De cuong on tap giua ki 2 mon toan lop 7 nam hoc 2019 2020

ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA KÌ II LỚP 7

A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Điểm kiểm tra Toán của các bạn trong 1 tổ được ghi lại như sau:
Hà

Hiền

Bình

Hưng

Phú

Kiên

Hoa

Tiến

Liên

Minh

8

7

7

10

3

7

5

8

6

7

Tần số điểm 7 là:
A. 7

B. 4

C. Hiền, Bình, Kiên, Minh

D. Đáp án

khác.
Số trung bình cộng điểm kiểm tra của tổ là:
A. 7

B.

7
10

C. 6, 9

D. 6, 8

Đáp án: B, D.
Câu 2. Số học sinh nữ ở mỗi lớp của trường THCS được ghi lại trong bảng
sau:
13

11

15

12

13

15

12

15

14

12

15

17

13

13

14

13

11

15

16

16

16

15

16

14

15

15

14

14

15

17

Số lớp của trường THCS này là:
A. 10

B. 28

C. 29

D. 30

Số trung bình cộng là: (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)
A. 14, 2

B. 14, 5

C. 14, 6

D. Đáp án

B. 14

C. 15

D. 16

khác.
Mốt là:
A. 13

Đáp án: D, A, C
Câu 3. Thời gian làm một bài tốn (tính bằng phút) của các học sinh được
ghi lại như sau:


Thời gian (x)

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

Tần số (n)

2

4

5

6

8

9

6

3

1

2

Mốt của dấu hiệu là:
A. 10

B. 9

C. 15

D. 17

Đáp án: A
Câu 4. Đơn thức nào sau đây đồng dạng với đơn thức 3x 2 y 2
A. 3xy 2

B. 2x2y 3

C.  xy 

2

D. 3x2y

Đáp án: C
4
7
Câu 5. Thu gọn đơn thức  t 2zx.5tz2 . z (t, x, z là biến), ta được đơn thức:
7
2

A. 10t 4z3x

B.  10t 3z 4 x

C. 10t 3z 4z

D. 10t 3z 4 x 2

C. 6

D. 8

Đáp án: B
Câu 6. Bậc của đơn thức 10x2y 3 là:
A. 10

B. 5

Đáp án: B
Câu 7. Hiệu của hai đơn thức 5x2y và 4x2y là:
A. 9x2y

B. 9x2y

D. x2y

C. x2y

Đáp án: B





Câu 8. Cộng trừ các đơn thức 2x 6y 12  4x 6 y 12  3x6 y 12   x 6 y 12 thu được
kết quả là:
A. 0

B. x6y 12

C. 2x6y 12

D. 2x6 y 12

Đáp án: A

Câu 9. Giá trị của biểu thức A  3x 5  3x 4  5x 3  x 2  5x  2 tại x  1 là:
A. 0
khác

Đáp án: D

B. – 10

C. – 16

D. Đáp án


3
Câu 10. Giá trị của biểu thức Q  2xy 3  0,25xy 3  y 3x tại x  2, y  1 là:
4

A. 5

B. 5, 5

C. – 5

D. – 5, 5

Đáp án: C
Câu 11. Một thửa ruộng có chiều rộng bằng

4
chiều dài. Gọi chiều dài là x.

7

Biểu thức nào sau đây cho biết chu vi của thửa ruộng?
4
A. x  x
7

4
B. 2x  x
7


4 
C. 2  x  x 
7 


D.


4 
4 x  x 
7 


Đáp án: C
  50o và B
  70o. Câu nào sau đây đúng:
Câu 12. Cho tam giác ABC có A
A. AC < BC

B. AB > BC

C. BC > AB

D. AC < AB

Đáp án: B
  50o. Tính
Câu 13. Cho ABC cân tại A, vẽ BH  AC  H  AC  , biết A

HBC?
A. 15o

B. 20o

C. 25o

D. 30o

Đáp án: C
Câu 14. Cho tam giác vng có một cạnh góc vng bằng 2cm. Cạnh huyền
bằng 1, 5 lần cạnh góc vng đó. Độ dài cạnh góc vng cịn lại là:
A. 2 5

