Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

Khảo sát hàm số
1




Đồ thị hàm số và
các bài toán liên quan




A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tính đơn điệu của hàm số
1.1. Định nghĩa. Cho hàm số
f
xác định trên
K
, với
K
là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi
đó

f
đồng biến trên
K
(
)
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x

⇔ ∀ ∈ < ⇒ <
.

f
nghịch biến trên
K
(
)
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
⇔ ∀ ∈ < ⇒ >
.
1.2. Điều kiện cần và đủ
Cho hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
I
. Khi đó

f
đồng biến trên
I

⇔
0
( ) ,
f x x I
′
≥ ∀ ∈

và
0
( )
f x
′
=
chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc
I
.

f
nghịch biến trên
I

⇔
0
( ) ,
f x x I
′
≤ ∀ ∈
và
0
( )
f x
′
=
chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc
I
.

f
là hàm hằng trên
I

0
( ) ,
f x x I
′
⇔ = ∀ ∈
.
2. Cực trị của hàm số
2.1. Điều kiện cần để có cực trị
Cho hàm số
f
có đạo hàm tại
0
x
. Nếu hàm số
f
đạt cực trị tại
0
x
thì
0
0
( )
f x
′
=
.

2.2. Điều kiện đủ để có cực trị
2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
( ; )
a b
,
0
( ; )
x a b
∈
. Khi đó
nếu
( )
f x
′
đổi dấu khi
x
qua
0
x
thì
f
đạt cực trị tại
0
x
.

x

0
x


x



0
x

(
)
f x
′



0


(
)
f x
′

0

(
)
f x



CĐ
(
)
f x



CĐ
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
2
2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số
f
có đạo hàm cấp một trên
( ; )
a b
chứa
0
x
,
0

0
( )
f x
′
=

và
0
0
( )
f x
′′
≠
. Khi đó

0
0
( )
f x
′′
<

⇒
f
đạt cực đại tại
0
x
, 
0
0

( )
f x
′′
>
⇒
f
đạt cực tiểu tại
0
x
.
Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực
trị tại những điểm cụ thể cho trước.
2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị
2.3.1. Hàm số
3 2
( )
y f x ax bx cx d
= = + + +

0
( )
a
≠
,
(
)
C

Giả sử đồ thị
(

)
C
có hai điểm cực trị
(
)
;
A A
A x y
,
(
)
;
B B
B x y
. Thực hiện phép chia đa thức
( )
f x
cho
( )
f x
′
, ta được
( ) ( ). ( )
f x g x f x x
α β
′
= + +
. Khi đó ta có
0
( ) ( ). ( )

A A A A A A
y f x g x f x x x
α β α β
=
′
= = + + = +

;
0
( ) ( ). ( )
B B B B B B
y f x g x f x x x
α β α β
=
′
= = + + = +

.
Suy ra
, :
A B y x
α β
∈ ∆ = +
nên
∆
là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị
(
)
C
.

2.3.2. Hàm số
2
( )
ax bx c
y f x
dx e
+ +
= =
+

0
( )
a
≠
,
(
)
C

Giả sử đồ thị
(
)
C
có hai điểm cực trị
(
)
;
A A
A x y
,

(
)
;
B B
B x y
. Đặt
2
( )
u x ax bx c
= + +
,
( )
v x dx e
= +
. Khi đó
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x
f x
v x
′ ′
−
′
=
 
 
 
. Nếu

f
đạt cực trị tại
0
x
thì
0 0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
′ ′
− =
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
u x u x
v x v x
′
⇔ =
′
hay
0
0
0
( )
( )
( )
u x
f x
v x

′
=
′
.
Do đó ta có
2
( )
A
A A
ax b
y f x
d
+
= =
và
2
( )
B
B B
ax b
y f x
d
+
= =
. Suy ra
2
, :
ax b
A B y
d

+
∈ ∆ =

nên
∆
là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị
(
)
C
.
Chú ý. Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên
quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số.
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
0 0
, ( )
max ( )
, ( )
x
x f x M
M f x
x f x M
∈


∀ ∈ ≤

= ⇔


∃ ∈ =



D
D
D

0 0
, ( )
min ( )
, ( )
x
x f x m
m f x
x f x m
∈


∀ ∈ ≥

= ⇔


∃ ∈ =


D
D
D
.
Nếu

( )
y f x
=
đồng biến trên
[ ; ]
a b
thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
=
và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
=
.
Nếu
( )
y f x
=
nghịch biến trên
[ ; ]
a b
thì
[ ; ]

min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
=
và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
=
.
4. Tiệm cận
Đường thẳng
0
x x
=
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thỏa mãn
0
lim ( )
x x
f x
−
→

= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
;
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
.
Đường thẳng
0
y y
=

được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
nếu
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
3
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
.
Đường thẳng
y ax b
= +

0
( )
a

≠
được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
nếu
0
lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→+∞
− + =
hoặc
0
lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→−∞
− + =
.
5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số
5.1. Tìm điểm cố định của một họ đồ thị. Cho hàm số
( , )
y f x m
=
,
( )
m
C
. Khi đó họ

( )
m
C

qua điểm cố định
(
)
0 0
;
M x y

⇔

0 0
( , ),
y f x m m
= ∀


1
0 0 1 0 0 0 0 0
0( ; ) ( ; ) ( ; ) ,
k k
k k
g x y m g x y m g x y m
−
−
⇔ + + + = ∀

0 0
1 0 0
0 0 0
0
0
0
( ; )
( ; )

( ; )
k
k
g x y
g x y
g x y
−


=



=


⇔






=



.
5.2. Vị trí tương đối giữa hai đồ thị. Cho hàm số
( )
y f x
=
,
( )
C
và hàm số
( )
y g x
=
,
( )
C
′
.
Giao điểm của hai đồ thị
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau
( )
C
và
( )
C
′

tiếp xúc nhau
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x


=

⇔

′ ′

=


có nghiệm.
5.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Bài toán Cách giải
 Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị
Cho
( )
C
:
( )
y f x
=
và
(
)

0 0
; ( )
M x y C
∈
. Viết
phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
.
Áp dụng công thức
0 0 0
( )( )
y y f x x x
′
− = −
.
 Tiếp tuyến qua điểm cho trước
Cho
( )
C
:
( )
y f x
=
và điểm
(
)
;

A A
A x y
. Viết
phương trình tiếp tuyến của
( )
C
qua
A
.
Cách 1. Gọi
d
là đường thẳng qua
(
)
;
A A
A x y
và
có hệ số góc
k
:
( )
A A
y k x x y
= − +
. Dùng điều
kiện tiếp xúc 5.2 để xác định
k
.
Cách 2. Pttt

d
tại điểm
(
)
0 0
;
M x y
bất kỳ:
0 0 0
( )( )
y y f x x x
′
− = −
. Vì
d
qua
A
nên
0 0 0
( )( )
A A
y y f x x x
′
− = −
. Từ đây suy ra
0
x
.
 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
Cho hàm số

( )
y f x
=
,
( )
C
. Viết phương
trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
biết tiếp
d
có hệ
số góc
k
.
Pttt
d
của
(
)
C
tại
(
)
0 0
;
M x y

bất kỳ:
0 0 0
( )( )
y y f x x x
′
− = −
. Vì
d
có hệ số góc
k
nên
suy ra
0
( )
f x k
′
=
. Từ đây suy ra
0
x
.
5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Số giao điểm của
( )
C
và
( )
C
′
là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

( ) ( )
f x g x
=
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
4
Hàm số Đồ thị
 Từ đồ thị
(
)
C
:
( )
y f x
=
,
hãy vẽ đồ thị
(
)
1
C
:
( )
y f x
=
.
Do
0

0
( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x


≥

=


− <


nên ta vẽ đồ thị
(
)
1
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị
(
)
a
C
của
(

)
C
không nằm phía dưới trục
Ox
.
 Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của
(
)
C
qua trục
Ox
, ta
được phần đồ thị
(
)
b
C
. Khi đó
(
)
(
)
(
)
1
a b
C C C
=
∪
.



 Từ đồ thị
(
)
C
:
( )
y f x
=
,
hãy vẽ đồ thị
(
)
2
C
:
(
)
y f x
=
.
Ta có
( )
(
)
(
)

0
0
,
,
f x x
f x
f x x


≥


=


− <



và
(
)
f x
là hàm chẵn nên đồ thị
đối xứng qua trục tung. Do đó ta vẽ đồ thị
(
)
1
C
như sau

 Giữ phần đồ thị
(
)
a
C
của
(
)
C
không nằm bên trái trục Oy.
 Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của
(
)
C
qua trục Oy, ta
được phần đồ thị
(
)
b
C
. Khi đó
(
)
(
)
(
)
2
a b
C C C

=
∪
.


