bồi dưỡng tư duy hs qua biến đổi lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (328.23 KB, 26 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH THÔNG QUA
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Người thực hiện : Đào Chí Thanh
Tổ : Toán Tin
Mã : 55
Số điện thoại : 0985 852 684
Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn
Năm 2012- 2013
ebooktoan.com
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
2
MỤC LỤC
Trang
Më ®Çu
3
PHẦN I : SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN ĐẠI SỐ
Dạng 1 : Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản
6
Bài tập tự luyện
11
Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung
12
Bài tập tự luyện 15
Dạng 3: Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng 16
Bài tập tự luyện
20
Dạng 4:Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác 21
Bài tập tự luyện 23
PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT
25
Tài liệu tham khảo
27
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu
về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn
bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư
duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh.
Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm
khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập
chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là
khá khó khăn.
Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán,
giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn
toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các
kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để
giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã
học ở chương hàm số và phương trình lượng giác
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại
số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng
tạo cho học sinh .
3. Giả thuyết khoa học
Sử dụng các kiến thức lượng giác để giải một số bài tập đại số nhằm bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh , góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong
giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung
học
ebooktoan.com
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
4
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số phù hợp với sự phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong
quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, các bài tập nâng cao.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một lớp đối tượng.
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
5
SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản
Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song
vận dụng các kiến thức này còn hạn chế. Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ
bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau.
Các hệ thức cơ bản và hệ quả:
1/
2 2
sin cos 1
2/
sin
tg
cos
3/
cos
cot g
sin
4/
2
2
1
1 tg
cos
5/
2
2
1
1 cot g
sin
6/
tg .cot g 1
Sau đây là một số bài tập minh họa
Bài 1 :
Cho a
2
+ b
2
= c
2
+d
2
= 1 Chúng minh rằng :
1
ac bd
Bài giải :
Do a
2
+ b
2
= 1 nên đặt sin
= a; cos
= b;
Do c
2
+ d
2
= 1 nên đặt sin
= c; cos
= d;
Thay vào ac + bd thì ta có sin
.sin
+cos
.cos
= cos(
-
)
Lại có
cos 1
x
nên ta có
1
ac bd
Bài 2 : Cho x;y thỏa mãn
2 2
3 3 3
x x y y
(1).Tính x + y
Bài giải
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
6
Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có
2 2
3 3
1
3
3 3 3
x x y y
Từ biểu thức đã cho ta thấy x>0,y>0
Với a
0;
2
nên ta có thể đặt:
2 2
2 2
( ) 1 tan ( ) 1 tan (2)
3 3 3 3
( ) 1 cot ( ) 1 cot (3)
3 3 3 3
x x x x
a a
y y y y
a a
Bình phương hai vế của (2) và (3) ta có
2 2
2
2 2
2
1 tan 2 tan
3 3
3
1 cot 2 cot
3 3
3
x x x
a a
y y y
a a
Hay
2
2
2
2
tan 1
1 tan 2 tan 2 tan cot (4)
tan
3 3
cot 1
1 cot 2 cot 2 cot tan (5)
cot
3 3
x x a
a a a a
a
y y a
a a a a
a
Cộng (4) và (5) ta có: x+ y = 0 (Đpcm).
Bài 3: Cho x;y;z đôi một khác nhau thỏa mãn : (x+ z)(z + y) = 1
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1
4
( ) ( ) ( )x y z x z y
Bài giải : Do (x+ z)(z + y) = 1 Với
4
a k
ta đặt : x + y = tan a; y + z = cot a nên x – y = tan a – cot a.
Do đó ta cần chứng minh :
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
7
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
4 tan cot 4
(tan cot ) tan cot tan cot 2
a a
a a a a a a
2 2
2 2
1
tan cot 2 2 (2)
tan cot 2
a a
a a
Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy.
Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1)
Chứng minh rằng :
2 2 2
3
4
x y z
(2)
Bài giải :
Từ giả thiết : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) ta có :
1 1 1
. . 1
x y z
x y z
Với a;b;c
0;
4
Ta đặt :
1 1
tan . cot 1 .tan cot
1 tan cot
1 1
cot . cot 1 .cot cot
1 cot cot
1 1
tan . 1 .tan
1 tan
x
a b x x a b x
x
a b
y
a b y y a b y
y
a b
z
b z z b z
z b
Vậy Bất đẳng thức (2) tương đương:
2
2 2
1 1 1 3
(1 tan ) 4
(1 tan . cot ) (1 cot . cot )
b
a b a b
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2 2
2 2
1 tan cot (1 tan )(1 cot ) ; 1 cot cot (1 cot )(1 cot )a b a b a b a b
Điều phải chứng minh tương đương :
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
(1 tan )
(1 tan . cot ) (1 cot . cot )
2 tan cot 1 1 cot cot cot 1
(1 tan )(1 cot )(1 cot ) (1 tan ) 1 cot 1 cot (1 cot )
b
a b a b
a a b b b
a a b b b b b
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
8
Ta chứng minh :
2
2 2 2
2
cot cot 1 3
4(cot cot 1) 3(1 cot ) (1 cot ) 0
(1 cot ) 4
b b
b b b b
b
Đúng
Bài 5 : Cho : a
2
+ b
2
– 2a – 4b+ 4 = 0 (*)
Chứng minh rằng :
2 2
2 3 2(1 2 3) (4 2 3) 4 3 3 2
A a b ab a b
Bài giải :
Từ (*) ta có ( a – 1 )
2
+ (b – 2 )
2
=1 Ta đặt a = 1+ sin x; b = 2 + cos x
Thay vào A ta có :
2 2
sin cos 2 3sin .cos 3sin 2 cos2 2
A x x x x x x
(Đpcm)
Bài 6 : Chứng minh rằng :
2 2
3 2 3 2
3 1
2 2
x x x
Bài giải :Từ ĐK bài toán ta có
1 sin
2 2
x x a a
Thay vào :
2 2 2
0
1 cos2 1
3 1 3sin sin .cos 3 sin 2
2 2
3 1 3
( 3cos2 sin 2 ) cos(30 2 )
2 2 2
a
x x x a a a a
a a a
Ta có - 1
cos(30
0
+ 2a )
1 nên
2 2
3 2 3 2
3 1
2 2
x x x
Bài7: Cho 1
a
3 Chứng minh rằng :
3 2
4 24 45 26 1
S a a a
Bài giải : Ta có : -1
a – 2
1 Nên ta đặt : a – 2 = cos x (0
x
)
Thay vào biều thức S ta có
3 2
4(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 cos3 1
S x x x x
(đpcm)
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
9
Bài 8: Chứng minh rằng :
2
1 3
2 ( ; 1)
a
A a a
a
Bài giải : Đặt
1
cos
a
x
(
0 ;
2
x x
)
Ta có :
2
2
1
1 3
cos
1 cos 3.cos sin 3.cos 2
1
cos
x
A x x x x
x
Bài 9 : Chứng minh rằng :
3
3
2
2
3 4
1 ( )
1
1
x x
S x
x
x
Bài giải : Đặt x = tan a (
2 2
a
) Khi đó
3
3 3
2 2 3
3
3tan tan
4 3tan .cos 4.tan .cos
1 tan (1 tan )
3sin 4sin sin3 1
a a
S a a a a
a a
a a a
Bài10 : Chứng minh rằng :
2 2
( )(1 ) 1
( ; )
(1 )(1 ) 2
a b ab
a b
a b
Bài giải :Đặt a = tan x; b = tan y với x; y
;
2 2
thì ta có
2 2 2 2
2 2
2 2
( )(1 ) (tan tan )(1 tan .tan )
(1 )(1 ) (1 tan )(1 tan )
sin( ).cos( )
cos .cos .
cos .cos
1 1
sin( ).cos( ) sin 2( ) ( ; )
2 2
a b ab x y x y
a b x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
10
Một số bài tập tự luyện
Bài 1/Chứng minh rằng :
2 2
1 1
) 1 ( , 1; 1)
.
