Bất đẳng thức cơ bản ôn thi đại học

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
4
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)
2
£ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh: +£
sinxcosx2

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
³
725
47
.

5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
³
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
³ 2.
7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh:
+³
22
1
ab
2


Lời giải:

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
++
æö
³
ç÷
èø

3
33
abab
22
(*)
(*) Û
++
æö
-³
ç÷
èø
3
33
abab
0
22
Û
()( )
+-³
2
3
abab0
8
. ĐPCM.
2. Chứng minh:
++
£
22
abab
22

(«)
÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng.
÷ a + b > 0 , («) Û
+++
-£
2222
ab2abab
0
42
Û
()
-
³
2
ab
0
4
, đúng.
Vậy:
++
£
22
abab
22
.
3. Cho a + b ³ 0 chứng minh:
++
³
33
3

abab
22
Û
()
++
£
3
33
abab
82

Û
( )
(
)
£
22
3baab0
Û
()( )
+£
2
3baab0
, ĐPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+
ab
ab
ba
(«)
(«) Û +³+

aabbabba
Û
()()
³
abaabb0

Û
()
(
)
³
abab0
Û
( )( )
-+³
2
abab0
, ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: +³
+
++
22
112
1ab
1a1b
(«)
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
++
æö
³
ç÷
èø
3
33
abab
22

2. Chứng minh:
++
£
22
abab
22

3. Cho a + b ³ 0 chứng minh:
++
³
33
3
abab
22

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+
ab
ab

ba

5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: +³
+
++
22
112
1ab
1a1b

6. Chứng minh:
( )
+++³++
222
abc32abc
; a , b , c Î R
7. Chứng minh:
( )
++++³+++
22222
abcdeabcde

8. Chứng minh: ++³++
222
xyzxyyzzx

9. a. Chứng minh:
++++
³³
abcabbcca

;a,b,c0
33

b. Chứng minh:
++++
æö
³
ç÷
èø
2
222
abcabc
33

10. Chứng minh: ++³-+
2
22
a
bcabac2bc
4

11. Chứng minh:
++³++
22
ab1abab

12. Chứng minh: ++³-+
222
xyz2xy2xz2yz

13. Chứng minh:
+++³-++
4422
xyz12xy(xyxz1)

14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì:
+³
33
1
ab
4

15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca £ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c

2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0





Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
2
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh:
+++³³
(ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0

2. Chứng minh:
++++³³
222
(abc)(abc)9abc;a,b,c0

3. Chứng minh:
( )( )( )

( )
+++³+
3
3
1a1b1c1abc
với a , b , c ³ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
æöæö
+++³
ç÷ç÷
èøèø
mm
m1
ab
112
ba
, với m Î Z
+

5. Chứng minh:
++³++³
bccaab
abc;a,b,c0
abc

6. Chứng minh:
+
³-³
69

23
xy
3xy16;x,y0
4

7. Chứng minh:
+³-
+
42
2
1
2a3a1
1a
.
8. Chứng minh:
( )
>-
1995
a1995a1
, a > 0
9. Chứng minh:
(
)
(
)
(
)
+++++³
222222
a1bb1cc1a6abc

.
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
æö
++£++
ç÷
èø
+++
222222
abc1111
2abc
abbcac

11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh:
³-+-
abab1ba1
.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( )( )
³
3
a3abbcc
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ³ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc
c)
æöæöæö
+++³
ç÷ç÷ç÷

èøèøèø
111
11164
abc

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+³
-
1
x3
xyy

16. Chứng minh:
a)
+
³
+
2
2
x2
2
x1
,"x Î R b)
+
³
-
x8
6
x1

, "x > 1 c)
+
³
+
2
2
a5
4
a1

17. Chứng minh:
++
++£>
+++
abbccaabc
;a,b,c0
abbcca2

18. Chứng minh:
+£
++
22
44
xy1
4
116x116y
, "x , y Î R
19. Chứng minh:
++³
+++

abc3
bcacab2
; a , b , c > 0
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
3
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
++£
++++++
333333
1111
abc
ababcbcabccaabc

21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. +++³
4
abcd4abcd
với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số)
b. ++³
3
abc3abc
với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số )
22. Chứng minh: ++³++
333222
abcabcbaccab
; a , b , c > 0
23. Chứng minh: ++³
39
4
2a3b4c9abc

24. Cho =+
x18
y
2x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
=+>
-
x2
y,x1
2x1
. Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
=+>-
+
3x1
y,x1
2x1
. Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
=+>
-
x51
y,x
32x12
. Định x để y đạt GTNN.
28. Cho =+
-
x5

y
1xx
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
+
=
3
2
x1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
++
=
2
x4x4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của =+
2
3
2
f(x)x
x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £

5
2
. Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
-££
5
x5
2
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
-
1
2
£ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho =
+
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
38. Cho
( )
=
+
2
3

2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
8
7. Chứng minh:
+³-
+
42
2
1
2a3a1
1a
(«)
(«) Û ++++³
+
4422
2
1
aaa14a
1a
.
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: +
+
442
2
1

a,a,a1,
1a


( )
++++³+=
++
4424422
4
22
11
aaa14aaa14a
1a1a

8. Chứng minh:
( )
>-
1995
a1995a1
(«) , a > 0
(«) Û >-Û+>
19951995
a1995a1995a19951995a



+>+=++++³=
14243
1995
1995199519951995

1994soá
a1995a1994a11 11995a1995a

9. Chứng minh:
(
)
(
)
(
)
+++++³
222222
a1bb1cc1a6abc
.
°
(
)
(
)
(
)
+++++=+++++
222222222222222
a1bb1cc1aaabbbccca

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
° +++++³=
6
222222222666
aabbbccca6abc6abc

10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
æö
++£++
ç÷
èø
+++
222222
abc1111
2abc
abbcac

° £=
+
22
aa1
2ab2b
ab
, £=
+
22
bb1
2bc2c
bc
, £=
+
22
cc1
2ac2a
ac

° Vậy:
æö
++£++
ç÷
èø
+++
222222
abc1111
2abc
abbcac

11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh:
³-+-
abab1ba1
.
°
( ) ( )
=-+³-=-+³-
aa112a1,bb112b1

°
³-³-
ab2ba1,ab2ab1

°
³-+-
abab1ba1

12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

°
(
)
(
)
=-+=-+++-
xx11x1xyz3


( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
=-+-+-+-³
2
4
x1x1y1z14x1y1z1

Tương tự:
( )
( )
( )
³
2
4
y4x1y1z1
;
( )

( )
( )
³
2
4
z4x1y1z1

Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( )( )
³
3
a3abbcc
.
°
( ) ( ) ( )( )
=-+-+³
3
aabbcc3abbcc

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
5
Û
+ ³
++
++
22
1111
0
1ab1ab

1a1b
Û
( )
( )
( )
( )

+³
++++
22
22
abaabb
0
1a1ab1b1ab

Û
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )

+³
++++
22
ababab
0

1a1ab1b1ab
Û
-
æö
-³
ç÷
+
++
èø
22
baab
0
1ab
1a1b

Û
( )( )
æö
-+
³
ç÷
ç÷
+
++
èø
22
22
baaabbba
0
1ab

1a1b
Û
( )( )
( )
( )( )

³
+++
2
22
baab1
0
1ab1a1b
, ĐPCM.
÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0.
6. Chứng minh:
( )
+++³++
222
abc32abc
; a , b , c Î R
Û
( ) ( ) ( )
-+-+-³
222
a1b1c10
. ĐPCM.
7. Chứng minh:
( )
++++³+++

22222
abcdeabcde

Û
-++-++-++-+³
2222
2222
aaaa
abbaccaddaee0
4444

Û
æöæöæöæö
-+-+-+-³
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
2222
aaaa
bcde0
2222
. ĐPCM
8. Chứng minh: ++³++
222
xyzxyyzzx

