Tóm tắt lý thuyết và các bài toán cơ bản về nguyên hàm tích phân

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
ĐN
1
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b)
ĐN
2
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
xa
xb
F'(x) f(x); x (a;b)
F(x) F(a)
F' (a) lim f(a)
xa
F(x) F(b)
F' (b) lim f(b)
xb
+
−
+
→
−
→
⎧
⎪
=∀∈
⎪

−
⎪
⇔= =
⎨
−
⎪
−
⎪
==
⎪
−
⎩

Ký hiệu hình thức gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích
phân bất đònh của hàm f(x).
f(x)dx = F(x)+C
∫

VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HP:
y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1)
Giả sử tồn tại y = f(t) mà trong đó t = g(x); để cho hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân được viết:
dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2)

NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NGƯC
d(x
n
)=nx
n-1
dx
*Các trường hợp đặc biệt:

d(ax+b) = adx
2
1d
d=-
xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x

()
dx
dx=
2x

2
dx
d(arc sinx) =
1-x

2
dx
d(arc cosx) =-
1-x

2
dx
d(arc tgx) =
1+x

2
dx
d(arc cotgx) = -
1+x

NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM
d(sinx) = cosxdx
d(cosx) = -sinxdx
2
2
dx
d(tgx) = = (1+tg x)dx
cos x

2
dx
d(cotgx) = -
sin x

dx
d(lnx) =
x

a
dx
d(log x) =
xlna

d(e
x

) = e
x
dx
d(a
x
) = a
x
lnadx
A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA

1/
()
n+1
n
x
xdx= +C n¹-1
n+1
∫

Trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/
dx = x+C
∫
2/
()
-1
dx
xdx= =lnx+C x 0
x

≠
∫∫

4/
2
dx 1
=- +C
xx
∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
5/
mm+
nn
n
xdx= x +C
m+n
∫
n

7/
n
n+1
n
n
xdx = x +C
n+1
∫

6/
()
nn-1
dx -1
=+
xn-1x
∫
C
8/
n
n-1
n
dx n
=x+
n-1
x
∫
C


NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC

9/
sinxdx = -cosx +C
∫
11/
2
dx
=tgx+C

cos x
∫

13/
tgxdx = -ln cosx +C
∫

10/
cosxdx = sinx+C
∫

12/
2
dx
=-cotgx+C
sin x
∫

14/
cotgxdx = ln sinx +C
∫


NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM

15/
xx
edx=e +C
∫
17/

()
x
x
a
a = +C 1 a > 0
lna
≠
∫

16/
-x -x
edx=-e +C
∫

18/
(
)(
lnxdx=x lnx-1 +C x>0
)
∫


NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0)

19/
2
dx
=arctgx+C
x+1
∫

21/
22
dx 1 x
= arctg +C
x+a a a
∫

20/
2
dx 1 x-1
=ln +C
x-1 2 x+1
∫

22/
22
dx 1 x-a
=ln +
x-a 2a x+a
∫
C


NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0)

23/
2
dx
= arcsinx+C

1-x
∫
24/
22
dx x
=arcsin +C
a
a-x
∫

25/
2
2
dx
=lnx+ x ±1+C
x±1
∫
26/
22
22
dx
=lnx+ x ±a +C
x±a
∫

27/
2
22 22
xax
a -x dx = a -x + arcsin +C

22a
∫

28/
2
22 22 22
xa
x±adx= x±a± lnx+ x±a +C
22
∫



B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG:

NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
3
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
1/
n+1
n
(ax+b)
(ax+b) dx = +C (n -1)
a(n+1)
≠
∫

2/
-1

dx 1
(ax + b) dx = = ln (ax+ b) +C (ax + b 0)
(ax + b) a
≠
∫∫

Các trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/ 4/
d(ax + b) = ax+b+C
∫
2
dx -1
=+
(ax+b) a(ax + b)
∫
C

5/
mm
nn
n
(ax+ b) dx = (ax+b) +C
a(m+n)
∫
+n
6/
nn
dx -1
=+
(ax+b) a(n-1)(ax+b)

∫
-1
C

7/
n+1
n
n
n
(ax + b)dx = (ax + b) +C
a(n+1)
∫
8/
n-1
n
n
dx n
=(ax+b)
a(n-1)
(ax + b)
∫
+C

NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0)

9/
1
sin(ax+b)dx = - cos(ax +b)+C
a
∫

10/
1
cos(ax +b)dx = sin(ax+b)+C
a
∫

11/
2
dx 1
=tg(ax+b)+C
cos (ax+b) a
∫
12/
2
dx 1
=- cotg(ax+b)+C
sin (ax+b) a
∫

13/
1
tg(ax+b)dx = - ln cos(ax+b) +C
a
∫
14/
1
cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C
a
∫

NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0)

15/
(ax+b) (ax+b)
1
edx=e +
a
∫
C
16/
(ax+b)
(ax+b)
a
adx= +C (1 a>0
alna
≠
∫
)
17/
1
ln(ax+b)dx= (ax+b)[ln(ax+b)-1]+C (ax+b>0)
a
∫


NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0)

18/
22

dx 1 ax+ b
=arctg +
(ax+b) + a aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
C
19/
22
dx 1 (ax+b)- a
=ln +
(ax+b) - a 2aa (ax +b)+a
∫
C


NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0)

