khái niệm số thực.
Số thực
Số hữu tỉ
Số nguyên
Số tự nhiên

Số vô tỉ
Số phân

Số nguyên âm

Page 5 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Chú ý: Trong sơ đồ trên, thuật ngữ “số phân” để chỉ các số hữu tỉ không phải là số nguyên, còn
“số tự nhiên” bao gồm cả số 0.
 Dạy học hệ thống khái niệm
Trong việc dạy học các khái niệm, bao giờ cũng nêu lên mối quan hệ giữa các khái niệm, đặt khái
niệm mới vào hệ thống các khái niệm có sẵn, tức là sau mỗi phần, mỗi chương cần phải hệ thống hoá
các khái niệm.
Khi dạy học số học, đại số, có nhiều cơ hội cho học sinh thấy đươc sự mở rộng khái niệm: mở rộng
về số (số tự nhiên - số nguyên - số hữu tỉ - số thực), khái niệm về biểu thức, về đại lượng tỉ lệ thuận,
đại lượng tỉ lệ nghịch v.v...Cần lưu ý để học sinh nhận thức được đặc điểm đặc trưng nào của khái

niệm mới được mở rộng so với khái niệm cũ.
Trong chương I - Tứ giác, đa giác (Hình học 8), học sinh có cơ hội thấy được sự thu hẹp khái
niệm: hình tứ giác – hình thang – hình bình hành – hình chữ nhật – hình vuông. Trường hợp này cần
hướng dẫn học sinh nắm vững được khi chuyển từ một khái niệm sang một khái niệm hẹp hơn thì khái
niệm hẹp hơn này khơng những có mọi tính chất của khái niệm trước đó mà cịn có thêm những tính
chất riêng mà khái niệm trước đó nói chung là khơng có, chẳng hạn hình vng có mọi tính chất của
hình chữ nhật, đồng thời có tính chất riêng như hai đường chéo vng góc với nhau mà hình chữ nhật
nói chung khơng có. Những tính chất này cần nắm vững để vận dụng có hiệu quả vào giải tốn cũng
như ứng dụng vào các tình huống khác nhau.
Ý nghĩa của hoạt động phân chia khái niệm, hệ thống hoá khái niệm (một trong những dạng quan
trọng của hoạt động trí tuệ) vượt xa ra khỏi phạm vi của việc nắm vững các kiến thức toán học, nó cần
thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của con người. Vì thế những tri thức và kỹ năng về mặt này cần
được chú ý thích đáng trong mơn Tốn cũng như các mơn học khác.
2. Dạy học các định lí tốn học
a) Vị trí và u cầu
Việc dạy các định lí tốn học nhằm cung cấp cho học sinh một trong những vốn kiến thức cơ bản
của bộ mơn. Đó cũng là những cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng
minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Việc dạy học các định lí tốn học cần đạt được các yêu cầu sau:
- Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng các
định lí vào hoạt động giải toán cũng như vào các ứng dụng khác;
- Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác (với mức
độ thích hợp ở trường phổ thơng);
- Phát triển năng lực chứng minh toán học.
b) Các con đường dạy học định lí
Việc dạy học các định lí tốn học có thể được thực hiện theo hai con đường: con đường suy diễn và
con đường có khâu suy đốn. Hai con đường này được minh hoạ bằng sơ đồ sau.
Tạo động cơ
Phát hiện định lí

Suy luận lơgíc dẫn tới định lí

Chứng minh định lí
Phát biểu định lí
Củng cố định lí

Việc đi theo con đường nào không phải là tuỳ tiện mà tuỳ theo nội dung định lí và tuỳ vào điều
kiện cụ thể về học sinh.
Trong dạy học hình học, việc phát hiện định lí có thể được tiến hành thơng qua vẽ hình hoặc thơng
qua hoạt động thực hành dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Chẳng hạn, khi dạy bài “Tính chất ba trung
tuyến của tam giác” (Hình học 6), trước hết, có thể cho mỗi học sinh vẽ một tam giác tuỳ ý, sau đó vẽ
Page 6 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

ba đường trung tuyến rồi nêu nhận xét dưới sự hướng dẫn của thầy giáo. Trước khi dạy bài “Tổng ba
góc của tam giác” (Hình học 6), có thể giao cho học sinh công việc thực hành ở nhà là “cắt một tam
giác bất kì bằng giấy, đo mỗi góc trong của tam giác rồi cộng các kết quả lại”, sau đó, khi lên lớp giáo
viên gợi ý học sinh phát hiện định lí trong bài học.
Để minh hoạ cho con đường suy diễn, có thể đưa ra ví dụ khi dạy định lí về bình phương của một
hiệu trong bài “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” (Đại số 8): từ hằng đẳng thức
suy ra
c) Dạy chứng minh định lí
Trong dạy học định lí, một khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh năng lực chứng minh toán
học. Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, ta cần chú ý giải quyết các vấn đề
sau:
- Gợi động cơ chứng minh,
- Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh,
- Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh,

