Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai

Bộ giáo dục và đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Viện Toán học
Trần Văn Bằng
Một số tính chất định tính
của nghiệm nhớt
cho phơng trình vi phân
đạo hàm riêng cấp hai
Chuyên ngành: Phơng trình Vi phân và Tích phân
Mã số: 62.46.01.05
Tóm tắt luận án tiến sĩ Toán học
Hà Nội - 2007
Công trình đợc hoàn thành tại:
Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt nam
Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Trần Đức Vân
TS. Nguyễn Duy Thái Sơn
Phản biện 1: PGS.TS Đinh Nho Hào, Viện Toán học
Phản biện 2: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn, Trờng ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội
Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Hoàng, Đại học Huế
Luận án đợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc họp tại:
Viện Toán học - Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam
vào hồi 14 giờ 00 ngày 04 tháng 10 năm 2007.
Có thể tìm hiểu luận án tại: Th viện Quốc gia, Th viện Viện Toán học, Th viện
Trờng ĐHSP Hà Nội 2.
1
Lời nói đầu
Luận án này dành cho việc khảo sát một số tính chất định tính của nghiệm nhớt
(viscosity solution)- một loại nghiệm suy rộng toàn cục, cho phơng trình vi phân
đạo hàm riêng phi tuyến cấp hai.
Việc nghiên cứu phơng trình vi phân phi tuyến nói chung, phơng trình vi
phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đ và đang là một vấn đề hết sức cần thiết
của Giải tích hiện đại. Phơng pháp đặc trng đ chỉ rõ, nghiệm cổ điển của các

phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến nói chung chỉ tồn tại địa phơng, vì vậy muốn
có nghiệm toàn cục thì nhất thiết phải mở rộng khái niệm nghiệm.
Đến đầu thập kỷ 80, thế kỷ 20, M. G. Crandall và P L. Lions đ giới thiệu một
khái niệm nghiệm suy rộng mới là nghiệm nhớt cho phơng trình Hamilton-Jacobi
trong không gian hữu hạn chiều và đ đa lý thuyết nghiệm toàn cục của phơng
trình vi phân phi tuyến lên một bớc phát triển mới. Cho đến nay, đ có rất nhiều
kết quả đẹp đẽ liên quan đến nghiệm nhớt cho phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến
cấp một; khái niệm nghiệm này cũng đ đợc đa ra cho các phơng trình đạo hàm
riêng cấp hai trong không gian hữu hạn chiều và cho các phơng trình cấp một, cấp
hai trong không gian vô hạn chiều.
Với khái niệm nghiệm suy rộng này, các tác giả đ đạt đợc các định lý tổng
quát về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, , và có nhiều ứng dụng, đặc biệt là đối
với lý thuyết điều khiển tối u, lý thuyết trò chơi vi phân.
Trong luận án này, H đợc dùng để ký hiệu một không gian Hilbert thực, tách
đợc, với tích vô hớng ., . và chuẩn đợc sinh bởi tích vô hớng là |.|. Với một
hàm v : H R, chúng ta sẽ gọi đạo hàm Frechet cấp một và cấp hai của v tại
điểm x tơng ứng là Dv(x) và D
2
v(x). Bằng cách đồng nhất không gian đối ngẫu
H

với H, chúng ta có thể coi Dv(x) nh một phần tử thuộc H và D
2
v(x) nh một
dạng song tuyến tính đối xứng, bị chặn trong H hoặc một phần tử thuộc S(H)
tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp, bị chặn trong H với quan hệ thứ
tự thông thờng cho bởi:
X 0 X, 0, H và X Y Y X 0.
Lý thuyết nghiệm nhớt áp dụng đối với các phơng trình đạo hàm riêng cấp
hai phi tuyến hoàn toàn có dạng:

G(x, u(x), Du(x), D
2
u(x)) = 0, (PDE)
cho phép một hàm u : H R chỉ cần liên tục là nghiệm của phơng trình đạo hàm
riêng cấp hai (PDE). Sau đây, để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi thờng
viết (PDE) dới dạng
G(x, u, Du, D
2
u) = 0.
Để đa ra khái niệm nghiệm nhớt cho (PDE) thì hàm G phải thoả mn điều
2
kiện cấu trúc:
G(x, r, p, X) G(x, s, p, Y ) khi r s và Y X; (0.1)
trong đó r, s R; x, p H; X, Y S(H). Điều kiện (0.1) đợc thành lập từ hai
điều kiện
G(x, r, p, X) G(x, s, p, X) khi r s,
và
G(x, r, p, X) G(x, r, p, Y ) khi Y X. (0.3)
Khi hàm G thoả mn điều kiện (0.3) thì G và phơng trình G = 0 đợc gọi là
elliptic suy biến (có một số ít bài báo sử dụng các điều kiện ngợc với điều kiện
(0.1), khi đó bất đẳng thức trong định nghĩa nghiệm dới nhớt và nghiệm trên nhớt
cũng đổi chiều theo).
Khi số chiều của không gian H bằng N, chúng ta đồng nhất H với R
N
, không
gian Euclide N chiều. Lúc này, tập S(R
N
) đồng nhất với tập tất cả các ma trận đối
xứng thực cấp N ì N và (PDE) đợc gọi là phơng trình trong không gian hữu hạn
chiều. Sự phát triển của lý thuyết trong trờng hợp này đợc chia thành hai hớng

chính: lý thuyết nghiệm nhớt của phơng trình với hệ số liên tục (khi hàm G liên
tục) và của phơng trình với hệ số không liên tục (khi hàm G không liên tục). Các
kết quả gắn liền với tên của các nhà toán học nh M. G. Crandall, H. Ishii, Lions
P L., R. Jensen, A.
'
Swiech, L. A. Caffarelli, X. Cabr
'
e, M. Kocan, L. Escauriaza, K.
Fox, P. Soravia, G. C. Dong, L. Wang. Khi (PDE) là phơng trình với hệ số không
liên tục, các tác giả đ đa ra khái niệm L
p
nghiệm nhớt. Ngoài các định lý về sự
tồn tại, tính duy nhất nghiệm, các tác giả còn chỉ ra mối quan hệ của L
p
nghiệm
nhớt với một loạt các khái niệm nghiệm suy rộng nh: L
p
nghiệm mạnh (strong
solution) (hàm u W
2,p
loc
và thoả mn (PDE) hầu khắp nơi), nghiệm từng điểm hầu
khắp nơi (pointwise almost everywhere solution) (hàm u thoả mn (PDE) tại hầu
hết các điểm, với Du, D
2
u đợc hiểu tại từng điểm và không phải theo nghĩa phân
bố, u cũng không nhất thiết thuộc không gian W
2,p
loc
). Việc nghiên cứu mối quan

