Bài tập giải tích

Bộ môn Toán – Khoa CNTT











BÀI TẬP
GIẢI TÍCH

_____ 2012 ______



1
Bài tập chương Hàm một biến, đạo hàm và vi phân

1. Đồ thị dưới đây cho ta biết khoảng cách giữa vị trí tại thời điểm t và nhà của một thương
nhân như là một hàm của thời gian trong một ngày nào đó. Từ đồ thị hãy diễn tả về hành
trình của anh ấy.

2-15 Hãy tính các đạo hàm các hàm số.
2.
2
arcsin
x
3.
arccos
x
x

4.
43
1
225
3
yx x x=−+ −
5.
2

32
3
yxxx
x
=−+
6.
()()
32
21yx x=− − 7. arctanyx x=+
8.
()
3
sin 3cosyx x=+
9.
2
41
2
x
y
x
+
=
+

10.
2
4
x
y
x

+
=
11.
3
1
x
y
x
=
−

12.
()
3
2yx=−
13.
1
arctan
1
x
y
x
+
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠

14.

(
)
2
ln 1yxx=++ 15.
sin
4
x
x
y
+
=

16 - 22
Tìm vi phân của các hàm số.
16.
2
sin
1cos
x
y
x
⎛⎞
=
⎜⎟
+
⎝⎠
17. .cosyx x
=

18.

()
3
sin 2 1yx=+ 19. cot 2yx=
20.
2
sin 2yx=+ 21. sin 2yxx=+
22.
2
1
cos
1
x
y
x
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠

23.
Tính đạo hàm đến cấp 2, 3 của các hàm số trong các bài 2, 4, 8, 14.

24-27 Tìm vi phân của các hàm số.
24.
43
1
225

3
yx x x
=−+ − tại x = 9

2
25.
()
3
112yx=+ − tại x = 0
26.
2
arctan 1yx=+ tại x = 0
27.
()
3
353
x
yx=+
tại
1
ln 3
3
x =

28-31 Chứng minh các bất đẳng thức đúng với mọi x > 0:
28.
2
arctan
1
x

x
x
x
<<
+
29.
()
2
ln 1
2
x
x
xx
−
<+<
30.
3
sin
6
x
x
xx−< < 31.
(
)
(
)
1 ln 1 arctan
x
xx
+

+≥
32.
Vị trí của một vật thể chuyển động trên một đường thẳng, lấy mốc tại vị trí khi vật bắt đầu
chuyển động, được cho bởi phương trình
32
() 6 9sftt t t==−+, trong đó t (giây), s (mét).
a. Tìm vận tốc của vật thể tại thời điểm t.
b. Xác định vận tốc của vật thể sau 2 giây? 4 giây?
c. Vật thể dừng lại khi nào?
d. Khi nào vật thể chuyển động theo hướng dương (xuôi chiều).
e. Vẽ biểu đồ mô tả chuyển động của vật thể.
f. Tìm tổng quãng đường đã đi của vật thể trong 5 giây đầu tiên.
33. Một quả bóng được ném thẳng lên không trung có độ cao
2
( ) 102 16st t t=− (m) sau t giây.
a. Vẽ đồ thị s(t), s'(t) trong khoảng thời gian [0, 7] giây. Tính toán hoặc sử dụng đồ thị
này (để ước lượng) để trả lời các câu hỏi sau:
b. Xác định độ cao của quả bóng sau 2 giây.
c. Trong quá trình rơi xuống khi nào quả bóng có độ cao 110 m?
d. Xác định vận tốc sau 6 giây.
e. Khi nào quả bóng đạt vận tốc 70m/s.
f. Xác định vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.
34. Một quả bóng được ném lên thẳng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 112m/s, độ cao của quả
bóng so với mặt đất tại thời điểm t là
2
( ) 16 112 ( )st t t m=− +
a. Khi nào thì quả bóng lên đến độ cao lớn nhất, xác định độ cao lớn nhất đó. Sau bao
nhiêu giây thì quả bóng rơi xuống đất.
b. Xác định vận tốc khi bóng tiếp đất.
c. Xác định gia tốc của bóng khi t = 1s, t = 3s.

35. Giả sử xe ô tô A đứng tại gốc tọa độ và di chuyển theo chiều dương của trục Oy với vận tốc
60 km/h. Cùng thời điểm đó ô tô B đứng trên trục Ox cách O 30km theo chiều dương và
di chuyển theo chiều về O với vận tốc 90 km/h. Gọi S là khoảng cách giữa hai xe trong quá
trình chuyển động. Tìm các khoảng tăng giảm của S trong 5 giờ đầu tính từ lúc hai xe khở
i
hành.
36. Một người đang đứng tại điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1 dặm. Người này phải bơi

