Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như Môđum trên đại số Steenrod và các ứng dụng

Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức
xem như môđun trên đại số Steenrod
và các ứng dụng
Trần Ngọc Nam
28–10–2006
Mở đầu
1 Bài toán “hit”
Đối đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là một bất biến cơ bản để
phân loại đồng luân các không gian tôpô. Tuy nhiên, trong nhiều trường
hợp, bất biến này chưa đủ tinh tế. Chẳng hạn, cái treo của mặt phẳng xạ
ảnh phức ΣCP
2
và tổng S
3
∨ S
5
của các mặt cầu 3 và 5 chiều có cùng vành
đối đồng điều với cấu trúc tích bằng không, nhưng không có cùng kiểu đồng
luân.
Một trong những công cụ làm tinh tế đối đồng điều là toán tử đối đồng
điều. Nói một cách sơ lược, một toán tử đối đồng điều (sơ cấp) là một họ các
ánh xạ Φ
X
: H
∗
X −→ H
∗
X giao hoán với các đồng cấu cảm sinh trên đối
đồng điều b ởi các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô. Trong phát biểu
này, các ánh xạ Φ
X

không nhất thiết bảo toàn chiều đối đồng điều và không
nhất thiết tuyến tính, còn H
∗
X = H
∗
(X; F
2
) trong mối quan tâm của luận
án này ký hiệu đối đồng điều kỳ dị môđulô 2 của không gian tôpô X. Ví dụ
đơn giản về toán tử đối đồng điều là ánh xạ bình phương của H
∗
X.
Để giải quyết bài toán phân loại đồng luân các ánh xạ liên tục từ một phức
n +1chiều vào mặt cầu S
n
, năm 1942 Steenrod đưa ra một lớp toán tử đối
đồng điều, ngày nay mang tên ông, và được ký hiệu Sq
i
: H
∗
X −→ H
∗+i
X
(với i nguyên không âm). Các toán tử này sau đó được Thom và Wu sử dụng
để nghiên cứu các lớp đặc trưng của phân thớ véctơ, và nhanh chóng trở
thành một trong những công cụ hàng đầu trong nghiên cứu tôpô đại số. Tác
động của các toán tử Steenrod lên tích đối đồng điều thỏa mãn công thức
Cartan:
Sq
i

(u
1
u
2
)=

i
1
+i
2
=i
Sq
i
1
(u
1
)Sq
i
2
(u
2
),
còn liên hệ nội tại của chúng được thể hiện qua các quan hệ Adem:
Sq
a
Sq
b
=

0≤j≤[a/2]


b − j − 1
a − 2j

Sq
a+b−j
Sq
j
1
nếu a<2b.
Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được làm rõ bởi Serre vào
năm 1952. Serre chứng minh rằng với phép cộng thông thường và phép hợp
thành của các ánh xạ, các toán tử Steenro d sinh ra tất cả các toán tử đối
đồng điều ổn định (theo nghĩa “giao hoán với đồng cấu treo”). Ngày nay, đại
số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số F
2
được gọi là đại số Steenrod
môđulô 2 và thường được ký hiệu là A.
Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại
số như là thương của F
2
-đại số kết hợp sinh tự do bởi các ký hiệu Sq
i
(i
nguyên không âm) chia cho iđêan hai phía sinh bởi hệ thức Sq
0
=1và các
quan hệ Adem. Đại số A có một cấu trúc phân bậc tự nhiên xác định bởi
deg(Sq
i

1
Sq
i
2
···Sq
i
k
)=i
1
+ i
2
+ ···+ i
k
với mọi i
1
,i
2
, ,i
k
≥ 0. Hơn nữa, nó là một đại số phân bậc có bổ sung,
nghĩa là có một toàn cấu F
2
-đại số phân bậc tự nhiên ε : A−→F
2
thỏa mãn
ε(Sq
i
)=

1 nếu i =0,

0 nếu i>0.
Là một tập hợp các toán tử đối đồng điều, A tác động một cách tự nhiên
lên đối đồng điều của mọi không gian tôpô. Do đó, đối đồng điều của các
không gian tôpô không chỉ là một F
2
-đại số mà còn là một A-môđun. Cấu
trúc A-môđun tinh tế hơn cấu trúc F
2
-đại số. Chẳng hạn, nhờ cấu trúc này
ta có thể thấy các không gian ΣCP
2
và S
3
∨ S
5
không có cùng kiểu đồng
luân, vì toán tử Sq
2
tác động tầm thường trên H
3
(S
3
∨ S
5
) nhưng không
tầm thường trên H
3
(ΣCP
2
). Nguyên nhân của sự kiện Sq

2
tác động không
tầm thường trên H
3
(ΣCP
2
) là như sau: mặt phẳng xạ ảnh phức CP
2
có thể
thu được bằng cách dán một ngăn 4 chiều vào mặt cầu S
2
nhờ ánh xạ Hopf
h : S
3
→ S
2
; ánh xạ này không đồng luân tầm thường.
Gọi P = H
∗
(RP
∞
)
k
là đại số đối đồng điều môđulô 2 của tích trực tiếp
k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều. Theo công thức K¨unneth, P là một
F
2
-đại số đa thức phân bậc của k biến (hay phần tử sinh), trong đó mỗi biến
có bậc bằng 1. Tác động của A lên P được mô tả bởi công thức Cartan và
các hệ thức

Sq
i
x
j
=



x
j
nếu i =0,
x
2
j
nếu i =1,
0 nếu i>1.
Bài toán chúng tôi quan tâm là tìm một hệ sinh cực tiểu cho A-môđun
phân bậc P. Nói cách khác, điều này có nghĩa là tìm một cơ sở cho không
gian véctơ phân bậc F
2
⊗
A
P
∼
=
P/
¯
AP,ởđây
¯
A =kerε là iđêan bổ sung

của đại số Steenrod. Bài toán này thường được gọi là bài toán “hit.”
2
2 Một số động cơ nghiên cứu bài toán “hit”
2.1 Số hạng E
2
của dãy phổ Adams
Để tiếp cận bài toán nổi tiếng khó là việc tính các nhóm đồng luân ổn
định của mặt cầu, trên cơ sở “dán các dãy phổ Serre vào với nhau,” năm 1958
Adams đã đưa ra một dãy phổ hội tụ đến thành phần 2-xoắn
2
π
S
∗
(S
0
) của các
nhóm này với số hạng E
2
là Ext
∗
A
(F
2
, F
2
). Kể từ đó, việc tính Ext
∗
A
(F
2