B. 5

C. 3 5

D. Kết quả

khác

Đáp án: B
Câu 15. Cho ABC cân. Biết AB = AC = 10cm, BC = 12cm. M là trung điểm
BC. Độ dài AM là:
A. 22cm

B. 4cm

C. 8cm

D. 6cm


Đáp án: C
  90o . Cạnh lớn nhất là cạnh:
Câu 16. Cho ΔABC có A
A. BC

B. AC

C. AB

D. Đáp án khác

Đáp án: A
Câu 17. Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vng góc AH và
các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng
HB < HC. Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:

A. AB > AC

B. AB < AC

C. AB = AC

D. AH > AB

Đáp án: B
Câu 18. Câu nào sau đây khơng đúng:
A. Góc ngồi của tam giác bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó.
B. Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều.
D. Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60o .

Đáp án: C
Câu 19. Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D thỏa mãn
AD = AB. Câu nào sai?

  ABC
  ADC

A. BCD

  90o
B. BCD

  2ACB

C. DAC

  60o
D. BCD

Đáp án: D
  90o và AB  AC  5cm. Vẽ AH  BC tại H.
Câu 20. Cho ABC có A
Phát biểu nào sau đây sai?
A. AHB  AHC

B. H là trung điểm của BC

C. BC = 5cm

  45o
D. BAH

Đáp án: C


B. TỰ LUẬN
PHẦN 1. ĐẠI SỐ.

Dạng 1: Bài toán thống kê.
Bài 1. Điểm thi học kì I mơn vật lý lớp 7A được ghi lại trong bảng sau:
7

8

10

4

5

9

7

2

10

8

6

7

8

9

7

7

9

9

10

6

8

9

5

7

6

8

9

7

6

10

9

6

7

8

8

8

7

6

9

5

7

10

10

8

9

a) Dấu hiệu điều tra là gì? Tìm số các giá trị của dấu hiệu?
b) Lập bảng tần số.
c) Tính số trung bình cộng. Tìm mốt của dấu hiệu?
d) Biết điểm trung bình bài thi học kỳ I môn vật lý của khối 7 là 8,2. Hãy nêu
nhận xét về kết quả lớp 7A.

Hướng dẫn:
a) Dấu hiệu là: Điểm thi học kì I môn vật lý lớp 7A
b) Bảng “ Tần số”:
Điểm thi học kì

2

4

5

6

7

8

9

10

1

1

3

6

10

9

9

6

(x)
Tần số (n)
c) X 

N=45

2.1  4.1  5.3  6.6  7.10  8.9  9.9  10.6
 7,56
45

Mốt M0  7
d) Điểm vật lý trung bình của lớp 7A thấp hơn so với điểm của cả khối 7.
Bài 2. Chiều cao (tính bằng m) của các bạn nữ trong lớp 7A5 và 7A6 qua đợt
kiểm tra sức khỏe được ghi lại như sau:
1,53

1,58

1,54

1.57

1,56

1,62

1,54

1,49

1,47

1,56

1,56

1,58

1,57

1,55

1,56

1,54

1,60

1,55

1.58

1,56

1,58

1,56

1,55

1,56

a) Dấu hiệu ở đây là gì? Hai lớp 7A5 và 7A6 có bao nhiêu bạn nữ?


b) Lập bảng “Tần số”.
c) Tính số trung bình cộng. Tìm mốt?

Hướng dẫn:
a) Dấu hiệu là chiều cao (m) của các bạn nữ hai lớp 7A5 và 7A6.
b) Bảng “ Tần số”
Chiều

1,47

1,49

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,60

1,62

1

1

1

3

3

7

2

4

1

1

cao(x)
Tần số
(n)

N=
24

c) Số trung bình cộng:

1,47.1  1,49.1  1.53.1  1,54.3  1,55.3  1,56.7  1.57.2  1,58.4  1,6.1  1,62.1
24
X  1,56

X

Mốt Mo  1,56
Bài 3. Điểm rèn luyện trong tuần (tối đa 20 điểm) của mỗi học sinh trong 2
tổ Họa My và Phong Lan được ghi lại trong bảng sau:
Họa My

16

18

17

18 18 19 20 16 14 11 17 17

Phong Lan

17

16

18

18 17 18 18 19 20 12 16 16

Tính số trung bình cộng và cho biết tổ nào rèn luyện tốt hơn trong tuần qua.