 Từ đồ thị
(
)
C
:
( )
y f x
=
,
hãy vẽ đồ thị
(
)
3
C
:
(
)
y f x
= .
Ta thực hiện như sau
 Vẽ đồ thị của hàm số
(
)
y f x
=

.
 Vẽ đồ thị của hàm số
(
)
y f x
= .


 Từ đồ thị
(
)
(
)
(
)
: .
C y u x v x
=
, hãy vẽ đồ
thị
(
)
4
C
:
( ). ( )
y u x v x
=
.

Vì
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
. ,
. ,
u x v x v x
u x v x
u x v x v x


≥


=


− <




, nên ta vẽ
(
)
4
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị
(
)
a
C
của
( )
C

ứng với
(
)
0
u x
≥
.
 Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của
(
)
C
qua trục

hoành, ta được
(
)
b
C
. Khi đó
(
)
(
)
(
)
4
a b
C C C
=
∪
.
6. Một số kiến thức khác liên quan
6.1. Các vấn đề liên quan đến Định lí về dấu của tam thức bậc hai
6.1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +

0
( )
a

≠
. Khi đó ta có 3 trường hợp

0
∆ <

x
−∞

+∞

f(x)

cùng dấu với a

0
∆ =

x
−∞

0
2
b
x
a
= −

+∞

f(x)

cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

0
∆ >

x
−∞

1
x

2
x

+∞

f(x)

cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
5
6.1.2. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên


Cho tam thức
2

( )
f x ax bx c
= + +
0
( )
a
≠
. Khi đó ta có

0
0
0
( ) ,f x x
a


∆ <

> ∀ ∈ ⇔


>




0
0
0
( ) ,f x x

a


∆ <

< ∀ ∈ ⇔


<



.

0
0
0
( ) ,f x x
a


∆ ≤

≥ ∀ ∈ ⇔


>





0
0
0
( ) ,f x x
a


∆ ≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<



.
6.1.3. So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực cho trước
Xét phương trình bậc hai
(
)
2
0
f x ax bx c
= + + =
(1) và một số thực
α
cho trước. Khi đó
 (1) có hai nghiệm

1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
0
x x
< <
0
P
⇔ <
.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
0
x x
< <
0
0
0
P
S


∆ >




⇔ >



>



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
0
x x
< <
0
0
0
P
S


∆ >




⇔ >



<



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
x x
α
< <
( )
0
0
2
af
S
α
α





∆ >



⇔ >





<



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
x x
α
< <
( )
0
0
2
af

S
α
α




∆ >



⇔ >





>



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
x x
α

< <
. Đặt
t x
α
= −
, phương trình (1) trở
thành
(
)
0
g t
=
(2), ta cần phải có
(2) có hai nghiệm
1 2
,
t t
thỏa mãn
1 2
0
t t
< <
0
P
⇔ <
.
6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai
tương ứng
Cho phương trình trùng phương
4 2

0
ax bx c
+ + =
(1). Đặt
2
t x
=
, phương trình (1) trở thành
2
0
at bt c
+ + =
(2). Khi đó
 (1) vô nghiệm


⇔




0
0 0 0
, ,
P S

∆ <

⇔


∆ ≥ > <


.
 (1) có một nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
1 2
0
t t
≤ =
0
0
P
S


=

⇔


≤


.
 (1) có hai nghiệm


⇔





0 0
0
,
S
P

∆ = >

⇔

<


.
(2) vô nghiệm
(2) có nghiệm
1 2
0
t t
≤ <

(2) có nghiệm
1 2
0
t t
= >

(2) có nghiệm
1 2
0
t t
< <


WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
6
 (1) có ba nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
1 2
0
t t
= <
0
0
P
S


=

⇔



>


.
 (1) có bốn nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
1 2
0
t t
< <
0
0
0
P
S


∆ >



⇔ >



>




.
6.2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
0
:
a x b y c
∆ + + =
và
2 2 2 2
0
:
a x b y c
∆ + + =
. Khi đó
1
∆
và
2
∆
tạo với
nhau một góc
α
thì
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a bb
a b a b

α
+
=
+ +
.
Đặc biệt

1
∆
song song
2
∆

1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠ 
1
∆
vuông góc
2
∆


1
2
1 2
1 2
1

.
k
k
a a
b b
 




⇔ − − = −





 

.
6.3. Khoảng cách
6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm
( ; )
A A
A x y
và
( ; )
B B
B x y
là

2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= − + −
.
6.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
( ; )
M M
M x y
tới
0
:
ax by c
∆ + + =
là
2 2
( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
.
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI
1. Tính đơn điệu của hàm số
Dạng toán 1. Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệutrên một khoảng cho trước

Bài 1. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= + + − +
đồng biến trên khoảng
(
)
1 2
;
.
Giải
Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số
Yêu cầu bài toán
⇔
(
)
2
2 3 2 0 1 2
, ;
y x mx m x
′
= + + − ≥ ∀ ∈

⇔
2
2 3 2 0 1 2
, ;
y x mx m x
 
′
= + + − ≥ ∀ ∈
 
 
(vì
y
′
liên tục tại
1
x
=
và
2
x
=
)

( )
2
2
1 2
2 3
, ;

x
g x m
x
−
 
⇔ = ≥ − ∀ ∈
 
 
+
hay
(
)
1 2
;
min
x
g x m
 
∈
 
 
≥ −
.
Ta có
( )
(
)
2
2
2 6 4

2 3
x x
g x
x
+ +
′
=
+
;
( )
1 1 2
0
2 1 2
;
;
x
g x
x

 
= − ∉
 

 
′
= ⇔

 
= ∈


 
 

, và
( )
1
1
5
g
= −
,
( )
2
2
7
g
=
.
Do đó
( ) ( )
1 2
1
1
5
;
min
x
g x g
 
∈

 
 
= = −
. Vậy các giá trị của
m
cần tìm là
1
5
m
≥
.
Cách 2. Phương pháp tam thực bậc hai
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
7
Yêu cầu bài toán
⇔

(
)
(
)
2
2 3 2 0 1 2
, ;
y f x x mx m x
′
= = + + − ≥ ∀ ∈
. Điều này xảy ra nếu một

trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn
i.
2
2 3 2 0y x mx m x
′
= + + − ≥ ∀ ∈

, tức là
2
3 2 0 1 2
m m m
′
∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤
.
ii.
(
)
0
f x
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x
< ≤
hoặc

1 2
2
x x
≤ <
.
Trường hợp 1.
(
)
0
f x
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x
< ≤
, ta có
( )
2
3 2 0
1 5 1 0
1
2
m m
af m
S

m




′
∆ = − + >



= − ≥





= − <




1 2
1
1 1
5
5
2
1
m m
m

m
m
m


< ∨ >





≤ <



⇔ ≥ ⇔




>



> −




.

Trường hợp 2.
(
)
0
f x
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x
< <
, ta có
( )
2
3 2 0
2 7 2 0
2
2
m m
af m
S
m





′
∆ = − + >



= + ≥





= − >



1 2
2
7
2
m m
m m
m


< ∨ >






⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅




< −




.
Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị
m
cần tìm là
1
5
m
≥
.
Bài 2. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )
(
)
3 2 2
1
2 1 9 9 2
3
y x m x m m x

= + − + − + +
đồng biến
trên khoảng
(
)
1
;
−∞
.
Giải
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(
)
1
;
−∞
khi và chỉ khi
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 1 9 9 0 1
;
y f x x m x m m x
′
= = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞
.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn
i.
(
)
0f x x
≥ ∀ ∈

2
8
3 5 8 0 1
3
m m m
′
⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
ii.
(
)
0
f x
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x
≤ <

, tương đương với
( )
( )
2
2
8
1
3 5 8 0
3
1 5 8 0
0
2 1 1
2
m
m m
af m m m
S
m
m






− < <

′

∆ = + − >







= − + ≥ ⇔ ∈
 
 
 
<
 
 
= − − >
 
 



8
3
m
⇔ < −
.
Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị
m
cần tìm là
1
m
≤

.
Bài 3. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( ) ( )
3 2
1
2 1 1 2 1
3
y x m x m x m
= + − + + + −

a. đồng biến trên

,
b. đồng biến trên
)
1
;

+∞


,
c. nghịch biến trên khoảng
(
)
0 1
;
.

