Báo cáo "MỘT CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KHI CÓ HÀM THUỘC CỦA CÁC THAM SỐ MỜ " pot

KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
Số 12/5-2012

45

MT CCH GII PHNG TRèNH C BN
CA PHNG PHP PHN T HU HN KHI Cể HM THUC
CA CC THAM S M

Lờ Xuõn Hunh
1
; Lờ Cụng Duy
2


Túm tt: Bi bỏo trỡnh by mt thut toỏn c xut gii phng trỡnh c
bn ca phng phỏp phn t hu hn - mụ hỡnh chuyn v cú tham s m. Thut
toỏn c xõy dng da trờn nguyờn lý m rng v phng phỏp ti u mc
anpha. Mt vớ d s ỏp dng tớnh khung phng cú cỏc tham s m dng tam giỏc
l mụun n hi vt liu, kớch thc hỡnh hc v ti tr
ng tnh. Kt qu tớnh
chuyn v nỳt kt cu l cỏc s m c so sỏnh vi kt qu tớnh theo phng
phỏp PTHH ti giỏ tr trung tõm.
T khúa: hm thuc, tham s m.
Summary: This article presents an algorithm for solving basic equation of finite
element method-displacements model, with taking account of some fuzzy input
parameters. The algorithm is established by the aid of extension principle and
anpha-level optimization method. A numerical example is applied for a plane frame
structure in that elastic modulus, geometric dimensions and statics loads are

triangle fuzzy numbers. Fuzzy nodal displacements output results have been
compared with results of the solution by FEM that computed at center values of
input fuzzy parameters.
Keywords: membership functions, fuzzy parameter.

Nhn ngy 12/8/2011, chnh sa 05/01/20121; chp nhn ng 30/05/2012
1. t vn
Phng phỏp phn t hu hn m (PTHHM) trong phõn tớch kt cu l kt qu m rng
phng phỏp phn t hu hn truyn thng (PTHH) khi xột n tớnh khụng rừ rng, khụng chc
chn (uncertainty) di dng s m ca cỏc tham s u vo v tham s mụ hỡnh khi phõn tớch
kt cu. Tựy thuc bn cht ca tham s v dng mụ hỡnh, tớnh khụng chc chn c mụ t
bi cỏc s m
cú hm thuc khỏc nhau. Khi ú trong phng trỡnh c bn ca phng phỏp
PTHH [k]{q}={f}, ma trn cng [k] v vect ti trng {f} s cha cỏc tham s u vo m v
do ú vect chuyn v tỡm c {q} l cỏc kt qu m.
Vic nghiờn cu v tớnh toỏn kt cu cú xột n cỏc yu t khụng rừ rng, khụng chc
chn th hin di dng s m l mt vn ang c nhiu chuyờn gia, k s
kt cu trong
v ngoi nc quan tõm. Ni dung chớnh trong phng phỏp PTHHM l khi bit cỏc tham s
m qua hm thuc (membership function) ca chỳng, ta cn tỡm nghim phng trỡnh c bn
ca phng phỏp PTHHM. Cú mt s cụng trỡnh toỏn hc gii thiu cỏc phng phỏp gii
phng trỡnh i s tuyn tớnh hoc phi tuyn m [1, 2] vi cỏc thut toỏn di truyn (GA) v mụ
phng Monte-Carlo m. Cỏc cụng c toỏn ny khỏ phc tp khi ỏp dng tớnh toỏn kt cu, khi

