Hàm số ôn thi đại học và cao đẳng

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

1
HÀM SỐ
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) đƣợc gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x

+ Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x

2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f‟(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f‟(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.
B3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
3 2 2
42
11
. y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0)
32
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x
xd

Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x

Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phƣơng pháp

+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2y x x
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a. Chứng minh hàm số
2
9yx
đồng biến trên nửa khoảng [3; + ).
b. Hàm số
4
yx
x
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a. Hàm số
3
21
x
y
x
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số
2
23
21
xx
y

x
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c. Hàm số
2
8y x x
nghịch biến trên R.
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

2

Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trƣớc đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trƣớc
Phƣơng pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
32
1
( ) ax 4 3
3
f x x x
đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số
22
56
()
3
x x m
fx

x
đồng biến trên khoảng
(1; )

Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
yx
x
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4mx
y
xm

a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )

c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1)

Ví dụ 11
Cho hàm số
32
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x
. Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng
(2; )

Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a
đồng biến trên
[2:+ )

Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phƣơng pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ()f a f x f

+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b

Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

2
23
11
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
xx
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
26
x
a x x x
cx

Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2

b. Chứng minh rằng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x

Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) tanx - xfx

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

3

a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2

b. Chứng minh
3
tan , (0; )
32
x
x x x

Ví dụ 3
Cho hàm số
4
( ) tanx, x [0; ]
4
f x x

a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4

b. Chứng minh rằng
4
tan , [0; ]
4
x x x

 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phƣơng pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f‟(x). Tìm các điểm tại đó f‟(x) = 0 hoặc f‟(x)
không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f‟(x). Giải phƣơng trình f‟(x) = 0 và kí hiệu
là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x

i
) < 0
thì hàm số có cực đại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thƣờng dùng với hàm số lƣợng giác hoặc việc giải phƣơng trình f‟(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
32
2 3 36 10y x x x

Qui tắc I.
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x

+
-
- 54
71
+
+

-
0
0
2
-3
+
-
y
y'
x

Vậy x = -3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x

y”= 12x + 6
y‟‟(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y‟‟(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và
y
cđ
=71


Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

4
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
22
22

2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
22
3
22
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
xx
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y‟ = f‟(x)
B2: Giải phƣơng trình f‟(a) = 0 tìm đƣợc m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f‟(a) = 0
không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y‟(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m

Với m = 1 ta đƣợc hàm số: y = x
3
– 3x

2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực
tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác định m để hàm số
32
3 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x

Bài 2. Tìm m để hàm số
32
2
( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x

Bài 3. Tìm m để hàm số
2
1
®³t cùc ®³i t³i x = 2
x mx
y
xm

Bài 4. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®³t cùc tiÓu t³i x = 1y x mx m x

Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
32
( ) axf x x bx c
đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
()
1
q
f x xp
x
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
fx
x

+ Nếu
0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã h¯m sè lu«n ®ång biÕn . H¯m sè kh«ng cã cùc trÞ.q

+ Nếu q > 0 thì:
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

5
2
2
1
21
'( ) 0
( 1)
1
xq
x x q
fx
x
xq

Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: „Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.‟
Phƣơng pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:
Hàm số
32
ax ( 0)y bx cx d a
có cực trị khi và chỉ khi phƣơng trình y‟ = 0 có hai nghiệm phân
biệt.
Cực trị của hàm phân thức
()
()
px

y
Qx
. Giả sử x
0
là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x
0
) có thể đƣợc tính
bằng hai cách: hoặc
00
00
00
( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
yx
Q x Q x

Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
2
32
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
32
mx m
a x mx m x b
x

Hƣớng dẫn.
a. TXĐ: R

2
' 2 6y x mx m
.
Để hàm số có cực trị thì phƣơng trình:
2
2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m

2
3
' 6 0
2
m
mm
m

b. TXĐ:
\2


22
22
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
¯m sè cã cùc ®³i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh²c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0

x m x x mx m x x m
y
xx
H y c x x m
m
m
mm

Bài 1. Tìm m để hàm số
32
3 2. Víi gi² trÞ n¯o cña m th× h¯m sè cã C§, CT?y x mx

Bài 2. Tìm m để hàm sô
23
( 1) 1x m m x m
y
xm
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
32
2 ± 12 13y x x
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị
cách đều trục tung.
Bài 4. Hàm số
32
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.

Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 6. Cho hàm số
2
24
2
x mx m
y
x
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trƣớc.
Phƣơng pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

6
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ .

Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432

. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
22
22
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
22
3
22

x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
xx
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Bài 5. Xác định m để hàm số
32
3 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x

Bài 6. Tìm m để hàm số
32
2
( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x

Bài 7. Tìm m để hàm số

2
1
®³t cùc ®³i t³i x = 2
x mx
y
xm

Bài 8. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®³t cùc tiÓu t³i x = 1y x mx m x

Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
32
( ) axf x x bx c
đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
()
1
q
f x xp
x
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2

Bài 11. Tìm m để hàm số
32
3 2. Víi gi² trÞ n¯o cña m th× h¯m sè cã C§, CT?y x mx

Bài 12. Tìm m để hàm sô
23

( 1) 1x m m x m
y
xm
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
32
2 ± 12 13y x x
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị
cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số
32
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2
24
2
x mx m
y
x

. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

7



 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
;ab
:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y‟ = f‟(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f‟(x), lập bảng biến thiên





Trong đó tại x
0
thì f‟(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò x
i

;ab
(i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2: Tính
12
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b

B3: GTLN = max{
12
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
12
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
yx
x
trên khoảng
(0; )

Hƣớng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )

2
2
22
11
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
xx
.
Dễ thấy
1 (0; )x

Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x
trên đoạn [-4; 0]
Hƣớng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
22
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0

3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
33
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o³n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o³n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o³n [-4; 3]
a x x x
x x x

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
GTLN
-
+
y

y'
b
x
0
a
x
GTNN
+
-
y
y'
b
x
0
a
x
+
+
0
2
+
-
y
y'
+
1
0
x
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

8
2
x1
. f(x) = trªn nöa kho°ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho°ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a
13
= trªn kho°ng ( ; )
cosx 2 2

 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau đƣợc thoả mãn:
00
lim ( ) , hoÆc lim ( )
xx
f x y f x y

x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x

Đƣờng thẳng y = ax + b (

0a
) đƣợc gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0
xx
f x f x

II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
()
()
Px
y
Qx

Phƣơng pháp
Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên đƣợc xác định bằng cách
phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
()x
với
lim ( ) 0
x
x
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2

2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x

Hƣớng dẫn
a. Ta thấy
22
2 1 2 1
lim ; lim
22
xx
xx
xx
nên đƣờng thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì
1
2
21
lim lim 2
2
2
1
xx
x
x
x
x

nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim
3
x
xx
x
. Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
1
2
3
yx
x
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
xx
x
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số.
c. Ta thấy
2
1
2
lim .

1
x
x
x
Nên x = 1 là đƣờng tiệm cận đứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
. Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+
2
2
2
12
2
lim 0
1
1
1
x
x
xx
x
x

. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

9
Dng 2. Tim cn ca hm vụ t
2
ax ( 0)y bx c a

Phng phỏp
Ta phõn tớch
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a

Vi
lim ( ) 0
x
x
khi ú
()
2
b
y a x
a
cú tim cn xiờn bờn phi
Vi
lim ( ) 0

x
x
khi ú
()
2
b
y a x
a
cú tim cn xiờn bờn tr ỏi
Ví dụ
Tìm tiệm cận của hàm số:
2
9 18 20y x x

H-ớng dẫn
2
9( 2) 6yx

Các tính giới hạn vô cực của hàm số
()
()
fx
y
gx

lim ( )
0
fx
xx

lim ( )
0
gx
xx

Dấu của g(x)
()
lim
()
0
fx
xx
gx

L

Tuỳ ý
0
L > 0
0
+
+
-
-
L < 0
0
-
+
+
-

Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y = d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1

Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
32

22
1 2x
g. y = x- 3 + h. y =
2(x- 1) 1
x
x

Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1
1
.
4
x
a
x
x
cy
x



Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
22

3
2( 2) 1
x
y
x m x m
có đúng 2 tiệm cận đứng.
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

10
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
22
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
12
xx

a
xx

Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
tạo với hai trục toạ độ
một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x
(1)
a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)A

b. Tìm m để đ-ờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
yx
tại hai điểm phân biệt.

