nguyên lý hamiton, hàm lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý

Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
PHẦN MỞ ĐẦU
Tên đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý.
1. Lý do chọn đề tài:
Khoa học ngày càng phát triển đưa con người tới một tầm cao mới.
Trong những bước tiến của công nghệ, vật lý học nói chung và cơ học
nói riêng càng thể hiện rõ vai trò là những kiến thức nền tảng. Việc
nghiên cứu tìm hiểu quy luật chuyển động của các vật thể và tìm
phương trình biểu diễn chuyển động ấy vốn là vấn đề được các nhà vật
lý đặc biệt quan tâm trong lịch sử vật lý.
Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton mô tả chuyển
động của các vật thể bằng phương trình liên hệ giữa ba đại lượng lực,
khối lượng và gia tốc. Cũng là một phạm vi kiến thức của Cơ học cổ
điển – Cơ học Newton, Cơ học lý thuyết giải quyết bài toán mô tả
chuyển động bằng các hình thức khác. Một trong số đó là hệ hình thức
Lagrange với công cụ cơ bản là nguyên lý biến phân Hamilton. Nguyên
lý này cùng với các nguyên lý vật lý đã cho phép xây dựng một hệ
thống khái niệm đầy đủ để xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xác
định được sự biến đổi trạng thái theo thời gian. Nói cách khác, hệ hình
thức này thiết lập được phương trình chuyển động của cơ hệ, gọi là
phương trình Lagrange. Từ đó, phương pháp giải quyết một phạm vi bài
toán cơ học khá rộng dựa trên nguyên lý Hamilton với phương trình
chuyển động Lagrange được ghi nhận.
Để tìm hiểu rõ hơn về hệ hình thức Lagrange và việc áp dụng vào
giải các bài toán cơ học, chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý Hamiton,
hàm Lagrange và áp dụng giải toán cơ học” để nghiên cứu trong đề tài
này.
2. Mục đích nghiên cứu :
- Hệ thống lại các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích,

thông qua các khái niệm đi đến mối quan hệ giữa nguyên lý
Hamiton và hàm Lagrange.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 1
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
- Xây dựng được phương trình Lagrange cho các cơ hệ vật
lý. Đồng thời ứng dụng vào việc giải các bài toán vật lý cụ thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Hiểu rõ được các khái niệm như số bậc tự do, phương trình
liên kết, tọa độ suy rộng, phép tính bên phân, nguyên lý Hamiton và
đi đến phương trình Lagrange.
- Khảo sát và phân tích chuyển động của các cơ hệ vật lý
bằng thiết lập và giải các phương trình Lagrange.
- Rút ra kết luận về ưu điểm của phương pháp Lagrange
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Tham khảo tài liệu liên quan đến Cơ học lý thuyết
- Phân tích, tổng hợp, đánh giá các khái niệm, mối liên hệ,
các số liệu, kết quả.
- So sánh đối chiếu giữa cơ học cổ điển và cơ học giải tích.
- Từ các bài toán vật lý đưa ra nhận xét sự nổi bật của Hàm
Hamiton và hàm Lagrange.
5. Giới hạn nghiên cứu: Nghiên cứu một số cơ hệ vật lý trong
cơ học
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 2
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
PHẦN NỘI DUNG
A. Lý thuyết

I. Khái niệm liên kết và tọa độ suy rộng
1. Số bậc tự do
Xét một cơ hệ gồm N chất điểm M
1
, M
2
,…, M
N
chuyển động đối với hệ
quy chiếu quán tính. Vị trí chất điểm M
i
trong không gian được xác định bán
kính vectơ
( , , )
i i i i
r x y z
r
. Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính
vectơ
i
r
r
hay 3N tọa độ Dexcartes,
, , , 1,2,
i i i
x y z i N=
. Số thông số độc lập
cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do
( s ) của nó .
Chú ý số bậc tự do của cơ hệ tự do là 3N. Trong đó cơ hệ tự do là cơ hệ

mà vị trí và vận tốc cảu những chất điểm của cở hệ không bị hạn chế bới một
điều kiện nào.
2. Phương trình liên kết
- Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của các chất
điểm của cơ hệ vật lý trong không gian. Những điều kiện này không phụ
thuộc vào lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động.
- Phương trình liên kết là phương trình biểu diễn mối quan hệ giũa các
thông số trong cơ hệ. Số phương trình liên kết bằng số liên kết ( k )
Ví dụ : Cơ gồm ba chất điểm M
1
, M
2
, M
3
không nằm trên một đường
thẳng và khoảng cách giữa các chất điểm r
12,
r
23,
r
31
là không đổi thì có 3
phương trình liên kết:
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 3
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 12
2 2 2 2

