Tài liệu Luyện thi Cao Đẳng - Đại Học môn toán học hiệu quả

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

I/ PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính
chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)...
Câu 2 (1 điểm):
Công thức lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu 3 (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu 4 (1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm ngun hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.
Câu 5 (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vng góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh
của hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện
tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 6 (1 điểm):
Bài tốn tổng hợp.

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
Theo chương trình chuẩn:
Câu 7a (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, elip.
- Viết phương trình đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Câu 8a (1 điểm)
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường trịn, Mặt cầu.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 9a (1 điểm):
- Số phức.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số.
Theo chương trình nâng cao:
Câu 7b (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, ba đường conic.
- Viết phương trình đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Câu 8b (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường trịn, mặt cầu.

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 9b (1 điểm):
- Số phức.
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lôgarit.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.
Theo Toán Học Việt Nam

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

-1-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị:
- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau:

- Lƣu ý khi vẽ đồ thị:
+ Không đƣợc vẽ đồ thị ra ngoài mặt phẳng tọa độ.
+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, khơng có chỗ gấp khúc. Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn.
+ Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn
(nếu có).
2. Phƣơng trình lƣợng giác:
- Ghi nhớ các công thức lƣợng giác, quan hệ giữa các góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác của các góc đặc
biệt và cách giải các dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu trong SGK.
- Thông thƣờng ta nên hạ bậc các biểu thức lƣợng giác bậc cao về các biểu thức lƣợng giác bậc thấp
hơn có trong phƣơng trình để dễ dàng đƣa về phƣơng trình tích.
- Nếu trong phƣơng trình chủ yếu là các hàm lƣợng giác sin và cos thì ta nên biến đổi các hàm tan và
cot về các hàm sin và cos.
3. Phƣơng trình (vơ tỉ), bất phƣơng trình (vơ tỉ), hệ phƣơng trình, phƣơng trình logarit:
- Thuộc các cơng thức logarit.
- Nắm rõ cách giải các pt, bpt cơ bản.
- Ứng dụng thành thạo 2 phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình cơ bản là PP thế và PP cộng đại số, trong
đó PP thế là PP đƣợc ứng dụng nhiều nhất.
- Nắm rõ cách giải các dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp.
- Nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình và hệ phƣơng trình có thể giải dễ dàng bằng cách đặt ẩn phụ
(thông thƣờng ta phải biến đổi một chút để có thể nhìn ra ẩn phụ cần phải đặt).
4. Nguyên hàm, tích phân:
- Nắm rõ nguyên hàm của các hàm thông dụng.
- Nắm rõ 2 phƣơng pháp thơng dụng để tính tích phân: phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân
từng phần:
+ Phƣơng pháp đổi biến thƣờng áp dụng cho các hàm đa thức, phân thức và có chứa căn thức.
+ Phƣơng pháp tích phân từng phần thƣờng áp dụng cho những hàm có dạng tích của 2 biểu thức khác
nhau về bản chất: đa thức – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ.
ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

-2-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

- Lƣu ý về tích phân của hàm số lẻ, hàm số chẵn.
- Trong một số trƣờng hợp, ta có thể đổi biến bằng cách đặt.
5. Hình học khơng gian:
- Nắm vững cơng thức tính thể tích của các khối thơng dụng.
- Ứng dụng các định lí về quan hệ vng góc, quan hệ song song trong không gian để tạo đƣợc mối liên
hệ giữa độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính đƣợc độ dài các cạnh và số đo của các góc chƣa biết.
6. Bất đẳng thức, cực trị:
- Nắm vững các bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt là BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki.
- Với một số bài tốn tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứng
dụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số.
7. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồ
giải) trƣớc khi giải.
8. Số phức: Một số bài toán có thể ứng dụng cơng thức Moa-vrơ nếu có thể đƣa các số phức về dạng
lƣợng giác của các góc đặc biệt.

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

-3-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số ......................................................................................................... 16
1.

Qui tắc 1: Dùng định lí 1. .................................................................................................... 16

2.

Qui tắc 2: Dùng định lí 2. .................................................................................................... 16

Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ................................................................................. 16
Vấn đề 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị............................................................................... 16
Vấn đề 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ .............................................................................. 17
1.

Định nghĩa: .......................................................................................................................... 17

2.

Chú ý: .................................................................................................................................. 17

Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ....................................... 17
1.

Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) .............................. 17

Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) .. 18
1.

Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1) ................................................................................... 18

2.

Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) ............................................................................... 18

3.

Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3) ........................................................................... 18

4.

Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4) ................................................................ 18

Vấn đề 7: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị ........................................................ 18
Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị ............................................. 18
1.

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3 ........................................................ 19
1.1.

1.2.

Trƣờng hợp 2: ............................................................................................................ 19

1.3.
2.

