Số phức ôn thi đại học

TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12


TẬP 4

















ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009

Số phức Trần Só Tùng
Trang 102




1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức: C
· Số phức (dạng đại số) :
zabi
=+

(a, b
R
Ỵ
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo, i
2
= –1)

· z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau:
'
’’(,,',')
'
aa
abiabiababR
bb
ì
=
+=+ÛỴ
í
=
ỵ

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)
R
Ỵ
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi
(;)
uab
=
r
trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:

·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+++=+++ ·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+-+=-+-
· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
·
u
r
biểu diễn z,
'
u

r
biểu diễn z' thì
'
uu
+
rr
biểu diễn z + z’ và
'
uu
-
rr
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
·
(
)
(
)
(
)
(
)
'' ’–’’ ’
abiabiaabbabbai
++=++
·
()()
kabikakbikR
+=+Ỵ

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
zabi
=-

·
11
22
;'';.'.';
zz
zzzzzzzzzz
zz
ỉư
=±=±==
ç÷
èø
;
22
.
zzab
=+

· z là số thực Û
zz
=
; z là số ảo Û
zz
=-


6. Môđun của số phức : z = a + bi

·
22
zabzzOM
=+==
uuuur

·
0,,00
zzCzz
³"Ỵ=Û=

·
.'.'
zzzz
= ·
'
'
zz
z
z
= ·
'''
zzzzzz
-£±£+

7. Chia hai số phức:
·
1
2
1

zz
z
-
= (z
¹
0) ·
1
2
''.'.
'
.
zzzzz
zz
zzz
z
-
=== ·
'
'
z
wzwz
z
=Û=

I. SỐ PHỨC
CHƯƠNG
IV

SỐ PHỨC

Trần Só Tùng Số phức
Trang 103
8. Căn bậc hai của số phức:

·

zxyi
=+
là căn bậc hai của số phức
wabi
=+
Û
2
zw
=
Û
22
2
xya
xyb
ì
-=
í
=
ỵ

· w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
· w
0
¹

có đúng hai căn bậc hai đối nhau
· Hai căn bậc hai của a > 0 là
a
±
· Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
ai
±-

9. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0
¹
).

2
4
BAC
D=-

·
0
D¹
: (*) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
B
z
A

-±d
= , (
d
là 1 căn bậc hai của D)
·
0
D=
: (*) có 1 nghiệm kép:
12
2
B
zz
A
==-
Chú ý: Nếu z
0

Ỵ
C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:
·
(cossin)
zri
=j+j
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z
¹
0)

22
cos
sin
rab
a
r
b
r
ì
ï
=+
ï
ï
Ûj=
í
ï
ï
j=
ï
ỵ

·
j
là một acgumen của z,
(,)
OxOM
j=

·

1cossin()
zziR
=Û=+Ỵ
jjj

11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho
(cossin),''(cos'sin')
zrizri
=j+j=j+j
:
·
[
]
.''.cos(')sin(')
zzrri
=j+j+j+j
·
[ ]
cos(')sin(')
''
zr
i
zr
=j-j+j-j

12. Công thức Moa–vrơ:
·
[ ]
(cossin)(cossin)

n
n
rirnin
j+j=j+j
, (
*
nN
Ỵ
)
·
( )
cossincossin
n
inin
j+j=j+j

13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
· Số phức
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) có hai căn bậc hai là:

cossin
22
cossincossin
2222
ri
vàriri

ỉư
jj
+
ç÷
èø
éù
ỉưỉưỉư
jjjj
-+=+p++p
ç÷ç÷ç÷
êú
èøèøèø
ëû

· Mở rộng: Số phức
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) có n căn bậc n là:

22
cossin,0,1, ,1
n
kk
rikn
nn
ỉư
++
+=-

ç÷
èø
jpjp



Số phức Trần Só Tùng
Trang 104
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
(
)
(
)
(
)
4–23–5
iii
+++
b)
1
22
3
ii
ỉư
-+-

ç÷
èø
c)
( )
25
23
34
ii
ỉư

ç÷
èø

d)
131
32
322
iii
ỉưỉư
-+-+-
ç÷ç÷
èøèø
e)
3153
4545
ii
ỉưỉư
+ +
ç÷ç÷
èøèø

f)
(
)
(
)
233
ii
-+

g)
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3
h)
i
2
1
3
+
i)
i
i
-
+

1
1

k)
mi
m
l)
aia
aia
-
+
m)
)1)(21(
3
ii
i
+-
+

o)
1
2
i
i
+
-
p)
ai
bia +
q)

