Định thức và ứng dụng trong giải toán

Lời cảm ơn
Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cơ giáo - TS. Lê
Thị Hồi Thu - người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt q trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp.
Em cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô Trường Đại học
Quảng Bình, đặc biệt là các thầy cơ giáo trong khoa Khoa học tự nhiên đã
dạy dỗ em trong suốt thời gian ngồi trên ghế nhà trường, chính nhờ sự dạy
dỗ đó em đã học được rất nhiều điều bổ ích cho chun ngành của mình
và trong cuộc sống.
Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, các anh chị khóa trước,
tập thể lớp ĐHSP Tốn K53, bạn bè xung quanh và tất cả mọi người luôn
động viên giúp đỡ em trong những lúc khó khăn, sự động viên đó đã giúp
bản thân em ngày càng cố gắng học tập và hồn thành tốt khóa học của
mình.
Em xin chân thành cảm ơn!

1


Mục lục

Lời cảm ơn

1

MỞ ĐẦU

4

1 Định thức và một số tính chất của định thức

6

1.1

Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Một số tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Một số phương pháp tính định thức

9

2.1

Phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột . . . . . . . .

9

2.2

Phương pháp biến đổi sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4

Phương pháp truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5

Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức

23

2.6

Phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức

28

2.7

Phương pháp sử dụng đa thức . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.8

Phương pháp biến đổi tất cả các phần tử của định thức . .

34

2.9

Phương pháp Rank one updates . . . . . . . . . . . . . . .

35

3 Một số ví dụ minh họa về ứng dụng của định thức

37

3.1

Giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2

Xét tính suy biến của ma trận và tìm ma trận nghịch đảo

40

3.3

Tính hạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2


3.4

Chứng minh sự độc lập tuyến tính của một hệ hàm . . . .

47

3.5

Chứng minh một số đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.6

Định thức qua các trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

KẾT LUẬN

69

TÀI LIỆU THAM KHẢO

70

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khái niệm định thức lần đầu tiên được đưa ra trong một bức thư của
Leibniz gửi cho một người bạn năm 1693. Hàm định thức xuất hiện đầu
tiên năm 1720 trong một cơng trình của nhà tốn học Anh Maclaurin.
Cơng thức tổng qt được tìm thấy bởi nhà tốn học Thụy Sĩ Cramer
trong một cơng trình về đường cong xuất bản năm 1750. Người đầu tiên
định nghĩa và nghiên cứu những tính chất cơ bản của định thức là Lan
Vandermonde. Năm 1771, ông chứng minh được quy tắc Cramer và qua
đó tìm thấy một số tính chất của định thức như triệt tiêu khi hai dòng
hay hai cột bằng nhau, định thức đổi dấu nếu đổi chỗ hai dịng hay hai
cột. Tuy nhiên ơng chỉ tính được định thức mang tên mình cho trường hợp
n = 3 năm 1774. Công thức khai triển định thức theo dịng và cột được nhà
tốn học Pháp Laplace phát hiện năm 1772. Tên gọi định thức xuất hiện
lần đầu tiên trong một bài báo của Gauss năm 1801 về các dạng bậc hai.
Người đầu tiên nghiên cứu định thức một cách hệ thống là nhà toán học
Pháp Cauchy. Ơng phát hiện cơng thức định thức tích hai ma trận năm
1812. Ơng cũng là người phát hiện cơng thức định thức Vandermonde năm
1815. Cùng với các nhà toán học trên, Jordan, Sylvester, William Rowan
Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinaned Georg Frobenius và John von
Neumann là những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết định
thức, ma trận.
Định thức và ma trận là những kiến thức cơ bản của Đại số tuyến tính.
Nó có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích, tốn kinh tế. Ngồi ra nó

cịn có ứng dụng trong vật lý, tin học...Với mong muốn tìm hiểu về định
thức và ứng dụng của nó, em đã chọn và nghiên cứu đề tài khóa luận "Định
thức và ứng dụng trong giải toán".
4


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, logic về định nghĩa và
một số tính chất của định thức ma trận, một số phương pháp tính định
thức và một số ví dụ minh họa về ứng dụng của định thức.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là lý thuyết định thức ma
trận.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình về các vấn đề cần nghiên cứu như: định thức, các phương pháp tính
định thức, ứng dụng của định thức....
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của các giảng viên hướng
dẫn và các giảng viên khác trong Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học tự nhiên,
Trường Đại học Quảng Bình.
5. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành
Toán, đặc biệt là những bạn đam mê thi Olympic Toán và học toán cao
cấp. Với bản thân, qua việc nghiên cứu đề tài em đã hệ thống cũng như
ôn tập lại những kiến thức đã học về định nghĩa và một số tính chất của
định thức, các phương pháp tính định thức, đặc biệt có được cái nhìn về
định thức, về những ứng dụng của nó.
6. Bố cục khóa luận
Ngoài lời cảm ơn, phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo,
nội dung khóa luận được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Định thức và một số tính chất của định thức
Chương 2: Một số phương pháp tính định thức
Chương 3: Một số ví dụ minh họa về ứng dụng của định thức.
5