hệ của L
p
nghiệm nhớt với các loại nghiệm suy rộng khác, giúp cho chúng ta có
cái nhìn thấu đáo hơn về loại nghiệm suy rộng thú vị này. Năm 2002 R. Jensen,
M. Kocan, và A.
'
Swiech đ chỉ ra sự tơng đơng của L
p
nghiệm nhớt với khái
niệm L
p
nghiệm tốt (good solution) (hàm u là giới hạn trong không gian các hàm
liên tục của một dy các L
p
nghiệm mạnh của các phơng trình xấp xỉ) cho các
phơng trình elliptic đều. Ngay từ khi nhận đợc bản preprint từ Giáo s A.
'
Swiech
về kết quả đó, Giáo s Trần Đức Vân đ đặt bài toán cho tôi xây dựng khái niệm
L
p
nghiệm tốt cho phơng trình parabolic đều. Theo hớng này, tôi đ thu đợc
kết quả song song với các kết quả R. Jensen, M. Kocan, A.
'
Swiech. Kết quả này
đợc trình bày trong Chơng 1.
3
Các phơng trình đạo hàm riêng trong không gian vô hạn chiều đợc phân chia
thành hai loại: phơng trình bị chặn và phơng trình không bị chặn. Nếu tập xác
định của hàm G là một tập mở và G bị chặn địa phơng thì (PDE) đợc gọi là

phơng trình bị chặn; nếu tập xác định của hàm G chỉ trù mật trong H và G không
là bị chặn địa phơng thì (PDE) đợc gọi là phơng trình không bị chặn.
Các phơng trình không bị chặn đ giành đợc sự quan tâm đặc biệt của các
nhà toán học trên thế giới vì nó bao gồm cả các phơng trình quy hoạch động gắn
với các bài toán điều khiển tối u và trò chơi vi phân. Cụ thể, các nhà toán học đ
và đang tập trung nghiên cứu các phơng trình đạo hàm riêng dừng phi tuyến đầy
đủ có dạng:
u + Ax, Du + F(x, Du, D
2
u) = 0 trong H (S)
cùng với bài toán Cauchy



u
t
+ Ax, Du + F (x, t, Du, D
2
u) = 0 trong H ì (0, T )
u(x, 0) = g(x), x H.
(CP)
Trong đó, A : D(A) H H là một toán tử đóng, xác định trù mật trong H, các
ký hiệu Du và D
2
u trong (CP) lần lợt là đạo hàm Fr
'
echet cấp một và cấp hai của
hàm u theo biến không gian x, F là một hàm liên tục. Tính không bị chặn gây nên
do số hạng Ax, Du.
Cách tiếp cận, cũng nh những kỹ thuật mang tính nền móng khi nghiên cứu

nghiệm nhớt của các phơng trình trên đ đợc giới thiệu bởi Crandall M.G. và
Lions P L Sau đó có hai hớng phát triển chính là: mở rộng nghiên cứu cho cả
các phơng trình của các hàm đa trị của H. Ishii và phát triển các kỹ thuật để thích
ứng với lớp các phơng trình có độ không bị chặn cao hơn của nhóm tác giả
Gozzi F., Roy E., Sritharan S.S., và A.
'
Swiech. Năm 2000, Gozzi F., Rouy E. và A.
'
Swiech đ đề xuất cách tiếp cận phơng trình (S) theo nghĩa nghiệm nhớt khi hàm
F cũng gây nên tính không bị chặn. Tiếp theo sự phát triển đó, chúng tôi đ đa
ra đợc khái niệm nghiệm nhớt cho (CP) và đ chứng minh đợc cả sự tồn tại lẫn
tính duy nhất của khái niệm nghiệm nhớt đó khi hàm F cũng gây nên tính không
bị chặn. Kết quả này đợc trình bày trong Chơng 3.
Thành công của lý thuyết về nghiệm nhớt một lần nữa đợc khẳng định khi
Gozzi F., Sritharan S. S. và A.
'
Swiech nghiên cứu các phơng trình quy hoạch động
gắn với điều khiển tối u của hệ phơng trình Navier-Stokes. Các tác giả đ đa ra
khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhớt cho bài toán



u
t
Ax + B(x, x), Du + F (x, t, Du) = 0, (x, t) H ì (0, T)
u(x, T) = g(x), x H.
4
và cho bài toán

u
t
Ax + B(x, x), Du + tr(QD
2
u(t, x)) + F (x, t, Du) = 0,
(x, t) H ì (0, T)
u(x, T) = g(x), x H.
ở đó, H là không gian Hilbert, A, B tơng ứng là toán tử Stokes và toán tử Euler
(chi tiết xem Mục 2.1.4), Q là toán tử hiệp phơng sai (covariance), dơng, có
tr(Q) < . Từ các kết quả trên, chúng tôi đa ra khái niệm nghiệm nhớt cho lớp
phơng trình tổng quát
u + Ax + B(x, x), Du + F (x, Du, D
2
u) = 0 trong H, (S2)
với hàm F cũng sinh ra tính không bị chặn và đ chứng minh đợc tính duy nhất
của nghiệm nhớt đó. Kết quả này đợc trình bày trong Chơng 2.
Nh vậy, nội dung của luận án gồm ba chơng.
Chơng 1 trình bày khái niệm L
p
-nghiệm tốt cho phơng trình parabolic cấp 2
đều với hệ số không liên tục trong không gian hữu hạn chiều, chứng minh sự tồn tại
của L
p
nghiệm tốt cho lớp phơng trình đó (với một số điều kiện bổ sung), đồng
thời chỉ ra sự tơng đơng của L

p
-nghiệm tốt với L
p
-nghiệm nhớt. Kết quả này cho
chúng ta thêm một sự hiểu biết về L
p
-nghiệm nhớt.
Trong Chơng 2, chúng tôi đa ra khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tính
duy nhất nghiệm nhớt cho một lớp các phơng trình tổng quát (S2).
Chơng 3 dành cho việc giới thiệu khái niệm nghiệm nhớt cho bài toán Cauchy
(CP) trong trờng hợp hàm F có dáng điệu xấu (bad behavior) theo cả x, t, Du
và D
2
u. Với khái niệm nghiệm đó, chúng tôi đ nhận đợc các định lý về sự tồn
tại và tính duy nhất nghiệm nhớt của (CP) dới những điều kiện nhất định.
Sau đây chúng tôi viết tắt tơng ứng bởi t.. và hầu khắp nơi bởi h.k.n..
5
Chơng 1
Nghiệm tốt của phơng trình parabolic cấp 2 đều
Trong chơng này chúng tôi đề xuất khái niệm L
p
nghiệm tốt cho phơng
trình parabolic cấp 2 đều, đồng thời chúng tôi cũng sẽ chứng tỏ rằng L
p
nghiệm
tốt của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phơng trình parabolic đều tơng đơng với
L
p
nghiệm nhớt của bài toán đó.
1.1. Một số ký hiệu và kiến thức cơ sở

