Đề thi Olympic Toán các nước và khu vực 1996

Đề thi Olympic Toán các nước và khu vực
1996
Dịch từ Mathematical Olympiads 1996-1997 bởi Nguyễn Việt Hằng
Ngày 16 tháng 9 năm 2004
Mục lục
1 Olympic toán các nước 2
1.1 Bulgaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Trung Quốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Cộng hòa Czech và Slovak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Đức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Hy Lạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Iran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Ireland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10 Italy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Nhật Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.12 Ba Lan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.13 Romania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.14 Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.15 Tây Ban Nha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.16 Thổ Nhĩ Kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.17 Vương quốc Anh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.18 Hoa Kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.19 Việt Nam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Olympic toán khu vực 37
2.1 Olympic Châu á - Thái Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Aó - Ba Lan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Olympic vùng Ban Căng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Czech và Slovak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Olympic Châu Mĩ La tinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1
Chương 1
Olympic toán các nước
1.1 Bulgaria
Bài 1
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n ≥ 3 tồn tại các số tự
nhiên lẻ (x,y) sao cho x
2
+ y
2
= 2
n
Bài 2
Đường tròn k
1
, k
2
với tâm O
1
, O
2
tiếp xúc ngoài tại điểm C.
Đường tròn k tâm O tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn trên.
Gọi l là tiếp tuyến chung của O
1
, O
2
tại điểm C và AB là đường
kính của k vuông góc với đường thẳng l. Giả sử O và A cùng nằm
về một phía của đường thẳng l. Chứng minh rằng AO

1
, BO
1
và
l đồng quy.
Bài 3
Cho a, b, c là các số thực và M là giá trị lớn nhất của hàm
y = |4x
3
+ ax
2
+ bx + c| (1.1)
trên đoạn [−1, 1].
Chứng minh rằng M ≥ 1 và tìm tất cả các trường hợp dấu đẳng
thức xảy ra.
2
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 3
Bài 4
Các số thực a
1
, a
2
, . . . , a
n
(n ≥ 3) tạo thành một cấp số cộng.
Tồn tại một hoán vị a
i
1
, a
i

2
, . . . , a
i
n
của a
1
, a
2
, . . . , a
n
là một cấp
số nhận. Tìm các số a
1
, a
2
, . . . , a
n
biết chúng đôi một khác nhau
và số lớn nhất là 1996
Bài 5
Cho tứ giác lồi ABCD có ∠ABC + ∠BCD < 180
◦
. E là giao
điểm của đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng ∠ABC =
∠ADC khi và chỉ khi AC
2
= CD.CE + AB.AE
Bài 6
Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho pq chia hết (5
p

−
2
q
)(5
q
− 2
p
)
Bài 7
Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể của một tam giác đều mà
trong đó có thể đặt 3 cái đĩa đường kính 2, 3, 4 không chồng lên
nhau.
Bài 8
Đa thức bậc hai hệ số thực f và g thỏa mãn tính chất: với
x > 0 nếu g(x) nguyên thì g(x) cũng nguyên. Chứng minh rằng
tồn tại 2 số nguyên m, n sao cho f(x) = mg(x) + n với mọi x.
Bài 9
Dãy số {a
n
}
∞
n=1
xác định bởi
a
1
= 1, a
n+1
=
a
n

n
+
n
a
n
, n ≥ 1
Chứng minh rằng với n ≥ 4 thì [a
2
n
] = n
Bài 10
Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Đường thẳng
AB và CD giao nhau tại E, đường chéo AC và BD giao nhau tại
F . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AF D và BF C giao nhau
tại điểm thứ hai H. Chứng minh rằng ∠EHF = 90
◦
.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 4
Bài 11
Cho một bàn cờ 7x7 đã bị bỏ đi 4 ô ở 4 góc.
(a) Số ít nhất các ô có thể tô màu đen sao cho không thể tìm
thấy một hình chữ thập tạo bởi 5 ô không được tô màu là bao
nhiêu?
(b) Chứng tỏ rằng có thể viết vào mỗi ô vuông một số nguyên
sao cho tổng của 5 số nguyên viết trong 5 ô của một hình chữ
thập bất kì tạo bởi 5 ô vuông là một số âm trong khi tổng tất
cả các số viết trên bàn cờ là một số dương.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 5
1.2 Canada
Bài 1

