SKKN PHÉP NGHỊCH đảo

GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
I-ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Trong chương trình phổ thông, chúng ta được học bốn phương pháp giải toán hình:
1. Hình học tiên đề (được học ở THCS, lớp 11 và 12)
2. Hình học véc tơ
3. Hình học giải tích
4. Phép biến hình
Trong bốn phương pháp trên thì phép biến hình chủ yếu dùng để giải các bài toán về
dựng hình, bài toán quỹ tích và bài toán chứng minh các tính chất hình học khó, đặc biệt
là phép nghịch đảo có ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết ba dạng bài trên.
2.Tuy nhiên phép nghịch đảo không được dạy trong chương trình phổ thông, chỉ dùng
cho học sinh giỏi và học sinh chuyên toán . Vì lý do trên nên tôi trình bày các tính chất
và ứng dụng thường gặp đối với các dạng toán dựng hình, quỹ tích và tính chất hình học
khó, các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi và vận dụng để chứng minh các định lý
hình học.
II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A- LÝ THUYẾT
1.1.Định nghĩa (phép nghịch đảo trong mặt phẳng).
Cho điểm O và số thực k ≠ 0 .Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, M khác điểm O, ta tìm
được điểm M’ trên đường thẳng OM sao cho
. 'OM OM k=
.
Gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k .Ta ký hiệu là f(O, k).
f : mp → mp
M
a
M’ sao cho
. 'OM OM k=
.
M’ gọi là ảnh của M qua f(O, k) .Ký hiệu là f(M) = M’.
1.2. Tính chất

a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp nghĩa là f(M) = M’ thì f(M’) = M vì
. 'OM OM k=
=
'.OM OM
b) Nếu k > 0 thì hai điểm M, M’ nằm cùng phía với O . Đường tròn (O;
k
) gọi
là đường tròn nghịch đảo, mọi điểm thuộc đường tròn nghịch đảo đều là điểm kép tức là
f(M) = M. Hơn nữa tập hợp các điểm kép này là đường tròn (O;
k
) .
Nếu k < 0 thì hai điểm M, M’ nằm về hai phía đối với O . Trường hợp này không
có điểm kép đối với f(O; k), đường tròn (O;
k
) gọi là đường tròn ảo. Khi đó M→ O
thì M’→
∞
c) Phép nghịch đảo f(O; k) với k > 0, f : M
a
M’ thì mọi đường tròn đi qua M,
M’ đều trực giao nhau.
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 1
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
d) Nếu hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) lần lượt trực giao với (O;
k

) ( k > 0) và
(O
1
) , (O
2
) cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm này là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo
f(O;
k
).
e) Cho phép nghịch đảo f(O; k). Khi đó với hai điểm A, B không thẳng hàng với
cực nghịch đảo và f(A) = A’ ; f(B) = B’ thì 4 điểm A, A’, B, B’ cùng thuộc một đường
tròn.
f) Phép nghịch đảo f(O; k) : A
a
A’
B
a
B’ thì A’B’ =
.
AB
k
OA OB
CÁCH XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP
NGHỊCH ĐẢO.
1.Định lý 1. Cho đường thẳng d và phép nghịch đảo f(O; k). Khi đó nếu d đi qua cực O
thì f(d) = d . Nếu d không đi qua O thì f(O; k) biến d thành đường tròn đi qua cực O.
2. Định lý 2. Cho đường tròn (C) và phép nghịch đảo f(O; k). Khi đó nếu (C) đi qua cực
O thì f(O; k) biến (C) thành đường thẳng . Nếu (C) không đi qua O thì f(O; k) biến (C)
thành đường tròn (C’) không đi qua O.
3. Định lý 3. Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh của nhau trong hai

phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn.
4. Định lý 4. Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường tròn ( hay góc giữa đường
tròn và đường thẳng, hay góc giữa hai đường thẳng ).
(Định nghĩa góc giữa hai đường cong: hai đường cong (C
1
) và (C
2
) cắt nhau.Tại một
điểm chung A ta dựng các tiếp tuyến với hai đường cong. Khi đó góc giữa hai đường
cong là góc giữa hai tiếp tuyến tại A.)
5. Định lý 5. Tích hai phép nghịch đảo cùng cực O : f(O; k) và f’(O; k’) là phép vị tự
tâm O, tỉ số
'k
k
. Ký hiệu
'f fo
.