4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số

32
(a 0)y ax bx cx d

Ph-ơng pháp
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đ-ờng tiệm cận.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đ-ờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
32
31y x x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của ph-ơng trình:
32
31x x m

H-ớng dẫn
a.
1. TXĐ:
D

2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực

33
23
33
23
31
lim ( 3 1) lim (1 )
31
lim ( 3 1) lim (1 )
xx
xx
x x x
xx
x x x
xx

c. Bảng biến thiên
22
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) v (2; + )

Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y
CĐ

=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y
CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0y
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+
'' 0 6 6 0 1y x x
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
3
-
+
-1
-
-
+
0
0
2
0
+
-
y
y'
x
2

-2
-5
5
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

11
Số nghiệm của ph-ơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
32
31y x x
và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Ph-ơng trình có 1 nghiệm.

3 phơng trình có 2 nghiệm
-1< m < 3: Phơng trình có 3 nghiệm.
m = -1: Phơng trình có 2 nghiệm
m < -1: Phơng trình có 1nghiệm
m




Các bài toán về hàm bậc ba
Bài 1(TNTHPT 2008)
Cho hàm số
32
2 3 1y x x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của ph-ơng trình

32
2 3 1x x m


Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình
32
30x x m
có 3 nghiệm phân biệt.

Bi 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hm s y=
3
32xx
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .

Bi 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hm s y=
32
3xx
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .

b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
32
3xx
-m=0 .

Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)
Cho hm s y=
32
69x x x
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có honh độ l nghiệm của phơng trình y=0 .
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng y=x+m
2
-m i qua trung im ca on thng ni cc i vo cc
tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=
3 2 3
34x mx m
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .

Bài 7 (ĐH- A- 2002)
Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1

b. Tìm k để ph-ơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k
có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

12
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b. Tìm m để nghiệm của phơng trình y= 0 thuộc đờng thẳng y = x+ 1





Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

Bài 3
Cho hàm số
32
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)
Cho hàm số
3
32y x x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đ-ờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đ-ờng thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm
phần biệt. (Gợi ý đ-ờng thẳng d qua M(x
0

;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
22x mx m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Hàm bậc bốn trùng ph-ơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng ph-ơng
Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho

0a

Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu
2
' 0 2 (2 ) 0y x ax b
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a

Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.
Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

13
Cho hàm số
42
2y x x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b. Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị

Bài tập hàm số trùng ph-ơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
15
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x+
22
a x x x
d x x 1

Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
21y x m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải ph-ơng trình
42
2 1 0xx

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
42
21xx

c. Biện luận theo m số nghiệm của ph-ơng trình
42

2 1 0x x m

Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số
42
m
2 (C )y x mx

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
42
54y x x

2. Xác định m để ph-ơng trình
4 2 2
5 3 0x x m
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
44
x
yx

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2y k x

Bài 7
Cho hàm số
4 2 3 2
2y x mx m m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đồ thị
()
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)
Cho hàm số
42
22y x x m
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

14

HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
),(:)( mxfyC
m
( m là tham số )
Biện luận theo m số đường cong của họ
)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM
cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta có :
Họ đường cong
)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM

),(
00
mxfy

(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

Cụ thể:
Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0

Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0

Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong
)(
m
C


D¹ng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
),(:)( mxfyC
m
( m là tham số )

Tìm điểm cố đònh của họ đường cong (C
m
)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Gọi
);(
000
yxM
là điểm cố đònh (nếu có) mà họ (C
m
) đi qua. Khi đó phương trình:

),(
00
mxfy
nghiệm đúng m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0BAm

m

Dạng 2:
0
2
CBmAm

m

Áp dụng đònh lý:
0BAm
0
0
B
A
m
(2)

0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx



Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (C
m
)

3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m
. CMR: Khi m thay ®ỉi th× hä ®-êng cong
lu«n qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (C
m
):
1mx
xm
. T×m c¸c ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cđa hµm sè lu«n ®i qua víi mäi
1m

Bµi 3. Cho hä (C
m
) cã ph-¬ng tr×nh:
2
1
1
x mx m
y
x
. Chøng minh r»ng (C
m
) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
CtnSharing.Com Download Ebook Free !!!

15
Bài 4. Cho hàm số (C
m
):

3
32y x mx m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Chứng minh rằng họ đ-ờng cong luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho hàm số:
1
, m 1
mx
y
xm
. Gọi (H
m
) là đồ thị của hàm số đã cho.
a. Chứng minh rằng với mọi
1m
, họ đ-ờng cong luôn qua 2 điểm cố định.
b. Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
32
m
( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )y m x m x m x m
. Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua ba
điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đ-ờng thẳng.

Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Ph-ơng pháp:
B1: Giả sử M(x
0
; y

0
) là điểm mà họ đ-ờng cong không thể đi qua.
B2: Khi có ph-ơng trình:
),(
00
mxfy
vô nghiệm với m từ đó tìm đ-ợc (x
0
; y
0
)
B3: Kết luận về điểm mà họ đ-ờng cong không thể đi qua.

Bài 1. Cho hàm số
22
m
( 2)( 2 1) (C )y x x mx m
. Tìm các điểm mà (C
m
) không thể đi qua.
Bài 2. Cho hàm số
2
(3 1)m x m m
y
xm

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm các điểm trên đ-ờng thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi qua.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số
32

m
2 3( 3) 18 8 (C )y x m x mx
. Chứng minh rằng trên đ-ờng cong y = x
2
có hai
điểm mà (C
m
) không đi qua với mọ m.

CHUYấN : PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T
I. PHNG PHP BIN I TNG NG
1. Bỡnh phng 2 v ca phng trỡnh
a) Phng phỏp
Thụng thng nu ta gp phng trỡnh dng :
A B C D
, ta thng bỡnh phng 2 v , iu
ú ụi khi li gp khú khn hóy gii vớ d sau

3 3 3 3
33
3.A B C A B A B A B C

v ta s dng phộp th :
33
A B C
ta c phng trỡnh :
3
3 . .A B ABC C

b) Vớ d
Bi 1. Gii phng trỡnh sau :
3 3 1 2 2 2x x x x

Gii: k
0x

Bỡnh phng 2 v khụng õm ca phng trỡnh ta c:
1 3 3 1 2 2 1x x x x x
, gii phng
trỡnh ny d nhiờn l khụng khú nhng hi phc tp mt chỳt .
Phng trỡnh gii s rt n gin nu ta chuyn v phng trỡnh :
3 1 2 2 4 3x x x x

Bỡnh phng hai v ta cú :
22
6 8 2 4 12 1x x x x x

Th li x=1 tha
Nhn xột : Nu phng trỡnh :
f x g x h x k x

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

16
Mà có :
f x h x g x k x
, thì ta biến đổi phƣơng trình về dạng :
f x h x k x g x
sau đó bình phƣơng ,giải phƣơng trình hệ quả

Bài 2. Giải phƣơng trình sau :
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x

Giải:
Điều kiện :
1x

Bình phƣơng 2 vế phƣơng trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển nhƣ thế nào?
Ta có nhận xét :
3
2
1
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
, từ nhận xét này ta có lời giải nhƣ sau :
3
2
1
(2) 3 1 1

3
x
x x x x
x

Bình phƣơng 2 vế ta đƣợc:
3
22
13
1
1 2 2 0
3
13
x
x
x x x x
x
x

Thử lại :
1 3, 1 3xx
l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phƣơng trình :
f x g x h x k x

Mà có :
f x h x k x g x
thì ta biến đổi
f x h x k x g x

2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a) Phƣơng pháp
Một số phƣơng trình vô tỉ ta có thể nhẩm đƣợc nghiệm
0
x
nhƣ vậy phƣơng trình luôn đƣa về đƣợc dạng
tích
0
0x x A x
ta có thể giải phƣơng trình
0Ax
hoặc chứng minh
0Ax
vô nghiệm , chú ý
điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
0Ax
vô nghiệm
b) Ví dụ
Bài 1 . Giải phƣơng trình sau :
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x

Giải:
Ta nhận thấy :
22
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x
v
22

2 3 4 3 2x x x x

Ta có thể trục căn thức 2 vế :
22
22
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
xx
x x x
x x x x

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình .
Bài 2. Giải phƣơng trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :
22
12 5 3 5x x x

Giải: Để phƣơng trình có nghiệm thì :
22
5
12 5 3 5 0
3
x x x x

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phƣơng trình , nhƣ vậy phƣơng trình có thể phân tích về dạng
20x A x
, để thực hiện đƣợc điều đó ta phải nhóm , tách nhƣ sau :
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

17

22
22
22
22
44
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
21
2 3 0 2
12 4 5 3
xx
x x x x
xx
xx
xx
xx

Dễ dàng chứng minh đƣợc :
22
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
xx
x
xx

