Bài toán Cauchy cho phương trình Monge-ampère hyperbolic nhiều biến độc lập

Bộ giáo dục và đào tạo

Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Viện Toán học

Nguyễn Thị Nga

Bài toán Cauchy cho

`
Phơng trình Monge-Ampere
hyperbolic nhiều biến độc lập

Chuyên ng nh: Phơng trình vi phân v tích phân
MÃ số: 62.46.01.05

Tóm tắt luận án tiÕn sÜ to¸n häc

H Néi - 2007


Công trình đợc ho n th nh tại: Viện Toán häc, ViƯn Khoa häc v C«ng nghƯ
ViƯt nam

Ng−êi h−íng dÉn khoa học: PGS.TS H Tiến Ngoạn

Phản biện 1:

GS. TSKH. H Huy B¶ng

Ph¶n biƯn 2:

PGS. TS. Ho ng Qc To n

Ph¶n biện 3:

PGS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng

Luận án đợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nh nớc họp tại:
Viện Toán học-Viện Khoa học v Công nghệ Việt Nam.
v o hồi 14 giờ ng y 06 tháng 04 năm 2007.
Có thể tìm hiểu luận án tại Th viện Quốc gia, Th− viƯn ViƯn To¸n häc.


1

Mở đầu
Phơng trình Monge-Ampere đợc xuất hiện v o khoảng cuối thế kỷ XVIII, nó
`
đ v đang đợc rất nhiều nh toán học có uy tín trên thế giới quan tâm. Sở dĩ
phơng trình Monge-Ampere đợc chú ý nh vậy bởi mô hình của nó đợc hình
`
th nh nhiều trong các b i toán thủy động học, động lực học, khí tợng thủy văn v
quang học. Bên cạnh những ý nghĩa thực tế thì phơng trình Monge-Ampere ra đời
`
còn góp phần thúc đẩy sự phát triển của lí thuyết phơng trình đạo h m riêng phi
tuyến với sự liên quan của nó tới các b i toán trong hình học vi phân nh b i toán
nhúng. Phơng trình Monge-Ampere cổ điển l phơng trình đạo h m riêng cấp hai
`
với hai biến độc lập có dạng:

Ar + Bs + Ct + D(rt − s2) − E = 0,

(1)

trong ®ã z = z(x, y) l Èn h m cña (x, y) ∈ R2 , c¸c hƯ sè A, B, C, D v E l các
z
z
2
2z
h m thực khả vi liên tục theo c¸c biÕn (x, y, z, p, q), p = ∂x , q = ∂y , r = ∂xz , s = ∂x∂y
2
∂2
v t = ∂yz . NÕu D = 0 thì phơng trình (1) l á tuyến tính.
2
Khi nghiên cứu phơng trình đạo h m riêng chúng ta biết rằng phơng trình phi
tuyến khó hơn so với phơng trình tuyến tính v sẽ khó khăn hơn nhiều nếu phần phi
tuyến chứa các đạo h m cấp cao nhất của phơng trình. Phơng trình Monge-Ampere
`
khi D = 0 phần phi tuyến cũng chứa đạo h m cấp cao nhất.
Đặt = B 2 4(AC + DE) khi đó phơng trình Monge-Ampere đợc phân loại
`
nh sau:
i) Nếu < 0 thì phơng trình Monge-Ampere l loại eliptic.
`
ii) Nếu > 0 thì phơng trình Monge-Ampere l loại hyperbolic.
`
iii) Nếu D = 0 v
0 thì phơng trình Monge-Ampere l loại hyperbolic yếu.
`
Đối với phơng trình Monge-Ampere loại eliptic đ có rất nhiều nh toán học

`
trên thế giới tham gia nghiên cứu v các kết quả đ đợc đúc kết trong một số sách
chuyên khảo. Song các kết quả về loại phơng trình hyperbolic còn hạn chế vì loại
n y khi nghiên cứu nó đòi hỏi phải có những phơng pháp đặc biệt, có quan hệ chặt
chẽ đến lí thuyết các mặt cong trong không gian R3 với độ cong Gauss âm.
Từ cuối thế kỉ XIX khi nghiên cứu phơng trình Monge-Ampere hyperbolic hai
`
biến độc lËp, hai nh To¸n häc Ph¸p G. Darboux v E. Goursat đ đa ra một phơng
pháp nổi tiếng đợc gọi l phơng pháp đặc trng để giải b i toán Cauchy. Sự kì
diệu của phơng pháp n y l ở chỗ có thể đa việc giải b i toán Cauchy cho phơng
trình Monge-Ampere cấp hai về việc giải b i toán Cauchy cho một phơng trình đạo
`
h m riêng phi tuyến cấp một. Song phơng pháp đặc trng Darboux- Goursat đòi
hỏi điều kiện khá chặt về sự tồn tại của hai tích phân đầu độc lập.
Để khắc phục hạn chế về sự tồn tại hai tích phân đầu độc lập, M. Tsuji đ tiếp
cận nó bằng cách đa việc giải b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere
`
hyperbolic với hai biến độc lập về việc giải b i toán Cauchy cho một hệ phơng trình
đạo h m riêng cấp một á tuyến tính. Tính tồn tại duy nhất nghiệm địa phơng của
b i toán Cauchy cho hệ n y đợc chứng minh đầu tiên bởi H. Lewy năm 1928 sau


2

đó l bởi Hadamard năm 1932. Nh vậy tính tồn tại nghiệm địa phơng của b i toán
Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere trong trờng hợp > 0 không đòi hỏi giả
`
thiết về sự tồn tại của hai tích phân đầu độc lập đ đợc giải quyết.
Khi D = 1 v
0 phơng trình (1) viết đợc dới dạng tơng đơng sau ®©y:

zxx + C zxy + λ1

= 0,

(1.3)

zxy + λ2 zyy + A
trong đó 1, 2 l nghiệm thực của phơng trình
2 + B + (AC + DE) = 0.

(1.4)

Xuất phát từ phơng trình (1.3) M. Tsuji đ đề xuất một lớp phơng trình MongeAmpere nhiều biến độc lập dạng sau ®©y:
`
zx1 x1 + a11 zx1 x2 + a12 . . . zx1 xn + a1n
zx2 x1 + a21 zx2 x2 + a22 . . . zx2 xn + a2n
= 0,
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.

(1.7)

zxn x1 + an1 zxn x2 + an2 . . . zxn xn + ann
trong ®ã z = z(x) l Èn h m cña x = (x1 , x2, . . . , xn ), c¸c hƯ sè aij l c¸c h m tr¬n
cđa x, z v p = (p1 , p2 , . . . , pn ), víi pj = zxj .
B i toán Cauchy cho phơng trình (1.7) đợc phát biểu nh sau:
Giả sử rằng trong Rn có một siêu mặt (n 1) chiều đợc cho bởi phơng trình
x
tham số

0
x1 = X1 ( ),



x = X 0 (α ),
2
2
(1.8)

...



x = X 0 (α ),
n
n
trong ®ã

α ≡ (α1 , α2, . . . , αn−1 ) ∈ Rn−1.
α

(1.9)

Chóng ta cịng gi¶ sư r»ng cã (n + 1) h m Z 0 (α ), Pj0 (α ), j = 1, 2, . . . , n đợc cho
trớc.
B i toán Cauchy đặt ra l tìm z(x) C 2 thỏa m n phơng trình(1.7) sao cho
z(x)

x=X 0 ( )

zxj (x)

x=X 0 (α )

= Z 0 (α ),
= Pj0 (α ), j = 1, 2, . . . , n,

(1.10)


3
0
0
0
0
trong ®ã X 0(α ) ≡ (X1 (α ), X2 (α ), . . . , Xn (α )). Tõ(1.10) ta suy ra c¸c h m Xj (α ),
Z 0 (α ), Pj0 (α ), j = 1, 2, . . . , n phải thỏa m n điều kiện t−¬ng thÝch

∂Z 0 (α )
=
∂αk

n

Pj0(α
j=1

0
∂Xj (α )
)
, k = 1, . . . , n 1.
k

(1.11)

Do các nghiên cứu trong ln ¸n vỊ b i to¸n Cauchy mang tÝnh địa phơng nên ta
sẽ luôn giả thiết rằng tham số α = (α1 , α2, ..., α(n−1) ) biÕn thiªn trong lân cận đủ
nhỏ
của gốc tọa độ trong Rn1.