, F
2
)
trở thành một trong những bài toán quan trọng hàng đầu của lý thuyết đồng
luân ổn định.
Ý nghĩa của F
2
⊗
A
P được thiết lập lần đầu tiên (có lẽ) trong một công
trình của Singer, trong đó ông sử dụng lý thuyết bất biến để tìm hiểu nhóm
xoắn Tor
A
∗
(F
2
, F
2
), tức là không gian véctơ đối ngẫu của Ext
∗
A
(F
2
, F
2
). Singer
viết công trình này vào quãng năm 1980 và nó được lưu hành ở dạng tiền
ấn phẩm. Ông chính thức công b ố nó vào năm 1989. Bằng những công
cụ đại số đồng điều thuần túy, Singer xây dựng một ánh xạ tuyến tính
Tor

A
k
(F
2
, F
2
) −→ F
2
⊗
A
P. Ông chứng minh rằng ảnh của ánh xạ này bất
biến dưới tác động chính quy của nhóm tuyến tính tổng quát GL = GL(k, F
2
).
Ánh xạ đối ngẫu
Tr
k
: Hom ((F
2
⊗
A
P)
GL
, F
2
) −→ Ext
k
A
(F
2

, F
2
)
được gọi là đồng cấu chuyển Singer.
Singer chứng tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển bằng cách
chỉ ra rằng Tr
k
là đẳng cấu khi k =1, 2, và rằng

k≥0
Tr
k
là một đồng cấu
đại số (bảo toàn phép nhân). Công trình của Singer phần lớn dựa trên những
tính toán cụ thể về không gian véctơ (F
2
⊗
A
P)
GL
. Có thể nói công trình của
Singer là một trong những công trình đầu tiên đặt nhu cầu nghiên cứu bài
toán “hit.”
Một thập kỷ sau khi Singer xây dựng đồng cấu chuyển, đến năm 1991
Boardman một lần nữa khẳng định giá trị của nó, cũng như của F
2
⊗
A
P,
đối với nghiên cứu các nhóm Ext

∗
A
(F
2
, F
2
). Boardman chứng minh rằng Tr
3
cũng là một đẳng cấu. Công trình của ông dựa trên những tính toán cụ thể
về không gian véctơ F
2
⊗
A
P cho k =3của Kameko.
2.2 Lý thuyết cobordism
Bài toán “hit” có liên hệ mật thiết với lý thuyết cobordism thông qua
những khảo sát của Peterson trong lý thuyết này.
Giả sử M là một đa tạp d chiều trơn, compact và không có biên. Giả
sử mọi tích của nhiều hơn k lớp Stiefel–Whitney của phân thớ véctơ pháp
3
tuyến của M đều bằng 0. Điều kiện này được thỏa mãn (chẳng hạn) nếu M
có phạm trù Lusternik–Schnirelmann không lớn hơn k, nghĩa là nếu M có
thể viết dưới dạng hợp của không quá k +1 tập con mở và co rút được trong
M. Peterson khẳng định rằng khi đó, nếu α( d) >k(ở đây α(d) là số chữ
số 1 trong biễu diễn nhị phân của d), thì M là biên của một đa tạp trơn và
compact nào đó.
Để thiết lập kết quả này, Peterson đã đưa ra giả thuyết nổi tiếng nói rằng
nếu α(d) >k, thì không gian véctơ phân bậc F
2
⊗

A
P bằng 0 tại bậc d − k.
Giả thuyết của ông được Wood chứng minh năm 1988.
2.3 Biểu diễn modular của nhóm tuyến tính tổng quát
Sau khi chứng minh giả thuyết của Peterson về sự kiện không gian véctơ
phân bậc F
2
⊗
A
P bằng 0 tại những bậc nào đó, Wood tiếp tục khai thác
cấu trúc của không gian véctơ này xem như một biểu diễn môđula của nhóm
tuyến tính tổng quát.
Gọi M là vị nhóm nhân các ma trận vuông cấp k với hệ số thuộc F
2
.
Nhóm tuyến tính tổng quát GL chính là nhóm con các phần tử khả nghịch
của M. Gọi P
d
là thành phần bậc d của không gian véctơ phân bậc P. Khi
đó M tác động một cách tự nhiên lên P
d
bằng các phép thế biến tuyến tính.
Do đó P
d
là một biểu diễn môđula của M và của GL. Một kết quả cổ điển
của lý thuyết biểu diễn nói rằng mọi biểu diễn bất khả quy của M hay của
GL đều là một nhân tử hợp thành của P
d
với d>0 nào đó.
Tác động của M và của A lên P

d
giao hoán với nhau, nên (F
2
⊗
A
P)
d
∼
=
(P/
¯
AP)
d
cũng là một biểu diễn môđula của M và của GL. Nhận xét của
Wood là: mọi biểu diễn bất khả quy của M hay của GL đều là một nhân tử
hợp thành của (F
2
⊗
A
P)
d
với d>0 nào đó. Nhận xét này chỉ ra vai trò quan
trọng của F
2
⊗
A
P đối với nghiên cứu các biểu diễn môđula của nhóm tuyến
tính tổng quát cũng như vai trò quan trọng của biểu diễn nhóm tuyến tính
tổng quát trong nghiên cứu F
2

⊗
A
P.
2.4 Giả thuyết cổ điển về lớp cầu
Không gian khuyên vô hạn Q(−) := lim
n→∞
Ω
n
Σ
n
(−) có liên hệ chặt chẽ
với lý thuyết các phổ, cũng như với các lý thuyết đồng điều và đối đồng điều
suy rộng. Nếu X là một không gian tôpô có điểm gốc, thì các nhóm đồng
luân của thành phần liên thông đường Q
0
X của điểm gốc trong QX chính
là các nhóm đồng luân ổn định của X. Giả thuyết cổ điển về lớp cầu (được
đưa ra vào quãng 1970), nói rằng đồng cấu Hurewicz môđulô 2
π
∗
(Q
0
S
0
) −→ H
∗
(Q
0
S
0

; F
2
)
4
chỉ phát hiện được các phần tử của π
∗
(Q
0
S
0
)
∼
=
π
S
∗
(S
0
) có bất biến Hopf bằng
1 hoặc bất biến Kervaire bằng 1. Một số người cho rằng giả thuyết này là
của Curtis, còn một số khác lại cho rằng nó là của Madsen. Trong dãy phổ
Adams của S
0
, các phần tử của π
S
∗
(S
0
) có bất biến Hopf bằng 1 ứng với các
chu trình vĩnh cửu h

1
,h
2
,h
3
∈ Ext
1
A
(F
2
, F
2
), còn các phần tử có bất biến
Kervaire bằng 1 ứng với các chu trình vĩnh cửu giả định h
2
i
∈ Ext
2
A
(F
2
, F
2
).
Do đó, nói riêng, giả thuyết cổ điển về lớp cầu khẳng định rằng các phần tử
của
2
π
S
∗