Bài 3. Giải phƣơng trình :
23
3

11x x x

Giải :Đk
3
2x

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phƣơng trình , nên ta biến đổi phƣơng trình
2
23
3
23
22
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
25
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
xx

Ta chứng minh :
2
2
2 2 2
33

3
33
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
xx
x x x
2
3
39
25
xx
x

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đƣa về “hệ tạm “
a) Phƣơng pháp
 Nếu phƣơng trình vô tỉ có dạng
A B C
, mà :
A B C

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
x
. Ta có thể giải nhƣ sau :
AB
C A B
AB
, khi đĩ ta có hệ:
2
A B C

AC
AB

b) Ví dụ
Bài 4. Giải phƣơng trình sau :
22
2 9 2 1 4x x x x x

Giải:
Ta thấy :
22
2 9 2 1 2 4x x x x x

4x
không phải là nghiệm
Xét
4x

Trục căn thức ta có :
22
22
28
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x

Vậy ta có hệ:
22

2
22
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x

Thử lại thỏa; vậy phƣơng trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
8
7


Bài 5. Giải phƣơng trình :
22
2 1 1 3x x x x x

Ta thấy :
2 2 2
2 1 1 2x x x x x x
, nhƣ vậy không thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt
1
t

x
thì bài toán trở nên đơn giản hơn
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

18
Bài tập đề nghị
Giải các phƣơng trình sau :
22
3 1 3 1x x x x

4 3 10 3 2xx
(HSG Toàn Quốc
2002)
2 2 5 2 10x x x x x

2
3
4 1 2 3x x x


23
3
1 3 2 3 2x x x

2
3
2 11 21 3 4 4 0x x x
(OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x

22
2 16 18 1 2 4x x x x

22
15 3 2 8x x x



3. Phƣơng trình biến đổi về tích
 Sử dụng đẳng thức
1 1 1 0u v uv u v

0au bv ab vu u b v a

22
AB

Bài 1. Giải phƣơng trình :
2
3
33
1 2 1 3 2x x x x

Giải:
33
0
1 1 2 1 0
1
x

pt x x
x

Bi 2. Giải phƣơng trình :
22
33
33
1x x x x x

Giải:
+
0x
, không phải là nghiệm
+
0x
, ta chia hai vế cho x:
3 3 3
33
11
1 1 1 1 0 1
xx
x x x x
xx

Bài 3. Giải phƣơng trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x

Giải:
:1dk x

pt
1
3 2 1 1 0
0
x
x x x
x

Bài 4. Giải phƣơng trình :
4
34
3
x
xx
x

Giải:
Đk:
0x

Chia cả hai vế cho
3x
:
2
4 4 4
1 2 1 0 1
3 3 3
x x x
x

x x x

 Dùng hằng đẳng thức
Biến đổi phƣơng trình về dạng :
kk
AB

Bài 1. Giải phƣơng trình :
33x x x

Giải:
Đk:
03x
khi đó pt đ cho tƣơng đƣơng :
32
3 3 0x x x
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
xx

Bài 2. Giải phƣơng trình sau :
2
2 3 9 4x x x

Giải:
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

19

Đk:
3x
phƣơng trình tƣơng đƣơng :
2
2
1
3 1 3
1 3 9
5 97
3 1 3
18
x
xx
xx
x
xx

Bài 3. Giải phƣơng trình sau :
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x

Giải : pttt
3
33
2 3 0 1x x x

II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông thƣờng
 Đối với nhiều phƣơng trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt
t f x
và chú ý điều kiện của
t
nếu
phƣơng trình ban đầu trở thành phƣơng trình chứa một biến
t
quan trọng hơn ta có thể giải đƣợc phƣơng trình
đó theo
t
thì việc đặt phụ xem nhƣ “hoàn toàn ” .Nói chung những phƣơng trình mà có thể đặt hoàn toàn
t f x
thƣờng là những phƣơng trình dễ .
Bài 1. Giải phƣơng trình:
22
1 1 2x x x x

Điều kiện:
1x

Nhận xét.
22
1. 1 1x x x x

Đặt
2
1t x x
thì phƣơng trình có dạng:

1
21tt
t

Thay vào tìm đƣợc
1x

Bài 2. Giải phƣơng trình:
2
2 6 1 4 5x x x

Giải
Điều kiện:
4
5
x

Đặt
4 5( 0)t x t
thì
2
5
4
t
x
. Thay vào ta có phƣơng trình sau:
42
2 4 2
10 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0

