bài tập chuyên đề đa thức

Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 190
1. (VMO 2002). Cho
, ,
a b c
là ba nghiệm thực sao cho đa thức


3 2
P x x ax bx c
   
có ba nghiệm thực.
Chứng minh rằng:
 
3
3 2
2
12 7 12
6 0 2
aa
a b
b c   
.
2. (VMO 2003). Cho hai đa thức:


3 2
4 2 15 9
P x x x x
   

;


3 2
12 6 7 1
Q x x x x
   
.
a) Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có ba nghiệm phân biệt.
b) Ký hiệu
,
 
tương ứng là nghiệm lớn nhất của


P x
và


Q x
.
Chứng minh rằng
2 2
3 4
 
 
.
3. (Estonia 1996, Crux 2005). Cho
 
2 3

1
2 6
!
n
n
x x x
f x x
n
     
. Chứng
minh rằng


n
f x
vô nghiệm nếu
n
chẵn và có duy nhất một
nghiệm nếu
n
lẻ.
4. (Yugolavia TST 1999, Crux 2005). Cho


P x
là một đa thức bậc
2
n

sao cho



0 1
P

và


1
2 , 1,2
k
P k k n

  .
Chứng minh rằng:




2 2 1 2 2 1
P n P n
   
.
5. (Crux 2006). Tìm tất cả các giá trò
a


để đa thức



3
13
P x x x a
  
có 3 nghiệm nguyên.
Đáp số:
12
a
 
.
6. (Irish 13, Crux 2006). Cho đa thức


2
0 1 2

n
n
P x a a x a x a x
    
có
hệ số không âm. Giả sử




4 2, 16 8
P P
 
. Chứng minh rằng:



4
8P

và tìm tất cả các đa thức khi


8 4
P

.
Đáp số: Với


8 4
P

thì
 
1
2
P x x
 .
7. (Spanish, Crux 2006). Cho hai đa thức:


4 3 2
1
P x x ax bx cx

    
;


4 3 2
1
Q x x cx bx ax
    
với
, ,
a b c


.
Tìm điều kiện của
, ,
a b c
để




,
P x Q x
có nghiệm chung. Hãy xác
đònh tất cả các nghiệm của


P x
và



.
Q x

Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 191
Đáp số: * Điều kiện:
2
b
 
;
0
a c
 
.
* Nghiệm của


P x
:
2 2
4 4
1,1, ,
2 2
a a a a
     
 .
Nghiệm của



:
Q x

2 2
4 4
1,1, ,
2 2
a a a a
   
 .
8. (Singapore 2002, Crux 2006). Biết đa thức


3 2
P x x ax bx c
   
có 3
nghiệm nguyên dương phân biệt và


2002 2001
P 
. Xét đa thức


2
2 2002
Q x x x  

biết




P Q x
vô nghiệm. Xác đònh tất cả các giá
trò của
.
a

Đáp số:
5951
a
 
.
9. (VMS 2009). Cho
, ,
x y z
là các số thực thỏa mãn:
2 2 2
3 3 3
0
2
0
x y z
x y z
x y z

  


  


  

.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
ta luôn có:

2 1 2 1 2 1
0
n n n
x y z
  
  
.
10. (Moscow 2011). Cho
3
n

. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực


0 1

0
,
n

n n
P x a a x a x a   

có
n
nghiệm không lớn hơn
1

và
thỏa mãn điều kiện
2 2
0 1 0 1
n n n
a a a a a a

   .
Đáp số:
     
1
n
n
P x a x x a
  
với
1
a

.
11. (VMO 1979). Chứng minh rằng
1

x
 
tồn tại tam giác mà số đo 3
cạnh là:






4 3 2 3 2 4
1 2 3
2 1; 2 2 1;
1
P x x x x x P x x x x P x x
          
.
Tìm góc lớn nhất?
Đáp số: Góc lớn nhất là
0
120
.
12. (IMO Shortlist). Cho


P x
là một đa thức bậc 3 với hệ số hữu tỉ.
Cho dãy hữu tỉ



n
q
được xác đònh như sau:


1
,
1
n n
q P q n




.
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên
1
k

sao cho với mọi
1
n

ta
có:
n k n
q q


.