Ký hiệu R
N
, N 1 là không gian Euclide N chiều. Gọi S(R
N
) là tập
hợp tất cả các ma trận đối xứng thực cấp N ì N. Với một ma trận thực cấp
N ì N bất kỳ Y = (a
i,j
) thì vết của Y xác định bởi tr(Y ) =

N
i=1
a
i,i
. Giả sử
X S(R
N
), X = X
+
X

với X
+
0, X

0. Khi đó ta sử dụng chuẩn
X = trX
+
+ trX

.
Cho 0 < là các hằng số. Các toán tử cực trị Pucci ứng với và là
các phiếm hàm xác định trên S(R
N
) và đợc định nghĩa bởi
P
+
,
(X) = tr(X
+
) + tr(X

), P

,
(X) = tr(X
+
) + tr(X

).
Trong toàn bộ Chơng 1, R
N
(N 2) luôn đợc giả thiết là một miền
bị chặn và thoả mn điều kiện nón ngoài đều, tức là tồn tại (0, ) và một số
r
0
> 0 sao cho, với mỗi z có một phép quay = (z) thoả mn
B
r
0

(z) {z} + (T

),
trong đó
T

= {x = (x
1
, ã ã ã , x
N
) R
N
: x
N
(cos )|x| };
với biên và bao đóng ; B
r
(x
0
) là hình cầu mở trong R
N
với bán kính r và tâm
tại x
0
. Ký hiệu B
r
= B
r
(0).
Đặt Q = ì (0; T] (T > 0);

p
Q := ( ì (0, T ]) ( ì {0}) đợc gọi là
biên parabolic của Q. Ký hiệu Q
r
:= B
r
ì (r
2
, 0]. Khi đó, lân cận parabolic của
điểm (x, t) Q là các tập hợp có dạng:
Q
r
(x, t) = Q
r
+ {(x, t)}.
Khoảng cách parabolic giữa (x, t) và (y, s) trong R
N
ì R là
d((x, t), (y, s)) = (|x y|
2
+ |t s|)
1/2
.
6
Với khoảng cách này, thì đờng kính diam(Q) và các khoảng cách
dist((x, t),
p
Q), dist(Q

,

p
Q), Q

Q là các hàm đo đợc. Khi Q

Q và
dist(Q

,
p
Q) > 0 thì ta viết Q

Q.
Xét phơng trình có dạng
u
t
+ G(x, t, u, Du, D
2
u) = 0, (PE)
trong đó G(x, t, r, p, X) : Q ì R ì R
N
ì S(R
N
) R là hàm chỉ cần đo đợc theo
(x, t). Nh vậy, các điều kiện đặt ra chỉ cần thoả mn với hầu hết (x, t) Q, nhng
để đơn giản trong cách trình bày, chúng tôi vẫn viết là với mọi (x, t) Q.
Ta nói (PE) là phơng trình parabolic đều nếu có các hằng số 0 < sao
cho
tr(P ) G(x, t, r, p, X P ) G(x, t, r, p, X) tr(P) với P 0
và với mọi x, t, r, p, X.

Giả sử O R
N+1
là một tập đo đợc tùy ý. Chúng ta sử dụng một số không
gian nh: L
p
(O) : không gian các hàm p khả tích trên O với chuẩn f
L
p
(O)
=
(

O
|f(x, t)|
p
dxdt)
1
p
; L

(O) : không gian các hàm bị chặn cốt yếu trên O với
chuẩn f
L

(O)
= esssup
O
|f(x, t)|; W
2,1,p
(O) : không gian các hàm f có tính chất

f, Df, D
2
f và
f
t
thuộc L
p
(O) với chuẩn
f
W
2,1,p
(O)
=

f
p
L
p
(O)
+
f
t

p
L
p
(O)
+ Df
p
L

p
(O)
+ D
2
f
p
L
p
(O)

1
p
;
cùng với các không gian địa phơng tơng ứng; C(O) là tập hợp tất cả các hạn chế
trên O của các hàm thuộc C(R
N+1
), có chuẩn u
L

(O)
< .
1.2. Các giả thiết cơ bản
Từ đây đến hết chơng này, ta giả sử , là các hằng số dơng cố định.
Bằng cách đặt
f(x, t) := G(x, t, 0, 0, 0), F (x, t, r, p, X) := G(x, t, r, p, X) + f(x, t),
ta có
F (x, t, 0, 0, 0) 0. (1.1)
và chúng ta có thể viết phơng trình (PE) dới dạng
u
t

+ F (x, t, u, Du, D
2
u) = f(x, t). (PE)
7
Ta giả thiết rằng
f(x, t) L
p
(Q), p > p
0
>
N + 2
2
, (1.2)
trong đó p
0
< N +1 là một hằng số sao cho nguyên lý cực đại tổng quát cho phơng
trình parabolic thoả mn với mọi p > p
0
.
Giả thiết về hàm G xác định bởi các điều kiện:
|G(x, t, r, p, X) G(x, t, r, q, X)| |p q|, (1.3)
P

,
(X Y ) G(x, t, r, p, X) G(x, t, r, p, Y ) P
+
,
(X Y ), (1.4)
với mọi (x, t) Q, r R, p, q R
n

, X, Y S(R
N
).
Điều kiện (1.3) và (1.4) có nghĩa là: G(x, t, r, p, X) liên tục Lipschitz theo
biến p R
N
với hằng số đều đối với các biến còn lại; G(x, t, r, p, X + P )
G(x, t, r, p, X) P nếu P S(R
N
) là một ma trận dơng; G(x, t, r, p, X) liên
tục Lipschitz theo X S(R
N
) với hằng số đều đối với các biến khác. Nói riêng,
(PE) là một phơng trình parabolic đều và (1.4) suy ra tính elliptic suy biến,
G(x, t, r, p, X) G(x, t, r, p, Y ) khi X Y. (1.5)
Về sự phụ thuộc theo biến r, chúng ta giả thiết

r G(x, t, r, p, X) liên tục đều,
đều theo (x, t) Q, |r| + |p| + X R (R > 0).
(1.6)
r G(x, t, r, p, X) không giảm. (1.7)
Nhận xét 1.1. (i) Hàm F trong (PE) sẽ thoả mn các điều kiện (1.3)(1.7) khi và
chỉ khi G trong (PE) thoả mn các điều kiện đó.
(ii) Do giả thiết p > (N +2)/2 nên W
2,1,p
(Q) đợc nhúng compact trong C(Q).
Hơn nữa, nếu u W
2,1,p
loc
(Q) thì u khả vi parabolic hai lần h.k.n