Hướng dẫn:
Số trung bình cộng của tổ Họa My:

X1 

11.1  14.1  16.2  17.3  18.3  19.1  20.1
 16,75
12

Số trung bình cộng của tổ Phong Lan:

X2 

12.1  16.3  17.2  18.4  19.1  20.1
 17,1
12

Qua số trung bình cộng ta thấy tổ Phong Lan rèn luyện tốt hơn tổ Họa My.

Bài 4. Sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long một số năm, từ năm
2014 đến năm 2018 (tính theo triệu tấn) được cho trong bảng sau:
Năm

2014

2015

2016

2017

2018

Sản lượng lúa

23,27

24,32

25

25,25

25,6

a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Năm 2017 sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long là bao nhiêu?
c) Biểu diễn bằng biểu đồ hình chữ nhật.

d) Nhận xét về sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long trong thời gian
từ năm 2014 đến 2018.
e) Tính sản lượng lúa trung bình trong thời gian từ năm 2015 đến 2018.

Hướng dẫn:
a) Dấu hiệu ở đây là: Sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long từ năm
2014 đến năm 2018.
b) Năm 2017 sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long là 25,25.
c) HS tự vẽ hình.
d) Sản lượng lúa của Đồng Bằng sông Cửu Long từ năm 2014 đến 2018 liên
tục tăng. Từ năm 2014 đến 2015 tăng mạnh (1,05 triệu tấn), các năm về sau
tăng chậm hơn, năm sau cao hơn năm trước khoảng 0,25 – 0,68 triệu tấn).
e) X  24,688 (triệu tấn)
Bài 5. Cho bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu M 0  2
Giá trị (x)

x1

x2

x3

…

xn

Tần số (n)

n1

n2

n3

…

nk

a) Tính số trung bình cộng
b) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu đều tăng lên 2 lần thì số trung bình cộng
thay đổi thế nào?
c) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu giảm đi 5 lần thì số trung bình cộng thay đổi
thế nào?


Hướng dẫn:
a) Ta có: X 

x1n1  x 2n2  x3n3  ....x k n k
n1  n2  n3  ...  nk

b) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu đều tăng lên 2 lần thì số trung bình cộng
cũng tăng lên 2 lần.
c) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu giảm đi 5 lần thì số trung bình cộng cũng
giảm đi 5 lần.
Bài 6. Tính trung bình cộng của năm quả dưa hấu trong đó có hai quả khối
lượng 2,8kg, một quả có khối lượng 3kg và hai quả có khối lượng 3,5kg.

Hướng dẫn: Khối lượng trung bình X 

2,8.2  3.1  3,5.2
 3,12(kg)
5

Bài 7. Trung bình cộng của năm số là 12. Do bớt đi một số thứ năm nên
trung bình cộng của bốn số cịn lại là 9. Tìm số thứ năm.

Hướng dẫn:
Gọi các số là x1 ;x2 ;x3 ;x 4 ;x5 . Trung bình cộng năm số là:

x1  x 2  x 3  x 4  x 5
 12 nên ta có: x1  x2  x3  x 4  x5  60 .
5
Trung bình cộng bốn số cịn lại là 9, nên ta có: x1  x2  x3  x 4  4.9  36
Từ đó tìm được: x5  24 .

Dạng 2: Các phép toán về đơn thức, đa thức.
Bài 8. Thu gọn các đơn thức sau rồi cho biết hệ số, phần biến, bậc của đơn
thức đó:
2

 1

b)  1 x 2y 3 
 2


1
3
a)  x 2 y . xy 3

3
2
0

 5 
1
c) 1 x2y   xy 
4
 6 

 1 
 2 xy 
 2 

2

 1
 2
 1 
d)   x2y  .   x2y 3  .  1 xy 
 3
 3
 2 


2

2

 1

 2
 5

e)   ax3y  .1 ax5y 3 .   xy 3  (a: hằng số)
 2
 5
 3


f)