- Phân bậc hoạt động chứng minh.
Ta lần lượt đi vào từng khâu này.
 Gợi động cơ chứng minh. Hình thành động cơ chứng minh có vai trị quan trọng đối với việc
học tập những định lí, nó phát huy tính tự giác và tích cực của học sinh trong học tập.
Ở những bài tốn chứng minh đầu tiên ở trường phổ thơng cơ sở, học sinh thường chưa thấy rõ sự
cần thiết phải chứng minh một mệnh đề toán học, nhiều học sinh vẫn không hết băn khoăn tại sao lại
phải tốn công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ. Để khắc phục tình hình này,
cần tận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh định lí.
Cần cho học sinh thấy rằng những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là là trên một hình
vẽ, hay nếu chịu khó thử thì cũng chỉ là trên một số hữu hạn hình vẽ mà thơi. Vấn đề đặt ra là với một
mệnh đề tổng quát, ta không thể thử trực tiếp nó trên vơ số trường hợp. Vì vậy cần phải chứng minh
nó.
Một ví dụ liên quan đến định lí Pitago (Hình học lớp 8) là như sau: Khi
làm nhà tre, gỗ, người thợ mộc đục các lỗ A, B, C của vì kèo AC, quá giang
BC và trụ chống AB theo cự li tỉ lệ với 3 : 4 : 5 tức là AB : BC : CA = 3 : 4 :
5 (hình vẽ) thì lúc dựng lên bao giờ cũng được tam giác vuông ABC vuông
ở B (tức là trụ chống thẳng góc với quá giang). Ta có thể kiểm nghiệm kinh
nghiệm này trên một số hữu hạn trường hợp, nhưng để đảm bảo sự đúng đắn
của nó cho tất cả (vơ số) các trường hợp thì phải chứng minh. Như vậy, từ
yêu cầu của thực tế có thể học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh.
Hình 34
Đơi khi, việc chọn ví dụ và vẽ hình cũng giúp học sinh thấy sự cần thiết
phải chứng minh. Chẳng hạn, với định lí “Mỗi góc ngồi của tam giác lớn hơn góc trong khơng kề với
nó” (Hình học lớp 7), nếu ta vẽ tam giác ABC có ba góc nhọn tức là góc ngồi ở C là góc tù (Hình
35.a) thì học sinh có thể cho rằng chẳng cần phải chứng minh vì góc tù bao giờ cũng lớn hơn góc nhọn
A và B. Nhưng nếu vẽ hình có góc ngồi ở C là góc nhọn (Hình 35.b) thì việc góc ngồi C lớn hơn góc
A và góc B khơng phải là điều hiển nhiên nữa.
A

A

B

C
a)

B

C
b)

Hình 35
 Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh. Cần chú ý tập luyện
cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái
quát...
Page 7 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Điều quan trọng là những thao tác kết luận lơgíc theo những quy tắc thường không được dạy tường
minh ở trường phổ thơng và chỉ được sử dụng dưới dạng tắt.
Ví dụ, ta hãy xem xét cách chứng minh công thức bình phương của một tổng (Đại số 8), trong sách
giáo khoa:
Các bước chứng minh đầy đủ được trình bày trong bảng sau:
Các bước
1. (a + b)2 = (a + b)(a + b)
2. = a(a + b) + b(a + b)
3. = aa + ab + ba + bb
4. = aa + ab + ab + bb

5. = aa + 2ab + bb
6. = a2 + 2ab + b2

Lập luận
1. Theo định nghĩa của luỹ thừa.
2. Theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
3. (Như trên).
4. Theo tính chất giao hốn của phép nhân.
5. Theo định nghĩa của hệ số.
6. Theo định nghĩa của luỹ thừa.

Một ví dụ khác, ta hãy xem xét cách chứng minh định lí “Nếu hình thang có hai đường chéo bằng
nhau thì nó là hình thang cân” (Hình học lớp 8).

Hình 36
Chứng minh trong sách giáo khoa

Phân tích chứng minh

1. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt 1. Theo tiên đề Ơclít và địng lí đã được chứng minh
đường thẳng DC ở E
(hình học 7, tr.30).
2. BE = AC
2. Theo tính chất đã được chứng minh (hình học 7,
tr. 47)
3. Theo 2, giả thiết và tính chất của đẳng thức.
3. BE = BD
4. Theo 3 và định nghĩa tam giác cân (hình học 7, tr.
4. Tam giác BDE cân
43).

5.
5. Theo định lí đã được chứng minh (như đã dẫn).
6.
6. Tính chất của cặp góc đồng vị.
7.
7. Theo 5, 6 và tính chất của đẳng thức.
8. Theo giả thiết 7 và định lí đã được chứng minh
8.
(chứng minh hình học 7, tr. 20).
9.
9. Theo 8 và định nghĩa hai tam giác bằng nhau.
10. ABCD là hình thang cân
10. Theo 9 và định nghĩa hình thang cân.
 Truyền thụ những tri thức phương pháp liên đến đến chứng minh. Trong quá trình dạy học
chứng minh, cịn cần phải truyền thụ những tri thức liên quan đến chứng minh.
Đó trước hết là những tri thức về các quy tắc kết luận lơgíc mà ở trường phổ thông chúng chỉ được
truyền thụ theo con đường khơng tường minh. Chẳng hạn, trong ví dụ vừa nêu ở trên, từ bước 4
chuyển sang bước 5 ta đã dùng quy tắc kết luận (gọi là modus ponens) như sau:
- Trong một tam giác cân, hai góc kề cạnh đáy bằng nhau.
- Tam giác BDE là tam giác cân với cạnh đáy DE. Vậy hai góc kề cạnh đáy

.

Sơ đồ quy tắc kết luận này là:
Page 8 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Đó là quy tắc thường được dùng nhiều hơn cả ở trường phổ thơng. Trong ví dụ trên, ở các bước 3,

4 hay 7, 8, 9, ta cũng ngầm sử dụng quy tắc kết luận này.
Đồng thời, cần chú ý truyền thụ những tri thức về những phương pháp suy luận, chứng minh như
suy ngược (suy ngược tiến, lùi), suy xuôi, phản chứng theo con đường thông báo chúng nhân cơ hội
tiến hành các phép chứng minh. Đặc biệt, cần luyện tập dần để học sinh nắm được những tri thức sau
(đương nhiên không phát biểu tường minh như ở đây):
- Phép suy xi có sơ đồ sau, trong đó A i là một định nghĩa, tiên đề hoặc một mệnh đề đúng nào
đó, cịn B là mệnh đề cần chứng minh:
- Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ như sau:

Các phép suy xuôi và suy ngược lùi là những phép chứng minh trong khi suy ngược tiến chỉ có tính
chất tìm đốn.
Ví dụ. Cho bài tốn: “Chứng minh rằng:

” (Đại số lớp 8, tr. 13).