3 2 3 2 3 2 23
2 2 2 2
1 3 1 3 1 3 31
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
x x y y z z r
x x y y z z r
x x y y z z r
− + − + − − =
− + − + − − =
− + − + − − =
Trong ví dụ này 9 tọa độ trong hệ liên hệ với nhau bởi 3 phương
trình liên kết do đó số bậc tự do là 6.
- Trong trường hợp tổng quát liên kết trong cơ hệ biểu diễn bởi k phương
trình.
1 1 1 1 1 1
( , , , , , , , , , , , , , , ) 0,( 1, )
N N N N N N
f x y z x y z x y z x y z t k
α
α
= =
& & & &
& &
Hay là
1 2 1 2
( , , , , , , ) 0
N
N

f r r r r r r t
α
× × ×
=
ur ur uur
r r r
( 1, )k
α
=
Các liên kết được biểu diễn bởi phương trình liên kết có dạng:
f
α
= const
( 1, )k
α
=
gọi là liên kết hôlônôm .
Các phương trình liên kết bởi phương trình liên kết dạng :
1
0
N
i i
i
A dr B dt
α α
=
+ =
∑
r

( 1, )k
α
=
gọi là liên kết phi hôlônôm. Cơ hệ chịu
liên kết phi hôlônôm gọi là cơ hệ phi hôlônôm.
Cơ hệ gồm N chất điểm liên hệ với nhau bởi k phương trình liên kết thì
có số bậc tự do là s = 3N – k.
3. Tọa độ suy rộng
Sự có mặt của các liên kết làm cho bài toán chuyển động của cơ hệ trở
nên phức tạp hơn vấn đề đặt ra là làm thế nào để khử được các liên kết nếu
hạn chế chỉ xét các hệ hôlônôm thì vấn đề trên được giải quyết bằng khái
niệm tọa độ suy rộng.
Giả sử cơ hệ gồm N chất điêm M
i
(i = 1, …N ) chịu k liên kết hôlônôm
được biểu diên bằng k phương trình :
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 4
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
1 2
( , , , , ) 0
N
f r r r t
α
=
ur ur uur
,
( 1, )k
α

=
Nếu k phương trình liên kết này là độc lập thì số bậc tự do của cơ hệ là
s = 3N – k.
Giả sử ta tìm được s thông sô q
1
, q
2
,…, q
s
liên hệ với các bán kính vectơ
i
r
r
bởi các phương trình sau :
1 2
( , , , , ) , ( 1, , )
i i s
r r q q q t i N= =
r r
Các thông số độc lập
1 2
, , ,
s
q q q
gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu k
liên kết. Số tọa độ suy rộng bằng số bậc tự do của hệ.
Ví dụ: Một con lắc phẳng M
2
có khối lượng m
2

có điểm treo M
1
với
lượng m
1
chuyển động không ma sat trên một đường thẳng nằm ngang chiều
dài con lắc là l
Hệ chuyển động bởi các phương
trình liên kết sau:
1 1 2
2 2 2
2 1 2
0, 0, 0
( ) 0
y z z
x x y l
= = =
− + − −
Hệ có số bậc tự do là: s = 3N – k =
3.2 – 4 = 2 nên có hai tọa độ suy rộng
1 1 2
,q x x q
ϕ
= = =
Khi đó ta có mối liên hệ giữa các
tạo độ:
2 2
sin , osx x l y lc
ϕ ϕ
= + =

