Chuyên Đề Tích Phân LTĐH

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 1
NGUYÊN HÀM
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa nguyên hàm:
Hàm số
( )
F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
( ; )
a b
nếu với mọi
( ; )
x a b
∈

'( ) ( )
F x f x
=

2. Định lý:
Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên

( ; )
a b
thì:

a)

Với mỗi hằng số C, hàm số
( ) ( )
G x F x C
= +
cũng là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
( ; )
a b
.
b)

Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
( ; )
a b
đều có thể viết dưới dạng
( )
F x C
+
, với C là hằng số.

Theo định lý trên để tìm nguyên hàm của hàm số
( )
f x

ta chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó
rồi cộng vào nó một hằng số C.
Tập hợp các nguyên hàm của hàm số
( )
f x
gọi là họ nguyên hàm của hàm số
( )
f x
kí hiệu:
( )
f x dx
∫
(hay còn gọi là tích phân bất định): ( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫

3. Các tính chất của nguyên hàm:
a)

. ( ) ( )
k f x dx k f x dx
=
∫ ∫
với k là hằng số
b)

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫
;
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
− = −
∫ ∫ ∫

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
1) 1
dx dx x C
= = +
∫ ∫

1
2) ( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −

+
∫

1
3) ln ( 0)
dx x C x
x
= + ≠
∫

6) sin cos
xdx x C
= − +
∫

7) cos sin
xdx x C
= +
∫

2
1
8) tan
cos
dx x C
x
= +
∫

2

1
9) cot
sin
dx x C
x
= − +
∫

4)
x x
e dx e C
= +
∫

5) (0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫

CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG
•
Công Thức Lượng Giác
2
1
1) sin (1 cos 2 )

2
x x
= −

2
1
2) cos (1 cos2 )
2
x x
= +

1
3) cos .cos [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b
= − + +

1
4) sin .sin [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b
= − − +

1
5) sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
= − + +

•

Nguyên hàm mở rộng: với
0, 0
a k
≠ ≠

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 2
1
1 ( )
1) ( ) . ( 1)
1
ax b
ax b dx C
a
α
α
α
α
+
+
+ = + ≠ −
+
∫

1 1
2) .ln ( 0)
dx ax b C x
ax b a
= + + ≠
+

∫

1
5) sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫

1
6) cos( ) .sin( )
ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫

2
1 1
7) .tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫

2
1 1
8) .cot( )
sin ( )

dx ax b C
ax b a
= − + +
+
∫

1
3) .
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫

1
4) . (0 1)
ln
kx m
kx m
a
a dx C a
k a
+
+
= + < ≠
∫

B.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1. Tính nguyên hàm bằng phương pháp phân tích:
Để tìm nguyên hàm
( )
f x dx
∫
hoặc tính tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
ta phân tích:
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
m m
f x k f x k f x k f x
= + + +

trong đó:
0
i
k
≠
(với
1,2,3, ,
i m
=
) và hàm
( )

i
f x
(với
1,2,3, ,
i m
=
) là hàm số có
trong bảng nguyên hàm cơ bản.
Ví dụ 1: Tính:
1
1 1
3
1) (3cos 3 ) 3cos 3 3sin
ln3
x
x x
I x dx xdx dx x C
−
− −
= − = − = − +
∫ ∫ ∫

1 1 1
2 2
2 2 2
1 1 1
2) ( ) 2 ln
2
x x x
I dx x x dx xdx x dx dx x x C

x x x
− −
+ +
= = + + = + + = + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
4
2
2 3
( )
x
f x
x
+
=
biết
1
(1)
3
F
= −
.
Ta có:
4 3
2 2
2

2 3 2 3
( ) ( 3 )
3
x x
F x dx x x dx C
x x
−
+
= = + = − +
∫ ∫

Do
1 2 1
(1) 3 2
3 3 3
F C C
= − ⇒ − + = − ⇔ =

Vậy
3
2 3
( ) 2
3
x
F x
x
= − +

2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:
Quy trình giải:

( ) ( ( )). '( )
f x dx g u x u x dx
=
∫ ∫

Bước 1: Đặt
( )
t u x
=

Bước 2: Lấy vi phân hai vế:
'( )
dt u x dx
=

Bước 3: Biểu thị
( )
f x dx
theo t và dt giả sử
( ) ( )
f x dx g t dt
=
.
Bước 4: Tính
( ) ( )
g t dt G t C
= +
∫

Bước 5: Thay t trong

F(t)
bởi biểu thức
( )
t u x
=

Ví dụ 1: Tính:
9
(3 1)
I x x dx
= +
∫

Cách 1: (đổi biến)
Đặt
1 1
3 1
3 3
t
t x x dx dt
−
= + ⇒ = ⇒ =

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 3
Do đó:
11 10
9 10 9
1 1 1 1
. . ( ) ( )

3 3 9 9 11 10
t t t
I t dt t t dt C
−
= = − = − +
∫ ∫

Thay
3 1
t x
= +
ta được:
11 10
1 (3 1) (3 1)
9 11 10
x x
I C
 
+ +
= − +
 
 

Cách 2: (sử dụng đồng nhất thức)
11 10
9 10 9
1 1 1 (3 1) (3 1)
[(3 1) 1](3 1) [(3 1) (3 1) ]
3 3 9 11 10
x x

I x x dx x x dx
 
+ +
= + − + = + − + = −
 
 
∫ ∫

Một số cách đổi biến số thường gặp:
•

Biểu thức có chứa lũy thừa
( )
n
u x
ta đặt
( )
t u x
=
.
•

Biểu thức có chứa căn
( )
n
u x
ta đặt
( )
n
t u x

=

•

Biểu thức có chứa ẩn ở mẫu ta đặt t = mẫu
•

Biểu thức có chứa
( )
Q x
e
ta đặt
( )
t Q x
=

•

Đôi khi ta cần biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm sau đó mới đổi biến.
Ví dụ 1: Tính:
3
2
1
x
I dx
x
=
+
∫

Cách 1: đổi biến
Đặt
2 2
1
1 1 2
2
t x x t dt xdx xdx dt
= + ⇒ = − ⇒ = ⇔ =

( )
3 2
2 2
. 1 ( 1) 1 1 1
(1 ) ln
1 1 2 2 2
x x xdx t
I dx dt dt t t C
x x t t
−
= = = = − = − +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫

Vậy
2
2
1 1
ln( 1)
2 2
x

I x C
+
= + + +

Cách 2:
3 3 2 2
2
2 2 2
( ) 1 ( 1) 1
ln( 1)
1 1 2 1 2 2
x x x x d x x
I dx dx xdx x C
x x x
+ − +
= = = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Tính:
1
1
x
I dx
e
=
+
∫

(1 ) ( 1)

ln( 1)
1 1 1
x x x x
x
x x x
e e e d e
I dx dx dx dx x e C
e e e
+ − +
= = − = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3. Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:
Nếu
( )
u x
và
( )
v x
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
( ). '( ) ( ). ( ) '( ). ( )
u x v x dx u x v x u x v x dx
= −
∫ ∫

Lưu ý:
•

Ta thường sử dụng nguyên hàm từng phần cho các nguyên hàm có dạng

( ). ( )
f x g x dx
∫
với
( )
f x
và
( )
g x
là 2 trong 4 loại hàm: đa thức
( )
P x
; mũ
( )
Q x
a
;
logarit
log ( )
a
Q x
; lượng giác
sin ( )
Q x
hoặc
cos ( )
Q x
.
Thứ tự ưu tiên đặt
u

là:
ln sin ;cos
x
x x x x e
≫ ≫ ≫

•

Khi sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần việc lựa chọn
u
và
dv
phải
thỏa mãn hai điều kiện sau:
 du
đơn giản,
v
dễ tính
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 4