1
GS,TS, Khoa Xõy dng Dõn dng v Cụng nghip, Trng i hc Xõy dng.
2
ThS, NCS, Trng i hc Duy Tõn. E-mail:
KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Số 12/5-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
46
lng tớnh toỏn rt ln. Trong [3], gii thiu s thut toỏn phõn tớch kt cu m theo mụ hỡnh
ngu nhiờn m. Tỏc gi xut s thut toỏn kt hp phng phỏp ti u mc anpha, vi 28
bc, 5 vũng lp rt cụng phu nhng cng khỏ phc tp. Vớ d minh ha gii bi toỏn dao ng
riờng h 3 bc t do, mụun n hi v h s cn l cỏc i lng m
tam giỏc cho trc. Trong
[4] tỏc gi gii thiu chung v phng trỡnh c bn ca phng phỏp phn t hu hn m v
trỡnh by vớ d tớnh tn s dao ng riờng ca dm phng cú 27 bc t do vi cỏc i lng m
cho trc l c trng tit din v khi lng ca kt cu. Trong [4] cỏc tỏc gi ch n gin nờu
ng li s dng tp ct -
kt hp vi phộp toỏn phõn tớch khong ca lý thuyt tp m
gii bi toỏn, tỏc gi [4] khụng trỡnh by thut gii cho bi toỏn cú kt qu tớnh toỏn.
Trong bi bỏo ny, xut phỏt t nguyờn lý m rng (Extension Principle) v phng phỏp
ti u mc anpha (-level optimization), tỏc gi xut mt thut toỏn gii phng trỡnh c
bn ca phng phỏp PTHH mụ hỡnh chuyn v, trong ú cú mt s tham s u vo m nh
kớch thc hỡnh h
c, mụun n hi v ti trng ngoi. Thut toỏn c trỡnh by vi kt cu
h thanh, phn t mu sỏu bc t do.
2. Phng trỡnh c bn ca phng phỏp PTHH m
Theo nguyờn lý cụng kh d, thit lp c phng trỡnh c bn ca phng phỏp
PTHH m nh sau
}
~
{}
~
].{
~
[ fqk = (1)

trong ú
]
~
[k l ma trn cng tng th ca kt cu, l mt ma trn vuụng cú kớch thc tựy
thuc vo s bc t do ca tt c cỏc nỳt. Cỏc phn t ca ma trn
]
~
[k l cỏc s m, cú dng
tng quỏt i vi h cú n bc t do nh sau:
1
21
11
~

~
~
]
~
[
n
k
k
k
k =

2
22
12
~

~
~
n
k
k
k


~


~

~
3
23
13
n
k
k
k
nn
n
n
k
k
k
~

~

~
2
1

minh ha cho vic trỡnh by thut toỏn, khụng lm mt tớnh tng quỏt, ta thc hin
tớnh toỏn vi kt cu khung phng. Gi s din tớch mt ct ngang, chiu di phn t, mụ men
quỏn tớnh tit din v mụun n hi l cỏc tham s m. Chuyn t ma trn cng [k] ca
phng phỏp PTHH, khi khụng xột n tớnh m ca liờn kt, ta cú ma trn cng m ca
thanh thng cú sỏu bc t do nh sau:
[
k
~
] =











0
0
~
/
~
~

0
0
~
/
~
~
lAE
lAE

2
3
2
3
~
/
~~
6
~
/
~~
12
0
~
/
~~
6
~
/
~~
12

0
lIE
lIE
lIE
lIE


lIE
lIE
lIE
lIE
~
/
~~
2
~
/
~~
6
0
~
/
~~
4
~
/
~~
6
0
2

2


0
0
~
/
~
~
0
0
~
/
~
~
lAE
lAE

2
3
2
3
~
/
~~
6
~
/
~~
12

0
~
/
~~
6
~
/
~~
12
0
lIE
lIE
lIE
lIE

lIE
lIE
lIE
lIE
~
/
~~
4
~
/
~~
6
0
~
/
~~
2
~
/
~~
6
0
2
2

trong ú:
lIAE
~
,
~

,
~
,
~
ln lt l cỏc i lng m: mụun n hi, din tớch mt ct ngang, mụ
men quỏn tớnh v chiu di ca phn t thanh;
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

47
- }
~
{ f là véc tơ lực nút với mỗi phần tử có dạng số mờ, có kích thước (nx1);
-
}
~
{q là vectơ chuyển vị nút của kết cấu, với mỗi thành phần chuyển vị nút là các ẩn số
được xác định bằng cách giải phương trình (1).
Ma trận độ cứng và vectơ lực nút có các phần tử là các số mờ nên các thành phần của
véc tơ chuyển vị nút
}
~
{q cũng là các số mờ, có kích thước tương ứng (nx1), dạng
1
~
[}
~
{ qq =