Û
++ ³
222
2x2y2z2xy2yz2zx0

Û
( )
( )
( )
-+-+-³
22
2
xyxzyz0

9. a. Chứng minh:
++++
³³
abcabbcca
;a,b,c0
33

÷ ++³++
222
abcabbcca

÷
+++++++++
æö
=³
ç÷
èø
2
222
abcabc2ab2bc2caabbcca
393

Û
++++
³
abcabbcca
33

b. Chứng minh:
++++
æö
³
ç÷
èø
2
222
abcabc
33

÷
(
)
(
)
++=+++++
222222222
3abcabc2abc


( )( )
³+++++=++

2
222
abc2abbccaabc

Þ
++++
æö
³
ç÷
èø
2
222
abcabc
33

10. Chứng minh: ++³-+
2
22
a
bcabac2bc
4

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
6
Û
( )
++-³
2
22
a

abcbc2bc0
4
Û
( )
æö
³
ç÷
èø
2
a
bc0
2
.
11. Chứng minh:
++³++
22
ab1abab

Û
++ ³
22
2a2b22ab2a2b0

Û
-+++++++³
2222
a2abba2a1b2b10

Û
( ) ( ) ( )

-+-+-³
222
aba1b10
.
12. Chứng minh: ++³-+
222
xyz2xy2xz2yz

Û
++-+-³
222
xyz2xy2xz2yz0
Û (x – y + z)
2
³ 0.
13. Chứng minh:
+++³-++
4422
xyz12x(xyxz1)

Û
+++-+ ³
442222
xyz12xy2x2xz2x0

Û
( )
( ) ( )
-+-+-³
2

22
22
xyxzx10
.
14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì:
+³
33
1
ab
4

° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3

Þ a
3
+ b
3
=
æö
-+³
ç÷
èø
2

111
3a
244
.
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca £ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
÷ ab + bc + ca £ a
2
+ b
2
+ c
2
Û (a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (b – c)
2

÷
>->->-
abc,bac,cab

Þ

>-+
222
ab2bcc
,
>-+
222
ba2acc
,
>-+
222
ca2abb

Þ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
÷
( )
>
2
22
aabc
Þ
( )( )
>+-+-
2

aacbabc

÷
( )
>
2
22
bbac
Þ
( )( )
>+-+-
2
bbcaabc

÷
( )
>
2
22
ccab
Þ
( )( )
>+-+-
2
cbcaacb

Þ
( )( )( )
>+-+-+-
222

222
abcabcacbbca

Û
(
)
(
)
(
)
>+-+-+-
abcabcacbbca

c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c

4
> 0
Û 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0
Û 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b

2
+ a
2
) – (a
2
+ b
2
)
2
– c
4
> 0
Û (2ab)
2
– [(a
2
+ b
2
) – c
2
]
2
> 0 Û [c
2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2

] > 0
Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
7
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh:
+++³³
(ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
Þ +³
ab2ab
, +³
bc2bc
, +³
ac2ac

Þ
( )( )( )
+++³=
222
abbcac8abc8abc
.
2. Chứng minh:
++++³³
222
(abc)(abc)9abc;a,b,c0

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
Þ ++³
3
abc3abc
, ++³
3
222222
abc3abc

Þ
( )
(
)
++++³=
3
222333
abcabc9abc9abc
.
3. Chứng minh:
( )( )( )
( )
+++³+
3
3
1a1b1c1abc
, với a , b , c ³ 0.
÷
(
)

(
)
(
)
+++=+++++++
1a1b1c1abcabacbcabc.

÷ ++³
3
abc3abc
, ++³
3
222
abacbc3abc

÷
( )( )( )
( )
+++³+++=+
3
3
222
33
1a1b1c13abc3abcabc1abc

4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
æöæö
+++³
ç÷ç÷

èøèø
mm
m1
ab
112
ba
, với m Î Z
+

÷
+
æöæöæöæöæö
+++³++=++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèø
³=
mmmmm
mm1
ababba
1121.122
babaab
242

5. Chứng minh:
++³++>
bccaab
abc;a,b,c0
abc

÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:

+³=
2
bccaabc
22c
abab
,
+³=
2
bcbabac
22b
acac
,

+³=
2
caababc
22a
bcbc

Þ
++³++
bccaab
abc
abc
.
6. Chứng minh:
+
³-³
69

23
xy
3xy16;x,y0
4
(«)
(«) Û ++³
6923
xy6412xy
Û
( )
( )
++³
3 3
23323
xy412xy

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:

()
()
++³=
33
2332323
xy43xy412xy
.
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
12
Du = xy ra
( )
=

ộ
-
=-=
ờ
=
ở
2
x3
x12
x14
x1(loaùi)
2x1

Vy: Khi x = 3 thỡ y t GTNN bng
5
2

26. Cho
=+>-
+
3x1
y,x1
2x1
. nh x y t GTNN.
ữ
+
=+-
+
3(x1)13
y

2x12

ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
(
)
+
+
3x11
,
2x1
:

( ) ( )
++
=+--=-
++
3x1133x1133
y2.6
2x122x122

Du = xy ra

( )
( )
ộ
=-
ờ
+
ờ
=+=

ờ
+
=
ờ
ở
2
6
x1
3x112
3
x1
2x13
6
x1(loaùi)
3

Vy: Khi
=-
6
x1
3
thỡ y t GTNN bng
-
3
6
2

27. Cho
=+>
-

x51
y,x
32x12
. nh x y t GTNN.
ữ
-
=++
-
2x151
y
62x13

ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
-
-
2x15
,
62x1
:

+
=+++=

2x1512x151301
y2.
62x1362x133

Du = xy ra

( )

ộ
+
=
ờ
-
ờ
=-=
ờ
-
-+
=
ờ
ở
2
301
x
2x15
2
2x130
62x1
301
x(loaùi)
2

Vy: Khi
+
=
301
x
2

thỡ y t GTNN bng
+
301
3

28. Cho =+
-
x5
y
1xx
, 0 < x < 1 . nh x y t GTNN.
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
9
14. Cho: a , b , c > 0 v a + b + c = 1. Chng minh:
a) b + c 16abc.

+
ổử

ỗữ
ốứ
2
bc
bc
2

( )
+-
ổửổử
Ê==-

ỗữỗữ
ốứốứ
22
2
bc1a
16abc16a16a4a1a
22


( )( )
(
)
( ) ( )
ộự
-= = Ê-=+
ởỷ
22
2
4a1a1a4a4a1a112a1abc

b) (1 a)(1 b)(1 c) 8abc
(1 a)(1 b)(1 c) = (b + c)(a + c)(a + b) =
2bc.2ac.2ab8abc

c)
ổửổửổử
+++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
111

11164
abc


+++
ổửổử
+=
ỗữỗữ
ốứốứ
4
2
1aabc4abc
1
aaa


+
4
2
14abc
1
bb

+
4
2
14abc
1
cc

ữ
ổửổửổử
+++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
111
11164
abc

15. Cho x > y > 0 . Chng minh:
( )
+
-
1
x3
xyy

ữ
( )
( )
( )
( )
-
=-++=

3
xyy
1
VTxyy33
xyyxyy

16. Chng minh:
a)
+

+
2
2
x2
2
x1

++
22
x22x1

+++
22
x112x1

b)
+
-
x8
x1
=
-+
=-+-=

x1999

x12x16
x1x1x1

c.
( ) ( )
+++=+
222
a1424a14a1

+

+
2
2
a5
4
a1

17. Chng minh:
++
++Ê>
+++
abbccaabc
;a,b,c0
abbcca2

Vỡ : +
ab2ab

ị Ê=

+
ababab
ab2
2ab
, Ê=
+
bcbcbc
bc2
2bc
, Ê=
+
acacac
ac2
2ac

++++
abcabbcca
, da vo: ++++
222
abcabbcca
.