Đối với phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập dạng (1.7) M. Tsuji đ
`
phát triển phơng pháp đặc trng một cách tơng tự nh trong trờng hợp hai biến
độc lập. Với giả thiết về sự tồn tại của n tích phân đầu ®éc lËp v ma trËn [aij ] l
ma trËn kh«ng đối xứng. M. Tsuji đ chứng minh tính giải đợc địa phơng của b i
toán Cauchy (1.7), (1.10) cũng bằng cách đa về việc giải b i toán Cauchy cho một
phơng trình phi tuyến cấp một.
Mục tiêu của luận án l nghiên cứu cách giải phơng trình Monge-Ampere nhiều
`
biến độc lập (1.7) v tính giải đợc địa phơng của b i toán Cauchy (1.7), (1.10)
m không cần đòi hỏi giả thiết về sự tồn tại của n tích phân đầu độc lập, đồng thời

không cần đòi hỏi ma trận [aij ] l ma trận không đối xứng.
Luận án gồm phần mở đầu v 3 chơng.
Phần mở đầu sơ lợc lịch sử vấn đề, phát biểu nội dung nghiên cứu của luận án.
Chơng 1 trình b y một phơng pháp tìm nghiệm của b i toán Cauchy cho phơng
trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập (1.7). Nội dung của phơng pháp n y l : để
`
giải b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập, ta chỉ cần
`
giải b i toán Cauchy tơng ứng cho một hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến
cấp một dạng chuẩn tắc. NghiƯm cđa b i to¸n Cauchy cho hƯ n y cho phép ta xác
định nghiệm của b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc
`
lập ban đầu.
Chơng 2 nghiên cứu tính hyperbolic của hệ phơng trình chuẩn tắc đ đợc nhắc
đến trong Chơng 1.
Chơng 3 nghiên cứu tính giải đợc của b i toán Cauchy cho hệ phơng trình
chuẩn tắc đợc đề cập đến trong Chơng 1 khi n = 2 v ¸p dơng v o b i toán Cauchy
cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic yếu.
`

Chơng 1

Một phơng pháp tìm nghiệm
của bài toán Cauchy cho phơng trình
Monge-Amp`re nhiỊu biÕn ®éc lËp
e


4

Chơng 1 nghiên cứu b i toán Cauchy cho một lớp phơng trình Monge-Ampere
`
nhiều biến độc lập do M. Tsuji ®Ị xt. Tõ viƯc nghiªn cøu mèi quan hƯ cđa phơng
trình Monge-Ampere với các tích ngo i của một số dạng vi phân đặc biệt v dùng
`
phơng pháp đổi biến chơng n y đ đa ra một phơng pháp tìm nghiệm của b i
toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập, bằng cách giải b i
`
toán Cauchy cho một hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp một dạng chuẩn
tắc, m từ nghiệm của b i toán Cauchy cho hệ n y cho phép ta tìm đợc nghiệm của
b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập ban đầu.
`

1.1

Một lớp phơng trình Monge-Ampere nhiỊu biÕn ®éc lËp
`

Mơc n y giíi thiƯu mét líp phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập v
`
b i toán Cauchy cho nó nh trong phần mở đầu.

1.2 Một số định lý về dạng vi phân, đổi biến đối với phơng trình
Monge-Ampere nhiều biến độc lập
`
1.2.1

Một số định lý về dạng vi phân.

Sau đây chúng ta sẽ xét một số dạng vi phân đặc biệt có liên quan tới phơng

trình Monge-Ampere nhiỊu biÕn ®éc lËp. MƯnh ®Ị 1.2 v MƯnh ®Ị 1.3 sau sÏ cho
`
chóng ta thÊy mèi quan hƯ giữa phơng trình Monge-Ampere v tích ngo i của các
`
dạng vi phân.
Giả sử trong R2n+1 = {(x1 , . . . , xn , z, p1 , . . . , pn )} ta xét các dạng vi phân
x,z,p
n

pj dxj ,

(1.12)

ajk (x, z, p)dxk , j = 1, 2, . . . , n,

(1.13)

ω0 = dz −
j=1
n

ωj = dpj +
k=1

trong đó ajk (x, z, p) l các h m đợc cho trong phơng trình (1.7). Các dạng vi phân
l các phiếm h m tuyến tính tại mỗi điểm cố định (x0 , z 0 , p0 ) trong R2n+1.
x,z,p
MƯnh ®Ị 1.2. Giả sử rằng các điều kiện sau đợc thỏa m n :
1) Tồn tại mặt cong trơn n-chiều M R2n+1 đợc cho bởi
x,z,p

z = Z(x)

pj = Pj (x),

j = 1, 2, ..., n.

(1.14)


5

2) ω0 ≡ 0 trªn M , cã nghÜa l 0 triệt tiêu trên mọi véc tơ thuộc mặt phẳng tiếp xúc
tại mỗi điểm (x0, z 0, p0 ) của M .
Khi ®ã chóng ta cã
˜
∂ Z(x)
˜
Pj (x) =
, j = 1, 2, . . . , n,
∂xj

(1.15)

v do ®ã trªn M
n

˜
Zxj xk (x)dxk , j = 1, 2, . . . , n.

dpj =

(1.16)

k=1

Mệnh đề 1.3. Giả sử rằng tất cả các điều kiện trong Mệnh đề 1.2 đợc thỏa m n.
Khi đó trên M ta có
n

2 Z(x)


j =
+ ajk (x, Z(x), Zx (x) dxk
(1.18)
∂xj ∂xk
k=1

v
˜
˜
˜
ω1 ∧ ω2 · · · ∧ ωn = det[Zxj xk (x) + ajk (x, Z(x), Zx (x))]dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn ,
(1.19)
trong ®ã phÐp tÝnh ∧ l tÝch ngo i của các dạng vi phân.
Nhận xét 1.1. Nhìn v o công thức (1.19) chúng ta thấy rằng để giải phơng trình
(1.7) chúng ta phải tìm mặt cong n-chiều M R2n+1 đợc cho bởi (1.14), sao cho
x,z,p
trên đó

0 = 0
ω1 ∧ ω2 · · · ∧ ωn = 0.

(1.21)

˜
˜
Khi ®ã h m z(x) = Z(x) l nghiƯm cđa phơng trình (1.7). Hơn nữa zx (x) = P (x).
Để l m đợc điều đó chúng ta sẽ dùng phơng pháp đổi biến sau.
1.2.2 Đổi biến đối với phơng trình Monge-Amp` re nhiều biến độc lập
e
Trong phơng trình (1.7) biến x = (x1 , x2, . . . , xn ) đợc đổi th nh biến mới
= (1 , α2, . . . , αn ) v gi¶ sư
xj = Xj (α), j = 1, 2, . . . , n

(1.22)

sao cho
∂X1
∂α1
D(X1 ,X2 ,...,Xn )
D(α1 ,α2 ,...,αn )

...