- Chứng minh bằng phép suy xuôi:
Từ hằng đẳng thức

(A0)

suy ra

(A1)
(A2)
(đpcm)

(B)

- Chứng minh bằng phép suy ngược lùi:
Muốn chứng minh

(B)

thì phải chứng minh

(A2)

hay phải chứng minh

(A1)

tức là phải chứng minh

(A0)

Đẳng thức này chính là hằng đẳng thức 4 đã học.
Trong quá trình dạy học chứng minh định lí, ta cũng cần truyền thụ cho học sinh những tri thức
phương pháp về chiến lược chứng minh (có tính chất tìm đốn) theo con đường tập luyện những hoạt
động ăn khớp với những tri thức này. Chiến lược này kết tinh ở học sinh như một bộ phận kinh nghiệm
mà họ tích luỹ được trong q trình học các chứng minh định lí, cũng như giải các bài tốn chứng
minh. Đương nhiên, sự kết tinh này khơng nên diễn ra một cách tự phát mà cần được thực hiện một
cách có chủ đích, có ý thức của thầy giáo. Chẳng hạn, thầy giáo luôn luôn lặp đi lặp lại một cách có
dựng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi như:
- Giả thiết nói gì ? Giả thiết cịn có thể biến đổi như thế nào ?
- Hãy vẽ một hình theo những dữ kiện của bài tốn. Những khả năng có thể xảy ra.
- Từ giả thiết suy ra được điều gì ? Những định lí nào có giả thiết giống hoặc gần giống với giả
thiết này ?
- Kết luận nói gì ? Điều đó cịn có thể phát biểu như thế nào ?
- Những định lí nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bài toán ?
v.v...

Page 9 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

 Phân bậc hoạt động chứng minh. Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, ta
cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển quá trình học tập của học sinh về phương diện này.
Bao quát nhất là phân bậc căn cứ vào hoạt động độc lập của học sinh:
- hiểu được chứng minh;
- trình bày lại chứng minh;
- độc lập tiến hành chứng minh.
Cần lưu ý rằng mức độ khó khăn của một hoạt động chứng minh không chỉ phụ thuộc cách phân
bậc trên mà cịn quan hệ với từng nội dung bài tốn. Hiểu chứng minh ở một bài tốn khó rất có thể là
khó khăn hơn là độc lập chứng minh ở một bài tốn dễ.
d) Dạy học củng cố định lí
Trong dạy học định lí, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho họ luyện tập những
hoạt động sau:
 Nhận dạng và thể hiện. Những hoạt động quan trọng để củng cố định lí là “nhận dạng” và “thể
hiện”. “Nhận dạng” là xem xét một tình huống cho trước có ăn khớp với một nhận định nào đó hay
khơng. “Thể hiện” là tạo ra một tình huống phù hợp với định lí cho trước.
Chẳng hạn:
- Một số trịn chục có chia hết cho cả 2 và 5 khơng ? (nhận dạng – Toán lớp 6)
- Hãy vẽ một hình bình hành có một cạnh dài gấp đơi cạnh kia (thể hiện – Hình học lớp 8).
 Hoạt động ngơn ngữ về mặt ngơn ngữ lơgíc, cần chú trọng phân tích cấu trúc lơgíc cũng như
phân tích nội dung định lí, khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lí nhằm phát triển
năng lực diễn đạt độc lập những ý nghĩ của mình.
Ví dụ, đối với định lí về dấu hiệu chia hết cho 3: “Những số mà tổng các chữ số chia hết cho 3 thì
chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3” (Toán lớp 6, tr. 57), học sinh có thể phát biểu
theo nhiều cách khác, như:
- Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3 và ngược lại, nếu một chữ số

chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3;
- Một số chia hết cho 3 khi nó có tổng các chữ số chia hết cho 3 và không chia hết cho 3 khi nó có
tổng các chữ số khơng chia hết cho 3.
Một ví dụ khác trong sách Hình học lớp 8:
- “Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau”, “Hai đường chéo của hình chữ nhật ln bằng
nhau”, “Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì hai đường chéo của nó bằng nhau”.
- Tính chất ba trung tuyến của tam giác: “Ba trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm,
điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

trung tuyến đi qua đỉnh ấy”.

 Các hoạt động củng cố khác. Cùng với các hoạt động trên cần tập luyện cho học sinh những
hoạt động củng cố khác như đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá và vận dụng những định lí trong
giải tốn, đặc biệt là trong chứng minh toán học.
Trong việc dạy học các định lí tốn học, cũng như dạy học các khái niệm, cần phải làm cho học
sinh hiểu và nắm vững được một hệ thống kiến thức. Sau mỗi phần, mỗi chương cần tiến hành hệ
thống hố các định lí, chú ý nêu rõ mối liên hệ giữa chúng.
Mối liên hệ giữa các định lí có thể là mối quan hệ chung riêng: một định lí có thể là một trường
hợp mở rộng hay đặc biệt của một định lí nào đó đã biết. Chẳng hạn, trong Hình học lớp 7, có định lí:
“Tổng số đo ba góc của tam giác bằng 1800” (tr. 36). Từ đó, có các trường hợp riêng là các định lí:
- Trong tam giác vng, tổng số đo hai góc nhọn bằng 900 (tr. 37);
- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 600 (tr. 44).
Mối liên hệ giữa các định lí cũng có thể là mối liên hệ suy diễn: định lí này suy ra định lí kia. Ví
dụ, trong sách Hình học lớp 8, tr. 78, định lí Pitago đối với tam giác vng a 2 = b2 + c2 được suy ra từ
một định lí ngay trước đó: b2 = ab’; c2 = ac’.
Sau đây là một ví dụ về một cách hệ thống hố một số định lí trong chương 1 Hình học lớp 8.