.
Thay chúng vào các phương trình liên kết trên ta được các đồng nhất
thức.
Nhận xét: Với một bài toán nhất định có nhiều cách chọn tọa độ suy rộng
khác nhau, thông thường tính chất đối xứng của một bài toán cho phéo chọn
được một hẹ tọa độ suy rộng thích hợp nhất. Ví dụ bài toán có tính đối xứng
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 5
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
cầu ta chon hệ tọa độ suy rộng là tọa độ cầu là thích hợp nhất còn nếu bài toán
có tính đối xứng trụ thì chọn tọa độ trụ.
II. Nguyên lý Hamilton
1. Nguyên lý Hamilton
Trước tiên ta nhắc lại các nguyên lý đối xứng hình học. Đó là :
- Nguyên lý về tính đồng nhất của không gian
- Nguyên lý về tính đồng nhất của thời gian
- Nguyên lý về tính đẳng hướng của không gian.
- Nguyên lý về tương đối ( Các quy luật cơ bản của vật lý học diễn ra
không phụ thuộc các hệ quy chiếu quán tính )
Các nguyên lý đối xứng hình học đó chưa đủ để xác định phương trình
chuyển động cơ bản. Người ta thấy rằng cần đề ra một nguyên lý khác, một
phần mang tính chất toán học rõ nét một phần dựa vào một số kinh nghiệm
của sự phát triển vật lý nguyên lý này gọi là nguyên lý hamilton hay nguyên lý
tác dụng dừng hamilton hay nguyên ly biến phân hamiltonvà có nội dung như
sau:
Đối với mỗi cơ hệ hôlônôm đều có thể được đặc trưng bởi một một hàm
L nào đó có dạng:
( , , ) ( , , )
i i

L L q q t L q q t
= ≡
& &
gọi là hàm Lagrange của cơ hệ, các đối số
số của hàm là thời gian t, các tọa độ suy rộng và các đạo hàm của chúng theo
thời gian
/ , 1,
i i
q dq dt i s≡ =
&
hàm này xác định mọi đặc tính của cơ hệ
hôlônôm.
Để viết được phương trình Lagrange xác định mọi đặc tính của cơ hệ ta
bổ sung một số kiến thức cơ bản về phép tính biến phân :
Cho hàm số
( )y y x=
ta xét tích phân :
[ ]
( , , ) ( )
b
a
I F y y x dx I y x
′
≡ =
∫
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 6
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Trong đó F là một hàm nào đó của (x,y) và y’ = dy/dx. Tích phân I phụ

thuộc vào hàm y(x) và gọi là một phiến hàm.
Ta xác định dạng của hàm y(x) sao cho phiếm hàm I có giá trị dừng.
Muốn thế ta xét những hàm :
( ) ( ) ( )Y x y x y x
δ
≡ +
với
( ) ( )y x y x
δ
=
và có giá trị tùy ý.
Lượng
( )y x
δ
gọi là biến phân của hàm y(x).
Để ý :
( ) ( ) ( )y x Y x y x
d d d dY dy
y Y y
dx dx dx dx dx
δ
δ
= −
⇒ = − = −
Nhưng vì vế phải là biến phân của dy/dx, theo định nghĩa của biến phân
nên ta có :
d dy
y
dx dx
δ δ

=
Bây giờ ta xét hiệu số :
[ ]
( , , ) ( , , )
δ δ δ
′ ′ ′
≡ + + −
∫
b
a
I F y y y y x F y y x dx
Nếu hàm y(x) cần tìm , tức là phiếm hàm I có giá trị dừng thì
δ
I
phải
bằng không, khai triển lượng trong dấu ngoặc của
δ
I
đến bậc nhất của
δ
y
và
y
δ
′
( Định nghĩa vi phân hàm F và để ý
0x
δ
=
), ta được :

( ) 0
b
a
F F
I y y dx
y y
δ δ δ
∂ ∂
′
≡ + =
′
∂ ∂
∫
Mặt khác, theo định nghĩa biến phân
d dy
y
dx dx
δ δ
=
ta có :
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 7
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
0
b
a
b
a
b

a
b b
a a
F F dy
I y dx
y y dx
F F d
y y dx
y y dx
F d F d F
y y y dx
y dx y dx y
F d F d F
ydx y dx
y dx y dx y
δ δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ
 
∂ ∂
= +
 ÷
′
∂ ∂
 
 
∂ ∂
= +
 ÷

′
∂ ∂
 
 
   
∂ ∂ ∂
= + −
 
 ÷  ÷
′ ′
∂ ∂ ∂
   
 
   
∂ ∂ ∂
= − + =
 ÷  ÷
′ ′
∂ ∂ ∂
   
∫
∫
∫
∫ ∫
Hay
0
b
b
a
a

F d F F
I ydx y
y dx y y
δ δ δ
 
∂ ∂ ∂
= − + =
 ÷
′ ′
∂ ∂ ∂
 
∫
Bây giờ chúng ta đưa ra giả thiết bổ sung :
( ) ( )y a y b
δ δ
=
Nghĩa là xem biến phân
y
δ
triệt tiêu tại các cận của tích phân, ta suy
được :
0
b
a
F d F
ydx
y dx y
δ
 