++++
++ÊÊ
+++
abbccaabbcacabc
abbcca22

Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
10

18. Chng minh:
+Ê
++
22
44
xy1
4
116x116y
, "x , y ẻ R

( )
=Ê=
+
+
222
422
xxx1
8
116x2.4x
14x


( )
=Ê=
+
+
222
422
yyy1
8

116y2.4y
14y

ữ
+Ê
++
22
44
xy1
4
116x116y

19. Chng minh:
++
+++
abc3
bcacab2
; a , b , c > 0
t X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)

+-+-+-
===
YZXZXYXYZ
a,b,c
222

ộự
ổửổửổử
++=+++++-
ỗữỗữỗữ
ờỳ
+++ốứốứốứ
ởỷ
abc1YXZXZY
3
bcacab2XYXZYZ


[ ]
++-=
13
2223
22
.
Cỏch khỏc:

ổửổửổử
++=+++++-
ỗữỗữỗữ
++++++
ốứốứốứ
abcabc
1113
bcacabbcacab

( )( )( )
[ ]
ổử
=+++++++-
ỗữ
+++
ốứ
1111
abbcca3
2bcacab

ữ p dng bt ng thc Cụsi cho ba s khụng õm:

( ) ( ) ( )
[ ]
ổử
+++++++-=
ỗữ
+++
ốứ
111193
abbcca3
2bcacab22

20. Cho a , b , c > 0. C/m:
++Ê
++++++
333333
1111

abc
ababcbcabccaabc


( )
(
)
( )
+=+-++
3322
ababaabaabab

ị
( ) ( )
++++=++
33
ababcabababcababc
, tng t

( ) ( )
++++=++
33
bcabcbcbcabcbcabc


( ) ( )
++++=++
33
caabccacaabccaabc

ữ
( ) ( ) ( )
++
ổử
Ê++=
ỗữ
++++++++
ốứ
1111abc
VT
ababcbcabccaabcabcabc

Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
11
21. p dng BT Cụsi cho hai s chng minh:
a. +++
4
abcd4abcd
vi a , b , c , d 0 (Cụsi 4 s)
ữ ++
ab2ab,cd2cd

ữ
( )
(
)
+++
4
abcd2abcd22ab.cd4abcd

b. ++
3
abc3abc
vi a , b , c 0 , (Cụsi 3 s )
ữ
++++
+++
4
abcabc
abc4.abc
33


++++

4
abcabc
abc
33

++++
ổử

ỗữ
ốứ
4
abcabc
abc
33

++
ổử

ỗữ
ốứ
3
abc
abc
3
++
3
abc3abc
.
22. Chng minh: ++++
333222
abcabcbaccab
; a , b , c > 0
+
32
aabc2abc
, +
32
babc2bac
, +
32
cabc2cab


(

)
+++++
333222
abc3abc2abcbaccab

ị
(
)
(
)
++++
333222
2abc2abcbaccab
,
vỡ : ++
333
abc3abc

Vy: ++++
333222
abcabcbaccab

23. Chng minh: ++
39
4
2a3b4c9abc

ữ p dng bt ng thc Cụsi cho 9 s khụng õm:
=++++++++
3339

4444
VTaabbbcccc9abc

24. Cho =+
x18
y
2x
, x > 0. nh x y t GTNN.
ữ p dng BT Cụsi cho hai s khụng õm:
=+=
x18x18
y2.6
2x2x

Du = xy ra
===
2
x18
x36x6
2x
, chn x = 6.
Vy: Khi x = 6 thỡ y t GTNN bng 6
25. Cho
=+>
-
x2
y,x1
2x1
. nh x y t GTNN.
ữ

-
=++
-
x121
y
2x12

ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
-
-
x12
,
2x1
:


=+++=

x121x1215
y2.
2x122x122

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
16
°
( )
æö
-£++
ç÷
èø

22
2349
3a5b3a5b
35
35
Û 3a
2
+ 5b
2
³
735
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
³
2464
137
.
÷ -=-
35
3a5b7a11b
711

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -
35
,7a,,11b
711

:
°
( )
æö
-£++
ç÷
èø
22
35925
7a11b7a11b
711
711
Û 7a
2
+ 11b
2
³
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
³ 2.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°
( )
( )
=+£++

22
2ab11ab
Û a
2
+ b
2
³ 2
°
( )
( )
( )
£+£++
2244
2ab11ab
Û a
4
+ b
4
³ 2
7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh:
+³
22
1
ab
2

°
( )
( )
£+£++Û+³

222222
1
1ab11abab
2























Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
13
°

( )
-+
=+=++³+=+

x51x5xxx1x1x
f(x)55255255
1xx1xx1xx

Dấu “ = ‘ xảy ra Û

æö
=Û=Û=
ç÷

èø
2
x1xx55
55x
1xx1x4
(0 < x < 1)
° Vậy: GTNN của y là
+
255
khi
-
=
55
x
4

29. Cho
+
=
3
2
x1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
°
+
=+=++³=
3
3
22223
x11xx1xx13
x3
2222
4
xxxx

° Dấu “ = ‘ xảy ra Û ==
2
xx1
22
x
Û =
3
x2

.
° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi =
3
x2

30. Tìm GTNN của
++
=
2
x4x4
f(x)
x
, x > 0.
°
++
=++³+=
2
x4x444
x42x.48
xxx

° Dấu “ = ‘ xảy ra Û
=
4
x
x

Û x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của =+
2
3
2
f(x)x
x
, x > 0.
°
æö
æö
+=++++³=
ç÷
ç÷
èø
èø
3
2
2222
2
5
33335
2xxx11x15
x5
3333
27
xxxx

° Dấu “ = ‘ xảy ra Û =Û=

2
5
3
x1
x3
3
x
Û x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi =
5
x3
.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
° f(x) = –10x
2
+ 11x – 3 =
æöæö
= +£
ç÷ç÷
èøèø
2
2
11x1111
10x310x
10204040

° Dấu “ = “ xảy ra Û =
11
x
20

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
14
° Vậy: Khi =
11
x
20
thì y đạt GTLN bằng
1
40
.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6):
°
( ) ( )
=+-³-
6x6x2x6x
Þ x(6 – x) £ 9
° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN.
÷ y = (x + 3)(5 – 2x) =
1

2
(2x + 6)(5 – 2x)
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
æö
-££
ç÷
èø
5
3x
2
:
°
( ) ( ) ( )( )
=++-³+-
112x652x22x652x
Þ
1
2
(2x + 6)(5 – 2x) £
121
8

° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û
=-
1
x
4

° Vậy: Khi
=-

1
x
4
thì y đạt GTLN bằng
121
8
.
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
-££
5
x5
2
. Định x để y đạt GTLN.
÷ y = (2x + 5)(5 – x) =
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,
æö
-££
ç÷
èø
5
x5
2
:
°
( ) ( ) ( )( )
++-³+-
2x5102x22x5102x

Þ
1
2
(2x + 5)(10 – 2x) £
625
8

° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û
=
5
x
4

° Vậy: Khi
=
5
x
4
thì y đạt GTLN bằng
625
8

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
-
1
2
£ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN

÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
æö
-££
ç÷
èø
15
x
22
:
°
( ) ( ) ( )( )
++-³+-
2x152x22x152x
Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9
° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
15
° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
37. Cho =
+
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
° +³=
22
2x22x2x2
Û ³

+
2
1x
22
2x
Þ £
1
y
22

° Dấu “ = “ xảy ra Û =Þ
2
x2vàx>0x=2

° Vậy: Khi =
x2
thì y đạt GTLN bằng
1
22
.
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x2

. Định x để y đạt GTLN
° +=++³
3
222
x2x113x.1.1
Û
( )
( )
+³Þ£
+
2
3
22
3
2
x1
x227x
27
x2

° Dấu “ = “ xảy ra Û
=Û=±
2
x1x1

° Vậy: Khi
=±
x1
thì y đạt GTLN bằng
1

27
.

III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)
2
£ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) («) BĐT Bunhiacopxki
(«) Û ++£+++
222222222222
ab2abcdcdabadcbcd

Û
+-³
2222
adcb2abcd0
Û
( )
-³
2
adcb0
.

2. Chứng minh: +£
sinxcosx2

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
°
+=
sinxcosx
( )
( )
+£++=
2222
1.sinx1.cosx11sinxcosx2

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
3,3a,4,4b
:
°
( )
( )
+=+£++
22
3a4b3.3a4.4b343a4b
Û 3a
2
+ 4b

2
³ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
³
725
47
.
÷ -=-
23
2a3b3a5b
35

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -
23
,3a,,5b
35
:
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
20

++
++£
222
abc
xyz
2R
(a, b, c là các cạnh của DABC, R là

bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =
5
4
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +
41
x4y

37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất đẳng thức:
++
+³
2
acbb50
bd50b
và tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: S =
+
ac
bd
.
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các
cạnh BC, CA, AB và h

a
, h
b
, h
c
tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ
các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

æö
æö
++++³
ç÷
ç÷
èø
èøabc
111111
3
abchhh

39. (Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng:
+++++³
222
222
111
xyz82
xyz

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin

5
x +
3
cosx
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

-£
ì
ï
í
-
=
ï
î
4p(pa)bc(1)
ABC233
sinsinsin(2)
2228

trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =
++
abc
2
.
42. (Đại học khối A 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
++=
111
4

xyz
.
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
17
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: ++++³+
222222
xxyyxxz+zyyz+z

2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
³ x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A = x + y + z +
++
111
xyz

4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =
5
4

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: A = +
41
x4y
.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
+++
++++++++
abcd
abcbcdcdadab
< 2
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)
2
æö
++
ç÷
èø
2
12
1
x
x
³ 16.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:
++++++
++³
abcabcabc

9
abc

8. (CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x
2
+ x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
thì:
æö
++³++
ç÷
èø
abcabc
111abc
3
333333

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh:

++³
+++
222222
abc33
2
bccaab

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
18
Cho các số a, b, c thoả:
ì
++=
ï
í
++=
ï
î
222
abc2
abbcca1

Chứng minh:
-££-££-££
444444
a;b;c
333333

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

æö
++³++
ç÷

èø
111111
2
papbpcabc

14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
++£++
+++
323232222
2y
2x2z111
xyyzzxxyz

15. (ĐH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì:
+++
++>
bccaab
logalogblogc1

16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: x
a
+ a – 1 ≥ ax.