Page 10 of 19

Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Tính chất về cạnh

Tính chất về góc

Hình thang ABCD

Hình thang ABCD
+ AB // CD (hoặc AD // BC)

Hình thang ABCD

H.b.hành, H.ch.nhật ABCD
+ AB // CD và AD // BC
+ AB = CD và AD = BC
+ AB // CD và AB = CD

H. bình hành ABCD

H. thoi ABCD
AB = BC = CD = DA

H. chữ nhật ABCD

+
+

3. Dạy học các quy tắc và phương pháp
Thực ra, những quy tắc, phương pháp khơng hồn tồn độc lập với định nghĩa và định lí. Có những

quy tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay định lí, thậm chí có khi chỉ là một hình thức phát
biểu khác của một định nghĩa hay định lí. Tuy nhiên, việc dạy học loại hình thức này có những nét
riêng, vì thế nó được trình bày tách biệt trong mục này.
a) Những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật tốn
Thuật tốn được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay
máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định.
Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm
thuật tốn một cách trực giác.
Ở trường phổ thông, học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật toán cộng, trừ, nhân,
chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của
hai số, thuật tốn giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, thuật tốn giải phương trình bậc hai...Người
thầy giáo cần có ý thức thơng qua việc dạy học các quy tắc trên mà rèn luyện cho học sinh một loại
hình tư duy quan trọng: tư duy thuật tốn, một yếu tố học vấn phổ thơng của con người trong thời đại
máy tính.
Phát triển tư duy thuật tốn trong nhà trường phổ thơng là cần thiết vì những lí do sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật tốn giúp học sinh hình dung được việc tự động hố trong những lĩnh vực
hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự
động hố. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của việc tự động hoá, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính
hình thức, thuần t máy móc của q trình thực hiện thuật tốn, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một
số chức năng của con người cho máy thực hiện.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải bài tốn bằng
máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật
tốn tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó.
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nhất
là môn tốn. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo khi
học các phép tính trên những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,...
Thứ tư, tư duy thuật tốn cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích,
tổng hợp, khái qt hố...và hình thành phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật,
tính phê phán và thói quen tự kiểm tra...
Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật tốn đã trình bày ở trên. Do đó, phương thức

tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:
 Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật tốn cho trước.
 Phân tích một hoạt động thành những thao tác hoạt động thành phần được thực hiện theo một
trình tự xác định.
Page 11 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

 Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
 Khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng thành một hoạt động trên một lớp đối
tượng.
 So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một cơng việc và phát hiện thuật tốn tối
ưu.
Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán. Bốn thành phần sau thể hiện khả năng xây
dựng thuật toán.
Việc phát triển tư duy thuật tốn có thể được thực hiện cả khi dạy trực tiếp những nội dung Tin học
lẫn khi dạy học những lĩnh vực nội dung khác, kể cả những nội dung truyền thống của giáo dục phổ
thông. Mặt thứ nhất là rõ ràng và tường minh khi đã có chủ trương đưa Tin học vào nhà trường phổ
thông. Mặt thứ hai - mặt phát triển tư duy thuật tốn trong dạy học những nội dung ngồi Tin học - dễ
bị lãng quên hoặc bỏ qua. Vì vậy, mục đích chủ yếu hướng vào mặt thứ hai trong mơn Tốn để tránh
điều đáng tiếc đó.
Hiện nay, định nghĩa thuật tốn, những tính chất và những hình thức biểu diễn thuật toán...đang
được nghiên cứu để đưa vào dạy học tường minh trong nhà trường phổ thơng. Điều đó sẽ tạo điều kiện
thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán, chuẩn bị cho việc học tập về máy tính điện tử và làm
việc với cơng cụ này. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa một
cách tường minh vào trong chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo
phương hướng rèn luyện cho họ những khả năng a) – e) đã liệt kê như những thành tố của phương thức
tư duy này.
Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một

thuật tốn cho trước, có thể phát biểu một số quy tắc tốn học thành những thuật tốn dưới dạng ngơn
ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối (nếu học sinh đã được học phương tiện này) rồi yêu cầu họ thực hiện các
quy tắc ấy, thơng qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi quy tắc. Điều
vừa trình bày có thể minh hoạ bằng thuật tốn giải phương trình bậc hai
dưới đây (Đại
số lớp 9, tr. 82).
Xác định a, b, c

 b 2  4ac
>0

<0

Dấu của
=0

Vô nghiệm

Nghiệm kép

Hai nghiệm

Kết thúc

Một ví dụ khác, quy tắc nhân hai số nguyên (Đại số lớp 7, tr. 18) có thể lập theo sơ đồ sau.
Có thừa số bằng 0
Có
Tích bằng 0

Khơng

Hai thừa số cùng dấu?
Có
Tích là số dương có giá
trị tuyệt đối bằng tích
các giá trị tuyệt đối

Khơng
Tích là số âm có giá trị
tuyệt đối bằng tích các
giá trị tuyệt đối
Page 12 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Cách làm như trên cũng đồng thời tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động thành những thao
tác thành phần theo một trình tự xác định. Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngơn ngữ mơ tả chính
xác một quá trình, cần yêu cầu học sinh phát biểu những quy tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của
mình. Giáo viên theo dõi phân tích chính xác của những phát biểu như vậy.
Việc dạy cho học sinh các thuật toán, cho các em làm quen với phương pháp có tính chất thuật tốn
(tức là phương pháp suy nghĩ, phương pháp làm việc trong đó quy định rõ các cơng việc cần tiến hành
theo một trình tự nhất định để hồn thành cơng việc) có ý nghĩa rất lớn, giúp các em đi vào lao động
công nghiệp một cách thuận lợi, về mặt kiến thức, kĩ năng, cũng như về mặt tư duy và nhân cách (biết
suy nghĩ lơgíc theo một trình tự nhất định, có ý thức kỉ luật...).
b) Những quy tắc, phương pháp phi thuật toán
Cùng với những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật tốn, trong mơn tốn ở trường trung học
cơ sở, học sinh còn học những quy tắc, phương pháp phi thuật toán, chẳng hạn như quy tắc giải bài
toán bằng cách lập phương trình với các bước sau:
 Chọn ẩn số, biểu thị những đại lượng chưa biết qua ẩn số và những đại lượng đã biết;
 Lập phương trình biểu diễn mối tương quan giữa những đại lượng;