13. (IMO Shortlist). Cho đa thức


P x
thỏa mãn:
Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 192




















0 0, 1 0 , 2 2 1 0 , 3 3 2 3 1 0
P P P P P P P P P P

      

và










4 4 3 6 2 4 1
P n P n P n P n P n
       
.
Chứng minh rằng:


0,P n n
  

.
14. (China TST 2006). Cho hàm số
:
f

 
thỏa mãn điều kiện:









0 ,
1
0, 1f f n n f f n n   

 .
Tìm tất cả các đa thức


g x
với hệ số thực thỏa mãn




,f n g n n
 
 
 


.
Đáp số:

 
1
n
g n


 với

là nghiệm dương của phương
trình
2
1 0
x x
  
.
15. (VMO 1968). Cho
0
a
b
 
và
1
a b
 
.
Chứng minh đa thức


2
n n

f x x b x a
  
có hai nghiệm phân biệt
thuộc khoảng


1;
1

với mọi
n
nguyên dương.
16. (Bulgaria 1995). Cho đa thức




2 2
4 3 3
f x x m x m m
     
có
nghiệm
1 2
,
x x
. Chứng minh rằng:
2 2
1 2
1 2

49
1 1 9
1
mx mx
x x
  
 
.
17. (Japan 1993). Cho đa thức


3
3
H x x x p
  
có nghiệm phụ thuộc
p
.
Xét hàm


:
f p

– Nếu


H x
có 3 nghiệm thì



f p
là tích của 2 nghiệm lớn nhất và bé
nhất.
– Nếu


H x
có đúng 1 nghiệm thì


f p
là bình phương nghiệm đó.
Tìm giá trò lớn nhất của


f p
. Đáp số:


max
3
f p
 
tại
0
p

.
18. (VMS 2005).

a) Tồn tại hay không đa thức


P x
thỏa mãn:




P x P x


và





P x P x x
 
 
?
Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 193
b) Biết rằng đa thức


Q x
có tính chất





,Q x Q x x

  

. Chứng
minh rằng


0 Q x x
  

.
19. (USA TST 2010). Cho


P x
là một đa thức với hệ số nguyên
thỏa mãn


0 0
P

và







0 , 1 ,
1
P P

. Chứng minh rằng có vô hạn
số. Chứng minh rằng có vô hạn số
n
sao cho










0 , 1 1 ,
P n P P n P n
   
.
20. (Vietnam TST 1998). Cho hàm số
:
f


 
sao cho mỗi số dương
c
, tồn tại đa thức


c
P x
sao cho




1998
,
c
f x P x xx c
  

. Chứng
minh rằng
f
cũng là một đa thức.
21. (Russia 2010). Cho hai số
,
a b
mà
a
ab


sao cho đa thức







2 2
20 10 20 10
P x x ax b x bx a
     vô nghiệm. Chứng minh rằng


20
b a

không nguyên.
22. (Vietnam TST 2009). Cho đa thức


3 2
1, 0
P x rx qx px r
    
chỉ có
một nghiệm thực và nghiệm đó không phải nghiệm bội. dãy số


n

a
được xác đònh như sau:
2
0 1 2
1, ,
a a p a p q
    
và
3 2 1
n n n n
a pa qa ra
  
    .
Chứng minh rằng dãy số chứa vô hạn số âm.
23. (Putnam 2008). Cho
3
n

. Xét hai đa thức




,
f x g x
hệ số thực sao
cho
n
điểm



















1 ;g 1 , 2 ; 2 , , ;
f f g f n g n
trong mặt phẳng là
n

đỉnh của
n

giác đều theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.
Chứng minh rằng bậc của


f x

hay


g x
lớn hơn
2
n

.
24. (Bantic 1998). Cho đa thức


2 1
1
k
k
P x x x x

    
.
Chứng minh rằng:
 
1
1
1
2
2
n
k n
n k n

k
x
C P x P


 


 
 