= ... ...
∂X1
∂αn

...

∂Xn
∂α1

. . . = 0, ∀α ∈ ,
∂Xn
∂αn

(1.23)


6

ở đây l một lân cận của gốc tọa độ trong Rn .

Giả sử điều kiện (1.23) đợc thỏa m n. Khi đó hệ phơng trình

X1(1 , 2, . . . , αn ) = x1

...


Xn (α1, α2 , . . . , n ) = xn

(1.24)

có nghiệm địa phơng duy nhÊt

(1.25)

αj = ϕj (x), j = 1, 2, . . . , n.

Mệnh đề 1.4. Giả sử mặt cong M R2n+1 thuộc lớp C 2 đợc cho bởi phơng trình
x,z,p
tham số

xj = Xj (), j = 1, 2, . . . , n

(1.26)
z = Z(α),


pj = Pj (α), j = 1, 2, . . . , n,
v ®iỊu kiƯn (1.23) ®−ỵc tháa m n. Khi ®ã ω0 = 0 trªn M nÕu v chØ nÕu
∂Z(α)
−
∂αk

n

P (α)
=1

∂X (α)
= 0;
∂αk

k = 1, 2, . . . , n.

(1.27)

MƯnh ®Ị 1.5. Giả sử rằng mặt cong M R2n+1 thuộc lớp C 2 v đợc cho bởi
x,z,p
(1.26) trong đó Xj (), Z(), Pj () thỏa m n hệ phơng trình
n

=1

Pj
+


n

n

ajk X(α), Z(α), P (α)
=1 k=1

∂Xk
= 0,
∂α

j = 1, 2, . . . , n.

(1.30)

Khi ®ã ω1 ∧ ω2 ∧ · à à n = 0 trên M.
Từ các mệnh ®Ò 1.4, 1.5 v NhËn xÐt 1.1 suy ra r»ng muốn tìm nghiệm của b i

toán Cauchy (1.7), (1.10) ta xét b i toán Cauchy sau đây:
B i toán Cauchy : T×m (X(α), Z(α), P (α)) thc líp C 2 tháa m n hÖ

∂Xk
 n ∂Pj
 =1
+ n=1 n ajk (X(α), Z(α), P (α))
= 0, j = 1, 2, . . . , n

k=1

∂α
∂α


 ∂Z



−
∂αk

sao cho

n
=1 P

(α)

∂X

∂αk

= 0, k = 1, 2, . . . , n

(1.33)

Xj (α)


αn =0
Z(α) αn =0


Pj (α)
αn =0

0
= Xj (α ),

j = 1, . . . , n,

= Z 0(α ),
= Pj0(α ),

(1.34)
j = 1, . . . , n,


7
0

trong đó các h m Xj ( ), Z 0 (α ), Pj0 (α ) l c¸c h m cho trớc nh trong (1.10). Từ
đây chúng ta sẽ luôn cũng ký hiÖu α = (α1, α2 , . . . , n1 ) giống nh ký hiệu trong
(1.9).
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa b i toán Cauchy (1.33), (1.34) v b i
toán Cauchy (1.7), (1.10).

Định lý 1.1. Gi¶ sư (X(α), Z(α), P (α)) thc líp C 2 l mét nghiƯm cđa b i to¸n
Cauchy (1.33), (1.34) v tháa m n ®iỊu kiƯn (1.23). Khi ®ã h m sè

z(x) = Z(ϕ(x)) = Z(ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x))
thuéc líp C 2 l mét nghiệm của b i toán Cauchy (1.7), (1.10). Hơn nữa chúng ta
có zx (x) = P ((x)). ở đây (x) = (1 (x), 2(x), ..., n (x)) đợc cho bởi (1.25).
Hệ(1.33) l hệ gồm có 2n phơng trình v 2n + 1 ẩn h m v cha ở dạng chuẩn
tắc. Do ®ã Mơc 1.3 sau sÏ tiÕp tơc biÕn ®ỉi để đa hệ (1.33) về dạng chuẩn tắc m
việc nghiên cứu b i toán Cauchy cho hệ mới l đơn giản hơn.

1.3

Một phơng pháp tìm nghiệm của b i toán Cauchy cho
phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập
`

Vì hệ (1.33) cha ở dạng chuẩn tắc nên rất khó giải. Nội dung chÝnh cđa mơc
n y l chØ ra r»ng khi giải b i toán (1.33)-(1.34) có thể thay thế hệ (1.33) bởi một
hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp một dạng chuẩn tắc.
Các bổ đề sau l các bổ đề quan trọng trong việc chứng minh nghiệm của b i
toán Cauchy cho hệ chuẩn tắc cũng l nghiệm của b i toán Cauchy (1.33), (1.34).
Bổ đề 1.1. Gi¶ sư (X(α), Z(α), P (α)) l mét nghiƯm thc lớp C 2 của hệ (1.33).
Nếu chúng ta đặt
n

=1

Xi
= gi (α),
∂α

i = 1, 2, . . . , n

(1.35)

n

fj (α) = −

ajk (X(α), Z(α), P (α))gk (α),

j = 1, 2, . . . , n,

(1.36)

k=1

th× chóng ta cã
n

=1

∂Pi
= fi(α);

∂α

i = 1, 2, . . . , n.

(1.37)


8

Bổ đề 1.2. Giả sử (X(), Z(), P ()) thuộc líp C 2 l mét nghiƯm cđa hƯ(1.33) v
tháa m n các điều kiện (1.35), (1.36). Khi đó ta có
n

=1

X
f (α)
=
∂αk

n

g (α)
=1

∂P
,
∂αk

k = 1, 2, . . . , n.

(1.40)

Chóng ta ký hiÖu
g(α) ≡ (g1(α), g2 (α), . . . , gn (α)),
f (α) ≡ (f1 (α), f2 (α), · · · , fn (α)),
∂P1
∂Pn
∂P
≡
,...,
∈ Rn , j = 1, 2, . . . , n,
∂αj
∂αj
∂αj
∂X
∂X1
∂Xn
≡
,...,
∈ Rn , j = 1, 2, . . . , n.
j
j
j

(1.46)

Đặt
A(X, Z, P ) = ajk (X, Z, P )

n×n

(1.47)

.

v AT l ma trËn chun vÞ cđa ma trËn A. Tõ (1.36) ta suy ra
f (α) = −g(α)AT (X(α), Z(α), P (α)).

(1.48)

∂P
∂X
+
A(X(α), Z(α), P (α))
∂αj ∂αj
= (vj1 (α), vj2 (α), . . . , vjn (α)) ∈ Rn , j = 1, 2, . . . , n − 1.

(1.49)

Gäi
vj (α) ≡

l c¸c vÐc tơ h ng, khi đó ta có bổ đề.
Bổ đề 1.3. Gi¶ sư (X(α), Z(α), P (α)) thc líp C 2 l nghiƯm cđa hƯ (1.33) v
tháa m n (1.35), (1.36). Khi đó điều kiện (1.40) tơng đơng với điều kiÖn sau:

(1.50)

g(α), vk (α) = 0, k = 1, 2, . . . , n − 1,

trong ®ã , l tích vô hớng trong Rn .