Trƣờng hợp 1: ............................................................................................................ 19
Trƣờng hợp 3: ............................................................................................................ 19

Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu .......................................................... 19
2.1.

Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt....................................................... 19

2.2.

rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt .......................................................... 19

Vấn đề 9: SỰ TIẾP XƯC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG. ................ 19
Vấn đề 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng) ....................... 19
1.

Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm

2.

Bài tốn 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho
trƣớc. ................................................................................................................................... 20

3.

Bài tốn 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm A( x A ; y A ) .
............................................................................................................................................. 20

M0  x0 ; y0  : ................

20

Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc .............................................................................. 20
ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

-4-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

Vấn đề 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x) ........... 21
Vaán đề 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vng góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc ......................................................... 21
Vấn đề 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với
đồ thị (C): y = f(x) ........................................................................................................... 21

Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp
tuyến đó vng góc với nhau .......................................................................................... 21
Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ .................................................................................................................... 22
Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) ........................................................... 22
Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua ...................... 22
Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua................................. 22
Vấn đề 20:

TẬP HỢP ĐIỂM........................................................................................................ 23

1.

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. ........................................................................................ 23

2.

Dạng 2: ................................................................................................................................ 23

Vaán đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng) .................................. 23
1.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) . ................................................................................. 23

2.

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  . .......................................................................... 23

Vấn đề 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ ngun ...................................................... 24
Vấn đề 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b .......... 24
Vấn đề 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) ................................. 24

Vấn đề 25: Khoảng cách .................................................................................................................... 25

Vấn đề 1: Công thức lượng giác.......................................................................................................... 26
1.

HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ).................................................................................. 26

2.

CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ) ............................................................................... 26

3.

CÔNG THỨC NHÂN ........................................................................................................ 26
3.1.

NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) ..................................................................................... 26

3.2.

NHÂN BA : ( 3 công thức) ....................................................................................... 27

4.

HẠ BẬC : ( 4 công thức) ................................................................................................... 27

5.

GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)....................................................................................... 27

6.

TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức) ............................................................................. 27

7.

TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức) ............................................................................. 27

8.

CUNG LIÊN KẾT :............................................................................................................ 28

ếp

Version 2 – Tháng 2/2013

www.MATHVN.com

-5-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC ................................................................................ 28
1.

CƠ BẢN : ........................................................................................................................... 28

2.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos ..................................................... 28
2.1.

3.

Dạng asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b2  0 ) ............................................................. 28

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ............................................................................................ 29
3.1.
3.2.

Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx .............................................................. 29

3.3.
4.

Đối với một hàm số lượng giác: .............................................................................. 29
Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:.................................................................... 29

PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : ........................................................................................ 30
4.1.

Tổng bình phương : ................................................................................................... 30

4.2.

Đối lập : ..................................................................................................................... 30

Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC ............................................ 30
1.

Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích. .............. 30

2.

Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số: ............ 31

3.

Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng
cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. .................................................................. 31

4.

Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.......................................................................... 32

Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC .................................................................... 36
1.

Tam giác thường ( các định lý) ......................................................................................... 36
1.1.

2.

Chú ý: ........................................................................................................................ 37

Hệ thức lượng tam giác vuông: ......................................................................................... 37

Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ..................................................................................... 37
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B ...................... 39
1.

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VÀ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC: ................................................... 39

Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ......................................................... 39
1.

MỘT SỐ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC: ............................... 40
1.1.

Phƣơng pháp đƣa về dạng tích................................................................................... 42

1.2.

Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................................... 42

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = 0 ( a  0) ................................ 43
Vấn đề 4: DẤU NHỊ THỨC ........................................................................................................... 44
Vấn đề 5: DẤU TAM THỨC.......................................................................................................... 44
Vấn đề 6: SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ ............................ 44
Vấn đề 7: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ........................................... 45
ếp

Version 2 – Tháng 2/2013

www.MATHVN.com

-6-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013
1.

www.MATHVN.com

Toán Học

p dụng: ............................................................................................................................. 46
a. Để bình phƣơng 2 vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì một là ta biến đổi cho 2
1.1.
vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế khơng âm. ............................................................ 47
1.2.

Chuyển về phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: ..................................................... 47

1.3.
Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với Ai  0, 1  i  n khi đó pt tƣơng đƣơng
với: A1  0, A2  0, An  0 . .................................................................................................. 48
1.4.

Sử dụng lập phƣơng: .................................................................................................. 48

1.5.

Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu: ....................................................................... 48

1.5.1. TH1: Mẩu luôn dƣơng hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: ............................ 48
1.5.2. TH2: Mẩu âm dƣơng trên từng khoảng thì ta chia thành từng trƣờng hợp: ........... 49

1.6.
1.7.

Dạng 3:....................................................................................................................... 50

1.8.

Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để). ......................................................................... 50

1.9.