 Giải phương trình;
 Kiểm tra kết quả và trả lời, trong đó có việc xem xét sự thích hợp của nghiệm phương trình đối
với tình huống của bài tốn.
Bên cạnh đó, ta không được lãng quên một số quy tắc, phương pháp có tính chất tìm đốn vốn
khơng phải là đối tượng dạy học tường minh trong mơn tốn ở nhà trường phổ thơng, ví dụ như các
quy tắc quy lạ về quen (chẳng hạn, để cộng, trừ các phân thức đại số, quy tắc quy đồng mẫu thức, ta
đưa về thực hiện các phép tính với đa thức đã biết...), khái qt hố, tương tự hố, phương pháp tìm lời
giải tốn (xem mục IV-3)...Những quy tắc, phương pháp này có thể được truyền thụ theo các con
đường:
- Thông báo nhân quá trình hoạt động,
- Tập luyện những hoạt động ăn khớp với những quy tắc, phương pháp đó.
Ví dụ, khi chứng minh định lí về tổng ba góc của một tam giác (Hình học lớp 7 , tr. 36), nhân việc
kẻ thêm đường phụ để chứng minh, có thể thơng báo cho học sinh những tri thức phương pháp sau
đây:
- Để tìm cách chứng minh một định lí, có thể phải kẻ thêm đường phụ;
- Việc vẽ thêm một đường phụ là xuất phát từ việc phân tích kĩ giả thiết và kết luận.
Những quy tắc, phương pháp tìm đốn chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là
những thuật toán đảm bảo chắc chắn dẫn tới thành cơng. Vì vậy, hướng dẫn học sinh sử dụng chúng,
cần rèn luyện ở họ tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi
cần thiết. Sẽ khơng có gì đáng sợ, nếu học sinh không thành công khi áp dụng một quy tắc, phương
pháp tìm đốn nào đó. Điều quan trọng là tới mức độ lúc nào đó, họ phải phát hiện ra sự sai lầm, biết
thay đổi phương hướng và cuối cùng dẫn tới thành cơng.
4. Dạy học giải bài tập tốn học
a) Vị trí, chức năng của bài tập tốn học
Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải
tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện
rất có hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng
lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán
học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy, tổ chức có
hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn học có vai trị quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Một bài tập
có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc
kiểm tra...Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất
nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu.
Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của q trình dạy học đều chứa đựng một cách
tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực
hiện các mục đích dạy học. Trong mơn Tốn, các bài tập mang các chức năng sau.
Page 13 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ
xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng,
hưng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn
luyện những thao tác tư trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
Với chức năng kiểm tra, bài tập nằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc
lập học tốn và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau. Khi nói đến chức
năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy
được tiến hành một cách tường minh hay cơng khai. Hiệu quả của việc dạy học tốn ở trường phổ
thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của
một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể khám phá
và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình.
Ta hãy minh hoạ điều vừa trình bày bằng một ví dụ. Ở phần Bài tập ơn chương I (Hình học lớp 8,
tr. 52) có bài tốn số 9 sau: “Trên các cạnh của hình vng ABCD và ở miền ngồi của hình vng đó,
vẽ bốn hình vng. Chứng minh các tâm của chúng là đỉnh của một hình vng khác”. Việc giải bài
tốn này sẽ củng cố các khái niệm và tính chất của tâm đối xứng, về cạnh và đường chéo của hình

vng. Bây giờ ta thay đổi giả thiết “hình vng ABCD” bằng “hình chữ nhật ABCD”, hình vẽ có thay
đổi, nhưng kết luận của bài tốn khơng thay đổi. Các bước chứng minh của bài toán này về cơ bản
khơng có gì thay đổi. Như vậy đã phát huy được chức năng giáo dục của bài toán ban đầu. Đến đây,
với học sinh giỏi, có thể tiếp tục thay đổi giả thiết “hình chữ nhật ABCD” thành “hình bình hành
ABCD”. Liệu kết luận của bài tốn cịn đúng nữa hay khơng. Học sinh phải kiểm nghiệm trên hình vẽ
để dự đốn, rồi tiến hành chứng: phép chứng minh có phức tạp hơn một chút, nhưng kết luận của bài
toán khơng có gì thay đổi. Như thế ta đã khai thác được chức năng phát triển tiềm tàng trong bài tốn
ban đầu. Bài tốn này vẫn có thể khai thác tiếp tục: thay giả thiết “hình bình hành ABCD” bằng “tứ
giác lồi ABCD”, khi đó kết luận chỉ cịn lại ở một tính chất của tứ giác có bốn đỉnh là bốn tâm đối
xứng: hai đường chéo bằng nhau và vng góc với nhau.
Ví dụ nêu trên làm sáng tỏ thêm rằng các chức năng của mỗi bài toán phụ thuộc vào nội dung cũng
như phương pháp khai thác lời giải của nó. Điều đó định hướng việc lựa chọn bài tập của giáo viên,
tránh tình trạng ra bài tập cho học sinh một cách tuỳ hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần tuý.
b) Các yêu cầu đối với lời giải
Để khái thác tốt các chức năng của bài tập tốn học, thầy và trị cần nắm vững các u cầu của một
lời giải.
 Lời giải khơng có sai lầm. Yêu cầu này có nghĩa là lời giải khơng có sai sót về kiến thức tốn
học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính tốn, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả khơng có sai lầm về
ngơn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả
giải tốn và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát
triển óc phê phán. Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu
hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác
nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu
học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không đơn thuần
đối chiếu với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn lầm.
Chẳng hạn, khi giải phương trình
được hai nghiệm là 1 và

(Đại số lớp 9, tr. 91) nếu học sinh tìm

thì bằng cách áp dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm, phải thấy ngay là

sai, vì ở phương trình này có các hệ số a + b + c = 0 nên nghiệm là 1và

.

Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan trọng hơn là phân tích
được ngun nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì “con người phải biết học ở những sai lầm và những
thiếu sót của mình” (G. Pơlya. Giải một bài toán như thế nào. NXBGD, 1975). Nguyên nhân chủ yếu
về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh nắm khơng vững chắc các định nghĩa, định lí, quy
tắc...vận dụng chúng một cách máy móc, khơng chú ý đến các điều kiện áp dụng.
Page 14 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Ví dụ, với bài tốn “Giải phương trình 2x 3 – 50x = 0” (Đại số lớp 8, tr. 31), thì lời giải sau đây của
học sinh là có sai lầm:

0.

Ở đây, học sinh đã chia cả hai vế cho x mà không lập luận điều kiện

nên bị mất nghiệm x =

Những sai lầm về mặt suy luận, thường học sinh khó thấy hơn. Chẳng hạn, có bài tốn ở Đại số lớp
8, tr. 31 là: “Chứng minh rằng x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi giá trị của x và y”, mà có học sinh giải
như sau:
“Từ x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 suy ra (x + y)2 + 1 > 0 hay (x + y) 2 > -1. Bất đẳng thức cuối cùng này
đúng, do đó bất đẳng thức phải chứng minh là đúng”.

Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến là một phép chứng minh.
Trong giải toán, học sinh cịn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong tính tốn, khơng
ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài...
 Lập luận phải có căn cứ chính xác. u cầu này địi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải
có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức...đã học, đặc biệt phải chú ý
đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí.
Ví dụ, với bài tốn “Giải phương trình

” (Đại số lớp 9, tr. 35) có học sinh giải như

sau:

Học sinh do khơng nắm vững hằng đẳng thức

để từ phương trình đã cho suy ra |2x – 1|

= 3, do đó đã để mất một nghiệm x = -1.
 Lời giải phải đầy đủ. Điều này có nghĩa là khơng được bỏ sót một trường hợp, một khả năng,
một chi tiết nào. Nó cũng có nghĩa là lời giải vừa khơng thừa, vừa không thiếu. Muốn vậy, cần chú ý
tập cho học sinh trong q trình giải tốn phải ln ln suy nghĩ và tự trả lời các câu hỏi như: Ta
đang phải xem xét cái gì ? Như vậy đã đủ chưa ? Cịn trường hợp nào nữa hay khơng ? Đã đủ trường
hợp đặc biệt chưa ?
Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là khơng xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở
một tình huống, nhất là những bài tốn địi hỏi phải biện luận.
D

A

C

O

F

E

B

y

x

Hình 37

Ví dụ, cho một bài tốn sau: “Cho một hình vng ABCD có cạnh a, tâm O, một góc vng xOy
có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF”. (Hình học lớp 8,
tr. 55). Có học sinh đã trình bày lời giải như sau: “Giả sử tia Ox cắt AB tại trung điểm E, tia Oy cắt BC
tại trung điểm F (hình vẽ). Hình bình hành OEBF có các góc B và O vng nên nó là hình chữ nhật, ta
lại có

nên OEBF là một hình vng có cạnh

. Vậy diện tích OEBF là:

Rõ ràng lời giải trên không đầy đủ (mặc dù đáp số là đúng) vì mới chỉ xét một trường hợp riêng mà
khơng xét đến trường hợp tổng quát: E là một điểm nào đó trên cạnh AB. Tuy nhiên, lời giải trên cho
Page 15 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

một trường hợp đặc biệt cũng có tính chất gợi ý cho một giả thuyết: dự đốn diện tích OEBF bằng
tức là bằng một phần tư diện tích hình vng đã cho.
Ngồi ba u cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản
nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí. Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là khai thác được
những đặc điểm riêng của bài tốn, điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự
sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Pơlya. Sách đã dẫn).
c) Dạy học phương pháp tìm tịi lời giải bài tốn
Trong mơn Tốn ở trường phổ thơng có rất nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật tốn để
giải. Đối với những bài tốn ấy, có thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là
cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải
toán phương pháp toán học hoá - nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Biết đặt
ra cho học sinh đúng mức, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và
trong một chừng mực nào đó, sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của G. Pôlya (ở cuối mục này)
là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình dạy giải bài tập tốn.
Đó là những lời khun của người có kinh nghiệm giải tốn chứ khơng phải là những bảng chỉ dẫn có
tính chất thuật tốn. Tiếp thu những kinh nghiệm này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về
cách thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người khơng đi đến kết quả. Điều đó nói lên
tính chất khó khăn phức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm giải tốn chứ khơng hề
phủ nhận vai trị quan trọng của việc này. Khơng có một thuật tốn tổng qt nào để giải mọi bài tốn.
Chúng ta chỉ có thể thơng qua dạy học giải một số bài tốn cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách
thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải các bài tốn, “Tìm được cách
giải một bài tốn là một điều phát minh” (G. Pơlya – Sách đã dẫn).
Phương pháp tìm tịi lời giải của Pơlya thường được tiến hành theo bốn bước:
- Tìm hiểu nội dung của bài tốn;
- Xây dựng chương trình giải;
- Thực hiện chương trình giải;
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
 Tìm hiểu nội dung bài tốn. Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài, đồng thời
cịn phải có hứng thú giải bài tốn đó. Vì thế, người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tị