20/
22
dx 1 (ax+b)
=arcsin +C
aa
a-(ax+b)
∫

21/
22
22

dx 1
=ln(ax+b)+(ax+b)±a+C
a
(ax + b) ± a
∫

22/
2
22 22
(ax + b) a (ax+ b)
a -(ax+b) dx = a -(ax+b) + arcsin +C
2a 2a a
∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
4
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
23/
22 22 22
(ax + b)
(ax+b) ±a dx= (ax+b) ±a ±ln(ax+b)+ (ax+b) ±a +C
2a
∫



VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN
TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
Biến đổi hàm tích phân về dạng:
[Af(x)±Bf(x)+ ]dx = A f(x)dx ± B g(x)dx+

∫∫∫
B
B
1
: Cụ thể phải
1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd
2/ Khai triển các hằng đẳng thức:

22 2
33 2 23
(A±B) = A ±2AB+B
(A± B) = A ±3A B+ 3AB ± B ;
3/ Thêm bớt hạng tử:
Xb
X=(X+B)-B;X= (b 0);
b
≠

4/ Nhân lượng liên hợp:
llh
A ± B A m B; ←⎯→
5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức:
22
22
22
22
33
sinx cosx
1=sinx+cosx; tgx= ; cotgx= ;
cosx sinx

11
=1+tg x; =1+cotg x; tgxcotgx=1;
cos x sin x
1-cos2x 1+cos2x
sin x = ; cos x = ;
22
3sinx-sin3x 3cosx + cos3x
sin x = ; cos x = ;v.v
44

B
B
2
: Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi:
• Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích.
• Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau:
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x
m
x
n
-m m m n mn x x x
n
m x
1A
=A ; A =A ;(A ) =A ;AB =(AB); =
AB
A

B

B
B
3
: Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp
f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C
∫
với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và
gọn.
Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có đònh
nghóa:
mở rộng
1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0
sgn(x) = sgn[f(x)]=
-1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0
⎡⎡
⎯⎯⎯⎯→
⎢⎢
⎣⎣

VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN BẤT ĐỊNH:
Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm
Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x
0
∈[a;b].
()
0
0

tại x
f(x)dx = F(x )+C
∫
(1)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
5
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là
F(x) = f(x)dx
∫
mà vẫn không mất
tính tổng quát của nguyên hàm so với đònh nghóa họ nguyên hàm.
Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích
Dùng đònh nghóa nguyên hàm và ứng dụng cách xác đònh hằng số C qua 4 bước:
• Xem biểu thức A(x, a, b, c, ) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và
đặt f(x) = A(x, a, b, c, ).
• Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số.
• Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x).
• Tìm hằng số C bằng cách thay x = x
0
là giá trò cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên,
lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung.
Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c ).
Dạng 3: Tính tổng hữu hạn
B
B
1
: Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà
số hạng đầu là a
1

, có n hạng tử và công bội q thì:
n
1
1-q
F(x) = a
1-q
.
B
B
2
: So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm.


VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ:
f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕϕ
∫∫
∫
. Với x = ϕ(t)
f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕϕ
∫
. Với t = ϕ(x) là biến mới.

A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
f(ax + b)dx
∫
Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx
2.

n+1 n
f(x )x dx
∫
Đặt t = x
n+1
⇒ dt = (n + 1)x
n
dx
3.
dx
f( x)
x
∫
Đặt
dx
t= x dt=
2x
⇒

4.
f(cosx)sinxdx
∫
Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx
5.
f(sinx)cosxdx
∫
Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
6.
2
dx

f(tgx)
cos x
∫
Đặt t = tgx ⇒
2
dx
dt =
cos x

7.
2
dx
f(cotgx)
sin x
∫
Đặt t = cotgx ⇒
2
-dx
dt =
sin x

8.
xx
f(e )e dx
∫
Đặt t = e
x
⇒ dt = e
x
dx

9.
dx
f(lnx)
x
∫
Đặt t = lnx ⇒
dx
dt =
x

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
6
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
10.
2
2
1
f(arc tgx) dx
1+x
1
f(arc cotgx) dx
1+x
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∫

Đặt
2
t=arc tgx
dx
dt = ±
t=arc cotgx 1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

11.
2
2
1
f(arc sinx) dx
1-x
1
f(arc cosx) dx
1-x
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∫

Đặt
2

t=arc sinx
dx
dt = ±
t=arc cosx
1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

12.
2
11
fx± 1 dx
xx
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
∫
∓
Đặt
2
11
t=x± dt= 1 dx
xx
⎛⎞
⇒
⎜⎟
⎝⎠
∓

B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
()
22
fx,x+a dx
∫

2
a
x=atgt dx= dt
cos t
⇒

2.
()
22
fx,a-x dx
∫

x=asint dx=acostdt⇒

3.
()
22
fx,x-a dx
∫

2
aasi
x= dx= dt
cost cos t
⇒
nt


VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN:
udv = uv- vdu
∫∫
⎥
⎥
(*) hay
uv'dx = uv- u'vdx
∫∫
Các dạng tích phân từng phần:

Dạng 1:
n
(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+ b)
P(x) dx
e

⎡⎤
⎢⎥
⎢

⎢
⎢⎥
⎣⎦
∫
. Trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n.
Ta đặt u = P
n
(x) và
(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+b)
dv = dx
e

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này.
Dạng 2:
n
ln(ax+ b)
arcsin(ax+b);arccos(ax+ b)
I= P(x) dx
arctg(ax+b);arccotg(ax+b)

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
7
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ta đặt và dv = P
ln(ax+b)
arcsin(ax+b);arccos(ax+b)
u=
arctg(ax+b);arccotg(ax+b)

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
n
(x)dx



TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH:

I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN:
1. Đònh nghóa:

y
x
a
b
A
A'
B
B'
y=f(x)
O
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm
xác đònh trên đoạn [a;b]. Khi đó hình
phẳng giới hạn bở trục hoành, đường
cong y = f(x) và các đường thẳng có
phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là
hình thang cong (Hình thang hỗn
tuyến AA’B’B).