3
qua sông và đi bộ đến điểm B ở bên bờ đối diện mà cách điểm đối diện vuông góc với A 3
dặm. Cho biết người đó có thể bơi qua sông với vận tốc 2 dặm/ giờ và đi bộ với vận tốc 3
dặm/giờ. Hãy xác định phương án di chuyển hợp lý để thời gian người đó đến B là nhỏ
nhất. (Giả sử vận t
ốc của dòng nước là không đáng kể.)
37. Có hai địa điểm A, B nằm trên cùng một phía của một con sông thẳng. Gọi l
1
, l
2
là khoảng
cách từ hai địa điểm này đến con sông, và h là khoảng cách giữa hai hình chiếu của hai địa
điểm này trên bờ sông. Hỏi cần phải đặt nhà máy nước C ở địa điểm nào trên bờ sông sao
cho tổng khoảng cách từ C đến hai địa điểm kể trên là nhỏ nhất.
38. Một người có một đoạn thép nhỏ dài 12 cm, dự định cắt thành ba đoạn con để ghép thành
một tam giác cân. Hỏi người đó phải cắt như thế nào để được tam giác có diện tích lớn
nhất.
39. Tìm 2 số mà hiệu là 100 và tích của chúng là nhỏ nhất.
40. Tìm một số dương sao cho tổng của nó và hai lần nghịch đảo của nó là nhỏ nhất.
41. Phải xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có nắp như thể
nào để hình đó có thể tích lớn nhất từ 1200cm
2

vật liệu?
42. Một người nông dân muốn làm hàng rào cho 1 khu đất hình chữ nhật với diện tích 1.5 triệu
feet vuông và sau đó chia nó làm đôi bởi một hàng rào song song với một cạnh của hình
chữ nhật. Xác định các kích thước của khu đất để chi phí cho hàng rào là ít nhất. (1 feet =
0.3048 m.)
43. Người ta dự định xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có
nắp. Hãy xác định các kích thước của hình hộp sao cho với ít vật liệu nhất ta có thể thiết kế
được hình đó có thể tích là 32000cm
3
.
44. Một loại lon nước giải khát có dạng hình trụ và chứa 0.4 lít chất lỏng. Xác định kích thước
của lon nước để lượng vật liệu được sử dụng làm lon là ít nhất.
45. Giả sử một hãng hàng không vận chuyển 8000 lượt hành khách mỗi tháng với giá vé là $50
một lượt. Hãng hàng không muốn tăng giá vé, tuy nhiên bộ phận nghiên cứu thị trường cho
biết cứ tăng giá vé lên thêm 1 đô la thì lượng hành khách sẽ giảm đi 100 người. Xác định
giá vé thích hợp để doanh thu của hãng là tối đa.
46. Một khu vườn cây ăn quả thu được 25 thùng quả mỗi cây khi trồng 40 cây trong vườn. Khi
tăng mật độ cây trong vườn, người ta thấy rằng cứ trồng thêm 1 cây thì lượng quả thu được
trên mỗi cây giảm đi 0.5 thùng. Vậy phải trồng bao nhiêu cây trong vườn thì lượng quả thu
được là tối đa.
47. Một người có một của hàng nhỏ bán các hộp đựng bút. Giả sử số lượng các hộp bán ra tỉ lệ
nghịch với bình phương giá bán mỗi hộp. Nếu người đó bán với giá $20 mỗi hộp thì sẽ bán
được trung bình 125 hộp. Đầu tư ban đầu cho cửa hàng là $750 và chi phí cho mỗi hộp
đựng bút là $5. Tìm giá bán mỗi hộp bút để lợi nhuận của cửa hàng là tối đa. Khi đó có bao
nhiêu hộp được bán ra?
48. Giả sử kích thước (số cá thể) của một bầy ruồi đục quả tăng theo hàm mũ
0
()
kt
Pt Pe= ,

trong đó P
0
là kích thước của bầy ruồi tại thời điểm bắt đầu quan sát và P(t) là kích thước

4
tại thời điểm t. Biết rằng kích thước của bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày.
a. Tìm hằng số tăng trưởng k.
b. Giả sử ban đầu đàn ruồi có 100 con, xác định kích thước đàn ruồi sau 41 ngày, và tốc
độ tăng trưởng của đàn tại thời điểm đó.
c. Sau bao nhiêu ngày thì đàn ruồi có 800 cá thể.
49-59 Tính các giới hạn.
49.
1
ln
lim
1
x
x
x
→
−
50.
2
lim
x
x
e
x
→∞

51.
3
ln
lim
x
x
x
→+∞
52.
3
0
tan
lim
x
x
x
x
→
−

53.
0
lim ln
x
x
x
+
→
54.
2

1
lim tan
cos
x
x
x
π
−
⎛⎞
→
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

55.
()
cot
0
lim 1 4sin 4
x
x
x
+
→
+ 56.
0
lim

x
x
x
+
→

57.
9
5
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
58.
2
lim
x
x
x
e
→−∞

59.
2

1
lim tan
cos
x
x
x
π
−
⎛⎞
→
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
59.
()
2
1/
0
lim cos
x
x
x
+
→

60-64
Chứng minh các đẳng thức.

60.
arcsin arccos
2
xx
π
+=
[1,1]
x
∀∈− 61.
arctan cot ,
2
x
arc x x R
π
+
=∀∈

62.
/2 0
1
arctan arctan
/2 0
khi x
x
khi x
x
π
π
>
⎧

+=
⎨
−<
⎩
63. arcsin( ) arcsin , [ 1, 1]xxx
−
=− ∀ ∈ −
64.
arccos( ) arccos , [ 1, 1]xxx
π
−=− ∀∈−
65-72
. Tìm đa thức Taylor bậc 5 của các hàm số sau:
65.
()
x
f
xe=
tại x = 0, x = 2
66. () sin, () cos3
f
xxgx x== tại x = 0,
3
x
π
=

67.
() cos2
f

xx x=
tại x = 0.
68.
()
() 1
k
f
xx=+ tại x = 0, k là một số thực.
69.
1
()
4
fx
x
=
−
tại x = 0.
70. ( ) arctan
f
xx= tại x = 0.
71.
()
() ln1 2
f
xx=+ tại x = 0.
72.
()
x
f
xxe=

tại x = 0.
Bài tập bắt buộc: 1-4, 8, 9, 14-20, 23, 26-28, 31, 32, 34, 36, 42, 45, 48-59, 60-62, 65-72.