Giải
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
8
Ta có
(
)
(
)
2
2 2 1 1
y f x x m x m
′
= = + − + +
.
a. Hàm số đồng biến trên

khi và chỉ khi
(
)
2
2 2 1 1 0y x m x m x
′
= + − + + ≥ ∀ ∈

. Khi đó
(
)
2

2 1 1 0 0 5
m m m
′
∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤
.
Vậy các giá trị của
m
cần tìm là
0 5
m
≤ ≤
.
b. Hàm số đã cho đồng biến trên
)
1
;

+∞


khi và chỉ khi
)
0 1;y x

′
≥ ∀ ∈ +∞


. Điều này tương
đương với

( ) )
2
2
1
4 1
;
x x
g x m x
x
− +

= ≤ ∀ ∈ +∞


+
hay
)
(
)
1;
max
x
g x m

∈ +∞


≤
.
Ta có

( )
(
)
2
2
4 2 2
4 1
x x
g x
x
− − +
′
=
+
;
( )
)
)
1 1
0
1
1
2
;
;
x
g x
x



= − ∉ +∞




′
= ⇔


= ∉ +∞




.
Bảng biến thiên
x

1

+∞

(
)
g x
′


−

(
)
g x

1
5


0

Ta thấy
)
( ) ( )
1
1
1
5
;
max
x
g x g

∈ +∞


= =
. Do đó ta có
1
5

m
≥
. Vậy các giá trị
m
cần tìm là
1
5
m
≥
.
c. Yêu cầu bài toán
⇔
(
)
0 0 1
;
y x
′
≤ ∀ ∈
0 0 1
;
y x
 
′
≤ ∀ ∈
 
 
(vì
y
′

liên tục tại
0
x
=
và
1
x
=
)

( )
2
2
0 1
4 1
, ;
x x
g x m x
x
− +
 
⇔ = ≥ ∀ ∈
 
 
+
, tức là
(
)
0 1;
min

x
g x m
 
∈
 
 
≥
.
Ta có
( )
1 0 1
0
1
0 1
2
;
;
x
g x
x

 
= − ∉
 

 

′
= ⇔


 
= ∈
 

 

;
(
)
0 0
g
=
;
1 1
2 4
g
 



=





 
và
( )
1

1
5
g
=
.
Do đó
(
)
(
)
0 1
0 0
;
min
x
g x g
 
∈
 
 
= =
nên các giá trị
m
cần tìm là
0
m
≤
.
Bài 4. Tìm các giá trị của
m

để hàm số
(
)
2
2 1 1
2
x m x
y
x
+ + +
=
−
nghịch biến trên khoảng
(
)
0 1
;
.
Giải
Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0 1
;
khi và chỉ khi
(
)
( )
2
2

4 4 3
0 0 1
2
;
x x m
y x
x
− − −
′
= ≥ ∀ ∈
−
, tương
đương với
(
)
(
)
2
4 4 3 0 0 1
;
g x x x m x
= − − − ≥ ∀ ∈
. Vì
g
liên tục tại
0
x
=
và tại
1

x
=
nên
(
)
2
4 4 3 0 0 1
;
g x x x m x
 
= − − − ≥ ∀ ∈
 
 
hay
(
)
0 1
0
;
min
x
g x
 
∈
 
 
≥
.
Ta có
(

)
2 4 0 2 0 1
;
g x x x
 
′
= − = ⇔ = ∉
 
 
;
(
)
0 4 3
g m
= − −
và
(
)
1 4 6
g m
= − −
.
Suy ra
(
)
(
)
0 1
1 4 6
;

min
x
g x g m
 
∈
 
 
= = − −
. Do đó các giá trị của
m
cần tìm là
3
2
m
≤ −
.
Bài 5. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
(
)
2
1 2 1
2
x m x m
y
x m
+ + − +
=
−

đồng biến trên khoảng
(
)
1
;
+∞
.
Giải
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
9
Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
1
;
+∞

⇔

(
)
( )
2 2
2
4 2 1
0 1
;
x mx m

y x
x m
− − −
′
= ≥ ∀ ∈ +∞
−
, hay
(
)
(
)
2 2
4 2 1 0 1
1
;
g x x mx m x
m


= − − − ≥ ∀ ∈ +∞




≤



Ta thấy
2

6 1 0
g
m m
′
∆ = + > ∀ ∈

nên
(
)
0
,
g x x
> ∀ ∈

. Do đó các giá trị
m
cần tìm là
1
m
≤
.
Dạng toán 2. Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước

Bài 6. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
3 2
1
2
3

y x mx mx
= + + +
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
4
x x
− ≥
.
Giải
Hàm số đã cho có hai cực trị
1 2
,
x x

2
2 3 0
y x mx m
′
⇔ = + + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x


2

0
3 0
3
m
m m
m

<

⇔ − > ⇔

>


(1).
Khi đó
(
)
(
)
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 16 4 16
0
x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − −
≥
(2).
Theo định lí Viet ta có
1 2
1 2

2
3
x x m
x x m


+ = −



=


nên (2)
⇔
2
1
4 12 16 0
4
m
m m
m

≤ −

− − ≥ ⇔

≥



(3)
Kết hợp (1) và (3) ta tìm được các giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
1
m
≤ −
hoặc
4
m
≥
.
Bài 7. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )
3 2
1 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x
= − − + +
có hai cực trị
1 2
,
x x

thỏa mãn
1 2
2

x x
=
.
Giải
Hàm số đã cho các hai cực trị
( )
2
50
2 1 0
9
y x m x
′
⇔ = − − + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x


( )
2
50
2 1 4 0
9
.
m
⇔ ∆ = − − >
3 10 2
6
3 10 2

6
m
m

−

<


⇔

+

>


(1)
Ta có
1 2
2
x x
=
nên theo định lí Viet, ta có
1 2
2 1
x x m
+ = −
2
2 1
3

m
x
−
⇔ =
.
Khi đó
1 2
50
9
x x =
2
2
2
3
50 2 1 50
2 2
2
9 3 9
m
m
x
m

 
=
−





= ⇔ = ⇔






= −
 


.
Hai giá trị vừa tìm được của
m
đều thỏa mãn (1) nên
3
m
=
và
2
m
= −
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 8. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
4 2 5 1

3 2
y x m x m x
= − + + + +
thỏa mãn
a. có hai cực trị lớn hơn
1
−
;
b. có đúng một cực trị lớn hơn
1
−
;
c. có ít nhất một cực trị lớn hơn
3
2
;
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
10
d. có hai cực trị nhỏ hơn 4;
e. có một cực trong khoảng
(
)
3 5
;
;
f. không có cực trị.
Giải
Ta có

(
)
2
4 2 5
y x m x m
′
= − + + +
;
2
4 5
0
2
x x
y m
x
− +
′
= ⇔ =
−
.
Xét hàm số
( )
2
4 5
2
x x
g x
x
− +
=

−
;
( )
(
)
2
2
4 3
2
x x
g x
x
− +
′
=
−
;
( )
1
0
3
x
g x
x

=

′
= ⇔


=


.
Bảng biến thiên
x
−∞

1
−

1

3
2


2 3 4 5
+∞

(
)
g x
′

+


+

−

−



−


+


+


+


(
)
g x


−∞


10
3
−

2
−


5
2
−



−∞


+∞



2

5
2


10
3

+∞

Vì nghiệm của phương trình

0
y
′
=
cũng chính là hoành độ giao điểm của
y m
=
và
(
)
y g x
=

nên từ bảng biến thiên của hàm số
(
)
y g x
=
ta thấy
a. Hàm số có hai cực trị lớn hơn
1
−
10
2
3
m
⇔ − < < −
hoặc
2
m

>
.
b. Hàm số có đúng một cực trị lớn hơn
1
−
10
3
m ≤ −
.
c. Hàm số có ít nhất một cực trị lớn hơn
3
2
⇔
5
2
m
< −
hoặc
2
m
>
.
d. Hàm số có hai cực trị nhỏ hơn 4
2
m
⇔ < −
hoặc
5
2
2

m
< <
.
e. Hàm số có một cực trong khoảng
(
)
3 5
;
10
2
3
m⇔ < <
.
f. Hàm số không có cực trị
2 2
m
⇔ − ≤ ≤
.
Bài 9. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
(
)
4 2
1 2 1
y x m x m
= + − + +
có ba cực trị.
Giải
Hàm số có ba cực trị