2
~
q
n
q
~
]
T

3. Một cách giải phương trình cơ bản của phương pháp PTHH có tham số mờ
Cách giải này dựa trên công cụ toán là phương pháp tối ưu mức anpha, đươc giới thiệu
trong [3]. Để tiện theo dõi, xin trình bày nội dung phương pháp này, có ví dụ minh họa đơn giản.
3.1 Phương pháp tối ưu mức -
α
[3]

Phương pháp được thực hiện bằng cách rời rạc hóa tất cả các biến mờ đầu vào với
cùng một mức độ thuộc α
k
, k = 1, ,n (0 ≤ α
k
≤ 1). Sơ đồ minh họa thuật toán của phương pháp
với hai biến đầu vào mờ, một biến đầu ra mờ như trên Hình 1.
Hình 1. Sơ đồ thuật toán tối ưu mức -α
0
1
x
1
0
1
x
2
μ(x
1
)
μ(x
2
)
k

α
k
α
x
1,
α
kl
x
1,
α
k
r

x
2,
α
kl
x
2,
α
k
r

A
1,
α
k

A
2,

α
k

Biến mờ đầu vào
1
~
x
Biến mờ đầu vào
2
~
x
x
1
∈A
1
,
α
k

Phép ánh xạ
Tối ưu mức-α
y
j
∈
B
j,
α
k
x
2

∈
A
2
,
α
k

μ(y
J
)
k
α
y
j,
α
kl
y
j,
α
k
r
B
j
,
α
k
0
1
y
J

Biến đầu ra mờ
j
y
~
∈
B
j
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

Sè 12/5-2012
T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
48
Từ sơ đồ thuật toán ta thấy với mức -α
k
, từ tập x
1
∈A
1,
α
k
và tập x
2
∈A
2,
α
k
có thể tính được
các giá trị của y
j
∈B

j
,α
k
với j=(1,…,m), trong đó y
j,
α
kl
là giá trị nhỏ nhất và y
j,
α
kr
là giá trị lớn nhất
của tập mức -α, B
j
,α
k
. Tuy nhiên việc xác định hai giá trị nhỏ nhất y
j,
α
kl
và lớn nhất y
j,
α
kr
không
thực hiện bằng phép toán min-max mà được xác định thông qua hai bài toán tối ưu:
y
j
= f
j

(x
1
,…,x
n
) → min, với điều kiện (x
1
,…,x
n
)∈Xα
k
(2)
y
j
= f
j
(x
1
,…,x
n
) → max, với điều kiện (x
1
,…,x
n
)∈Xα
k
(3)
Giải hai bài toán qui hoạch (2) và (3) ta được hai giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biến
đầu ra y
j
có mức độ thuộc tương ứng là α

k
với α(y
j
) = α
k
, đồng thời cũng xác định được giá trị
điểm tối ưu của các biến đầu vào x
iopt,
α
k
tương ứng với các giá trị min-max của kết quả đầu ra y
j
.
Việc tính toán xác định dạng hàm thuộc của số mờ bằng thuật toán tối ưu mức -α đòi hỏi
phải giải 2m bài toán qui hoạch với m là số lượng điểm chia mức độ thuộc α
k
trong khoảng
[0,1]. Thông thường chia trục tung của hàm thuộc của các số mờ đầu vào thành mười khoảng
bằng nhau với số gia của mức α
k
= 0.1 sẽ cho hàm thuộc kết quả đầu ra có hình dạng khá gần
với hình dạng thực của nó.
Ví dụ, xét hàm số mờ
2
221
2
1
~
~
.

~
.2
~
.2,1
~
xxxxy +−= , trong đó
21
~
,
~
xx là các số mờ tam giác
có hàm thuộc như trên Hình 2a,b. Để xác định hàm thuộc đầu ra, ta rời rạc hóa các biến mờ với
11 mức α dùng thuật toán tối ưu mức-α bằng phần mềm Maple 13, [9] kết quả cho trong Bảng 1.