Cho α, β, γ là các nghiệm của phương trình x
3
− x − 1 =0 .
Tính
1−α
1+α
+
1−β
1+β
+
1−γ
1+γ
Bài 2
Tìm tất cả các nghiệm của hệ sau





4x
2
1+4x
2
= y
4y
2
1+4y
2
= z
4z

2
1+4z
2
= x
Bài 3
Gọi f(n) là số các hoán vị của a
1
, a
2
, . . . , a
n
thỏa mãn
(i) a
1
=1;
(ii)|a
i
− a
i+1
| ≤ 2, i = 1, 2, . . . , n − 1
f(1996) có chia hết cho 3 hay không?
Bài 4
Tam giác ABC cân tại A. Giả sử đường phân giác của góc B
cắt AD tại D và BC = BD + AD Xác định góc A.
Bài 5
r
1
, r
2
, . . . , r

m
là các số hữu tỉ dương cho trước có tổng bằng
1. Hàm f xác định bởi f(n) = n −

m
k=1
[r
k
n] với mỗi số nguyên
dương n. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (n).
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 6
1.3 Trung Quốc
Bài 1
Cho H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Tiếp tuyến kẻ
từ A của đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường tròn tại
P, Q. Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng.
Bài 2
Tìm số nguyên dương K nhỏ nhất có tính chất: mỗi tập con
gồm K phần tử bất kì của tập 1; 1; . . . ; 50 đều chứa 2 phần tử
phân biệt a, b sao cho a + b chia hết ab
Bài 3
Cho f : R → R thỏa mãn: với mọi x, y ∈ R
f(x
3
+ y
3
) = (x + y)(f(x)
2
− f(x)f(y) + f(y)
2

).
Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, f(1996x) = 1996f(x).
Bài 4
Tám ca sĩ tham gia một hội diễn nghệ thuật. Tại đó có m bài
hát được biểu diễn. Mỗi bài hát được 4 ca sĩ trình bày và số bài
hát từng cặp ca sĩ trình bày chung là giống nhau. Tìm số m nhỏ
nhất để điều này có thể xảy ra.
Bài 5
Giả sử n là số tự nhiên, x
0
= 0, x
i
> 0 với mọi i = 1, 2, . . . , n
và

n
i=1
x
i
= 1. Chứng tỏ rằng
1 ≤
n

i=1
x
i
√
1 + x
0
+ ···+ x

i−1
.
√
x
i
+ ···+ x
n
<
π
2
Bài 6
Trong tam giác ABC: ∠C = 90
◦
,∠A = 30
◦
và BC = 1. Tìm
độ dài nhỏ nhất của cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp tam giác
ABC (tam giác có các đỉnh khác nhau nằm trên các cạnh khác
nhau của tam giác ABC)
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 7
1.4 Cộng hòa Czech và Slovak
Bài 1
Chứng minh rằng nếu dãy các số nguyên G(n)
∞
n=0
thỏa mãn
G(0) = 0
G(n) = n − G(G(n)) (n = 1, 2, 3, . . .)
thì
(a) G(k) ≥ G(k −1) với mọi k nguyên dương

(b)Không tồn tại số nguyên dương k nào thỏa mãn G(k − 1) =
G(k) = G(k + 1).
Bài 2
Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao AP, BQ, CR.
Chứng minh rằng với mỗi điểm V thuộc miền trong tam giác
P QR luôn tồn tại một tứ diện ABCD sao cho V là điểm của
mặt ABC có khoảng cách đến D lớn nhất (khoảng cách được đo
dọc theo các mặt của tứ diện)
Bài 3
Cho sáu tập con mỗi tập gồm 3 phần tử của một tập hữu hạn
X. Chứng minh rằng có thể tô màu các phần tử của X bởi 2 màu
sao cho không có tập hợp nào trong số các tập con đã cho trên
chỉ có một màu.
Bài 4
Cho một góc nhọn XCY và một các điểm A, B trên tia
CX, CY tương ứng sao cho |CX| < |CA| = |CB| < |CY |. Hãy
chỉ ra cách dựng đường thẳng cắt tia CX, các đoạn AB, BC tại
các điểm K, L, M tương ứng sao cho
KA.Y B = XA.MB = LA.LB = 0
Bài 5
Với số k nào thì tồn tại hàm f : R → N thỏa mãn
(a)f(1995) = 1996 và
(b)f(xy) = f(x) + f (y) + kf(gcd(x, y)) với mọi
x, y ∈ N?
(ở đây gcd(x, y) là kí hiệu ước chung lớn nhất của x và y
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 8
Bài 5
Cho tam giác ABC và các điểm K, L, M tương ứng trên cách
cạnh AB, BC, CA sao cho
AK