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác). ................................................................ 51

1.10.
2.

Dạng 2:....................................................................................................................... 49

Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình). .......................................................... 51

Phƣơng pháp hàm số ........................................................................................................... 52

Vấn đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ................................................... 54
Vấn đề 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .............................................. 54

Vấn đề 1: BẢNG TÍCH PHÂN ........................................................................................................ 55
1.

Công thức NewTon _ Leibnitz : ........................................................................................ 55

2.

Tích phân từng phần : ........................................................................................................ 55

3.

Đổi cơ số :........................................................................................................................... 55

4.

Tính chất : ........................................................................................................................... 55

5.

Bảng tích phân : ................................................................................................................. 55

Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ............................................................. 57
Vấn đề 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ............................................... 58
Vấn đề 4: Thiết lập công thức truy hồi .......................................................................................... 58
Vấn đề 5: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ..................................................................................................... 58
1.

Diện tích hình phẳng .......................................................................................................... 58

2.

Thể tích vật thể .................................................................................................................. 59

Vấn đề 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. ......................................................................................... 60
Vấn đề 2: Khoảng cách trong không gian...................................................................................... 61
ếp

Version 2 – Tháng 2/2013

www.MATHVN.com

-7-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

1.

Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng ........................................................... 61

2.

Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng: ...................................................... 62

3.

Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : ........................................................ 62

4.

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng..................................................................................... 62

Vấn đề 3: Cách xác định góc trong không gian ............................................................................. 63
1.

Góc giữa hai đường thẳng: ................................................................................................ 63

2.

Góc giữa hai mặt phẳng:.................................................................................................... 63

3.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: ............................................................................... 63

Vấn đề 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶC BIỆT .............................................................. 64
1.

Hình chóp tam giác đều ...................................................................................................... 64

2.

Hình chóp tứ giác đều ......................................................................................................... 64

3.

Hình chóp có một canh bên vng góc với đáy .................................................................. 64

4.

Phƣơng pháp xác định đƣờng cao các loại khối chóp:........................................................ 65

Vấn đề 5: DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH HÌNH CHÓP...................................................................... 65
1.

DIỆN TÍCH: ........................................................................................................................ 65
1.1.

Diện tích xung quanh, tồn phần của hình chóp ĐỀU: ............................................. 65

2.

THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 65

3.

TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý) .................................................................................................. 65

4.

HÌNH CHĨP CỤT .............................................................................................................. 66
4.1.

DIỆN TÍCH ............................................................................................................... 66

4.2.

THỂ TÍCH ................................................................................................................. 66

Vấn đề 6: HÌNH LĂNG TRỤ.......................................................................................................... 66
1.

DIỆN TÍCH: ........................................................................................................................ 66

2.

THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 67

Vấn đề 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU ....................................................................... 67
1.

HÌNH TRỤ .......................................................................................................................... 67
1.1.
1.2.

2.

Diện tích: ................................................................................................................... 67
Thể tích: ..................................................................................................................... 67

HÌNH NĨN ......................................................................................................................... 67
2.1.
2.2.

3.

Diện tích: ................................................................................................................... 67

Thể tích: ..................................................................................................................... 67

HÌNH NĨN CỤT ................................................................................................................ 67
3.1.
3.2.

4.

Diện tích: ................................................................................................................... 67
Thể tích: ..................................................................................................................... 68

HÌNH CẦU ......................................................................................................................... 68

Vấn đề 8: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ........................ 68
ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

-8-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

1.

PHƯƠNG PHÁP: ............................................................................................................... 68

2.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian ...................................................................... 68

Vấn đề 1: BẤT ĐẲNG THỨC ....................................................................................................... 73
1.

Định nghóa : ........................................................................................................................ 73

2.

Tính chất : ........................................................................................................................... 73

3.

BĐT Cô Si : ........................................................................................................................ 73

4.

BĐT Bunhia Côp ski (chú ý) ............................................................................................. 73

5.

BĐT BecnuLi : ................................................................................................................... 73

6.

BĐT tam giác : ................................................................................................................... 74

Vấn đề 2: Cấp số cộng, cấp số nhân ................................................................................................ 74
1.

Cấp số cộng: ........................................................................................................................ 74

2.

Cấp số nhân: ........................................................................................................................ 74

3.

Ví dụ: .................................................................................................................................. 74

Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :.................................................................................................. 76
Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG........................................................................................................... 76
1.

Phương trình tham số : ....................................................................................................... 76

2.

Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2  0) ............................................... 77

3.

Phương trình pháp dạng : ................................................................................................... 77

4.

Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K : .............................................. 77

5.

Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) : ................................................... 77

6.

Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)......................................... 77

7.

Phương trình chính tắc : ..................................................................................................... 77

8.

Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : ...................................... 77

9.

Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) ñeán Ax + By + C = 0 : ........................................... 77

10. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : .............................................................................. 78
11. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : ................................................................................... 78
12. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 : ......................................... 78
Vấn đề 3: ĐƢỜNG TRÕN .............................................................................................................. 79
1.

Phƣơng trình đƣờng trịn: .................................................................................................... 79

2.

Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn: ................................................................ 79

3.

Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng trịn ............................................................................. 79

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

-9-


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

3.1.

Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x0;y0) có dạng: ..................................................... 79

3.2.

Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x0;y0).............................................................. 79

3.3.
Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vng góc) với đƣờng thẳng : Ax + By
+ C = 0 79
3.4.

Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trƣớc hệ số góc k:............................................. 80

4.

Phƣơng trình tích của một điểm M(x0; y0) đối với đƣờng trịn (C): ................................... 80

5.

Trục đẳng thức .................................................................................................................... 80

Vấn đề 4: CÁC CÔNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN: ................................................................. 80
1.

Tam giác đều cạnh a: .......................................................................................................... 80

2.

Tam giác vuông:.................................................................................................................. 80

3.

Tam giác vng cân (nửa hình vng): .............................................................................. 80

4.

Nửa tam giác đều: ............................................................................................................... 80

5.

Tam giác cân: ...................................................................................................................... 80

6.

Hình chữ nhật: ..................................................................................................................... 80

7.

Hình thoi: ............................................................................................................................ 80

8.

Hình vng:......................................................................................................................... 81

9.

Hình bình hành: ................................................................................................................... 81

10. Đƣờng tròn: ......................................................................................................................... 81
11. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC ................................................................................. 81
Vấn đề 5: ELIP ................................................................................................................................ 81
1.

Tiếp tuyến Elip: ................................................................................................................... 81

Vấn đề 6: HYPEBOL ...................................................................................................................... 82
1.

Tiếp tuyến của Hyperbol: .................................................................................................... 82

Vấn ñeà 7: PARAPOL ...................................................................................................................... 82
1.

Tiếp tuyến của Parapol (P): y2 = 2px .................................................................................. 83

Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :.................................................................................................. 83
Vấn đề 2: Phép toán ........................................................................................................................ 83
1.

Định nghĩa : ......................................................................................................................... 84

2.

Tính chất : ........................................................................................................................... 84

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG ........................................................................ 85
1.

Phƣơng trình tham số : ........................................................................................................ 85

2.

Phƣơng trình tổng quát : ..................................................................................................... 85

3.

Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn : .......................................................................... 85

4.

Các dạng chính tắc : ............................................................................................................ 85

5.

Chùm mặt phẳng : ............................................................................................................... 86

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 10 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

6.

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG ............................................................... 86

7.

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ........................................................................................ 86

8.

KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................... 86

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ........................................................................... 87
CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG .......................................................... 87

1.

1.1.

Phƣơng trình của các trục tọa độ : ............................................................................. 87

1.2.

Chuyển dạng phƣơng trình tổng qt sang dạng tham số, chính tắc : ....................... 87

2.

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG ......................................................... 87

3.

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .................................. 88

4.

GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ........................................................... 88
4.1.

Góc giữa hai đƣờng thẳng : ....................................................................................... 88

4.2.

Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng : ....................................................................... 89

KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................... 89

5.

5.1.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : ........................................................ 89

5.2.

Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng :..................................................... 89

5.3.

Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau : ........................................................ 89

HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG ................................................................................... 89

6.

6.1.

Điểm .......................................................................................................................... 89

6.2.

Đƣờng thẳng .............................................................................................................. 90

Vấn đề 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN............................ 90
1.

Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) .................................... 90

2.

Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q) ............................................... 90

3.

Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đƣờng thẳng d ......................... 90

4.

Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R) ................................................................... 90

5.

Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng ........................................ 90

6.

Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q) ....................................................................... 91

7.

Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d) ..................................................... 91

8.

Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. ...................................................................... 91

9.

Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A ....................................................................... 91

10. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  )........................................................................ 91
11. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q) ........................................................................ 91
12. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h .............................................................. 91
13. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h ............................................................... 91

  900 .............................. 92
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một góc   900 ............................... 92

14. Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc
15.

16. Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất ................. 92
ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 11 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

Toán Học

www.MATHVN.com

17. Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ......................................... 92
18. Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng trịn(C) có bán
kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trƣớc). ........................................................................... 92
19. Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ........................................... 93
20. Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng trịn (C) có
bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trƣớc) .................................................................... 93
21. Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng trịn (C) có
bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trƣờng hợp d cắt (S) tại 2 điểm). ........................................... 93
Vấn đề 6: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN............................................................................................................................... 93
1.

Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) ......................................... 93

2.

Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B ............................................................................. 94

3.

Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đƣờng thẳng (  ) ............................................... 94

4.

Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P) ............................................................................ 94

5.

Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) ...................................... 94

6.

Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp ............................................................. 94

7.

Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) ...................................................................... 94

8.

Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2:....................... 94

9.

Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3............................................. 95

10. Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vng góc đƣờng thẳng d1 và cắt d2 ............................. 95

11. Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đƣờng thẳng d' ............................ 95
12. Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2 cho trƣớc. ................. 95
13. Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vng góc với đƣờng thẳng d' tại giao điểm I
của (P) và d'. ........................................................................................................................ 95
14. Dạng 14 : Viết ptđt vng góc chung d của 2 dƣờng thẳng chéo nhau d1, d2 : .................. 95
15. Dạng 15 : Viết pt đƣờng thẳng d vng góc với mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1,d2 . ........ 96
16. Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vng góc với đƣờng thẳng d1 . ................... 96
17. Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vng góc với d1,tạo với d2 góc   (0 ;90 ) (= 300, 450,
600) ...................................................................................................................................... 96
0

18. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc
19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc

0

  (00 ;900 ) . .... 96

  (00 ;900 ) . .......... 96

20. Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vng góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. ............ 97
Vấn đề 7: CÁC DẠNG TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ............................................................ 97
1.

Dạng 1. Xác định vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và mặt phẳng ............................... 97

2.

Dạng 2. Xác định hình chiếu vng góc của điểm M lên mặt phẳng ( ) ......................... 97

3.

Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc qua mặt phẳng ( ) .............. 97

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 12 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

4.

Dạng 4. Xác định hình chiếu vng góc của điểm M lên đƣờng thẳng  ........................ 97

5.

Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc ............................................... 98

6.

Dạng 6. Xác định hình chiếu vng góc của đƣờng thẳng  lên mp ( ) .......................... 98

7.

Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đƣờng thẳng 1 lên mp ( ) theo phƣơng  2 cắt
( ) .................................................................................................................................... 100

8.

Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua M và cắt 1 ,  2 với 1 ,  2 chéo nhau và
khơng đi qua M ................................................................................................................. 100

9.

Dạng 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  cắt 1 ,  2 và song song với  3 .................. 100

10. Dạng 10. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua M và vng góc với 1 , cắt  2 trong đó
M  1 ,  2 ........................................................................................................................ 101
11. Dạng 11. Viết phƣơng trình đƣờng vng góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau
1 ,  2 ................................................................................................................................ 102
12. Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất : ............................................. 103
12.1. Dạng 1: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ). Tìm M  ( P) : ax  by  cz  d  0 để
(MA+MB)min. ....................................................................................................................... 103
12.2.

Dạng 2: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ). Tìm M  ( P) : ax  by  cz  d  0 để

MA  MB max. ..................................................................................................................... 104

12.3. Dạng 3: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ) . Tìm M  cho trƣớc sao cho (MA +
MB) min................................................................................................................................. 104

Vaán đề 8: CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU ........................................................................... 105
1.

Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R .......................................................... 105

2.

Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu .................................................................... 105

3.

Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ......................................................................... 105

4.

CÁC DẠNG TOÁN ......................................................................................................... 105
4.1.

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A ............................................................................ 105

4.2.

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB ........................................................................... 106

4.3.

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp() ................................................................. 106

4.4.

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .......................................................... 106

4.5.

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α) ....................................................... 106

4.6.

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A. .......................................................... 106

4.7.

Dạng 7: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu: ............................................................ 106

Vấn đề 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................................... 107
Vấn đề 2: ĐẠO HÀM ................................................................................................................... 107
ếp

Version 2 – Tháng 2/2013

www.MATHVN.com

- 13 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

1.

Định nghóa đạo hàm : ....................................................................................................... 107

2.

Qui tắc tính đạo hàm :...................................................................................................... 107

3.

Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản : .............................................................. 107

Vấn đề 3: LUỸ THỪA – LOGARIT ............................................................................................ 109
1.

LUỸ THỪA ...................................................................................................................... 109
1.1.
1.2.

Tính chất của luỹ thừa ............................................................................................ 109

1.3.
2.

Định nghóa luỹ thừa ................................................................................................ 109
Định nghóa và tính chất của căn thức .................................................................... 109

II. LOGARIT .................................................................................................................... 110
2.1.

Định nghóa ............................................................................................................... 110

2.2.

Tính chất.................................................................................................................. 110

2.3.

Các qui tắc tính logarit ........................................................................................... 110

2.4.

Đổi cơ số ................................................................................................................. 110

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .............................................. 110
1.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ ..................................................................................................... 110
1.1.

Phương trình mũ cơ bản: ......................................................................................... 110

1.2.

Một số phương pháp giải phương trình mũ ........................................................... 111

1.2.1. Đưa về cùng cơ số: .............................................................................................. 111
1.2.2. Logarit hoá: ......................................................................................................... 111
1.2.3. Đặt ẩn phụ: .......................................................................................................... 111

1.2.4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: .................................................................... 111
2.