(S
0
) ứng với các chu trình vĩnh cửu trong Ext
k
A
(F
2
, F
2
) với k>2 đều
nằm trong hạch của đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của Q
0
S
0
. Giả thuyết này
có liên quan bất ngờ đến bài toán “hit” nhờ các công trình của Lannes–Zarati,
Goerss và N. H. V. Hưng.
Trước hết, vào năm 1983 Lannes–Zarati xây dựng một ánh xạ tuyến tính
LZ : Ext
k
A
(F
2
, F
2
) −→ Hom(F
2
⊗
A
P

GL
, F
2
).
Họ chứng minh rằng ánh xạ này tương thích theo một nghĩa thích hợp với
đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của Q
0
S
0
nói trên thông qua dãy phổ Adams
của S
0
. Muộn hơn họ một chút và với công cụ độc lập, Goerss cũng đã chứng
minh được tính chất này.
Dựa vào các kết quả đó, N. H. V. Hưng đã đưa ra một phát biểu đại số
cho giả thuyết cổ điển về lớp cầu, nói rằng ánh xạ LZ bằng 0 tại các bậc
dương nếu k>2. Ông đưa ra ý tưởng dùng đồng cấu chuyển của Singer
Tr
k
: Hom(( F
2
⊗
A
P)
GL
, F
2
) −→ Ext
k
A

(F
2
, F
2
), và vào năm 1995 ông tiên
đoán rằng cái hợp thành LZ ◦ Tr
k
bằng 0 tại các bậc dương nếu k>2. Hơn
nữa, ông chứng minh rằng khẳng định trên về LZ ◦ Tr
k
tương đương với
sự kiện rằng ánh xạ F
2
⊗
A
P
GL
−→ F
2
⊗
A
P được cảm sinh bởi phép nhúng
P
GL
→P bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2. Đây là một ý tưởng hiệu
quả: tiên đoán đó của ông đã được chúng tôi chứng minh vào năm 1998. Lưu
ý rằng tại thời điểm 1995, ánh xạ vừa nêu được tin là rất khác 0: có tác giả
(chẳng hạn như Singer) dùng miền xác định của ánh xạ này để nghiên cứu
miền giá trị của nó khi k ≤ 2.
Như vậy, giả thuyết của N. H. V. Hưng về LZ ◦ Tr

k
đã chỉ rõ vai trò của
bài toán “hit”; quan trọng hơn nữa, nó đặt ra vấn đề tính ảnh của đồng cấu
chuyển. Công việc tính toán này được chúng tôi trình bày trong một công
trình khác đã được nhận đăng.
2.5 Các ứng dụng khác
Bài toán “hit” còn liên quan đến việc phân tích chẻ ra ổn định (stable
splitting) của không gian phân loại các nhóm hữu hạn thông qua các công
trình của Priddy. Nó còn đượ c sử dụng để nghiên cứu chu trình vĩnh cửu
trong dãy phổ Adams thông qua công trình của Minami.
5
3 Các kết quả chính
Luận án tổng kết những kết quả nghiên cứu xung quanh bài toán “hit”
mà chúng tôi đã thu được từ năm 1998 đến nay. Một phần các kết quả này
được công bố trong 5 bài báo [1],[2],[3],[4],[5]. Phần còn lại đã được in dưới
dạng tiền ấn phẩm của Đại học Paris 13 và đã được nhận đăng. Hầu hết
các nghiên cứu này đều đã được chúng tôi báo cáo tại các hội thảo trong
nước và quốc tế: Hội thảo châu Âu về Lý thuyết đồng luân hiện đại (Đại
học Paris 13, 11/2002, 60 phút), Hội nghị quốc tế về Lý thuyết bất biến và
những tương tác của nó (Đại học G¨ottingen, 3/2003, 45 phút), Hội nghị quốc
tế về Tôpô đại số (Hà Nội, 8/2004, 45 phút), Hội nghị toàn quốc về Đại số–
Hình học–Tôpô (Đại học Đà lạt, 11/2003), Hội nghị thường niên của Khoa
Toán–Cơ–Tin học (Trường đại học khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà
Nội, 11/2004, báo cáo mời toàn thể), Xemina ĐAHITÔ (Hà nội, 5/2004), các
xemina của Phòng Đại số thuộc Viện Toán học Hà nội (3/2000), của Khoa
Toán các Đại học Nantes (1/2003), Lille I (3/2003), Paris 13 (10/2003) và
của Bộ môn Đại số–Hình học–Tôpô (Khoa Toán–Cơ–Tin học, Trường đại
học khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, 10/2004).
Các kết quả chính của luận án gồm: bài toán “hit” cho đại số Dickson
(được công bố trong các bài báo [1],[3]), bài toán “hit” cho các bất biến dưới

tác động của các nhóm con parabôlíc của nhóm tuyến tính tổng quát (được
công bố trong các bài báo [2],[4]), bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát (được
công bố trong bài báo [5]). Tiếp nối đề tài của luận án, trong một công trình
khác, chúng tôi chứng minh một số kết quả khác về các phần tử đối bất biến
của đối ngẫu đại số đa thức 4 biến dưới tác động của nhóm tuyến tính tổng
quát, số chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát có được từ đại
số đa thức đối ngẫu, và ảnh của đồng cấu chuyển Singer tại một số bậc nào
đó.
3.1 Bài toán “hit” cho đại số Dickson
Cấu trúc các phần tử của P bất biến dưới tác động tự nhiên của nhóm
tuyến tính tổng quát GL đã được làm sáng tỏ b ởi Dickson vào năm 1908. Vì
thế người ta ký hiệu D = P
GL
là tập hợp con của P gồm các phần tử bất
biến này. D là một A-mô đun con của P. Định lý trung tâm của Chương I là
Định lý C1. Ánh xạ F
2
⊗
A
D−→F
2
⊗
A
P, được cảm sinh bởi phép nhúng
D →P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Định lý này (đồng thời là kết quả chính của hai bài báo [1],[3]) khẳng
định một giả thuyết của N. H. V. Hưng và nằm trong bối cảnh sau.
(i) Một mặt, các công trình Singer, Chen–Shen, Monks, Silverman, Cross-
6
ley, Karaca, Meyer, Janfada–Wood đều có mục đích tìm càng nhiều

càng tốt các phần tử của P có ảnh bằng 0 trong F
2
⊗
A
P. Định lý C1
chỉ ra một họ lớn các phần tử như vậy, đó là họ các bất biến Dickson.
Lưu ý rằng việc tìm càng nhiều càng tốt các đa thức phân tích được có
thể đem lại những hệ sinh của P/
¯
AP. Tuy nhiên, những hệ sinh này
không phải là cực tiểu và do đó không cho lời giải của bài toán “hit.”
(ii) Mặt khác, theo N. H. V. Hưng thì ánh xạ tự nhiên F
2
⊗
A
D−→
F
2
⊗
A
P phân tích thành Tr
∗
k
◦LZ
∗
, trong đó LZ
∗
: F
2
⊗