AB
=
BL
BC
=
CM
CA
=
1
3
Chứng tỏ rằng nếu các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
AKM, BLK, CML bằng nhau thì các đường tròn nội tiếp các
tam giác này cũng bằng nhau.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 9
1.5 Pháp
Bài 1
Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình
vuông ABED, BCGF , ACHI. Chứng minh rằng các điểm D, E, F,
G, H, I cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi tam giác
ABC đều hoặc vuông cân.
Bài 2
Cho a, b là 2 số nguyên dương với a lẻ. Xác định dãy u
n
như
sau: u
0
= b, và với n ∈ N
u
n+1


1
2
u
n
nếu u
n
chẵn
u
n
+ a nếu u
n
lẻ
(a) Chứng tỏ rằng u
n
≤ a với n nào đó thuộc R (b) Chứng minh
rằng dãy u
n
kể từ một số hạng nào đó trở đi sẽ tuần hoàn.
Bài 4
(a) Tìm giá trị nhỏ nhất của x
x
với x là số thực dương.
(b) Nếu x và y là hai số thực dương, chứng minh rằng x
y
+y
x
> 1
Bài 4
Cho n là một số nguyên dương. Ta nói một số nguyên dương
k thỏa mãn điều kiện C

n
nếu tồn tại 2k số nguyên dương phân
biệt a
1
, b
1
,. . . ,a
k
, b
k
sao cho các tổng a
1
+ b
1
,. . . , a
k
+ b
k
là các số
phân biệt và nhỏ hơn n
(a) Chứng minh rằng nếu k thỏa mãn điều kiện C
n
thì
k ≤ (2n − 3)/5.
(b) Chứng minh rằng 5 thỏa mãn điều kiện C
14
(c) Giả sử (2n − 3)/5 là số nguyên. Chứng minh rằng
(2n − 3)/5 thỏa mãn điều kiện C
n
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 10

1.6 Đức
Bài 1
Một hòn đá di chuyển trên mặt phẳng tọa độ từ điểm (1,1)
theo quy tắc sau:
(i) Từ điểm (a, b) hòn đá có thể di chuyển tới điểm
(2a, b) hoặc (a, 2b).
(ii) Từ điểm (a, b) hòn đá có thể di chuyển tới điểm
(a − b, b) nếu a > b hoặc tới điểm (a, b − a) nếu
a < b.
Với những x, y nguyên dương nào hòn đá có thể di chuyển đến
điểm (x, y)?
Bài 2
Giả sử S là hợp của nhiều vô hạn các khoảng con của đoạn
[0,1] sao cho không có 2 điểm nào thuộc S có khoảng cách 1/10.
Chứng minh rằng tổng độ dài các khoảng tạo thành S lớn nhất
là 1/2.
Bài 3
Mỗi đường chéo của một ngũ giác lồi song song với một cạnh
của ngũ giác. Chứng minh rằng tỉ số giữa độ dài của một đường
chéo với độ dài cạnh tương ứng với nó như nhau với cả 5 đường
chéo và hãy tính tỉ số đó.
Bài 1
Chứng minh rằng mỗi số nguyên k > 1 có một bội số nhỏ hơn
k
4
mà dạng biểu diễn thập phân của nó có nhiều nhất 4 chữ số
phân biệt.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 11
1.7 Hy Lạp
Bài 1

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, Z, H, O lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng BC, AD, BD, ED, EZ. Gọi I là giao
điểm của BE và AC, và K là giao điểm của HO và AC. Chứng
minh rằng:
(a) AK = 3CK
(b) HK = 3HO
(c) BE = 3EI
(d) Diện tích tam giác ABC bằng 32 lần diện tích tam
giác EOH
Bài 2
Cho ABD là một tam giác nhọn, AD, BE, CZ là các đường
cao và H là trực tâm. AI, AO là các phân giác trong và phân giác
ngoài của bóc A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AH.
Chứng minh rằng
(a) MN vuông góc với EZ
(b) Nếu MN cắt đoạn AI, AO tại các điểm K, L thì
KL = AH
Bài 3
Cho 81 số tự nhiên mà các ước nguyên tố của chúng thuộc
tập hợp {2, 3, 5}. Chứng minh rằng trong đó có 4 số mà tích của
chúng là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.
Bài 4
Tìm số các hàm f : {1, 2, . . . , n} → {1995, 1996} thỏa mãn
f(1) + f(2) + ···+ f(1996) lẻ.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 12
1.8 Iran
Bài 1
Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y, z là các số thực dương:
(xy + yz + zx)