mị, hứng thú của học sinh và giúp học sinh hiểu bài tốn phải giải. Phải tìm hiểu tổng thể để bước đầu
hiểu tồn bộ bài tốn, tránh vội vàng đi ngay vào các chi tiết.
Tiếp theo, phải phân tích bài tốn: cái gì đã cho, cái gì chưa biết ? có mối quan hệ nào giữa cái phải
tìm với cái đã cho ?...
Ví dụ đối với bài tốn: Giải phương trình (17 – 21) – 9 = 17 – (x + 9)
một số học sinh tiến hành bỏ các dấu ngoặc và thực hiện các phép tính. Nhưng nếu biết nhìn bài tốn
một cách tổng thể, nhận ra được đặc điểm của phương trình và có ngay x = 21.
Đối với những bài toán Số học có lời văn nhiều, thì trước hết phải phân tích để gạt ra một bên
những cái không bản chất, chỉ giữ lại quan hệ toán học trong bài toán để có thể nhận dạng được bài
tốn.
Chẳng hạn, bài tốn: “Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B theo hai
chiều ngược nhau. Vận tốc của người đi từ A là 12km/h. Vận tốc của người đi từ B bằng 125% vận tốc
của người đi từ A. Biết rằng quãng đường AB dài 67,5km, hỏi sau mấy giờ thì hai người đi xe đạp gặp
nhau ?” có lời văn dài, nhưng về quan hệ toán học thuộc về dạng toán “chuyển động đều ngược chiều
nhau”. Từ đó, dựa vào cơng thức để giải.
Đối với bài tốn hình học, nói chung phải vẽ hình. Cần phải đọc kĩ tồn bộ bài tốn, từ đó tưởng
tượng một cách khái quát và sơ bộ một hình phác thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài. Thường
sau khi vẽ hình, học sinh sẽ hiểu rõ bài tốn hơn. Cần chú ý:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quat, khơng nên vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt.
- Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy những quan hệ và những tính chất hình học.
- Việc vẽ hình bằng tay và bằng thước, compa dần được giải quyết một cách thoả đáng. Khi học
sinh mới bắt đầu học hình học (ở lớp 6, lớp 7) nên yêu cầu học sinh vẽ hình bằng thước và compa, dần
Page 16 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

dần tập cho các em quen vẽ hình bằng tay cho nhanh, chỉ vẽ bằng thước và compa khi phải làm bài
viết hoặc khi cần vẽ tương đối chính xác để dễ đốn nhận tính chất của hình. Ln u cầu học sinh vẽ
cẩn thận, thể hiện gần đúng các quan hệ về độ lớn của các góc và các đoạn thẳng cho trong bài tốn.

Việc chọn kí hiệu cũng cần được lưu ý. “Thời gian dành để chonh kí hiệu sẽ được trả công rất hậu
bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn.” (G. Pơlya – Sách đã dẫn). Một lí
hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh hiểu nước đơi và khơng nên cầu kì, thứ tự và tương quan giữa các
kí hiệu phải giúp chúng ta liên tưởng đến thứ tự và tương quan giữa các đối tượng tương ứng. Chẳng
hạn, đối với hai tam giác bằng nhau hay đồng dạng, nên viết các đỉnh theo thứ tự tương ứng.
 Xây dựng chương trình giải. Ở bước này, phải chú ý phân tích bài tốn đã cho thành nhiều bài
tốn đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc,...) có liên quan đến những
khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với
dữ liệu của bài tốn, mị mẫm, dự đốn, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một
bài toán tương tự hoặc bài toán khái quát của bài tốn đã cho v.v...
Việc phân tích bài tốn thành từng bộ phận hay thành từng bài toán đơn giản hơn có thể được
minh hoạ bằng ví dụ sau. Cho bài toán: “Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó

là cam, 50%

là hồng xiêm, cịn lại là bưởi. Hỏi có bao nhiêu cây bưởi ?” (Tốn lớp 6, tập 2, tr. 102). Ta có thể phân
tích bài tốn này thành ba bài toán đơn giản hơn:
(1) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó

là cam. Tính số cây cam. (180 cây).

(2) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó 50% là hồng xiêm. Tính số cây hồng xiêm. (225
cây).
(3) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó có 180 cây cam, 225 cây hồng xiêm, cịn lại là
bưởi. Tính số cây bưởi (45 cây).
Cũng có thể phân tích thành ba bài tốn đơn giản khác như sau:
(1a) Vườn trường trồng cây ăn quả, trong đó
hồng xiêm

là cam, 50% là hồng xiêm. Tính số cây cam và cây

.

(2a) Vườn trường trồng cây ăn quả, trong đó
bưởi

là cam và hồng xiêm, cịn lại là bưởi. Tính số cây

.

(3a) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó

là cây bưởi. Tính số cây bưởi (45 cây).

Việc giải nhiều bài tốn dựng hình cũng địi hỏi phải phân tích ra thành một số bài tốn bộ phận.
Ta xét ví dụ sau: “Dựng tam giác ABC biết

, tỉ số

và trung tuyến phát xuất từ đỉnh A

có độ dài m cho trước” (Hình học lớp 8, tr. 69). Có thể phân tích bài tốn này thành hai:
(1) Dựng tam giác AB’C’ biết

và

.

(2) Dựng tam giác ABC đồng dạng với AB’C’, cạnh BC // B’C’ và có trung tuyến phát xuất từ A
bằng độ dài m cho trước.

Mị mẫm, dự đốn bằng cách thử một số trường hợp co thể xảy ra, xét trường hợp đặc biệt của bài
toán, xét bài toán tương tự hay tổng quát hơn...