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .......................................................................................... 111
2.1.

Phương trình logarit cơ bản .................................................................................... 111

2.2.

Một số phương pháp giải phương trình logarit ...................................................... 111

Vấn đề 5: BẤT PHƯƠNG, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT .................................... 112
Vấn đề 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ........................................................................................ 112
Vấn đề 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................ 112

Vấn đề 1: HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP......................................................................... 113
1.

Hoán vị : ........................................................................................................................... 113

2.

Tổ hợp :............................................................................................................................. 113

3.

Chỉnh hợp : ....................................................................................................................... 113

Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT ....................................................................................... 113

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 14 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013
1.

Toán Học

Ngun tắc đếm ................................................................................................................ 113
1.1.

2.

www.MATHVN.com

Chú ý:....................................................................................................................... 113

XÁC SUẤT ....................................................................................................................... 113
2.1.

Không gian mẫu:...................................................................................................... 113

2.2.

Xác suất: .................................................................................................................. 113

2.3.

CÁC CƠNG THỨC ................................................................................................. 113

Vấn đề 3: Nhị thức NIUTƠN ........................................................................................................ 114
1.

Công thức nhị thức Newtơn: ............................................................................................. 114

2.

Các nhận xét về công thức khai triển:

3.

Một số dạng đặc biệt: ........................................................................................................ 114

4.

Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn ...................................................................... 115

1.

Khái niệm số phức ........................................................................................................... 117

2.

Biểu diễn hình học: .......................................................................................................... 117

3.

Cộng và trừ số phức: ........................................................................................................ 117

4.

Nhân hai số phức : ........................................................................................................... 117

5.

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi laø z  a  bi ................................................... 118

6.

Môđun của số phức : z = a + bi....................................................................................... 118

7.

Chia hai số phức: .............................................................................................................. 118

8.

Căn bậc hai của số phức: ................................................................................................. 118

9.

Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 ........................................................................... 118

(a  b)n .............................................................. 114

10. Dạng lượng giác của số phức: ......................................................................................... 118
11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác....................................................................... 119
12. Công thức Moa–vrơ: ........................................................................................................ 119
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: ............................................................. 119
14. Các dạng bài tập: ............................................................................................................... 119
14.1. Dạng 1 : Tìm mơ đun ,căn bậc hai của số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình
trên tập số phức ..................................................................................................................... 119
14.2.

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức .......................................................... 123

14.3.

Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác .............................. 124

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 15 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Toán Học

Tìm cực trị của hàm số

Vấn đề 1:

1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
+ Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
+ Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

Vấn đề 2:

Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 khơng có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:
 Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d
+ y( x0 )  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.
2
 Hàm số y  ax  bx  c =

a' x  b'

P( x )
Q( x )

(aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 

b'
.
a'

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
y( x0 ) 

P( x0 )

hoặc

Q( x0 )

y( x0 ) 

P '( x0 )

Q '( x0 )

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.

Vấn đề 3:

3

Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị
2

1. Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax  bx  cx  d .
 Chia f(x) cho f (x) ta được:
f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
 y1  f ( x1 )  Ax1  B

 y2  f ( x2 )  Ax2  B

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
y  f ( x) 

P( x ) ax 2  bx  c

Q( x )
dx  e .

Hàm số phân thức
 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì

2.

y0 

P '( x0 ) .
Q '( x0 )

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
y

P '( x ) 2ax  b .

Q '( x )
d

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 16 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

www.MATHVN.com

Vấn đề 4:
1.

Toán Học

ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Định nghĩa:

 Đƣờng thẳng x  x0 đgl đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều
kiện sau đƣợc thoả mãn:
lim f ( x )   ;
lim f ( x )   ;
x  x0 

x  x0 

lim f ( x )   ;

lim f ( x )  

x  x0 

x  x0 

 Đƣờng thẳng y  y0 đgl đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
lim f ( x )  y ; lim f ( x )  y
0

x 

0

x 

 Đƣờng thẳng y  ax  b, a  0 đgl đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một trong
các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
lim  f ( x )  (ax  b)  0 ;

lim  f ( x )  (ax  b)  0
x 

2.

Chú ý:
a) Nếu y 

f (x) 

P( x )
Q( x )

x 

là hàm số phân thức hữu tỷ.

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x  x0 .
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phƣơng trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các cơng thức sau:
f ( x)
;
x
f ( x)
a  lim
;
x  x
a  lim

x 

hoặc

Vaán ñeà 5:
1.

b  lim

 f ( x)  ax 

b  lim

 f ( x)  ax 

x 

x 

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng)
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc khơng xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
 Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phƣơng).