5
Bài tập chương: Hàm nhiều biến
1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau
a)
22
ln( )
z
xxy=++ b)
2
sin
x
zy
y
=

c)
arctan
x
y
z
x
y
+
=
−
d) ln tan
x

z
y
=
e)
arctan
x
xy
z
ey
y
+
=− f)
x
zxyz
yz
=+
2. Tìm vi phân toàn phần các hàm số sau
a)
arcsin( 2 )
z
xy=−
b)
22
()
x
y
z
xye
+
=+

tại (0;0)
c)
2
arctan
1
y
z
x
=
+
d)
22
22
ln
x
yx
z
x
yx
+
−
=
+
+
tại (0;1)
3. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau
a)
22
ln( )
z

xy=+ b) cos( )
y
z
xxy=+
c)
arctan
y
z
x
= d) cot
1
x
y
zarc
x
y
+
=
−

4. Cho hàm số
y
z
x= . Tính
22 2
22
2
z
zz
x

yxy
∂∂ ∂
+−
∂∂ ∂∂
tại (1,1)
5. Cho hàm số
(, ) ( cos cos ).
x
f
xy e x y y x=−
Tính
22
22
z
z
x
y
∂
∂
+
∂
∂

6. Cho hàm số
22
1
lnz
x
y
=

+
. Tính
22
22
z
z
x
y
∂
∂
+
∂
∂

7. Cho hàm số
22
(, ) arctan ln
y
f
xy x y
x
=++
. Tính
22
2
z
z
x
xy
∂∂

+
∂
∂∂

8. Cho hàm số
22
(, ) arctan
y
f
xy y x y
x
=−−. Chứng minh
22
zz
yxzxy
yx
∂
∂
+
=− −
∂∂
.
9. Chứng minh hàm số
22
ln( )
z
yxy=−
thỏa mãn phương trình
2
11

z
zz
xx yy
y
∂∂
+=
∂∂
.
10. Chứng minh arctan
1
x
y
z
x
y
+
=
−
thỏa mãn
2
0
z
xy
∂
=
∂∂
.
11. Hàm
442 2
(, ) 2 10fxy x y x xy y=+−− −+ có đạt cực trị tại điểm (1,1) không?

12. Hàm
33
(, ) 3 12
f
xy x y x y=− − + +
có đạt cực trị tại điểm (-1,1) không?
13. Tìm a, b,c để
33
(, ) 2 2 3
f
xy x y xy by ax c=+−+++ đạt cực trị tại (1,1) và f(1,1)=0.

6
14 - 23 Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị hàm số
14.
22
(, ) 4( )
f
xy x y x y=− − + −

15.
22
(, ) ( 1) 2
f
xy x y=− +

16.
33
1
(, ) 9 3 30

3
fxy x y xy=+ −+

17.
32
( , ) 3 15 12
f
xy x xy x y=+ − +
18.
442 2
(, ) 2 2
f
xy x y x y=+−− 19. (, )
y
f
xy x y xe=+−
20.
2
(, ) ( )
y
f
xy x y e=+

21.
2
(, ) 6 3
f
xy x y x y x
=
−−++

22.
22
11 1 1 1
(, )
2
fxy
xy
xy
=++ + −

23.
50 20
(, )fxy xy
x
y
=++




7
Bài tập chương Nguyên hàm
1 - 3 Dùng tính chất và bảng nguyên hàm tính các tích phân bất định sau:
1.
3
4
(2)
x
dx
x

−
∫
2.
2
2
3
1
x
dx
x
+
−
∫
3.
2
(1 )
cos
x
x
e
edx
x
−
−
∫

4 - 9 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp đổi biến:
4.
1ln
x

dx
x
+
∫
5.
3
2
13
x
dx
x
−
∫
6.
1
x
dx
e+
∫

7.
22
(2)35
xdx
xx++
∫
8.
3
cos
sin

x
dx
x
∫
9.
2
14
x
x
dx
−
∫

10 - 15 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp tích phân từng phần
10.
2
ln
x
dx
∫
11.
22
(1)
x
x
edx+
∫
12.
2
sin

x
xdx
∫

13.
2
sin
x
xdx
∫
14.
2
arccos
x
xdx
∫
15.
2
arcsin
x
dx
x
∫

16. Xác định a, b, c để hàm số
22
() ( )
x
F x ax bx c e
−

=++ là nguyên hàm của hàm số
22
() (2 8 7)
x
f
xxxe
−
=− − +
17. Xác định các hằng số a, b, c để hàm số
2
() ( )
x
F x ax bx c e
−
=++ là nguyên hàm của hàm số
2
() (2 5 2)
x
f
xxxe
−
=−+
18. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
32
2
337
()
(1)
xxx
fx

x
+
+−
=
+
thỏa mãn F(0) = 8.
19. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
2
() sin
2
x
fx= thỏa mãn ()
24
F
π
π
=
20 - 49 Tính các tích phân bất định sau:
20.
2
x
x
edx
∫
21.
4
cos
dx
x
∫