Ví dụ điển hình về hàm G thỏa mn các điều kiện chỉ ra là các toán tử cực trị
Pucci và
G(x, t, r, p, X) =sup
à
inf

{tr(A
à,
(x, t)X)
+ B
à,
(x, t), p + c
à,
(x, t)r f
à,
(x, t)},
trong đó à, chạy trên các tập chỉ số không quá đếm đợc nào đó; các ma trận
A
à,
= (a
à,
i,j
) S(R
N
), các véc tơ B
à,
= (b
à,
1
, ã ã ã , b

à,
N
) R
N
, các hàm số
c
à,
, f
à,
đều đo đợc theo (x, t) và thỏa mn
0 < I A
à,
(x, t) I, |B
à,
(x, t)| ,
0 c
à,
(x, t) , g(x, t) := sup
à
inf

f
à,
(x, t) L
p
(Q), p > p
0
đều đối với à, .
8
1.3. Một số khái niệm nghiệm

Với hàm f : R
n
R, x
0
R
n
, ký hiệu
ess limsup
xx
0
f(x) = lim
r0
{ess sup
xB
r
(x
0
)
f(x)}; ess liminf
xx
0
f(x) = lim
r0
{ ess inf
xB
r
(x
0
)
f(x)}.

Định nghĩa 1.2. Hàm u C(Q) đợc gọi là một L
p
nghiệm dới nhớt của (PE)
trong Q, nếu với mỗi hàm W
2,1,p
loc
(Q) khi u có cực đại địa phơng tại
(x,

t) ì (0, T) thì
ess liminf
(x,t)(x,

t)


t
(x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D
2
(x, t)

0.
Hàm u C(Q) đợc gọi là một L
p
nghiệm trên nhớt của (PE) trong Q, nếu
với mỗi hàm W
2,1,p
loc
(Q) khi u có cực tiểu địa phơng tại (x,

t) ì (0, T)
thì
ess limsup
(x,t)(x,

t)


t
(x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D
2
(x, t)

0.
Một hàm vừa là L
p
nghiệm dới nhớt, vừa là L
p
nghiệm trên nhớt của (PE)
thì đợc gọi là một L
p
nghiệm nhớt của phơng trình đó.
Một cách tơng đơng: Hàm u C(Q) là L
p
nghiệm dới nhớt của (PE)
trong Q nếu với mỗi hàm W
2,1,p
loc
(Q) và (x,

t) ì (0, T ) là một điểm sao cho

t
(x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D
2
(x, t)) ,
với một > 0 và với hầu hết (x, t) thuộc một lân cận Euclide của (x,

t) trong R
N+1
,
thì u không thể có cực đại địa phơng tại (x,

t). Khái niệm L
p
nghiệm trên
nhớt cũng cũng có khẳng định tơng đơng nh vậy nhng đổi chiều các bất đẳng
thức và thay cực đại địa phơng bởi cực tiểu địa phơng.
Nhận xét 1.3. i) Với các giả thiết ở Mục 1.2, Crandall và Lions đ chỉ ra rằng:
chúng ta có thể thay lân cận Euclide của điểm (x,

t) trong Định nghĩa 1.2 bởi lân
cận parabolic. Nói cách khác, trong các giới hạn có thể yêu cầu t

t.
ii) Các khái niệm trong Định nghĩa 1.2 là các khái niệm có tính địa phơng.
Do vậy chúng không thay đổi khi ta thay giả thiết W
2,1,p
loc
(Q) bởi W

2,1,p
trong một lân cận của (x,

t).
Tiếp theo là khái niệm L
p
nghiệm mạnh.
Định nghĩa 1.4. Hàm u đợc gọi là một L
p
nghiệm dới mạnh (L
p
nghiệm trên
mạnh) của (PE) trong Q, nếu u W
2,1,p
loc
(Q) và
u
t
(x, t) + G(x, t, u(x, t), Du(x, t), D
2
u(x, t)) 0
9
(t..
u
t
(x, t) + G(x, t, u(x, t), Du(x, t), D
2
u(x, t)) 0)
h.k.n. trong Q.
Hàm u đợc gọi là một L

p
nghiệm mạnh của (PE) nếu nó vừa là L
p
nghiệm
dới mạnh, vừa là L
p
nghiệm trên mạnh của phơng trình đó.
Trong Luận án chúng tôi còn đa ra khái niệm nghiệm từng điểm hầu khắp nơi,
một số tính chất của các loại nghiệm này và mối liên hệ giữa chúng.
1.4. Nghiệm tốt
Định nghĩa 1.15. Ta nói dy hàm G
1
, G
2
, , G
m
, thoả mn các điều kiện cấu
trúc đều theo m nếu (1.3), (1.4), (1.6) đợc thoả mn đều theo m với cùng các hằng
số , , và nếu |G
m
(x, t, 0, 0, 0)| g(x, t) với một hàm g L
p
(Q).
Định nghĩa 1.16. Ta gọi u C(Q) là một L
p
nghiệm tốt của (PE) nếu tồn tại
một dy các hàm G
m
sao cho:
i) G

m
thoả mn các điều kiện cấu trúc đều theo m,
ii) G
m
(x, t, r, p, X) G(x, t, r, p, X) khi m , với mọi (x, t, r, p, X),
iii) các phơng trình
u
t
+ G
m
(x, t, u, Du, D
2
u) = 0 trong Q có L
p
nghiệm
mạnh u
m
thoả mn u
m
u khi m trong C(Q).
Xét bài toán Cauchy-Dirichlet
u
t
u + G(x, t, u, Du, D
2
u) = 0 trong Q, u = trên
p
Q, (1.10)
với G bị chặn.
Trong chơng này, khi nói tới một bài toán thì nó bao gồm hai phần: phơng

trình và điều kiện trên biên parabolic. Đối với phơng trình thì các khái niệm
nghiệm đ đợc trình bày chi tiết, còn với điều kiện biên thì luôn đợc hiểu theo
nghĩa chặt, tức là tơng ứng với nghiệm dới (t.. nghiệm trên hay nghiệm) thì bất
đẳng thức (t.. hay đẳng thức) xảy ra tại mọi (x, t)
p
Q.
Nhận xét 1.17. Nếu hàm G(x, t, r, p, X) trong (1.10) liên tục Lipschitz theo biến
X với hằng số L đều đối với các biến còn lại và thỏa mn điều kiện (1.5) thì hàm