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

++³++
333
333
abcabc
bca
bca

17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: -+-£
ab1ba1ab
(*)
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
bằng 3 thì: 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
+ 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: +>
222
333
abc

20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh

rằng: 8
a
+ 8
b
+ 8
c
≥ 2
a
+ 2
b
+ 2
c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng
minh rằng:
+++
++³
222222
b2ac2ba2c
3
abbcca

22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:
++
æö
³
ç÷
èø

3
33
abab
22

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
19
a) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)
2
≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = ++
+++
222222
bccaab
abacbcbacacb

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥
(

)
+
3
3
1abc

26. (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện
+=
23
6
xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của tổng x + y.
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
+
18xyz
2xyz

29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n
n + 1
> (n + 1)
n

30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: A =
+++
a1b1

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì
khác không:
++³
++
222222
1119
xyzxyz

BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng.
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
++³++
222
222
abcabc
bca
bca

33. (ĐH Hàng hải 1999)

Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:

++££++
+++
+++
222
xyz3111
21x1y1z
1x1y1z

34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc

nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
24

+<+=
++++++
bdbd
1
bcddabbdbd

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Ta có: (x + 1)
2
æö
++
ç÷
èø
2
12
1
x
x
³ 16 (1) Û (x + 1)
2
æö
+
ç÷
èø
2

1
1
x
³ 16
Û (x + 1)
æö
+
ç÷
èø
1
1
x
³ 4 (do x > 0) Û (x + 1)
2
³ 4x Û (x – 1)
2
³ 0 (2)
(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Xét vế trái của BĐT đã cho: VT =
++++++++
bcacab
111
aabbcc

= 3 +
æöæöæö
+++++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

bacacb
abacbc

Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:

+³=
baba
2.2
abab
;
+³=
bcbc
2.2
cbcb
;
+³=
caca
2.2
acac

Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm).
8. (CĐKTYTế1 2006)
y £ 0, x
2
+ x = y + 12 Þ x
2
+ x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3
y = x
2
+ x – 12 Þ A = x

3
+ 3x
2
– 9x – 7
Đặt f(x) = A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7 với – 4 £ x £ 3
f¢(x) = 3x
2
+ 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3
f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Ta có: x + y + z ³ 3
3
xyz
Û xyz ³ 3
3
xyz
Û (xyz)
2
³ 27 Û xyz ³ 3
3

Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
3
.
Vậy minA = 3

3
.
10. (Học viện BCVT 2001)
Ta có hàm số f(x) =
x
1
3
là hàm nghịch biến nên:
(a – b)
æö
-
ç÷
èø
ab
11
33
≤ 0, "a, b.
Þ +£+
abab
abba
3333
, "a, b. (1)
Tương tự: +£+
bccb
bcbc
3333
(2)
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
21
Chứng minh rằng:

++£
++++
111
1
2x+y+zx2yzxy2z

43. (Đại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có:

æöæöæö
++³++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
xxx
xxx
121520
345
543

Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

++++
++
++³
3333
33
1xy1yz
1zx

33
xyyzzx

Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: +++++
xyz
343434
³ 6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
( )
æö
æö
+++
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
2
y9
1x11
x
y
³ 256
Đẳng thức xảy ra khi nào?
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
3

4
. Chứng minh rằng:

+++++£
333
a3bb3cc3a3

Khi nào đẳng thức xảy ra?
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì
-£
1
xyyx
4
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:
++³
+++
222
xyz3
1y1z1x2

50. (Đại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
(x + y)xy = x
2
+ y
2

– xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
+
33
11
xy
.
51. (Đại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
( ) ( )
-+++++-
22
22
x1yx1yy2

Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
22
LI GII


1. (CGT II 2003 d b)
Trong mt phng to Oxy, xột cỏc im:
A
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
y3

x;z
22
, B
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
33
0;yz
22
, C
ổử
-
ỗữ
ốứ
yz
;0
22

Ta cú: AB =
ổử
ổử
++=++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2

2
22
y3
xyxxyy
22

AC =
ổử
ổử
++=++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
2
22
z3
xzxxzz
22

BC =
ổử
ổử
-++=+
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ

ốứ
2
2
22
yz3
(yz)yyz+z
222

Vi 3 im A, B, C ta luụn cú: AB + AC BC
ị +++++
222222
xxyyxxz+zyyz+z

2. (CBC Hoa Sen khi A 2006)
x
3
+ y
3
+ z
3
3
333
3
xyz
ị 2(x
3
+ y
3
+ z
3

) 6

x
3
+ 1 + 1 3
3
3
x
ị x
3
+ 2 3x (1)
Tng t: y
3
+ 1 + 1 3
3
3
y
ị y
3
+ 2 3y (2)
z
3
+ 1 + 1 3
3
3
z
ị z
3
+ 2 3z (3)
Cng (1), (2), (3) v theo v suy ra bt ng thc cn chng minh.

3. (CKTKT Cn Th khi A 2006)
ã Cỏch 1:
Theo BT Cụsi: 1 x + y + z 3
3
xyz
> 0

++
3
1113
xyz
xyz

T ú: A 3
3
xyz
+
3
3
xyz

t: t =
3
xyz
, iu kin: 0 < t Ê
1
3

Xột hm s f(t) = 3t +
3

t
vi 0 < t Ê
1
3

Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
23
fÂ(t) = 3
2
3
t
=
-
2
2
3(t1)
t
< 0, "t ẻ
ổự
ỗ
ỳ
ốỷ
1
0;
3

Bng bin thiờn:

1
3

T bng bin thiờn ta suy ra: A 10. Du "=" xy ra khi x = y = z =
1
3

Vy A
min
= 10 t c khi x = y = z =
1
3
.
ã Cỏch 2:
Theo BT Cụsi: 1 x + y + z 3
3
xyz
> 0
3
1
xyz
3
x +

12
9x3
, y +

12
9y3
, z +

12
9z3

T ú: A=
ổửổử
ổửổử
++++++++
ỗữỗữ
ỗữỗữ
ốứốứ
ốứốứ
1118111
xyz
9x9y9z9xyz
2 +
3
83
9
xyz
10
Du "=" xy ra khi x = y = z =
1
3
.Vy A
min
= 10 t c khi x = y = z =
1
3

4. (CSPHCM khi ABT 2006)

Ta cú: x + y =
5
4
4x + 4y 5 = 0
A = +
41
x4y
=
++-
41
4x+4y5
x4y
ị A 2
4
.4x
x
+ 2
1
.4y
4y
5
ị A 5
Du "=" xy ra
ỡ
=
ù
ù
ù
=
ù

ớ
ù
ù
+=
ù
ù
>
ợ
4
4x
x
1
4y
4y
5
xy
4
x,y0

=
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
x1
1
y
4

. Vy A
min
= 5.
5. (CKTKT Cn Th khi B 2006)
Vỡ a, b, c, d > 0 nờn ta luụn cú:

+<+=
++++++
acac
1
abccdaacac

Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
28

ộự
ổửổửổử
ờỳ
++
ỗữỗữỗữ
ờỳ
ốứốứốứ
ờỳ
ởỷ
333
222
1abc3
2bca2

Cng 4 BT trờn, v theo v, ta cú:

ộự
ổửổửổửộự
ờỳ
++++++
ỗữỗữỗữ
ờỳ
ờỳ
ốứốứốứởỷ
ờỳ
ởỷ
333
222
3abc33abc3
2bca22bca2

Suy ra:
ổửổửổử
++++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
333
222
abcabc
bcabca

17. (H Thỏi Nguyờn khi D 2001)
BT (*)

+Ê

ab1ba1
1
abab

ổửổử
-+-Ê
ỗữỗữ
ốứốứ
1111
111
bbaa
(1)
Theo BT Cụsi ta cú:
ổử
+-
ỗữ
ổử
ốứ
-Ê=
ỗữ
ốứ
11
1
111
bb
1
bb22


ổử

+-
ỗữ
ổử
ốứ
-Ê=
ỗữ
ốứ
11
1
111
aa
1
aa22

Cng 2 BT li ta c BT cn chng minh.
Du = xy ra
ỡ
=-=
ù
ù
ớ
ù
=-=
ù
ợ
111
1
bb2
111
1

aa2
a = b = 2.
18. (H Vinh khi A, B 2001)
Ta cú: 3 2a = a + b + c 2a = b + c a > 0.
Do ú theo BT Cụsi ta cú:
(3 2a)(3 2b)(3 2c)
-+-+-
ổử
ỗữ
ốứ
3
32a32b32c
3
= 1
ị 27 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) 8abc 1
27 54 + 12(ab + bc + ca) 8abc 1
4abc 6(ab + bc + ca) 14
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 4abc 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 6(ab + bc + ca) 14

= 3(a + b +c)
2
14 = 13
ng thc xy ra 3 2a = 3 2b = 3 2c a = b = c = 1.
19. (H Y Thỏi Bỡnh khi A 2001)
T gi thit ta cú:
+
ab
cc
= 1 ị 0 <
ab
,
cc
< 1 ị
ổửổử
+>+
ỗữỗữ
ốứốứ
22
33
abab
cccc
= 1
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
25
+Ê+
caca
caac
3333
(3)

Mt khỏc: ++=++
abcabc
abcabc
333333
(4)
Cng (1), (2), (3), (4) v theo v ta c:

ổửổử
++Ê++++
ỗữỗữ
ốứốứ
abcabc
abc111
3(abc)
333333

Hay
ổử
++Ê++
ỗữ
ốứ
abcabc
abc111
3
333333
(vỡ a + b + c = 1)
Du = xy ra a = b = c =
1
3
.

11. (H Nng khi A 2001 t 2)
Do a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 nờn ==
+
2
2222
aaa
bc1aa(1a)
(1)
M 2a
2
.(1 a
2
)
2

ổử
+-+-
ổử
=
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ

3
3
222
2a(1a)(1a)2
33

ị a
2
.(1 a
2
)
2

4
27
ị a(1 a
2
)
2
33
(2)
T (1), (2) suy ra:
+
2
22
a33
a
2
bc

Do ú: ++++=
+++
222
222222
abc3333
(abc)
22
bccaab

Du = xy ra
ỡ
=-
ù
ù
=-
ớ
ù
=-
ù
ợ
22
22
22
2a1a
2b1b
2c1c
a = b = c =
1
3
.

12. (H Kin trỳc HN 2001)
Ta cú:
ỡ
++=
ù
ớ
++=
ù
ợ
222
abc2
abbcca1

ỡ
+-=-
ù
ớ
++=
ù
ợ
22
(ab)2ab2c
c(ab)ab1

Ta xem õy l h phng trỡnh ca a, b v t
+=
ỡ
ớ
=
ợ

abS
abP
(S
2
4P 0)
Ta c h:
ỡ
-=-
ù
ớ
ù
ợ
22
S2P2c(1)
cS+P=1(2)

T (2) ị P = 1 cS, thay vo (1) ta c:
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
26
S
2
2(1 cS) = 2 c
2
S
2
+ 2cS + c
2
4 = 0
=
ộ

ờ
=-+
ở
Sc2
Sc2

ã Vi S = c 2 ị P = 1 + c(c + 2) = c
2
+ 2c + 1
BT: S
2
4P 0 (c 2)
2
4(c
2
+ 2c + 1) 0
3c
2
4c 0
-ÊÊ
4
c0
3
(3)
ã Vi S = c + 2 ị P = 1 c(c + 2) = c
2
2c + 1
BT: S
2
4P 0 (c + 2)

2
4(c
2
2c + 1) 0
3c
2
+ 4c 0
ÊÊ
4
0c
3
(4)
T (3), (4) ta c:
-ÊÊ
44
c
33

Tng t ta chng minh c:
-ÊÊ
44
a,b,c
33

13. (Hc vin NH TPHCM khi A 2001)
Trc ht, ta d dng chng minh c nu x, y > 0 thỡ:
+
+
114
xyxy

(1)
Du = xy ra x = y.
p dng (1) ta c:
+=
+-
1144
papbpapbc


+=
+-
1144
pbpcpbpca


+=
+-
1144
pcpapcpab

Cng 3 BT trờn v theo v, ta c:

ổử
ổử
++++
ỗữ
ỗữ

ốứ
ốứ

111111
24
papbpcabc
pcm
Du = xy ra a = b = c.

14. (H Nụng nghip I HN khi A 2001)
p dng BT Cụsi cho 2 s dng x
3
, y
2
ta cú:
x
3
+ y
2
2 =
32
xy2xyx
ị Ê=
+
32
2x2x1
xy
2xyx
xy

p dng BT Cụsi cho 2 s dng
22
11

,
xy
ta cú:
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
27

ổử
Ê+
ỗữ
ỗữ
ốứ
22
1111
xy2
xy
ị
ổử
Ê+
ỗữ
ỗữ
+
ốứ
3222
2x111
2
xyxy

Tng t ta cng cú:

ổử

Ê+
ỗữ
ỗữ
+
ốứ
3222
2y
111
2
yzyz
;
ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
3222
2z111
2
zxzx

Suy ra: ++Ê++
+++
323232222
2y
2x2z111
xyyzzxxyz

Du = xy ra
ỡỡỡ

===
ùùù
ớớớ
===
ùùù
ợợợ
323232
xyyzzx
vaứvaứ
xyyzzx
x = y = z = 1
15. (H PCCC khi A 2001)
Trc ht chỳ ý rng nu a > 1, x > 1 thỡ hm s y =
a
logx
l ng bin
v dng.
Do ú hm s y = log
x
a =
a
1
logx
l nghch bin.
Vỡ vai trũ ca a, b, c l nh nhau, nờn ta cú th gi thit a b c. Ta
c:
VT=
+++++++
++++=
bccaababababab

logalogblogclogalogblogclogabc

Vỡ a, b, c 2 nờn abc 2ab = ab + ab > a + b
Do ú VT log
a+b
abc > log
a+b
(a + b) = 1.
16. (H Quc gia HN khi D 2001)
ã Xột f(x) = x
a
ax + a 1 (x 0)
fÂ(x) = a(x
a
1
1); fÂ(x) = 0 x = 1

Vy vi "x 0 v a > 1 thỡ f(x) 0 hay x
a
+ a 1 ax.
ã BT cn chng minh:

ổửổửổử
++++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
333
222
abcabc
bcabca

p dng BT ó chng minh vi a =
3
2
, ta cú:

ổử
+
ỗữ
ốứ
3
2
a13a
.
b22b
;
ổử
+
ỗữ
ốứ
3
2
b13b
.
c22c
;
ổử
+
ỗữ
ốứ

3
2
c13c
.
a22a

Mt khỏc, theo BT Cụsi ta cú:
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
32
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
BĐT cần chứng minh Û
æöæöæö
++++++++
ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
222222
222222
yzxzxy
111
xxyyzz
≥ 9
Û 3 +
æöæöæö
+++++
ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
222222
222222

yzxzxy
xxyyzz
≥ 9
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
*
++³=
222222
3
222222
abcabc
3 3
bcabca
(1)
* +³
2
2
aa
12
b
b
; +³
2
2
bb
12
c
c
; +³
2

2
cc
12
a
a

Þ
æö
++³++-
ç÷
èø
222
222
abcabc
23
bca
bca
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:

æö
æö
++³++
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
222
222

abcabc
22
bca
bca

Þ
++³++
222
222
abcabc
bca
bca

33. (ĐH Hàng hải 1999)
· Do (x – 1)
2
≥ 0 nên x
2
+ 1 ≥ 2x Û
+
2
2x
1x
≤ 1
Tương tự ta cũng có:
+
2
2y
1y
≤ 1;