22.
(1 ln )
dx
x
x+
∫

23.
sin
12cos
x
dx
x
+
∫
24.
2
12cos
sin
x
dx
x
−
∫
25.
2
2arcsin
1
x
x

dx
x
−
−
∫

26.
sin
cos 2
x
dx
x
∫
27.
3
sin cos
x
xdx
∫
28.
2
x
x
dx
ee−
∫

29. sin
x
exdx

∫
30. cos(ln )
x
dx
∫
31.
2
ln
()
x
dx
x
∫

32.
3
cos
sin
x
x
dx
x
∫
33.
2
ln(cos )
cos
x
dx
x

∫
34.
2
483
dx
x
x++
∫

35.
2
27
56
x
dx
x
x
+
++
∫
36.
42
2
32
x
dx
x
x
+
+

∫
37.
3
2
x
dx
x
−
∫

38.
32
2
22
x
dx
x
xx
+
−+
∫
39.
2
26 9
dx
x
x−−
∫
40.
2

443
dx
xx++
∫


8
41.
2
1
dx
xx+
∫
42.
2
32
xdx
x
x
−
−
∫
43.
22
22 1
xdx
xx++ +
∫

44.

3
1
dx
x
x−
∫
45.
2
(cos sin )
x
xdx+
∫
46.
54sin 3cos
dx
x
x−+
∫

47.
3
sin sin
cos 2
x
x
dx
x
−
∫
48.

4
6
sin
cos
x
dx
x
∫
49.
cos sin
sin 2
x
x
dx
x
+
∫

50.
2
2
x
dx
x4x5++
∫


Bài tập bắt buộc: 1-16, 18, 21, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 38-41, 43, 46, 50.

9

Bài tập Tích phân xác định và ứng dụng
1 - 20 Tìm các tích phân xác định sau:
1.
2
1
2
1
ln
1 4 ln ln
e
x
dx
x
xx−−
∫
2.
2
4
0
sin 2
5cos
x
dx
x
π
+
∫
3.
1
2

1
32
x
xdx
−
−−
∫

4.
1
2
0
ln(1 )
x
xdx+
∫
5.
3
2
0
53
3
x
dx
x
+
−
∫
6.
/2

2
0
(2 3)sinttdt
π
+
∫

7.
0
1
1sin
dx
x
π
+
∫
8.
3
2
1
1
dx
xx
+
∫
9.
0
2
1
arctan

1
x
x
dx
x
−
+
∫

10.
34
14
arcsin
(1 )
x
dx
xx−
∫
11.
2
35
0
sin cos d
π
θ
θθ
∫
12.
/3
/4

ln(tan )
sin 2
x
dx
x
π
π
∫

13.
ln 2
ln 3
1
1
x
x
e
dx
e
−
−
+
−
∫
14.
3
1
52
0
x

x
edx
−
∫
15.
4
3
0
sin
cos
x
x
dx
x
π
∫

16.
1
2
1
1
(2)( 4)
dx
xx
−
−+
∫
17.
3

22
1
(1 )
arctgx
dx
xx+
∫
18.
2
2
3
1
ln
x
dx
x
∫

19.
2
0
cos
x
exdx
π
∫
20.
1
2
0

1
(2)(3)
dx
xx−+
∫


21 - 32 Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ:
21.
22
0
(2)
x
dx
x
+∞
+
∫
22.
2
1
1
2
x
dx
x
x
+∞
+
+

∫
23.
2
1
445
dx
xx
+∞
−∞
++
∫

24.
42
1
5
235
+∞
+−
∫
x
dx
xx
25.
2
1
1
(1 )
dx
xx

+∞
+
∫
26.
0
2 x
x
edx
−∞
∫

27
1
x
edx
+∞
−
∫
28.
2
1
ln
x
dx
x
+∞
∫
29.
2
1

arctgx
dx
x
+∞
∫
.
30.
costtdt
+∞
−∞
∫
31.
22
0
(1 )
x
arctgx
dx
x
+∞
+
∫
32.
2
2
1
1
dx
xx
+∞

−
∫

33 – 41.
Hãy cho biết các tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kì
33.
4
2
1
x
dx
x
+∞
+
∫
34.
2
3
4
1
sin 3
1
x
dx
x
+∞
+
∫
35.
2

1
x
dx
x
+∞
−∞
+
∫

36.
1/
1
1
(1)
x
edx
x
+∞
−
∫
37.
3
7
0
2
x
dx
x
+∞
+

∫
38.
0
x
e
dx
x
+∞
−
∫

39.
1
1
4ln
dx
x
x
+∞
+
∫
40.
3
1
(1)(2)
dx
xx x
+∞
−−
∫

41.
1
1
ln(1 )
x
dx
x
α
+∞
+
∫



10
42 - 47 Tính độ dài cung của các đường cong sau
42. y =
3
1
62
x
x
+
với
1
1
2
x
≤≤ 43. y =
2

2
(
3
x
-1)
3/2
với 13
x
≤≤
44.
1
ln
1
x
x
e
y
e
+
=
−
từ x = 1 đến x = 3 45. y =
/2 /2
()
2
xx
a
ee
−
+ từ x = 0 đến x = a

46. y =
2
arcsin
x
xx−+
47.
3
22
ln
a
ya
ax
=
−
từ x = 0 đến x = b (với 0 < b < a)
48. Tìm hàm độ dài cung của đường cong y =
3
1
34
x
x
+ (x > 0) với điểm xuất phát là P(1; 7/12)
49. Một luồng gió ổn định thổi cánh diều bay về hướng tây. Độ cao của diều so với mặt đất từ
điểm x = 0 đến x = 80 mét được cho bởi phương trình
()
2
50
150
40
x

y
−
=−
. Tính quãng
đường diều đã bay.
50. Một con chim diều hâu bay với tốc độ 15m/s ở độ cao 180m bất ngờ đánh rơi con mồi.
Quỹ đạo hình parabol của con mồi bị rơi cho bởi phương trình

2
180
45
x
y
=
−
cho tới khi nó chạm đất, trong đó y là độ cao của nó so với mặt đất và x là khoảng cách
theo phương nằm ngang tính theo đơn vị mét. Hãy tính độ dài quỹ đạo do con mồi vạch ra
từ khi nó bắt đầu rơi đến khi chạm đất.