16 4
tt
t t t t t

22
( 2 7)( 2 11) 0t t t t

Ta tìm đƣợc bốn nghiệm là:
1,2 3,4
1 2 2; 1 2 3tt

Do
0t
nên chỉ nhận các gái trị
13
1 2 2, 1 2 3tt

Từ đó tìm đƣợc các nghiệm của phƣơng trình l:
1 2 2 3 vaø xx

Cách khác: Ta có thể bình phƣơng hai vế của phƣơng trình với điều kiện
2
2 6 1 0xx

Ta đƣợc:
2 2 2
( 3) ( 1) 0x x x
, từ đó ta tìm đƣợc nghiệm tƣơng ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt :
2 3 4 5yx

và đƣa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đƣa về hệ)
Bài 3. Giải phƣơng trình sau:
5 1 6xx

Điều kiện:
16x

Đặt
1( 0)y x y
thì phƣơng trình trở thnh:
2 4 2
5 5 10 20 0y y y y y
( với
5)y
22
( 4)( 5) 0y y y y
1 21 1 17
,
22
(loaïi)yy

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

20
Từ đó ta tìm đƣợc các giá trị của
11 17
2
x

Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phƣơng trình sau :

2
2004 1 1x x x

Giải: đk
01x

Đặt
1yx
pttt
2
2
2 1 1002 0 1 0y y y y x

Bài 5. Giải phƣơng trình sau :
2
1
2 3 1x x x x
x

Giải:
Điều kiện:
10x

Chia cả hai vế cho x ta nhận đƣợc:
11
23xx
xx

Đặt
1

tx
x
, ta giải đƣợc.
Bài 6. Giải phƣơng trình :
2 4 2
3
21x x x x

Giải:
0x
không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta đƣợc:
3
11
2xx
xx

Đặt t=
3
1
x
x
, Ta có :
3
20tt
15
1
2
tx

Bài tập đề nghị
Giải các phƣơng trình sau
22
15 2 5 2 15 11x x x x

2
( 5)(2 ) 3 3x x x x

2
(1 )(2 ) 1 2 2x x x x

22
17 17 9x x x x

2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x


22
11 31xx

2 2 2
2 (1 ) 3 1 (1 ) 0
n
nn
x x x

2
(2004 )(1 1 )x x x

( 3 2)( 9 18) 168x x x x x

3
22
1 2 1 3xx



Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ nhƣ trên chúng ta chỉ giải quyết đƣợc một lớp bài đơn giản, đôi khi phƣơng
trình đối với
t
lại quá khó giải
2. Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biết cách giải phƣơng trình:
22
0u uv v
(1) bằng cách
Xét
0v
phƣơng trình trở thành :
2
0
uu
vv

0v
thử trực tiếp
Các trƣờng hợp sau cũng đƣa về đƣợc (1)

a A x bB x c A x B x


22
u v mu nv

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

21
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận đƣợc phƣơng trình vô tỉ theo
dạng này .
a) . Phƣơng trình dạng :
a A x bB x c A x B x

Nhƣ vậy phƣơng trình
Q x P x
có thể giải bằng phƣơng pháp trên nếu
.P x A x B x
Q x aA x bB x

Xuất phát từ đẳng thức :

32
1 1 1x x x x

4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1x x x x x x x x x

4 2 2
1 2 1 2 1x x x x x

4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1x x x x x

Hãy tạo ra những phƣơng trình vô tỉ dạng trên ví dụ nhƣ:
24
4 2 2 4 1x x x

Để có một phƣơng trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phƣơng trình bậc hai
2
0at bt c
giải “
nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phƣơng trình :
23
2 2 5 1xx

Giải: Đặt
2
1, 1u x v x x

Phƣơng trình trở thành :
22
2
25
1
2
uv
u v uv
uv
Tìm đƣợc:

5 37
2
x

Bài 2. Giải phƣơng trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x

Bài 3: giải phƣơng trình sau :
23
2 5 1 7 1x x x

Giải:
Đk:
1x

Nhận xt : Ta viết
22
1 1 7 1 1x x x x x x

Đồng nhất thức ta đƣợc:
22
3 1 2 1 7 1 1x x x x x x

Đặt
2
1 0, 1 0u x v x x

, ta đƣợc:
9
3 2 7
1
4
vu
u v uv
vu

Ta đƣợc :
46x

Bài 4. Giải phƣơng trình :
3
32
3 2 2 6 0x x x x

Giải:
Nhận xét : Đặt
2yx
ta hãy biến pt trên về phƣơng trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
xy
x x y x x xy y
xy