1 2
1
x 6x2y 2z . x2y 3
2
3





Hướng dẫn:
1
1
a)  x3y 4 có hệ số là  , phần biến là x3y 4 , bậc của đơn thức là 7.
2
2
b)

9 4 6

9
x y có hệ số là , phần biến là x 4 y 6 , bậc của đơn thức là 10.
4
4

c)

125 4 3
125
x y có hệ số là
, phần biến là x 4 y 3 , bậc của đơn thức là 7.
64
64

d)

1 5 5
1
x y có hệ số là , phần biến là x5y 5 , bậc của đơn thức là 10.
3
3

e)

35 3 13 11
35 3
a x y có hệ số là
a , phần biến là x13y 11 , bậc của đơn thức là 24.
36
36

f)

1 6 5
x y z có hệ số là 1, phần biến là x6y 5z , bậc của đơn thức là 12.
3
3

 2

Bài 9. Cho đơn thức A    xy 3  . 3xy 2
 3






3

a) Thu gọn đơn thức A.
b) Hãy chỉ ra hệ số, phần biến, bậc của đơn thức thu được.
c) Tính giá trị của đơn thức A tại x  1; y  1.

Hướng dẫn:
a) 8x6y 15
b) A có hệ số là – 8, phần biến là x6y 15 , bậc của đơn thức là 21.
c) Thay x = - 1; y = 1 vào A ta được: A  8.( 1)6 .115  8
Bài 10. Thu gọn đa thức sau rồi tìm bậc của chúng.
a) A  5x 3  4x  7x 2  8x 3  4x  1  5x 2

1
2
b) B  5xy  x2y  xy  2x2y
2
3


1
c) C  x3y 3  x3y 3  5xy 2z3  z8  12xy 2z3
3
d) D  3x2yz+7xy 2z  5x2yz  xy 2z  xyz

Hướng dẫn:
a) A  3x3  2x2  1
b) B 

13
5
xy  x2y
3
2

2
c) C  z8  7xy 2z3  x3y 3
3
d) D  2x 2yz  8xy 2z  xyz
Bài 11. Cho hai đa thức:
f(x) = x 4  2x3  x2  5  3x2  2x  2x3

2x

2

 

g(x) =



 x3  2  x 4  x3  3x

a) Thu gọn hai đa thức f(x), g(x) và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức
theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính h(x) = f(x) - g(x)

Hướng dẫn:
a) HS tự làm
b) h(x)  2x2  x  3
Bài 12. Cho các đa thức: f (x)  3x 2  7  5x  6x 2  4x 3  8  5x 5  x 3

g(x)   x 4  2x  1  2x 4  3x 3  2  x
a) Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức.
c) Tính f(x) + g(x); 2f(x) – g(x).

Hướng dẫn:
a) f(x)  5x5  5x3  3x 2  5x  1 ; g(x)  x 4  3x3  x  1
b) Bậc của f(x) là 5; hệ số tự do là 1; bậc của g(x) là 4, hệ số tự do là 1

c) f(x)  g(x)  5x5  x 4  2x3  3x2  6x  2

2f(x)  g(x)  10x5  x 4  13x3  6x2  9x  1

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đại số
Bài 13. Tính giá trị của các biểu thức:
a) A  5x2  2| x| 3x  1 tại x = - 2

1
b) B  9x3  27x2  6x  2 tại x  .
3
c) C  2x2y  xy 2  3y 2 tại x  1;y  2 .
d) D  x12  19x11  19x10  19x 9  ...  19x2  19x  1 tại x  18

Hướng dẫn:
a) A  9
b) B 

4
1
10
1
với x  ; B  
với x  
3
3
3
3

c) C = 12 với x = 1; y = 2 và C = 20 với x = -1; y =2.
d) Ta có x = 18  x+1 = 19. Thay 19 = x +1 vào D ta được:

D  x12  (x  1)x11  (x  1)x10  (x  1)x 9  ...  (x  1)x2  (x  1)x  1

 x12  x12  x11  x11  x10  x10  x9  ....  x3  x2  x2  x  1  x  1
 18  1  17

 3
 7xy 3
 3

 x 2y 2   x 2 y 2 
Bài 14. Cho biểu thức: M    x3y  .
 7
 12
 4

a) Thu gọn biểu thức M.
b) Hãy chỉ ra hệ số, phần biến, bậc của M.
c) Tính giá trị của đơn thức A tại x  1; y  2

Hướng dẫn:
1
a) M  x 4 y 4
2
b) HS tự làm


c) Thay x  1; y  2 vào M, ta được M = 8.