) ( )( ) ( ; ; ; 0)
a b
a a b a b
a b
b ab cd a c b d a b c d
Bài 2 : Cho a
2
+b
2
= c
2
+ d
2
=1 Chứng minh rằng:
2 a(c d) b(c d) 2
Bài 3 :Cho a
2
+ b
2
= 1 : Chứng minh rằng:
2 2
2 2
2 2
1 1 25
a b
a b 2
Bài 4 :Chứng minh rằng:
2 2
3 2 3 2
3x x 1 x
2 2
( 1
x
-1)
Bài 5:
Chứng minh rằng:
3 3
2 2
1 1 a 1 a 1 a 2 2 2 2a
(1
a
-1
Bài 6 : Chứng minh rằng:
2
2a a 3a 3 2
( 2
a
0 )
Bài 7 : Chứng minh rằng:
3 2
4a 24a 45a 26 1 a 1;3
Bài 8 : Cho x
2
+ y
2
= 1 . CMR :
5 5 3 3
16( ) 20( ) 5( ) 2
x y x y x y
Bài 9
Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z )
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1
12
x y z
Bài 10 Cho x;y thỏa mãn
2 2
4 4 4
x x y y
.Tính x + y
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
11
Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung
Một số bài toán sử dụng các công thức cộng cung và các công thức biến đổi khác.
Ta nêu lại các công thức đã học sau :
1 Công thức cộng - trừ:
1/
sin a b sin a.cos b sin b.cos a
2/
sin a b sin a.cos b sin b.cos a
3/
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
4/
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
5/
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
6/
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
7/
cot ga.cot gb 1
cot g a b
cotga cot gb
cot ga cot gb 1
8 / cot g a b
cot ga cot gb
2. Công thức góc nhân đôi:
1/
2 2
sin 2a 2 sin a.cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a
2/
2 2 2 2
cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a
3/
2
2tga
tg2a
1 tg a
4/
2
cotg a 1
cot g2a
2 cot ga
3. Công thức góc nhân ba:
1/
3
sin 3a 3 sin a 4 sin a
2/
3
cos3a 4 cos a 3 cos a
3/
3
2
3tga tg a
tg3a
1 3tg a
4/
3
2
cot g a 3 cot ga
cot g3a
3 cot g a 1
4. Công thức hạ bậc hai:
1/
2
2
2
1 cos 2a tg a
sin a
2
1 tg a
2/
2
2
2
1 cos2a cotg a
cos a
2
1 cot g a
3/
2
1 cos 2a
tg a
1 cos 2a
4/
1
sin a cos a sin 2a
2
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
12
5. Công thức hạ bậc ba:
1/
3
1
sin a 3 sin a s in3a
4
2/
3
1
cos a 3 cos a cos 3a
4
6. Công thức biểu diễn
sin x, cos x, tgx
qua
x
t tan
2
:
1/
2
2t
sin x
1 t
2/
2
2
1 t
cos x
1 t
3/
2
2t
tgx
1 t
4/
2
1 t
cot gx
2t
7. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1/
1
cos a.cos b cos a b cos a b
2
2/
1
sin a.sin b cos a b cos a b
2
3/
1
sin a.cos b sin a b sin a b
2
8. Công thức biến đổi tổng thành tích:
1/
a b a b
cos a cos b 2 cos .cos
2 2
2/
a b a b
cos a cos b 2 sin .sin
2 2
3/
a b a b
sin a sin b 2 sin . cos
2 2
4/
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
Sau đây là một số bài tập minh họa.
Bài 1:
Cho x+ y + z = xyz ,với ĐK mẫu số khác không Chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
. .
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
x x y y z z x x y y z z
x y z x y z
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
13
Bài giải :Từ giả thiết x+ y + z = xyz và biểu thức
3
2
3
1 3
x x
x
ta thấy nó tương
tự như công thức nhân ba, nên ta đặt x = tan a, y = tan b; z = tan c
với a; b;c
; \
2 2 6
thay vao giả thiết ta có
tana. + tan b + tan c =tan a.tan b.tan c
Theo kết quả đã biết thì a + b + c = k
(k nguyên)
Lại có :
3 3
2 2
3 3tan tan
tan 3
1 3 1 3tan
x x a a
a
x a
3 3
2 2
3 3tan tan
tan3
1 3 1 3tan
y y b b
b
y b
3 3
2 2
3 3tan tan
tan3
1 3 1 3tan
z z c c
c
z c
Vì :3a +3 b +3 c = 3k
nên tan 3a+ tan 3b +tan 3c = tan3a.tan3b.tan3c
Bài 2 : Chứng minh rằng :
2 2
1 ( )(1 ) 1
: ,
2 (1 )(1 ) 2
x y xy
x y
x y
Bài giải : Đặt x=tan a;y= tanb (
;
2 2
a b
) Ta có
2 2 2 2
2 2
sin( )cos( )
( )(1 ) (tan a tan )(1 tana.tan ) 1
cos .cos .cos .cos
sin 2( )
1
(1 )(1 ) (1 tan ).(1 tan ) 2
cos .cos
a b a b
x y xy b b
a b a b
VT a b
x y a b
a b
Vậy :
2 2
1 ( )(1 ) 1
: ,
2 (1 )(1 ) 2
x y xy
x y
x y
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
14
Bài3: Cho a,b > 0 Chứng minh rằng :
2 2
1
1
1 1
ab
a b
Bài giải : Đặt a=tan x;b= tany (
;
2 2
x y
) Ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1
1 t anx.tan
1 t an x 1 tan 1 tan x 1 tan
cos .cos sin .sin cos( ) 1
ab ab
a b a b a b
y
y y
x y x y x y
Một số bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (xy +1)(yz +1)(zx + 1)
0 Chứng minh rằng
. .