1
(x + y)
2
+
1
(y + z)
2
+
1
(z + x)
2

≥
9
4
.
Bài 2
Chứng minh rằng với mỗi cặp số tự nhiên m, k, m có duy nhất
một cách biểu diễn dạng
m =

a
k
k

+

a
k−1
k − 1


+ ···+

a
t
t

,
trong đó a
k
> a
k−1
> ··· > a
t
≥ t ≥ 1.
Bài 3
Tam giác ABC có ∠A = 60
◦
. Gọi O, H, I, I

là tâm đường
tròn ngoại tiếp, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường
tròn bàng tiếp góc A. Gọi B

, C

là các điểm trên đoạn AC, AB
thỏa mãn AB = AB

, AC = AC


. Chứng minh rằng
(a) Tám điểm B, C, H, O, I, I

, B

, C

cùng nằm trên
một đường tròn.
(b) Nếu OH cắt AB và AC lần lượt tại E vàF thì chu
vi tam giác AEF bằng AB + AC.
(c) OH = |AB − AC|
Bài 4
Giả sử ABC là một tam giác không cân. Các trung tuyến
kẻ từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ 2
L, M, N. Nếu LM = LN, chứng tỏ rằng 2BC
2
= AB
2
+ AC
2
Bài 5
Đề nghị tham khảo bản tiếng Anh.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 13
Bài 6
Tìm tất cả các số thực không âm a
1
≤ a
2

≤ . . . ≤ a
n
thỏa
mãn:
n

i=1
a
i
= 96,
n

i=1
a
i
2
= 144,
n

i=1
a
i
3
= 216.
Bài 7
Điểm D và E nằm trên cạnh AB và AC của tam giác ABC sao
cho DE  BC. P là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Đường
thẳng PB và P C giao với DE tại F và G tương ứng. Gọi O
1
là

tâm đường trong ngoại tiếp tam giác PDG và O
2
là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác P FE. Chứng minh rằng AP ⊥ O
1
O
2
Bài 8
Cho P (x) là đa thức với các hệ số hữu tỉ thỏa mãn P
−1
(Q) ⊆
Q. Chứng minh rằng P là tuyến tính.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 14
1.9 Ireland
Bài 1
Với mỗi số nguyên dương n tìm ước chung lớn nhất của n! + 1
và (n + 1)!
Bài 2
Với mỗi số nguyên dương n gọi S(n) là tổng các chữ số trong
biểu diễn thập phân của n. Chứng minh rằng với mọi n
S(2n) ≤ 2S(n) ≤ 10S(2n)
và hãy chứng tỏ rằng tồn tại n mà S(n) = 1996S(3n).
Bài 3
Cho f : [0, 1] → R thỏa mãn
(i) f(1) =1
(ii) f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0, 1],
(iii) nếux, y và x + y đều nằm trong [0,1] thì f(x + y) ≥ f(x) + f(y)
Chứng minh rằng f(x) ≤ 2x với mọi x ∈ [0, 1]
Bài 4
Gọi F là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC. Dựng ra

phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân
tại D và E. Chứng minh rằng DEF là một tam giác vuông cân.
Bài 5
Chỉ ra và chứng minh cách cắt một hình vuông thành nhiều
nhất 5 mảnh mà các mảnh đó có thể ghép lại để tạo thành 3 hình
vuông không cùng diện tích.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 15
Bài 6
Kí hiệu F
n
là dãy Fibonaci: F
0
= F
1
= 1 và F
n+2
= F
n+1
+ F
n
với n ≥ 0. Chứng minh rằng:
(i) Mệnh đề "F
n+k
− F
n
chia hết cho 10 với mọi số
nguyên dương n "đúng với k = 60 và sai với mọi số
tự nhiên k < 60;
(ii) Mệnh đề "F
n+t