+
2
2z
1z
≤ 1
Do đó:
+
2
2x
1x
+
+
2
2y
1y
+
+
2
2z
1z
≤ 3
Hay:
++£
+++
222
xyz3
2
1x1y1z
(1)
· Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:

++
+++
³=
+++
+++
3
3
111
11
1x1y1z
3(1x)(1y)(1z)
(1x)(1y)(1z)

Þ
£+++
++
+++
3
3
(1x)(1y)(1z)
111
1x1y1z
≤
+++++
(1x)(1y)(1z)
3
≤ 2
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
29

Từ đó suy ra: +>
222
333
abc

20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Đặt x = 2
a
, y = 2
b
, z = 2
c
thì x, y, z > 0.
Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2
a+b+c
= 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3
Mặt khác: x
3
+ 1 + 1 ≥ 3x Þ x
3
≥ 3x – 2
Tương tự: y
3
≥ 3y – 2; z
3
≥ 3z – 2
Þ x
3
+ y
3

+ z
3
≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z
Þ 8
a
+ 8
b
+ 8
c
≥ 2
a
+ 2
b
+ 2
c

21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Ta có:
++
==+
2222
2222
b2ab2a11
2.
ab
abab

Đặt x =
1
a

; y =
1
b
; z =
1
c
thì
giả thiết
>
ì
í
++=
î
a,b,c0
abbccaabc
Û
>
ì
í
++=
î
x,y,z0
xyz1

và đpcm Û +++++³
222222
x2yy2zz2x3

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
3(x

2
+ 2y
2
) = 3(x
2
+ y
2
+ y
2
) ≥ (x + y + y)
2

Þ +³+
22
1
x2y(x2y)
3

Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:
+++++³++=
222222
1
x2yy2zz2x(3x3y3z)3
3

Đẳng thức xảy ra Û x = y = z =
1
3
Û a = b = c = 3
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)

Ta có:
++
æö
³
ç÷
èø
3
33
abab
22
Û 4(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)
3

Û (a + b) [4(a
2
+ b
2
– ab) – (a
2
+ b
2
+ 2ab)] ≥ 0
Û (a + b)(3a
2
+ 3b
2

– 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b)
2
≥ 0
BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng.
Đẳng thức xảy ra Û a = ± b.
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
a) a
2
+ b
2
≥ 2ab; b
2
+ c
2
≥ 2bc; c
2
+ a
2
≥ 2ca
Þ a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c
b) (ab + bc + ca)
2
= (ab)

2
+ (bc)
2
+ (ca)
2
+ 2(abbc + bcca + caab) ≥
≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
30
Ta có: ===
æö
++
+
+
ç÷
èø
2
222
2
1
bcbc1
a
11
11
abaca(bc)
a
bc
bc

Đặt x =
1
a
; y =
1
b
; z =
1
c
thì
giả thiết
ì
í
î
a, b, c > 0
abc = 1
Û
>
ì
í
î
x,y,z0
xyz=1
và P = ++
+++
222
xyz
yzzxxy

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

(y + z + z + x + x + y).P ≥
æö
+++++
ç÷
ç÷
+++
èø
2
xyz
yz.zx.xy.
yzzxxy

Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)
2
Þ P ≥
1
2
(x + y + z) ≥ =
3
11
.3xyz.3
22

Þ P ≥
3
2

Nếu P =
3
2

thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1
Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P =
3
2
. Vậy minP =
3
2

25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
(a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥
≥ 1 + 3 +
3
222
3
abc3abc
+ abc =
(
)
+
3
3
1abc

Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0.
26. (ĐH Y HN 2000)

( )
æö
æö
+=+£++

ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
2
2
2323
23.x.y(xy)
xyxy
= 6(x + y)
Þ x + y ≥
(
)
+
2
23
6

Giá trị
(
)
+
2
23
6
đạt được Û
( )
ì
=

ï
ï
í
ï
+
ï
+=
î
2
23
:x:y
xy
23
xy
6
Û
ì
+
=
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
2(23)
x
6

3(23)
y
6

Vậy min(x + y) =
+
526
6

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
31
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a
c
(a – b) ≥ b
c
(a – b) Þ a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6
3
xyz

(1)
và xy + yz + zx ≥ 3
222
3
xyz
(2)
Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)
Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx >
+
18xyz
2xyz
(vì 2 +xyz > 0)
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Ta có: 3
4
= 81, 4
3
= 64 Þ 3
4
> 4
3
Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.
Với n > 3, đpcm Û n >
+
æö
ç÷
èø

n
n1
n
Û
æö
+
ç÷
èø
n
1
1
n
< n (1)
Ta có:
æö
+
ç÷
èø
n
1
1
n
=
=
å
n
k
n
k
k0

1
C
n
=
= 1 +
+
+++
2n
nn(n1)1n(n1) (nn1)1

n2!n!
nn

= 1 + 1 +
-
æöæöæöæö
-++
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
11112n1
1 11 1
2!nn!nnn
<
< 1 + 1 +
++
11

2!n!
< 1 + 1 +
-

++
n1
11

2
2
<
< 1 + 1 +
-
++
n1
11

2
2
+ … = 1 +
-
1
1
1
2
= 3
Þ
æö
+
ç÷
èø
n
1
1

n
< 3 < n Þ (1)
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), (
++
a1,b1
), ta có:
A =
+++
1.a11.b1
≤
++++
(11)(a1b1)

mà a + b = 1 nên A ≤
6

Dấu “=” xảy ra Û
+=+
a1b1
Û a = b Û a = b =
1
2
( do a + b = 1)
Vậy maxA =
6
khi a = b =
1
2

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
36
Đặt Q(t) = 9t +
9
t
ÞQ¢(t) = 9 –
2
9
t
< 0, "tỴ
ỉù
ç
ú
èû
1
0;
9
ÞQ(t) giảm trên
ỉù
ç
ú
èû
1
0;
9

Þ Q(t) ³ Q
ỉư
ç÷
èø

1
9
= 82. Vậy P ³ ³
Q(t)82

Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
1
3
.
· Cách 2: Ta có:
(x + y + z)
2
+
ỉư
++
ç÷
èø
2
111
xyz
= 81(x + y + z)
2
+
ỉư
++
ç÷
èø
2
111
xyz

– 80(x + y + z)
2

³ 18(x + y + z).
ỉư
++
ç÷
èø
111
xyz
– 80(x + y + z)
2
³ 162 – 80 = 82
Vậy P ³
82

Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
1
3
.
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
· Tìm max: y = sin
5
x +
3
cosx ≤ sin
4
x +
3
cosx (1)

Ta chứng minh: sin
4
x +
3
cosx ≤
3
, "x Ỵ R (2)
Û
3
(1 – cosx) – sin
4
x ≥ 0 Û
3
(1 – cosx) – (1 – cos
2
x)
2
≥ 0
Û (1 – cosx).[
3
– (1 – cosx)(1 + cosx)
2
] ≥ 0 (3)
Theo BĐT Cơsi ta có:
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =
1
2
(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
≤
ỉư

=<
ç÷
èø
3
1432
3
2327

Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤
3
, "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1
Û x = k2p. Vậy maxy =
3
.
· Tìm min: Ta có y = sin
5
x +
3
cosx ≥ – sin
4
x +
3
cosx.
Tương tự như trên, ta được miny = –
3
, đạt được khi x = p + k2p.
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
(1) Û
+++-
£

(abc)(bca)
1
bc
Û
+-
£
22
(bc)a
1
bc
Û
+
£
2bc(1cosA)
1
bc

Û
£
2
A1
cos
24
Û
³
2
A3
sin
24
Û ³

A3
sin
22
(do 0 <
<
p
A
22
) (3)
Biến đổi vế trái của (2) như sau:

ỉư
=-
ç÷
èø
ABC1AB-CB+C
sinsinsinsincoscos
2222222
≤
ỉư
-
ç÷
èø
1AA
sin1sin
222
=
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
33
Û £++

+++
3111
21x1y1z
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x
2
≥ x
3
; y
2
≥ y
3
; z
2
≥ z
3
.
Suy ra: 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z

2
x) ≤ 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x)
Do đó nếu ta chứng minh được:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (1)
thì (*) đúng.
Ta có: (1 – y)(1 + y – x