Tích phân sau
'( ). ( )
u x v x dx
∫
phải đơn giản hơn tích phân cần tính
( ). '( )
u x v x dx
∫

Ví dụ 1: Tính
( 1)cos
I x xdx
= −
∫
Đặt
1
cos
u x
dv xdx
= −


=

ta có:
sin
du dx
v x
=


=


Do đó:
( 1)sin sin ( 1)sin cos
I x x xdx x x x C
= − − = − + +
∫

Ví dụ 2: Tính
2
I x ln(x 1)dx
= +
∫
đặt
2
2
2
2
ln( 1)
1
1
2
choïn
x
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=


= +
 +
⇒

 
=
+


=



Khi đó:
2 2 2
2 2
1 1
ln( 1) ln( 1)
2 2 2
x x x
I x xdx x C
+ +
= + − = + − +
∫

Nhận xét:
Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa
ln( ( ))
u x
thường xuất hiện phân số
nên ta cần chọn
( )
v dv F x C
= = +

∫
với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân
số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn.
Bài tập:
1.

Tính:
2 2
1) ( 1)
I x x dx
= −
∫

2
5 3
2)
1
x x
I dx
x
− +
=
+
∫

3 2
3 5 3
3)
2
x x x

I dx
x
− − +
=
−
∫

1
4)
1
I dx
x x
=
+ +
∫

2
1
5) I dx
x 4
=
−
∫

2
x
6) I dx
x 5x 6
−
=

− +
∫

2.

Tính:
1) cos6 .cos 2
I x xdx
=
∫

2
2) sin (2 )
4
I x dx
π
= −
∫

3
3) cos
I xdx
=
∫

3
4) cos .sin
I x xdx
=
∫

2 2
sin 2x
5) I dx
cos x 4sin x
=
+
∫

1 sin 2x cos2x
6) I dx
sin x cos x
+ +
=
+
∫

7) tan
I xdx
=
∫

2
8) tan
I xdx
=
∫

2
9) tan

I xdx
=
∫

3.

Tính:
sin 2
1)
cos 1
x
I dx
x
=
+
∫

2 3
2)
(3 2 )
x
I dx
x
=
−
∫

3
3
4

3)
1 1
x
I dx
x
=
+ +
∫

2
sin
4) .sin 2
x
I e xdx
=
∫

5 3 6
5) (1 )
I x x dx
= −
∫

3
4 2
6)
3 2
x
I dx
x x

=
+ +
∫

1 3ln ln
7)
x x
I dx
x
+
=
∫

2
1
8)
1
I dx
x
=
+
∫

2
dx
9) I
x x 4
=
+
∫

4.

Tính:
1) ln
I xdx
=
∫

2
2) (3 1)
x
I x e dx
= +
∫

3) (2 1)sin
I x xdx
= +
∫

4) I x(1 cos x)dx
= +
∫

x
5) I (2x xe )dx
= +
∫

2
6) I ln(x x 1)dx
= + +
∫

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 5
Nhận xét: đối với nguyên hàm cần tìm có dạng
2
dx
I
x a
=
−
∫
hoặc
2
dx
I
x a
=
+
∫
ta đặt
2
2 2
(1 )
x dt dx
t x x a dt dx
t

x a x a
= + − ⇒ = + ⇒ =
− −
hoặc
2
2
dt dx
t x x a
t
x a
= + + ⇒ =
+
.
5.

Tính:
3 2
1) I x ln xdx
=
∫

2
3 ln x
2) I dx
(x 1)
+
=
+
∫

2
3)
( 1)
x
xe
I dx
x
=
+
∫

2
1 sin
4)
cos
x x
I dx
x
+
=
∫

2
1 ln(x 1)
5) I dx
x
+ +
=
∫

3
6) I (2x )ln xdx
x
= −
∫

7) sin
I xdx
=
∫

2
8) .cos
I x xdx
=
∫

2
9) .tan
I x xdx
=
∫


Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 6
TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân:
Cho
( )

f x
là hàm số liên tục trên đoạn
[ ; ]
a b
. Giả sử
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x

trên đoạn
[ ; ]
a b
. Hiệu số
( ) ( )
F b F a
−
được gọi là
tích phân
từ a đến b (hay tích phân xác
định trên đoạn
[ ; ]
a b
) của hàm số
( )
f x
, kí hiệu:
( )
b

a
f x dx
∫
.
Ta dùng kí hiệu
( )
b
a
F x
để chỉ hiệu số:
( ) ( )
F b F a
−
.
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

Ta gọi:
b
a
∫
là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên,
( )
f x dx

là biểu thức dưới dấu tích
phân,
( )
f x
là hàm số dưới dấu tích phân.
Lưu ý: tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào kí
hiệu biến số tích phân, tức là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
F b F a f x dx f t dt f u du
− = = =
∫ ∫ ∫

2. Các tính chất của tích phân:
) ( ) 0
a
a
a f x dx
=
∫

) ( ) ( )
b a

a b
b f x dx f x dx
= −
∫ ∫

[ ]
) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
c f x g x dx f x dx g x dx
α β α β
± = ±
∫ ∫ ∫

) ( ) ( ) ( )
c b c
a a b
d f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫

) ( ) 0
e f x
≥
trên đoạn
[ ; ] ( ) 0
b
a
a b f x dx
⇒ ≥

∫

) ( ) ( )
f f x g x
≥
trên đoạn
[ ; ] ( ) ( )
b b
a a
a b f x dx g x dx
⇒ ≥
∫ ∫

) ( ) , [ ; ] ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
g m f x M x a b m b a m dx f x dx M dx M b a
≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − = ≤ ≤ = −
∫ ∫ ∫

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN:
1. Tính nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp phân tích:
Để tính tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
ta phân tích:
1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )
m m
f x k f x k f x k f x
= + + +

trong đó:
0
i
k
≠
(với
1,2,3, ,
i m
=
) và hàm
( )
i
f x
(với
1,2,3, ,
i m
=
) là hàm số có trong
bảng nguyên hàm cơ bản.
Ví dụ 1: Tính
2
3
1
( 2 1)
I x x dx

= + +
∫

( )
2
2
4
3 2
1
1
1 3
( 2 1) 1 2 2 1 1 2
4 4 4
x
I x x dx x x
 
 
= + + = + + = + + − + + = +
 
 
 
 
∫

Ví dụ 2: Tính
2
0
I 1 cos 2xdx
π
= −

∫

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 7
Ta có:
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
I 1 cos 2xdx 1 (1 2sin x)dx 2sin xdx 2 sin x dx
π π π π
= − = − − = =
∫ ∫ ∫ ∫

Vì
sin x 0 x
sin x
sin x x 2
neáu
neáu
≤ ≤ π

=

− π < ≤ π


Do đó:
2 2 2
0 0 0
I 2 sin x dx 2 sin x dx 2 sin x dx 2 sin xdx 2 sin xdx 4 2

π π π π π
π π
= = + = − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Lưu ý:
2n
2n
x x
=
với
n
∈
ℕ

Muốn tính
( )
b
a
I f x dx
=
∫
ta làm như sau:

Giải phương trình:
( ) 0
f x
=
lấy nghiệm
1 2

n
a x x x b
< < < < <


1 2 1 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
x x x x
b b b
a a x x a x x
I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
= = + + + = + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
a) Phương pháp đổi biến số:
( )
t u x
=