Page 17 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

Hãy quay lại với bài tốn trong Hình học lớp 8, tr. 55 sau: “Cho một hình vng ABCD có cạnh a,
tâm O. Một góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F (h. 38). Tính diện
tích tứ giác OEBF”.
Ngồi cách xét một trường hợp riêng như nêu ở mục 2.c để dự
đốn được diện tích OEBF bằng

, ta có thể xét một trường hợp

đặc biệt khác khi tia Ox đi qua A, tia Oy đi qua B, tức là tứ giác
OEBF thành tam giác AOB có diện tích bằng

diện tích hình

vng đã cho. Chính từ hình vẽ của trường hợp đặc biệt này lại gợi ý
cho việc tìm lời giải của trường hợp tổng quát khi E thuộc cạnh AB,
còn F thuộc cạnh BC: tứ giác OEBF và tam giác AOB có phần
chung là EOB, nếu như các phần cịn lại là hai tam giác AOE và
BOF mà bằng nhau thì diện tích OEBF và AOB bằng nhau và bằng

Hình 38

diện tích hình vng. Việc chứng minh hai tam giác AOE và BOF bằng nhau khơng gặp nhiều khó

khăn: OA = OB,

góc có cạnh tương ứng vng góc với nhau.

 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cần phải luyện cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải bài
tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì khơng, nhất là các bài tốn có đặt điều kiện hoặc đòi hỏi biện
luận. Việc kiểm tra lại kết quả phải được yêu cầu học sinh tiến hành thường xuyên. Chẳng hạn khi giải
một phương trình, sau khi tìm được nghiệm, học sinh thay vào phương trình đã cho để kiểm tra lại.
Đối với các bài toán giải bằng cách đặt phương trình thì phải thay nghiệm tìm được của phương trình
vào bài tốn đã cho ban đầu.
Ví dụ, cho bài tốn: “Trên ba giá sách có tất cả 50 cuốn. Giá thứ nhất chứa hơn giá thứ hai 10
cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ ba 26 cuốn thì số sách ở giá thứ hai và thứ ba bằng
nhau. Hỏi ban đầu giá thứ nhất chứa bao nhiêu cuốn sách ?”.
Ta giải bài toán như sau: gọi x là số sách ban đầu ở giá thứ nhất, khi đó giá thứ hai chứa x – 10
cuốn, ta có phương trình:

Nếu thay...kết quả này vào bài tốn thì giá thứ nhất chứa 32 cuốn, giá thứ hai chứa 22 cuốn, còn
giá thứ ba chứa -4 cuốn (!), do đó x = 32 khơng thể là đáp số của bài tốn.
Cần phải nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài tốn hay chưa, nhất là bài
tốn có liên quan đến những đối tượng hay quan hệ có nhiều khả năng xảy ra. Bằng cách này sẽ dần
dần luyện tập cho học sinh thói quen nhìn nhận vấn đề một cách tồn diện, theo nhiều khía cạnh, tránh
phiến diện hời hợt.
Ví dụ, với bài tốn: “Dựng hình bình hành có ba đỉnh ở ba điểm A, B, C cho trước”, nhiều học sinh
chỉ dựng hình ABDC, một số thấy thêm hình bình hành ABCE và ít học sinh thấy được đầy đủ cả ba
hình như trên hình 39.
E

A

F

B

C

D

Hình 39
Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mỗi
cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là
luyện tập cho học sinh cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích
Page 18 of 19


Các tình huống điển hình trong dạy học mơn tốn

cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay
nhất, đẹp nhất.
d) Bản gợi ý của Pôlya. Bản gợi ý của Pơlya rất có ích cho giáo viên trong q trình dạy học giải
bài tập tốn. Người giáo viên cần suy nghĩ, vận dụng linh hoạt bảng này để có thể xác định những câu
hỏi, những việc làm đúng lúc, đúng chỗ và phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, mang lại hiệu
quả và đạt mục đích của việc dạy học giải bài tập.
(1) Hiểu rõ bài toán:
- Đâu là ẩn ? Đâu là dữ liệu ? Có thể thoả mãn được điều kiện hay khơng ? Điều kiện có đủ để xác
định được ẩn hay không ? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ?
- Vẽ hình. Sử dụng một kí hiệu thích hợp.
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành cơng
thức khơng ?
(2) Xây dựng một chương trình giải:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác ?

- Bạn có biết một bài tốn nào có liên quan khơng ? một định lí có thể dùng được không ?
- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài tốn quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự.
- Đây là một bài tốn có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó khơng ? Có thể sử
dụng kết quả của nó khơng ? Hãy sử dụng phương pháp ! Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì
mới sử dụng được nó khơng ?
- Có thể phát biểu bài tốn một cách khác không ? Một cách khác nữa ? Quay về các định nghĩa.
- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài tốn có liên quan. Bạn có thể
nghĩ ra một bài tốn có liên quan và dễ hơn khơng ? Một bài tốn tổng quát hơn ? Một trường hợp
riêng ? Một bài tốn tương tự ? Bạn có thể giải một phần bài tốn khơng ? Hãy giữ lại một phần điều
kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào ?
Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích khơng ? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác
có thể giúp bạn xác định được ẩn khơng ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết,
sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không ?
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến
mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa ?
(3) Thực hiện chương trình giải:
Khi thực hiện chương trình, hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng
chưa ? Bạn có thể chứng minh là nó đúng khơng ?
(4) Trở lại cách giải (nghiên cứu cách giải đã tìm ra)
- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả ? Bạn có thể kiểm tra lại tồn bộ q trình giải tốn khơng ?
- Có thể tìm được kết quả một cách khác khơng ? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả khơng ?
- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài tốn nào khác khơng ?

Page 19 of 19