2. Diện tích hình thang cong:

Đònh lý: Nếu hàm số y = f(x) xác đònh, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ
x = b có giá trò là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên
[a;b].

b
a
S=F(b)-F(a)=S

II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:
III.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm
chia: a = x
0
< x
1
< x
2
< < x
n
= b. Trên mỗi đoạn [x
k-1
;x
k
] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξ
k
bất
kỳ. Ký hiệu: Δx
k
= x
k
- x
k-1
. Nghóa là: Δx
1

= x
1
- x
0
, Δx
2
= x
2
- x
1
,
Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số
y = f(x) trên [a;b].
n
kk 11 22 n
k1
f( ) x f( ) x f( ) x f( ) x
=
ξΔ =ξΔ + ξΔ + + ξΔ
∑
n
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
8
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Ta gọi tích phân xác đònh của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích
phân khi maxΔx
k
→ 0.
Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξ
k

. Ký hiệu:

k
b
n
kk
0
k1
a
f(x)dx lim f( ) x
Δ→
=
=ξ
∑
∫
Δ
Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích.
Chú ý:
• a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên.
• Ý nghóa hình học của tích phân xác đònh: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là
diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và
b
a
f(x)dx
∫
x = b.
• Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton -
Leibnitz):
b
b

a
a
f(x)dx = F(b)- F(a) = F(x)
∫
. Trong đó: F’(x) = f(x).

VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ
TÍCH:
Dạng 1: Tính tích phân
∫
bằng phép phân hoạch và bài toán ngược
b
a
dx)x(f
1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bò chặn trên đoạn
[a;b] đó.
2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn
[a;b] đó.
• Khi tính tích phân bằng đònh nghóa cần thực hiện:
B
B
1
: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
k
b-a
x=a+k
n
. Với k = 0, 1, 2,
, n.
B

B
2
: Chọn ξ
k
bằng x
k
(hoặc x
k-1
) trong đoạn [x
k-1
,x
k
].
B
B
k
3
: Lập tổng tích phân
n
nkk-1
k=1
S = (x -x ).f(x )
∑
B
B
4
: Ta có
b
n
n

a
xf(x)dx limS
→∞
=
∫
Cần nhớ một số kết quả:
1)
n(n+1)
1+ 2 +3 + + n =
2

2)
222 2
n(n+1)(2n+1)
1 + 2 +3 + +n =
6

3)
2
333 3
n(n+1)
1 + 2 +3 + + n =
2
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
9
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
4) x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x).
∫
=
b
a
dt).t(f)x(F

Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann

ĐL
1
: (Điều kiện cần: suy ra từ đònh nghóa )
∫
b
a
dx)x(f
Mọi hàm f không bò chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó.
ĐL
2
: (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó.
ĐL
3
:Mọi hàm f bò chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm
x
0
∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó.
0

0
xx
xx
lim f(x) R
−
+
⎧
⎪
→
⎨
→
⎪
⎩
∈
Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bò chặn trên đoạn [a;b].
ĐL
4
:Mọi hàm f bò chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó.
Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz:
khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện:
b
a
f(x)dx = F(b)- F(a)
∫
• Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b].
• Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b].
Ghi chú:
Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng
y = f(x)
khả tích trên đoạn [a;b]

ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c
∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn:
bcb
aac
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
∫∫∫
(*) .(*) còn sử dụng khi x
0
= c là điểm gián đoạn của f(x) và
F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng).

Thuật đổi biến số:
Khi đã quan sát và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]:
b
a
f(x)dx
∫
• PP
1
- ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức
()
()
f[ (x)] '(x)dx f(t)dt
βϕ
αϕ
ϕϕ =
∫∫
β
α
)

)
• Với các ghi nhớ:
) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới.
) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm
trên [α;β].
xt(
xt(
=α⇒ =ϕα
⎧
⎨
=β⇒ =ϕβ
⎩
• PP
2
- ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2)
1
1
(b)
b
a
(a)
f(x)dx f[ (t)] '(t)dt
−
−
ϕ
ϕ
=ϕϕ
∫∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

10
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Với các ghi nhớ:
) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới.
) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên
[a;b].
1
1
xa t (a)
xb t (b)
−
−
⎧
=⇒=ϕ
⎪
⎨
=⇒=ϕ
⎪
⎩
Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) < hay t = ϕ
-1
(x) > là quan trọng như tính liên tục và
khả đạo hàm của t trên [α;β] < hay [a;b] >.
Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp
ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà . Lúc đó (1) không còn đúng!
(1)
(1)
VP 0
VT 0
=

⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩

VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC

Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất

Tính tích phân
b
1
2
a
dx
I(
xx
=α
α+β+γ
∫
0)≠

Ta làm 2 bước:
B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích của
2

dx
f(x)
xx
=
α
+β +γ
trên [a;b].
B
B
2
: Đưa về dạng chuẩn để sử dụng một trong ba công thức sau với và sau khi
đặt
2
4Δ=β − αγ
1
α
ra ngoài dấu tích phân:
1)
b
b
22
a
a
dX 1 X
= arctg
X+A A A
⎡
⎢
⎣⎦
∫