Quy trình giải:
( ) ( ( )). '( )
b b
a a
f x dx g u x u x dx
=
∫ ∫

Bước 1: Đặt
( )
t u x
=
, với
( )
u x
có đạo hàm liên tục trên
[ ; ]
a b

Bước 2: Biểu thị
( )
f x dx
theo t và dt; giả sử
( ) ( )
f x dx g t dt
=

Bước 3: Đổi cận:
( ), ( )
u a u b
α β
= =

Bước 4: Tính:
( )
I g t dt
β

α
=
∫

b) Phương pháp đổi biến số:
( )
x u t
=

Quy trình giải:
( ) ( ( )). '( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫

Bước 1: Đặt
( ), [ ; ]
x u t t
α β
= ∈
, với
( )
u t
có đạo hàm liên tục trên
[ ; ]
α β

,
( ( ))
f u t
được xác
định trên
[ ; ]
α β
.
Bước 2: Đổi cận: ta cần tìm
α
và
β
sao cho
( ), ( )
a u b u
α β
= =

Bước 3: Biểu thị
( )
f x dx
theo t và dt; giả sử
( ) ( )
f x dx g t dt
=

Bước 4: Tính:
( )
I g t dt
β

α
=
∫

Một số cách đổi biến số
•

Đối với nguyên hàm có dạng
( ). ( ).
n
f x g x dx
∫
ta thử đặt
( )
t f x
=
. Khi đó
( ).
g x dx
có thể
phân tích thành
. '( ).
k f x dx
, với
k
∈
ℝ
hoặc
. ( ). '( ).
m

k f x f x dx

•

Đối với nguyên hàm có dạng
( ). ( ).
n
f x g x dx
∫
ta thường đặt
( ) ( )
n
n
t f x t f x
= ⇒ = . Khi đó
( ).
g x dx
có thể phân tích thành
. '( ).
k f x dx
, với
k
∈
ℝ
hoặc
. ( ). '( ).
m
k f x f x dx

•

Đối với nguyên hàm có chứa ẩn ở mẫu thì ta thử đặt ẩn mới là biểu thức dưới mẫu.
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 8
•

Đặc biệt:
2
dx
I
x a
=
−
∫
ta có thể đặt
2
2
dt dx
t x x a
t
x a
= + − ⇒ =
−
hoặc đối với tích phân
2 2
1
b
a
I dx
k x

=
−
∫
ta còn có thể đặt
.sin
x k t
=
hoặc
.cos
x k t
=
, nhưng cần phải chú ý đến
cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo
phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác.
•

2 2
1
b
a
I dx
k x
=
+
∫
ta có thể đặt
x k.tan t
=
hoặc
x k.cot t

=
nhưng cần phải chú ý đến cận của
tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương
pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác.
•

Tìm nguyên hàm dạng:
1
dx
f (x) g(x)
±
∫
trong đó
f (x) g(x) k
− = ∈
ℝ
. Ta nhân tử và
mẫu với biểu thức liên hợp để đưa về dạng:
f (x) g(x)
1 1
dx f (x).dx g(x).dx
k k k
=
∫ ∫ ∫
∓
∓
Tính tích phân hàm số hữu tỷ
Dạng 1:
P(x)
I dx

ax b
=
+
∫
với
a 0
≠
, P(x) là một đa thức của x.
•

Sử dụng công thức:
1 1
dx ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫

•

Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 1 thì ta chia đa thức để đưa về dạng: Q(x)
ax b
α
+
+
với
Q(x) là một đa thức.
Dạng 2:
2
P(x)

I dx
ax bx c
=
+ +
∫
với
a 0
≠
, P(x) là một đa thức của x.
Trường hợp 1: Tam thức bậc hai
2
f (x) ax bx c
= + +
có hai nghiệm
1 2
x ,x
. Khi đó ta có:
2
1 2
ax bx c a(x x )(x x )
+ + = − −
•

Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn 2, ta phân tích:
mx n A B
(x a)(x b) x a x b
+
= +
+ + + +
như sau:

Giả sử
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
mx n A x b B x a
mx n A x b B x a
x a x b x a x b
+ + + +
= ⇔ + = + + +
+ + + +
sau đó cho
x a
= −
và
x b
= −
thì ta sẽ tìm được A và B. Từ đó ta có:
( ) ln ln
( )( )
mx n A B
dx dx A x a B x b
x a x b x a x b
+
= + = + + +
+ + + +
∫ ∫

•

Nếu bậc của P(x) lớn hơn 1, ta chia đa thức để đưa về dạng:

2
mx n
Q(x)
ax bx c
+
+
+ +
với Q(x) là
một đa thức.
•

Đặc biệt đối với nguyên hàm dạng:
1
dx
(x a)(x b)
+ +
∫
với
a b
≠
thì ta có thể phân tích như
sau:
1 1 ( ) ( ) 1 1 1
( )
( )( ) ( )( )
x a x b
dx dx dx
x a x b a b x a x b a b x b x a
+ − +
= = −

+ + − + + − + +
∫ ∫ ∫

1 1 x b
(ln x b ln x a ) C ln
a b a b x a
+
= + − + + =
− − +

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 9
Trường hợp 2: Tam thức bậc hai
2
f (x) ax bx c
= + +
có nghiệm kép
0
x

Khi đó:
2 2
0
P(x) 1 P(x)
I dx dx
ax bx c a (x x )
= =
+ + +
∫ ∫
sau đó đặt

0
t x x
= +

Trường hợp 3: Tam thức bậc hai
2
f (x) ax bx c
= + +
vô nghiệm
•

Đưa về dạng:
2 2
1
dx
x a
+
∫
sau đó đặt
x a tan t
=
với t
2 2
π π
− < <

Tính tích phân hàm số lượng giác
Dạng 1:
I sin nx.cosmxdx;I sin nx.sin mxdx;I cosnx.cos
mxdx

= = =
∫ ∫ ∫

Phương pháp:
•

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos x.cos y [cos(x y) cos(x y)]
2
= + + −

1
sin x.sin y [cos(x y) cos(x y)]
2
= − + − −

1
sin x.cos y [sin(x y) sin(x y)]
2
= + + −

1
cos x.sin y [sin(x y) sin(x y)]
2
= + − −

•

Sử dụng các công thức nguyên hàm:

1
sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
+ = − + +
∫

1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫

Dạng 2:
n m
I sin x.cos xdx
=
∫
với m, n là các số tự nhiên
Trường hợp 1: có ít nhất 1 số là số lẻ (giả sử n là số lẻ; khi đó:
n 2k 1,k
= + ∈
ℕ
)
•

Ta phân tích:
n m 2k 1 m 2k m
I sin x.cos xdx sin x.cos xdx sin x.cos x.sin xdx
+
= = =

∫ ∫ ∫

•

Thay
2 2
sin x 1 cos x
= −
hoặc
2 2
cos x 1 sin x
= −

•

Đặt
t cosx
=
hoặc
t sin x
=

Trường hợp 2: m, n đều là số chẵn
Phương pháp: Sử dụng công thức hạ bậc
2
1 cos 2x
sin x
2
−
=

2
1 cos2x
cos x
2
+
=

Dạng 3: Một số dạng khác:
Ta dử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
•

1 1 sin[( ) ( )]
.
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
=
+ + − + +
sử dụng
sin( )
1
sin( )
a b
a b
−
=
−

•

1 1 sin[( ) ( )]
.
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
=
+ + − + +
sử dụng
sin( )
1
sin( )
a b
a b
−
=
−

•

1 1 cos[( ) ( )]
.
sin( ).cos( ) cos( ) cos( ).cos( )
x a x b
x a x b a b x a x b
+ − +
=
+ + − + +

sử dụng
cos( )
1
cos( )
a b
a b
−
=
−

•

Nếu
( sin ,cos ) (sin ,cos )
R x x R x x
− = −
thì đặt
cos
t x
=

•

Nếu
(sin , cos ) (sin ,cos )
R x x R x x
− = −
thì đặt
sin
t x

=

•

Nếu
( sin , cos ) (sin ,cos )
R x x R x x
− − = −
thì đặt
tan
t x
=
hoặc
cot
t x
=

Ví dụ: Tính
3 5
sin cos
dx
I
x x
=
∫

Cách 1: Đặt t = cosx
⇒
dài
Cách 2: Mũ của sinx và cosx hơn kém nhau 2 đơn vị.