51. (a) Tính độ dài cung
3/2
16 ,0 1yx x=+ ≤ ≤.
(b) Hãy tính độ dài của đường gấp khúc gồm 2 đoạn nội tiếp cung trên, chính xác đến 2
chữ số thập phân, và so sánh với độ dài cung tính được trong (a)
(chọn hoành độ của các điểm mút đường gấp khúc là 0; 0,5, 1).
52 - 57 Vẽ miền giới hạn bởi các đường sau và tính diện tích của chúng
52. y = -x
2
; y = x-2 và Ox 53. y
2

= 2x+4; y = -2; y = -5 + 3x/2
54. y = e
x
; y = sinx; x = 0; x= /2
π
55. y = 3x
2
; y = 8x
2
; 4x + y = 4; 0
x
≥
56. 4x+y
2
=12; y = x 57. y = sin2x; y = cosx; x = 0; x = /2
π

58. Tính diện tích các phần tô đậm sau nếu nó hữu hạn

59. Ở một vùng dân cư có tỷ lệ người sinh và tỷ lệ người chết tại thời điểm t lần lượt là các
hàm số b(t) = 2200e
0,024t
người/năm, d(t) = 1460e
0,018t
người/năm. Tìm diện tích miền giới
hạn bởi hai đường cong trên với
010t
≤
≤ và nêu ý nghĩa của nó.

11

60. Giả sử R(x) và C(x) lần lượt là hàm doanh
thu và hàm chi phí sản xuất cho x đơn vị
sản phẩm của một nhà máy. R’(x) và C’(x)
lần lượt được gọi là doanh thu cận biên và
chi phí cận biên ứng với x đơn vị sản
phẩm. Nêu ý nghĩa của diện tích miền tô
đậm trong hình bên.

61. Đồ thị của hàm g gồm 2 đoạn thẳng và một nửa đường tròn. Hãy dùng nó để xác định các
tích phân sau
(a)
2
0
()gxdx
∫
(b)
6
2
()gxdx
∫

(c)
7
0
()gxdx
∫

62. Cho

0
() ()
x
gx ftdt=
∫
, trong đó f là hàm số mà đồ thị
của nó được cho ở hình vẽ bên
(a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), và g(6).
(b) Hàm g tăng trên đoạn nào?
(c) Hàm g đạt giá trị cực đại tại đâu.
(d) Hãy vẽ đồ thị hàm g.

63.
Nếu
2
() 2,0 3,fx x x x=− ≤≤ hãy tính tổng Riemann với n = 6, bằng cách chọn các điểm
mút phải. Tổng Riemann này biểu thị đại lượng nào? Minh họa bằng hình vẽ.
64. Vận tốc của một vận động viên thi chạy tăng đều đặn trong suốt 3 giây đầu của cuộc đua.
Kết quả đo vận tốc của cô ấy sau mỗi quãng thời gian nửa giây thu được ở bảng sau. Hãy
ước lượng cận trên và cận dưới của quãng đường mà cô ấy chạy được trong 3 giây này.
t (s) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
v (m/s) 0 1,9 3,3 4,5 5,5 5,9 6,2

65.
Đồ thị hàm vận tốc của một chiếc ô tô trong
một qúa trình sử dụng phanh được cho ở hình
bên. Tính tổng Riemann với n = 6 đoạn chia
có độ dài bằng nhau và chọn
i
ε

là điểm chính
giữa mỗi đoạn, đồng thời ước lượng độ dài
quãng đường mà ô tô đi được trong khi sử
dụng phanh. (1ft = 0,3048m)


66. Một vật xuất phát từ gốc tọa độ chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốc là
v(t) = -(t - 2)
2
+ 1 (mét/giây) với 05t
≤
≤ (giây)
a) Vẽ đồ thị hàm v(t), từ đó xác định khi nào vật chuyển động về phía trái, khi nào vật

12
chuyển động về phía phải.
b) Tính tổng độ dài quãng đường mà vật đã di chuyển trong khoảng thời gian từ giây thứ
2 đến giây thứ 4
c) Xác định sự thay đổi vị trí của vật tại thời điểm t =5 so với thời điểm t=2
d) Tìm hàm vị trí của vật s(t) tại thời điểm t và tính vận tốc trung bình trong khoảng thời
gian [0; 5]