– Tính y.
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.
+ Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị nhƣ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trƣờng
hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm
thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

ếp

Version 2 – Tháng 2/2013

www.MATHVN.com

- 17 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013
Vấn đề 6:

Toán Học

www.MATHVN.com

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng)

 Cơ sở của phƣơng pháp: Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
 Để biện luận số nghiệm của phƣơng trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:
1. Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phƣơng trình hồnh độ giao điểm của hai đƣờng:
y
(C)
(C): y = f(x)
(d)
m
A c. : y
yC
d: y = m
 d là đƣờng thẳng cùng phƣơng với trục hoành.
x x
y suy
 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó C ra số nghiệm của (1)
2.

Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tƣơng tự nhƣ trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
y

3.

Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m

(3)
M

d1

b1 y =dkx
d2

(k: khơng đổi)
O
x
M
Khi đó (3) có thể xem là phƣơng trình hồnh độ
(C m A
giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)
b2
d: y = kx + m
 Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phƣơng với đƣờng thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0;
m).
 Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) có hệ số góc k.
 Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận.
4.

Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0

(4)

Khi đó (4) có thể xem là phƣơng trình
hồnh độ giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x0) + y0
 d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).
 Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) đi qua M0.
 Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.

Chú ý:
 Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:   x   thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với   x  .
 Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

Vấn đề 7:

Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong
đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Vấn đề 8:

Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3  bx 2  cx  d  0 (a  0) (1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hồnh
ếp

Version 2 – Tháng 2/2013

www.MATHVN.com

- 18 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

Toán Học

www.MATHVN.com

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3
1.1. Trƣờng hợp 1:
(1) chỉ có 1 nghiệm
y
(C)
 (C) và Ox có 1 điểm chung
1.



 f không có cực trị
  f có 2 cực trị

  yCĐ .yCT  0


y
(C)
yCĐ

(h.1a)
(h.1b)

A

x0

O

(h.1a)

A
x0

x

yCT
x1 o

x2

(h.1b)

x

1.2. Trƣờng hợp 2:
(1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox



 f có 2 cực trị
 y .y  0
 CĐ CT

(h.2)

1.3. Trƣờng hợp 3:

(1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt



 f có 2 cực trị
 y .y  0
 CĐ CT

(h.3)

2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
2.1.

Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương


 f có 2 cực trị
 y .y  0
 CÑ CT

 xCÑ  0, xCT  0

a. f (0)  0 (hay ad  0)

y

y

a>0

y
x2
B CĐ C
A
o x x1xB
x
y A
C

f(0
CT
)

 f có 2 cực trị
 y .y  0
 CÑ CT

 xCÑ  0, xCT  0
a. f (0)  0 (hay ad  0)


Vấn đề 9:

a<0

y
f( CĐx B
A 1

C
0) x xBx2 x
o
y A
C

x

CT

a>0

2.2. rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ âm



(
C

y

x
(C)

(C)
f(0)
yCĐ

A

B x2
xA x1 xB

C
xC o
yCT

x

SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG.

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
(C) của hàm số tại điểm M0  x0 ; f ( x0 ) .
Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0  x0 ; f ( x0 ) là:
y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phƣơng trình sau có
nghiệm:
 f ( x )  g( x )

 f '( x )  g '( x )

(*)Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm của hai đƣờng đó.
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phƣơng trình

ax 2  bx  c  px  q có nghiệm kép.

Vấn đề 10:

Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng)

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 19 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013
1.

www.MATHVN.com

Toán Học

Bài tốn 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M0  x0 ; y0  :

 Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.

 Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)
2.

Bài tốn 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trƣớc.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).

  có hệ số góc k  f (x0) = k
(1)
 Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f ( x )  kx  m (*)

 f '( x )  k

 Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau:
+  tạo với chiều dương trục hồnh góc  thì k = tan
+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+  vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k =  1
a
+  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì k  a  tan 
1  ka

3.

Bài tốn 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm A( x A ; y A ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)
  đi qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x) (2)

 Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

 Phương trình đường thẳng  đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f ( x )  k ( x  x A )  y A (*)

 f '( x )  k

Vấn đề 11:

Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc

1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có
nghiệm:
 f ( x )  g( x ) (*)

 f '( x )  g '( x )

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2  bx  c  px  q có nghiệm kép.

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 20 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

Vấn đề 12:

Toán Học

www.MATHVN.com

Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)

1. Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của  và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của  và (C2).
  tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f (u)  au  b
 f '(u)  a


 g(v)  av  b
 g '(v)  a


(1)
(2)
(3)
(4)

 Từ (2) và (4)  f (u) = g (v)  u = h(v) (5)
 Thế a từ (2) vào (1)  b = (u)
(6)
 Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b. Từ đó viết phương trình của .
2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp
tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.

Vấn đề 13:

Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vng góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc

 Gọi M(x0; y0)  (C).  là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f (x0).
 Vì
 // d
nên
f (x0) = kd
hoặc

d

nên

f (x0) =  1

kd

(1)
(2)

 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0)  (C).