⎤
⎥
Nếu Δ < 0
2)
b
b
22
a
a
dX 1 X-A
=ln
X-A 2A X+A
⎡
⎢
⎣⎦
∫
⎤
⎥
Nếu Δ > 0
3)
b
b
2
a
a
dX 1
=-
XX
⎡⎤
⎢⎥

⎣⎦
∫
Nếu Δ = 0
b
b
a
a
dx 1
=lnax+b
ax+b a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
∫


Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai
Tính tích phân
b
2
2
a
mx n
Idx(0
xx
+
=α
α+β+γ
∫
;m0)≠≠

Ta làm 2 bước:
B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng:
bb
2
22
aa
m2x m2n dx
Idx
2xx 2 xx
α+β β −α
⎛⎞
=−
⎜⎟
α α +β +γ α α +β +γ
⎝⎠
∫∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
11
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
BB
2
: Tính I
2
và I
2

phụ thuộc vào 3 trường hợp của I
1
.
b
2
21
a
mm
Ilnxx
22
β−α
⎛⎞
⎡⎤
=α+β+γ−
⎜⎟
⎣⎦
αα
⎝⎠
2n
I


Dạng 3: Bài toán tích phân hàm phân thức tổng quát
Tính tích phân
b
a
P(x)
I= dx
Q(x)
∫

; trong đó P(x) và Q(x) là những đa thức.
Ta để ý hai trường hợp:
TH
1
: Bậc P(x) ≥ bậc Q(x) thì đem chia P(x) : Q(x) để đưa về trường hợp 2.
TH
2
: Bậc P(x) < bậc Q(x) thì ta đã có 2 phương pháp nhân tích thành tổng các tích phân
phân thức thành phần mà phép giải khả thi như sau:
• Phân tích theo yêu cầu đề bài hướng dẫn.
• Phân tích theo đònh lý Taylor.
TH
1
: Q(x) = 0 có các nghiệm đơn x
1
; x
2
; x
3
thì phân tích
3
12
i
123
A
AA
P(x)
;A ; i 1;n
Q(x) xx xx xx
=+++∀∈

−−−
là hằng số.
Tìm A
i
bằng phương pháp thế giá trò riêng (nghiệm mẫu).
TH
2
: Q(x) = 0 có các nghiệm bội x
1
; x
2
. Thì ta phân tích, thí dụ:
3
121 2
23 2 3 2
12 1 2 2 2 2
B
AAB B
P(x) P(x)

Q(x) (x x ) (x x ) (x x ) x x (x x ) (x x ) x x
==++++
−− − − − − −
+

Tìm A
i
; B
j
bằng phương pháp giá trò riêng (nghiệm mẫu) và phương pháp giá trò tùy ý;

j
1,3 và i 1,2∀∈ ∀∈

TH
3
: Q(x) chứa các tam thức bậc hai α
1
x
2
+ β
1
x + γ
1
có nghiệm x
1
; x
2
hay có nghiệm kép hay
α
2
x
2
+ β
2
x + γ
2
(vô nghiệm) thì ta phân tích, thí dụ:
12
22
11 2222 1 222

AA
P(x) P(x) Bx C
Q(x) (x x )(x x )( x x ) x x x x x x
+
==+
α− − α+β+γ − − α+β+γ
2
+

12
22 2 2 2
1 2 22 2 22 2 22
AA
P(x) P(x) Bx C Ex F
Q(x) (x X) ( x x ) (x X) x X x x ( x x )
++
==+++
α− α+β+γ − − α+β+γ α+β+γ
2


CHUYÊN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG

I. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1:

• Cho hàm f xác đònh trên [a;+∞) và khả tích trên đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞. Ta đònh
nghóa: . Khi giới hạn ở vế phải hữu hạn ta nói hội tụ,
ngược lại ta nói phân kỳ.
b
b

aa
f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞
=
∫∫
a
f(x)dx
+∞
∫
a
f(x)dx
+∞
∫
• Tương tự

{
bb b
b
a
aa
a
f(x)dx lim f(x)dx ; f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞
→−∞
−∞ −∞
→−∞
==
∫∫ ∫ ∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
12
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Hay
c
c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx; c R
+∞ +∞
−∞ −∞
=+ ∀
∫∫∫
∈
∈
∈
• Việc sử dụng công thức Newton - Leibnitz cũng không khác mấy khi gọi F(x) là
nguyên hàm của f(x), ta có:
b
ba
a
f(x)dx lim F(b) F(a) f(x)dx F(b) lim F(a)
+∞
→+∞ →−∞
−∞
=− =−
∫∫
II. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2:

Cho hàm f giới nội và khả tích trong đoạn [a + ε; b] nhưng không giới nội hoặc không khả
tích trong toàn bộ [a; b] ta đònh nghóa: khi .
bb

0
aa
f(x)dx lim f(x)dx
ε→
+ε
=
∫∫
xa
limf(x)
→
=∞
Hay:
bb
ca
ac
f(x)dx lim f(x)dx; c (a;b]
→
=∀
∫∫
Tương tự trên [a;b) ta có:
bb
0
aa
f(x)dx lim f(x)dx
+
−ε
ε→
=
∫∫
Hay: khi

bc
cb
aa
f(x)dx lim f(x)dx; c [a;b)
−
→
=∀
∫∫
xb
limf(x)
→
=
∞

Ghi chú:
Có loại tích phân vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân suy rộng loại 2. Chẳng
hạn:
1
22
001
SRL2 SRL1
lnx lnx lnx
Idxdx
1x 1x 1x
+∞ +∞
==+
++ +
∫∫∫
  
2

dx
. Và ta chứng minh được I = 0.