67.
Tốc độ tăng trưởng của một quần thể sinh vật là N’(t) = e
-t
, trong đó kích thuớc quần thể tại
thời điểm ban đầu t = 0 là N(0) = 100.
a) Tìm hàm kích thước quần thể N(t).
b) Tính sự thay đổi về kích thước quần thể trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t =5
68. Ban đầu đàn ong có 100 con và tốc độ tăng trưởng của đàn là N’(t) (con/tuần). Giá trị của

biểu thức 100 +
15
0
'( )Ntdt
∫
biểu diễn cái gì?
69. Tốc độ tăng trưởng của sinh khối (số lượng sinh vật sống trong một đơn vị diện tích, thể
tích vùng hoặc tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển) ở thời điểm t là B’(t),
biểu thức
6
1
'( )Btdt
∫
biểu diễn cái gì?
70. Hàm w’(x) biểu diễn tốc độ tăng trưởng của trẻ ở độ tuổi x (đơn vị kg/năm), khi đó
5
3
w'(x)dx
∫
biểu diễn cái gì?
71. Một mô hình tốc độ tăng trưởng sinh khối ở thời điểm t là B’(t) = cos(
/6)t
π
, với
012t≤≤ . Vẽ đồ thị hàm B’(t) và tìm hàm sinh khối B(t) biết B(0) = 100.
72. Số lượng ban đầu của một nhóm vi khuẩn là 400 con và chúng tăng trưởng với tốc độ
r(t) = 450,268e
1,12567t
con/giờ. Hãy xác định số lượng vi khuẩn của nhóm sau 3 giờ đầu.
73. Dầu chảy ra từ một bể chứa với lưu lượng r(t) = 200 – 4t (lít/phút), 050t≤≤ . Hãy xác

định lượng dầu chảy ra từ bể trong khoảng thời gian 10 phút đầu.
74. Hàm chi phí cận biên để sản xuất x mét một loại vật liệu xây dựng là 3 - 0,1x + 0,0006x
2

(ngàn đồng/mét). Hãy tính sự chênh lệch về chi phí sản suất khi tăng số lượng sản phẩm từ
2000m lên 4000m.

75. Hàm chi phí cận biên để sản xuất x sản phẩm là 5+16x-3x
2
(ngàn đồng/mét). Biết tổng chi
phí để sản xuất 5 sản phẩm là 500( ngàn đồng), hãy tìm hàm chi phí sản suất cho x sản
phẩm.
76. Nhiệt độ trong một nhà lưới trồng hoa thay đổi trong suốt khoảng thời gian 24 giờ có
phương trình T(t) = 20 +
5
9
sin(
π
t/12) (
0
C) với 0 24t
≤
≤ . Hãy xác định nhiệt độ trung
bình trong nhà lưới trong khoảng thời gian [0; 24] (giờ).

Bài tập bắt buộc: 1, 3, 5, 9, 10, 14, 20-49, 51, 54-59, 61-63, 66-68, 73, 74


13
Chú thích:

- Kí hiệu V(t) là hàm chỉ thể tích của nước trong bể ở thời điểm t, khi đó V’(t) là lưu lượng
(tốc độ) nước chảy vào bể ở thời điểm t. Vậy lượng nước chảy vào bể trong khoảng thời
gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1
21
'( ) ( ) ( )
t
t
V tdx Vt Vt=−
∫

- Kí hiệu [C](t) là hàm chỉ nồng độ của chất tan trong một phản ứng hóa học tại thời điểm t,
khi đó [C]’(t) là tốc độ của phản ứng tại thời điểm t. Vậy sự chênh lệch nồng độ chất tan ở
thời điểm t
2
so với thời điểm t
1
là:
2
1
21
[]'() []()[]()
t
t
C tdx Ct Ct=−

∫

- Kí hiệu C(x) là hàm chỉ tổng chi phí sản xuất của nhà máy khi sản xuất x đơn vị sản phẩm,
khi đó C’(x) =
0
lim ( )
x
Cx
Δ→
ΔΔ
là tốc độ biến thiên của tổng chi phí tại x (gọi là hàm chi phí
cận biên). Khi đó sự chênh lệch về chi phí sản xuất khi tăng số đơn vị sản phẩm từ x
1
đến
x
2
là:
2
1
21
'( ) ( ) ( )
x
x
C xdx Cx Cx=−
∫

- Kí hiệu s(t) là hàm vị trí tại thời điểm t của một vật chuyển động trên một đường thẳng, khi
đó vận tốc tức thời tại thời điểm t là v(t) =
(
)

0
lim
t
st
Δ→
Δ
Δ = s’(t). Do vậy sự chênh lệch về vị
trí của vật tại thời điểm t
2
so với thời điểm t
1
là:
2
1
21
() ( ) ( )
t
t
vtdx st st=−
∫

Nếu v(t) > 0 thì vật chuyển động sang phía bên phải, v(t) < 0 thì vật chuyển động sang
phía bên trái, do vậy tổng độ dài quãng đường mà vật đó đã di chuyển trong khoảng thời
gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1

()
t
t
vt dx
∫

- Lí luận tương tự, nếu N(t) là hàm chỉ kích thước của một quần thể sinh vật tại thời đểm t
thì N’(t) =
0
lim ( )
t
Nt
Δ→
ΔΔ
chính là tốc độ tăng trưởng của quần thể tại thời điểm t. Vậy sự
thay đổi kích thước quần thể trong khoảng thời gian từ t
1
đến t
2
là:

2
1
21
'( ) ( ) ( )
t
t
Ntdx Nt Nt=−
∫

14
Bài tập Chương Phương trình vi phân
1 - 6 Giải các phương trình vi phân phân li biến số
1.
'0
x
yy+=
2.
'0yy x
+
=

3.
()
2
10x dy xydx−−= 4. '
x
y
ye
+
=
5.
()()
22
11ydx xydy+=+
6.
12
'
x

yy
y
−
=
7 - 10
Giải các phương trình vi phân đẳng cấp
7. 'ln
y
xy y
x
= 8.
(
)
2
0yxydxxdy
−
+=
9.
()
222
x
xy y dx x dy++ =
10.
22
',(1)0xy y x y y
=
+=