Điều kiện (1.50) gợi ý cho ta chän vÐc t¬ g = (g1 , g2 , ..., gn ) b»ng c«ng thøc sau:
g(α) = v1 (α) × v2 (α) × · · · × vn−1(α) Rn ,

(1.53)

trong đó các véc tơ vj () đợc định nghĩa bởi (1.49) v
e1

...

en1

en

v11
v1 ì v2 ì Ã Ã · × vn−1 =

e2
v12

...

v1,n−1

v1,n

v21
.

.
.

v22
.
.
.

...
.
.
.

v2,n−1
...

v2,n
.
.
.

vn−1,1 vn−1,2 . . . vn−1,n−1 vn−1,n

∈ Rn ,

(1.54)


9

ở đây e1 , e2, . . . , en l các véc tơ đơn vị trên các trục tọa ®é Ox1 , Ox2 , . . . , Oxn . Với
cách chọn n y điều kiện (1.50) luôn đợc thỏa m n.
Định lý sau khẳng định hệ(1.33) đợc đa tiếp về hệ phơng trình chuẩn tắc.
Định lý 1.2. Giả sư X(α), Z(α), P (α) l nghiƯm cđa hƯ (1.33) v thoả m n điều
kiện (1.35), (1.53). Khi đó X(), Z(), P () l nghiệm của hệ chuẩn tắc sau
đây:

n ∂Xi = g (α), i = 1, 2, . . . , n,
 =1

i

∂α


∂Z
n
(1.55)
= n=1 g (α)P ,
=1

∂α

 n ∂Pi


 =1
= − n aik (X(α), Z(α), P (α))gk (α), i = 1, 2, . . . , n,
k=1
∂α

Mét kªt quả quan trọng của chơng n y l định lý sau.

Định lý 1.3. Giả sử véc tơ g() (g1 (), g2 (), . . . , gn ()) đợc cho bëi (1.53).
NÕu (X(α), Z(α), P (α)) thuéc líp C 2 l nghiệm của b i toán Cauchy (1.55), (1.34)
thì (X(α), Z(α), P (α)) cịng l nghiƯm cđa b i toán Cauchy (1.33), (1.34).

Để chứng minh định lý n y ta cần các bổ đề sau:
Bổ đề 1.4. Nghiệm duy nhÊt cđa b i to¸n Cauchy
n
∂u
k=1 ∂αk

u

αn =0

= F (α)
= u0( )

(1.56)

đợc viết dới dạng
u(1 , 2, . . . , αn ) = u0(α1 − αn , α2 − αn , . . . , αn−1 − αn )
αn

+

F (α1 − αn + s, α2 − αn + s, . . . , n1 n + s, s)ds.
0

Đặt
Z()

hk (α) ≡
∂αk

n

P (α)
=1

∂X (α)
,
∂αk

k = 1, 2, . . . , n

Bổ đề 1.5. Giả sử phơng trình thứ (n + 1) của (1.55) đợc thỏa m n v

hk () ≡ 0, k = 1, 2, . . . , n − 1.
Khi ®ã
hn(α) ≡ 0.

(1.57)


10

1.4 Điều kiện không đặc trng của b i toán Cauchy cho phơng

trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập
`
Chúng ta biết rằng phép đổi biến l không suy biến địa phơng nÕu
det

D(X1, X2, . . . , Xn )
D(α1 , α2 , . . . , αn )

αn =0

= 0, ∀α

(1.82)

.

Vậy khi n o điều kiện n y đợc thỏa m n. Từ (1.53) ta đặt
0
0
0
g 0 ( ) = (g1 (α ), g2 (α ), . . . , gn (α ))
≡ g(α) αn =0

(1.83)

0
0
0
= v1 (α ) × v2 (α ) × · · · × vn−1 (α ),

trong đó véc tơ tích trong (1.83) đợc định nghĩa bëi (1.54). Tõ (1.49) ta suy ra
0
0
0
0
vj (α ) = (vj1(α ), vj2(α ), . . . , vjn (α ))

≡ vj (α)

αn =0

0

=

0

∂P (α ) ∂X (α )
+
A(X 0(α ), Z 0(α ), P 0(α )) j = 1, 2, . . . , n − 1.
∂αj
∂αj

(1.84)

MƯnh ®Ị 1.6. Gi¶ sư
0
∂X1 (α )
∂α1

0
∂X2 (α )
∂α1

0
∂X1 (α )
∂αn−1

0
∂X2 (α )
∂αn−1

.
.
.

.
.
.

...
...
...

0
∂Xn (α )
∂α1

.
.

.

0
∂Xn (α )
∂αn−1

= 0,

∀α ∈

,

(1.85)

0
0
0
g1 (α ) g2 (α ) . . . gn ( )
0
0
0
trong đó véc tơ g 0 (α ) = (g1 (α ), g2 (α ), . . . , gn ( )) đợc định nghĩa bởi(1.83). Khi
đó điều kiện (1.82) đợc thỏa m n.
Từ Mệnh đề 1.6 chúng ta đi đến định nghĩa điều kiện không đặc trng của b i
toán Cauchy (1.7), (1.10).
Định nghÜa 1.2. Chóng ta nãi r»ng b i to¸n Cauchy (1.7), (1.10) l không đặc
trng nếu điều kiện sau đợc tháa m n
0
∂X1 (α )
∂α1

0
∂X2 (α )
∂α1

0
∂X1 (α )
∂αn−1

0
∂X2 (α )
∂αn−1

.
.
.

.
.
.

...
...
...

0
∂Xn (α )
∂α1

.

.
.

0
∂Xn (α )
∂αn−1

0
0
0
g1 (α ) g2 (α ) . . . gn (α )

= 0, ∀α ∈

,

(1.87)


11
0
0
0
trong đó các h m X 0 ( ) = (X1 (α ), X2 (α ), . . . , Xn ( )) đợc cho trong điều kiện
0
0
0
ban đầu (1.10) v vÐc t¬ g 0(α ) = (g1 (α ), g2 (α ), . . . , gn (α )) xác định bởi(1.83).
Từ Định lý 1.1 v Định lý 1.3 ta phát biểu kết quả chính của chơng n y bằng
định lý sau:

Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện (1.11), (1.87) đợc thỏa m n v (X(), Z(), P (α)) ∈
C 2 l nghiƯm cđa b i to¸n Cauchy (1.55), (1.34). Khi đó điều kiện (1.82) đợc thỏa
m nv
z(x) = Z(ϕ(x)) = Z(ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x))

thc C 2 l nghiƯm cđa b i toán Cauchy không đặc trng (1.7), (1.10). Hơn nữa
zxj (x) = Pj ((x)), ở đây (x) l h m xác định bởi (1.25).

1.5 Tính giải đợc của b i toán Cauchy cho phơng trình MongeAmpere trong một số trờng hợp đặc biệt.
`
1.5.1 Tính giải đợc địa phơng của b i toán Cauchy cho phơng trình MongeAmpere nhiều biến độc lập trong lớp h m giải tích.
`
áp dụng định lý Cauchy-Kovalevski cho b i to¸n Cauchy (1.55), (1.34) chóng ta
suy ra tính giải đợc địa phơng của b i toán Cauchy (1.7), (1.10) cho phơng trình
Monge-Ampere trong lớp h m giải tích.
`
0
Định lý 1.5. Giả sử các h m aij (x, z, p), Xj (α ), Z 0(α ), Pj0(α ), j = 1, n l gi¶i
tÝch v tháa m n ®iỊu kiƯn (1.11) v (1.87). Khi ®ã tån t¹i nghiƯm địa phơng giải
tích z(x) của b i toán Cauchy (1.7), (1.10).