III. TÍCH PHÂN HÀM LƯNG GIÁC:
Dạng 1:
b
mn
a
sin xcos xdx
∫
1) Nếu ít nhất một trong 2 số m hay n lẻ:
• m lẻ (⇒) Đặt t = cosx
• n lẻ (⇒) Đặt t = sinx
• m; n đều lẻ
m n ( ) Đặt t sinx
m n ( ) Đặt t cosx
m n ( ) Hạ bậc nâng cung
≥⇒ =
⎡
⎢
≤⇒ =
⎢
⎢
=⇒
⎣
2) m; n chẵn (m; n > 0) ⇒ Dùng công thức hạ bậc nâng cung.
22
33
1 cos2x 1 cos2x
sin x cos x

22
3sinx sin3x 3cosx cos3x
sin x cos x
44
−+
==
−+
==

3) m; n chẵn (m;n < 0) ⇒ Đặt t = tgx.

Dạng 2: (Trong đó R là 1 hàm hữu tỷ)
b
a
R(sinx;cosx)dx
∫

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
13
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Sử dụng các phép thế sau:
1) Phép thế tổng quát (Phép thế vạn năng):
Đặt
2
2
22
2dt
dx
x
1t

ttg
2
2t 1 t
sinx và cosx
1t 1t
⎧
=
⎪
⎪
+
=⇒
⎨
−
⎪
==
⎪
++
⎩

2) Ba phép thế đặc biệt:
• R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx
• R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = sinx
• R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = tgx


Dạng 3: Các dạng khác
1)
b
a
sin( x )cos( x )

Công thức biến đổi
sin( x )sin( x ) dx
tích thành tổng
cos( x )cos( x )
α+β γ+δ
⎡⎤
⎡
⎢⎥
α+β γ+δ ⇒
⎢
⎢⎥
⎣
⎢⎥
α+β γ+δ
⎣⎦
∫
2) Biến đổi tổng thành tích.
3) Các dạng khác trên

IV. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC:
Dạng 1:
p
b
r
m
q
s
n
a
R(x;x ;x ; ;x )dx

∫

1) Đặt
k
k
txt=⇒=x
với k = MSC (n; q; ; s). Nhớ để ý tính khả tích của f trên [a;b].
2) Phương pháp vẫn khả thi khi gặp các hàm hợp của hàm:
p
r
m
q
s
n
f(x) R(x;x ;x ; ;x )dx=

•
k
f( x ) Đặt t xα+β⇒ = α+β

•
k
xx
fĐặt t
xx
⎛⎞
α+β α+β
⇒=
⎜⎟
γ+δ γ+δ

⎝⎠


Dạng 2:
bb
22
aa
dx Ax B
(0) và d
xx xx
+
α≠
α+β+γ α+β+γ
∫∫
x

B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích và biến đổi
2
2
xx x k
2
⎡
⎤
β
⎛⎞
α+β+γ=α + +
⎢

⎥
⎜⎟
α
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦

B
B
2
: Phân biệt ba trường hợp sau khi đưa
1
α
ra ngoài dấu tích phân và đặt
Xx
2
β
⎛⎞
=+
⎜⎟
α
⎝⎠

1)
b
b
2
2

a
a
0
dX
Áp dụng: ln X X k
k0
Xk
α>
⎧
⇒=+
⎨
≠
+
⎩
∫
+

2)
b
b
a
a
0
dX
Áp dụng: sgn x ln X
k0 2 2
x
2
α>
⎧

β
β
⎛⎞
⇒=+
⎨
⎜⎟
β
=α
⎝⎠
⎩
+
α
∫
+
α

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
14
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
3)
b
b
22
a
a
0
dX X
Áp dụng: arcsin (H 0)
k0 H
HX

α>
⎧
⇒=
⎨
<
+
⎩
∫
>

Ghi chú: Bằng phép phân tích thêm bớt ta có thể tính được
b
2
2
a
Ax B
Id
xx
+
=
α+β+γ
∫
x
với dạng
nền là
b
1
2
a
dx

I
xx
=
α+β+γ
∫
sau khi đặt
2
tx x
=
α+β+γ.

Dạng 3:
b
2
a
Ixx=α+β+γ
∫
dx

a) Phương pháp 1:
BB
1
: Biến đổi
2
2
xx x k
2
⎡
β
⎛⎞

α+β+γ=α + +
⎢
⎜⎟
α
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎤
⎥
; đưa
α
ra ngoài dấu tích phân và xem
Xx
2
β
=+
α
.
B
B
2
: Ta chia làm ba trường hợp:
TH
1
:
b
b
b
22 2
a

a
a
0
Xk
Áp dụng công thức: X k X k ln X X k
k0 2 2
α>
⎧
⇒+=++
⎨
≠
⎩
∫
++

TH
2
:
b
b
2
a
a
0
xx
Áp dụng công thức : x dx sgn x
k0 2 2 2 2
α>
⎛⎞
⎧

ββ
⎛⎞
⇒+=+
⎨
⎜⎟
⎜⎟
=α
⎝⎠
⎩
⎝⎠
∫
β
+
αα

TH
3
:
b
b
2
b
22 22
a
a
a
0
XH
Áp dụng công thức: H X H X arcsin
k0 2 2 H

α>
⎧
⇒+=++
⎨
<
⎩
∫
X


b) Phương pháp 2:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
2
uxx
dv dx
⎧
=α +β+γ⎪
⎨
=
⎪
⎩