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 10
(
)
( )
(
)
2 4
3 3
3 5 2
2
tan tan
1 3 1
8 8 3ln tan tan tan
sin cos 2 tan 2 4
sin 2
2 tan
1 tan
d x d x
dx
x x x c
x x x
x
x
x
= = = − + + + +
 
 
+
 

∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Tính:
1
3
4
2
0
1
x
I dx
x
=
−
∫

Giải: Đặt
2 2 2
t 1 x t 1 x tdt xdx
= − ⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:
1 15
x 0 t 1;x t
4 4
= ⇒ = = ⇒ =
1 15 15
15
3 2 3
4 4 4

4
2
2
0 1 1
1
(1 ) 2 11 15
(1 )
3 3 64
1
x t tdt t
I dx t dt t
t
x
 
−
= = − = − − = − − = −
 
−
 
∫ ∫ ∫

Một số dấu hiệu đổi biến số thường gặp:
•

Biểu thức có chứa ẩn ở mẫu ta đặt t = mẫu
•

Biểu thức có chứa
( )
Q x

e
ta đặt
( )
t Q x
=

•

Đôi khi ta cần biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm sau đó mới đổi biến.
•

2 2
dx
x a
+
∫
đặt
tan ; ;
2 2
x a t t
π π
 
= ∈ −
 
 

•

2 2
dx

a x
−
∫
đặt
sin ; 0;
2
x a t t
π
 
= ∈
 
 
hoặc
[
]
cos ; 0;
x t t
= ∈ π

Ví dụ 1: Tính
1
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫

Đặt
2
1
1 2
2
t x dt xdx xdx dt
= + ⇒ = ⇒ = ; Đổi cận: khi
0 1; 1 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

Do đó:
2
2
1
1
1 1 1
ln ln 2
2 2
I dt t
t
= = =
∫

Ví dụ 2: Tính:
3
2 2
4
sin

cos cos 1
x
I dx
x x
=
+
∫
π
π

2
2
3 3
tan 1
2 2 2 2
2
4 4
sin tan
2 2
cos cos 1 cos tan 1
t x
x x
I dx dx dt
x x x x
= +
= = ←→ = −
+ +
∫ ∫ ∫
π π
π π

Ví dụ 1: Tính
1
2
0
1
I x dx
= −
∫

Đặt
sin ; [0; ] cos .
2
x t t dx t dt
π
= ∈ ⇒ = ; Đổi cận: 0 0; 1
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

Do đó:
2
2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
0
1 cos2 2 sin 2
cos cos cos cos
2 4 4

t t t
I tdx t tdt tdt dt
π
π π π π
π
+ +
= = = = = =
∫ ∫ ∫ ∫

3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Nếu
( )
u x
và
( )
v x
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ; ]
a b
thì:
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 11
( ). '( ) ( ). ( ) '( ). ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
= −
∫ ∫

Lưu ý: Một số dạng nguyên hàm (tích phân) sau đây tính được một cách thuận lợi bằng phương
pháp tính từng phần với
n
∈
ℕ
.
1) .
n x
x e dx
∫

2) .sin
n
x xdx
∫

3) .cos
n
x xdx
∫

4) .ln
n
x xdx
∫

5) .cos
x
e xdx

∫

6) .sin
x
e xdx
∫

Đối với dạng 1), 2), 3) ta đặt
n
u x
=
; với 4) ta đặt
u ln x
=
còn đối với 5) và 6) ta sẽ dùng phương
pháp tính nguyên hàm (tích phân) từng phần 2 lần để suy ra yêu cầu của bài toán.
•

Khi sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần hay tích phân từng phần việc lựa
chọn
u
và
dv
phải thỏa mãn hai điều kiện sau:
 du
đơn giản,
v
dễ tính

Tích phân sau

'( ). ( )
u x v x dx
∫
phải đơn giản hơn tích phân cần tính
( ). '( )
u x v x dx
∫

Ví dụ: Tính:
2
5
1
ln
x
I dx
x
=
∫

Đặt
5
ln
1
u x
dv dx
x
=




=


ta có:
1
4
1
4
du x dx
x
x
−

=


= −



Do đó:
2
2
2
4 5 4
1
1
1
ln 1 ln 2 1 1 15 ln 2
4 4 64 4 4 256 64

x dx
I
x x x
 
= − + = − + − = −
 
 
∫

Nhận xét:
Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa
ln( ( ))
u x
thường xuất hiện phân số nên
ta cần chọn
( )
v dv F x C
= = +
∫
với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân số để cho
bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn.
Ví dụ: Tính
3
2
2
ln( )
I x x dx
= −
∫

Đặt
2
2
2 1
ln( )
x
u x x du dx
x x
−
= − ⇒ =
−
;
dv dx
=
chọn
1
v x
= −

3
3
3
2
2
2
2
2 1
( 1)ln( ) 2ln 6 ln 2 (2 ln ) 2ln 6 ln 2 ln 3 ln 2 3ln 3
x
I x x x dx x x

x
−
= − − − = − − − = − + − =
∫

1.

Tính:
0
2
2
1) I x x 1 dx
−
= +
∫

3
2
3
2) I x 4 dx
−
= −
∫

2
2
3
3) I x x 2 dx
−
= + −

∫

1
2
1
x 2x 3
4) I dx
x 2
−
+ +
=
+
∫

3
1
1
5) I dx
x(x 1)
=
+
∫

4
2
3
1
6) I dx
x 3x 2
=

− +
∫

3
0
7)
1
x
I dx
x
=
+
∫

2
1
2 1
8)
( 1)
x
I dx
x x
+
=
+
∫

1
0
2x 1

9) I dx
x 1
−
=
+
∫

2 2 2 2
2
1
1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 1 1 1
ln ( 1) ln 3
( 1) 1 ( 1) 1 1 1
x
I dx dx dx dx x x
x x x x x x x x x x
 
+
   
= = + = + − = + = + =
 
   
+ + + + + +
   
 
∫ ∫ ∫ ∫

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 12

( )
1
1
1
0
0
0
2x 1 3
I dx 2 dx 2x 3ln(x 1) 2 3ln 2
x 1 x 1
−
 
= = − = − + = −
 
+ +
 
∫ ∫

2.

Tính:
4
0
1) I sin3x.sin5xdx
π
=
∫

4
0

2) I cosx.cos3xdx
π
=
∫

4
2
0
3) I cos x dx
4
π
π
 
= −
 
 
∫

3
2
0
sin x
4) I dx
1 cosx
π
=
+
∫

2

0
1
5) I dx
1 cosx
π
=
+
∫

2
0
1
6) I dx
1 sin x
π
=
+
∫

3.