A
D−→
Tor
A
k
(F
2
, F
2
) là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu Lannes–Zarati, còn Tr
∗
k
:
Tor
A
k
(F
2
, F
2
) −→ F
2
⊗
A
P là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu chuyển
Singer. Định lý C1 tương đương với sự kiện: cái hạn chế của LZ trên
ảnh của đồng cấu chuyển bằng 0 tại các bậc dương nếu k>2. Thế mà
việc LZ =0tại các bậc dương với mọi k>2 chính là một dạng phát
biểu đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu. Nhìn từ khía cạnh này,
Định lý C1 đồng thời là một câu trả lời bộ phận cho dạng đại số của

giả thuyết cổ điển về lớp cầu.
Nói thêm rằng, sau khi đã gửi đăng [3], chúng tôi được Wood và Peterson
thông báo rằng họ đã giải quyết được trường hợp k =4và có thể cả trường
hợp k =5của Định lý C1. Chúng tôi cũng nhận được từ Tan–Xu một bài
viết (Bulletin of the Korean Math. Soc. 37 (2000), pp. 779–790) chứng minh
lại trường hợp k =3của Định lý C1. Chứng minh đầu tiên của trường hợp
này đã được N. H. V. Hưng thực hiện dựa vào công trình của Boardman.
Đóng góp của Tan–Xu chỉ là đưa ra một chứng minh mới, sơ cấp hơn. Tuy
nhiên, cách tiếp cận của N. H. V. Hưng không thể áp dụng cho trường hợp
k>5, vì ông đã phải sử dụng các kết quả của Hưng–Peterson về F
2
⊗
A
D
với k ≤ 4. Cho đến nay, F
2
⊗
A
D mới chỉ được biết hoàn toàn với k ≤ 5.
3.2 Bài toán “hit” cho các bất biến parabôlíc
Xét các bất biến của các nhóm con parabôlíc của GL, có dạng
G
k
1
, ,k
m
:= {




A
1
∗
.
.
.
0 A
m



|A
1
∈GL
k
1
, ,A
m
∈GL
k
m
}
trong đó k
1
+ ··· + k
m
= k . Trên cơ sở kết quả của bài toán “hit” cho
các bất biến Dickson, trực giác dẫn chúng tôi đến dự đoán rằng: ánh xạ
F
2

⊗
A
P
G
k
1
, ,k
m
−→ F
2
⊗
A
P được cảm sinh bởi phép nhúng P
G
k
1
, ,k
m
−→ P
bằng 0 tại các bậc dương nếu k
1
> 2.
7
Thật ra, kỹ thuật của chúng tôi cho phép chứng minh được một định
lý mạnh hơn thế. Với n ≤ k, ký hiệu I
k−n
là ma trận đơn vị cấp k − n và
GL
n
•I

k−n
:= {

A ∗
0 I
k−n

|A ∈GL
n
}. Giả sử k
1
> 2. Để ý rằng GL
3
•I
k−3
⊂
GL
k
1
• I
k−k
1
⊂ G
k
1
, ,k
m
. Từ đó suy ra P
GL
3

•I
k−3
⊃P
GL
k
1
•I
k
−k
1
⊃P
G
k
1
,
,k
m
.
Cấu trúc của P
GL
k
1
•I
k−k
1
dễ dàng thu được từ các công trình của Dickson và
của H. Mùi. Nhờ đó, chúng tôi chứng minh trong Chương II định lý sau đây.
Định lý C2. Ánh xạ F
2
⊗

A
P
GL
3
•I
k−3
−→ F
2
⊗
A
P, được cảm sinh bởi phép
nhúng P
GL
3
•I
k−3
→P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Từ định lý này chúng tôi thu được hệ quả: ánh xạ F
2
⊗
A
P
G
k
1
, ,k
m
−→
F
2

⊗
A
P được cảm sinh bởi phép nhúng
P
G
k
1
, ,k
m
−→ P
bằng 0 tại các bậc dương nếu k
1
> 2.
Định lý C2 cũng là kết quả chính của 2 bài báo [2],[4]. Vì đại số Dickson
là một trường hợp đặc biệt của P
G
k
1
, ,k
m
, từ kết quả trên chúng tôi thu được
một chứng minh mới cho Định lý C1. Điều đáng nói là, trong khi các phần
tử sinh của đại số Dickson có bậc lớn dần cùng với k, thì bậc của các phần
tử sinh của đại số P
GL
3
•I
k−3
đều không vượt quá 8 và không phụ thuộc vào
k. Do đó, lớp các đa thức phân tích được đã nêu trong Định lý C2 lớn hơn

rất nhiều so với lớp các đa thức phân tích được nêu trong Định lý C1.
3.3 Bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát
Đặc thù các kỹ thuật sử dụng để giải bài toán “hit” là chứa rất nhiều tính
toán đại số khiến việc nhận ra những tính chất mấu chốt trở nên khó khăn.
Tuy nhiên, nhờ được dẫn dắt bởi những trực giác nào đó, người ta vẫn có
thể tìm được những kết quả tổng quát. Như đã nói, Peterson phát biểu giả
thuyết nói rằng không gian véctơ phân bậc F
2
⊗
A
P bằng 0 tại các bậc d thỏa
mãn điều kiện α(d +k) >k, trong đó α(d +k) là số chữ số 1 trong khai triển
nhị phân của d + k. Được chứng minh bởi Wood vào năm 1988, giả thuyết
này, nay được gọi là định lý Wood, cho phép rút gọn nghiên cứu bài toán
“hit” về các bậc có dạng d =2
m
1
+ ···+2
m
k
− k với m
1
≥···≥m
k
≥ 0.
Việc tính toán cụ thể F
2
⊗
A
P là rất khó khiến người ta quan tâm đến việc

đánh giá số chiều của không gian véctơ này. Sử dụng khéo léo định lý của
Wood, Carlisle–Wood đã chứng minh số chiều này bị chặn trên đều. Phương
pháp này được Crossley mở rộng từ trường F
2
sang trường có đặc số lẻ.
Từ một khía cạnh khác, xuất phát từ trực giác rằng nhóm con Borel G
0
của nhóm tuyến tính tổng quát GL phải đóng một vai trò nào đó, trong luận
án của mình, Kameko đã đi đến giả thuyết rằng dim(F
2
⊗
A
P)
d
≤|GL/G
0
| =
8

k
i=1
(2
i
− 1). Được gợi ý bởi định lý Wood và giả thuyết Kameko, Crabb–
Hubbuck vào năm 1994 đã chứng minh được rằng dim(F
2
⊗
A
P)
d