Pt có nghiệm :
2, 2 2 3xx

b).Phƣơng trình dạng :
22
u v mu nv

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

22
Phƣơng trình cho ở dạng này thƣờng khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhƣg nếu ta bình phƣơng hai vế thì đƣa
về đƣợc dạng trên.
Bài 1. giải phƣơng trình :
2 2 4 2
3 1 1x x x x

Giải:
Ta đặt :
2
2
1
ux
vx
khi đó phƣơng trình trở thành :
22
3u v u v

Bài 2.Giải phƣơng trình sau :
22
2 2 1 3 4 1x x x x x

Giải

Đk
1
2
x
. Bình phƣơng 2 vế ta có :
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x

Ta có thể đặt :
2
2
21
u x x
vx
khi đó ta có hệ :
22
15
2
15
2
uv
uv u v
uv

Do
,0uv
.
2
1 5 1 5
2 2 1

22
u v x x x

Bài 3. giải phƣơng trình :
22
5 14 9 20 5 1x x x x x

Giải:
Đk
5x
. Chuyển vế bình phƣơng ta đƣợc:
22
2 5 2 5 20 1x x x x x

Nhận xét : không tồn tại số
,
để :
22
2 5 2 20 1x x x x x
vậy ta không thể đặt
2
20
1
u x x
vx
.
Nhƣng may mắn ta có :
22
20 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x

Ta viết lại phƣơng trình:
22
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x
. Đến đây bài toán đƣợc giải quyết
.
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phƣơng trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ những phƣơng trình tích
1 1 1 2 0x x x
,
2 3 2 3 2 0x x x x

Khai triển và rút gọn ta sẽ đƣợc những phƣơng trình vô tỉ không tầm thƣờng chút nào, độ khó của phƣơng trình
dạng này phụ thuộc vào phƣơng trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phƣơng trình dạng này .Phƣơng pháp giải đƣợc thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phƣơng trình :
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x

Giải:
2
2tx
, ta có :
2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x

tx

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

23
Bài 2. Giải phƣơng trình :
22
1 2 3 1x x x x

Giải:
Đặt :
2
2 3, 2t x x t
Khi đó phƣơng trình trở thnh :
2
11x t x
2
1 1 0x x t

Bây giờ ta thêm bớt , để đƣợc phƣơng trình bậc 2 theo t có chẵn
:
22
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
tx

Từ một phƣơng trình đơn giản :
1 2 1 1 2 1 0x x x x
, khai triển ra ta sẽ đƣợc pt sau
Bài 3. Giải phƣơng trình sau :
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x

Giải:
Nhận xét : đặt
1tx
, pttt:
4 1 3 2 1x x t t x
(1)
Ta rút
2
1xt
thay vào thì đƣợc pt:
2
3 2 1 4 1 1 0t x t x

Nhƣng không có sự may mắn để giải đƣợc phƣơng trình theo t
2
2 1 48 1 1xx
không có
dạng bình phƣơng .
Muốn đạt đƣợc mục đích trên thì ta phải tách 3x theo
22
1 , 1xx

Cụ thể nhƣ sau :

3 1 2 1x x x
thay vào pt (1) ta đƣợc:
Bài 4. Giải phƣơng trình:
2
2 2 4 4 2 9 16x x x

Giải .
Bình phƣơng 2 vế phƣơng trình:
22
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x

Ta đặt :
2
2 4 0tx
. Ta đƣợc:
2
9 16 32 8 0x t x

Ta phải tách
2 2 2
9 2 4 9 2 8x x x
làm sao cho
t
có dạng chính phƣơng .
Nhận xét : Thông thƣờng ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt đƣợc mục đích
4. Đặt nhiều ẩn phụ đƣa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra đƣợc những phƣơng trình vô tỉ mà khi giải nó
chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đƣa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức
3

3 3 3
3a b c a b c a b b c c a
, Ta có
3
3 3 3
0a b c a b c a b a c b c

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phƣơng trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
22
33
3
7 1 8 8 1 2x x x x x