Tính:
4
0
4 1
1)
2 1 2
x
I dx
x

−
=
+ +
∫

1
x
x
0
e
2) I dx
e 1
=
−
∫

e
1
1 ln x
3) I dx
x
+
=
∫

1
3
4 2
0
4)

3 2
x
I dx
x x
=
+ +
∫

4
0
x sin x (x 1)cos x
5) I dx
x sin x cos x
π
+ +
=
+
∫

1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
6) I dx
1 2e
+ +
=
+
∫

e
2
1
ln x
7) I dx
x(2 ln x)
=
+
∫

2
3 2
0
8) I (c x 1)c x.dx
os os
π
= −
∫

2
2 2
0
sin 2x
9) I dx
cos x 4sin x
π
=
+
∫

2
0
sin 2x sin x
10) I dx
1 3cos x
π
+
=
+
∫

ln 5
x x
ln 3
dx
11) I
e 2e 3
−
=
+ −
∫

2
1
x
12) I dx
1 x 1
=
+ −

∫

2 3
2
5
dx
13) I
x x 4
=
+
∫

2
0
sin 2x.cosx
14) I dx
1 cosx
π
=
+
∫

e
1
1 3ln x.ln x
15) I dx
x
+
=
∫

2
4
0
1 2sin x
16)I dx
1 sin 2x
π
−
=
+
∫

1
2013
2 1008
0
17)
(1 )
x dx
I
x
=
+
∫

63
3
0
18)

1 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫

1
2010
2012
0
( 1)
19)
( 2)
x
I dx
x
+
=
+
∫

1
4
20
6
0
1
1

x
I dx
x
+
=
+
∫

4
0
sin(x )dx
4
20) I
sin 2x 2(1 sin x cos x)
π
π
−
=
+ + +
∫

Đặt
2 1 2 ( 2)
t x t dt dx
= + + ⇒ − =

5 5
2
2
3 3

(2 8 5)( 2) 10 34 3
(2 12 21 ) 10ln
3 5
t t t
I dt t t dt
t t
− + −
⇒ = = − + − = +
∫ ∫

Đặt
dxedtet
xx
=⇒−= 1

Đổi cận :



−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx

Vậy:
)1ln(ln
1

1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
x
x

Đặt
1
1 ln 2
t x tdt dx
x
= + ⇒ =

Đổi cận:
1 1; 2
x t x e t
= ⇒ = = ⇒ =

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 13
2
2
2 3
1
1
2 2
2 (2 2 1)
3 3
I t dt t
= = = −
∫

1 1 1 1 1 1
3 3 3 3
4 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0

2
3 2 ( 1)( 2) 1 2 1 2
x x x x x x
I dx dx dx dx x dx x dx
x x x x x x x x
   
= = = − = − − −
   
+ + + + + + + +
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1
1
2 2
0
0
1 1 9
ln( 2) ln( 1) ln
2 2 8
x x
= + − + =

4 4 4
0 0 0
x.cos x x.cos x 1
I 1 dx dx d(xsin x cos x)
xsin x cos x 4 xsin x cos x 4 x sin x cos x
π π π
π π

 
= + = + = + +
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫

4
0
2 4 2
ln xsin x cos x ln
4 4 8
π
 
π π π +
= + + = +
 
 

1
1 1 1
x x x
2 3
x x x
0
0 0 0
1
x
0
e 1 e 1 1 d(1 2e )

I x dx x dx
1 2e 3 1 2e 3 2 1 2e
1 1 1 1 1 2e
ln(1 2e ) ln
3 2 3 2 3
 
+
= + = + = +
 
+ + +
 
+
= + + = +
∫ ∫ ∫

Đặt
1
2 ln ln 2
t x x t dx dt
x
= + ⇒ = − ⇒ =
; đổi cận:
1 2; 3
x t x e t
= ⇒ = = ⇒ =

3
3
2
2

2
2 2 3 1
ln ln
2 3
t
I dt t
t t
−
 
= = + = −
 
 
∫

2 2 2
3 2 5 2
1 2
0 0 0
8) I (c x 1)c x.dx cos xdx cos xdx I I
os os
π π π
= − = − = −
∫ ∫ ∫

2 2
2
5 2 2 3 5
1
0
0 0

2 1 8
cos (1 sin ) cos (sin sin sin )
3 5 15
I xdx x xdx x x
π π
π
= = − = − + =
∫ ∫

2 2
2
2
2
0 0
0
1 cos2 1 1
cos sin 2
2 2 2 4
x
I xdx dx x x
π π
π
+ π
 
= = = + =
 
 
∫ ∫

Vậy

8
15 4
I
π
= −



63
3
0
18)
1 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫

Đặt :
dxdttxtxt =⇒+=⇒+=
56
6
611

Vậy :
∫∫∫
+=+=







+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx

I


3 2
3 6 6
2 3 6 6ln 1 2 1 3 1 6 1 6ln 1 1
t t t t C x x x x C
= − + − + + = + − + + + − + + +


Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 14
1 1 1 1 1 1
4 4 2 2 2 3
20
6 6 2 6 2 3 2
0 0 0 0 0 0
1 ( 1) 1 1 1 ( )
1 1 1 1 1 3 ( ) 1
x x x x x d x
I dx dx dx dx dx
x x x x x x
+ − + +
= = = + = +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


4.

Tính:
e
3
3
1
ln x
1) I dx
x
=
∫

e
1
2) I x ln xdx
=
∫

1
2
0
c) I x ln(x 1)dx
= +
∫

1
3x
0
4) I x.e dx
=
∫

2
0
5) I (x 1)cos xdx
π
= −
∫

2
0
6) I x.sin 2xdx
π
=
∫

6
0
7) I (2 x)sin 3xdx
π
= −
∫

2
2 x
1
8) I (x 1).e .dx
= +
∫

2

2
0
9) I (x 2x).sin x.dx
π
= +
∫

5.

Tính:
4
0
1) (1 sin 2 )
I x x dx
= +
∫
π

3
2
0
1 sin
2)
cos
x x
I dx
x
+
=
∫

π

e
1
3
3) I 2x ln x dx
x
 
= −
 
 
∫

3
2
1
3 ln x
4) I dx
(x 1)
+
=
+
∫

1
2x x
0
5) I (e x)e dx
−
= +

∫

e
3 2
1
6) I x ln x dx
=
∫


3 3 3 3
3
2 2 2 2
0
0 0 0 0
sin 1 sin sin
tan 3
cos cos cos cos
x x x x x x
I dx dx dx x dx
x x x x
π π π π
π
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Đặt
2
sin
;

cos
x
u x du dx dv dx
x
= ⇒ = =
chọn
1
cos
v
x
=

3 3
3
3
2
0
0 0
0
1 2 cos 2 sin 1 2 2 3
3 3 3 ln 3 ln
cos cos 3 sin 1 3 sin 1 3
2 3
x x x
I dx dx
x x x x
π π
π
π
π π π

− −
= + − = + + = + + = + +
− +
+
∫ ∫

e e
1 1
ln x
I 2x.ln x dx 3 dx
x
= −
∫ ∫

Đặt
ln
u x
=
và
2
dv xdx
=
ta có:
1
du dx
x
=
và
2
v x

=

•

( )
e
e
2 2
e
e
2 2
1
1
1
1
x e 1
2x.ln x dx x ln x xdx e
2 2
+
= − = − =
∫ ∫

•

e
e
2
e
1
1

1
ln x (ln x) 1
dx ln xd(ln x)
x 2 2
= = =
∫ ∫

Vậy:
2
e
I 1
2
= −

6.