≥|GL/G
0
|
nếu 2
m
1
−m
2
>k, 2
m
2
−m
3
>k− 1, ,2
m
k
−1
−m
k
> 2. Crabb–Hubbuck gọi
những giá trị của d trong định lý của họ là “đủ tổng quát.”
Một kết quả tương tự, nhưng được phát biểu một cách ít tường minh
hơn, cũng đã được Repka–Selick tìm ra vào năm 1995. Họ chứng minh rằng
dim(F
2
⊗
A
P)
d
≥|GL/G

0
| nếu m
1
 m
2
···m
k
, trong đó họ xem rằng
điều kiện này được thỏa mãn nếu m
1
−m
2
≥ k,m
2
−m
3
≥ k, ,m
k−1
−m
k
≥
k. Repka–Selick cũng gọi những giá trị của d trong định lý của họ là “đủ tổng
quát.”
Định lý của chúng tôi là kết quả gần đây nhất theo hướng này. Với cùng
các ký hiệu như trên, chúng tôi chứng minh trong Chương III định lý sau
đây.
Định lý C3. Nếu m
1
− m
2

≥ 2,m
2
− m
3
≥ 3, ,m
k−1
− m
k
≥ k, thì
dim(F
2
⊗
A
P)
d
= |GL/G
0
| =
k

i=1
(2
i
− 1).
Phỏng theo Crabb–Hubbuck và Repka–Selick, chúng tôi gọi những giá trị
d trong Định lý C3 là “đủ tổng quát.” Định lý này cũng là kết quả chính
của bài báo [5]. Cần nói thêm rằng một định lý tương tự (trong đó giả thiết
được thay thành m
1
− m

2
≥ k,m
2
− m
3
≥ k − 1, ,m
k−1
− m
k
≥ 2)đã
được chứng minh bởi Wood và bởi Kameko. Chúng tôi biết được điều này khi
tham dự Hội nghị quốc tế về lý thuyết bất biến được tổ chức tại G¨o ttingen
(Đức) tháng 3/2003. Tại hội nghị này, Wood đã đọc bài giảng trong khuôn
khổ một giáo trình ngắn về định lý của ông, còn Kameko đã trình bày dưới
dạng thông báo ngắn cả Định lý C3 và cái tương tự vừa nêu của nó.
3.4 Các phần tử đối bất biến với k =4
Peterson khởi đầu việc giải bài toán “hit” bằng việc tính F
2
⊗
A
P với
k =1, 2 và phát biểu giả thuyết nổi tiếng của ông về tính phân tích được của
các đa thức với bậc nào đó có số biến k bất kỳ. Giả thuyết này được Wood
chứng minh năm 1988.
Với k =3, không gian véctơ phân bậc F
2
⊗
A
P rất phức tạp và đã được
xác định bởi Kameko trong luận án tiến sĩ của anh tại Đại học Johns Hopkins

(Baltimore, Mỹ) vào năm 1990. Khoảng 6 tháng sau, kết quả của Kameko
được xác nhận lại bằng một phương pháp đối ngẫu với những kỹ thuật độc
lập bởi Alghamdi–Crabb–Hubbuck tại Đại học Aberdeen. Bản thân chúng
tôi cũng đã tìm lại được kết quả của Kameko với kỹ thuật chứng minh độc
9
lập trong khóa luận tốt nghiệp Trường đại học khoa học tự nhiên Hà Nội
năm 1999.
Có thể vì những khó khăn kỹ thuật, ngoại trừ những kết quả tinh tế hóa
định lý của Wood và các tính toán cho k ≤ 2 khi trường các hệ số có đặc số
lẻ của Crossley, suốt trong thập kỷ 90 hướng nghiên cứu do Peterson khởi
xướng không có kết quả gì mới. Chỉ rất gần đây F
2
⊗
A
P mới được tính cho
k =4tại bậc d =2
p+3
+2
p+2
− 4 trong công trình của Bruner–Hà–Hưng
(2002). Với việc tập trung vào bậc d =2
p+3
+2
p+2
− 4, các tác giả này đã
phủ định một giả thuyết của Minami. Tại thời điểm viết luận án này, chúng
tôi được biết Kameko đang hoàn tất bài viết mới, cho kết quả hoàn toàn về
F
2
⊗

A
P khi k =4.
Chúng tôi quan tâm đến F
2
⊗
A
P là vì muốn sử dụng nó để xác định
ảnh của đồng cấu chuyển Singer. Dựa vào kết quả đã được thông báo của
Kameko về bài toán “hit” cho đại số đa thức 4 biến, chúng tôi xác định không
gian véctơ phân bậc Hom ((F
2
⊗
A
P)
GL
, F
2
) tại những bậc chẵn cho k =4.
Kết quả này được trình bày trong một công trình khác của chúng tôi.
3.5 Số chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng
quát
Chúng tôi đã đề cập đến định lý Crabb–Hubbuck trong mục trướ c. Định
lý này là hệ quả của một kết quả tổng quát hơn của họ, mà chúng tôi giải
thích như sau. Với mỗi dãy số nguyên
ω =(r, m
1
, ,m
r
,k
1

, ,k
r
,d)
thỏa mãn 1 ≤ r ≤ k, m
1
≥···≥m
r
≥ 0, 0 <k
1
< ··· <k
r
≤ k và
d = k
1
(2
m
1
− 1) + (k
2
− k
1
)(2
m
2
− 1) + ···+(k
r
− k
r−1
)(2
m

r
− 1), Crabb–
Hubbuck xét một nhóm con parabôlíc thích hợp G
ω
của GL, một GL-môđun
con thích hợp GLa
ω
 của Hom ((F
2
⊗
A
P)
d
, F
2
), và đặt câu hỏi xác định cấu
trúc của mô đun này. Họ chứng minh được rằng nó đẳng cấu với F
2
GL/G
ω

nếu k
1
=1, ,k
r
= r, 2
m
1
−m
2

>k,2
m
2
−m
3
>k− 1, ,2
m
r−1
−m
r
>k− r +
2, 2
m
r
>k−r +1. Trong trường hợp riêng (thực ra là trường hợp quan trọng
nhất), khi r = k, họ suy ra rằng dim(F
2
⊗
A
P)
d
≥

k
i=1
(2
i
− 1). Đây chính
là định lý Crabb–Hubbuck nói trong mục trước.
Sử dụng các ký hiệu này, chúng tôi chứng minh trong [6] khẳng định rằng

nếu m
1
− m
2
≥ k
2
,m
2
− m
3
≥ k
3
− k
1
, ,m
r−1
− m
r
≥ k
r
− k
r−2
,m
r
≥
k − k
r−1
, thì GLa
ω


∼
=
F
2
GL/G
ω
. Kết quả của chúng tôi thật ra tổng quát
hơn. Nó cho các đánh giá về cận dưới của dim GLa
ω
 và được sử dụng trong
các trường hợp sau đây.
10
(i) Chúng tôi đã chứng minh trong [5] rằng dim(F
2
⊗
A
P)
d
= |GL/G
0
| khi
d đủ tổng quát. Do đó, trong trường hợp đủ tổng quát ta có
Hom ((F
2
⊗
A
P)
d
, F
2