2
) ≥ 0 Û x
2
+ y
2
– x
2
y – 1 ≤ 0 (2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra Û
=
é
ê
=
ì
ê
í
ê
=
ỵ
ë
y1
x1
y0

Tương tự ta cũng có: x
2
+ z
2
– z
2

x – 1 ≤ 0 (3)
y
2
+ z
2
– y
2
z – 1 ≤ 0 (4)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3
Vậy (1) đúng Þ (*) đúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Ỵ
{
}
(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)

35. (Đại học 2002 dự bị 1)
++=++

111
xyz.ax.by.cz
abc
≤
ỉư
++
ç÷
èø
111
(ax+by+cz)
abc

≤
ỉư
++
ç÷
èø
111
.2S
abc
=
ỉư
++
ç÷
èø
111abc
abc2R
=
++
abbcca

2R

≤
++
222
abc
2R

Dấu “=” xảy ra Û
==
ì
í
==
ỵ
abc
xyz
Û
ìD
í
D
ỵ
ABCđều
MtrùngvớitrọngtâmGcủaABC

36. (Đại học 2002 dự bị 3)
· Cách 1: S =
++++³
5
111115
xxxx4y

x.x.x.x.4y
≥
++++
5.5
xxxx4y
= 5
minS = 5 Û
ì
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
+=
ï
ỵ
11
x4y
x4y
5
xy
4
Û
=
ì
ï
í

=
ï
ỵ
x1
1
y
4

Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
34
ã Cỏch 2: S = +
-
41
x54x
= f(x), 0 < x <
5
4

fÂ(x) =
-+
-
22
44
x(54x)
; fÂ(x) = 0
ỡ
=-
ù
ớ
<<

ù
ợ
22
x(54x)
5
0x
4
x = 1
Lp bng xột du fÂ(x), suy ra minS = 5.
ã Cỏch 3: 2 +
=+
121
x.y.
2
x2y
++
41
xy.
x4y
(3)
Du = (3) xy ra
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
+=
ù
ợ

21
x.x2y.y
5
xy
4

=
ỡ
ù
ớ
+=
ù
ợ
x4y
5
xy
4

=
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
x1
1
y
4

(3)
ổử
ổử
Ê+
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
5541
.
24x4y
+
41
x4y
5
Vy minS = 5.
37. (i hc 2002 d b 5)
Vỡ a 1, d 50 v c > b (c, b ẻ N) nờn c b + 1 thnh th:
S =
+
ac
bd

+
+
1b1
b50
=
++

2
bb50
50b

Vy BT ca ra ó c chng minh.
Du = xy ra
=
ỡ
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
a1
d50
cb1

tỡm minS, ta t
++
2
bb50
50b
= ++
b11
50b50
v xột hm s cú bin s
liờn tc x:
f(x) = ++
x11

50x50
(2 x 48)
fÂ(x) =
-
-=
2
22
11x50
50
x50x
; fÂ(x) = 0
ỡ
=
ù
ớ
ÊÊ
ù
ợ
2
x50
2x48
=
x52

Bng bin thiờn:
52

Chuyn v biu thc f(b) =
++
2

bb50
50b
(2 b 48, b ẻ N)
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
35
T BBT suy ra khi b bin thiờn t 2 n 7, f(b) gim ri chuyn sang tng
khi b bin thiờn t 8 n 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].
Ta cú f(7) =
+
=
495753
350175
; f(8) =
+
=>
64586153
400200175

Vy minS =
53
175
khi
=
ỡ
ù
=
ù
ớ
=
ù

ù
=
ợ
a1
b7
c8
d50

38. (i hc 2002 d b 6)
Ta cú din tớch tam giỏc: S = ==
abc
111
ahbhch
222

ị h
a
=
2S
a
; h
b
=
2S
b
; h
c
=
2S
c

ị
++=++
abc
1111
(abc)
hhh2S

ị
ổử
ổửổử
++++=++++
ỗữ
ỗữỗữ
ốứốứ
ốứabc
1111111111
(abc)
abchhh2Sabc

p dng BT Cụsi ta cú: (a + b + c)
ổử
++
ỗữ
ốứ
111
abc
9
v vỡ S =
3

2
, nờn ta cú:
ổử
ổử
++++=
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứabc
1111119
3
abchhh3

39. (i hc khi A 2003)
Vi mi
rr
u,v
ta cú:
+Ê+
rrrr
uvuv
(*)
t
ổử
ổửổử
===
ỗữ
ỗữỗữ
ốứốứ
ốứ

rrr
111
ax;;by;;cz;
xyz

p dng bt ng thc (*), ta cú:
++++++
rrrrrrrrr
abcabcabc

Vy P = +++++
222
222
111
xyz
xyz

ổử
+++++
ỗữ
ốứ
2
2
111
(xyz)
xyz

ã Cỏch 1:
Ta cú: P
ổử

+++++
ỗữ
ốứ
2
2
111
(xyz)
xyz

( )
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
2
2
3
3
1
3xyz3
xyz
=
+
9
9t
t

vi t =
2

3
(xyz)
ị 0 < t Ê
++
ổử
Ê
ỗữ
ốứ
2
xyz1
39

Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
40
49. (i hc khi D 2005 d b 2)
Ta cú:
++
+=
++
22
x1yx1y
2.x
1y41y4


++
+=
++
22
y1zy1z

2.y
1z41z4


++
+=
++
22
z1xz1x
2.z
1x41x4

Cng 3 bt ng thc trờn, v theo v, ta cú:

ổửổửổử
+++
+++++++
ỗữỗữỗữ
ỗữỗữỗữ
+++
ốứốứốứ
222
x1yy1zz1x
xyz
1y41z41x4


++
++ +++
+++

222
xyz3xyz
xyz
1y1z1x44

++
-
3(xyz)3
44


-=-=
33933
.3
44442
(vỡ x + y + z 3
3
xyz
= 3)
Vy:
++
+++
222
xyz3
1y1z1x2
.
50. (i hc khi A 2006)
ã Cỏch 1:
T gi thit suy ra:
+=+-

22
11111
xyxy
xy
.
t
1
x
= a,
1
y
= b, ta cú: a + b = a
2
+ b
2
ab (1)
A = a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
ab + b
2
) = (a + b)
2

T (1) suy ra: a + b = (a + b)
2
3ab.

Vỡ ab
+
ổử
ỗữ
ốứ
2
ab
2
nờn a + b (a + b)
2
+
2
3
(ab)
4

ị (a + b)
2
4(a + b) 0 ị 0 a + b 4
Suy ra: A = (a + b)
2
16
Vi x = y =
1
2
thỡ A = 16. Vy giỏ tr ln nht ca A l 16.
ã Cỏch 2:
t S = x + y, P = xy vi S
2
4P 0. T gi thit ị S, P ạ 0.

Ta cú: SP = S
2
3P P =
+
2
S
S3

A =
+
33
11
xy
=
+
33
33
xy
xy
=
++-
22
33
(xy)(xyxy)
xy
=
+
2
33
(xy)xy

xy
=
+
2
22
(xy)
xy

Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
37
=
ổử
-
ỗữ
ốứ
2
1AA
sinsin
222
=
ộự
ổử
ờ ỳ
ỗữ
ốứ
ờỳ
ởỷ
2
1A11
sin

2224
=
ổử

ỗữ
ốứ
2
11A1
sin
8222

Do (3) suy ra:
ổử
Ê
ỗữ
ỗữ
ốứ
2
ABC1131
sinsinsin
2228222
=
11
(423)
88

=
-
233
8

Du = xy ra
ỡ
=
ù
ỡ
=
ùù

ớớ
==
ù
ù
ợ
=
ù
ợ
0
0
B-C
cos1
A120
2
A3
BC30
sin
22

42. (i hc khi A 2005)
Vi a, b > 0 ta cú:

4ab Ê (a + b)
2

+
Ê
+
1ab
ab4ab

ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
1111
ab4ab

Du "=" xy ra khi v ch khi a = b.
p dng kt qu trờn ta cú:

ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
1111
2x+y+z42xyz
Ê
ộự
ổử

++
ờỳ
ỗữ
ốứ
ởỷ
11111
42x4yz
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
1111
8x2y2z
(1)
Tng t:

ổử
Ê+
ỗữ
+++
ốứ
1111
x2yz42yxz
Ê
ộự
ổử
++
ỗữ
ờỳ

ốứ
ởỷ
11111
42y4xz
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
1111
8y2z2x
(2)

ổử
Ê+
ỗữ
+++
ốứ
1111
xy2z42zxy
Ê
ộự
ổử
++
ờỳ
ỗữ
ốứ
ởỷ
11111
42z4xy

=
ổử
++
ỗữ
ốứ
1111
8z2x2y
(3)
Vy:
ổử
++Ê++
ỗữ
++++
ốứ
111111
1
2x+y+zx2yzxy2z4xyz
= 1
Ta thy trong cỏc bt ng thc (1), (2), (3) thỡ du "=" xy ra khi v ch
khi
x = y = z. Vy ng thc xy ra khi v ch khi x = y = z =
3
4
.
43. (i hc khi B 2005)
p dng bt ng thc Cụsi cho 2 s dng ta cú:

ổửổửổửổử
+
ỗữỗữỗữỗữ

ốứốứốứốứ
xxxx
12151215
2.
5454
ị
ổửổử
+
ỗữỗữ
ốứốứ
xx
1215
54
2.3
x
(1)
Tng t ta cú:

ổửổử
+
ỗữỗữ
ốứốứ
xx
1220
53
2.4
x
(2)
ổửổử
+

ỗữỗữ
ốứốứ
xx
1520
43
2.5
x
(3)
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
38
Cng cỏc bt ng thc (1), (2), (3), chia 2 v ca bt ng thc nhn
c cho 2 ta cú pcm.
ng thc xy ra (1), (2), (3) l cỏc ng thc x = 0.
44. (i hc khi D 2005)
p dng bt ng thc Cụsi cho 3 s dng ta cú:
1 + x
3
+ y
3
3
33
3
1.x.y
= 3xy
++

33
1xy
3
xy

xy
(1)
Tng t:
++

33
1yz
3
yz
yz
(2);
++

33
1zx3
zx
zx
(3)
Mt khỏc ++
3
333333
3
xyyzzxxyyzzx

ị ++
333
33
xyyzzx
(4)
Cng cỏc bt ng thc (1), (2), (3), (4) ta cú pcm.

ng thc xy ra (1), (2), (3), (4) l cỏc ng thc x = y = z = 1.
45. (i hc khi A 2005 d b 1)
Ta cú: 3 + 4
x
= 1 + 1 + 1 + 4
x
4
4
x
4

ị +=
8
4
xxx
342424

Tng t: +
8
yy
3424
; +
8
zz
3424

Vy +++++
xyz
343434
2

ộự
++
ờỳ
ởỷ
888
xyz
444

3
8
xyz
64.4.4

6
++
24
xyz
4 = 6
46. (i hc khi A 2005 d b 2)
Ta cú: 1 + x = 1 + ++
3
4
3
xxxx
4
333
3

1 +
y

x
= 1 + ++
3
4
33
yyyy
4
3x3x3x
3x

1 +
9
y
= 1 + ++
3
4
3
3333
4
yyy
y
ị
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
2
6
4

3
93
116
y
y

Vy:
( )
ổử
ổử
+++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
y9
1x11
x
y
256
336
4
3333
xy3

33xy
= 256
47. (i hc khi B 2005 d b 1)

ã Cỏch 1:
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
39
Ta cú:
+++
+Ê=++
3
a3b111
(a3b).1.1(a3b2)
33


+++
+Ê=++
3
b3c111
(b3c).1.1(b3c2)
33


+++
+Ê=++
3
c3a111
(c3a).1.1(c3a2)
33

Suy ra:
[ ]
+++++Ê+++

333
1
a3bb3cc3a4(abc)6
3
Ê
ộự
+
ờỳ
ởỷ
13
4.6
34
= 3
Du "=" xy ra
ỡ
++=
ù
ớ
ù
+=+=+
ợ
3
abc
4
a3bb3cc3a=1
a = b = c =
1
4

ã Cỏch 2:

t x = +
3
a3b
ị x
3
= a + 3b; y = +
3
b3c
ị y
3
= b + 3c;
z = +
3
c3a
ị z
3
= c + 3a
ị x
3
+ y
3
+ z
3
= 4(a + b + c) = 4.
3
4
= 3. BT cn ch. minh x + y + z Ê 3
Ta cú: x
3
+ 1 + 1 3

3
3
x.1.1
= 3x; y
3
+ 1 + 1 3
3
3
y.1.1
= 3y;
z
3
+ 1 + 1 3
3
3
z.1.1
= 3z
ị 9 3(x + y + z) (vỡ x
3
+ y
3
+ z
3
= 3)
Vy x + y + z Ê 3
Du "=" xy ra
ỡ
===
ù
ớ

++=
ù
ợ
333
xyz1
3
abc
4

+=+=+
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
a3bb3cc3a=1
3
a+b+c=
4

a = b = c =
1
4

48. (i hc khi B 2005 d b 2)
Ta cú: 0 Ê x Ê 1 ị
x
x
2

-Ê
1
xyyx
4
Ê+
1
xyyx
4
(1)
Theo BT Cụsi ta cú: ++=
22
111
yxyx2yx.xy
444
ị
-Ê
1
xyyx
4

Du "=" xy ra
ỡ
ÊÊÊ
ù
=
ỡ
ù
ù
=

ớớ
=
ùù
ợ
ù
=
ợ
2
2
0yx1
x1
xx
1
y
1
4
yx
4

Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
43






Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
41
ị A =

+
ổử
=
ỗữ
ốứ
2
2
SS3
S
P

k: S
2
4P 0 S
2

+
2
4S
S3
0 S
2
-
ổử
ỗữ
+
ốứ
S1
S3
0

-
+
S1
S3
0 (vỡ Sạ0)

<-
ộ
ờ

ở
S3
S1
(*)
t h = f(S) =
+
S3
S
ị h =
-
2
3
S
< 0, "S tho (*)


T bng bin thiờn, ta cú: 0 < h Ê 4 v h ạ 1, "S tho (*).
M A = h ị MaxA = 16 khi x = y =
1
2

(S = 1, P =
1
4
).
ã Cỏch 3:
(x + y)xy =
ổử
-+
ỗữ
ốứ
2
2
y3y
x
24
> 0 ị
+
+=
11xy
xyxy
> 0
A =
+
33
11
xy
=
+
33
33

xy
xy
=
ổử
+
ỗữ
ốứ
2
11
xy
ị
=+
11
A
xy

D chng minh c:
++
ổử
Ê
ỗữ
ốứ
3
33
abab
22
(vi a + b > 0)
du "=" xy ra khi a = b.
p dng vi a =
1

x
, b =
1
y
, ta cú:

ổử
ổử
ổử
+
+
ỗữỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
ỗữ
Ê
ỗữ
ỗữ
ốứ
3
3
3
11
11
xy
xy
22

ổử

Ê
ỗữ
ỗữ
ốứ
3
AA
22
A Ê 16.
Du "=" xy ra khi
==
11
2
xy
. Vy Max A = 16.
ã Cỏch 4:
A =
2
2
S
P
, suy ra ==
-
2
S3S
A
P
SSP

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
42

S
2
– 4P ³ 0 Û S
2
– 4
-
2
SSP
3
³ 0 Û
-
-
P
1
S
14
3
³ 0 Û
³
P1
S4
(chia cho S
2
)
Nên: A =
2
2
S
P
£ 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y =

1
2
).
51. (Đại học khối B 2006)
Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y).
Do OM + ON ≥ MN nên:

( ) ( )
-++++³+=+
22
2222
x1yx1y44y21y

Do đó: A ≥ 2
++-
2
1yy2
= f(y)
· Với y ≤ 2 Þ f(y) = 2 +
2
1y
+ 2 – y Þ f¢(y) =
+
2
2y
y1
– 1
f¢(y) = 0 Û 2y = +
2
1y

Û
³
ì
ï
í
=+
ï
î
22
y0
4y1y
Û y =
1
3

Do đó ta có bảng biến thiên như trên
· Với y ≥ 2 Þ f(y) ≥ 2 +
2
1y
≥ 2
5
> 2 +
3
.
Vậy A ≥ 2 +
3
với mọi số thực x, y.
Khi x = 0 và y =
1
3

thì A = 2 +
3

Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 +
3
.