Tính:
1
2 2x
0
1) I (x 4x 1)e dx
= + +
∫

1
2 x
0
2) I (x 2x 1)e dx
−
= − −

∫

1
3 2 x
0
3) I (x 4x 1)e dx
= + +
∫

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 15
1
3
0
4) I (2x 1)ln(x 1)dx
= − +
∫

4
2
0
ln(sin x cos x)
5) I dx
cos x
π
+
=
∫

e

2 2
3
1
x ln x 2x 2
6) I ln x dx
x
 
+ +
=
 
 
∫

1 1 1
2 2x 2 2x 2x
0 0 0
1) I (x 4x 1)e dx (x 3x)e dx (x 1)e dx
= + + = + + +
∫ ∫ ∫

Đặt
2 2 2
1
3 (2 3) ;
2
x x
u x x du x dx dv e dx v e
= + ⇒ = + = ⇒ =

Suy ra:

1 1
1 1 1
2 2x 2
2x 2x 2x 2 2x 2
0 0 0
0 0
x 3x 1 1 e 7e 1
I .e (2x 3)e dx (x 1)e dx 2e e dx 2e
2 2 2 4 4 4
+
= − + + + = − = − = +
∫ ∫ ∫

Nhận xét: Khi tích tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ta có thể tách tích phân
thành 2 phần; sau đó dùng tích phần đối với phần 1 sao cho phần còn lại khử vdu.
Đối với
1
1 1 0
( ).
n n ax b
n n
I a x a x a x a e dx
− +
−
= + + + +
∫
ta có thể làm như sau:
Hệ số của đa thức
n
a

1
n
a
−

2
n
a
−

…
1
a

Hệ số nhân
n
a

1
n
a
−

2
n
a
−

…

Hệ số của đa thức u
1
n n
b a
−
=

2
n
b
−

3
n
b
−

…
Với
1 2
2
k k k
k
b a b
a
+ +
+
= −

Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống.

1 1 1
2 x 2 x x
0 0 0
2) I (x 2x 1)e dx x e dx (2x 1)e dx
− − −
= − − = − +
∫ ∫ ∫

Hệ số của đa thức 1
2
−

Hệ số nhân
2
−

2
Hệ số của đa thức u 1 0
Đặt
2
2
u x du xdx
= ⇒ =
;
x x
dv e dx v e
− −
= ⇒ = −

1 1 1

1 1
2 1 1
0 0
0 0 0
. 2 (2 1) 1
x x x x x
I x e xe dx x e dx e e dx e e
− − − − − − −
= − + − + = − − = − + = −
∫ ∫ ∫

1 1 1
3 2 x 3 2 x 2 x
0 0 0
3) I (x 4x 1)e dx (x x 2x)e dx (3x 2x 1)e dx
= + + = + − + + +
∫ ∫ ∫

Hệ số của đa thức 1 4 0
Hệ số nhân 3 2 1
Hệ số của đa thức u 1 1
2
−

Đặt
3 2 2
2 (3 2 2)
u x x x du x x dx
= + − ⇒ = + −
;

x x
dv e dx v e
= ⇒ =

1 1 1
1 1
3 2 2 2
0 0
0 0 0
( 2 ) (3 2 2) (3 2 1) 3 3 3 3
x x x x x
I x x x e x x e dx x x e dx e dx e e
= + − − + − + + + = = = −
∫ ∫ ∫

1
3
0
4) I (2x 1)ln(x 1)dx
= − +
∫

Đặt
2 2
3
3 2
3 3
ln( 1)
1 ( 1)( 1)
x x

u x du dx dx
x x x x
= + ⇒ = =
+ + − +
;
(2 1)
dv x dx
= −
chọn
2
1
v x x
= − +

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 16
Khi đó:
1 1
2
1
2 3
0
0 0
3 1 3
( 1)ln( 1) ln 2 3 1 2ln 2
1 1 2
x
I x x x dx x dx
x x
 

= − + + − = − − + = −
 
+ +
 
∫ ∫

Nhận xét:
Trong dạng bài tập tích phân từng phần có chứa
ln( ( ))
u x
thường xuất hiện phân số
nên ta cần chọn
( )
v dv F x C
= = +
∫
với C là hằng số thích hợp ta có thể đơn giản được phân
số để cho bước tích phân tiếp theo đơn giản hơn.
4
2
0
ln(sin x cos x)
5) I dx
cos x
π
+
=
∫

Đặt

cos sin
ln(sin cos )
sin cos
x x
u x x du dx
x x
−
= + ⇒ =
+
;
2
1
cos
dv dx
x
=
chọn
sin cos
tan 1
cos
x x
v x
x
+
= + =

Khi đó:
4
4
4

0
0
0
sin cos
(tan 1)ln(sin cos ) 2ln 2 ( ln cos ) 3ln 2
cos 4
x x
I x x x dx x x
x
π
π
π
− π
= + + − = − + = −
∫

e e e e
2 2 2 2
3 4 3 4 3
1 1 1 1
x ln x 2x 2 x 1 x 1
6) I ln x dx xln x 2 ln x dx x ln xdx 2 ln xdx
x x x
   
+ + + +
= = + = +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫

Đặt
3
4
ln
ln 4
x
u x du dx
x
= ⇒ =
;
2
1
2
x
dx xdx v
+
= ⇒ =

2 2 2 2
4 3 3
1 1
1
1 1 1 1
ln 2 ln 2 ln
2 2
e
e e
x x x e
I x xdx xdx
x x

+ + + +
= − + =
∫ ∫

7.

Tính:
4
0
x
1) I dx
1 cos2x
π
=
+
∫

2
4
2
0
x
2) I dx
(xsin x cos x)
π
=
+
∫

1

3
8
4 2
0
x
3) I dx
(x 1)
=
−
∫

x
4
2
0
e (sin x cos x 1)
4) I dx
(1 cos x)
π
+ +
=
+
∫

2
x
0
1 sin x
5) I dx
(1 cos x)e

π
−
=
+
∫

4
0
x
1) I dx
1 cos2x
π
=
+
∫

Nhận xét: Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm dv. Trong trường hợp dv không có trong bảng
nguyên hàm cơ bản, ta phải tách biểu thức dưới dấu nguyên hàm thành tích của các hàm số để lấy
được nguyên hàm của dv theo biến số mới.
•

Để giảm bậc của mẫu thì
2
1
( sin cos )
x x x
+
phải nằm trong thành phần dv; để tìm được theo
biến
sin cos

x x x
+
ta cần có
( sin cos ) cos
d x x x x xdx
+ = −

Giải:
2
4 4
2 2
0 0
x x cos x x
I dx . dx
(xsin x cos x) (x sin x cos x) cos x
π π
−
= =
+ +
∫ ∫

Đặt
2
sin cos
cos cos
x x x x
u du dx
x x
+
= ⇒ =

2 2
cos ( sin cos )
( sin cos ) ( sin cos )
x x d x x x
dv dx
x x x x x x
− +
= =
+ +
chọn
1
sin cos
v
x x x
=
+

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 17
Khi đó:
4
4
4
2
0
0
0
1 2 4
tan
cos ( sin cos ) cos 4 4

x
I dx x
x x x x x
π
π
π
π − π
= − + = − + =
+ π + + π
∫

Để giảm bậc lớn dưới mẫu, ta có thể dùng tích phân từng phần. Để giảm bậc 2 dưới mẫu thì
4 2
1
( 1)
x
−
phải nằm ở dv. Nhưng để lấy được nguyên hàm theo
4
x
thì ta cần
4 3
( )' 4
x x
=