.
25. (Bantic 2003). Chứng minh rằng với mọi nghiệm
x
của đa thức
3
x px q
 
với
,
p q


đều thỏa mãn:
2
4qx
p

.
Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia

Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 194

26. (Bantic 2004). Cho đa thức


P x
với hệ số không âm. Chứng minh
rằng nếu
 
1
1
P x P
x
 
 



đúng với mọi
1
x

thì cũng đúng với mọi
x

dương.
27. (Japan 2008). Cho đa thức



P x
với hệ số nguyên sao cho


2
0
P n

với
một số số
n
nguyên khác 0. Chứng minh rằng:


2
1
P k

với mọi
*
k 

.
28. (IMO Shortlist 2002). Cho đa thức


P x
bậc ba có hệ số nguyên.
Giả sử rằng





xP x yP y

với vô số cặp số nguyên


, ,x y x
y

.
Chứng minh


P x
có nghiệm nguyên.
29. (IMO Shortlist 2009). Cho đa thức


P x
không hằng và có hệ số
nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số
:
T

 
sao cho
với mọi số nguyên
x

thỏa mãn







n
T T T x x


thì nhận giá trò


P n
.
30. (Bantic 2008). Cho đa thức


P x
với hệ số nguyên và


5
P x

tại 5
giá trò nguyên của
x

. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên
x
sao cho


4
6 P x
 
hoặc


6
16
P x 
.
31. (Germany). Giả sử


A n
là tập các đa thức dạng:


0 1

n
n
P x a a x a x
   

với

0 1 1
1
2 2
0
n n
n n
a a a a a a

   

   
   
       .
Chứng minh rằng nếu đa thức








,A n Q AP x
x m
 
thì đa thức







m
P x Q x A n 
.
32. (IMO Shortlist). Cho
n
đa thức:






1 2
, , ,
n
P x P x P x
hệ số thực.
Chứng minh rằng tồn tại 6 đa thức




,
k k
A x B x
thỏa hệ thức sau
đây:
             

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 2
1
n
k
k
P x A x B x A x xB x A x xB x

     

.
Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
 195
33. (Bulgaria 1998). Cho đa thức


, ,
1
n
P x y n

được xác đònh bởi:


1
,
1
P x y


và












2
1
, 1 1 , 2
,
n n n
P x y x y y P x y y y P x y

       .
Chứng minh rằng:




, , , , ,
1
n n
P x y P y x x y n   



.
34. (China 1996). Cho đa thức


P x
bậc 5 có 5 nghiệm thực phân biệt.
Tìm số bé nhất của các hệ số khác 0.
Đáp số: 3.
35. (IMO Shortlist). Cho
2 2
n

số
,
i i
a b
thỏa mãn:
0 0
, , 1
,
0
i i
b
a b a i n
   .
Chứng minh rằng các nghiệm nếu có của đa thức
1
0 1

n n
n
a x a x a

  
có giá trò tuyệt đối không vượt quá nghiệm
dương duy nhất
0
x
của phương trình:
1
0 1

0
n n
n
b x b x b

   
.
36. (IMO 1974). Cho đa thức


P x
có bậc
0
m

và có các hệ số

nguyên. Gọi
n
là số tất cả các nghiệm nguyên phân biệt của hai
phương trình


1
P x

và


1
P x

. Chứng minh rằng:
2
n m
 
.
37. (Hungari 1979). Cho đa thức


P x
có bậc
2
n

thỏa mãn điều kiện:



1, , 1, ,0,1,
,
k nP k
n n
     .
Chứng minh rằng:


2
2
, ,
n
x n n
P x
 
   
 
.
38. (China TST 2009). Cho


f x
là đa thức bậc
n
có các hệ số bằng
1

. Biết rằng đa thức
1

x

là nghiệm bội cấp
m
với
2 , ,
2
k
k km
  

. Chứng minh
1
2 1
k
n

 
.
39. (VMO 2011). Cho
n
là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa
thức


,
n n
P x y x xy y
  
không thể phân tích thành tích hai đa thức

hai biến hệ số thực, khác hằng số.
40. (Indonesia TST 2010). Giả sử đa thức


3 2
P x ax bx cx d
   
có 3
nghiệm dương và


0 0
P

. Chứng minh rằng:
3 2
7
0
2 9
b a d abc



.