23
45
i
i
-
+

Bài 2. Thực hiện các phép toán sau:
a)
( ) ( )
22
11–
ii
+- b)
( ) ( )
33
23
ii
+
c)
( )
2
34
i
+
d)
3
1
3
2

i
ỉư
-
ç÷
èø
e)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+-+
+
f)
( )
6
2
i
-

g)
33
(1)(2)
ii
-+- h)
100
(1)
i
- i)

5
(33)
i
+
Bài 3. Cho số phức
zxyi
=+
. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
2
24
zzi
-+
b)
1
-
+
iz
iz

Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c
Ỵ
R:
a)
2
1
a
+
b)
2

23
a
+
c)
42
49
ab
+
d)
22
35
ab
+

e)
4
16
a
+
f)
3
27
a
-
g)
3
8
a
+
h)

42
1
aa
++

Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức:
a)
143
i
-+
b)
465
i
+
c)
126
i

d)
512
i
-+

e)
45
32
i

f)
724

i
-
g)
4042
i
-+
h)
1143.
i
+

i)
12
42
i
+ k)
512
i
-+
l)
86
i
+
m)
3356
i
-

VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức
Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình.

Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a) 0
2
=+ zz b) 0
2
2
=+ zz
c)
izz 422 -=+
d)
0
2
=- zz

e)
218
zzi
-=
f)
(
)
452
izi
-=+

Trần Só Tùng Số phức
Trang 105

g) 1
4
=
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
-
+
iz
iz
h)
i
i
z
i
i
+
+
-
=
-
+
2
31
1
2

i)
23112
zzi
-=- k)
( )( )
2
323
izii
-+=

l) 0)
2
1
](3)2[( =+++-
i
izizi m)
11
33
22
zii
ỉư
-=+
ç÷
èø

o)
35
24
i
i

z
+
=-
p)
(
)
(
)
2
3250
zizz
+-+=

q)
(
)
(
)
22
910
zzz
+-+=
r)
32
235330
zzzi
-++-=

Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x):
a) 01.3

2
=+- xx b) 02.32.23
2
=+- xx
c)
(
)
2
3430
xixi
+-=
d)
2
3.240
ixxi
+=

e)
2
320
xx
-+=
f)
2
.2.40
+-=
ixix
g)
3
3240

x
-=
h)
4
2160
x
+=

i)
5
(2)10
x
++=
k)
2
7 0
x
+=

l)
(
)
2
21420
xixi
++++=
m)
(
)
2

221840
xixi
++=

o)
2
440
ixxi
++-=
p)
(
)
2
230
xix
+-=

Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a)
2313
ivài
+-+
b)
244
ivài
-+

Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm:
a)
34

i
=+
a
b)
73
i
a=-
c)
25
i
=-
a

d)
23
i
a=
e)
32
i
a=-
f)
i
=-
a

g)
(2)(3)
ii
=+-

a
h)
51804538
234
iiii
=+++
a
i)
5
2
i
i
+
=
-
a

Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z
1
, z
2
thoả mãn điều kiện
đã chỉ ra:
a)
222
1212
10,:1
zmzmđkzzzz
-++=+=+
b)

233
12
350,:18
zmziđkzz
-+=+=

c)
222
12
30,:8
xmxiđkzz
++=+=

Bài 6. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình
(
)
(
)
2
123210
izizi
+-++-=
. Tính giá
trò của các biểu thức sau:
a)
22

12
Azz
=+
b)
22
1212
Bzzzz
=+ c)
12
21
zz
C
zz
=+

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
ỵ
í
ì
-=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1

21
b)
ỵ
í
ì
+-=+
=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
c)
35
12
24
12
0
.()1
zz
zz
ì
+=
ï
í
=

ï
ỵ

d)
123
123
123
1
1
1
zzz
zzz
zzz
ì
++=
ï
++=
í
ï
=
ỵ
e)
125
83
4
1
8
z
zi
z

z
ì
-
=
ï
-
ï
í
-
ï
=
ï
-
ỵ
f)
1
1
3
1
z
zi
zi
zi
ì
-
=
ï
-
ï
í

-
ï
=
ï
+
ỵ

Số phức Trần Só Tùng
Trang 106
g)
22
12
12
52
4
zzi
zzi
ì
ï
+=+
í
+=-
ï
ỵ
h)
2
1
ziz
ziz
ì