−F
n
chia hết cho 100 với mọi số tự
nhiên n" đúng nếu t = 300 và sai với mọi 0 < t <
300
Bài 7
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
2
1/2
.4
1/4
···(2
n
)
1/2
n
< 4.
Bài 8
Cho p là một số nguyên tố và a, n là các số nguyên dương.
Chứng minh rằng nếu
2
p
+ 3
p
= a
n
,
thì n = 1
Bài 9
Cho ABC là một tam giác nhọn và D, E, F lần lượt là chân

các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C. Gọi P, Q, R tương ứng là chân
các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến EF, F D, DE. Chứng minh
rằng các đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy.
Bài 9
Trong một bàn cờ hình chữ nhật 5 ×9 người ta chơi trò chơi
sau. Ban đầu một số cái đĩa được đặt ngẫu nhiên trên một số
hình vuông, không có hình vuông nào có nhiều hơn 1 đĩa. Một
bước chuyển bao gồm việc di chuyển các đĩa tuân theo quy tắc
sau:
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 16
(i) Mỗi đĩa được dịch chuyển lên hình vuông ở trên,
dưới, bên phải hoặc bên trái
(ii) Nếu một đĩa đươc di chuyển lên hoặc xuống trong
một bước thì nó phải đươc di chuyển sang phải hoặc
sang trái trong bước kế tiếp và ngược lại
(iii) Sau khi kết thúc mỗi bước chuyển không hình
vuông nào có nhiều hơn 1 đĩa
Trò chơi kết thúc khi không thể tiếp tục thực hiện phép dịch
chuyển được nữa. Chứng tỏ rằng nếu ban đầu có 33 cái đĩa trên
bàn cờ thì trò chơi cuối cùng sẽ phải kết thúc, và có thể đặt 32
đĩa sao cho trò chơi không bao giờ kết thúc.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 17
1.10 Italy
Bài 1
Trong các tam giác có một cạnh có độ dài l và diện tích S
cho trước tìm tất cả các tam giác có tích độ dài ba đường cao lớn
nhất.
Bài 2
Chứng minh rằng phương trình a
2

+ b
2
= c
2
+ 3 có vô số
nghiệm nguyên {a, b, c}
Bài 3
Cho A và B là các đỉnh đối diện của một hình lập phương
cạnh 1. Tìm bán kính của hình cầu có tâm nằm trong hình lập
phương, tiếp xúc với 3 mặt giao nhau tại A và tiếp xúc với ba
cạnh giao nhau tại B
Bài 4
Cho một bảng chữ cái gồm 3 mẫu tự a, b, c. Tìm tất cả các từ
n chữ cái chứa một số chẵn các chữ a.
Bài 5
Cho một đường tròn C và một điểm A nằm ngoài C. Với mỗi
điểm P trên C dựng hình vuông APQR, thứ tự các đỉnh ngược
chiều kim đồng hồ. Tìm quỹ tích của Q khi P chạy trên C.
Bài 6
Số nhỏ nhất các hình vuông một người cần vẽ trên một tờ giấy
trắng là bao nhiêu để có thể thu được một lưới ô vuông n × n
hoàn chỉnh?
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 18
1.11 Nhật Bản
Bài 1
Xét một phép tam giác đạc trên mặt phẳng, nói cách khác
là một phép phủ mặt phẳng bởi các tam giác sao cho không có
hai tam giác nào có phần trong chồng lên nhau và không có đỉnh
nào thuộc phần trong hay trên cạnh của tam giác khác. Giả sử
A, B, C là 3 đỉnh của phép tam giác đạc và θ là góc nhỏ nhất

trong tam giác ABC. Giả sử rằng không có đỉnh nào của phép
tam giác đạc nằm trong đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng có một tam giác σ của phép tam giác đạc sao
cho σ ∩ ABC = ∅ và mọi góc của σ đều lớn hơn θ.
Bài 2
Cho m, n là các số nguyên dương với gcd(m, n) = 1. Tính
gcd(5
m
+ 7
m
, 5
n
+ 7
n
). gcd(m, n) là kí hiệu ước chung lớn nhất
của m và n.)
Bài 3
Cho x là một số thực lớn hơn 1, không nguyên. Với n =
1, 2, 3, . . ., đặt a
n
= x
n+1
 − xx
n
. Chứng minh rằng dãy {a
n
}
không tuần hoàn.
Bài 4
Gọi θ là góc lớn nhất trong sáu góc tạo bởi các cạnh của hình

tứ diện đều với một mặt phẳng cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất
của θ.
Bài 5
Cho q là một số thực với (1 +
√
5)/2 < q < 2. Với một số
nguyên n có dạng biểu diễn nhị phân
n = 2
k
+ a
k−1
.2
k−1
+ ···+ a
1
.2 + a
0
với a
i
∈ {0, 1}, ta xác định p
n
như sau:
p
n
= q
k
+ a
k−1
q
k−1