Dạng 4: Giới thiệu phép thế lượng giác tính
(
)
b
2
a
IRx;x x d=α+β+γ

∫
x

Sử dụng một trong 3 phép thế sau khi biến đổi và quan sát điều kiện khả tích:
TH
1
:
()
b
22
a
I R x; (kx h) m dx (m 0)=++
∫
>

Đặt
kx h
t arctg kx h m tgt
m
+
⎛⎞
=⇔+
⎜⎟
⎝⎠
=

TH
2
:
()

b
22
a
I x; m (kx h) dx (m 0)=−+
∫
>

Đặt
kx h
t arcsin kx h m sint
m
+
⎛⎞
=⇔+=
⎜⎟
⎝⎠

TH
3
:
()
b
22
a
I R x; (kx h) m dx (m 0)=+−
∫
>

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
15

Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Đặt
mm
t arccos kx h
kx h cost
⎛⎞
=⇔+
⎜⎟
+
⎝⎠
=

Dạng 5: Giới thiệu phép thế Euler tính
(
)
b
2
a
IRx;x x d=α+β+γ
∫
x

Một cách khác phép thế Euler như sau tỏ ra tiện lợi:
• Đặt
2
xx xt nếu α+β+γ=±α+ α>0

• Đặt
2
x x xt c nếu c 0α+β+γ= ± ≥

• Đặt
2
12 1
x x (x x )(x x ) t(x x ) ( 0)α+β+γ=α− − = − Δ>

Dạng 6: Giới thiệu các dạng chuẩn và các thuật đổi biến đặc trưng
Xử lý đúng thuật đổi biến đặc trưng cho từng dạng chuẩn được giới thiệu ở sau: ta luôn
được cách giải quyết tích phân bằng phương pháp tích phân đặc trưng cho các hàm căn
thức đã biết (chú ý điều kiện khả tích).
1) Dạng
b
1
2
a
dx
I
(x ) x x
=
+δ α +β +γ
∫
Đặt
1
t
x
=
+
δ

2) Dạng

b
2
22
a
Ax dx
I
(x ) x
=
ω+δα+γ
∫
Đặt
2
tx
=
α+γ

3) Dạng
b
3
22
a
Bdx
I
(x ) x
=
ω+δα+γ
∫
Đặt
2
xt x

=
α+γ

4) Dạng
bbb
4
22 22 22
aaa
(Ax B) dx Ax dx B dx
I
(x ) x (x ) x (x ) x
+
==+
ω+δα+γ ω+δα+γ ω+δα+γ
∫∫∫

5) Dạng
b
2
5
22
a
(Ax B) dx
I Với ( 4 0)
(x x ) x x
+
=δ
ω+δ+ξα+β+γ
∫
−ωξ<

Đưa về dạng
b
4
22
a
(Ax B) dx
I
('x ') 'x '
+
=
ω
+δ α +γ
∫

6) Dạng
b
n
6
2
a
P(x) dx
I
xx
=
α+β+γ
∫
Với P
n
(x) đa thức bậc n ≥ 2.

Bằng cách biến đổi Euler, tích phân I
6
tính được một cách tổng quát nhưng rất phức tạp.
Người ta đã chứng minh được công thức sau và nếu áp dụng nó thì việc tính tích phân I
6
có
phần đơn giản hơn:
b b
b
2
n
n1
2 2
a
a a
P(x)
dx
dx Q (x) ax bx c (*)
ax bx c ax bx c
−
=+++λ
++ ++
∫∫

Trong đó Q
n-1
(x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số cần được xác đònh và λ là một số thực
cũng cần được xác đònh.
Để xác đònh λ và các hệ số của Q
n-1

(x) ta đạo hàm hai vế đẳng thức (*). Rồi đồng nhất hệ số
hai vế để suy ra hệ phương trình đặc trưng mà việc giải hệ phương trình đặc trưng đó sẽ
cho ta λ và các hệ số của Q
n-1
(x). (Gọi là phương pháp đạo hàm đẳng lập).


VẤN ĐỀ 3: CẬN TRUNG GIAN:
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
16
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
Cơ sở của phương pháp là áp dụng hợp lý công thức (1): qua hai
bước (để tính các tích phân xác đònh mà hàm dưới dấu tích phân có chứa | |; max; min và cả
trường hợp đoạn lấy tích phân không áp dụng được công thức Newton - Leibnitz).
bcb
aac
f(x)dx f(x)dx f(x)dx=+
∫∫∫
B
B
1
: Chọn cận trung gian c thích hợp (đôi khi phải chọn hai, ba giá trò cận trung gian khác
nhau tùy điều kiện bài toán).
BB
2
: Áp dụng công thức Newton - Leibnitz
cb
ac
f(x)dx F(c) F(a)và f(x)dx F(b) F(c)=− =−
∫∫

để tính tích phân (1).
Chú ý: Thận trọng khi f(c) ∉ R (trường hợp tích phân suy rộng loại 2).

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ CÁC THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ
RÀNG BUỘC HAI CỰC
Chứng minh (VT = VP). Đôi khi ta cần chứng minh đẳng thức trung gian. Ví dụ:
*
AB0 AB−=⇔=
*
AC
AB
BC
=
⎧
⇔=
⎨
=
⎩
*
22
AB;A B
A B
AB0
⎧
==
⎪
⇔=
⎨
≥≥
⎪

⎩

Ở đây ta lưu ý đến phép đổi biến số kết hợp cận trung gian, tính chẵn lẻ tuần hoàn - liên
tục Ngoài ra tính chất không phụ thuộc biến và tính chất hoán đổi cực cũng rất thường
sử dụng:
bb b
aa a
bb
aa
bcb
aac
f(x)dx f(t)dt f(n)dn
f(x)dx f(x)dx
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
===
=−
=+
∫∫ ∫
∫∫
∫∫∫

Ghi chú: Khi hai vế không cùng cực ta phải đổi biến số để tính cực là đồng nhất.