Bài 15. Cho các đa thức sau :

A  x2  3xy  y 2  2x  3y  1

B  2x2  xy  2y 2  5x  2y  3

C  3x 2  4xy  7y 2  6x  4y  5

D  x2  5xy  3y 2  4x  7y  8

a) Tính giá trị đa thức: A + B; C - D; tại x = - 1; y=0.
b) Tìm H(x) = A - B + C - D, rồi tính giá trị đa thức H(x) tại x =

1
; y = -1
2

Hướng dẫn:
a) A  B   x2  2xy  y 2  3x  y  2 .
Thay x = - 1; y=0 vào ta được A + B = 0

C  D  4x2  9xy  10y 2  10x  11y  13 .
Thay x = - 1; y=0 vào ta được C – D = 27.
b) H(x)  7x2  13xy  7y 2  3x  6y  17 .
Thay x =

99
1
; y = - 1 vào ta được: H 
2

4

Bài 16. Cho biểu thức A  5x  1
a) Tính giá trị của A tại x  

3
4

b) Tìm x biết A  5

Hướng dẫn:
a) A  

11
4

 6 4
b) x   ; 
 5 5

Bài 17. Cho biểu thức A  2x 2  1
a) Tính giá trị của A tại x  2

b) Tìm x biết A  17

Hướng dẫn:
a) A = 3
b) x  3
Bài 18. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài a(m), chiều rộng ngắn hơn
chiều dài 8m, người ta đào một cái ao hình vng có cạnh bằng b(m)

( b< a – 8). Tính diện tích cịn lại của khu vườn biết a = 50m; b = 10m.

Hướng dẫn:
Diện tích cịn lại của khu vườn là: a(a  8)  b2 .
Thay a = 50m; b = 10m ta có: 50(50  8)  102  2000(m2 )

Dạng 4: Tìm x
Bài 19. Tìm x, biết:
b) 2x2  3x

a) | x  5| 2  6
c) (x  5)2  x  5

d*) x  1  x  1

e*) | x  5|  x  1

f*) | x2  3| 2  5

Hướng dẫn:
a) x  {1;9}

 3
b) x  0; 
 2

c) x  {5;6}

d) x  1  1  x

Xét x  1  0  x  1 ta có x – 1 = 1 – x hay x = 1(thỏa mãn)
Xét x – 1 < 0 x < 1 ta có: x  1  1  x hay 0x = 0
Vậy x  1 là giá trị cần tìm.
e) Phương trình vơ nghiệm
f) x = {-2; 2}.
Bài 20. Tìm x, biết:
a)

4
2
2
.x   
9
3
3

b)

c)

16
1
1
.x   
25
4
5

d) 2x 3  1  17

16
5 1
.x 
25
4 5

Hướng dẫn:
a) x  2
c) x 

1
16

3 7 
b) x   ; 
4 4
d) x = 7.


PHẦN 3. HÌNH HỌC.
Bài 21: Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 9cm, BC = 15cm.
a) Tính độ dài cạnh AC và so sánh các góc của tam giác ABC.
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn
thẳng BD. Chứng minh tam giác BCD cân.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

AB2  AC2  BC2  AC2  BC2  AB2  152  92  144
Vậy AC = 12 (cm)
Xét tam giác ABC ta có AB< AC< BC (9cm < 12cm < 15cm)

  ABC
  BAC
 (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện của tam giác).
Do đó ACB
b) Vì A là trung điểm của BD  BA = DA.
Chứng minh được ΔCAB = ΔCAD(c.g.c),
suy ra CB = CD (hai cạnh tương ứng)
Vậy ΔCBD cân tại C.

 E  AC .
Bài 22: Cho ABC vuông tại A. BE là tia phân giác của góc ABC


Hạ EI  BC  I  BC  .
a) Chứng minh ABE  IBE
b) Tia IE và tia BA cắt nhau tại M. Chứng minh EMC cân
c) Chứng minh AI // MC.