f(O;k) f'(O;k')
M M' M"→ →

'f fo
=V(O;
'k
k
)
PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC.
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 2
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO

Cho f(O; k) trong đó O(0; 0) và M(x; y) ; M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép nghịch đảo
f(O; k), khi đó
. 'OM OM k=
⇔
. 'OM OM k=
uuuur uuuuur

⇔
x.x’ + y.y’ = k và M’
∈
OM
công thức xác định tọa độ M’. ( Ta sẽ nghiên cứu phần sau).
B- ỨNG DỤNG
DẠNG 1. Chứng minh các tính chất hình học.
Bài 1. Cho tam giác đều ABC và điểm O bất kỳ . Chứng minh rằng tổng của hai trong
ba đoạn OA, OB, OC không nhỏ hơn đoạn còn lại.
Hướng dẫn:
TH1: O không nằm trên cạnh nào của tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C
qua f(O; k), khi đó có :

' ' , ' ' , ' '
. . .
k k k
A B AB A C AC B C BC
OA OB OA OC OB OC
= = =
.
Ta có A’B’ + B’C’
≥
A’C’ .

⇒
.
k
AB
OA OB
+
.
k
B C
OB OC
≥
.
k
AC
OA OC
⇔
OA.BC + OC.AB
≥
OB.AC.

⇔
OA + OC
≥
OB (vì
∆
ABC đều).
Dấu “=” khi A’B’ + B’C’ = A’C’ hay O nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC.

TH2 : O nằm trên 1 cạnh của
∆
ABC, giả sử là cạnh AB.
+) Nếu O nằm trong đoạn AB :

OA + OB = AB = AC
≥
OC
(vì
·
·
0
60AOC OAC≥ =
)
Trường hợp khác luôn đúng.
+) Nếu O nằm ngoài đoạn AB làm tương tự có đpcm.
Bài 2.
Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong một đường tròn khi và chỉ khi
AC.BD = AB.CD + AD.BC ( Định lý Ptôlêmê).
Hướng dẫn:
Xét f(D; k), gọi A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua phép nghịch đảo f(D; k) .
Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi A’, B’, C’ thẳng hàng.
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 3
Hình 1
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
A’, B’, C’ thẳng hàng khi A’C’ = A’B’ + B’C’ (hình 2).
⇔
k k k
AC AB + BC

DA.DC DA.DB DB.DC
=
.
⇔
AC.BD = AB.CD + AD.BC (đpcm).
Hình 2
Bài 3.
Chứng minh rằng khoảng cách d giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn
ngoại tiếp của cùng một tam giác ABC thỏa mãn hệ thức :
2 2
2d R Rr= −
( R và r : là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp
ABC∆
).
Hướng dẫn:
Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp
ABC∆
,
M, N, E là tiếp điểm (hình 3).
Xét phép nghịch đảo f(P ; r
2
):
Gọi A’, B’, C’ là giao điểm của AP với MN
BP với ME, PC với NE.
Khi đó: A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua
phép nghịch đảo f(P ; r
2
).
Ta lại có A’, B’, C’ là trung điểm MN, ME,
NE.

' ' 'A B C∆
nội tiếp đường tròn bán
kính
2
r
. Ta có
' ' 'A B C∆
là ảnh của
ABC∆
qua phép vị tự tâm P tỉ số
2
2 2
r
d R−
với d là khoảng cách từ P đến tâm đường tròn
ngoại tiếp
ABC∆
.
Hình 3
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 4
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO

2
2
2 2
r
r
R
d R

⇒ =
−
⇔
d
2
= R
2
– rR (đpcm).
DẠNG 2. Dựng hình
Bài 1.
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên đường thẳng AB lấy
điểm C nằm ngoài hai đường tròn. Hãy dựng đường tròn (O) qua C và đồng thời tiếp
xúc (O
1
) và (O
2
) .
Hướng dẫn:
Phân tích .
Gọi (O) là đường tròn cần dựng( hình 4).
Xét phép nghịch đảo f(C;k):
với k =
.CA CB
, khi đó f biến (O
1
) và