10 ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ĐÁNG NHỚ
1
[]
2a a
00
f(x)dx f(x) f(2a x) dx=+−
∫∫

biết
f liên tục trên [0; 2a]
a0
⎧
⎨
∀>
⎩
2
bb
aa
ab
xf(x)dx f(x)dx
2
+
=
∫∫
biết
f liên tục trên [a; b]
f(a b x) f(x)
⎧
⎨
+− =
⎩
3
bb
aa
f(x)dx f(a b x)dx=+−
∫∫

(HQ):

bb
00
f(x)dx f(b x)dx=−
∫∫
biết f liên tục trên [a; b]
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
17
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
4
aa
a0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫∫

biết
f liên tục trên [-a; a]
f chẵn; a 0
⎧
⎨
∀>
⎩
5
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫

biết
f liên tục trên [-a; a]
f lẻ; a 0
⎧
⎨
∀>
⎩
6
aT T
a0
f(x)dx f(x)dx
+
=
∫∫

(HQ):
nT T
00
f(x)dx n f(x)dx=
∫∫
biết
f liên tục trên R
f có chu kỳ T
⎧
⎨
⎩
7
22
00
f(sinx)dx f(cosx)dx

ππ
=
∫∫

biết f liên tục trên [0; 1]
8
2
00
f(sinx)dx 2 f(sinx)dx
π
π
=
∫∫

biết f liên tục trên [0; 1]
9
2
00
xf(sinx)dx f(sinx)dx
π
π
=π
∫∫

biết f liên tục trên [0; π]
10
tt
x
t0
f(x)dx

f(x)dx
a1
−
=
+
∫∫

biết
f liên tục trên [-t; t]
f chẵn; a 0; t R
⎧
⎨
∀
>∀∈
⎩


VẤN ĐỀ 5: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG TÍCH PHÂN PHỤ TR VÀ HÀM PHỤ
TR
Dạng 1: Tính tích phân bằng thuật tích phân phụ trợ
• Muốn tính tích phân I ta sử dụng tích phân phụ trợ J và việc chọn J (khả tích) như các
tiêu chuẩn sau đã tỏ ra là tiện lợi:
1) Hệ phương trình là giải được.
g(I;J) 0
h(I;J) 0
=
⎧
⎨
=
⎩

2) Chứng minh I = J và giải phương trình: 2I = I + J ⇒ I =
(Hiển nhiên tính được cả J vì J = I)
• Cũng có thể chọn J sao cho: (1) và (2) với chú ý cả hai
tích phân ở (1) và (2) đều khả thi.
b
a
IJ h(x)dx+=
∫
b
a
IJ g(x)dx−=
∫

Dạng 2: Tính tích phân bằng thuật hàm phụ trợ
• Muốn tính tích phân mà trong đó hàm f(x) khả tích trên [a;b] nhưng không
tính được nguyên hàm bằng các phương pháp đã nêu (hay không tính được một cách
đơn giản bằng tính chất hàm sơ cấp). Người ta chọn một hàm phụ trợ g(x) khả tích cho
f(x) như sau tỏ ra hiệu quả:
b
a
If(x)d=
∫
x
(1) h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b]
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
18
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
(2)
b
a

b
a
h(x)dx (const)(b a)
g(x)dx : Khả thi theo các phương pháp trước
⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
∫
∫
• Thông thường tìm f’(x) để dự đoán g(x) cần tìm.

VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng đại số và giải tích
Cho các hàm liên tục trong đoạn [a; b]; ∀b > a, như sau:
bb
aa
f(x) g(x); x [a;b] f(x)dx g(x)dx≥∀∈⇒ ≥
∫∫

• Nếu tìm được (α; β) ⊂ [a; b] mà f(x) > g(x): (dấu đẳng thức không
xảy ra)
bb
aa
f(x)dx g(x)dx⇒>

∫∫
• Trường hợp g(x) = 0 trên đoạn [a; b]; ta có:
b
a
f(x) 0; x [a;b] f(x)dx 0; x [a;b]≥∀∈ ⇒ ≥∀∈
∫

•
bb
aa
f(x)dx f(x) dx (dấu " " xảy ra f(x) 0; x [a;b])≤=⇔≥∀
∫∫
∈
•
b
a
m f(x) M; x [a;b] m(b a) f(x)dx M(b a)≤≤∀∈ ⇒−≤ ≤ −
∫
• Xét một bất đẳng thức mà cả hai vế đều chứa dấu tích phân ta lưu ý:
) Khi hai cận hai vế như nhau ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức xảy ra giữa hai
hàm dưới dấu tích phân.
) Khi hai cận hai vế khác nhau ta cần chọn biến số để đổi ở một trong hai vế để hai
cận hai vế như nhau và làm tương tự như trên.
• Vậy muốn chứng minh . Ta tìm hàm g(x) thỏa
b
a
f(x)dx A≤
∫
b
a

f(x) g(x); x [a;b]
g(x)dx A
≤∀∈
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
∫
• Đôi khi còn sử dụng dấu của tam thức bậc hai, quy nạp, đạo hàm để chứng minh

bb
aa
f(x)dx g(x)dx≤
∫∫

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức bằng bài toán hình thang hỗn tuyến (PP hình học)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
19
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
y
x
a
b
B
1
B
2
A