Hướng dẫn:


a) ΔABE = ΔIBE(cạnh huyền – góc nhọn).

M

b) Chứng minh được ΔEAM=ΔEIC(g.c.g)  EM
= EC  EMC cân tại E.

A
E

c) Ta chứng minh được tam giác EAI cân tại E.

 là góc ngồi của tam giác EMC nên ta
Vì AEM
  EMC
  ECM
  2.ECM

có: AEM

B

C
I

 là góc ngồi của tam giác AEI nên ta có: AEM
  EAI
  EIA
  2.EAI

AEM
  EAI
 , mà hai góc ở vị trí so le trong  AI //
Từ đó ta suy ra ECM

MC(đpcm).
Bài 23: Cho ΔABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G

1
thuộc cạnh AC sao cho AG  AC . Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng
3
song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng
này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD. Chứng minh:
a) G là trọng tâm ΔBCD;
b) ΔBED=ΔFDE, từ đó suy ra EC = DF;
c) ΔDMF=ΔCME;
d) B, G, M thẳng hàng.

Hướng dẫn:

D

a) Vì AD = AB nên A là trung điểm của BD
 CA là đường trung tuyến của ΔBCD.

A

1
Mà AG  AC G là trọng tâm của ΔBCD.
3
b)

Ta

có

  DEF

BD//EF  BDE

F

và

M
G

DF//BC

C

B
E

  EDF

 BED
ΔBED=ΔFDE(g.c.g)BE = DF (hai cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác do G là trọng tâm ΔBCD nên E là trung điểm BC  BE = EC (2)


Từ (1) và (2) suy ra EC = DF.
c) ΔDMF = ΔCME (g.c.g)
d) Do ΔDMF = ΔCME  MD = MC  M là trung điểm của DC.
BM là trung tuyến của ΔBCD.

 G BM  B, G, M thẳng hàng.
Bài 24. Cho ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AB = AD.
a) Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BC
b) Chứng minh: ABC  ADC . Từ đó suy ra  CBD cân.
c) Kẻ AH⏊DC tại H, AK⏊BC tại K. Chứng minh DH = BK.
2
2
2
2
d) Chứng minh AC  DH  AD  HC

Hướng dẫn:
B

a) Áp dụng định lý Py – ta – go ta tính được BC =

K

10cm.
b) ΔABC = ΔADC (cạnh góc vng - cạnh góc vng),
từ đó suy ra BC = DC

A

C

Vậy ΔCBD cân tại C.

 

c) Từ câu b, ΔCBD cân tại C ta suy ra CBD  CDB ,

D

H

chứng minh được:
ΔABK = Δ ADH (cạnh huyền – góc nhọn)  BK = DH (đpcm).
d) Sử dụng định lý Py – ta – go vào hai tam giác vng ADH và ACH ta có:

AC2  HC2  AH2 và AD2  DH2  AH2  AC2  DH2  AD2  HC2 (đpcm).
Bài 25. Cho ΔABC, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao
cho MD= MA.
a) Chứng minh rắng AB//CD và AB = CD; AC// BD và AC = BD.
b) Gọi E và F là trung điểm của AC và BD; AF cắt BC tại I, DE cắt BC tại K,
chứng minh: BI = IK = KC.


Hướng dẫn:
A

a) Chứng minh ΔAMC = ΔDMB (c.g.c)
 
Suy ra AC = BD và A1  D1 ( góc tương ứng)

1

 AC//BD (hai góc so le trong)
Chứng minh tương tự ta có AB = CD và AB

I

B

E
M

K

C

//CD.
F

b) Xét ΔABD có BM là trung tuyến ứng với

1

cạnh AD (AM =MD, gt) và AF là trung tuyến

D

ứng với cạnh BD.
Vậy I là trọng tâm của ΔABD.