1.5.2

Trờng hợp n = 2.

Tính hyperbolic v tính giải đợc của b i toán Cauchy cho một lớp phơng trình
Monge-Ampere với hai biến độc lập sẽ đợc trình b y chi tiÕt t−¬ng øng trong Ch−¬ng
`
2 v Ch−¬ng 3. Trong mơc n y ln ¸n chØ viÕt cơ thĨ hƯ chuẩn tắc đợc đa đến

từ phơng trình Monge-Ampere dạng (1.7) khi n = 2 v khi đó hệ nhận đợc chính
`
l hệ (3.1) trong Chơng 3.
Dựa v o điều kiện không đặc trng tổng quát (1.87) mục n y đa ra điều kiện
không đặc trng của b i toán Cauchy (1.7), (1.10) trong trờng hợp hai biến độc
lập (x, y).. Điều kiện không đặc trng n y trùng với điều kiện không đặc trng m
trớc đây M.Tsuji v H Tiến Ngoạn đ đa ra cho b i toán Cauchy (1.7), (1.10)
trong trờng hợp hai biến độc lập (x, y) bằng phơng pháp khác.


12

1.5.3 Tính giải đợc của b i toán Cauchy (1.7), (1.10) trong trờng hợp aij l
hằng số
Trong trờng hợp các hÖ sè aij l h»ng sè v ma trËn [aij ] l không đối xứng.
M.Tsuji đ chỉ ra rằng phơng trình (1.7) luôn có n biến độc lập, v vì vậy b i toán
Cauchy (1.7), (1.10) trong trờng hợp n y luôn l giải đợc. Để mở rộng kết quả,
luận ¸n xÐt vÝ dơ vỊ hƯ (1.55) cho tr−êng hỵp ma trËn B = [bij ]n×n = (AT − A) l
ma trận m phía bên trên đờng chéo chính có nhiều nhất một phần tử khác không,
tức l bao gồm cả trờng hợp ma trận [aij ] l ma trận đối xứng. Khi n = 2 thì ma
trận B luôn thỏa m n điều kiện n y.
Các kết quả trong Chơng 1 đợc viết dựa trên b i báo: Ha Tien Ngoan and
Nguyen Thi Nga (2004), ” On the Cauchy problem for multidimesional MongeAmpere equations”, Acta Mathematca Vietnamica, Vol 29, pp. 281-298.

Chơng 2

Tính hyperbolic của
một lớp hệ phơng trình phi tuyến cấp một
Trong Chơng 1 luận án đ đa ra một phơng pháp tìm nghiệm của b i toán
Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere nhiều biến độc lập (1.7) bằng cách giải b i

`
toán Cauchy cho một hệ phơng trình đạo h m riêng phi tuyến cấp một dạng chuẩn
tắc (1.55). Tuy nhiên tính giải đợc của b i toán Cauchy cho hệ chuẩn tắc (1.55)
trong trờng hợp tổng quát, nói chung, phơ thc rÊt m¹nh v o tÝnh hyperbolic cđa
hƯ n y. Do đó Chơng 2 luận án nghiên cứu tính hyperbolic của hệ (1.55) v kết
quả chính đạt đợc trong chơng n y l Định lý 2.2.

2.1 Tính hyperbolic của hệ phơng trình
2.1.1 Định nghĩa hệ hyperbolic
Ta viết hệ (1.55) dới dạng chuẩn tắc rõ r ng hơn nh sau:

 ∂Xi = − n−1 ∂Xi + g (α), i = 1, 2, . . . , n


i
k=1
 ∂αn
∂αk

 ∂Z
∂Z
(2.1)
= − n−1
+ n=1 g (α)P (α)
k=1
 ∂αn
∂αk

 ∂Pi
∂Pi




= − n−1
− n=1 ai (X(α), Z(α), P (α))g (α), i = 1, n
k=1
∂αn
∂αk
trong ®ã α ≡ (α1, α2 , . . . , n ) l các biến độc lập, X X1 (α), X2(α), . . . Xn (α) ,
P (α) ≡ P1(α), P2 (α), . . . , Pn (α) , g(α) ≡ (g1(α), g2 (α), . . . , gn ()) đợc cho bởi


13

(1.53), aij (X, Z, P ) l c¸c h m tơng ứng với các h m aij (x, y, z) đợc cho trong
phơng trình (1.7) qua phép đổi biến.
Đặt
Vk = (V1k , V2k , . . . , Vnk ) ≡

∂X
∂X1 ∂X2
∂Xn
=
,
,...,
,
∂αk
∂αk ∂αk
∂αk

(2.2)

∂P
∂P1 ∂P2
∂Pn
=
,
,...,
∂αk
∂αk ∂αk
∂αk

(2.3)

Wk = (W1k , W2k , . . . , Wnk ) ≡
v





T

X (α)




T
U (α) = (X(α), Z(α), P (α)) =  Z(α)  ,



T
P (α)

ë đây U l véc tơ h ng v U T l vÐc t¬ cét.

n−1

F (α) = −

=1

T

g (α)

∂U 
+  g(α), P (α)
∂α

−Ag T (α)





,


trong ®ã ., . l tÝch vô hớng trong Rn , Bây giờ chúng ta có thĨ viÕt hƯ (2.1) d−íi
d¹ng ma trËn
∂U
= F.
∂αn

(2.4)

Víi j = 1, 2, . . . , n 1 đặt
Qj =

∂U
,
∂αj

Aj ≡

DF
DQj

(2.5)

∂X ∂P
,
, k = 1, 2, . . . , n − 1. v l
∂αk ∂αk
ma trËn vu«ng cÊp (2n + 1). Ta có định nghĩa sau về tính hyperbolic.
Mỗi ma trận Aj phụ thuộc X(), Z(), P (),

Định nghĩa 2.1. 1) Hệ (2.4) đợc gọi l hệ hyperbolic yếu nếu với mỗi (X(), Z(), P ())

cố định thuộc líp C 2 v víi mäi ξ = (ξ1 , ..., n1 ) Rn1 , tất cả các giá trị riêng
của ma trận
n1

A=

i Ai
i=1

(2.6)


14

l thực.
2) Hệ (2.4) đợc gọi l hệ hyperbolic nếu nó l hệ hyperbolic yếu v với mỗi
(X(), Z(), P ()) cố định C 2 , với mọi = (1 , ..., n1) Rn1 tồn tại một
cơ sở của không gian R2n+1 gồm các véc tơ riêng trái tơng ứng với các các giá trị
riêng của ma trận A.
Định nghĩa 2.1 đợc trình b y dựa trên t i liƯu tham kh¶o: Jeffrey A. (1980) ”Quasilinear hyperbolic system and waves, Pitman Publishing, London San FranciscoMelbourne.” v B. L. Rodgestvenski, N. N. Yanenko (1978), Quasilinear hyperbolic
systems, Nauka, Moscow.
Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra r»ng muèn xÐt tÝnh hyperbolic yếu v tính hyperbolic của
hệ (2.4) trớc tiên ta phải tính đợc các giá trị riêng của ma trận A. V× ma trËn A
l ma trËn cÊp (2n + 1) nên việc tìm giá trị riêng l không dễ d ng nếu chúng ta
không tìm đợc các qui luật của các phần tử trong ma trận A. Các Mệnh đề sau sẽ
giúp chúng ta đa đợc ma trận A về dạng đơn giản hơn v từ đó thuận lợi cho việc
tìm các giá trị riêng.
Dg
Mệnh đề 2.1. Với mỗi k = 1, 2, · · · , n − 1 ma trận
l ma trận phản đối xứng,

DWk
có nghĩa l
T
Dg
Dg
=
.
(2.7)
DWk
DWk
Mệnh đề 2.2. Víi mäi k = 1, 2, . . . , n − 1 chóng ta cã
Dg
Dg T
=
A ,
DVk
DWk
trong ®ã A = [aij ]nìn .