Chương 1

Định thức và một số tính chất của
định thức
1.1

Định thức

Định nghĩa 1.1.1. Mỗi song ánh từ tập {1, 2, . . . , n} vào chính nó được
gọi là một phép thế bậc n. Tập tất cả các phép thế bậc n được ký hiệu bởi
Sn .
Định nghĩa 1.1.2. Dấu của phép thế σ ∈ Sn là số sau đây
sgn(σ) =

Y σ(i) − σ(j)
i6=j

i−j

∈ {±1}.

Tích này chạy trên mọi cặp số {i, j} ⊂ {1, 2, . . . , n}.
Định nghĩa 1.1.3. Cho ma trận vuông A = (aij )n×n với các phần tử trong
trường K. Định thức của A được kí hiệu bởi det A hoặc |A|, là phần tử sau

đây của trường K
det A =

P

sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n .

σ∈Sn

6


1.2

Một số tính chất của định thức

Từ đây ta ký hiệu Mn (K) là tập tất cả các ma trận vng cấp n trên
trường K.
Tính chất 1.2.1. (Đa tuyến tính): Định thức của ma trận là một hàm
tuyến tính với mỗi cột của nó, khi cố định các cột khác. Tức là
det(α1 , . . . , aαj + bβj , . . . , αn )
= a det(α1 , . . . , αj , . . . , αn ) + b det(α1 , . . . , βj , . . . , αn ),
với mọi a, b ∈ K; α1 , . . . , αj , βj , . . . , αn ∈ Kn ; j = 1, ..., n.
Tính chất 1.2.2. (Thay phiên): Nếu ma trận vng A có hai cột bằng
nhau, thì det A = 0.
Tính chất 1.2.3. (Chuẩn hóa): Định

1
0



 0
1
det In = det 

 ··· ···

0
0

thức của ma trận đơn vị bằng 1:

··· 0


··· 0 
 = 1.

··· ··· 

··· 1

Hệ quả 1.2.4. i) Nếu đổi chỗ hai cột của một ma trận thì định thức của
nó đổi dấu:
det(..., αi , ..., αj , ...) = − det(..., αj , ..., αi , ...).
ii) Nếu các vectơ cột của một ma trận phụ thuộc tuyến tính thì định
thức của ma trận bằng khơng. Nói riêng, nếu ma trận có một cột bằng 0
thì định thức của nó bằng 0.
iii) Nếu thêm vào một cột của ma trận một tổ hợp tuyến tính của các
cột khác thì định thức của nó khơng thay đổi.

Tính chất 1.2.5. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử
trên đường chéo chính.
7


Tính chất 1.2.6. Giả sử A, B ∈ Mn (K). Khi đó
i) det(AB) = det(A). det(B).
ii) A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A 6= 0. Hơn nữa
det(A−1 ) = (det A)−1 .
Tính chất 1.2.7. (Định thức của ma trận chuyển vị)
det(At ) = det A, ∀A ∈ Mn (K).

8


Chương 2

Một số phương pháp tính định thức
Biểu thức định nghĩa của định thức cấp n hồn tồn khơng tiện lợi trong
việc tính định thức với n ≥ 4. Để tính định thức, nhất là các định thức
cấp cao, ta cần sử dụng linh hoạt các tính chất của chúng, kết hợp với việc
hạ cấp định thức nhờ vào định lí Laplace, cơng thức khai triển định thức
theo dịng hay theo cột. Các phép biến đổi sơ cấp cũng cho ta một phương
pháp tính định thức rất hiệu quả và thường dùng các phương pháp sau.
2.1

Phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột

Khi thấy một dòng (hay cột) trong định thức có nhiều số 0 thì nên khai
triển định thức theo dịng (hay cột) đó. Cơ sở của phương pháp này là định

lý Laplace.
Định lý 2.1.1. (Khai triển Laplace) Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng
k cột) trong một định thức cấp n (1 ≤ k < n). Khi đó, định thức đã cho
bằng tổng của tất cả các tích của các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng
(tương ứng k cột) đã chọn với phần bù đại số của chúng.
Hệ quả 2.1.2. Cho A = (aij )n×n là một ma trận vng cấp n trên K. Khi
đó ta có
(1) Cơng thức khai triển theo dòng i
9


det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain =

n
P

aik Aik .

k=1

(2) Công thức khai triển theo cột j
n
P

det A = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj =

akj Akj ,

k=1

trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij .









3 −2 5 0










7 0 6 3


.
Ví dụ 2.1.3. Tính D=