G(x, t, r, p, X) = tr(X) + G(x, t, r, p, X) thỏa mn điều kiện (1.4) với các hằng
số = 1, = 1 + L.
Sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán (1.10) đợc chỉ ra trong định lý sau
Định lý 1.18. Giả sử G : Q ìR ìR
n
ì S(R
N
) R là một hàm đo đợc, bị chặn,
thoả mn các điều kiện (1.3), (1.5), (1.6), và liên tục Lipschitz theo biến X đều đối
với các biến còn lại, C(
p
Q). Khi đó bài toán (1.10) có một L
p
nghiệm mạnh
u C(Q) W
2,1,p
loc
(Q).
10
Kết quả này cần thiết cho việc chứng minh sự tơng đơng của L
p

nghiệm tốt
với L
p
nghiệm nhớt. Sự tồn tại của L
p
nghiệm tốt đ đạt đợc
Định lý 1.19. (Sự tồn tại L
p
nghiệm tốt). Giả sử C(
p
Q), F là hàm đo đợc,
thoả mn các điều kiện (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.1) và f L
p
(Q). Khi đó bài
toán Cauchy-Dirichlet
u
t
+ F (x, t, u, Du, D
2
u) = f(x, t) trong Q, u = trên
p
Q
có một L
p
nghiệm tốt.
Tiếp theo, chúng ta xét bài toán Cauchy-Dirichlet
u
t
+ F (x, t, Du, D
2

u) = f(x, t) trong Q, u = trên
p
Q. (1.15)
Chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi L
p
-nghiệm nhớt của (1.15) cũng là một L
p
nghiệm
tốt của bài toán đó. Theo kết quả đ biết về tính ổn định của L
p
nghiệm nhớt của
M. G. Crandall, M. Kocan và A.
'
Swiech, mỗi L
p
nghiệm tốt cũng là một L
p
-nghiệm
nhớt.
Định lý 1.20. Giả sử F là hàm đo đợc và thoả mn (1.3), (1.4), (1.1), f thoả mn
(1.2), C(
p
Q). Khi đó, mỗi L
p
-nghiệm nhớt u của (1.15) là một L
p
nghiệm
tốt. Tức là, có một dy hàm F
m
không phụ thuộc u, thoả mn các điều kiện (1.3),

(1.4), (1.1), và một dy f
m
L
p
(Q) sao cho
F
m
(x, t, p, X) F (x, t, p, X),
với hầu hết (x, t) Q, và với mọi (p, X) R
n
ì S(R
N
),
f
m
f trong L
p
(Q)
và phơng trình
u
m
t
+ F
m
(x, t, Du
m
, D
2
u
m

) = f
m
(x, t) trong Q
có L
p
nghiệm mạnh u
m
C(Q) W
2,1,p
loc
(Q). Hơn nữa
u
m
u trong C(Q).
11
Chơng 2
Tính duy nhất nghiệm nhớt của phơng trình đạo
hàm riêng phi tuyến cấp 2 trong không gian con của
L
2
()
2
với R
2
Chơng này dành cho việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phơng trình
u(x) + Ax + B(x, x), Du(x) + F (x, Du(x), D
2
u(x)) = 0, (S)
trong đó A, B tơng ứng là toán tử Stokes và toán tử Euler trong không gian Hilbert
L

2
div
(). Các khái niệm và các giả thiết về hàm F sẽ đợc đề cập chi tiết trong Mục
2.1 dới đây.
2.1. Một số kiến thức cơ sở
2.1.1. Về tính chất của toán tử
Giả sử H là một không gian Hilbert với tích vô hớng u, v
H
= u, v và
chuẩn |u|
H
= |u| = u, u
1
2
, u, v H. Chúng ta sẽ đồng nhất không gian đối ngẫu
H

của H với H.
Một toán tử tự liên hợp B : D(B) H H đợc gọi là dơng nếu Bv, v 0
với mọi v D(B) và đợc gọi là xác định dơng nếu tồn tại a > 0 sao cho
Bv, v a|v|
2
với mọi v D(B).
Toán tử tuyến tính, tự liên hợp, dơng B : D(B) H H đợc gọi là có phổ
rời rạc nếu trong H có một cơ sở trực chuẩn {e
k
} gồm các véc tơ riêng tơng ứng
với các giá trị riêng
k
của B có tính chất

0 <
1

2
ã ã ã , lim
k

k
= .
Nếu toán tử B có phổ rời rạc thì chúng ta có thể xác định toán tử g(B) với một
lớp rộng các hàm g() xác định trên [0, ) nh sau:
D(g(B)) =

v =


k=1
v
k
e
k
H :


k=1
v
2
k
[g(
k

)]
2
<

,
g(B)v =


k=1
v
k
g(
k
)e
k
, v D(g(B)). (2.1)
Với g() =

ta có các toán tử B

, R. Ký hiệu V
2
= D(B

), R. Khi
đó ta có một số tính chất sau:
12
(1) V
2
là không gian Hilbert tách đợc với tích vô hớng u, v

2
= B

u, B

v
và chuẩn |v|
2
= |B

v|.
(2) Với > thì V
2
đợc nhúng compact vào V
2
.
(3) V
2
trù mật trong V
2
với mọi > .
(4) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên V
2
đều có dạng F (v) = v, u
với u V
2
. Do đó, V
2
là không gian đối ngẫu của V
2

.
(5) Trong mỗi không gian V
2
, công thức
P
N
v =
N

k=1
v, e
k
e
k
, v V
2
xác định một phép chiếu trực giao lên không gian con hữu hạn chiều sinh bởi họ
{e
1
, ã ã ã , e
N
}. Hơn nữa, với mỗi ta có
lim
N
|P
N
v v|
2
= 0.
Với g() = e

t
, công thức (2.1) cho ta toán tử mũ e
tB
, t 0.
2.1.2. Về phiếm hàm nửa liên tục theo dãy yếu
Một phiếm hàm f : D H R đợc gọi là nửa liên tục dới (trên) theo
dy yếu (weakly sequentially lower (upper) semicontinuous) nếu với mọi v D,
với mọi dy (v
n
) D, v
n
v, ta có
lim inf
n
f(v
n
) f(v)
(t.. lim sup
n
f(v
n
) f(v)).
Ta nói f là liên tục theo dy yếu nếu nó vừa nửa liên tục dới theo dy yếu, vừa
nửa liên tục trên theo dy yếu. Định lý sau đây là nguyên lý cực trị cơ bản trong
không gian Hilbert.
Định lý 2.3. Giả sử f : D H R là một phiếm hàm; tập D = , lồi, đóng và
bị chặn; f nửa liên tục trên theo dy yếu. Khi đó f đạt giá trị lớn nhất trên M.
2.1.3. Về Cnghiệm nhớt của phơng trình elliptic suy biến trong R
N
Giả sử R