(2.14)

Đặt
n1

M

k
k=1

v11
.
.
.

vk1,1


Mi =  vk1


v
 k+1,1

 .
.
 .

vn−1,1

...
.
.
.

v1,i−1
.
.
.

Dg
= [mij ]n×n ,
DWk

v1,i+1
.
.
.

...
.
.
.

. . . vk−1,i−1 vk−1,i+1 . . .
...

vk,i−1

vk,i+1

...

. . . vk+1,i−1 vk+1,i+1 . . .
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
. . . vn−1,i−1 vn−1,i+1 . . .

(2.16)


v1n 




vk−1,n 


vk,n 


vk+1,n 


. 
. 
.


vn−1,n

,

(n−1)×(n−1)

(2.17)


15

trong đó các phần tử vij đợc xác định bởi (1.49).
Víi i < j ta ký hiƯu Mij l ma trận nhận đợc từ ma trận Mi bằng cách thay cét
(j − 1) bëi cét [ξ1 ξ2... ξn−1 ]T .
MÖnh ®Ị 2.3. Víi mäi i < j chóng ta cã
mij = (1)1+i det Mij .

(2.18)

2.1.2 Biến đổi ma trận A
Đặt
B = [bij ]n×n = AT − A,

(2.21)

C = BM,

n−1

ν=

ξi .
i=1

trong ®ã M l cho bëi (2.16).
Tõ (2.5) v MƯnh ®Ị 2.2 ta cã
n−1

A=
















ξi Ai =
i=1

n−1
i=1

Dg
ξi DWi AT −

n−1

n−1

i=1

n−1

P
i=1

Dg
ξi DWi AT

n−1

−A
i=1

0

ξi E

Dg
ξi DWi AT

i=1

n−1

−

P

i=1

i=1

n−1

0

Dg
ξi DWi

n−1

ξi

−A
i=1



Dg
ξi DWi

Dg
ξi DWi

n−1

−E

ξi
i=1








.







ViƯc chøng minh c¸c MƯnh ®Ị 2.1-2.2 ® gióp Ých rÊt nhiỊu trong viƯc ®¬n giản hoá
ma trận A. Tuy nhiên điều đó vẫn cha đủ, định lý sau đây sẽ đa ma trận A về

một ma trận đồng dạng A m việc tìm giá trị riêng của ma trận n y l đơn giản h¬n

rÊt nhiỊu.


16

Định lý 2.1. Ma trận A đồng dạng với ma trËn sau

n−1

n−1

Dg
0
ξi DWi
 −E ξi

n=1
i=1




n−1
n−1
Dg
˜ =
A 
0
− ξi
P ξi DWi


i=1
i=1




n−1
n−1

Dg
0
0
(AT A) i DWi E i
n=1

i=1





=


E

0

M

0



PM

0

0

C E
















.

(2.23)

.
(2n+1)ì(2n+1)

Hệ quả 2.1. Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận C = BM đều l thực, thì hệ
(2.1) l hyperbolic u.
HƯ qu¶ 2.2. NÕu AT = A (cã nghÜa l B = 0) th× hƯ (2.1) l hyperbolic u.

Tõ đây ta sẽ luôn ký hiệu ma trận B = [bij ]nìn .
Để thuận lợi cho việc chứng minh Mệnh ®Ị 2.4 chóng ta sÏ ph¸t biĨu v chøng
minh c¸c bổ đề sau:

Bổ đề 2.1. Giả sử ma trận A xác định bởi (2.23) có các giá trị riêng l
n1

1 = λ2 = ... = λ2n+1 = −

ξi .
i=1

Khi ®ã nÕu ma trËn
l hyperbolic.

n−1
i=1

Dg
ξi DWi cã Ýt nhÊt mét phÇn tử khác không thì hệ (2.1) không

Bổ đề 2.3. Giả sử tồn tại ít nhất một điểm (X o , Z o , P o ) m tại đó ma trËn
B(X o , Z o , P o )
= AT (X o , Z o , P o ) − A(X o , Z o , P o ) cã Ýt nhÊt mét phÇn tư bko o = 0, víi ko < o Khi
đó hệ (2.1) không l hyperbolic.
Bổ đề 2.4. Gi¶ sư n 3 v víi mäi X, Z, P ma trËn B X, Z, P = AT X, Z, P
A X, Z, P luôn có hai phần tư b12 = 0 v b13 = 0. Khi ®ã hệ (2.1) không l
hyperbolic.
Mệnh đề 2.4. Nếu n > 2 hƯ (2.1) kh«ng l hyperbolic.


17

Kết quả cơ bản của Chơng 2 đợc phát biểu trong định lý sau.
Định lý 2.2.
i) Nếu 2 n 5 th× hƯ (2.1) l hyperbolic u v nã l hyperbolic khi v chØ khi
n = 2 v a12 = a21.
ii) Nếu n 6 hệ (2.1) không l hyperbolic

Vì khối lợng tính toán l rất lớn nên trong quá trình chứng minh định lý n y
chúng tôi phải dùng phần mềm Maple để hỗ trợ tính toán.
Các kết quả của Chơng 2 đợc viết dựa trên b i báo: Ha Tien Ngoan and
Nguyen Thi Nga, ”On the hyperbolicity of some systems of nonlinear first-order
partial differential equations”, Vietnam Journal of Mathematics, vol 34, pp 109-128.

Chơng 3

Bài toán Cauchy cho hệ phơng trình
hyperbolic yếu á tuyến tính và áp dụng
cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic yếu
Chơng n y nghiên cứu tính giải đợc của b i toán Cauchy cho hệ chuẩn tắc
(1.55) trong trờng hợp hai biến độc lập qua đó áp dụng để có tính giải đợc địa
phơng của b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere cổ điển hyperbolic
`
yếu, tức l khi D = 1 v
0, m không đòi hỏi giả thiết về sự tồn tại của hai
tích phân đầu độc lập.

3.1

Tính giải đợc của hệ phơng trình hyperbolic yếu á tuyến
tính với hai biến độc lập

3.1.1 Hệ phơng trình chuẩn tắc khi n = 2
Với n = 2 thì hƯ (1.55) viÕt d−íi d¹ng sau:
 ∂X
1
1
2
 ∂α2 = (a12 − 1) ∂X1 + a22 ∂X1 + ∂P2

∂α
∂α
∂α1
 ∂X

 2
∂X1
∂X2

 ∂α2 = −a11 ∂α1 − (a21 + 1) ∂α1 − ∂P1

∂α1
∂X1
∂P
∂P
∂Z
∂Z
2
= (a12 P1 − a11 P2 ) ∂α1 + (a22P1 − a21P2) ∂X1 − ∂α1 − P2 ∂α1 + P1 ∂α2 (3.1)
∂α2
∂α
1
1
 ∂P
 1
∂X2
∂P1
∂P2

 ∂α2 = (−a11 a22 + a12a21 ) ∂α1 + (a12 − 1) ∂α1 − a11 ∂α1

 ∂P
 2
1
= (a11 a22 − a12a21 ) ∂X1 + a22 ∂P1 − (a21 + 1) ∂P2 ,

∂α2
∂α
∂α1
∂α1

trong ®ã (X1 , X2, Z, P1 , P2 ) l Èn h m cđa α1 , α2 v aij l c¸c h m cña (X1, X2,
Z, P1 , P2 ).