(
)
2
2 2 1 0
y x x m
′
⇔ = + − =
có ba nghiệm phân biệt

2
2 1 0
x m
⇔ + − =
có hai nghiệm phân biệt khác 0

(
)
2 1 0
3 0
m
m


′
∆ = − − >


⇔



− ≠



1
3
m
m


>

⇔


≠


.
Bài 10. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
2
4 2
6
2
m
y x mx= + + −
có ba điểm cực trị
, ,

A B C
(trong đó điểm
A
thuộc trục tung) sao cho tứ giác
ABOC
là hình bình hành.
Giải
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
11
Hàm số đã cho có ba cực trị
(
)
2
2 2 0
y x x m
′
⇔ = + =
có ba nghiệm phân biệt

2
2 0
x m
⇔ + =
có hai nghiệm phân biệt khác 0

0
m
⇔ <

.
Với
0
x
=
ta có
2
6
2
m
y = −
nên
2
0 6
2
;
m
A
 



−





 
. Hai nghiệm còn lại của

0
y
′
=
là
2
m
x
−
= ±
.
Ta đều có
2
3
6
2 4
m m
y
 
− 



− = −







 
và có thể giả sử
2
3
6
2 4
;
m m
B
 
− 



− −






 
và
2
3
6
2 4
;
m m
C

 
− 



−






 
.
Khi đó
2
2 4
;
m m
BA
 




= −







 

và
2
3
6
2 4
;
m m
OC
 




= − −






 

.
Yêu cầu bài toán
BA OC
⇔ =

 
2
2 2
2 2
6 6
3
6
4 4
m m
m m
m m




− = −


⇔ ⇔ = ⇔ = −



= −




(vì
0
m

⇔ <
)
Bài 11. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
2
3 1
2
mx mx
y
x
+ +
=
+
có hai điểm cực trị nằm về
hai phía trục tung.
Giải
Ta có
(
)
2
2
4 6 1
2
mx mx m
y
x
+ + −
′
=

+
.
Hàm số đã cho có hai cực trị
2
4 6 1 0
mx mx m
⇔ + + − =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
2
−


2
0
2 0
2 1 0
m
m m
m


≠



′
⇔ ∆ = − + >




− ≠



1
0
2
m
⇔ < <
(2).
Khi đó gọi
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình (1). Yêu cầu bài toán tương đương với

1 2
0
x x
<
6 1 1
0 0
6
m
m
m
−
⇔ < ⇔ < <
(thỏa mãn (2)).
Bài 12. Tìm các giá trị của

m
để đồ thị hàm số
(
)
(
)
3 2
3 1 3 1 1
y x m x m x
= + − + − +
có hai điểm
cực trị, đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm
(
)
0 3
;
A
−
.
Giải
Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi
(
)
(
)
2
3 6 1 3 1 0
y x m x m
′
= + − + − =

có hai nghiệm
phân biệt. Điều này xảy ra khi
( )( )
1
1 2 0
2
m
m m
m

<

′
∆ = − − > ⇔

>


(1).
Gọi
(
)
1 1 1
;
M x y
và
(
)
2 2 2
;

M x y
là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức
y
cho
y
′
, ta được
( )( )
2
1 1
2 1 2 2
3 3
m
y x y m m x m m
 
−


′

= + + − − − +





 
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Khảo sát hàm số
12
Vì
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình
0
y
′
=
nên ta có
(
)
(
)
2
1 1
2 1 2 2
y m m x m m
= − − − +
và
(
)
(
)
2
2 2
2 1 2 2
y m m x m m

= − − − +
. Do đó
1
M
,
2
:
m
M d
∈
(
)
(
)
2
2 1 2 2
y m m x m m
= − − − +
,
và như vậy
m
d
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1
M
và
2
M
.
Ta có

( )
2
1
0 3 2 3 0
3
;
m
m
A d m m
m

= −

− ∈ ⇔ − − = ⇔

=


(thỏa mãn điều kiện (1)). Vậy các giá trị
m
cần tìm là
1
m
= −
và
3
m
=
.
Bài 13. Tìm các giá trị của

m
để đồ thị hàm số
3 2
1
3 3
m
y x mx x= + + +
có hai điểm cực trị nằm
cùng phía đối với đường thẳng
2
:
y x
∆ = −
.
Giải
Hàm số có hai cực trị
2
2 1 0
y x mx
′
⇔ = + + =
có hai nghiệm phân biệt

2
1 0
m
′
⇔ ∆ = − >
hay
1

m
>
(1).
Với điều kiện (1), ta gọi
(
)
1 1 1
;
M x y
và
(
)
2 2 2
;
M x y
là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia
y
cho
y
′
được
( )
2
1 1 2
1
3 3 3
y x m y m x
 



′

= + + −





 
(2)
Vì
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
0
y
′
=
nên từ (2) ta suy ra
(
)
2
1 1
2
1
3
y m x
= −
và

(
)
2
2 2
2
1
3
y m x
= −
. Các điểm
(
)
1 1 1
;
M x y
và
(
)
2 2 2
;
M x y
nằm cùng phía đối với
2 0
:
x y
∆ + =

tương đương với

( ) ( )

2 2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1 0
3 3
.
x m x x m x
   
   
+ − + − >
   
   


(
)
2
2
1 2
4 0
m x x
⇔ − >
(
)
2
2
4 0
m
⇔ − >
hay

2
m
≠ ±
(3).
Kết hợp (1) và (3) ta được các giá trị
m
cần tìm là
1
m
>
và
2
m
≠ ±
.
Bài 14. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
3 2
1
3
y x x mx m
= + + +
có cực đại và cực tiểu, đồng thời
khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng
2 15
.
Giải
Hàm số có cực đại và cực tiểu
2

2 0
y x x m
′
⇔ = + + =
có hai nghiệm phân biệt

1 0
m
′
⇔ ∆ = − >
hay
1
m
<
(1).
Với điều kiện (1), ta gọi
(
)
1 1 1
;
M x y
và
(
)
2 2 2
;
M x y
là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức
y
cho

y
′
được
( ) ( )
1 2 2
1 1
3 3 3
y x y m x m
′
= + + − +
(2).
Vì
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
0
y
′
=
nên từ (2) ta suy ra
( )
1 1
2 2
1
3 3
y m x m
= − +
và
( )

2 2
2 2
1
3 3
y m x m
= − +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
13
Ta có
(
)
(
)
2 2
1 2 2 1 2 1
2 15
M M x x y y= − + − =

( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4
1 1 4 60
9
m x x x x
 
 

 
⇔ + − + − =
 
 
 
 
 

( )
2
4
1 1 4 4 60
9
m m
 
 
 
⇔ + − − =
 
 
 
 

3 2
4 12 21 122 0
m m m
⇔ − + + =

(
)

(
)
2
2 4 20 60 0
m m m
⇔ + − + =

2
m
⇔ = −
(vì
2
4 20 60 0m m m
− + > ∀ ∈

).
Ta thấy giá trị
2
m
= −
thỏa mãn điều kiện (1) nên
2
m
= −
là giá trị cần tìm.
Bài 15. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
2
3

1
x mx
y
x
+ +
=
−
có hai điểm cực trị cách đều
đường thẳng
2 0
:
x y
∆ + − =
.
Giải
Hàm số có hai cực trị
⇔

(
)
2
2
2 3
0
1
x x m
y
x
− − −
′

= =
−
có hai nghiệm phân biệt

⇔
2
2 3 0
x x m
− − − =
có hai nghiệm phân biệt khác 1

⇔
4 0
4
4 0
m
m
m

′

∆ = + >

⇔ > −


+ ≠


(1).

Khi đó, ta gọi
(
)
1 1 1
;
M x y
và
(
)
2 2 2
;
M x y
là các điểm cực trị.
Đặt
(
)
2
3
u x x mx
= + +
;
(
)
1
v x x
= −
thì
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
2
u x v x u x v x
y
v x
′ ′
−
′
=
 
 
 
.
Vì
1
x
là nghiệm của phương trình
0
y
′
=
nên
( ) ( ) ( ) ( )
(

)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1 1 1
1 1
0
u x u x
u x v x u x v x
v x v x
′
′ ′
− = ⇔ =
′
,
tức là
1 1
2
y x m
= +
. Tương tự
2 2
2
y x m
= +
.