-=
ï
í
-=-
ï
ỵ
i)
22
1212
12
40
2
zzzz
zzi
ì
ï
++=
í
+=
ï
ỵ

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
212
3
xyi
xyi
ì
+=-

í
+=-
ỵ
b)
22
5
88
xyi
xyi
ì
+=-
í
+=-
ỵ
c)
4
74
xy
xyi
ì
+=
í
=+
ỵ

d)
22
1111
22
12

i
xy
xyi
ì
+=-
ï
í
ï
+=-
ỵ
e)
22
6
112
5
xy
xy
ì
+=-
ï
í
+=
ï
ỵ
f)
32
11171
2626
xyi
i

xy
ì
+=+
ï
í
+=+
ï
ỵ

g)
22
5
12
xyi
xyi
ì
+=-
í
+=+
ỵ
h)
33
1
23
xy
xyi
ì
+=
í
+=

ỵ



VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm
hệ thức giữa x và y.

Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
34
zz
++=
b)
12
zzi
-+-=
c) 22
zzizi
-+=-

d)
2.123
-=+
izz e)
2221
izz
-=-
f)

31
z
+=

g)
23
zizi
+=
h)
3
1
zi
zi
-
=
+
i)
12
zi
-+=

k) 2
ziz
+=-
l)
11
z
+<
m)
12

zi
<-<

Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
2
zi
+
là số thực b)
2
zi
-+
là số thuần ảo c)
.9
zz
=



VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) i.322 +- b) 4 – 4i c)
13.
i
-

d)

4
sin.
4
cos
p
p
i- e)
8
cos.
8
sin
p
p
i f) )1)(3.1( ii +-
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(
)
(
)
3cos20 sin20cos25 sin25
oooo
ii++ b)
5cos.sin.3cos.sin
6644
ii
ỉưỉư
pppp
++
ç÷ç÷

èøèø

c)
(
)
(
)
3cos120sin120cos45sin45
++
oooo
ii d) 5cossin3cossin
6644
ỉưỉư
++
ç÷
ç÷
èø
èø
pppp
ii
Trần Só Tùng Số phức
Trang 107
e)
(
)
(
)
2cos18sin18cos72sin72
++
oooo

ii f)
cos85sin85
cos40sin40
i
i
+
+
oo
oo

g)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
h)
2(cos45sin45)
3(cos15sin15)
i
i
+
+
oo
oo

i)

)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+
k)
22
2cossin
33
2cossin
22
ỉư
+
ç÷
èø
ỉư
+

ç÷
èø
pp
pp
i
i

Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a) 31 i- b)
1
i
+
c) )1)(31( ii +- d) )3.(.2 ii -
e)
i
i
+
-
1
31
f)
i
2
2
1
+
g)
j
j
cos.sin i

+
h)
22
i
+

i)
13
i
+ k)
3
i
-
l)
30
i
+
m)
5
tan
8
i
p
+

Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
a)
cos45sin45
oo
i+ b) 2cossin

66
ỉư
+
ç÷
èø
pp
i c)
(
)
3cos120sin120
oo
i+
d)
6
(2)
i
+
e)
3
(1)(12)
i
ii
+
+-
f)
1
i

g)
1

21
i
i
+
+
h)
( )
60
13
i-+ i)
40
7
13
(22).
1
i
i
i
ỉư
+
-
ç÷
-
èø

k)
133
cossin
44
2

i
ỉư
+
ç÷
èø
pp
l)
100
1
cossin
144
i
i
i
ỉưỉư
+
+
ç÷
ç÷
-èø
èø
pp
m)
( )
17
1
3
i
-

Bài 5. Tính:
a)
( )
5
cos12 sin12
oo
i+ b)
( )
16
1
i
+ c)
6
)3( i-
d)
( )
7
00
2cos30sin30i
éù
+
ëû
e)
5
(cos15sin15)
oo
i+ f)
20082008
(1)(1)ii++-
g)

21
321
335
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
-
+
i
i
h)
12
2
3
2
1
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
+ i i)

2008
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+
i
i

k)
57
(cossin).(13)
33
iii
pp
-+ l)
2008
2008
11
,1
zbiếtz
z
z
++=

Bài 6. Chứng minh:
a)