(O
2
) thành chính nó, biến (O) thành đường
thẳng (d) tiếp xúc với (O
1
) và (O
2
).
Cách dựng:
Kẻ đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung
của (O
1
) và (O
2
). Xét phép nghịch đảo
f(C; k) với k =
.CA CB
, khi đó f(d) = (O)
cần tìm.
Chứng minh:
f(C; k) với k =
.CA CB
biến (O
1
) và (O
2
)
thành chính nó, f biến d thành đường tròn
(O) qua C, do d tiếp xúc (O
1

) và (O
2
) nên
(O) tiếp xúc (O
1
) và (O
2
) .
Biện luận : Hình 4
(O
1
) và (O
2
) cắt nhau nên có 2 tiếp tuyến .
Vậy bài toán có hai nghiệm.
Bài 2.
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc ngoài nhau và đường thẳng d tiếp xúc với (O
1
)
và (O
2
). Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với (O
1
) và (O
2
) và tiếp xúc d.

Hướng dẫn:
Phân tích:
Gọi (O) là đường tròn cần dựng . A, B là tiếp điểm của d và (O
1
) và (O
2
) ( hình 5).
Xét phép nghịch đảo f(A; k) với k = AB
2
. Khi đó f(A; k) biến (O
2
) thành chính nó, biến
d thành d , biến (O
1
) thành d
1
// d và tiếp xúc với (O
2
), f(A; k) biến (O) thành (O’) tiếp
xúc với d, d
1
và (O
2
).
Cách dựng:
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 5
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Xét phép nghịch đảo f(A; k) với k = AB
2

, gọi d
1
là ảnh của (O
1
), dựng đường tròn (O’)
tiếp xúc d, d
1
và (O
2
) . Khi đó đường tròn (O) là ảnh của (O’) qua f(A; k) .
Chứng minh :
Phép nghịch đảo f(A; k) với k = AB
2
biến (O’)
thành (O). Do (O’) tiếp xúc với d, d
1
và (O
2
) nên
(O) tiếp xúc với (O
1
), (O
2
) và d.
Biện luận :
Nếu A, B phân biệt (hình 5) thì có 2 đường
thẳng d như thế, do đó có hai đường tròn(O)
cần tìm.
Nếu A và B trùng nhau thì bài toán có vô số
nghiệm.

Hình 5
Bài 3.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A,
M là một điểm thuộc đường tròn. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại
M và tiếp xúc với đường thẳng d .
Hướng dẫn:
Phân tích :
Giả sử dựng được đường tròn (I). Xét phép nghịch
đảo f(A; k) với k = AB
2
, khi đó ảnh của (O) là đường
thẳng d
1
tiếp xúc (O) tại B. f(M) = M’
'
1
M d⇒ ∈
.
Khi đó ảnh của (I) là đường tròn (I’) tiếp xúc d
1
tại M’
và tiếp xúc d (hình 6).
Cách dựng :
Dựng d
1
là ảnh của (O) qua phép nghịch đảo f(A; k)
với k = AB
2
, M’ là ảnh của M qua f(A; k) .
Dựng (I’) tiếp xúc d

1
tại M’ và tiếp xúc với d, khi đó (I)
là ảnh của (I’) qua f(A; k).
Chứng minh:
Do (I’) tiếp xúc với d
1
tại M’ nên (I) tiếp xúc (O) tại M.
Lại có (I’) tiếp xúc với d nên (I) tiếp xúc với d.
Biện luận:
Do có một đường tròn (I’) nên bài toán có một nghiệm.
Hình 6
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 6
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO

DẠNG 3: Tính các đại lượng hình học
Bài 1.
Cho đường tròn (I; r) nội tiếp trong tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q là tiếp điểm của (O;r)
với AB, BC, CD, DA. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R), gọi a là khoảng cách
giữa hai tâm của hai đường tròn. Tính tổng MP
2
+ NQ
2
.
Hướng dẫn:
Xét phép nghịch đảo f(I; r
2
) :
:
1