Vấn đề 14:

Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với
đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x )  k ( x  x M )  yM
(1)

(2)
 f '( x )  k
 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM
(3)
 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Vấn đề 15:

Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp
tuyến đó vng góc với nhau

Gọi M(xM; yM).
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x )  k ( x  x M )  yM

 f '( x )  k

(1)
(2)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được:
f(x) = (x – xM).f (x) + yM

(3)
 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
 Hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau  f (x1).f (x2) = –1

Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh thì
ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 21 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

Toán Học

www.MATHVN.com

(3) có 2 nghiệm phân biệt
 f ( x ). f ( x )  0
 1
2

Vấn đề 16:

HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đƣờng (Cm): y = f(x, m) (m là tham số).
M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m)
(1)
Xem (1) là phƣơng trình theo ẩn m.
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M.
Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (Cm).
 Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
 Nếu (1) vơ nghiệm thì khơng có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M.

Vấn đề 17:

Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)

Cách 1:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m

y0 = f(x0, m), m
 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
 Dạng 1: (1)  Am + B = 0, m
 Dạng 2: (1)  Am2  Bm  C  0 , m

A  0
(2a)
B  0



(1)

A0
 B  0



(2b)

C  0


 Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.

Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0.
Cách 2:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m

y0 = f(x0, m), m
(1)
 Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 khơng đổi.
 F (m) = 0
(3)
 Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định.

Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
 Gọi M(x0; y0) là điểm mà khơng có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua.
M(x0; y0)  (Cm), m

y0 = f(x0, m) vô nghiệm m

(1)
 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
 Dạng 1: (1)  Am + B = 0 vô nghiệm m   A  0
(2a)


B  0
 A  B  0
 Dạng 2: (1)  Am2  Bm  C  0 vô nghiệm m   C  0

 A  0
  B 2  4 AC  0


(2b)

Chú ý:  Kết quả là một tập hợp điểm.
 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị khơng đi qua.

Vấn đề 19:

Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua

 Ta có: M(x0; y0)  (Cm)

y0 = f(x0, m)
 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

(1)

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 22 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

Toán Học

www.MATHVN.com

Am + B = 0 (2a)
hoặc
Am2  Bm  C  0
 Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M.

Vấn đề 20:

(2b)

TẬP HỢP ĐIỂM

Bài tốn: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất .
 Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phƣơng trình của tập hợp điểm đó.
1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.
1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.

2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m.
Có các trƣờng hợp xảy ra:
Trƣờng hợp 1:

M  x  f (m )

 y  g(m)

Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:
F(x, y) = 0
(gọi là phƣơng trình quĩ tích)
Trƣờng hợp 2:

M  x  a (hằng số )

 y  g(m)

Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng x = a.
Trƣờng hợp 3:
M  x  f (m )

y  b

(hằng số )

Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng y = b.
3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bƣớc 1), ta tìm đƣợc điều kiện của x hoặc y để
tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích.
4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phƣơng trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x
hoặc y (ở bƣớc 3).

2. Dạng 2:
Trong trƣờng hợp ta khơng thể tính đƣợc toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập đƣợc một hệ thức
chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm đƣợc hệ thức dạng F(x, y) = 0.
Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình
F(x, y) = 0 mà khơng cần tìm giới hạn của quĩ tích.

Vấn đề 21:

HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 Vẽ đồ thị hàm số tƣơng ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
1.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) .
Đồ thị (C) của hàm số y  f ( x ) có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục hồnh qua trục hồnh.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

2.

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  .
Đồ thị (C) của hàm số y  f  x  có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:

ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com

- 23 -


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013

Toán Học

www.MATHVN.com

+ Giữ ngun phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

Vấn đề 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ ngun
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ y  P( x ) có toạ độ là những số nguyên:
Q( x )

 Phân tích

P( x )
y
Q( x )

thành dạng y  A( x )  a , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.
Q( x )

x 
 Khi đó 
 Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x ngun để Q(x) là ước số của a.
y 
 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.

Vấn đề 23:

Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB
 Phương trình đường thẳng  vng góc với d: y = ax = b có dạng:

: y  

1
xm
a

(C)

(d)

 Phương trình hồnh độ giao điểm của  và (C):
1
f(x) =  x  m
(1)
a
 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm

A

(D)

B
I

phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).
 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm
được m  xA, xB  yA, yB  A, B.
Chú ý:  A, B đối xứng nhau qua trục hoành   x A  xB


 y A   yB


 A, B đối xứng nhau qua trục tung   x A   xB
 y A  yB

 x  xB
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b   A
 y A  yB  2b

 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a   x A  xB  2a

 y A  yB

Vấn đề 24:

Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.
ếp

Version 2 – Thaùng 2/2013

www.MATHVN.com
I
B
A

- 24 -