Bảng 1. Kết quả tính toán theo thuật toán tối ưu mức-
α

α
k
x
1,
α
kl
x
1,

α
kr
x
2,
α
kl
x
2,
α
kr
x
1opt,
α
kl
x
2opt,
α
kl
y
min,
α
kl
x
1opt,
α
kr
x
2opt,
α
kr

y
max,
α
kr

0 1 6 2 7 1.667 2.000 0.667 1 7 36.200
0.1 1.2 5.7 2.3 6.8 1.192 2.299 0.882 1.199 6.799 31.648
0.2 1.4 5.4 2.6 6.6 5.400 6.599 1.127 5.400 2.600 27.432
0.3 1.6 5.1 2.9 6.4 2.417 2.899 1.402 1.600 6.400 23.552
0.4 1.8 4.8 3.2 6.2 2.667 3.200 1.707 1.800 6.200 20.008
0.5 2 4.5 3.5 6 2.917 3.500 2.042 2.000 6.000 16.800
0.6 2.2 4.2 3.8 5.8 4.200 5.799 2.407 2.200 3.799 13.928
0.7 2.4 3.9 4.1 5.6 3.899 5.599 2.802 2.399 4.099 11.392
0.8 2.6 3.6 4.4 5.4 3.600 5.400 3.232 2.600 4.400 9.192
0.9 2.8 3.3 4.7 5.2 3.299 5.200 4.138 2.799 4.700 7.328
1.0 3 3 5 5 3 5 5.800 3 5 5.800
0
1
3
1
6
0
1
5
2
7
Hình 2.a
Hình 2.b
x
1

x
2

μ(
x
μ(
x
1
~
x
2
~
x
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

49
Từ Bảng 1, ta có giá trị cận dưới, cận trên và giá trị trung tâm của y
~
lần lượt là: y
min
=
0.667; y
max
= 36.200; y
c
= 5.800. Từ bảng số liệu với các giá trị của α
k

có các giá trị y
min
và y
max

tương ứng, ta có được đồ thị hàm thuộc của số mờ
y
~
dạng phi tuyến như trên Hình 3.












3.2 Một cách giải phương trình cơ bản của phương pháp PTHH mờ
Các tham số trong phương trình (1) có dạng số mờ nên việc giải phương trình (1) để xác
định giá trị của các thành phần chuyển vị nút được tiến hành kết hợp với các phép toán của số
học mờ. Trong bài này để giải phương trình (1) tác giả vận dụng phương pháp tối ưu mứ
c -α
xác định các thành phần chuyển vị mờ của nút. Từ phương trình cân bằng của hệ kết cấu theo
phương pháp PTHH mờ (1) sau khi xử lý điều kiện biên (khử suy biến) ta có thể viết lại phương
trình như sau:
}

~
{]
~
[}
~
{
1
fkq
−
= (4)
Khai triển phương trình (4) ta có
1
21
11
1
2
1
~

~
~
}
~
.{]
~
[
~

~
~

}
~
{
n
n
k
k
k
fk
q
q
q
q ==
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−

2
22
12
~

~
~
n
k
k
k


~


~

~
3
23
13
n
k
k
k
1
2
1
~

~
~
−
nn
n
n
k
k
k
x
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
n
f
f
f
~

~
~
2
1
(5)
Đặt ]
~
[
δ
=
1
]
~
[
−
k là ma trận nghịch đảo của ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu. Việc
nghịch đảo ma trận [
k
~
] chứa các phần tử dạng symbolyc, được tính toán trực tiếp bằng phần
mềm Maple.13 với điều kiện định thức của [
k
~
] là khác không. Phương trình (3) được viết lại
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪

⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
n
q
q
q
q
~

~
~
}
~
{
2
1
=
=}
~
].{
~
[ f

δ
1
21
11
~

~
~
n
δ
δ
δ

2
22
12
~

~
~
n
δ
δ
δ


~


~

~
3
23
13
n
δ
δ
δ
nn
n
n
δ
δ
δ
~

~
~
2
1
x
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
n
f
f
f
~

~
~
2
1
(6)
trong đó phần tử
)
~
det(.)1.(
)
~
det(
1~
)(
ji
ji
ij
M

k
+
−=
δ
với det( k
~
) là định thức của ma trận độ cứng
y
~

36.2
31.648
27.432
23.552
20.008
16.8
13.928
11.392
9.192
7.328
5.8
0.667
0.882
1.127
1.402
1.707
0