Do
1 2
,
M M
cách đều
∆
nên
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2
x x m x x m
+ + − + + −
=


(
)
(
)
1 2 1 2
3 3 2 4 0
x x x x m
 
⇔ − + + − =
 
 


(
)

1 2
3 2 4 0
x x m
⇔ + + − =
(vì
1 2
x x
≠
)

3 2 2 4 0
.
m
⇔ + − =


2
m
⇔ = −
(thỏa mãn điều kiện (1)).
Vậy
2
m
= −
là giá trị cần tìm.
Dạng toán 3. Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài 16. Cho hàm số
3 2
1

1
3
y x x x
= + + +
có đồ thị
(
)
C
và ba điểm
( ) ( )
22 27
1 1 0 2
5 5
; , ; , ;A B C
 








 
.
Viết phương trình tiếp tuyến
∆
với đồ thị
(
)

C
biết rằng giao điểm của
∆
và đường thẳng
1
:
d y x
= +
là trọng tâm của tam giác
ABC
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
14
Giải
Ta có
2
2 1
y x x
′
= + +
. Phương trình tiếp tuyến
∆
của
(
)
C
tại điểm
(

)
0 0
;
x y
có dạng

( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1
3
y x x x x
= + − − +
.
Hoành độ giao điểm
G
của
∆
và
d
là nghiệm của phương trình

( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1 1

3
x x x x x
+ − − + = +
(
)
( )
2
0 0
0 0
0
2 3
0 2
3 2
;
x x
x x x
x
+
⇔ = ≠ ≠ −
+
(1).
Tung độ giao điểm tương ứng là
(
)
(
)
2
0 0
0
2 3 3

3 2
x x
y
x
+ +
=
+
, nên
( )
(
)
( )
2
2
0 0
0 0
0 0
2 3 3
2 3
3 2 3 2
;
x x
x x
G
x x
 
+ +


+








+ +




 
.
Điểm
G
là trọng tâm của tam giác
ABC

⇔
( )
( )
(
)
2
0 0
0
2
0 0
0

22
1 0
2 3
9
5
3 5
3 2
27
1 2
2 3 3
14
5
3 5
3 2
x x
x
x x
x



+ +

+


= =


+






+ +

+ +


= =


+



.
Giải hệ phương trình trên ta được
0
3
x
=
hoặc
0
9
5
x
= −
. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều

kiện ở phương trình (1).
Với
0
3
x
=
hoặc
0
9
5
x
= −
ta được các tiếp tuyến cần tìm là
16 26
y x
= −
và
16 206
25 125
y x
= +
.
Bài 17. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 3 1 1
3
y x mx m x
= + + − +

có đồ thị
(
)
m
C
. Viết phương trình tiếp
tuyến
∆
của
(
)
m
C
tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm các giá trị của
m
để giao điểm của
∆
và
2
:
d y x
=
cách đều các trục tọa độ.
Giải
Ta có
2
4 3 1
y x mx m
′
= + + −

;
(
)
1 7
y m
′
=
và
( )
1
1 5
3
y m
= +
.
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại
1
1 5
3
; m
 



+






 
là
1
7 2
3
y mx m
= − +
.
Hoành độ giao điểm của
∆
và
d
là nghiệm của phương trình

1
7 2 2
3
mx m x
− + =
(
)
6 1
3 7 2
m
x

m
−
⇔ =
−
.
Tung độ giao điểm tương ứng là
(
)
12 2
3 7 2
m
y
m
−
=
−
. Giao điểm của
∆
và
d
cách đều hai trục tọa độ
khi và chỉ khi

(
)
(
)
6 1 12 2
3 7 2 3 7 2
m m

m m
− −
=
− −

2
7
6 1 12 2
6 1 12 2
m
m m
m m



≠



⇔


− = −





− = − +






2
7
1
6
m
m



≠



⇔



=




1
6
m
⇔ =

.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
15
Bài 18. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
(
)
C
. Gọi
I
là giao điểm của hai đường tiệm cận của
(
)
C
. Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ với
(
)
C
luôn cắt hai tiệm cận tại hai điểm
,

A B
sao
cho tam giác
IAB
có diện tích không đổi.
Giải
Trước hết ta thấy

1
lim
x
y
+
→
= +∞
và
1
lim
x
y
−
→
= −∞
nên
(
)
C
có tiệm cận đứng là
1
1

:
x
∆ =
.

1
lim
x
y
→+∞
=
và
1
1
lim
x
y
→ −∞
=
nên
(
)
C
có tiệm cận ngang là
2
1
:
y
∆ =
.

Do đó giao điểm của
1
∆
và
2
∆
là
(
)
1 1
;
I .
Ta có
(
)
2
3
1
y
x
−
′
=
−
. Phương trình
d
tiếp tuyến với
(
)
C

tại điểm
(
)
0 0
;
x y
có dạng

(
)
( )
0
0
2
0
0
2
3
1
1
x
y x x
x
x
+
−
= − +
+
−
hay

(
)
(
)
2
0 0
2 2
0 0
4 2
3
1 1
x x
y x
x x
+ −
−
= +
− −
.
Với
1
x
=
thì
(
)
2
0 0
2
0

4 5
1
x x
y
x
+ −
=
−
nên
(
)
2
0 0
2
0
4 5
1
1
;
x x
A
x
 


+ −











−


 
là giao điểm của
d
và
1
∆
.
Với
1
y
=
thì
x
=
0
2 1
x x
= −
nên
(
)

0
2 1 1
;
B x
−
là giao điểm của
d
và
2
∆
.
Khi đó
0
6
1
IA
x
=
−
và
0
2 1
IB x
= −
nên diện tích tam giác
IAB
là

0
0

1 1 6
2 1 6
2 2
1
. . .
IAB
S IA IB x
x
= = − =
−
(không đổi) (đccm).
Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(
)
C
hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
, biết tiếp tuyến cắt Ox và
Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
Giải
Ta có
(
)

2
4
2
y
x
−
′
=
−
. Phương trình tiếp tuyến với
(
)
C
tại điểm
(
)
0 0
;
M x y
,
(
)
0
2
x
≠
có dạng
d
:
(

)
( )
0
0
2
0
0
2
4
2
2
x
y x x
x
x
+
−
= − +
−
−
.
Do tiếp tuyến d cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân nên d vuông
góc với một trong các đường thẳng
1
:
y x
∆ =
hoặc
2
:

y x
∆ = −
.
Nếu
1
d
⊥ ∆
thì
(
)
2
0
4
1
2x
−
= −
−
( )
2
0
0
0
4
2 4
0
x
x
x


=

⇔ − = ⇔

=


.
 Với
0
0
x
=
ta có tiếp tuyến
1
y x
= − −
.
 Với
0
4
x
=
ta có tiếp tuyến
7
y x
= − +
.
Nếu
2

d
⊥ ∆
thì
(
)
2
0
4
1
2x
−
=
−
. Phương trình này vô nghiệm.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
1
y x
= − −
và
7
y x
= − +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
16
Bài 20. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(
)

C
của
hàm số
3 2
3 1
y x x
= − +
, biết tiếp tuyến
đi qua điểm
(
)
2 3
;A
−
.
Giải
Gọi
k
d
là đường thẳng đi qua điểm
(
)
2 3
;A
−
và có hệ số góc
k
thì
(
)

2 3
:
k
d y k x
= − −
.
Khi đó,
k
d
tiếp xúc với
(
)
C
(
)
3 2
2
3 1 2 3 1
3 6 2
( )
( )
x x k x
x x k


− + = − −


⇔



− =



có nghiệm.
Thay (2) vào (1), ta được
(
)
(
)
3 2 2
3 1 3 6 2 3
x x x x x
− + = − − −


3 2
2 9 12 4 0
x x x
⇔ − + − =
2
1
2
x
x

=



⇔

=


.
Với
2
x
=
, thay vào (2) được
0
k
=
, ta có tiếp tuyến
3
:
k
d y
= −
.
Với
1
2
x
=
, thay vào (2) được
9
4
k