1 1 1 1 1 1
x y y z z x x y y z z x
xy zy xz xy zy xz
Bài 2 : Cho x+ y + z = xyz . Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
x y z y x z z y x xyz
Bài 3 : Cho xy +yz + xz = 1 Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
4
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
x y z xyz
x y z x y z
Bài 4 : Cho x; y; z là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y y z z x
x y z y x z
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
15
Dạng 3 Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng:
Một số bài toán sử dụng các kết quả của tam giác lượng :
Ta có một số kết quả sau
Kết quả 1 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại
∆ ABC có các góc thỏa mãn a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B
; c =
tan
2
C
Giải :Do a;b > 0 nên tồn tại hai góc
0 ;
2 2 2
A B
sao cho a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B
Từ giả thiết:Đặt
0 ( )
2 2 2 2 2
C A B
thì 0< A,B.C < 180
0
và A+ B +C = 180
0
Nên tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B
; c =
tan
2
C
Kết quả 2:Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1;
abc +a+b +c < 2 Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn
a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B
; c =
tan
2
C
Giải : Theo trên ta có thì tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn :
a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B
; c =
tan
2
C
. Ta c/m ∆ ABC nhọn hay cosA.cosB.cosC > 0
Ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
. . 0 (1 )(1 )(1 ) 0
1 1 1
1 ( ) ( ) 0
2 : 1
a b c
a b c
a b c
a b c ab bc ca abc
abc a b c do ab bc ca
Kết quả 3 : Trong ∆ ABC có a =
tan
2
A
.Chứng minh rằng
2 2
1
sin ; cos
2 2
1 1
A a A
a a
(C/m đơn giản )
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
16
Kết quả 4: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc thì tồn tại ∆
ABC có các góc thỏa mãn
1
a
=
tan
2
A
;
1
b
=
tan
2
B
;
1
c
=
tan
2
C
C/m: Từ ab + bc + ca = abc ta có
1 1 1
1
ab bc ca
theo kết quả 1 ta có đpcm
Kết quả 5 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc;
1 +ab+bc +ca < 2abc. Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn
1
a
=
tan
2
A
;
1
b
=
tan
2
B
;
1
c
=
tan
2
C
(C/m tương tự như kết quả 4).
Kết quả 6:Trong ∆ ABC có
1
a
=
tan
2
A
.Chứng minh rằng
2
2 2
2 2
2 1 1
sin ; cos ; sin ; cos
1 1 2 2
1 1
a a A A a
A A
a a
a a
Nhờ các kết quả này ta có một số đẳng thức; bất đẳng thức đại số được giải bởi các
bất đẳng thức; đẳng thức lượng giác.