18

B i to¸n Cauchy cho hƯ n y chÝnh l b i toán Cauchy (1.55),(1.34) trong trờng
hợp n = 2. Trong chơng n y luận án sẽ nghiên cứu giải b i toán Cauchy (3.1),
(1.34) bằng phơng pháp chéo hoá.
3.1.2

Hệ ®−êng chÐo

Ta cã thĨ viÕt hƯ (3.1) d−íi d¹ng ma trận nh sau:
Đặt
U = (X1, X2 , Z, P1 , P2)T ,


a12 − 1
a22
0
0
1







−a11
−a21 − 1
0
−1
0




A(U ) =  a12P1 − a11P2
a22 P1 − a21P2 −1 −P2
P1  .





0
−a11a22 + a12 a21 0 a12 − 1
−a11 




a11 a22 − a12a21
0

0
a22
−a21 1

Khi đó hệ (3.1) viết đợc dới dạng ma trận
U
U
= A(U )
.
(3.5)
2
1
Chơng n y nghiên cứu hệ (3.1) m không đòi hỏi giả thiết a12 = a21.. Chúng ta
sẽ chỉ ra trong Định lý 3.4. rằng với một v i hạn chế trên các hệ số aij (X, Z, P ),
hƯ (3.1) cã thĨ ®−a vỊ hƯ ®−êng chÐo, á tuyến tính gồm có 7 phơng trình v 7
ẩn h m. Khi đó theo t i liệu tham khảo: Jeffrey A. (1980) ”Quasilinear hyperbolic
system and waves, Pitman Publishing, London San Francisco- Melbourne.” v B.
L. Rodgestvenski, N. N. Yanenko (1978), Quasilinear hyperbolic systems, Nauka,
Moscow, chóng ta cã sù tån t¹i duy nhất nghiệm địa phơng cho b i toán Cauchy
(3.1), (1.34).
3.1.3

Biến đổi về hệ đờng chéo

Để đa hệ (3.1) về hệ đờng chéo chúng ta sẽ đa thêm điều kiện sau:
0
0
(C1 ): C¸c hƯ sè aij (X, Z, P ) v các h m ban đầu của b i toán Cauchy X1 (α1), X2 (α1),
0
0

Z 0 (α1), P1 (α1), P2 (1) cho bởi (1.34) thoả m n điều kiện:
D(a11 , a12 )
D(a21 , a22 )
0
0
(X1 (α1 ))2 +
(X2 (α1 ))2 +
D(P1 , P2)
D(P1 , P2 )
D(a11 , a22 )
D(a21 , a12 )
0
0
(3.8)
+
X1 (α1 )X2 (α1) +
D(P1 , P2)
D(P1 , P2)
∂a11 ∂a12 0
∂a21 ∂a22 0
+
+
X1 (α1 ) +
+
X (α1 ) + 1 = 0,
∂P1
∂P2
∂P1
∂P2 2

19
0
0
trong đó các đạo h m của các h m aij l đợc tính toán tại (X1 (1 ), X2 (1 ),
0
0
Z 0 (1), P1 (1), P2 (1)).
Đặt



v đặt

0
1

0
1


C(X1, X2 , Z, P1 , P2) =  0
0


−a −a
 11
21

−a12 −a22



0 0 0

0 0 0


1 0 0


0 1 0


0 0 1

˜
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
U ≡ (X1 , X2 , Z, P1 , P2 )T = C −1 U.

(3.9)

Khi đó ta có mệnh đề v định lý sau:

Mệnh ®Ị 3.1. Gi¶ sư ta cã ®iỊu kiƯn (C1 ) ®−ỵc tháa m n. Khi ®ã víi mäi (X, Z, P )
˜
∈ R5, trong l©n cËn cđa (X 0 (α1 ), Z 0 (1), P 0 (1)), hệ phơng trình theo hai Èn
P1, P2
P1 + a11 (X, Z, P )X1 + a21 (X, Z, P )X2
P2 + a12 (X, Z, P )X1 + a22 (X, Z, P )X2

˜
= P1 ,
˜
= P2

(3.11)

cã duy nhÊt nghiÖm
˜ ˜
˜ ˜
P1 = f (X1, X2, Z, P1 , P2), P2 = g(X1, X2 , Z, P1 , P2),

(3.12)

˜
trong ®ã P 0 (α1) = P 0 (α1) + X 0(α1 )A(X 0 (α1), Z 0 (α1), P 0 (α1)) v
A(X, Z, P ) =

a11 (X, Z, P ) a12 (X, Z, P )

.

(3.13)

a21 (X, Z, P ) a22 (X, Z, P )

Định lý 3.3. Giả sử U l h m vÐc t¬ cho bëi (3.9). Khi đó h m véc tơ U thoả

m n (3.5) nếu v chØ nÕu U l nghiƯm cđa hƯ sau:

˜
˜
∂U
˜ U ) ∂ U + B(U )U ,
˜
˜ ˜
= A(
∂α2
∂α1

(3.15)


20

trong ®ã




0
1
−1 0 0



 0 −1 0

−1
0





˜
.
A =  0 0 −1
−P2
P1




 0 0 0 a −a −1

0
12
21




0 0 0
0
a12 − a21 − 1

v

B = C −1 A


− ∂a12
∂α1



∂a11


∂α1

∂a11
∂a12
=

∂α1 P2 − ∂α1 P1

−(a − a − 1) ∂a11 +

12
21
∂α1

−(a12 − a21 − 1) ∂a12 +
∂α1

(3.16)

∂C
∂C

−
∂α1 ∂α2

(3.17)

− ∂a22
∂α1

0 0

∂a21
∂α1

0 0

∂a21
∂α1 P2

−

∂a22
∂α1 P1

0 0

∂a11
∂α2

−(a12 − a21 − 1) ∂a21 +
∂α1

∂a21
∂α2

0 0

∂a12
∂α2

−(a12 − a21 1) a22 +
1

a22
2

0 0


0

0


0 ,


0


0

(3.18)

trong đó các biến P1, P2 v bản thân chúng trong các h m aij (X1, X2 , Z, P1 , P2)
đợc thay tơng øng bëi
˜ ˜
˜ ˜
P1 = f (X1 , X2 , Z, P1, P2 ), P2 = g(X1 , X2, Z, P1, P2 ).
Tõ (3.16) ta thÊy r»ng hÖ (3.15) ch−a phải l hệ đờng chéo. Do đó cần đa thêm
điều kiƯn C2 ®Ĩ hƯ (3.15) cã thĨ biÕn ®ỉi vỊ một hệ đờng chéo.
(C2 ) : Mỗi aij (X, Z, P ) thoả m n các điều kiện sau
aij
∂Z
= 0,

∂aij
∂aij
∂aij
(3.28)
− a11 ∂P1 − a12 ∂P2 = 0,
 ∂Xij
 a 1
a21 aij a22 aij = 0.
X2
P1
P2
Đặt

P1
P2


, P2 =
.
P1 =
1
1

(3.29)

Mệnh đề 3.2. Giả sử các điều kiện (C1 ) v (C2 ) đợc thỏa m n. Khi ®ã ta cã
1)
(a12 − a21 − 1)

∂aij ∂aij
−
= 0,
∂α1
∂α2

(3.30)