= −
, ta có tiếp tuyến
9 3
4 2
:
k
d y x
= − +
.
Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(
)
C
của
hàm số
3
3 1
y x x
= − +
, biết tiếp tuyến
tạo với đường thẳng
3
:
y x
∆ = +
một góc
α
sao cho
5
41

cos α
= .
Giải
Giả sử tiếp tuyến
d
cần tìm có hệ số góc
k
. Các VTPT của
d
và
∆
lần lượt là
(
)
1
;
d
n k
= −

và
(
)
1 1
;n
∆
= −

. Tiếp tuyến
d

tạo với
∆
một góc
α
sao cho
5
41
cos α
=
⇔

2
1
5
41
2 1
k
k
+
=
+


(
)
(
)
2
2
41 1 50 1

k k
⇔ + = +


2
9 82 9 0
k k
⇔ − + =
9
1
9
k
k

=


⇔

=


.
Với
9
k
=
ta có
(
)

2
0 0
3 3 9
f x x
′
= − =
0
2
x
⇔ = ±
. Các tiếp tuyến của
(
)
C
tại
0
2
x
=
và
0
2
x
= −
lần lượt có phương trình
9 15
y x
= −
và
9 17

y x
= +
.
Với
1
9
k
=
ta có
( )
2
0 0
1
3 3
9
f x x
′
= − =
0
2 21
9
x⇔ = ± . Các tiếp tuyến của
(
)
C
tại
0
2 21
9
x = ± có phương trình

1 243 112 21
9 243
y x
±
= + .
Dạng toán 4. Tìm các giá trị của tham số để giao điểm đồ thị hàm số và đường thẳng thỏa mãn
điều kiện cho trước

Bài 22. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
:
m
d y mx m
= −
cắt đồ thị
( )
2
2 1
1
:
x x
C y
x
+ −
=
−

tại hai điểm phân biệt
,

A B
sao cho tam giác
ABC
vuông tại đỉnh
(
)
1 2
;
C .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
17
Giải
Đường thẳng
m
d
cắt
(
)
C
tại hai điểm phân biệt
2
2 1
1
x x
mx m
x
+ −
⇔ − =

−
có hai nghiệm phân
biệt, tức là

(
)
(
)
2
1 2 1 1 0
m x m x m
− − − + + =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
( ) ( )( )
(
)
2
1 0
1 1 1 0
1 2 1 1 0
m
m m m
m m m


− ≠





⇔
′
∆ = − − − + >




− − − + + ≠



1
1 1
m
m m
m


≠



⇔ < ⇔ <



∈





.
Với điều kiện đó, gọi
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình (1); các giao điểm của
m
d
và
(
)
C
là
(
)
1 1
;
A x mx m
−
,
(
)
2 2
;
B x mx m
−
.
Ta có
(

)
1 1
1 1
;CA x mx m
= − − −

;
(
)
2 2
1 1
;CB x mx m
= − − −

.
ABC
vuông tại đỉnh
C

0
.
CACB
⇔ =
 
(
)
(
)
(
)

(
)
1 2 1 2
1 1 1 1 0
x x mx m mx m
⇔ − − + − − − − =


(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 0
m x x m m x x m
 
⇔ + − + + + + + + =
 
 


(
)
(

)
(
)
2
2
1
1 2 1 2 2 1 0
1
.
m
m m m m
m
+
 
⇔ + − + + + + + =
 
−  


(
)
2 2 1 0
m m
⇔ − =
0
m
⇔ =
(vì
1
m

<
).
Bài 23. Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
3 1 3 1
,
m
y x m x x C
= − + − +
. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
1
:
d y x
= +
cắt
(
)
m
C
tại ba điểm phân biệt
(
)
0 1
; ; ;

A B C
sao cho
5 2
AC
=
.
Giải
Giao điểm của
(
)
m
C
và
d
có hoành độ là nghiệm của phương trình
(
)
3 2
3 1 3 1 1
x m x x x
− + − + = +
(1)

(
)
(
)
2
3 1 4 0
x x m x

⇔ − + − =
(
)
2
0
3 1 4 0 2
( )
x
x m x

=

⇔

− + − =


.
(
)
m
C
và
d
có 3 giao điểm
⇔
(1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔
(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

(
)
(
)
2
9 18 25 0
3 0
m m m
m


∆ = + + > ∀ ∈


⇔


≠ ∀ ∈





.
Giả sử
(
)
1 1
1

;
A x x
+
và
(
)
2 2
1
;
C x x
+
thì
2
50
AC
=
(
)
(
)
(
)
2
2
2 1 2 1
1 1 50
x x x x
 
⇔ − + + − + =
 

 


(
)
2
2 1
25
x x⇔ − =


(
)
2
1 2 1 2
4 25
x x x x⇔ + − =


(
)
2
9 1 16 25
m⇔ + + =
0
2
m
m

=


⇔

= −


.
Bài 24. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
2
:
k
d y kx k
= + −
cắt đồ thị
(
)
C
của hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt
A

và
B
sao cho
A
và
B
cách đều điểm
(
)
2 1
;
D
−
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
18
x
y
1
2
-1
3
O
1
Giải
k
d
cắt

(
)
C
tại hai điểm phân biệt
2 1
2
1
x
kx k
x
+
⇔ = + −
−
có hai nghiệm phân biệt

2
2 3 0
kx kx k
⇔ − + − =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

(
)
2
0
3 0
k
k k k



≠


⇔

′

∆ = − − >



0
k
⇔ >
(2)
Giả sử
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các giao điểm của
k
d
và
(
)
C

. Ta có

AD BD
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 1 2 2
2 3 2 3
x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − +


(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 6 0
x x x x k x x k x x k
 

⇔ − + − + − + − + =
 
 


(
)
(
)
(
)
2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 6 0
x x x x k x x k k
 
⇔ − + − + + − + =
 
 


(
)
(
)
2 2
1 2 1 2
4 2 6 0
x x k x x k k
⇔ + − + + − + =

(vì
1 2
x x
≠
)

2 2
2 4 2 2 6 0
k k k
⇔ − + − + =
(do
1 2
;
x x
là nghiệm của phương trình (1)

1
3
k
⇔ =
(thỏa mãn điều kiện (2))
Dạng toán 5. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 25. Từ đồ thị của hàm số
(
)
3 2
3 3
:C y x x
= − +

hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau
a.
3 2
3 3
y x x
= − +
b.
3
2
3 3
y x x
= − +
c.
3
2
3 3
y x x
= − +

Giải
Trước hết ta vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số
(
)
3 2
3 3
y f x x x

= = − +
.
a. Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
0
3 3
0
,
,
f x f x
y x x
f x f x


≥


= − + =


− <




,
(
)
1
C
.
Do vậy ta vẽ
(
)
1
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị của
(
)
C
không nằm bên dưới trục hoành,
ta gọi là
(
)
1
a
C
.
 Lấy đối xứng phần còn lại của
(
)
C

qua trục Ox, ta gọi là
(
)
1
b
C
.
 Đồ thị
(
)
1
C
gồm có hai phần
(
)
1
a
C
và
(
)
1
b
C
.
b. Ta có
(
)
(
)

3
2
0
3 3
0
,
,
f x x
y x x
f x x


≥


= − + =


− <



, đồng thời hàm số
(
)
f x

là hàm chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục tung. Do đó ta
vẽ đồ thị
(

)
2
C
của nó như sau
 Giữ lại phần đồ thị của
(
)
C
không nằm bên trái trục hoành, ta
x
y
-1
2
3
O
1
(
)
C

(
)
1
C

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
19
gọi là

(
)
2
a
C
.
 Lấy đối xứng
(
)
2
a
C
qua trục tung ta được
(
)
2
b
C
.
 Đồ thị
(
)
2
C
gồm có hai phần
(
)
2
a
C

và
(
)
2
b
C
.
c. Ta vẽ đồ thị
(
)
3
C
của hàm số
3
2
3 3
y x x
= − +
như sau
 Từ đồ thị
(
)
C
của hàm số
(
)
3 2
3 3
:
C y x x

= − +
, ta vẽ đồ thị
(
)
2
C
của hàm số
3
2
3 3
y x x
= − +
.
 Từ đồ thị
(
)
2
C
, ta vẽ đồ thị
(
)
3
C
của hàm số
3
2
3 3
y x x
= − +
.