Bài1: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 :
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 4
1
1 1 1
(1 ).(1 ).(1 )
a b c abc
a b c
a b c
Theo đẳng thức :
cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C
và kết quả 6 ta có
đpcm.Từ : sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC và kết quả 6 ta có
Bài2: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(1 ). (1 ). (1 ). 8
(1 ).(1 ).(1 )
1 1 1
a a b b c c abc
a b c
a b c
Bài3:Cho x, y, z > 0 , thỏa mãn : xy +yz + zx = 1
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
17
Tính :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1 1 1
y z x z y x
S x y z
x y z
Bài giải :
Từ giả thiết xy +yz + zx = 1 ;x, y, z > 0 ta thấy biểu thức trên tương tự như
đẳng thức trong ∆ ABC :
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
Vì vậy đặt
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z
thì ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1
1 1 1
y z x z y x
S x y z
x y z
Bài4: Cho ba số : x;y;z thỏa mãn : xyz = x+ y+ z chứng minh rằng
2 2 2
3 3
2
1 1 1
x y z
x y z
Bài giải : Đặt x = tanA; y = tanB; z = tan C từ xyz = x+ y+ z ta có
tanA + tanB + tan C = tanA.tanB. tan C nên A + B + C =
Thay vào bất đẳng thức ta có :
2 2 2
3 3
sin sin sin
2
1 1 1
x y z
A B C
x y z
Ta cần chứng minh :
3 3
sin sin sin
2
A B C
Với
; 0 ; )A B A B
Ta có :
sin sin 2sin .cos 2sin . ( 0 cos 1)
2 2 2 2
A B A B A B A B
A B Do
Vậy
2
3 3
sin sin sin sin 2sin 2sin 4sin 4sin
3 2 2 2 3
C A B C
A B
A B C
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
18
Vậy
3 3
sin sin sin
2
A B C
(đpcm).
Bài 5 : Từ bất đẳng thức :
cos cos 2sin
2
C
A B
(*) và kết quả 6 ta có bài
toán sau : Cho a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .Cmr :
2 2
2 2
2
1 1 2
1 1
1
a b c
a b
c
Bài 6: Cho a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .Cmr :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b c a b c
a b c
a b c
Bài giải :
Với a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại ∆ ABC có
1
a
=
tan
2
A
;
1
b
=
tan
2
B
;
1
c
=
tan
2
C
nên VT =
cos cos cosA B C
VP =
sin sin sin
2 2 2
A B C
Hay ta cần chứng minh :
cos cos cos sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
Đây là bất
đẳng thức dễ (C/m dựa vào (*)) Nên ta có đpcm
Bài 7: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn
ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2 :
Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
3 3
1 1 1
a b c
a b b
Bài giải :
Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2
Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn a =
tan
2
A
; b =
tan
2
B
;
c =
tan
2
C
Nên tan A =
2
2
1
a
a
; tanB =
2
2
1
b
b
; tan C =
2
2
1
c
c
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
19
Vậy đpcm tương đương với : tanA + tanB + tan C
3 3
Đây là BĐT cơ bản
Một số bài tập tự luyện:
Bài 1 Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca =1.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . 4
1 1 1
a b c
a b c
Bài 2:
2 2 2
2 2 2
1/ , , 0 1.
2 3. . . 1 ( _1999)
2/ , , 0 1 4 .
1 1 1
3
1 1 1
3/ , , 1 2.
1 1 1
Cho a b c sao cho a b c Cmr
a b c abc Poland
Cho a b c sao cho a b c abcCmr
ab cb ac
Cho x y z sao cho Cmr
x y z
x y z x y z
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
20
Dạng 4 :Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác
Một số phương trình, bất phương trình trong phân môn đại số ngoài cách giải
đại số thông thường còn có cách giải lượng giác, mà nhờ nó bài toán được giải
nhanh gọn hơn. Sau đây là một số ví dụ
Bài 1: Giải phương trình sau :
3 2
4 3 1 : 1
x x x Dk x
Bài giải : Đặt
cos 0;
x t t
Ta có phương trình : 4.cos
3
t – cost = sin t
hay
8
3 2
3
2
cos3 cos
2 4
3 2
5
2
8
t
t t k
t t t
t t k
t
Vậy phương trình có nghiệm:
5 3
cos ;cos ;cos
8 8 4
Bài 2 : Giải phương trình :
2 2
1 1 1 2 1
x x x
Bài giải
Ta có : Đk
1
x
theo đó ta đặt :
sin ;
2 2
x t t
vậy phương trình
3
1 cos sin (1 2cos ) 2 cos sin sin 2 2.cos 1 2 sin 0
2 2 2
1
6
2
1
2
t t t
t t t t t
t
x
x
t
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = ½
Bài3 : Giải hệ sau :
2
2
1
1 1
:
1
1 3
x
x y
DK
y
y x
Bài giải