+ ···+ a
1
q + a
0
.
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương k sao cho không
tồn tại số nguyên dương l thỏa mãn p
2k
< p
l
< p
2k+1
.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 19
1.12 Ba Lan
Bài 1
Tìm tất cả các cặp số (n, r) với n là một số nguyên dương và
r là một số thực để đa thức (x + 1)
n
− r chia hết cho đa thức
2x
2
+ 2x + 1.
Bài 1
Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác sao
cho ∠P BC= ∠P CA<∠P AB. Đường thẳng PB cắt đường trọn
ngoại tiếp tam giác ABC tại B và E, và đường thẳng CE cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác AP E tại E và F. Hãy chứng tỏ
rằng tỉ số diện tích của tứ giác AP EF và tam giác APB không
phụ thuộc vào việc chọn điểm P.

Bài 3
Cho n>2 là một số tự nhiên cố định và a
1
, a
2
, . . . , a
n
là các
số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng với các số dương
x
1
, x
2
, . . . , x
n
có tổng bằng 1 ta có :
2

i<j
x
i
x
j
≤
n − 2
n − 1
+
n

i=1

a
i
x
2
1 − a
i
và xác định khi nào xảy ra dấu đẳng thức.
Bài 4
Cho ABCD là một tứ diện với ∠BAC = ∠ACD và ∠ABD =
∠BDC. Chứng tỏ rằng cạnh AB và CD có cùng độ dài.
Bài 5
Với mỗi số tự nhiên k kí hiệu p (k) là số nguyên tố nhỏ nhất
không là ước của k. Nếu p(k)>2, gọi q(k) là tích của tất cả các
số nguyên tố nhỏ hơn p(k), nếu không đặt q(k) = 1. Xét dãy:
x
0
= 1, x
n+1
=
x
n
p(x
n
)
q(x
n
)
n = 0, 1, 2, . . .
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho x
n

=111111.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 20
Bài 6
Từ tập tất cả các hoán vị f của {1, 2, . . . , n} thỏa mãn điều
kiện
f(i) ≥ i − 1 i = 1, 2, . . . , n,
một phần tử được chọn ngẫu nhiên. Gọi p
n
là xác suất để chọn
được hoán vị f thỏa mãn
f(i) ≤ i + 1 i = 1, 2, . . . , n.
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho p
n
>1/3.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 21
1.13 Romania
Bài 1
Cho n > 2 là một số nguyên và hàm f : R → R
2
thỏa mãn
với mọi đa giác đều n cạnh A
1
A
2
. . . A
n
,
f(A
1
) + f(A

2
) + ···+ f (A
n
) = 0.
Chứng minh rằng f đồng nhất bằng 0.
Bài 2
Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên
không âm x
1
, x
2
, . . . , x
n
, tất cả không cùng bằng 0, thỏa mãn :
với dãy bất kì 
1
, 
2
, . . . , 
n
của các phần tử thuộc tập {-1,0,1},
tất cả không cùng bằng không, n = 3 không chia hết 
1
x
1
+
2
x
2
+

···+ 
n
x
n
.
Bài 3
Với các số thực x, y, chứng tỏ rằng nếu tập hợp
{cos(nπx) + cos(nπy)|n ∈ N}
hữu hạn thì x, y ∈ Q.
Bài 4
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp và M là tập các tâm đường
tròn nội tiếp và bàng tiếp của các tam giác BCD, CDA, DAB,
ABD (tổng cộng 16 điểm). Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp
các đường thẳng song song K và L, mỗi tập gồm 4 đường thẳng
sao cho mỗi đường thẳng thuộc tập K ∪L chứa đúng 4 điểm của
M.
Bài 5
Cho a ∈ R và các hàm f
1
, f
2
, . . . , f
n
: R → R cộng tính thỏa
mãn: f
1
(x)f
2
(x) ···f
n