)=GLa
ω
.
Đẳng thức này xác định hoàn toàn tập các phần tử GL-đối bất biến
Hom ((F
2
⊗
A
P)
d
, F
2
)
GL
, cũng như ảnh của đồng cấu chuyển Singer tại
các bậc đủ tổng quát.
(ii) Khi k =4và d là số chẵn, để ý rằng theo Kameko, không gian véctơ
Hom ((F
2
⊗
A
P)
d/2−2
, F
2
) có thể nhúng vào
Hom ((F
2
⊗
A

P)
d
, F
2
).
Bằng cách so sánh số chiều của các không gian véctơ có liên quan,
chúng tôi chứng minh được rằng
GLa
ω
 + Hom ((F
2
⊗
A
P)
d/2−2
, F
2
) = Hom ((F
2
⊗
A
P)
d
, F
2
),
trong đó không gian véctơ Hom trong vế trái được xét như không gian
con của không gian véctơ Hom trong vế phải theo phép nhúng vừa
nêu. Đẳng thức này cho phép xác định bằng quy nạp tập các phần tử
GL-đối bất biến Hom ((F

2
⊗
A
P)
d
, F
2
)
GL
, và ảnh của đồng cấu chuyển
Singer.
(iii) Trong trường hợp tới hạn r = k, k
1
=1, ,k
r
= k, chúng tôi thu được
bất đẳng thức dim( F
2
⊗
A
P)
d
≥

k
i=1
(2
i
− 1) nếu giả thiết m
1

− m
2
>
1,m
2
− m
3
> 1, ,m
k−1
− m
k
> 1. Kết quả này mạnh hơn định lý
Crabb–Hubbuck. Đi xa hơn, chúng tôi tin rằng ước lượng này là tốt
nhất có thể được, theo nghĩa: nếu d không có dạng 2
m
1
+ ···+2
m
k
− k
với m
1
−m
2
> 1,m
2
−m
3
> 1, ,m
k−1

−m
k
> 1, thì dim(F
2
⊗
A
P)
d
<

k
i=1
(2
i
− 1).
3.6 Đồng cấu chuyển Singer
Đồng cấu chuyển Singer xác định trên Hom((F
2
⊗
A
P)
GL
, F
2
) và nhận giá
trị trong H
k
(A)=Ext
k
A

(F
2
, F
2
). Việc xác định ảnh của nó đã được thực hiện
với k =1,2 bởi Singer vào năm 1980, và với k =3bởi Boardman vào năm
1991. Trong thập kỷ sau đó không có một tiến bộ nào theo hướng nghiên
cứu này, trừ kết quả của Crossley cho k ≤ 2 khi trường các hệ số có đặc số
lẻ. Chỉ đến năm 2002 mới xuất hiện công trình của Bruner–Hà–Hưng, trong
đó họ chứng minh rằng các phần tử g
i
∈ H
4
(A) không nằm trong ảnh của
đồng cấu chuyển. Kết quả này giúp họ bác bỏ một giả thuyết của Minami,
11
nói rằng đồng cấu chuyển Singer là đẳng cấu sau khi địa phương hóa nó bằng
cách làm cho toán tử Sq
0
khả nghịch tại miền xác định và miền giá trị của
đồng cấu chuyển này.
Một bài báo khác của chúng tôi nối tiếp công trình của Bruner–Hà–Hưng.
Một mặt, dựa vào một định lý của Lin chỉ rõ cấu trúc của H
4
(A), chúng tôi
xác định ảnh của đồng cấu chuyển ứng với k =4tại hầu hết các bậc, qua
đó khẳng định một phần giả thuyết về tính đơn ánh của đồng cấu này. Kết
quả này cùng với các kết quả trước đó của Bruner–Hà–Hưng, N. H. V. Hưng,
và L. M. Hà chứng minh một phần giả thuyết của N. H. V. Hưng về ảnh
của đồng cấu chuyển với k =4. Mặt khác, xem như hệ quả của các định lý

đã được chúng tôi thiết lập trước đó (xem Mục 3.5), chúng tôi tính ảnh của
đồng cấu chuyển (với k bất kỳ) tại các bậc đủ tổng quát.
12
Chương I
Bài toán “hit” cho đại số
Dickson
Mục đích của chương này là chứng minh Định lý C1, khẳng định rằng
ánh xạ F
2
⊗
A
D−→F
2
⊗
A
P được cảm sinh bởi phép nhúng D →P bằng 0
tại các bậc dương với mọi k>2. Điều này tương đương với việc chứng minh
rằng mọi đơn thức Dickson có bậc dương đều thuộc
¯
AP.
Tác động của đại số Steenrod trên các bất biến Dickson được mô tả một
cách tường minh b ởi
Định lý I.1.
Sq
i
(Q
k,s
)=








Q
k,r
nếu i =2
s
− 2
r
, r ≤ s,
Q
k,r
Q
k,t
nếu i =2
k
− 2
t
+2
s
− 2
r
, r ≤ s<t,
Q
2
k,s
nếu i =2
k

− 2
s
,
0 nếu trái lại.
Để thuận tiện, trong chương này chúng ta ký hiệu Q
s
thay cho Q
k,s
.
Gọi I
n
(n ≥ 0) là iđêan phải của A sinh bởi các toán tử Sq
2
i
với i =
0, ,n.
Định nghĩa I.2. Giả sử R
1
,R
2
∈P. Khi đó ta viết R
1
≡ R
2
(mod I
n
) nếu
R
1
+ R

2
thuộc vào I
n
P. Ta quy ước R
1
≡ R
2
(mod I
n
) nghĩa là R
1
= R
2
với
n<0.
Đây là một quan hệ tương đương. Ta có
Bổ đề I.3. Giả sử k>1 và S là một tập con khác rỗng của {0, ,k− 1}
sao cho 1 ∈ S. Khi đó
QR
2
≡ 0 (mod I
0
),
trong đó Q =

s∈S
Q
s
và R là một đa thức bất kỳ của P.
13

Giả sử Q là một đơn thức Dickson khác không. Nếu Q =1, thì nó có thể
viết dưới dạng
Q =

0≤i≤n
A
2
i
i
,
trong đó n là một số nguyên không âm nào đó và A
i
là môt đơn thức Dickson
nào đó chia hết
Π
0≤s<k
Q
s
với mọi i =0, ,n, đồng thời A
n
=1.
Thật vậy, giả sử Q =
Π
0≤s<k
Q
α
s
s
.VìQ =1, có ít nhất một α
s

=0. Xét
khai triển nhị phân của tất cả các α
s
khác không:
α
s
=

0≤i≤n(s)
α
si
2
i
,
trong đó α
sn(s)
=1. Bây giờ ký hiệu
n := max
α
s
=0, 0≤s<k
n(s),
α
si
:= 0 nếu n(s) <i≤ n (0 ≤ s<k),
A
i
:=