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
21
Với đk trên ta đặt :
cos 0;
sin ;
2 2
y b b
x a a
ta có hệ:
2sin .cos 1
sin sin 1
2 2
cos cos 3
2cos .cos 3
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
Ta thấy
cos 0
2
a b
nên
1
tan
2 3
3
ê sin sin 1 cos 1
3 6 6
a b
a b
N n a a a a
Vậy nghiệm của hệ phương trình :
1
sin
1 3
6 2
;
2 2
3
cos
6 2
x
y
Vậy (x;y )=
1 3
;
2 2
là nghiệm của hệ phương trình
Bài4 : Giải hệ phương trình :
2 2
1
2( )(1 4 ) 3
x y
x y xy
Bài giải :
Đặt
cos 0;2
sin 0;2
y b b
x a a
khi đó từ hệ ta có phương trình sau:
6 6
sin cos 1 2sin 2 sin cos 2sin 2 .sin 2sin 2 .cos
2 2
13
2
6 5
6 3
sin 3 cos3 cos 3 cos
7 2
2 4 6
36 3
k
k
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
22
Theo ĐK bài toán ta có
7 31 55 11 35 59
; ; ; ; ;
6 6 6 6 6 6
Vậy nghiệm (x; y) = (sin
; cos
) với
7 31 55 11 35 59
; ; ; ; ;
6 6 6 6 6 6
Bài 5 :
Giải hệ phương trình sau :
2
3 2
2 (1 )
3 (1 3 )
y x y
x x y x
(HSG _ Quảng Bình)
Bài giải : Ta thấy
1
1;
3
y x
không là nghiệm của hệ nên hệ phương trình
tương đương với
2
3
2
2
1
3
1 3
y
x
y
x x
y
x
Khi đó ta đặt
tan ( ; )
2 2
y
Từ phương trình (1) ta có :
2
2 tan
tan 2
1 tan
x x
Từ phương trình (2) ta có :
3
2
3tan 2 tan 2
tan 6
1 3tan 2
y
Nên ta có
tan tan 6
5
k
Theo điều kiện ta có
0; 1; 2
k k k
Vậy nghiệm của hệ :
2 2 4 2 4 2
0;0 ; tan ;tan ; tan ;tan ; tan ;tan tan ;tan
5 5 5 5 5 5 5 5
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
23
Một số bài tập tự luyện
Bài 1: Giải phương trình sau :
2 4 2
2
2
1/ 8 (2 1)(8 8 1) 1
2 / 2 2
1
2
3 / 1 1
3
x x x x
x
x
x
x x x x
Bài 2 : Giải các phương trình vô tỷ sau :
2 3
3 2 3 2
2
2
2
2
2 2
) 1 4 3
) (1 ) 2(1 )
35
)
12
1
1 2 1
) 1 2
2
1
) 2 1
2
) 2 1 4 2(8 1)
a x x x
b x x x x
x
c x
x
x x
d x
x
e x
f x x x
Bài3: Giải hệ sau :
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
Nghiệm của hệ :
3 3
cos ; 2.sin
10 20
Bài4 : Giải các hệ sau :
2 2 2
2 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2
2 1 2 ( ) 1
1/ 3 3 1 2 / 1 2 2 2
4 4 6 (3 1) 2 ( 1)
z xyz z x y x y
x y xy x y y z xy zx yz
z zy y y y z y x x x
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
24
PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT
1.Kết luận:
Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi rút
ra được một số kết quả sau:
Đã hình thành phương pháp tư duy,suy luận toán học cho học sinh THPH.Bên
cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh luyện tập kỹ năng giải các
bài toán đại số và các phép biến đổi lượng giác, thúc đẩy quá trình giảng dạy và học
tập môn Toán được tốt hơn.
Giáo viên:
Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích
cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học.
Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và
người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của HS,
giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình
huống đa dạng
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng
giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính
độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách
của các em.
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp.
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em
không cảm thấy áp lực trong học tập.
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684
25
Học sinh:
Khả năng tiếp thu kiến thức mới tốt hơn khi biết phân tích một bài toán .Các
em có thể vận dụng các qui trình hay các phương pháp giải các ví dụ vào các bài
tập cụ thể.Các em đã biết huy động các kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan
để giải các bài tập toán,biết lựa chọn hướng giải bài tập phù hợp.Trình bày lời
giải hợp lý chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn
2. Khuyến nghị:
a)Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng
thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng
đối tượng học sinh.
b) Trong lớp giáo viên nên phân nhóm học theo trình độ nhận thức của các em
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề
tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế
Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn
đề tài của mình.