11 - 13
Giải các phương trình vi phân tuyến tính

11.
'2 4
y
yx+=
12.
3
'2
x
y
ye
−
=

13.
22
'yxyx+=
14 - 15
Giải các phương trình Bernoulli
14.
32
3
'yyxy
x
−=− 15.
22 3
'1xyy xy
+
=
16 - 35
Giải các phương trình vi phân

16.
22 22
tan sin cos cot 0x ydx x y dy+=
17.
(
)
2
0xyydxxdy
−
−=
18.
()
22
320,(2)1x y dx xydy y−+= = 19.
'sin sincosyy x x x
−
=

20.
2
'ln
x
yyy x+= 21.
(
)
(
)
2222
43 43 0x xy y dx x xy x dy
+

++++=
22.
()
1',(0)1
xx
eyy e y+= = 23.
(
)
20ydx xy x dy
+
−=
24.
()
3
3 1 sin 3 sin
x
dy y x x y x dx=+ − 25. 'sin ln , 1
2
yxyyy
π
⎛⎞
=
=
⎜⎟
⎝⎠

26.
()
()
22 2

10yxydxx ydy++−= 27.
(
)
(
)
22
11sin
x
dy x x xy dx+=+ −

28.
()( )
()
22
110
xy
y e dx e dy y dy+−−+= 29.
()()
cos sin
yy
x
ydx xdy y xdy ydx
x
x
+= −
30.
2
'ln,()
ln 2
ye

yxxye
x
x
−= = 31.
25
'5
2
y
y
xy
x
−=
32.
2
'cos
y
xy y x
x
=− 33.
22
1
'xy y
x
y
+=
34.
34
43
2
'

2
x
yy
y
x
xy
−
=
−
35.
2
'arctan
x
yyx x−=



15
36 - 50 Giải các phương trình cấp hai
36.
56
x
y
yyxe
′′ ′
++=
37. 25sinxyyy
′
′′
+

+=
38.
4x
16 10eyy
′′
+=
39.
2x
44(2x1)yyy e
′′ ′
++=+

40.
1yyx
′′ ′
−=+
41.
3x
9(12x)
y
ye
−
′′
−=−

42.
3x
69
y
yyxe

−
′′ ′
++=
43.
24x
920
y
yyxe
′′ ′
−+ =

44.
672e
x
yyy
′′ ′
+−=
45.
1
68sin2x os2x
2
yyy c
′′ ′
−+= +

46.
42sin2xyy
′′
+= 47.
2

osyycx
′′
+=

48.
5x
56xyye
′′ ′
−=−
49.
(
)
24x
34 1yyyx e
−
′′ ′
+−=+

50.
22x
442x
y
yy e
′′ ′
−+=


Bài tập bắt buộc: 16-50

16
Bài tập Chương chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1 - 9
Tính tổng các chuỗi số sau:
1.
1
1
(1)
n
nn
∞
=
+
∑
2.
2
2
1
ln(1 )
n
n
∞
=
−
∑
3.
1
(221)
n

nnn
∞
=
+− ++
∑

4.
1
1
(3 2)(3 1)
n
nn
∞
=
−+
∑
5.
0
32
6
nn
n
n
∞
=
+
∑
6.
22
1

321
2( )
5
(1)
n
n
n
nn
∞
=
⎡
⎤
+
+
⎢
⎥
+
⎣
⎦
∑

7.
22
1
(2 1) (2 1)
n
n
nn
∞
=

−+
∑
8.
1
1
112
2
n
n
nn
∞
+
=
+++
∑
9.
()
()
1
21
1
1
n
n
n
nn
∞
=
+
−

+
∑


10 - 26
Xét sự hội tụ chuỗi số
10.
32
1
13
31
n
n
nn
∞
=
−
++
∑
11.
1
sin
2
n
n
π
∞
=
∑
12.

2
1
2
3
n
n
n
n
∞
=
+
∑

13.
2
1
21
234
n
n
nn
∞
=
−
+−
∑
14.
2
1
1

ln 1 tan
n
n
∞
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∑
15.
1
11
ln 1
3
n
n
n
∞
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∑

16.
1
tan
4

n
n
π
∞
=
∑
17.
1
1
sin
5
n
n
n
π
∞
=
∑
18.
2
2
1
51
42sin
n
nn
nn
∞
=
++

−
∑

19.
1
1os
n
x
c
n
∞
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
∑
20.
(
)
22
1
1
11
n
nn nn
n
∞
=
+

+− −+
∑

21.
2
1
1
n
n
n
n
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
∑
22.
2
1
1
ln 1
n
n
∞
=
⎛⎞
+
⎜⎟

⎝⎠
∑
23.
1
11
ln
1
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑

24.
1
2
nn
n
ee
−
∞
=
−
∑
25.
3

1
n
n
ne
∞
−
=
∑
26.
2
1
ln
n
n
n
∞
=
∑


27 - 40 Xét sự hội tụ chuỗi số
27.
1
2
n
n
n
∞
=
∑

28.
1
3!
n
n
n
n
n
∞
=
∑
29.
()
1
22 1
5
n
n
nn
∞
=
+
∑

30.
()
21
1
1
212

n
n
n
∞
−
=
−
∑
31.
2
1
2
n
n
n
n
∞
=
+
∑
32.
()
()
2
2
1
1
!
3
n

n
n
∞
+
=
∑

33.
1
!
n
n
n
n
∞
=
∑
34.
1
!
n
n
n
a
∞
=
∑
35.
()
()

2
1
!
2!
n
n
n
∞
=
∑

36.
2
2
1
221
524
n
n
nn
nn
∞
=
⎛⎞
++
⎜⎟
−+
⎝⎠
∑
37.