0≤s<k

Q
α
si
s
(0 ≤ i ≤ n),
ta dễ dàng kiểm tra được rằng Q =
Π
0≤i≤n
A
2
i
i
và mỗi A
i
chia hết
Π
0≤s<k
Q
s
.
Ngoài ra, tồn tại một số nguyên r sao cho 0 ≤ r<k, α
r
=0và n = n(r).
Khi đó A
n
=
Π
0≤s<k
Q
α

sn
s
chia hết cho Q
α
rn
r
= Q
α
rn(r)
r
= Q
r
, cho nên A
n
=1.
Định nghĩa I.4. (i) Ta gọi n là độ cao của Q. Đơn thức A
2
i
i
= A
i
(Q)
2
i
gọi là nhát cắt thứ i của Q. Nhát cắt này gọi là đầy đủ nếu A
i
chia hết
cho
Π
0<s<k

Q
s
. Đơn thức Q gọi là đầy đủ nếu tất cả các nhát cắt của nó
đều là đầy đủ.
(ii) Một đơn thức Dickson được gọi là một nhát cắt cơ sở nếu nó là nhát
cắt thứ 0 của một Q =0và =1nào đó.
Định lý C1 được chứng minh bằng hai bổ đề sau.
Bổ đề I.5. Giả sử k>2 và R là một đơn thức bất kỳ của P.
(a) Nếu Q =
Π
0≤i≤n
A
2
i
i
=1và không là đầy đủ, thì QR
2
n+1
∈
¯
AP.
(b) Nếu Q =
Π
0≤i≤n
A
2
i
i
là đầy đủ, thì QSq
2

m+n+1
(R
2
n+1
) ∈
¯
AP với 0 ≤ m<
k − 1.
14
Bổ đề I.6. Giả sử k>2. Nếu A là một nhát cắt cơ sở đầy đủ, thì A ≡ 0
(mod I
1
).
Bổ đề I.5 được chứng minh bằng 2 bước.
Bước 1. Nếu Bổ đề I.5(a) là đúng cho mọi n ≤ N, thì Bổ đề I.5(b) cũng
đúng cho mọi n ≤ N.
Bước 2. Bổ đề I.5(a) đúng cho mọi số nguyên không âm n.
15
Chương II
Bài toán “hit” cho các bất biến
parabolic
Mục đích của chương này là chứng minh Định lý C2, khẳng định rằng ánh
xạ F
2
⊗
A
P
GL
3
•I

k−3
−→ F
2
⊗
A
P được cảm sinh bởi phép nhúng P
GL
3
•I
k−3
→P
bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Đặt H = GL
3
• I
k−3
với k ≥ 3. Các H-bất biến cơ bản Q
3,0
, Q
3,1
, Q
3,2
,
V
4
(x
4
), ,V
4
(x

k
) sẽ được ký hiệu là Q
0
, Q
1
, Q
2
, W
4
, ,W
k
. Khi đó
P
H
= F
2
[Q
0
,Q
1
,Q
2
,W
4
, ,W
k
].
Định nghĩa I I.1. Mỗi đơn thức theo Q
0
, Q

1
, Q
2
, W
4
, , W
k
của P
H
được
gọi là một H-đơn thức. Cho trước một H-đơn thức R, gọi i
0
(R), i
1
(R), i
2
(R),
i
4
(R), , i
k
(R) lần lượt là số mũ của Q
0
, Q
1
, Q
2
, W
4
, , W

k
trong R. Đặt
h(R):=i
0
(R)+i
1
(R)+i
2
(R)+i
4
(R)+···+ i
k
(R).
Ký hiệu s(R) là số nguyên không âm bé nhất sao cho 2
s(R)
không xuất hiện
trong khai triển nhị phân của i
2
(R).
Bổ đề II.2. Giả sử R =1là một tích các phần tử phân biệt trong tập hợp
{Q
0
, Q
1
, Q
2
, W
4
, , W
k

}. Khi đó R ∈ Sq
1
P + Sq
2
P.
Bổ đề II.3. Giả sử R là một H-đơn thức của P
H
, u =1là một phần tử
tùy ý của P và n là một số nguyên dương.
(i) Nếu s(R) <n, thì Ru
2
n
∈
¯
AP.
(ii) Nếu i
2
(R) ≡ 2
n
− 1 (mod 2
n
) và

h(R)
2
n−1

=0, thì Ru
2
n

∈
¯
AP.
16
(iii) Nếu i
2
(R)=2
n
− 1 ≥ i
1
(R), h(R) ≡ 2
n
− 1 (mod 2
n
) và u ∈ Sq
1
P +
Sq
2
P, thì Ru
2
n
∈
¯
AP.
Giả sử R là một H-đơn thức bậc dương trong P
H
. Ta phải chứng minh
rằng R ∈
¯

AP. Đặt n := s(S). Khi đó, theo định nghĩa, i
2
(R) ≡ 2
n
− 1
(mod 2
n+1
). Chứng minh được tiến hành bằng cách xét bốn trường hợp sau
đây.
Trường hợp 1. Q
2
n
2
chia hết R.
Trường hợp 2. Tồn tại u ∈{Q
0
,Q
1
,W
4
, ,W
k
} sao cho u
2
n+1
chia hết R.
Trường hợp 3. i
0
(R), i
1

(R), i
2
(R), i
4
(R), , i
k
(R) tất cả đều ≤ 2
n+1
− 1
và tồn tại u ∈{Q
0
,Q
1
,Q
2
,W
4
, ,W
k
} sao cho u
2
n
chia hết R.
Trường hợp 4. i
0
(R), i
1
(R), i
2
(R), i

4
(R), , i
k
(R) tất cả đều ≤ 2
n
− 1.
17
Chương III
Bài toán “hit” ở bậc đủ tổng
quát
Định lý C3 khẳng định rằng nếu m
1
− m
2
≥ 2,m
2
− m
3
≥ 3, ,m
k−1
−
m
k
≥ k , thì
dim(F
2
⊗
A
P)
d

= |GL/G
0
| =
k

i=1
(2
i
− 1).
Định lý này được phát biểu chi tiết hơn trong Định lý III.2(ii) dưới đây.
Ký hiệu E := {1, 2, ,k}, X := x
1
x
2
···x
k
, X
i
:= X/x
i
(i ∈ E). Với mỗi
tập hợp con khác rỗng I ⊂ E, ký hiệu |I| là số phần tử của nó, còn min I là
phần tử bé nhất của nó. Ngoài ra, nếu I = {i
0
> ···>i
r
} và m>r, ta đặt
X(I, m):=(