2.407
2.802

3.232
4.138
5.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
5
10 15 20 25 30 35 40
Hình 3. Hàm thuộc của số mờ y
~

μ(y)

KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Số 12/5-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
50
tng th [ k
~
]; det(
ij
M
~
) l nh thc ca ma trn [

ji
M
~
]; [
ji
M
~
] l ma trn con suy ra t ma trn
[
k
~
] bng cỏch b i hng j, ct i.
Phng trỡnh (6) chuyn v dng h phng trỡnh i s tuyn tớnh








+++=
+++=
+++=
nnnnn
nn
nn
fffq
fffq
fffq

~
~

~
~
~
~
~
~
~

~
~
~
~
~
~
~

~
~
~
~
~
22111
22221212
12121111

M
(7)
Xột phng trỡnh th i ca h phng trỡnh (7)
niniii
fffq
~
~

~
~
~
~
~
2211

+++= (8)
Trong phng trỡnh (8), v trỏi l thnh phn chuyn v m th i cn tỡm, c xỏc nh
t cỏc tham s m
ij

~
v
i
f
~
(i, j = 1,2, ,n). Ta xem phng trỡnh (8) nh l mt hm s m,
cn xỏc nh bin u ra l
i
q
~

theo cỏc bin u vo m ó bit
ij

~
v
i
f
~
(i,j = 1,2,,n). Cỏc
phng trỡnh t (4) n (8) c tớnh toỏn th hin di dng Symbolic [9], sau ú dựng thut
toỏn ti u mc- ri rc húa giỏ tr ca cỏc bin v phi v tớnh toỏn xỏc nh bin u ra
i
q
~
. Thc hin i vi tt c cỏc phng trỡnh ca h (7), s xỏc nh c y cỏc thnh
phn chuyn v m ca kt cu. Sau khi cú chuyn v m ca cỏc nỳt, v nguyờn tc ta xỏc
nh c cỏc thnh phn ni lc m v ng sut m cho kt cu. Ni dung chi tit ny liờn
quan n phng phỏp ỏnh giỏ an ton v bn ca kt cu, do khuụn kh bi bỏo, khụng
trỡnh by õy.
3.3 S thut toỏn

Tham s vt liu,kớch thc hỡnh hc dng s m
Tham s
t
i t
r

n
g
d

n
g
s
m


Tham s nỳt &
p
hn
t

k
t cu
Lp cỏc ma trn cng m phn t k
e
, v ti
trng m ti nỳt ca phn t f
e
trong h ta
a phng v chuyn v h ta tng th.

S LIU U VO
Ghộp cỏc ma trn cng m v vộc t ti
trng m ti nỳt trong h ta tng th.
CHUYN PT V DNG:
}
~
{]
~

[}
~
{
1
fkq

=

GII PT BNG THUT TON TI
U MC-
KT QU CC THNH PHN
CHUYN V M CA NT.
NI LC V NG SUT
M TRONG
KT CU
Gỏn cỏc iu ki

n biờn cho h


k
t cu.
PHNG TRèNH TNH KT CU THEO
PPPTHH M:
}
~
{}
~
]{
~

[ fqk =

NH GI AN TON V CNG
K.C

NH GI AN TON
V BN KT CU
Hỡnh 4. S thut toỏn phõn tớch, ỏnh giỏ kt cu m
KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG

T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng
Sè 12/5-2012

51
Trên Hình 4 trình bày sơ đồ thuật toán chung gồm hai nội dung: phân tích và đánh giá kết
cấu có tham số mờ.
4. Ứng dụng tính chuyển vị mờ kết cấu khung phẳng
Trong phần ứng dụng, bài báo giới hạn nội dung trình bày một thuật giải phương trình cơ
bản của PTHH có tham số mờ, nên chỉ dừng lại ở bước xác định chuyển vị của kết cấu, với các
tham số đầu vào mờ
cho trước.
a. Số liệu đầu vào
Một kết cấu khung phẳng chịu tải trọng như trên Hình 5. Các thanh có cùng kích thước
tiết diện bxh, mô đun đàn hồi E. Yêu cầu xác định các thành phần chuyển vị của nút khung khi
các đại lượng b, h, E và tải trọng P, q là các số mờ tam giác với các giá trị cận dưới, trung tâm
và cận trên được cho như sau:
l
~
= (l
L