21

˜
˜
2) Tån t¹i bij (X, P ) v cij (X, P ) tr¬n sao cho

∂aij
˜
˜
˜ ˜
˜ ˜
= bij (X, P )P1 + cij (X, P )P2 , ∀i, j = 1, 2.
∂α1

(3.31)

B©y giê chóng ta sÏ xÐt hƯ (3.15) víi các biến độc lập mới


W = (X , X , Z, P , P , P , P )T ,
1

2

1

2

1

2

ta có định lý sau:
Định lý 3.4 Giả sử các điều kiện (C1 ) v (C2) đợc tháa m n. Khi ®ã hƯ (3.15) cã
thĨ ®−a vỊ hệ đờng chéo dạng sau:
W

W


= A(W )
+ F (W ),
(3.43)
2
1
trong ®ã
˜
˜
A(W ) =


0
0
0
0
−1 0 0



 0 −1 0

0
0
0
0






 0 0 −1
0
0
0
0




 0 0 0 a −a −1
,
0
0
0
12
21




0 0 0

0
a12 − a21 − 1
0
0







0
0
a12 − a21 − 1
0
0 0 0



0 0 0
0
0
0
a12 − a21 − 1
(3.44)

v
F (W ) = F1 (W ) + F2 (W ),
ở đây

P2 + (b12 P1 + c12P2 )X1 + (b22 P1 + c22P2 )X2







˜ + (b P + c P )X − (b P + c P )X
˜
˜
˜
˜
˜
˜1
˜2 1
˜1
˜2 2


−P1
11
11
21

21



˜ + P P + (−(b P + c P )P + (b P + c P )P )X 
˜
˜
˜
˜
˜
−P2 P1
˜
˜
˜
˜ 2
˜
˜ 1 1
1 2
11 1
11 2
12 1
12 2




,
F1 (W ) = 
0







0






˜
˜ ˜
˜1 + (c12 − c21 )P2 )P1
˜ ˜
((b12 − b21)P




˜
˜ ˜
˜1 + (c12 − c21 )P2 )P2
˜ ˜
((b12 − b21)P


22





0






0




˜
˜
˜
˜
(−(b21 P1 + c21 P2 )P2 + (b22 P1 + c22 P2 )P1 )X2 
˜
˜
˜
˜




,

F2 (W ) = 
0






0






0




0

˜ ˜
˜ ˜
trong F1 (W ), F2 (W ) c¸c biÕn P1 , P2 đợc thay bởi f (X1 , X2 , Z, P1, P2 ) v g(X1 , X2 , Z, P1, P2 )
tơng ứng.
Nhìn v o (3.44) ta thấy rằng hệ (3.43) l hệ đờng chéo. Tính giải đợc của b i
toán Cauchy cho hệ (3.1) đợc phát biểu bằng định lý sau đây.
Định lý 3.5. Giả sử các điều kiện (C1) v (C2 ) đợc thỏa m n. Khi đó b i toán
Cauchy (3.1), (1.34) tồn tại duy nhất nghiệm địa phơng, trơn.

Sau đây ta sẽ áp dụng định lý Định lý 3.5. để phát biểu định lý về tính tồn
tại nghiệm của b i toán Cauchy cho một lớp phơng trình Monge-Ampere cổ điển
`
hyperbolic yếu.

3.2

áp

dụng cho một lớp phơng trình Monge-Ampere cổ điển
`
hyperbolic yếu

B i toán Cauchy (1.1), (1.5) chính l b i toán Cauchy cho phơng trình (1). B i
toán Cauchy n y đ đợc nghiên cứu bëi G. Darboux v E. Goursat d−íi gi¶ thiÕt
r»ng
0 v tồn tại hai tích phân đầu độc lập v nó cũng đợc các tác giả trớc
đây nghiên cứu với sự mở rộng l
> 0 v không cần đến giả thiết về sự tồn tại
hai tích phân đầu độc lập. ở đây khi áp dụng Định lý 3.5 ta có tính giải đợc của
b i toán Cauchy cho phơng trình (1), trong trờng hợp
0 m không cần tới giả
thiết về sự tồn tại của hai tích phân đầu độc lập. Định lý về sự tồn tại nghiệm của
b i toán Cauchy cho tròng hợp n y đợc phát biểu nh sau:
Định lý 3.6. Giả sử rằng b i toán Cauchy không đặc trng (1.1), (1.5) thoả m n
các điều kiện sau:
1) Các hệ số A, B, C, E không phụ thuộc v o z,
2) D = 1,
0,

23

3)
D(C, λ1 )
D(λ2, A)
(X 0(α1 ))2 +
(Y 0 (α1 ))2 +
D(p, q)
D(p, q)
D(C, A)
D(λ2 , λ1)
+
X 0 (α1)Y 0(α1 ) +
D(p, q)
D(p, q)
∂C ∂λ1 0
∂λ2 ∂A 0
+
+
X (α1 ) +
+
Y (1 ) + 1 = 0,
p
q
p
q

(3.50)

trong đó các đạo h m cđa c¸c h m A, C, λ1 , λ2 đợc tính toán tại (X 0 (1 ), Y 0(1 ),
Z 0 (1), P 0 (1), Q0 (1)),
4) mỗi h m A(x, y, z, p, q), C(x, y, z, p, q), λ1(x, y, z, p, q), λ2 (x, y, z, p, q) thoả m n
hệ phơng trình sau:

x1

x2

C − λ1 ∂ϕ
∂p
∂q

= 0,

− λ2 ∂ϕ − A ∂ϕ
∂p
∂q

= 0.

(3.51)

Khi đó b i toán Cauchy (1.1), (1.5) tồn tại nghiệm địa phơng trơn.
Sau đây l một số ví dụ minh họa cho Định lý 3.6.
Ví dụ 1. Xét phơng trình (1.1) víi D = 1,
0, v c¸c hƯ sè A, B, C, E l h»ng
sè.
VÝ dơ 2. Gi¶ sư v(y, t) l một nghiệm của phơng trình Burger
vt + vvy = 0

0
0
0
0
v trong lân cận của điểm (c1P1 (0) c2 P2 (0), c2 X1 (0) + c1X2 (0)) tho¶ m n ®iỊu
kiƯn
0
0
0
0
0
0
−vy (c1 P1 (α1 ) − c2 P2 (α1 ), c2 X1 (α1 ) + c1X2 (α1 ))(c2 X1 (α1 ) + c1X2 (α1)) + 1 = 0,

trong ®ã c1, c2 l c¸c h»ng sè cho tr−íc sao cho c2 + c2 > 0.
1
2
Khi đó b i toán Cauchy cho phơng trình Monge-Ampere
`
rt s2 + v 2 (c1zx1 − c2 zx2 , c2x1 + c1 x2 ) = 0

(3.52)

Víi A = B = C = 0, E = −v 2 (c1 p1 −c2 p2, c2 x1 +c1 x2), = 4v 2(c1 p1 −c2p2 , c2x1 +
c1x2 ), λ1 = −λ2 = v(c1 p1 − c2 p2 , c2 x1 + c1x2 ) tho¶ m n tÊt c¶ các điều kiện của
Định lý 3.6.
D. Kong, M.Tsuji v H Tiến Ngoạn đ chỉ ra rằng phơng trình (3.52) có hai
tích phân đầu độc lập khi v chỉ khi v(y, t) = const = 0.
VÝ dơ 3. Gi¶ sư v(y, t) l một nghiệm của phơng trình
vt + f (v)vy = 0,