0≤<r

X
2

i

)X
2
m
−2
r
i
r
.
Lưu ý rằng bậc của biểu thức này không phụ thuộ c vào tập hợp I được xét:
deg X(I, m)=(2
m
− 1)(k − 1).
Với mọi i ∈ E, ký hiệu P(i) ⊂Plà đại số con sinh bởi tất cả các biến
khác x
i
. Với mọi số nguyên dương n, ký hiệu α(n) số các chữ số 1 trong biểu
diễn nhị phân của n.
Gọi π : P−→P/
¯
AP là phép chiếu chính tắc. Cho trước một tập hợp con
B ⊂Pvà một A-môđun con P

⊂P, ta nói (i) B là A-độc lập tuyến tính
nếu π(B) là độc lập tuyến tính, (ii) B sinh ra P


nếu π(B) sinh ra π(P

),và
(iii) B là một cơ sở của P

nếu π(B) là một cơ sở của π(P

).
Định lý III.1. Giả sử n, d

≥ 0 là các số nguyên. Với mỗi i ∈ E, giả sử
B(i) ⊂P(i ) là một tập hợp con mà tất cả các phần tử dều có bậc d

.Ký
hiệu B là tập hợp các phần tử X
2
n
−1
X(I, k)
2
n
P
2
k+n
, trong đó ∅ = I = {i
0
>
···>i
r
}⊂E et P ∈B(i

r
).
18
(i) Nếu B(i) là A-độc lập tuyến tính với mọi i ∈ E, thì B cũng thế.
(ii) Ký hiệu d := 2
k+n
(d

+ k − 1)+2
n
− k . Giả sử rằng B(i) sinh ra A-
môđun P(i) ởbậcd

với mọi i ∈ E và hoặc α(d

+ k − 1) = k − 1 > 0,
hoặc (n =0và α(d

+ k − 2) ≥ k − 2 > 0). Khi đó B sinh ra A-môđun
P ởbậcd.
Gọi Ω là tập hợp tất cả các dãy tập hợp ω := (I
k
,J
k
, ,I
1
,J
1
) xác định
bởi: ∅ = I

k
⊂ J
k
:= E và ∅ = I

⊂ J

:= J
+1
\{min I
+1
} với 1 ≤ <k.
Nếu k>1, ta ký hiệu
¯
Ω là tập hợp các dãy ¯ω =(I
k
,J
k
, ,I
2
,J
2
) sao cho
I
2
= J
2
và
(I
k

,J
k
, ,I
2
,J
2
,J
2
\I
2
,J
2
\I
2
) ∈ Ω.
Với mọi cặp tập hợp khác rỗng I = {i
0
> ··· >i
r
}⊂J ⊂ E và một số
nguyên n ≥ 0, ta đặt
Φ(I, J, n):=(

j∈J
x
j
)
2
n
−1



0≤<r
(

j∈J\{i

}
x
j
)
2
+n

×(

j∈J\{i
r
}
x
j
)
2
|J|+n
−2
r+n
,
Ψ(I, J, n):=(

j∈J

x
j
)
2
n
−1
x
2
n
i
0
nếu r =0và |J| =2≤ k.
Định lý III.2. Giả sử d =(2
m
1
− 1)+(2
m
2
− 1)+···+(2
m
k
− 1) với m
k
≥ 0
và m
−1
− m

≥  với 2 <≤ k.
(i) Nếu k =1, thì Φ(E, E,m

1
)=x
2
m
1
−1
1
là phần tử sinh khác không duy
nhất của A-môđun F
2
[x
1
] ởbậcd. Nếu k =2và m
1
− m
2
=1, thì hai
phần tử
Ψ({1},E,m
2
)=x
2
m
1
−1
1
x
2
m
2

−1
2
,
Ψ({2},E,m
2
)=x
2
m
2
−1
1
x
2
m
1
−1
2
,
lập thành một hệ sinh cực tiểu của A-môđun F
2
[x
1
,x
2
] ởbậcd.
(ii) Giả sử k>1 và m
1
− m
2
> 1 . Đặt

Φ(ω):=Φ(I
k
,J
k
,m
k
)

1<≤k
Φ(I
−1
,J
−1
,m
−1
− m

− )
2
m

+
với mỗi ω ∈ Ω. Khi đó, tập hợp B := {Φ(ω) | ω ∈ Ω} là một hệ sinh
cực tiểu của A-môđun P ởbậcd. Vì vậy
dim (P/
¯
AP)
d
=


1≤≤k
(2

− 1).
19
(iii) Giả sử k>2 và m
1
− m
2
=1. Đặt
Ψ(¯ω):=

3<≤k
Φ(I
−1
,J
−1
,m
−1
− m

− )
2
m

+
×Ψ(I
2
,J
2

,m
2
− m
3
− 3)
2
m
3
+3
Φ(I
k
,J
k
,m
k
)
với mỗi ¯ω ∈
¯
Ω. Khi đó, tập hợp
¯
B := {Ψ(¯ω) | ¯ω ∈
¯
Ω} là một hệ sinh
cực tiểu của A-môđun P ởbậcd. Vì vậy
dim (P/
¯
AP)
d
=2


3≤≤k
(2

− 1).
20
Kết luận
Các kết quả chính của luận án gồm 3 định lý sau:
Định lý C1. Ánh xạ F
2
⊗
A
D−→F
2
⊗
A
P, được cảm sinh bởi phép nhúng
D →P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Định lý C2. Ánh xạ F
2
⊗
A
P
GL
3
•I
k−3
−→ F
2
⊗
A

P, được cảm sinh bởi phép
nhúng P
GL
3
•I
k−3
→P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k>2.
Định lý C3. Nếu m
1
− m
2
≥ 2,m
2
− m
3
≥ 3, ,m
k−1
− m
k
≥ k, thì
dim(F
2
⊗
A
P)
d
= |GL/G
0
| =
k


i=1
(2
i
− 1).
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên
quan đến luận án
1. Nguyễn Hữu Việt Hưng, Trần Ngọc Nam (2000), "A-decom-posability
of the Dickson algebra," Vietnam J. Math. 28 (2), pp. 189–193.
2. Nguyễn Hữu Việt Hưng, Trần Ngọc Nam (2001), "A-decom-posability
of the modular invariants of linear groups," Vietnam J. Math. 29 (1),
pp. 91–95.
3. Nguyễn Hữu Việt Hưng, Trần Ngọc Nam (2001), "The hit problem for
the Dickson algebra," Trans. Amer. Math. Soc. 353 (12), pp. 5029–
5040.
4. Nguyễn Hữu Việt Hưng, Trần Ngọc Nam (2001), "The hit problem
for the modular invariants of linear groups," J. Algebra 246 (1), pp.
367–384.
5. Trần Ngọc Nam (2004), "A-générateurs génériques pour l’algèbre poly-
nomiale," Advances in Mathematics 186 (2), pp. 334–362.
21