N
là một tập mở với biên trơn. Ta sử dụng một số không
gian hàm với tính chất chỉ ra trên sau đây: C() không gian các hàm liên tục;
C
k
() không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k, k N

; USC() không
gian các hàm nửa liên tục trên; LSC() không gian các hàm nửa liên tục dới.
Xét phơng trình dạng
G(x, u, Du, D
2
u) = 0, x (2.4)
trong đó G liên tục và thỏa mn điều kiện (0.1).
13
Định nghĩa 2.5. Hàm u USC() đợc gọi là Cnghiệm dới nhớt của phơng
trình (2.4) trong nếu với mỗi C
2
(), khi x là điểm cực đại địa phơng
của u thì
G(x, u(x), D(x), D
2
(x)) 0.
Tơng tự, u LSC() đợc gọi là Cnghiệm trên nhớt của phơng trình (2.4)
trong nếu với mỗi C
2
(), khi x là điểm cực tiểu địa phơng của u
thì
G(x, u(x), D(x), D
2

(x)) 0.
Hàm u đợc gọi là Cnghiệm nhớt của (2.4) trong nếu nó vừa là Cnghiệm
dới nhớt vừa là Cnghiệm trên nhớt (do vậy u C()) của phơng trình đó.
2.1.4. Toán tử Stokes và toán tử Euler
Giả sử R
2
là một miền mở, bị chặn với biên trơn. Ký hiệu D() là không
gian các hàm thử trong lý thuyết phân bố trên ; L
p
() là không gian Banach các
hàm pkhả tích Lebesgue trên với chuẩn x
L
p
()
= (


|x()|
p
d)
1/p
, p > 1;
W
k,p
(), k R, p > 1 là không gian Sobolev và H
k
() = W
k,2
().
Ký hiệu W

k,p
()
2
:= {x = (x
1
, x
2
) : x
1
, x
2
W
k,p
()} với chuẩn
|x|
k,p
:=

x
1

p
W
k,p
()
+ x
2

p
W

k,p
()

1
p
.
Nói riêng |.|
0,p
là chuẩn trong L
p
()
2
.
Đặt
H = L
2
div
() := bao đóng của {x D()
2
, div x = 0} trong L
2
()
2
.
V = bao đóng của {x D()
2
, div x = 0} trong H
1
()
2

,
trong đó divx =
x
1

1
+
x
2

2
. Khi đó H là một không gian Hilbert với tích vô hớng
cảm sinh từ tích vô hớng trong L
2
()
2
, V là không gian Hilbert với tích vô hớng
cảm sinh từ tích vô hớng trong H
1
()
2
. Gọi P
H
là phép chiếu trực giao trong
L
2
()
2
lên H. Toán tử A : D(A) H H với miền xác định D(A) = H
2

()
2
V,
định nghĩa bởi Ax = P
H
x đợc gọi là toán tử Stokes.
Toán tử Stokes là một toán tử tuyến tính, dơng, tự liên hợp, A
1
compact, do
đó A có phổ rời rạc. Hơn nữa, chúng ta có
Ax, x = Dx, Dx, x D(A),
do đó theo bất đẳng thức Poincar
'
e, tồn tại một hằng số M = M() > 0 sao cho
Ax, x M|x|
2
0,2
hay A là một toán tử xác định dơng.
Nhắc lại rằng V

là miền xác định D(A

2
) của A

2
với chuẩn
|x|

= |A

2
x|
0,2
.
14
Nếu >
1
2
thì chuẩn của V

tơng đơng với chuẩn của H

. Hơn nữa không
gian V
1
đồng nhất với V. Cặp đối ngẫu giữa V

và V sẽ đợc ký hiệu bởi ., .. Ký
hiệu đó cũng đợc sử dụng để chỉ tích vô hớng trong H nếu cả hai phần tử đều
thuộc H.
Xét dạng tam tuyến tính b(., ., .) : V ì V ì V R, định nghĩa bởi
b(x, y, z) =


z().

x().

y()d.
Toán tử song tuyến tính B(., .) : V ì V V

xác định bởi
B(x, y), z = b(x, y, z), z V
đợc gọi là toán tử Euler
2.1.5. Giả thiết về hàm F
Ta nói rằng hàm : [0, ) [0, ) là một mô đun (modulus) nếu liên tục,
không giảm, dới cộng tính và (0) = 0.
Hàm : [0, ) ì [0, ) [0, ) là một mô đun địa phơng (local modulus)
nếu liên tục, không giảm theo cả hai biến, dới cộng tính theo biến thứ nhất và
(0, r) = 0, r 0. Quan hệ thứ tự trên [0, ) ì[0, ) là quan hệ thứ tự bộ phận:
(a, b) (c, d) khi và chỉ khi a c và b d.
Giả sử H,

H là các không gian Hilbert tuỳ ý, chúng ta ký hiệu B(H,

H),
UC(H,

H), BUC(H,

H) là không gian Banach tất cả các ánh xạ u : H

H tơng
ứng bị chặn, liên tục đều, liên tục đều và bị chặn trên H với chuẩn thông thờng
u = sup
xH
|u(x)|

H
.
Khi

H = R thì chúng ta viết tắt các không gian tơng ứng là B(H), UC(H) và
BUC(H).
Do A
1
là toán tử compact nên trong không gian H có một cơ sở trực chuẩn
gồm các véc tơ riêng (w
n
)

n=1
của A sao cho dy các giá trị riêng tơng ứng
n
thỏa mn 0 <
1

2
ã ã ã và
n
+ khi n .
Gọi H
N
, N N

là các không gian con hữu hạn chiều của H tơng ứng sinh bởi
các họ véc tơ riêng {

1
, ã ã ã ,
N
} của A. Chúng ta có

N=1
H
N
= H. Với N N

đ cho, ký hiệu P
N
là phép chiếu trực giao trong H lên H
N
, đặt Q
N
= I P
N
và
H