Bài 26. Cho hàm số
(
)
4 2
4 3
,
y x x C
= − +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số.
b. Tìm các giá trị của
m
để phương trình
4 2
2
4 3 1 0
log
x x m
− + − + =
có 8 nghiệm phân biệt.
Giải
a. (Học sinh tự khảo sát)

b. Ta biến đổi
4 2
2
4 3 1 0
logx x m
− + − + =


4 2
2
4 3 1
log
x x m
⇔ − + = −
(1).
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của
(
)
4 2
1
4 3
:
C y x x
= − +
và đường thẳng
2
1
: log
m
d y m

= −
.
Vì
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
4 3 4 3 0
4 3
4 3 4 3 0
,
,
x x x x
x x
x x x x


− + − + ≥


− + =


− + − + <



, nên ta vẽ đồ
thị
(
)

1
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị của
(
)
C
không nằm dưới trục hoành, ta
gọi là
(
)
1
a
C
.
 Lấy đối xứng phần còn lại của
(
)
C
qua trục hoành, ta được
(
)
1
b
C
.
 Đồ thị gồm có
(
)
1

a
C
và
(
)
1
b
C
.
x
y
1
-1
3
O
1
x
y
1
-1
-2
2
3
O
1
x
y
1
-1
3

O
1
(
)
C
m
d

(
)
1
C

x
y
-1
-2
2
3
O
1
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
20
Dạng toán 6. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 27. Cho hàm số
2 1
1

x
y
x
+
=
−
,
(
)
C
. Tìm điểm
M
thuộc
(
)
C
sao cho
a.
M
có tọa độ nguyên;
b.
M
cách đều hai trục tọa độ;
c. Tổng khoảng cách từ
M
tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất;
d.
M
cách đều gốc tọa độ
O

và
(
)
2 2 5 2
;
A +
;
e.
M
có khoảng cách tới
3 2 3 0
:
x y
∆ + − =
bằng
3 3
2
.
Giải
Với
(
)
M C
∈
bất kỳ, ta có
0
0
0
2 1
1

;
x
M x
x
 
+









−
 
,
0
1
x
≠
.
a. Điểm
M
có tọa độ nguyên, tức là
0
0
0 0
2 1

3
2
1 1
x
x
x x


∈



+


= + ∈


− −






(
)
0
1 3
x

⇔ −
và
0
x
∈



(
)
{
}
0
1 1 3
;
x
⇔ − ∈ ± ±


{
}
0
2 0 2 4
; ; ;
x
⇔ ∈ −
.
Vậy có 4 điểm trên
(
)

C
có tọa độ nguyên là
(
)
1
2 1
;
M
−
;
(
)
2
0 1
;
M
−
;
(
)
3
2 5
;
M
và
(
)
4
4 3
;

M
.
b. Khoảng cách từ điểm
M
tới các các trục
Ox
và
Oy
lần lượt là
0
0
2 1
1
x
x
+
−
và
0
x
.
Yêu cầu bài toán
0
0
0
2 1
1
x
x
x

+
⇔ =
−
( )
2
0 0
0
2
0 0
0
3 1 0
3 13
1 0
3 13
x x x
x x VN
x


− − = = +


⇔ ⇔


+ + =

= −




.
Vậy có hai điểm thoản mãn yêu cầu bài toán là
5
4 13
3 13
3
;M
 
+ 



+






 
và
6
4 13
3 13
3
;M
 
− 




−






 
.
c. Ta có

1
lim
x
y
+
→
= +∞
và
1
lim
x
y
→ −
= −∞
nên
(
)

C
có tiệm cận đứng là
1
1
:
x
∆ =
.

2
lim
x
y
→+∞
=
và
2
lim
x
y
→−∞
=
nên
(
)
C
có tiệm cận ngang là
2
2
:

y
∆ =
.
Khoảng cách từ điểm
M
lần lượt tới các tiệm cận là
(
)
1 0
1
,
d M x
∆ = −
và
( )
2
0
3
1
,
d M
x
∆ =
−
.
Khi đó
( ) ( )
1 2 0
0
3

1
1
, ,
d M d M x
x
∆ + ∆ = − +
−
0
0
3
2 1 2 3
1
.
Cosi
x
x
≥ − =
−

Đẳng thức xảy ra
0
0
3
1
1
x
x
⇔ − =
−
2

0
1 3
x
⇔ − =
0
0
1 3
1 3
x
x

= +

⇔


= −

.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(
)
7
1 3 2 3
;
M + + và
(
)
8
1 3 2 3

;
M − − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
21
d. Ta có
(
)
2
4 3 2
2
0 0 0 0 0
0
2
0
0
2 1 2 5 4 1
1
1
x x x x x
MO x
x
x
 
+ − + + +





= + =





−
 
−
;

( )
2
2
0
0
0
2 1
2 2 5 2
1
x
MA x
x
 
+




= − − + −






−
 


(
)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
0 0 0 0
2
0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
1
x x x x
x
− + + + − + + +
=
−
.
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
2 5 4 1
1 1
x x x x
x x x x
x x
− + + + − + + +
− + + +
=
− −

(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
2 5 4 1
1 1
x x x x
x x x x
x x
− + + + − + + +
− + + +
⇔ =
− −

(
)
(
)
(
)

3 2
0 0 0
4 4 5 28 16 5 56 20 5 32 8 5 0
x x x
⇔ + − + + + − − =

(
)
(
)
(
)
0 0
1 2 4 4 5 16 4 5 0
x x x
 
⇔ − − + − − =
 
 
0
0
2
1 3 5
4
x
x

=



⇔
+

=


.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(
)
9
2 5
;
M và
10
1 3 5
3 5
4
;
M
 
+ 



+







 
.
e. Ta có
( )
0
2
0
0 0
0
2 1
3 2 3
3 3
1
2 2
.
,
x
x
x x
x
d M
+
+ −
− +
−
∆ = = .
Do đó
( )

3 3
2
,
d M ∆ =
2
0 0
3 3
3 3
2 2
x x− +
⇔ =

(
)
2
0 0
2
0 0
0
6 3 0
x x
x x VN

− =

⇔

− + =



0
0
x
⇔ =
.
Vậy có một điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(
)
11
0 1
;
M
−
.
Bài 28. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − −
,
( )
C
. Tìm trên đường thẳng
2
:
d y
= −
những điểm mà từ
đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến
( )

C
.
Giải
Ta có
2
3 6
y x x
′
= −
. Gọi
(
)
2
;
M a d
− ∈
bất kỳ. Khi đó, tiếp tuyến
∆
bất kỳ của
(
)
C
qua
M
có
dạng
(
)
2
y k x a

= − −
. Hoành độ tiếp điểm của
∆
và
(
)
C
là nghiệm của hệ phương trình
(
)
3 2
2
3 2 2 1
3 6 2
( )
( )
( )
x x k x a
x x k


− − = − −


∗


− =




.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
22
Thay (2) vào (1) ta được
(
)
(
)
3 2 2
3 2 3 6 2
x x x x x a
− − = − − −
(
)
3 2
2 3 1 6 0
x a x ax
⇔ − + + =


(
)
2
0
2 3 1 6 0 3
( )
x

x a x a

=

⇔

− + + =


.
Từ
M
có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với
(
)
C

⇔
( )
∗
có 3 nghiệm phân biệt

⇔
(3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

(
)
2
9 1 48 0
6 0

a a
a



∆ = + − >

⇔


≠



1
3
3
0
a
a
a





<






⇔

>






≠


.
C. CÁC BÀI TẬP VÀ ĐỀ THI
 Tính đơn điệu của hàm số
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau
a.
2
5 1
y x x
= − + −
b.
3 2
3 3
y x x
= − +
c.
3 2

5 7 1
y x x x
= − + − +

d.
4 2
4 2
y x x
= − +
e.
1
3 2
x
y
x
+
=
−
f.
3
3 2
x
y
x
−
=
+

g.
2

2 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
h.
2
4
y x
= −
i.
1
3
x
y
x
+
=
.
2. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
a.
3
2 2
1 1 3 5
3

( ) ( )
x
y m m x x
= − + + + +
luôn đồng biến.
b.
2 3 2
1
2 3 1
3
( )
y m m x mx x
= − + + −
luôn nghịch biến.
c.
2 3 2
1
2 1
3
( )
y m m x mx x
= + + + +
luôn đồng biến.
d.