(x) = ax
n
với mọi x ∈ R. Chứng minh rằng
tồn tại b ∈ R và i ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho f
i
(x) = bx với mọi
x ∈ R
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 22
Bài 6
Dãy {a
n
}
n≥2
được xác định như sau: nếu p
1
, p
2
, . . . , p
k
là các
ước nguyên tố phân biệt của n thì a
n
= p
−1
1
+ p
−1
2
+ ··· + p
−1

k
.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N ≥ 2,
N

n=2
a
2
a
3
···a
n
< 1.
Bài 7
Cho số tự nhiên n ≥ 3 và x
1
, x
2
, . . . , x
n−1
nguyên không âm
thỏa mãn:
x
1
+ x
2
+ ···+ x
n−1
= n
x

1
+ 2x
2
+ ···+ (n − 1)x
n−1
= 2n −2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng :
F (x
1
, x
2
, . . . , x
n−1
) =
n−1

k=1
kx
k
(2n − k).
Bài 8
Cho n, r là các số nguyên dương và A là một tập của lưới các
điểm trên mặt phẳng sao cho một hình tròn mở bất kì bán kính r
chứa một điểm của A. Chứng minh rằng với mọi cách tô màu các
điểm của A bằng n màu luôn tồn tại 4 điểm cùng màu là đỉnh
của một hình chữ nhật.
Bài 9
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p, q sao cho đồng dư thức
α
3pq

≡ α( mod 3pq)
đúng với mọi số nguyên α.
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 23
Bài 10
Cho số tự nhiên n ≥ 3 và số nguyên tố p ≥ 2n − 3. Giả sử
M là một tập gồm n điểm trên mặt phẳng, không có 3 điểm nào
thẳng hàng, và hàm f : M → {0, 1, . . . , p −1} thỏa mãn
(i) Chỉ có một điểm của M có ảnh là 0, và
(ii) Nếu A, B, C là các điểm phân biệt của M và k là
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì :

P ∈M ∩k
f(P ) ≡ 0( mod p).
Hãy chứng tỏ rằng tất cả các điểm của M đều nằm trên một
đường tròn.
Bài 11
Cho x
1
, x
2
, . . . , x
n
, x
n+1
là các số thực dương thỏa mãn x
1
+
x
2
+ ···+ x

n
= x
n+1
. Chứng minh rằng:
n

i=1

x
i
(x
n+i
− x
i
) ≥




n

i=1
x
n+1
(x
n+1
− x
i
).
Bài 12

Cho x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng các mệnh đề sau
tương đương:
(i) x, y, z>0 và
1
x
+
1
y
+
1
z
≤ 1.
(ii) Với mọi tứ giác cạnh a, b, c, d : a
2
x + b
2
y + c
2
z > d
2
CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 24
1.14 Nga
Bài 1
Số nào có nhiều hơn trong các số tự nhiên trong khoảng 1 đến
1000000 : các số có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một bình
phương và một lập phương hay các số không biểu diễn được như
vậy?
Bài 2
Tâm O
1

, O
2
, O
3
của ba đường tròn cùng bán kính không giao
nhau tạo thành 3 đỉnh của một tam giác. Từ mỗi điểm O
1
, O
2
, O
3
kẻ các tiếp tuyến đến hai đường tròn còn lại. Biết rằng giao điểm
của các đường thẳng này tạo thành một lục giác lồi. Các cạnh
của lục giác được tô luân phiên các bởi màu đỏ và xanh. Chứng
minh rằng tổng độ dài của các cạnh màu xanh bằng tổng độ dài
của các cạnh màu đỏ.
Bài 3
Cho x, y, n, p, k là các số tự nhiên thỏa mãn:
x
n
+ y
n
= p
k
Chứng minh rằng nếu n > 1 là số lẻ và p là một số nguyên tố lẻ
thì n là một lũy thừa của p.
Bài 4
Trong nghị viện có 1600 nghị viên, tạo thành 16000 ủy ban,
mỗi ủy ban gồm 80 người. Chứng minh rằng có thể tìm được hai
ủy ban có chung không ít hơn 4 thành viên.

Bài 5
Chứng minh rằng một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là 1
và công sai 729 có vô số lũy thừa của 10.
Bài 6
Trong tam giác cân ABC(AC = BC) điểm O là tâm đường
tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp và D nằm trên
BC sao cho đường thẳng OD và BI vuông góc. Chứng minh rằng
ID và AC song song.