N
= Q
N
H. Khi đó ta có sự phân tích trực giao H = H
N
H

N
và chúng ta qui

ớc dùng ký hiệu x
N
cho phần tử của H
N
và x

N
cho phần tử của H

N
. Với x H,
thì x = (P
N
x, Q
N
x).
15
Giả thiết F
1
:
(A
0
) Tồn tại (0,
1
2
) sao cho hàm F : V

ì V

ì S(H) R liên tục (theo tô pô

của V

ì V

ì S(H));
(A
1
) F (x, p, X
1
) F (x, p, X
2
), x, p V

, X
1
X
2
;
(A
2
) Tồn tại một môđun sao cho
|F (x, p, X
1
) F (x, q, X
2
)|

(1 + |x|

)|p q|

+ (1 + |x|
2

)X
1
X
2


,
x, p, q V

và X
1
, X
2
S(H);
(A
3
) Tồn tại một mô đun sao cho, N 1, > 0, = 1 , x, y V

và với
mọi X, Y S(H
N
) thoả mn

X 0
0 Y

2


P
N
A

P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N

;

chúng ta đều có
F

x,
A

(x y)

, X

F

y,
A

(x y)

, Y



|x y|

(1 +
|x y|


)

,

(A
4
) Với mỗi R < +, || R, x, p V

,
sup

|F (x, p,X
N
+ Q
N
) F (x, p, X
N
)| :
X R, X
N
= P
N
XP
N

0 khi N .
2.2. Nghiệm nhớtTính duy nhất
Định nghĩa 2.11. Hàm : H R đợc gọi là một hàm thử của phơng trình (S)
nếu có dạng
(x) = (x) + |x|
2
trong đó
1. > 0;
2. C

2
(H), nửa liên tục dới theo dy yếu;
3. D UC(H, H) UC(D(A
1
2
k
), V ), với k = k() > 0;
4. D
2
BUC(H, S(H)).
16
Định nghĩa 2.12. Một hàm u : H R nửa liên tục trên (t..: nửa liên tục dới)
theo dy yếu trong H, đợc gọi là nghiệm dới nhớt (t..: nghiệm trên nhớt) của
phơng trình (S) nếu với mỗi hàm thử , khi u có cực đại địa phơng (t..:
u + có cực tiểu địa phơng) tại x thì x V và
u(x) + A
1
2
x, A
1
2
D(x) + B(x, x), D(x) + F (x, D(x), D
2
(x)) 0
(t..: u(x) + A
1
2
x, A
1
2

D(x) + B(x, x), D(x)
+ F (x, D(x), D
2
(x)) 0).
Hàm u đợc gọi là nghiệm nhớt của (S) nếu nó vừa là nghiệm dới nhớt, vừa
là nghiệm trên nhớt của phơng trình đó.
Nhận xét 2.13. Khi chúng ta hạn chế trong không gian hữu hạn chiều, chẳng hạn
H
N
thì phơng trình (S) trở thành một phơng trình với hệ số liên tục và khái niệm
nghiệm nhớt ở đây trùng với khái niệm Cnghiệm nhớt đ nêu trong Mục 2.1.3.
Gọi K là họ tất cả các hàm u : H R liên tục theo dy yếu, bị chặn, liên tục
Lipschitz theo chuẩn |.|

trên các tập con bị chặn của H. Ta có kết quả sau đây.
Định lý 2.14. Với giả thiết F
1
. Giả sử u, v M với một hằng số M nào đó, u, v
lần lợt là nghiệm dới nhớt và nghiệm trên nhớt của (S). Nếu u và v liên tục
Lipschitz địa phơng theo |.|

trên các tập con bị chặn của H thì u v trên H.
Hơn nữa, nếu (S) có nghiệm nhớt u K thì nghiệm đó là duy nhất.
17
Chơng 3
Nghiệm nhớt của bài toán Cauchy cho phơng trình
đạo hàm riêng parabolic phi tuyến cấp 2 trong không
gian Hilbert
3.1. Đặt bài toán
Xét bài toán

u
t
+ Ax, Du + F (x, t, Du, D
2
u) = 0 trong H ì (0, T )
u(x, 0) = g(x) trên H,
(CP)
trong đó H là một không gian Hilbert thực, tách đợc với tích vô hớng ., . và
chuẩn |.|, A : D(A) H H là một toán tử tuyến tính, xác định trù mật, xác
định dơng và A
1
là toán tử compact.
Do toán tử A
1
compact nên A là toán tử có phổ rời rạc, gọi H
1
H
2
ã ã ã là
các không gian con hữu hạn chiều của H sinh bởi các véc tơ riêng của A, P
N
với
N N

là phép chiếu trực giao trong H lên H
N
, Q

N
= I P
N
và H

N
= Q
N
H.
Khi đó ta có sự phân tích trực giao H = H
N
H

N
. Ký hiệu x
N
là phần tử của H
N
và x

N
là phần tử của H

N
. Với x H, ta viết x = (P
N
x, Q
N
x).
Bài toán (CP) đợc nghiên cứu với các giả thiết sau đây về hàm F

Giả thiết F
2
:
(B
0
) Tồn tại (0, 1) sao cho F : D(A

2
) ì [0, T ] ì D(A

2
) ì S(H) R liên tục
(theo tô pô của D(A

2
) ì [0, T] ì D(A

2
) ì S(H));
(B
1
) F (x, t, p, X
1
) F (x, t, p, X
2
), t (0, T), x, p D(A

2
), X
1

X
2
;
(B
2
) Tồn tại một mô đun sao cho
|F (x, t, p, X
1
) F (x, t, q, X
2
)|

(1+|A

2
x|)|A

2
(p q)|
+ (1 + |A

2
x|
2
)X
1
X
2

,
với mọi t (0, T ), mọi x, p, q D(A

2
) và mọi X
1
, X
2
S(H);
(B
3
) Tồn tại 0 < < 1 và một mô đun sao cho, > 0, N 1,
t (0, T), x, y D(A

2
) và X, Y S(H
N
) thoả mn

X 0
0 Y


2


P
N
A

P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N

, (3.1)
18
ta đều có
F

x, t,
A

(x y)

, X

F

y, t,
A

(x y)