1
1
1
f A A
B B
C C
D D
→
→
→
→

A
1
, B
1
, C
1
, D
1
là các điểm xác định trên (hình 7)
Có A
1
, B
1
, C
1
, D
1
là trung điểm của MQ, MN, NP

PQ
⇒
tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1
là hình bình hành. Do
tứ giác ABCD nội tiếp
⇒
tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1

cũng nội tiếp
⇒
hình bình hành A
1
B
1
C
1

D
1
là
hình chữ nhật .
A
1
B
1
C
1
D
1
nội tiếp đường tròn bán kính Hình 7
R’ =
2 2
. .
2 2 2 2
R r R r
R IO R a
=
− −
2R’ = A
1
C
1
=
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2

A B B C MP NQ+ = +
2
.
2 2 2 2 2
16 ' 16.
2 2
R r
R MP NQ MP NQ
R a
⇔ = + ⇔ + =
−
.
Bài 2.
Cho đường tròn (I; R) và điểm O
∉
(I; R), khi đó phép nghịch đảo f(O; k) biến (I; R)
thành (I’; R’) . Tính R’.
Hướng dẫn:
Gọi A, B là giao điểm của OI với (I; R)(hình 8).
Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo f(O; k).
Khi đó
. 2 . .
' ' 2 ' '
2 2
. .
AB k R k R k
A B R R
OA OB OA OB
R IO
= ⇔ = ⇔ =

−

GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 7
Hình 8
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d tạo với (O; R) một góc
α
. Gọi (O’) là
ảnh của d qua phép nghịch đảo f(O; R
2
).
a) Tính bán kính của đường tròn (O’) theo R và
α
.
b) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O’) có tiếp tuyến chung. Tính độ dài tiếp
tuyến chung đó.( độ dài đoạn thẳng nối hai tiếp điểm).
Hướng dẫn:
a) (O’) là ảnh của d qua f(O; R
2
) (hình 9)
(xác định ảnh của 3 điểm trên d).
Do tính chất bảo toàn góc nên góc giũa (O) và (O’)
bằng
α
nên R’ =
2cos
R
α
.

do d cắt (O) mà ảnh của d là (O’) ảnh của (O) là (O)
nên (O’) cắt (O)
⇒
hai đường tròn có tiếp tuyến
chung.
Áp dụng tính chất tiếp tuyến chung của hai đường
tròn nên khoảng cách giữa hai tiếp điểm của tiếp Hình 9
tuyến chung : R.
1 os
os
c
c
α
α
−
.
DẠNG 4: Tập hợp điểm.
Bài 1.
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định của (O). Điểm M di động trên (O), qua
M dựng đường tròn (O
1
) tiếp xúc AB tại A. Đường tròn (O
2
) qua M và tiếp xúc AB tại
B. Gọi M’ là giao điểm thứ hai của (O
1
) và (O
2
). Tìm tập hợp M’ khi M thay đổi.
Hướng dẫn:

Có MM’ là trục đẳng phương của (O
1
) và (O
2
).
Gọi I là trung điểm của AB nên I
∈
MM’,
có
2 2
. 'IM IM IA IB= =
(hình 10) .
Xét phép nghịch đảo f(I; IA
2
) nên M’ là ảnh của
M qua f(I; IA
2
) .
Gọi (O’) là ảnh của (O) qua f(I; k) với k = IA
2
.
Do
( ) ' ( ')M O M O∈ ⇒ ∈
.
Vậy tập hợp M’ là đường tròn (O’) .
Cách xác định (O’)
Xét
OAH∆
vuông tại A (hình 10).
Đường tròn (O’) cũng là ảnh của (O) qua phép vị

tự tâm I tỉ số
1
.
k
IA IB
=−
nên O’ đối xứng O qua AB Hình 10
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 8
α

GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Bài 2 .
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, d là đường trung trực của AB. Đường tròn (O) thay
đổi qua A, B cắt d tại D và E, các đường thẳng CD và CE cắt đường tròn tại D’ và E’.
Tìm tập hợp điểm D’ và E’.
Hướng dẫn :
Xét phép nghịch đảo f(C; k) với k =
.CA CB
.
Khi đó f(D) = D’ và f(E) = E’ (hình 11).
Gọi (I) là ảnh của d qua f(C; k) .
Do D, E nằm trên d nên D’, E’ nằm trên (I).
Vậy tập hợp D’, E’ nằm trên (I).
Cách xác định (I) :
d AB⊥
tại H
⇒
H là trung điểm của AB
Vậy H là điểm cố định