2
1
11
1
1
2
n
n
n
n
∞
=
⎛⎞
+
⎜⎟
+
⎝⎠
∑
38.
()
1
1
1
1
nn
n
n
n
−
∞

=
−
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
∑

39.
1
1
arctan
n
n
n
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∑
40.
2
1
1
n
n
a
n
∞

=
+
∑




17
41 - 47 Xét sự hội tụ của chuỗi số.
41.
()
1
1
1
n
n
n
∞
=
−
∑
42.
()
1
1
1
100
n
n
n

n
∞
−
=
−
+
∑
43.
()
()
1
1
1
215
n
n
n
n
n
−
∞
=
−
+
∑

44.
()
1
1

ln
n
n
n
∞
=
−
∑
45.
()
()
2
1
1
n
n
n
n
∞
=
−
+
−
∑
46.
()
()
1
1
31

1
1
n
n
n
nn
∞
−
=
+
−
+
∑

47.
1
sin
2
n
n
na
∞
=
∑


48 - 57
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.
48.
()

1
4
n
n
x
n
∞
=
−
∑
49.
()
2
1
2
1
n
n
n
x
n
∞
=
−
+
∑
50.
()
2
1

2!
2!
n
n
n
n
x
n
∞
=
∑

51.
()
1
5x
!
n
n
n
∞
=
∑
52.
()
1
1
4
31
n

n
n
n
x
n
∞
=
+
⎛⎞
−
⎜⎟
+
⎝⎠
∑
53.
21
1
21
n
n
x
n
+
∞
=
+
∑

54.
()

1
5
5
n
n
n
x
n
∞
=
−
∑
55.
()
1
25
n
n
nx
∞
=
+
∑
56.
()
1
1
1
!
n

n
n
x
n
∞
−
=
−
∑

57.
()
11
2
1
1
2
21 3
nn
n
n
x
n
−−
∞
−
=
−
∑

18
Đáp số bài tập Chương nguyên hàm :
1.
31
44
4
8
3
x
xC
−−
−+ 2.
1
2ln
1
x
x
C
x
+
−
+
−

3.
tan
x

exC++
4.
3
2
(1 ln )
3
x
C
+
+

5.
22
3
1
(1 3 )
4
x
C
−
−+ 6.
11
ln | |
11
x
x
e
C
e
+−

+
++

7.
2
35arctg x C++
8.
2
1
ln |sin | sin
2
x
xC
−
+

9.
arcsin 2
ln 2
x
C+ 10. 2(ln| | 1)
x
xC
−
+
11.
22
1
(2 3)
4

x
x
xeC−+ +
12.
2
(2 ) cos 2sin
x
xxC
−
++

13.
2
11
sin 2 cos 2
44 8
x
x
xxC+++ 14.
23
2
2
1arccos
93
xx
x
xC
+
−
−+ +

15.
2
arcsin 1 1
ln | |
xx
C
x
x
+−
−− +
16. a = 1; b = -3; c = 2.
17. a = 1; b = -3; c = 2. 18.
2
8
()
21
x
Fx x
x
=++
+

19.
1
() ( sin 1)
2
Fx x x
=− + 20.
2
1

2
x
eC
+

21.
3
1
3
tgx tg x C
++
22. ln |1 ln |
x
C
+
+
23.
12cos
x
C−+ + 24.
2cos
sin
x
C
x
−
+

25.
23

2
2 1 (arcsin )
3
x
xC−−− + 26.
1
ln | 2 cos cos 2 |
2
x
xC
−
++

27.
22
2( ln | 1|)
xx
ee C
−−
+++ 28.
3
2
(cos 7 cos ) cos
21
x
xxC
−
+
29.
1

(sin cos )
2
x
ex xC−+
30.
(cos(ln ) sin(ln ))
2
x
x
xC
+
+

31.
2
ln
2ln 2
x
x
xC
x
−+ + 32.
2
1
(cot)
2
sin
x
gx C
x

−
++
33.
ln(cos ).tan tan
x
xxxC
+
−+
34.
121
ln | |
423
x
C
x
+
+
+

35.
3ln| 2| ln| 3|
x
xC+− ++ 36.
2
2
1
ln
2
x
C

x
+
+
+

37.
3
2
48ln| 2|
3
x
x
xxC+++ −+
38.
2
||
ln 2arctan( 1)
22
x
x
C
xx
+−+
−+


19
39.
131
arcsin

3
3
x
C
+
+
40.
2
1
ln(2 1 4 4 3)
2
xxx
+
+++

41.
2
11
ln | |
x
C
x
++
−+
42.
2
1
3 2 arcsin
2
x

x
xC
+
−
−−− +

43.
2
2
1
ln(1 1 )
11
x
C
x
++ + +
++
44.
3
3
11 1
ln | |
3
1
x
C
x
−−
+
−

45.
1
cos 2
2
x
xC−+ 46.
1
2tan
2
C
x
+
−

47.
122cos1
cos ln | |
28
2cos 1
x
x
C
x
−
−+
+
48.
5
1

tan
5
x
C
+

49.
1
ln tan ln tan( )
22 24
xx
C
π
⎡⎤
+++
⎢⎥
⎣⎦
50.
(
)
()
2
x2lnx 4x5 3arctanx2 C
−
+++ ++