53
sin516sin20sin5sin
tttt
=-+
b)
53
cos516cos20cos5cos
tttt
=-+

c)
23
sin33cossin
ttt
=-
d)
3
cos34cos3cos
ttt
=-








Số phức Trần Só Tùng
Trang 108

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2)(32)(54)
iii
+-
b)
66
1317
22
ii
ỉưỉư
-+-
+
ç÷ç÷
èøèø

c)
168
11
11
ii
ii
ỉưỉư
+-
+
ç÷ç÷
-+
èøèø

d)
3758
2323
ii
ii
+-
+
+-

e)
(24)(52)(34)(6)
iiii
-+++
f)
232009
1
iiii
+++++

g)
200019992018247
iiiii
++++
h)
2
1 ,(1)
n
iiin
++++³

i)
232000
iiii
k)
571310094
()()()
iiiii

-+-++-
Bài 2. Cho các số phức
123
12,23,1
zizizi
=+=-+=-
. Tính:
a)
123
zzz
++
b)
122331
zzzzzz
++ c)
123
zzz

d)
222
123
zzz

++ e)
123
231
zzz
zzz
++
f)
22
12
22
23
zz
zz
+
+

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
432
(12)313,23
Azizizzivớizi
=+-++++=+

b)
232
1
(2)(2),(3)
2
Bzzzzzvớizi
=-+-+=-

Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
(12)(12)1
ixyii
-++=+
b)
33
33
xy
i
ii

+=
+-

c)
2222
1
(43)(32)4(32)
2
ixixyyxxyyi
-++=-+-
Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a)
86
i
+
b)
34

i
+
c)
1
i
+
d)
724
i
-

e)
2
1
1
i
i
ỉư
+
ç÷
-
èø
f)
2
13
3
i
i
ỉư
-

ç÷
ç÷
-
èø
g)
12
22
i
- h) i, –i
i)
3
13
i
i
-
+
k)
11
22
i
+
l)
(
)
213
i-+ m)
11
11
ii
+

+-

Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:
a)
i
-
b) –27 c)
22
i
+
d)
186
i
+

Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:
a)
212
i-
b)
3
i
+
c)
2
i
-
d)
724
i

-+

Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
3
1250
z
-=
b)
4
160
z
+=
c)
3
640
zi
+=
d)
3
270
zi
-=

e)
743
220
ziziz
=
f)

63
10
zizi
++-=
g)
105
(2)20
zizi
+-+-=

Bài 9. Gọi
12
;
uu
là hai căn bậc hai của
1
34
zi
=+
và
12
;
vv
là hai căn bậc hai của
2
34
zi
=-
. Tính
12

uu
+
12
vv
++
?
II. ÔN TẬP SỐ PHỨC


Trần Só Tùng Số phức
Trang 109
Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
5 0
z
+=
b)
2
2 2 0
zz
++=
c)
2
4 10 0
zz
++=

d)
2

5 9 0
zz
-+=
e)
2
2 3 1 0
zz
-+-=
f)
2
3 2 3 0
zz
-+=

g)
()()0
zzzz
+-=
h)
2
20
zz
++=
i)
2
2
zz
=+

k)

2323
zzi
+=+
l)
( ) ( )
2
2+2230
zizi
++-=
m)
3
zz
=

n)
2
2
488
zz
+=
o)
2
(12)10
iziz
+++=
p)
2
(1)2110
izi
+++=

Bài 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
44
560
zizi
zizi
ỉư
++
-+=
ç÷

èø
b)
( )( )
(
)
2
5330
zizzz
+-++=

c)
(
)
(
)
22
26 2160

zzzz
+-+-=
d)
( ) ( )
32
1330
zizizi
-+++-=

e)
( )
(
)
2
2 2 0
zizz
+-+=
f)
2
2210
zizi
-+-=

g)
(
)
(
)
2
51421250

zizi
+=
h)
2
8040991000
zzi
-+-=

i)
( ) ( )
2
363130
zizi
+ +-+=
k)
(
)
2
cossincossin0
zizi
-j+j+jj=

Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
(
)
2
34510
xixi
-++-=

b)
(
)
2
120
xixi
++ =
c)
2
320
xx
++=

d)
2
10
xx
++=
e)
3
10
x
-=

Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a)
32
220
ziziz
=

b)
(
)
(
)
32
344440
zizizi
+-+ +=

Bài 14. Tìm m để phương trình sau:
( )
(
)
22
220
zizmzmm
+-+-=

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức
Bài 15. Tìm m để phương trình sau:
32
(3)3()0
zizzmi
++ +=
có ít nhất một nghiệm thực
Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho
(2)()
zzi