⇒
f(H) =I .
Khi đó
. .CI CH CA CB=
.
Hình 11

Bài 3.
Cho hai đường tròn (O; R), (O’; R’) với (R > R’) và nằm ngoài nhau. Trên đường tròn
(O), lấy điểm M. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O’). Với A, B là tiếp
điểm . Gọi H là giao điểm của AB và MO’. Tìm tập hợp H khi M thay đổi trên (O).
Hướng dẫn:
Xét phép nghịch đảo f(O’; R’
2
), khi đó
f(M) = H.
Thật vậy có
2 2
' . ' ' 'O H O M O A R= =
.
Gọi (O
1
) là ảnh của (O) qua f(O’; R’
2
)
⇒
H
( )
1
O∈

(hình 12).
Vậy tập hợp điểm H là đường tròn (O
1
).
Hình 12
Bài 4:
Cho (O) và điểm S nằm ngoài (O). Hai cát tuyến lưu động của S lần lượt cẳt (O) tại A,
A’ và B, B’. Gọi M giao điểm thứ hai của (SAB’) và (SBA’). Tìm quỹ tích điểm M.

GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 9
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Hướng dẫn:
2 2
. ' . 'SA SA SB SB SO R k== = −
.
Xét phép nghịch đảo f(S; k) :
f :
'
'
( ) ( )
( ') '
( ' ) '
A A
B B
O O
SAB A B
SA B AB
→
→

→
→
→
Gọi M’ là giao điểm A’B và AB’ (hình 13).
Khi đó f(M) = M’ hay f(M’) = M . Hình 13
Vậy M là ảnh của M’ qua f(S; k).
Bài 5.
Cho đường tròn (O; R), điểm M cố định không trùng với O và không nằm trên (O).
Đường thẳng d qua M cắt (O) tại A, B. Gọi C là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A, B.
Tìm tập hợp điểm C khi d biến thiên.
Hướng dẫn:
Gọi H là giao điểm của OC và AB (hình 14).
Ta có
2
.OH OC R=
. Xét phép nghịch đảo f(O; R
2
):
f(H) = C. Vì H thuộc đường tròn đường kính OM
mà ảnh của (OHM) qua f(O; R
2
) là đường thẳng
d nên C nằm trên d.
Gọi H
1
và H
2
là giao điểm của (O) và ( OMH).
M’ là ảnh của M qua f(O; R
2

)
⇒
OM.OM’ = R
2
+) Nếu OM < R thì OM’ > R thì d và (O) không có
điểm chung, lúc đó tập hợp C là cả đường thẳng d.
+) Nếu OM > R thì OM’ < R thì d cắt (O) tại H
1
và H
2

Khi đó tập hợp C là đường thẳng d, bỏ đoạn H
1
H
2
.
Hình 14
C- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO.

1. Ảnh của một điểm.
Cho hệ trục Oxy M(x; y), O(0; 0), phép nghịch đảo f(O; k): f(M) = M’(x’ ;y’)
. ' . 'OM OM k OM OM k⇒ = ⇔ =
uuuur uuuuur


. ' . ' (1)x x y y k⇔ + =
Lại có O, M, M’ thẳng hàng nên
'
(2)
'

x x
y y
λ
λ





=
=
.
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 10
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Từ (1) và (2)
2 2
k
x y
λ
⇒ =
+

.
'
2 2
.
'
2 2
k x

x
x y
k y
y
x y







=
+
⇒
=
+
(k
≠
0,
2 2
x y+
≠
0).
2. Ảnh của đường thẳng qua phép nghịch đảo
Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và phép nghịch đảo f(O; k).
Với O(0; 0). Gọi d’ là ảnh của d qua phép nghịch đảo f(O; k). Viết phương trình d’.
Lấy M(x; y) bất kỳ thuộc d . Gọi f(M) = M’(x’; y’), do phép nghịch đảo có tính chất đối
hợp nên M = f(M’)
. '

2 2
' '
. '
2 2
' '
k x
x
x y
k y
y
x y







=
+
⇒
=
+
M
d∈

' '
0
2 2 2 2
' ' ' '

akx bky
c
x y x y
⇔ + + =
+ +
.
2 2
' ' ( ' ' ) 0akx bky c x y⇔ + + + =
(1).