, l
C
, l
U
) = (27, 30, 33). cm;
E
~
= (E
L
, E
C
, E
U
) =(2.34, 2.6, 2.86)10
3
.kN/cm
2
;
b
~
= (b
L
, b
C
, b
U
) = (18 , 20 , 22) cm

;
h

~
= 2b
~
cm

; q
~
= (q
1
L
, q
1
C
, q
1
U
) = (0.135, 0.15, 0.165)kN/cm;
P
~
= 2/)
~
.
~
( lq .kN;
b. Tính toán
+ Đánh số phần tử, số nút và hệ tọa độ như trên Hình 6.
+ Để đơn giản, không đánh số thành phần vectơ chuyển vị mà ghi kết quả xử lý điều kiện
biên tại hai ngàm.

Hình 6. Sơ đồ phần tử kết cấu khung
Thực hiện tính toán theo sơ đồ thuậ
t toán giải phương trình PTHHM, kết quả cho trên
Bảng 2 như sau:
8
~
q
1
2
3
1
~
q
2
~
q
3
~
q
4
5
6
4
~
q
5
~

q
6
~
q
7
~
q
9
~
q
10
~
q
11
~
q
12
~
q
0
0
0
0
0
0
Hình 5. Sơ đồ tính kết cấu
P
~

P

~

q
~

1.5
l
~

l
~

l
~

q
~

KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Số 12/5-2012
Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
52
Bng 2. Kt qu tớnh toỏn chuyn v nỳt h kt cu khung
Chuyn v m q
L
(Cn di)
q
C
(Trung tõm)

v kt qu tớnh theo PTHH(.)
q
U
(Cn trờn)
1
~
q
0.1237 0.3361 (0.3460) 0.9145
2
~
q
-0.0109 -0.0060 (-0.0060) -0.0033
3
~
q
0.0005 0.0012 (0.0015) 0.0030
4
~
q
0.1233 0.3354 (0.3450) 0.9132
5
~
q
-0.0246 -0.0135 (-0.0135) -0.0074
6
~
q
0.0003 0.0008 (0.0008) 0.0020
7
~

q
0.2478 0.6709 (0.6890) 1.8208
8
~
q
-0.0174 -0.0095 (-0.0096) -0.0052
9
~
q
0.0004 0.0010 (0.00106) 0.0025
10
~
q
0.2451 0.6659 (0.6840) 1.8118
11
~
q
-0.0359 -0.0197 (-0.0197) -0.0108
12
~
q
0.00006 0.00014 (0.00014) 0.00034
kim tra tớnh ỳng n ca thut toỏn, ta s dng b s liu u vo tng ng vi
giỏ tr trung tõm ca cỏc s m v tớnh li bng phn mm SAP-2000. Trờn Bng 2, cỏc s liu
ghi trong ngoc (.) ti ct th ba l kt qu tớnh bng phn mm SAP-2000 tng ng vi cỏc
tham s t l giỏ tr trung tõm ca tt c cỏc tham s u vo m ó cho. Hai k
t qu tớnh ny
xp x nhau, sai s khụng ỏng k.
5. Kt lun
Thut toỏn PTHH trong trng hp cỏc tham s bờn trong kt cu v ti trng l cỏc i