-+
là số thực.
Bài 17. Giải các phương trình trùng phương:
a)
(
)
42
8163160
zizi
+-=
b)
(
)
42
2413081440
zizi
+-=

c)
42
6(1)560
zizi
++++=

Bài 18. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
(

)
2
12230
zizi
-++-=
. Tính giá trò
của các biểu thức sau:
a)
22
12
zz
+
b)
22
1212
zzzz
+ c)
33
12
zz
+

d)
12
2112
1212
zz
zzzz
ỉưỉư
+++

ç÷ç÷
ç÷ç÷
èøèø
e)
33
2112
zzzz
+ f)
12
21
zz
zz
+

Bài 19. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
2
10
xx
-+=
. Tính giá trò của các biểu
thức sau:
a)
20002000
12
xx+ b)
19991999

12
xx+ c)
12
,
nn
xxnN
+Ỵ

Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ
thức sau:
Số phức Trần Só Tùng
Trang 110
a)
3
z
zi
=
-
b)
22
1
zz
+=
c)
1
z
z
=

Bài 21. Hãy tính tổng

231
1
n
Szzzz
-
=++++
biết rằng
22
cossinzi
nn
pp
=+ .
Bài 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a)
432
1
iiii
++++
b)
(1)(2)
ii
-+
c)
2
1
i
i
+
-

d) 1sincos,0
2
i
-+<<
p
aaa
e) 3cossin
66
i
ỉư
-+
ç÷
èø
pp
f) cot,
2
i
+<<
p
apa

g) sin(1cos),0
2
i
+-<<
p
aaa

Bài 23. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a)

( )
( )
8
6
68
232(1)
(1)
232
ii
i
i
++
+
-
-
b)
( ) ( )
4
104
(1)1
3232
i
ii
-+
+
-+
c)
( ) ( )
1313
nn

ii++-
d)
sincos
88
i-+
pp
e)
cossin
44
i-
pp
f)
223
i
-+

g) 1sincos,0
2
i
-+<<
p
aaa
h)
1cossin
,0
1cossin2
i
i
++
<<

+-
aap
a
aa
i)
43
i
-

Bài 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a)
( )
( )
8
6
68
232(1)
(1)
232
ii
i
i
++
+
-
-
b)
( ) ( )
4
104

(1)1
3232
i
ii
-+
+
-+
c)
( ) ( )
1313
nn
ii++-
Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau có giá trò thực:
a)
( ) ( )
77
2525
ii++- b)
197205
976
nn
ii
ii
ỉưỉư
++
+
ç÷ç÷
-+
èøèø

c)
66
1313
22
ii
ỉưỉư
-+
+
ç÷ç÷
èøèø
d)
55
1313
22
ii
ỉưỉư
-+
+
ç÷ç÷
èøèø

e)
66
33
22
ii
ỉưỉư
+-
+
ç÷ç÷

èøèø

Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
3
23
2
zi
-+=
. Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất.
Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:

426
; (1)(12);
13
ii
ii
ii
+
-+


a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Bài 28. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a)
32
(22)(54)100
zizizi
+-+ =

b)
32
(1)(1)0
zizizi
+++ =

c)
32
(45)(820)400
zizizi
+-+ =

Bài 29. Cho đa thức
32
()(36)(1018)30
Pzzizizi
=+-+-+.
Trần Só Tùng Số phức
Trang 111
a) Tính
(3)
Pi
-
b) Giải phương trình
()0
Pz
=
.
Bài 30. Giải phương trình
2

1
2
7
z
z
z
ỉư
+
=-
ç÷
-
èø
, biết
34
zi
=+
là một nghiệm của phương trình.
Bài 31. Giải các phương trình sau:
a)
432
2210
zzzz
+-++=
b)
432
2210
zzzz
+=

c)

(
)
(
)
(
)
432
12221210
zzzz
-+++-++=
d)
432
464150
zzzz
-+ =

e)
65432
13141310
zzzzzz
+ ++=

Bài 32. Giải các phương trình sau:
a)
2222
(36)2(36)30
zzzzzz
+++++-=
b)
3

8
zi
zi
ỉư
+
=
ç÷
-
èø

c)
242224
(1)6(1)50
zzzzzz
-+ ++=
d)
32
10
zizizi
zizizi
ỉưỉưỉư

+++=
ç÷ç÷ç÷
+++
èøèøèø

Bài 33. Chứng minh rằng: nếu
1
z

£
thì
2
1
2
zi
iz
-
£
+
.
Bài 34. Cho các số phức
123
,,
zzz
. Chứng minh:
a)
2222222
122331123123
zzzzzzzzzzzz
+++++=+++++
b)
(
)
(
)
2222
121212
111zzzzzz++-=++
c)

(
)
(
)
2222
121212
111zzzzzz =
d) Nếu
11
zzc
==
thì
22
2
1212
4
zzzzc
++-=.

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.