Phương trình d’ :
2 2
( ) 0akx bky c x y+ + + =
.
TH1:
Nếu c = 0
O d⇔ ∈
thì phương trình d’:
0akx bky+ =
, khi đó d’ là đường thẳng trùng d.
TH2 :
Nếu c
≠
0
O d⇔ ∉
thì phương trình d’ :
2 2
0
ak bk
x y x y

c c
+ + + =
, khi đó d’ là đường tròn
tâm I(
; )
2 2
ak bk
c c
− −
, bán kính R =
2 2
2
k
a b
c
+
và O
∈
d’.
Kết luận:
+) Nếu d đi qua cực của phép nghịch đảo thì ảnh của d là chính nó.
+) Nếu d không đi qua cực của phép nghịch đảo thì ảnh của d là đường tròn qua cực
nghịch đảo.

3. Ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo.
Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
+2ax + 2by + c = 0 và phép nghịch đảo

f(O; k) với O(0; 0) và k
≠
0. Xác định ảnh của (C) qua phép nghịch đảo f(O; k).
Lấy M(x; y) bất kỳ thuộc (C), f(M) = M’(x’; y’), khi đó M = f(M’).
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 11
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
. '
2 2
' '
. '
2 2
' '
k x
x
x y
k y
y
x y







=
+
⇒
=

+
M(
. '
2 2
' '
k x
x y+
;
. '
2 2
' '
k y
x y+
)
∈
(C) .
2 2 2 2
' ' 2 ' 2 '
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' )
k x k y ak x bk y
c
x y x y x y x y
⇔ + + + + =
+ + + +
.
2 2 2
( ' ' ) 2 ' 2 ' 0c x y kax kby k⇔ + + + + =
.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép nghịch đảo f(O; k). M
( ) ' ( ')C M C∈ ⇔ ∈
.
Phương trình (C’) :
2 2 2
( ) 2 2 0c x y kax kby k+ + + + =
.
+) Nếu c = 0
( )O C⇔ ∈
thì phương trình (C’):
2
2 2 0kax kby k+ + =
, khi đó (C’) là
đường thẳng .
+) Nếu c
0 ( )O C≠ ⇔ ∉
thì phương trình (C’):
2
2 2
2 2
0
ka kb k
x y x y
c c c
+ + + + =
.
Khi đó (C’) là đường tròn tâm I(
;
ka kb
c c

− −
), bán kính R’ =
2 2
k
a b c
c
+ −
=
k
c
R.
Kết luận:
a) Ảnh của một đường tròn đi qua cực nghịch đảo là một đường thẳng.
b) Ảnh của một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo là một đường tròn không
qua cực nghịch đảo.
Chú ý:
+) Từ cách xác định ảnh của đường tròn ở trên ta thấy ảnh của đường tròn qua phép
nghịch đảo f(O; k) và phép vị tự V(O;
k
p
) là trùng nhau, trong đó p là phương tích của
O đến đường tròn.
+) Phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường tròn thì tâm có thể không biến thành
tâm.
D- BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1 :
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Giả sử M là một điểm
không thuộc (O). Các đường thẳng MA, MB, MC cắt lại đường tròn (O) lần lượt tại các
điểm A’, B’, C’ .
a) Chứng minh rằng với M ở trong (O) ta có:

' . ' . '
' ' '
. .
S
MA MB MC
A B C
S MA MB MC
ABC
∆
=
∆
.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho tam giác A’B’C’ vuông.
HD: Xét phép nghịch đảo f(M; k) với k =
. 'MA MA
.
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 12
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Bài 2:
Cho đường tròn (O), đường kính BC. Một điểm A nằm ngoài đường tròn. Gọi B’, C’ lần
lượt là giao điểm của AC, AB với (O). Gọi H là giao điểm của BB’ và CC’. Gọi M, N
lần lượt là tiếp điểm của hai tiếp tuyến qua A đến (O). Chứng minh rằng: H, M, N thẳng
hàng.
HD: Xét phép nghịch đảo f(A; k) với k =
'. '.AC AB AB AC k= =
= AM
2
= AN
2

.
Bài 3:
Cho A, B, C, D là bốn điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng và được sắp xếp
theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại hai điểm X, Y.
Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Cho P là một điểm trên đường thẳng XY khác Z.
Đường thẳng CP cắt đường tròn (AC) tại M và đường thẳng BP cắt đường tròn (BD) tại
N. Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy.
HD: Xét phép nghịch đảo f(P; k) với k =
.PC PM
.
Bài 4:
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Điểm I nằm trên đoạn AB (khác A, B). Một đường
thẳng d thay đổi qua I cắt (O) tại P, Q ( d không trùng với AB). Đường thẳng AP, AQ
cắt tiếp tuyến m tại M, N, trong đó m là tiếp tuyến tại B của (O). Chứng minh (AMN)
đi qua điểm cố định thứ hai, từ đó suy ra tâm của đường tròn (AMN) luôn nằm trên
đường thẳng cố định.
HD: Xét phép nghịch đảo f(A; AB
2
).
Bài 5:
Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. Chứng minh rằng HK song song với tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
HD: Xét phép nghịch đảo f(A; k) với k =
.AK AB
.
Bài 6 :
Cho hai điểm A, B trên đường thẳng d. Hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt tiếp xúc d tại
A, B và trực giao nhau tại M, N. Tìm quỹ tích M và N.
HD: Xét phép nghịch đảo f(A; AB
2

).
Bài 7:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó và ba nửa đường tròn đường kính AB,
AC, BC nằm về một phía của đường thẳng AB. Dựng đường tròn tiếp xúc với cả ba nửa
đường tròn trên.
HD: Xét phép nghịch đảo f(A; k) với k =
.AB AC
.
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 13
GV: Lại Văn Long CHUYÊN ĐỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Bài 8:
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ở ngoài đường tròn. Một tiếp tuyến thay đổi vẽ từ A
của (O) cắt hai tiếp tuyến của (O) tại B, C. Chứng minh rằng đường tròn (ABC) tiếp xúc
với một đường tròn cố định.
HD: Xét phép nghịch đảo f(O; R
2
), trong đó R là bán kính đường tròn (O).
Bài 9:
Cho đường tròn (O, R) và hai cát tuyến thay đổi PAB, PCD qua điểm P cố định, cách O
một khoảng 2R. Các đường tròn (PAD) và (PBC) cắt nhau tại điểm thứ hai là M, các
đường tròn (PAC) và (PBD) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a) Tìm quỹ tích M, N.
b) Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định.
HD: Xét phép nghịch đảo f(P; k) với k là phương tích của P với (O; R).
Bài 10:
Cho đường tròn (O ), đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao
cho tam giác ABC không cân tại C . Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ
từ C. Hạ HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng. Các đường thẳng EF và AB cắt
nhau tại K. Gọi D là giao điểm của (O) và đường tròn đường kính CH, C ≠ D. Chứng

minh rằng K, D, C thẳng hàng.
HD: Xét phép nghịch đảo f(C; CH
2
).
III: KẾT LUẬN.
Phần trình bày trên đây đã giúp chúng ta định hướng phương pháp giải toán bằng phép
nghịch đảo. Tuy nhiên khi gặp những bài toán này học sinh cần phân tích đặc điểm của
bài toán ? Xác định cực nghịch đảo và phương tích ? Học sinh cần củng cố cho mình
những kiến thức về phép nghịch đảo, đặc biệt là các tính chất của phép nghịch đảo mà từ
đó vận dụng các bài toán và điều kiện một cách linh hoạt, sáng tạo, không máy móc mới
mang lại thành công.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song phần trình bày của tôi cũng còn nhiều vấn đề mà đề
tài còn thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô.
GV: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn
Trang 14