3 2
1
2 2 1 3 2
3
( ) ( )

f x x x a x a
= − + + + − +
nghịch biến trên

.
e.
( )
( )
3
2 2
1 1 3 5
3
x
y m m x x
= − + + + +
đồng biến trên

.
3. Cho hàm số . Với các giá trị nào của
m
thì hàm số
2
1
m
y x
x
= + +
−
đồng biến trên từng
khoảng xác định? (

0
m
≤
)
4. Cho hàm số
3 2
1 2
1 2 3
3 3
( ) ( )
y x m x m x
= + − + − −
.
a. Với các giá trị nào của
m
, hàm số đồng biến trên khoảng 1
( ; )
+∞
?
1
( )
m
≥

b. Với các giá trị nào của
m
, hàm số đồng biến trên

?
2

( )
m
=

5. Cho hàm số
2
2
2
x x m
y
x
− +
=
−
, (1) (
m
là tham số).
a. Xác định
m
để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn
1 0
[ ; ]
−
.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
(

)
9
m
≥

6. Cho hàm số
(
)
3 2
3 1 4
y x x m x m
= + + + +
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với
1
m
= −
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
23
b. Tìm các giá trị của
m
để hàm số nghịch biến trên
(
)
1 1
;
−

.
(
)
10
m
< −

7. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1 2
3
y x mx m x m
= − + − − +
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với
2
m
=
.
b. Tìm các giá trị của
m
để hàm số nghịch biến trên
(
)
2 0
;
−
.

1
2
m
 



< −





 

8. Cho hàm số
3 2
3 1
y x mx m
= − + −
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với
1
m
=
.
b. Tìm các giá trị của
m
để hàm số nghịch biến trên
(

)
0
;
−∞
.
(
)
0
m
≥

9. Cho hàm số
3 2
1
1 3 4
3
( ) ( )
y x m x m x
= − + − + + −
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với
2
m
=
.
b. Tìm các giá trị của
m
để hàm số đồng biến trên
(
)

0 3
;
.
12
7
m
 



≥





 

10. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
2
2 1 2
1
( )
x m x
y
x
+ + +
=

+
đồng biến trên
(
)
0
;
+∞
.
(
)
0
m
≥

11. Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2
1 2 2 3 1
y m x m x m x
= − − + + + −
.
a. Chứng minh rằng hàm số không thể đồng biến trên

.
b. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(
)
0
;
−∞
;
(
)
1
m
≥

c. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0
;
−∞
;
(
)
3
m
≤ −

d. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
1
;

−∞

(
)
1
m
≥

e. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
4
;
+∞

(
)
13
m
≥

f. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
1 4
;

(
)
5 13

m
− ≤ ≤

12. Cho hàm số
2
3
x x
y
x m
−
=
−
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát hàm số (1) khi
1
m
= −
.
b. Tìm
m
để hàm số (1) đồng biến trên 1
[ ; )
+∞
.
(
)
1 1
m

− ≤ <

13. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
nghịch biến trên 1
[ ; )
+∞
.
14
5
( )
m ≤ −

14. Giải các hệ phương trình sau
a.
3 2
3 2
3 2
2
2

2
x y y y
y z z z
z x x x


= + + −



= + + −




= + + −


; b.
3 2
3 2
3 2
3 3 1
3 3 1
3 3 1
ln( )
ln( )
ln( )
x x x x y
y y y y z

z z z z x


+ − + − + =



+ − + − + =




+ − + − + =


;
c.
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
x x

y y
z z
y
z
x
+
+
+


 





=







 




 






=






 



 

 


=









 



; d.
3
3
3
6
6
6
sin
sin
sin
y
x y
z
y z
x
z x



= +







= +






= +




.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
24
15. Tìm các giá trị của
m
để phương trình
4
4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
+ + − + − =

có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
(
)
4

2 6 2 6 3 2 6
m+ ≤ ≤ +

16. Cho hàm số
2
2 2
( )
f x x x
= −
.
a. Chứng minh rằng
f
đồng biến trên nửa khoảng
2
[ ; )
+∞
.
b. Chứng minh rằng phương trình
2
2 2 11
x x
− =
có một nghiệm duy nhất.
17. Tìm các giá trị của
m
để phương trình
3 6 3 6
( )( )
x x x x m
− + − − − − =

có nghiệm.
(
)
9 6 2 3
m− + ≤ ≤

 Cực trị của hàm số
18. Tìm cực trị các hàm số sau
a.
3 2
2 9 12 3
( )
f x x x x
= − + −
b.
3 2
5 3 4 5
( )
f x x x x
= − + − +

c.
3 2
2 1
( )
f x x x x
= − + − +
d.
2 2

1
( ) ( )
f x x
= −

e.
2
2 3
( )
x
f x
x
+
=
−
f.
2
8 24
2
( )
x x
f x
x
+ −
=
−

g.
2
4

( )
x
f x
x
=
+
h.
4
( )
f x x x
= −

i.
4
3
2
( )f x x
x
= − +
−
j.
4 2
2 1
( )
f x x x
= − +
.
19. Tìm cực trị các hàm số sau
a.
2

3
( ) sin cos
f x x x
= −
trên đoạn
0
[ ; ]
π
,
b.
2 2
( ) sin cos
f x x x
= +
trên đoạn
0
[ ; ]
π
,
c.
2
2 3 2 3
( ) sin sin
f x x x
= + −
trên đoạn
[ ; ]
π π
−
,

d.
2
( ) sin cos
f x x x
= +
trên đoạn
[ ; ]
π π
−
.
20. Tìm
m
để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a.
3 2
1
6 2 1
3
( ) ( )
y x mx m x m
= + + + − +

2
(
m
< −
hoặc
3
)
m

>

b.
3 2
2 3 5
( )
y m x x mx
= + + + −
.
3 2 1
( )
m
− < ≠ <

21. Tìm
m
để hàm số
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
( ) ( )
y x m m x m x m
= + − + + + + −
đạt cực tiểu tại
2
x
= −
.

3
( )
m
=

22. Tìm
m
để hàm số
3 2
1 1
1 3 2
3 3
( ) ( ) ( )
f x mx m x m x
= − − + − +
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
thỏa mãn điều
kiện
1 2
2 1
x x
+ =
.
2
(
m
=

hoặc
2
3
)
m =

23. Tìm
m
để hàm số
3 2
1
1
3
( )
f x x mx mx
= − + −
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
thỏa mãn điều kiện
1 2
8
x x
− >
.
1 65
2
(
m

−
< hoặc
1 65
2
)
m
+
>
24. Tìm
m
để hàm số
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
f x x m x m m x m
= + − + − + − +
đạt cực trị tại
1 2
,
x x

thỏa mãn điều kiện
1 2
1 2
1 1 1
2
( )
x x
x x
+ = + .

1
(
m
=
hoặc
5
)
m
=

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
25
25. Cho hàm số
( )
(
)
3 2 2
2
1 4 3 1
3
y x m x m m x
= + + + + + −
.
a. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại
1
x
và
2

x
;
(
)
5 1
m
− < < −

b. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm nằm bên phải trục tung; .
(
)
5 3
m
− < < −

c. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại
1
x
và
2
x
sao cho
(
)
1 2 1 2
2
A x x x x
= − +
đạt giá trị
lớn nhất.

(
)
4
m
= −

26. Cho hàm số
4 2 2
9 10
( )
y mx m x
= + − +
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
b. Tìm
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
3
(
m
< −
hoặc
0 3
)

m
< <

27. Cho hàm số
3
3
( )
y x m x
= − −
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
b. Xác định
m
để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ
0
x
=
.
1
( )
m
= −

28. Cho hàm số

2
2
2
2 2
x x m
y
x x
+ +
=
− +
.
a. Với giá trị nào của
m
, hàm số đạt cực đại tại
2
x
=
.
(
)
2
m
=

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với
2
m
=
.
29. Cho hàm số

2
1
x mx
y
x
+
=
−
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
0
m
=
.
b. Tìm
m
để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của
m
thì khoảng cách giữa hai điểm
cực trị của hàm số (1) bằng 10?
4
( )
m
=

30. Cho hàm số
2 2
2 1 4

2
( )
( )
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
0
m
=
.
b. Tìm
m
để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.
(
)
1 2
4 2
M M =

31. Cho hàm số
2
1 1
1

( )x m x m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
=
.
b. Chứng minh rằng với
m
bất kỳ, đồ thị (
m
C
) của hàm số (1) luôn luôn có điểm cực đại, điểm
cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
32. Cho hàm số
2 2
2 1 3
x mx m
y
x m
+ + −

=
−
, (
m
C
) (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
b. Tìm
m
để đồ thị (
m
C
) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
(
)
1 1
m
− < <

33. Cho hàm số
2
2 2
1
x mx

y
x
− +
=
−
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát hàm số (1) khi
1
m
=
.
b. Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị
,
A B
. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng
AB
song song với đường thẳng
2 10 0
x y
− − =
.
3
2
m
 




<





 

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com