1
3
8
4 2

0
x
3) I dx
(x 1)
=
−
∫

Đặt
3 4
5 4
4 2 4 2
1 ( 1)
5 ;
( 1) 4 ( 1)
x dx d x
u x du x dx dv
x x
−
= ⇒ = = =
− −
chọn
4
1 1
4 1
v
x
= −
−

Vậy
1 1
1
3 3
5 4
3
4 4 2 2
0 0
0
x 5 x 1 5 1 1
I dx 1 dx
4(x 1) 4 x 1 4 2(x 1) 2(x 1)
36 3
 
= − + = + + −
 
− − − +
 
∫ ∫

1 1
1
3 3
3
2 2
0 0
0
1 5 1 1 5 1 46 5 3 1 5 1
ln ln
4 4 1 8 1 16 8 1

36 3 36 3 3 1
x
x dx dx
x x x
− −
 
= + + − = + −
 
+ + +
+
 
∫ ∫

Đặt
2
tan ; (1 tan )
2 2
x t x dx t dt
π π
= − < < ⇒ = +
Đổi cận:
1
0 0;
6
3
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

Do đó:

6
6
0
0
23 5 3 1 5 23 5 3 1 5 23 5 3 1 5
ln ln ln
16 8 16 8 16 48
18 3 3 1 18 3 3 1 18 3 3 1
I dt t
π
π
− − − π
= + − = + − = + −
+ + +
∫

x
4
2
0
e (sin x cos x 1)
4) I dx
(1 cos x)
π
+ +
=
+
∫

2 2 2

x x x
2
0 0 0
1 sin x 1 1 1 x
5) I dx . dx .tan dx
x
(1 cos x)e e e 2
2cos
2
π π π
−
= = −
+
∫ ∫ ∫

Đặt
2
1
;
2cos
2
x x
u e du e dx dv dx
x
− −
= ⇒ = − =
chọn
tan
2
x

v
=
2 2
2
2
0
0 0
1 1
.tan .tan .tan
2 2 2
x
x x
x x x
I e dx dx e
e e
π π
π
π
−
−
= + − =
∫ ∫

8.

Tính:
2
1
2
2

cos
4 sin
x x
I dx
x
−
+
=
−
∫
π
π

4
2
2
4
sin
1
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
π
π

2

3
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 18
1
4
2
1
( 1)( 1)
x
dx
I
e x
−
=
+ +
∫

5
2

0
sin
1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫

2
6
3
0
5cos 4sin
(sin cos )
x x
I dx
x x
π
−
=
+
∫

2 2 2
1 1 2
2 2 2
2 2 2

cos cos
4 sin 4 sin 4 sin
x x x x
I dx dx dx J J
x x x
− − −
+
= = + = +
− − −
∫ ∫ ∫
π π π
π π π

0
2 2
1
2 2 2
0
2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
0
4 sin 4 sin 4 sin
cos (sin ) 1 1 1
(sin )
4 sin (2 sin )(2 sin ) 4 2 sin 2 sin
x x x
J dx dx dx

x x x
x d x
J dx d x
x x x x x
− −
− − −
= = + =
− − −
 
= = = +
 
− − + + −
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
π π
π π
π π π
π π π

2
2
1 2 sin 1
ln ln3
4 2 sin 2
x
x
π
π
−

+
= =
−

Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên
[ ; ]
a a
−
thì
( ) 0
a
a
f x dx
−
=
∫
.
Ta chứng minh bằng cách
Phân tích
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
− −
= = +
∫ ∫ ∫
giả sử
0

0
( ) ; ( )
a
a
J f x dx K f x dx
−
 
 
= =
 
 
∫ ∫
. Sau đó Tính tích
phân
0
( )
a
J f x dx
−
=
∫
bằng phương pháp đổi biến. Đặt
t x
= −
. Do f(x) là hàm số lẻ nên
0
J K I J K
= − ⇒ = + =
.

Nhận xét: Do mẫu số có dạng
A B
+ trong đó
A B k
− = ∈
ℝ
nên ta có thể biến đổi như sau:
2
2
2 2 2
1 1
1
1 ( 1 )( 1 )
x x
x x
x x x x x x
+ −
= = + −
+ + + + + −

4 4 4 4
2 2
2
2
4 4 4 4
sin
( 1 )sin 1 sin sin
1
x
I dx x x xdx x xdx x xdx

x x
− − − −
= = + − = + −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
π π π π
π π π π

Ta có:
4
2
1
4
1 sin 0
J x xdx
−
= + =
∫
π
π
;
4 4
4
2
4
4 4
2
sin cos cos 2
4
J x xdx x x xdx

−
− −
= = − + = − +
∫ ∫
π π
π
π
π π
π

Nếu f(x) liên tục trên
0;
2
 
 
 
π
thì
2 2
0 0
(sin ) (cos )
f x dx f x dx
π π
=
∫ ∫
; để chứng minh ta đặt:
2
t x
= −
π

.
Đặt
2
t x dt dx
π
= − ⇒ = −

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 19
0
2 2
3 3
0 0
2
sin( t)
cost cosx
2
3) I dt dt dx J
cos t sin t cos x sin x
sin( t) cos( t)
2 2
π π
π
π
−
= − = = =
π π + +
− + −
∫ ∫ ∫

Do đó:
2
3 3 3 3
0
2
2 4
I I J dx I
π
π π
= + = = ⇒ =
∫

Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên
ℝ
thì:
0
( )
( )
1
x
f x
dx f x dx
a
−
=
+
∫ ∫
α α
α
(với

0
α >
và
0
a
>
)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
I dx dx dx
a a a
− −
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫
α α
α α
; giả sử
0
0
( ) ( )
;
1 1
x x
f x f x

J dx K dx
a a
−
 
 
= =
 
+ +
 
∫ ∫
α
α

Để tính J ta cũng đặt:
t x
= −
.

1 0 1 1
4
2 2 2 2
1 1 0 0
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 4
x x x
dx dx dx dx
I
e x e x e x x
− −
= = + = =
+ + + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫
π

Nếu f(x) liên tục và
( ) ( )
f a b x f x
+ − =
hoặc
( ) ( )
f a b x f x
+ − = −
thì đặt:
t a b x
= + −

Đặc biệt, nếu
a b
+ = π
thì đặt
t x
= π −
; nếu
2
a b
+ = π
thì đặt
2
t x
= π −

Đặt
t x dt dx
= π − ⇒ = −

0
5 5
2 2 2 2
0 0 0
( )sin( ) sin sin sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos 1 cos
t t t t t t
I dt dt dt dt I
t t t t
π π π
π
π − π −
= − = π − = π −
+ π − + + +
∫ ∫ ∫ ∫

2
5
2
0
(cos )
2 1 cos 8
d x
I
x
π

π π
⇒ = − =
+
∫

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các
hàm số
( ) ( )
f x g x
±
dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện
các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)
±
g(x), tức là:
1
2
( ) ( ) ( )
(*)
( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C

+ = +

− = +


Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra

[ ]
1
( ) ( ) ( )
2
F x A x B x C
= + +
là nguyên hàm của f(x)

2
6
3
0
5cos 4sin
(sin cos )
x x
I dx
x x
π
−
=
+
∫
xét
2
6
3
0
5sin 4cos
(sin cos )
x x

J dx
x x
π
−
=
+
∫

Ta có:
2 2
2
6 6
2
2
0
0 0
1 1
tan( ) 1
(sin cos ) 2 4
2cos ( )
4
dx
I J dx x
x x
x
π π
π
π
+ = = = − =
π