∂ ∂

− =
 ÷
′
∂ ∂
 
∫
Mặt khác theo tính chất tùy ý của
y
δ
, từ phương trình trên ta tu được :
0
F d F
y dx y
∂ ∂
− =
′
∂ ∂
gọi là phương trình Eurle – Lagrange, dùng để xác định hàm y(x) sao cho
phiếm hàm I có giá trị dừng
Bây giờ đối với một cơ hệ vật lý xét tại hai thời điểm t
1
, t
2
bất kỳ có vị trí
xác định lần lượt là q
i
(t
1
) và q
i

(t
2
) , i = 1,…,s. Theo nguyên lý Hamilton
chuyển động của cơ hệ từ thời điểm t
1
đến t
2
chỉ xảy ra sao cho tích phân xác
định
2
1
t
t
S Ldt=
∫
có giá trị dừng, tức là
0S
δ
=

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 8
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Lượng S gọi là hàm tác dụng của cơ hệ.
Theo phép tính biến phân đã trình bày ở trên ta sẽ thu được hệ s phương
trình Lagrange sau :
0 , 1,2, ,
i i
d L L

i s
dt q q
∂ ∂
− = =
∂ ∂
&
trong đó các giá trị
1 2
( ), ( )
i i
q t q t
δ δ
được giả thiết bằng không
1 2
( ) ( ) 0 , 1,2, ,
i i
q t q t i s
δ δ
= = =
Nguyên lý biến phân Haminlton đúng cho mọi hệ tọa độ suy rộng: các
phương trình Lagrange trên sẽ không thay đổi dạng khi chúng ta chuyển từ hệ
tọa độ suy rộng này sang hệ tọa độ suy rộng khác.
2. Hàm Lagrange
Theo nguyên lý biến phân Haminlton, hàm Lagrange xác định mọi đặc
tính của cơ hệ. Và việc tìm dạng của nó, thông thường dùng các nguyên lý đối
xứng hình học, các tính chất của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đối
vớicác cơ hệ vật lý cụ thể. Trước hết ta trình bày hai tính chất của hàm
Lagrange :
1. Hàm Lagrange không được xác định duy nhất, mà có thể sai khác
nhau một đạo hàm toàn phần theo thời gian của một hàm tùy ý

của q và t.
( , )
d
L L f q t
dt
∗
= +
2. Hàm Lagrange có tính chất cộng được : Hàm Lagrange của cơ hệ
gồm các thành phần không tương tác bằng tổng tất cả các hàm
Lagrange của các thành phần đó.
1 2

N
L L L L= + + +
Ta tìm hàm Lagrange của từng cơ hệ sau :
+ Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm không tương tác với nhau
+ Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm tương tác với nhau.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 9
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
1. Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm không tương
tác với nhau :
Trước hết, xét chất điểm chuyển động tự do đối với hệ qui chiếu quán
tính K. Chất điểm chuyển động tự do là chất điểm cô lập; hệ qui chiếu quán
tính nên không gian là đồng nhất và đẳng hướng, thời gian là đồng nhất.
+ Tính đồng nhất không gian qui định hàm Lagrange sẽ không thay đổi
khi tịnh tiến trong không gian. Có nghĩa là hàm Lagrange của chất điểm sẽ
không phụ thuộc vào bán kính vectơ
r

r
xác định vị trí chất điểm.
+ Tính đồng nhất của thời gian qui định hàm Lagrange của chất điểm sẽ
không phụ thuộc tường minh vào thời gian
( / 0)L t∂ ∂ =
.
+ Tính đẳng hướng của không gian qui định hàm cần tìm không phụ
thuộc vào phương của vận tốc. Hàm Lagrange bây giờ chỉ phụ thuộc độ lớn
vận tốc chất điểm, nghĩa là phụ thuộc vào v
2
:
2
( )L L v=
.
Để tìm dạng cụ thể của hàm Lagrange L ta dùng nguyên lý tương đối
Galileo. Nếu hệ qui chiếu quán tính K
/
chuyển động đối với hệ qui chiếu quán
tính K với vận tốc
V const=
uuuuur
r
thì theo định lí cộng vận tốc ta có :
v v V hay v v V
′ ′
= + = −
r r
r r r r
Vì phương trình chuyển động có dạng không phụ thuộc vào các hệ qui
chiếu quán tính nên hàm

2
( )L L v=
chuyển đến hệ
2
( )L L v
′ ′
=
. hàm này có
cùng dạng và chỉ khác hàm
2
( )L L v=
một đạo hàm toàn phần theo thời gian
của một hàm
( , )f r t
r
bất kỳ nào đó, nghĩa là :
2 2
( ) ( ) ( , )
d
L v L v f r t
dt
′
= +
r
Chú ý rằng :
2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( 2 )
d
v v V v vV V v V t rV
dt