, Y



|A

2
(x y)|

1 +
|A

2
(x y)|



;
(B
4

) Với mỗi R < +, || R, t (0, T), x, p D(A

2
),
sup

|F (x, t, p, X
N
+ Q
N
) F (x, t, p, X
N
)| :
X
N
= P
N
XP
N
, X R

0 khi N .
3.2. Nghiệm nhớtSự tồn tại duy nhất
Ký hiệu
UC
x
(H ì [0, T]) = {u C(H ì [0, T]); u(., t) UC(H) đều theo t [0, T ]},
BUC
x
(H ì [0, T]) = {u UC

x
(H ì [0, T]); u bị chặn}.
Định nghĩa 3.2. Hàm : H ì (0, T) R đợc gọi là hàm thử của phơng trình
trong (CP) nếu
(x, t) = (x, t) + (t)(1 + |x|
2
),
ở đó
1. C
1
((0, T)) và > 0 trong (0, T );
2. C
2,1
(H ì (0, T)) nửa liên tục dới theo dy yếu;
3. D(., t) UC(H, H)UC(D(A
1
2
k
), D(A
1
2
)), với một hằng số k = k() > 0
và với mọi t (0, T );
4. D
2
(., t) BUC(H, S(H)), t (0, T).
Định nghĩa 3.3. Hàm nửa liên tục trên (nửa liên tục dới) theo dy yếu u : H ì
(0, T) R đợc gọi là nghiệm dới nhớt (t.. nghiệm trên nhớt) của phơng trình
trong (CP) nếu với mỗi hàm thử , khi u có cực đại địa phơng (t.. u + có
cực tiểu địa phơng) tại (x, t) thì x D(A

1
2
) và

t
(x, t) + A
1
2
x, A
1
2
D(x, t) + F (x, t, D(x, t), D
2
(x, t)) 0
(t..

t
(x, t) + A
1
2
x, A
1
2
D(x, t) + F (x, t, D(x, t), D
2
(x, t)) 0).
Hàm u đợc gọi là nghiệm nhớt của phơng trình trong (CP) nếu nó vừa là
nghiệm trên nhớt, vừa là nghiệm dới nhớt của phơng trình đó.
19
Kết quả của chơng này đợc nêu trong hai định lý sau

Định lý 3.4. (Sự so sánh nghiệm) Cho Giả thiết F
2
. Giả sử u, v : H ì (0, T ) R
tơng ứng là nghiệm dới nhớt và nghiệm trên nhớt của phơng trình trong (CP).
Nếu có một hằng số M sao cho
u(x, t), v(x, t), |g(x)| M(1 + |x|) (3.3)
và



(i) lim
t0
(u(x, t) g(x))
+
= 0
(ii) lim
t0
(v(x, t) g(x))

= 0
(3.4)
đều trên các tập con bị chặn của H ì (0, T ) thì u v trong H ì (0, T).
Định lý 3.5. (Sự tồn tại nghiệm) Với Giả thiết F
2
. Nếu g BUC(H) và
F
R
= sup{|F (x, t, p, X)| : (x, t) D(A
1
2

) ì [0, T],
|p|, X R} < +.
(3.5)
thì (CP) có một nghiệm nhớt duy nhất
u BUC
x
(H ì [0, T]) BUC
x
(D(A


2
) ì [, T ]) với > 0,
thoả mn điều kiện ban đầu theo nghĩa
lim
t0
u(x, t) = g(x), x H.
Hơn nữa, có một mô đun m sao cho
|u(x, t) u(e
(ts)A
x, s)| m(t s) với 0 s t T và x H.
20
Kết luận
Luận án đa ra và nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm suy rộng,
đặc biệt là nghiệm nhớt cho một số lớp phơng trình vi phân đạo hàm riêng phi
tuyến đầy đủ cấp hai. Các kết quả chính của Luận án bao gồm:
1. Đề xuất khái niệm L
p
nghiệm tốt cho phơng trình đạo hàm riêng parabolic
cấp 2 đều với hệ số không liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Chỉ ra sự tồn

tại L
p
nghiệm mạnh (Định lý 1.18) và L
p
nghiệm tốt (Định lý 1.19) của bài toán
Cauchy-Dirichlet cho một lớp các phơng trình parabolic cấp 2 đều. Chứng minh
đợc mỗi L
p
nghiệm nhớt cũng là một L
p
nghiệm tốt (Định lý 1.20) đối với một
lớp phơng trình parabolic cấp 2 đều.
2. Xây dựng khái niệm nghiệm nhớt cho một lớp phơng trình đạo hàm riêng
phi tuyến cấp hai dừng, gắn với toán tử Stokes và toán tử Euler trong không gian
H = L
2
div
() với R
2
. Chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhớt đó trong lớp
K tất cả các hàm u : H R liên tục theo dy yếu, bị chặn, liên tục Lipschitz theo
chuẩn |.|

trên các tập con bị chặn của H.
3. Đa ra khái niệm nghiệm nhớt cho bài toán Cauchy đối với phơng trình
parabolic cấp hai phi tuyến trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Chứng minh
đợc sự tồn tại và sự duy nhất của nghiệm nhớt đó.
Các kết quả nhận đợc là mới và nằm trong vấn đề đang đợc nhiều nhà toán
học trên thế giới và trong nớc quan tâm nghiên cứu. Tuy nhiên trong hớng nghiên
cứu của Luận án vẫn còn một số vấn đề mở, ví dụ nh:

a) Khảo sát sự tồn tại của nghiệm nhớt trong Chơng 2;
b) Nghiên cứu tính chất chính quy của nghiệm nhớt.
Danh mục công trình của tác giả đã công bố
1. Tran Van Bang (2006), The uniqueness of viscosity solutions of the second order
nonlinear partial differential equations in a Hilbert space of two-dimensional
functions, Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 31, No 2, 149-166.
2. Tran Van Bang and Tran Duc Van (2006), Viscosity solutions of the Cauchy
problem for second order nonlinear partial differential equations in Hilbert
spaces, Elec. Jour. of Diff. Equa., Vol. 2006, No. 47, 1-15.
3. Tran Duc Van and Tran Van Bang (2002), Good solutions of fully nonlinear
parabolic equations, Selguk Jour. of Applied Math., Vol. 3, No. 1, 100-111.
Các kết quả của luận án đã đợc báo cáo tại
*Seminar của Phòng Phơng trình Vật lý Toán, Viện Toán học, Viện Khoa học
và Công nghệ Việt Nam.
*Seminar Giải tích và Đại số, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà nội.
*Hội thảo Phơng trình Vi-Tích phân và ứng dụng, Ba vì, tháng 5/2004.
*Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6 tại Huế, tháng 9/2002.
*Hội nghị Quốc tế về Phơng trình vi phân và ứng dụng tại Thành phố Hồ Chí
Minh, tháng 8/2004.
*Các Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh thuộc Viện Toán
học: 11/2003, 11/2004, 11/2005.
*Các hội nghị khoa học Trờng ĐHSP Hà Nội 2: 5/2003, 5/2004, 5/2005.