+
−
∫ ∫

2 2
2
6 6
3 3 2
0 0
0
9(cos sin ) (sin cos ) 9 1
9 0
(sin cos ) (sin cos ) 2 (sin cos )
x x d x x
I J dx
x x x x x x
π π
π
− +
− = = = − =
+ + +
∫ ∫

Vậy
6
1
2
I
=

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 20
Ứng Dụng Của Tích Phân Để Tích Diện Tích Hình Phẳng
Dạng 1:
Nếu hàm số
y f (x)
=
liên tục trên đoạn
[
]
a;b
thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số
y f (x)
=
, trục hoành và hai đường thẳng
x a;x b
= =
là:
b
a
S f(x) dx (1)
=
∫

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân
(1)
, muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối.
•

Nếu
f (x) 0, x [a;b]
≥ ∀ ∈
thì
b b
a a
S f(x) dx f (x)dx
= =
∫ ∫
.
•

Nếu
f (x) 0, x [a;b]
≤ ∀ ∈
thì
b b
a a
S f(x) dx f (x)dx
= = −
∫ ∫
.

Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức
(
)
f x
. Thường có hai cách
làm như sau:
-

Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét
dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình
(
)
(
)
f x 0;f x 0
≥ ≤
trên đoạn
[
]
a;b
.
-

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số
y f (x)
=
trên đoạn
[a;b]
để suy ra dấu của
f (x)
trên
đoạn đó.
•

Nếu trên đoạn
[a;b]
đồ thị của hàm số

y f (x)
=
nằm phía “trên” trục hoành thì
f (x) 0, x [a;b]
≥ ∀ ∈
.
•

Nếu trên đoạn
[a;b]
đồ thị của hàm số
y f (x)
=
nằm phía “dưới” trục hoành thì
f (x) 0, x [a;b]
≤ ∀ ∈
.

Nếu
f (x)
không đổi dấu trên
[a;b]
thì ta có:
b b
a a
S f(x) dx f (x)dx
= =
∫ ∫
.
Lưu ý:

•

Nếu phương trình
f (x) 0
=
có các nghiệm thuộc đoạn
[a;b]
là:
1 2 k
c ;c , ,c
; giả sử:
1 2 k
a c c c b
< < < < <
. Khi đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
k k
c c c c
b b
a c1 c a c1 c
S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
= + + + = + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

•

Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
(
)

x f y
=
(liên tục trên đoạn
[
]
a;b
), hai đường thẳng
y a,y b
= =
và trục tung”. Khi đó
công thức tính diện tích là:
( )
b
a
S f y dy
=
∫
.
•

Khi đề bài không cho hai đường thẳng
x a, x b
= =
thì các giá trị a và b được hiểu là giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong số các nghiệm của phương trình
f (x) 0
=
.
1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
3 2
a) y x x x 3,y 0
= − + + =
và
x 2;x 1
= − =

x
b) y xe ;y 0;x 1;x 2
= = = − =

2
c) x 1;x 2; y 0; y x 2x
= − = = = −

2 3
d) y sin x cos x; y 0
= =
và x 0;x
2
π
= =

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 21
ln x
e) x 1;x e;y 0;y
2 x
= = = =

1 ln x
f ) x 1;x e;y 0;y
x
+
= = = =
2.

Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
2x 10x 12
y
x 2
− −
=
+
và đường thẳng
y 0
=
.
Dạng 2:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
(
)
(
)
y f x ,y g x
= =
(liên tục trên đoạn
[

]
a;b
)
và hai đường thẳng
x a, x b
= =
có diện tích S là:
( ) ( ) ( )
b
a
S f x g x dx 2
= −
∫

Lưu ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm
số
(
)
x f y
=
và
(
)
x g y
=
(liên tục trên đoạn
[
]
a;b
), hai đường thẳng

y a,y b
= =
và trục tung”.
Khi đó công thức tính diện tích là:
( ) ( )
b
a
S f y g y dy
= −
∫
.
Bài tập:
1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2 2
1 1
a) y ;y ;x ;x
sin x cos x 6 3
π π
= = = =

x x
b) y e ;y e ;x 1
−
= = =

x
c) y 2 ;y 3 x;x 0
= = − =

2
d) y x 2x 3, y 5, x 2,x 1
= − + = = − =

2
e) y x; y x cos x,x 0, x
= = + = = π

f ) y xln x
=
;
y x
=
,
x 1;x e
= =

2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2 2
a) y x 2x; y x 4x
= − = − +

x
b) y (e 1)x , y (1 e )x
= + = +

2

c) y x 2x;y 3x
= − + = −

2
d) y 2y x 0;x y 0
− + = + =

2 2
e) y x 2x 2;y x x 3
= − + = − − +

3
f ) y x 3x 2
= − +
,
y x 2
= +

Dạng 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ba hàm số
(
)
(
)
(
)
y f x , y g x ,y h x
= = =
.
Bước 1: Giải các phương trình:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x 0;f x h x 0;h x g x 0
− = − = − =
.
Bước 2: Vẽ hình để thiết lập công thức tính diện tích.
1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol:
2
y x 4x 3
= − + −
và hai tiếp tuyến tại các
điểm
(
)
(
)
A 0; 3 ,B 3;0
−

.
2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:
2
y x ,y 4x 4
= = −
và
y 4x 4
= − −
.
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân GV: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ 01/2013 Trang 22
Ứng Dụng Của Tích Phân Để Tích Thể Tích Vật Thể
Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz. Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(
)
a x b
< <
. Giả sử S(x) là một hàm
số liên tục. Khi đó thể tích của vật thể được tính bởi công thức:
( ) ( )
b
a
V S x dx 1
=
∫

Tính thể tích vật thể tròn xoay:
Dạng 1:
“Tính thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số
(
)
y f x
=
, trục hoành và
hai đường thẳng
x a, x b
= =
quay quanh trục hoành”.
Áp dụng công thức:
( ) ( )
b
2
a
V f x dx 2
= π
∫

Dạng 2:
“Tính thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số
(
)
x g y
=
, trục tung và hai
đường thẳng
y c, y d

= =
quay quanh trục tung”.
Áp dụng công thức:
( ) ( )
d
2
c
V g y dy 3
= π
∫

Bài tập:
1.

Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
x
2
y xe
=
,
y 0;x 0;x 1
= = =
quay quanh trục Ox.
2.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
y tan x
=
, trục hoành và hai đường thẳng
x 0,x

3
π
= =
.
a)

Tính diện tích hình phẳng (H).
b)

Tính thể tích của hình phẳng (H) khi quay quanh trục Ox.
3.

Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình
phẳng giới hạn bởi Parabol
( )
2
x
P : y
2
=
, trục tung và
y 2,y 4
= =
.
4.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng (H) giới hạn
bởi các đường:
x
y xe , x 0, y 0

= = =
với
0 x 1
≤ ≤
.
5.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng (H) giới hạn
bởi:
a)

4 4
H y 0; y 1 cos x sin x;x ;x
2
π
 
= = = + + = = π
 
 

b)

{
}
H y 0;y x ln x;x 1;x e
= = = = =

c)

6 6

H y 0; y cos x sin x;x 0;x
2
π
 
= = = + = =
 
 

6.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường tròn
(
)
2 2
C : x y 8
+ =
và Parabol
(
)
2
P : y 2x
=
.
a)

Tính diện tích S của miền (H).
b)

Tính thể tích V sinh bởi (H) khi quay quanh Ox.