′
= − = − + = + −
r r r
r r r
Ta được :
2 2 2
, , ( , ) ( 2 )L av L av f r t a V t rV
′ ′
= = = −
r
r r
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 10
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Trong đó a = const không phụ thuộc vào hệ qui chiếu quán tính K và K’
và hoàn toàn đặc trưng cho chất điểm chuyển động. Ta đặt a = m / 2 và gọi m
là khối lượng của chất điểm, ta có:
2
1
2
L mv=
Đại lượng
2
1
2
mv
gọi là động năng của chất điểm. Như vậy hàm
Lagrange của chất điểm cô lập bằng động năng T của nó.
Đối với cơ hệ cô lập gồm N chất điểm không tương tác với nhau, theo

tính chất cộng được của hàm Lagrange thì Hàm Lagrange của hệ có dạng:
2
1
1
2
N
i i
i
L mv
=
=
∑
Đại lượng
2
1
1
2
N
i i
i
T m v
=
=
∑
gọi là tổng động năng của hệ.
2. Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm tương tác với
nhau:
Trong trường hợp này hàm Lagrange ngoài động năng của hệ cần thêm
vào một hàm nào đó đặc trưng cho tương tác giữa các chất điểm, chúng ta kí
hiệu hàm này bằng – U và U gọi là thế năng tương tác giữa các chất điểm. Đối

với hệ cô lập :
+ Tính đồng nhất thời gian qui định hàm Lagrange của hệ sẽ không phụ
thuộc tường minh vào thời gian. Do vậy hàm U không phụ thuộc tường minh
vào t.
+ Tính đồng nhất không gian qui định hàm Lagrange sẽ không thay đổi
khi tịnh tiến toàn bộ hệ một véctơ
r
δ
r
tùy ý. Khi đó các bán kính vectơ xác
định vị trí các chất điểm M
i
và M
k
của cơ hệ sẽ biến đổi như sau :
,
i i k k
r r r r r r
δ δ
′ ′
= + = +
r r r r r r
i k i k
r r r r r const
δ
′ ′
− = − = =
uuuuur
r r r r r
Thế năng U chỉ phụ thuộc vào hiệu

( )
i k
r r−
r r
.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 11
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
+ Tính đẳng hướng của không gian qui định hàm cần tìm không phụ
thuộc vào chiều của
( )
i k
r r−
r r
nên thế năng U phụ thuộc vào độ lớn
i k
r r−
r r
Vậy hàm Lagrange của cơ hệ cô lập có N chất điểm tương tác với nhau
cóa dạng:
2
1
1
( , , )
2
N
i i i
i
L mv U r r

=
= − −
∑
r r
Dạng cụ thể của thế năng trong từng trường hợp khác nhau đượcmlấy từ
thực nghiệm hay các lý thuyết vật lý khác.
Khi thay U bởi U + C trong đó C là hằng số tùy ý thì phương trình
Lagrange vẫn không thay đổi. Vì vậy thế năng U được xác định với độ chính
xác một hằng số cộng tùy ý. Hằng số C thườngđược chọn để U = 0 khi hai
chất điểm ở xa vô cùng.
Phương trình lagrange viết được :
0 , 1,2, ,
i i
d L L
i s
dt v r
∂ ∂
− = =
∂ ∂
r r
với
2
1
1
( , , )
2
N
i i i
i
L mv U r r

=
= − −
∑
r r
Nên ta được phương trình chuyển động:
i
i i
dv
m F
dt
=
r
uur
với
i
i
U
F
r
∂
= −
∂
uur
r
là lực thế tác dụng lên chất
điểm M
i
. Các phương trình
i
i i

dv
m F
dt
=
r
uur
là các phương trình của định luật II
Niutơn.
Từ
1
0
i
r
N
i i i i i
i
i
U
F U F r U Fdr
r
=
∂
= − ⇒ ∂ = − ∂ ⇒ = −
∂
∑
∫
r
uur uur uur
r r
r