1
Suy ra IM  BM (1)
3
1
Chứng minh tương tự, K là trọng tâm của ΔACD. Suy ra: KM  MC (2)

3
Mà BM = MC (3)
Từ (1), (2) và (3) có: BI = IK = KC (đpcm).
Bài 26. Cho tam giác cân ABC cân tại A (AB = AC).

A

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh ABE   ACD

D

b) Chứng minh BE = CD.
c) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh
 KBC cân tại K.

d) Chứng minh AK là tia phân giác của góc BAC.

Hướng dẫn:
a) ΔABE = ΔACD (c.g.c)
b) Từ câu a suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng).
c) Hs tự chứng minh.

B

K

E

C

d) Cm ΔBKD=ΔCKE(c.g.c)DK = EK.

 
Chứng minh ΔADK = ΔAEK (c.c.c)  DAK  EAK và tia AK nằm giữa hai tia
AD và AE do đó AK là tia phân giác của góc BAC.
Bài 27. Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.
Kẻ NA vng góc với Ox (AOx), NB vng góc với Oy (BOy)
a) Chứng minh: NA = NB.
b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
c) Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E.
Chứng minh: ND = NE.

x

Hướng dẫn:

D

a) Chứng minh ΔOAN=ΔOBN(cạnh huyền –
góc nhọn) AN = BN (hai cạnh tương ứng).

A

b) ΔOAN=ΔOBN (cm a)  OA = OB ΔOAB
cân tại O.
c) Chứng minh ΔNAD= ΔNBE (g.c.g) ND =
NE (đpcm)

O

N
B

Bài 28. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH⏊BC
(HBC)

  CAH

a) Chứng minh: BAH
b) Cho AH = 3cm, BC = 8cm. Tính độ dài AC.
c) Kẻ HE⏊AB, HD⏊AC. Chứng minh AE = AD.
d) Chứng minh ED//BC.

Hướng dẫn:
  CAH

a) Chứng minh ΔABH=ΔACH(cạnh huyền – góc nhọn) BAH

E

y


b) ΔABH = ΔACH (cm a)  BH = CH =

A

4cm.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam
giác vng AHC ta có AC = 5cm.

K

E

D

c) Chứng minh được ΔAHE = ΔAHD

B

(cạnh huyền – góc nhọn)AE = AD.

H

d) Gọi K = AHED.


180o  A

Ta có AED 
( vì ΔAED cân tại A);
2

o
  180  A
ABC
( vì ΔABC cân tại A)

2
 
Suy ra AED  ABC , mà hai góc ở vị trí đồng vị nên ED//BC (đpcm).
Bài 29. Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia
đối của tia FB lấy P sao cho PF = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao
cho QE = CE.
a) Chứng minh A là trung điểm PQ.
b) Chứng minh BQ//AC và CP//AB.
c) Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB. Chứng minh chu vi
ΔPQR bằng hai lần chu vi ΔABC.
Hướng dẫn:
Q

P

A
E

F
C

B

R

a) ΔAEQ = ΔBEC (c.g.c), suy ra AQ = BC và AQ//BC.

C

Tương tự, ta có: AP = BC và AP //BC.
Từ đó suy ra AP = AQ và A, P, Q thẳng hàng.
Vậy A là trung điểm của PQ.
  ACE
 BQ//AC.
b) ΔBEQ=ΔAEC (c.g.c)  BQE

Tương tự ta có: CP // AB.
c) Chứng minh ΔAPC=ΔCBA(g.c.g)
Chứng minh ΔAPC = ΔBCR (g.c.g)
Từ đó, suy ra AB = CP = CR nên PR = 2AB.
Tương tự, ta có QR = 2AC.
Từ câu a), suy ra PQ = 2BC.
Vậy chu vi ΔPQR bằng hai lần chu vi ΔABC.
Bài 30. Cho tam giác ABC có hai góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C.
Gọi d là tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.
a) Chứng minh rằng: d  BC .
b) Xác định vị trí của điểm M sao cho d có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:
A

H
B

C

M
K

Kẻ BH⏊AM và CK⏊AM (H, KAM).
Theo đề ra, ta có: d = BH + CK.
Ta có: BH  BM (quan hệ đường vng góc – đường xiên) và CK  CM
(quan hệ đường vng góc – đường xiên).
Suy ra: BH + CK  BM + CM = BC hay d  BC (đpcm).