3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0x x x x

Bài 1. Giải phƣơng trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x

Giải :
2
3
5
ux
vx
wx
, ta có :
2
2
2

2
2
33
5
5
u v u w
u uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu
v w u w
, giải hệ ta đƣợc:
30 239
60 120
ux

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

24
Bài 2. Giải phƣơng trình sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x

Giải . Ta đặt :
2
2
2
2
21
32
2 2 3

2
ax
b x x
c x x
d x x
, khi đó ta có :
2 2 2 2
2
a b c d
x
a b c d

Bài 3. Giải các phƣơng trình sau
1)
22
4 5 1 2 1 9 3x x x x x

2)
3
32
4
4
4
4
1 1 1 1x x x x x x x x

5. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đƣa về hệ thông thƣờng
 Đặt
,u x v x

và tìm mối quan hệ giữa
x
và
x
từ đó tìm đƣợc hệ theo u,v
Bài 1. Giải phƣơng trình:
33
33
25 25 30x x x x


Đặt
3
3 3 3
35 35y x x y

Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ phƣơng trình sau:
33
( ) 30
35
xy x y
xy
, giải hệ này ta tìm đƣợc
( ; ) (2;3) (3;2)xy
. Tức là nghiệm của phƣơng trình là
{2;3}x

Bài 2. Giải phƣơng trình:
4
4

1
21
2
xx

Điều kiện:
0 2 1x

Đặt
4
4
21
0 2 1,0 2 1
xu
uv
xv

Ta đƣa về hệ phƣơng trình sau:
4
4
2
24
4
4
1
1
2
2
1
21

21
2
uv
uv
uv
vv

Giải phƣơng trình thứ 2:
2
22
4
1
( 1) 0
2
vv
, từ đó tìm ra
v
rồi thay vào tìm nghiệm của phƣơng trình.
Bài 3. Giải phƣơng trình sau:
5 1 6xx

Điều kiện:
1x

Đặt
1, 5 1( 0, 0)a x b x a b
thì ta đƣa về hệ phƣơng trình sau:
2
2
5

( )( 1) 0 1 0 1
5
ab
a b a b a b a b
ba

Vậy
11 17
1 1 5 1 1 5
2
x x x x x

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

25
Bài 8. Giải phƣơng trình:
6 2 6 2 8
3
55
xx
xx

Giải
Điều kiện:
55x

Đặt
5 , 5 0 , 10u x v y u v
.
Khi đó ta đƣợc hệ phƣơng trình:

2
22
( ) 10 2
10
24
4 4 8
( ) 1
2( )
3
3
u v uv
uv
uv
uz
uv
uv


5.2 Xây dựng phƣơng trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phƣơng trình bằng cách đƣa về hệ đối xứng loại II
 Ta xét một hệ phƣơng trình đối xứng loại II sau :
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
xy
yx
việc giải hệ này thì đơn giản
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phƣơng trình bằng cách đặt
y f x

sao cho (2) luôn đúng ,
21yx
, khi
đó ta có phƣơng trình :
2
2
1 ( 2 1) 1 2 2x x x x x

Vậy để giải phƣơng trình :
2
22x x x
ta đặt lại nhƣ trên và đƣa về hệ
Bằng cách tƣơng tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
2
2
x ay b
y ax b
, ta sẽ xây dựng đƣợc phƣơng trình dạng
sau : đặt
y ax b
, khi đó ta có phƣơng trình :
2
a
x ax b b

Tƣơng tự cho bậc cao hơn :
n
n
a
x ax b b

Tóm lại phƣơng trình thƣờng cho dƣới dạng khai triển ta phải viết về dạng :
''
n
n
x p a x b
v đặt
n
y ax b
để đƣa về hệ , chú ý về dấu của ???
Việc chọn
;
thông thƣờng chúng ta chỉ cần viết dƣới dạng :
''
n
n
x p a x b
là chọn đƣợc.

Bài 1. Giải phƣơng trình:
2
2 2 2 1x x x

Điều kiện:
1
2
x

Ta có phƣơng trình đƣợc viết lại là:
2

( 1) 1 2 2 1xx

Đặt
1 2 1yx
thì ta đƣa về hệ sau:
2
2
2 2( 1)
2 2( 1)
x x y
y y x

Trừ hai vế của phƣơng trình ta đƣợc
( )( ) 0x y x y

Giải ra ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình là:
22x

Bài 6. Giải phƣơng trình:
2
2 6 1 4 5x x x

Giải
Điều kiện
5
4
x