, thế năng có thể được xác
định nhờ và lực thế tác dụng trên.
Trường hợp hệ hạt tự do U = 0 ,
0 0
i
i i i
dv
F hay m hay v const
dt
= = =
r
uuuuur
r
r
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 12
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Đó chính là biểu thức của định luật quán tính của Niutơn.
B. Bài tập
Bài tập 1:
Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng khuyên tròn bán
kính r trong khi vòng khuyên tròn quay đều quynh đường kính thẳng đứng AB
của nó với vận tốc góc
ω
. Tìm hàm Lagrange và phương trình vi phân mô tả
chuyển động của M. Tìm mômen lực cần thiết giữ cho vận tốc góc không đổi.
Lời giải :
Chuyển động của chất điểm M có thể mô tả bằng một tọa độ suy rộng
ϕ

(Hình bên). Như vậy M tham gia hai chuyển động, chuyển động quay theo
trục thẳng đứng với vận tốc góc
ω
và chuyển động tròn trong vòng khuyên
với gia tốc góc
/d dt
ϕ ϕ
=
&
.(
( , )OM AB
ϕ
=
uuuur uuur
)
Động năng của M:
2 2
1 2
2 2
2 2
( ) ( sin )
2 2
m m
T v v
m m
r r
ϕ ω ϕ
= +
= +
&

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 13
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Chọn B làm gốc thế năng, thế năng của M là:
( cos )U r r mg
ϕ
= −
.
Hàm Lagrange của M:
2 2
( ) ( sin ) ( cos )
2 2
L T U
m m
r r r r mg
ϕ ω ϕ ϕ
= −
= + − −
&
Ta có phương trình Lagrange:
( )
2 2 2
2 2 2
2
0
( ) sin .cos .sin 0
sin .cos .sin 0
( cos ).sin 0
d L L

dt
d
mr mr mgr
dt
mr mr mgr
g
r
ϕ ϕ
ϕ ω ϕ ϕ ϕ
ϕ ω ϕ ϕ ϕ
ϕ ω ϕ ϕ
××
××
∂ ∂
− =
∂ ∂
⇔ − − =
⇔ − + =
⇔ + − =
&
&
Đây là phương trình vi phân hạng hai, nghiệm
( )t
ϕ
mô tả chuyển động
của M.
Chuyển động của M so với vành khuyên là chuyển động tương đối (vành
khuyên quay quanh trục AB), lực Criôlit tác dụng lên M với gia tốc
2 . , 2 .
c t c

W v W r cos
ω ω ϕ ϕ
 
= =
 
uur ur ur
&
, Lực
c
mW
uur
tác dụng lên M theo phương vuông
góc với mặt phẳng hình vẽ và có chiều tùy thuộc vào chiều chuyển động của
M trong vành khuyên ( ở đây có chiều từ ngoài vào).
Như thế vận tốc góc
ω
sẽ thay đổi. Muốn tần số này không đổi ta cần đặt
vào M một mômen có hướng ngược với hướng gia tốc Criôlit và có độ lớn
2 2
. sin 2 . sin .sin 2
c
M mW r m r cos m r
ϕ ω ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ
= = =
& &
Hay
. sin
c
M mW r
ϕ

= −
uur uur
thay đổi theo
ϕ
theo thời gian.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 14
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Bài tập 2:
Con lắc gồm một chất điểm khối lượng m được treo trên đầu dây có độ
dài thay đổi theo thời gian theo qui luật l = l (t). Xác định hàm Lagrange và
phương trình vi phân mô tả chuyển động của con lắc.
Lời giải :
Chuyển động của con lắc được mô tả bởi hai toa độ suy rộng là độ dài
của dây và góc lệch
ϕ
( Hình dưới ). Con lắc m thực hiện hai chuyển động :
+ Chuyển động theo phương của sợi dây khi độ dài dây thay đổi với vận
tốc
v l
′
=
&
+ Chuyển động dao động theo góc
ϕ
với vận tốc
.v l
ϕ
=

&
* Động năng T của con lắc bằng :
2 2 2
1
( )
2
T m l l
ϕ
= =
&
&
* Ta tìm thế năng U:
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.
Để tìm thế năng năng của con lắc ta xét trên một đoạn dịch chuyển
ds
r
(hình dưới). Thế năng do trọng lực gây ra được xác định theo công thức:
dU Pds− =
r
r
. Tích vô hướng và
chiếu lên các trục tọa độ ta được:
( )
( sin )
dU Pdy
Pd lcos
P cos dl l d
ϕ
ϕ ϕ ϕ
− = −

= −
= − −
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 15
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Hàm Lagrange cần tìm:
2 2 2
1
( )
2
L m l l mglcos
ϕ ϕ
= + +
&
&
Ta có các phương trình Lagrange:
2