lng m dn n vic gii phng trỡnh hoc hm s cha cỏc h s m v bin m. õy l
vn phc tp cn cụng c toỏn h tr, liờn quan n k thut tớnh toỏn m. Thut toỏn
xu
t trờn c s vn dng phng phỏp ti u mc anpha vi s tr giỳp ca phn mm Maple
13 gii phng trỡnh c bn ca phng phỏp phn t hu hn vi mt s tham s m
thuc v kt cu cng nh ti trng ngoi l mt cỏch lm hiu qu.
Thut toỏn c ỏp dng tớnh chuyn v m ca k
t cu khung phng vi cỏc tham s
m l cỏc ti trng P, q, chiu di L, cỏc c trng hỡnh hc mt ct ngang A, I c tớnh t b,
h v mụ un n hi vt liu E. Tuy nhiờn, cng cú th m rng, thờm s lng tham s m
ca h kt cu nu cn. Vớ d trng hp h cú liờn kt m, ti trng m ph thuc thi gian,
m trong phm vi bi ny khụng xem xột.
Cỏch ki
m tra thut toỏn xut bng thut toỏn PTHH vi u vo l tp giỏ tri trung
tõm ca cỏc s m, so sỏnh vi kt qu tớnh theo phng phỏp PTHHM, tng ng vi cỏc
giỏ tr trung tõm ca chuyn v m tỡm c. Trng hp s m hỡnh thang, phộp kim tra phi
thc hin trờn hai giỏ tr: biờn trỏi v biờn phi ca tp ct ng vi mc anpha bng n v.
Cỏch lm ny da trờn quan nim xem giỏ tr trung tõm nh s
t v s t l mt trng hp
riờng ca s m tng ng.
KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG

Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng
Số 12/5-2012

53
Kt qu tớnh bng PTHHM theo thut toỏn xut cho giỏ tr u ra chuyn v nỳt ca kt
cu l nhng s m cú biờn rng hn khụng ỏng k so vi biờn ca tham s m u
vo. u im ny cú c l do s dng thut toỏn ti u mc anpha. Khi cho trc chuyn vi
cho phộp, ỏnh giỏ tin cy m v cng ca k

t cu, ta cú th s dng phng phỏp
t s din tớch nờu trong [5,6]. c im ca thut toỏn l nghim bi toỏn, phi s dng phn
mm Simbolic, a v dng biu thc nh cỏc hm cú h s v bin s l cỏc i lng m.
iu ny khụng d i vi bi toỏn cú s bc t do cao v khi xột n cn. ú cng l hn ch
ca cỏch gii ny
i vi bi toỏn ng lc hc kt cu.

Ti liu tham kho
1. Amit Kumar, Abhinav Bansal (2010), A new Approach for Solving Fully Fuzzy Linear Systems,
School of Mathematics and Computer Applications, Thapar University, Patiala-147004 India.
2. M. Hadi Mashinchi, M. Rena Mashinchi and all, (2007), A Genetic Algorithm Approach for
Solving Fuzzy Linear and Quadratic Equations, World Academy of Science, Engineering and
Technology, 28.
3. Bend Moller, Wolfgang Graf, Michael Beer (2003), Safety Assessment of Structure in View of
Fuzzy Randomness, Institute of Structural Analysis, Dresden University of Technology, Dresden
Germany.
4. D.Vandepitte, W.Teichert (2004), Application of The Fuzzy Finite Element Method in Structural
Dynamics, Department of Mechanical Engineering, Division PMA, K.U.Leuven, Belgium.
5. Lờ Xuõn Hunh, (2006), ng dng lý thuyt tp m ỏnh giỏ mc an ton ca kt cu,
Tuyn tp cụng trỡnh Hi ngh khoa hc ton quc v C hc vt rn bin dng ln th VIII.
6. Lờ Xuõn Hu
nh, Lờ Cụng Duy, (2006), Mt phng phỏp ỏnh giỏ tin cy m ca kt
cu khung, Tp chớ Xõy dng.
7. Trn ch Thnh, Ngụ Nh Khoa (2007), Phng phỏp Phn t hu hn, Nxb Khoa hc v K
thut, H Ni.
8. Vừ Nh Cu (2005), Tớnh kt cu theo phng phỏp Phn t hu hn, Nxb Xõy dng.
9. Phan c Chõu (2005), S dng Maple trong toỏn s cp v toỏn cao cp, Nxb Khoa hc
v K thut, H N
i.
10. Trn c Trung, Nguyn Vit Hựng (2004), Phng phỏp Phn t hu hn - Cỏc vớ d trờn

mỏy tớnh, Nxb Khoa hc v K thut, H Ni.
11. Nguyn Hoi Sn, V Nh Phan Thin, Thanh Vit (2001), Phng phỏp Phn t hu
hn vi MATLAB, Nxb Quc gia TP H Chớ Minh.
12. Nguyn Nh Phong (2008), Tớnh toỏn mm v ng dng, Nxb Khoa hc v K thut.