2
0
( ) ( )
0
d L L
dt l l
d
ml m l mgcos
dt
ml m l mgcos
ϕ ϕ

ϕ ϕ
∂ ∂
− =
∂ ∂
⇔ − +
= − − =
&
&
&
&
(1)
2

2
0
( ) ( sin ) (2)
sin 0
d L L
dt
d
ml mgl
dt
ml mgl
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂
− =
∂ ∂
⇔ − −

= − =
&
&
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Lagrange :

2

2

2

0
sin 0
0
sin 0
ml m l mgcos
ml mgl
l l gcos
l g
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ

− − =



− =



− − =

⇔


− =

&
&

Bài tập 3:
Một vật P có khối lượng m
1
nối với một ròng rọc B có khối lượng m
2
có
bán kính r, được đặt lên trên một chiếc nêm có khối lượng m
3
( như hình vẽ ).
Vật B chuyển động kéo ròng rọc lăn trên mặt phẳng nghiêng của nêm. Sử
dụng cơ học gải tích, hãy xác định quảng đường đi của vật P trong hai trường
hợp chiếc nêm đứng yên và chiếc nêm chuyển động. Biết vận tốc ban đầu
bẳng 0, vị trí ban đầu cảu vật là x
0
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 16
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Lời giải: a, Khi chiếc nêm đứng yên

Chiếc nêm đứng yên hệ chỉ có 1 bậc tự do, gọi x là quảng đường đi của
vật P, ở đây tọa độ suy rộng của hệ cũng chính là q
1
= x. Hàm lagrange của hệ
là:
L = T –U với T là động năng, U là thế năng của hệ.
Ta có :

1
2 2 2
1 2
1
2
1 1
2 2
sin .
T m x m v J
U m gx m g x
ω
α
= + +
− = +
&
&
Trong đó :
2 2x v r
ω
= =
&
.

Khi đó hàm lagrange.
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 1 1 1 1
sin . sin .
2 2 2 2 8
L T U m x m v J m gx m g x m x m x m gx m g x
ω α α
= − = + + + − = + + −
& & &&
Các phương trình Lgrange :
( )
1 2 1 2
1
0 sin 0
4
d L L d
m x m x m g m g
dt x x dt
α
∂ ∂
 
− = ⇔ + − − =
 ÷
∂ ∂
 
&& &&
&
( )
1 2 1 2

1
sin
4
d
m x m x m g m g
dt
α
 
⇔ + = −
 ÷
 
&& &&
Lấy tích phân hai vế ta được :
( )
1 2 1 2 0
1
sin
4
m m x m g m g t x
α
 
+ = − +
 ÷
 
&

Lấy tích phân lần thứ 2 ta lại có :
( )
2
1 2 1 2 0 0

1
sin
4
m m x m g m g t x t x
α
 
+ = − + +
 ÷
 
&
Với điều kiện ban đầu của ban toán
0
0 0 0
,
t
x x v x x= = =
&
nên ta có quảng
đường vật đi được trong thời gan t là :
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 17
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
( )
2
1 2
0
1 2
sin
1

4
m g m g
x t x
m m
α
−
= +
 
+
 ÷
 
.
b, Khi chiếc nêm chuyển động :
Hệ sẽ có hai bậc tự do, gọi s là quảng đường đi cảu chiếc nêm, đồng thời
s cũng là tọa độ suy rông thứ hai q
2
= s. Nên ta có
( )
2 2 2 2
3 1 2
1 1 1 1
3 2 2 2
T m s m x s m v J
ω
= + + + +
& & &
1 2 2
, ,
2
x

v v v v s v= + = =
&
r r r
&
Thay vào phương trình Lagrange và tương tự cách làm như trên lấy tích
phân 2 lần ta được:
2
0 0
1
2
x kt x t x= + +

Với
( )
1
2
2
1 2 1 2
1 2 3
3 os
sin
8 4 4
m c
k m g m g m m
gm m m
α
α
−
 
= + + −

 ÷
+ +
 
Vậy ta đa tính được quảng đường đi của vật trong hai trường hợp.
Nhận xet: bài toán này chúng ta đã gặp trong cơ học Newton nhưng nếu
sử dụng hàm Lagrange thì ta dễ dàng thu được kết quả.
Bài tập 4
Hai vật A, B có khối lượng m
A
, m
B
được nối với nhau bằng một sợi dây
không giãn không khối lượng vắt qua ròng rọc E, khối lượng ròng rọc là m
E
bán kính r. Các vật A, B, E buộc vào một đầu của lò xo độ cứng k ( như hình
vẻ )
Giả sử m
A
> m
B
ở thời điểm đứng yên ở trạng thái không giãn của lò xo.
Xác định gia tốc của các vật A, B.
Lời gải:
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 18
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Hệ có hai bậc tự do, cho tạo độ suy rộng là x, y là quảng đường đi của
các vật A, B và độ giãn của lò xo làm tọa độ suy rộng.
Ta có hàm Lagrange là: L = T –U với T là động năng, U là thế năng của

hệ.
Với:
1
2 2 2
1 2
1
2
1 1
2 2
sin .
T m x m v J
U m gx m g x
ω
α
= + +
− = +
&
&
Trong đó :
2 2x v r
ω
= =
&
.
Khi đó thay vào hàm Lagrange ta nhận được.
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 1 1 1 1
sin . sin .
2 2 2 2 8

L T U m x m v J m gx m g x m x m x m gx m g x
ω α α
= − = + + + − = + + −
& & &&
Thay L vào các phương trình Lagrange ta có:
0, 0
d L L d L L
dt x x dt y y
∂ ∂ ∂ ∂
− = − =
∂ ∂ ∂ ∂
& &
.
Ta được:
( ) ( )
( ) ( )
1
2
A B B A B
A B
m y x m x y m x P P
m y x m x y my ky
− + + + = −
⇔ − + + + =
&& && && && &&
&& && && && &&

Giải hệ ta được:
y y a
α

+ =
&&
, với:
( )
( ) ( ) ( )
2
1,5
1,5
A B
A B A B A B
k m m
m m m m m m m
α
+
=
+ + + −
Nếu ở thời điểm đầu :
0 0
0, 0,t x x= =
&
.
Khi đó.
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1 os ; os . 1,5 .)
A B B A A B
a
y c t x P P m m ac t m g m g
α α

α
−
= − = − − − + 
 
&&
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 19
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
( ) ( ) ( )
1
2
1,5 1
A B A B A B
a g m m m m m m m
−
 
⇒ = + + + − −
 
đây chính là gia
tốc của hai vật A, B.
Bài 5: Cho hình trụ đồng chất có khối lượng P, có bán kính R lăn không
trượt trên mặt phẳng ngang 0x, thanh AB có độ dài l, trọng lượng P, được nối
với tâm trụ bằng ổ bi ( như hình vẽ ). Khi AB dao động quanh tâm A của hình
trụ với các góc nhỏ
ϕ
thay đổi theo thời gian, trong mặt phẳng thẳng đứng cố
định xoy làm cho hình trụ lăn quanh vị trí cân bằng O bỏ qua các lực ma sat.
Tìm góc
ϕ

và tọa độ biểu diễn theo t. Ở thời điểm đầu t = 0,
ϕ
=
ϕ
0
, x
A
= 0.
Lời gải:
Hệ có hai bậc tự do chọn x,
ϕ
làm các tọa độ suy rộng hàm Lagrange
L = T = U với động năng và thế năng là:
( )
2 2 2 2 2
1 2
1
2 2 2 2
0
1 1 1 1
2 2 2 24
1
, ,
2
3 1 1
os
4 2 3
1
os os .
2

A A c
A
P
T v J Pv pt
g g g
x
v x v x
R
T Px P x l xc l
g g
U pl c c
ω ω
ω ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
= + + +
 
= = = +
 
 
 
= + + +
 ÷
 
− = =
r r ur
&
&
& &
&

& & &
Ta biết rằng khi góc lệch
ϕ
là nhỏ thì sin
ϕ
≈
ϕ
;
sin ; 0x
ϕ ϕ ϕ ϕ
≈ ≈
&
&
, khi đó
thay vào các phương trình Lagrange :
0, 0
d L L d L L
dt x x dt
ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂
− = − =
∂ ∂ ∂ ∂
&
&
Ta được các phương trình sau:
( )
0
3 2
2
0

3
P p x pl
x l g
ϕ
ϕ ϕ
+ +
+ + =
&
&&
&
&&
Giải hệ phương trình này bằng bằng cách lấy tích phân ta nhận được,
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 20
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
( )
( )
( )
0
0
3 3 2
cos ,
6
cos
3 2
P p g
kt k
l P p
P

x lp l kt
P p
ϕ ϕ
+
= =
+
= −
+
Đây là hai tọa độ cần tìm.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 21
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 22
Đào Văn Thoại