1
S
A
2
y=f(x)
y=g(x)
x=a
x=b
O
Cho hai hàm f(x) và g(x) liên tục trên
[a;b], diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đồ thò y = f(x); y = g(x) và hai
đường tung x = a và x = b (a < b) như
trong hình vẽ được tính bởi:
()
b
a
S f(x) g(x) dx=−
∫



VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ CÔNG THỨC TRUY HỒI (QUY NẠP)
Xét . Nếu lập được một quan hệ giữa các I
b
n
a
If(x;n)d=
∫
x

t
⎝⎠
∫
0
hay I
1
hay I
2
; với I
n
của dãy (I
n
)
thì được công thức truy hồi của I
n
.
Thông thường ta sử dụng:
1) Phương pháp tích phân từng phần; Phương pháp đổi biến.
2) Phương pháp lùi dần các số hạng của dãy (I
n
) để rút gọn các số hạng ở khoảng giữa
của dãy, để rồi từ đó tìm ra số hạng tổng quát tùy ý của dãy (I
n
).
Ghi chú:
1/ n! = 1.2.3 (n-1).n
2/ (2n)!! = 2.4.6 (2n-2).(2n)
3/ (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n-1)(2n+1)
4/ 0! = 1! = 1
5/ (-1)!! = 0!! = 1

VẤN ĐỀ 8: HÀM TÍCH PHÂN
Xét tích phân với hai cận a = a(x), b = b(x) thì I không là một hằng số thực. Lúc
đó I là một hàm số thực theo biến số thực x : I(x) gọi là một hàm số - tích phân hay gọn hơn
hàm tích phân. Thường ta xét:
b
a
If(t)d=
∫
x
a
I(x) f(t)dt=
∫
hoặc (f(t) liên tục trên [a;x])
(x)
a
I(x) f(t)dt
ϕ
=
∫
Ta có: là một nguyên hàm của f(x) thỏa điều kiện I(a) = 0
x
a
I(x) f(t)dt=
∫
x
a
I'(x) f(t)dt f(x)
′
⎛⎞

⇒= =
⎜⎟
⎝⎠
∫

Như vậy ta có các chú ý: khi hai cực là một hàm số của x:
1)
⎜⎟
⎜⎟

[]
(x)
a
f(t)dt f (x) . '(x)
ϕ
′
⎛⎞
=ϕ ϕ
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
20
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
2)
2
1
(x)
22 11
(x)
f(t)dt f (x) . ' (x) f (x) . ' (x)
ϕ
ϕ

′
⎛⎞
=ϕ ϕ −ϕ ϕ
⎜⎟
⎡⎤ ⎡⎤
⎣⎦ ⎣⎦
⎜⎟
⎝⎠
∫
Ghi chú:
Khi tìm giới hạn của một hàm tích phân đôi khi phải sử dụng quy tắc L’hospitale. Tất cả
các dạng vô đònh đều đưa được về dạng vô đònh
0
0 ; - ; 1 ; ; và 0
∞
×∞ ∞ ∞ ∞
0
0
0
hay
∞
∞
để sử dụng
quy tắc L’hospitale thì việc tìm giới hạn mới chính xác.

VẤN ĐỀ 9: GIỚI HẠN VÀ TÍCH PHÂN
Dạng 1: Dãy tích phân và giới hạn của dãy tích phân
Xét
b
n

a
If(x;n)dx; nZ
+
=∀
∫
∈
1
=α
. Khi n thay đổi ta có dãy tích phân (I
n
). Để tính giới hạn ta
lập công thức truy hồi I
n
n
limI
→∞
n
và sử dụng các tính chất:
•
nn
nn
lim I limI
−
→+∞ →∞
=
•
nn n
nn n
nn n
aIb

lim a lim b lim I
→+∞ →+∞ →+∞
≤≤
⎧
⎪
⎨
==α⇒
⎪
⎩

Dạng 2: Giới hạn mở rộng cực tích phân
Muốn tính . Ta đi tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) và áp dụng gián tiếp công
thức Newton - Leibnitz trong giới hạn
n
n
a
lim f(x)dx
→∞
∫
n
nn
a
lim f(x)dx limF(n) F(a)
→∞ →∞
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
∫

.

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


y
x
a
b
B
C
S(x)
A
D
(C):y=f(x)
x=a
x=b
O
1)
b
b
a
a
S S (x) f(x)dx==
∫
(1)
• Ghi chú 1: Khi sử dụng công thức trò tuyệt đối ở (1) sẽ
luôn đúng cho cả hai trường hợp f(x) ≥ 0 hoặc f(x) ≤ 0.

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

21
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
y
x
a
b
B
C
S(x)
A
D
(C):y=f(x)
(C):y=g(x)
x=a
x=b
O
y
x
a
b
c
B
C
E
A
D
(C):y=f(x)
(C):y=g(x)
O
2)

[]
b
b
a
a
S S (x) f(x) g(x) dx== −
∫
(2)
• Ghi chú 2: Khi sử dụng công thức trò tuyệt đối ở (2) sẽ
luôn đúng cho cả hai trường hợp f(x) ≥ g(x) hoặc
f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b]

3)
[][]
cb
b
a
ac
S S (x) g(x) f(x) dx f(x) g(x) dx== − + −
∫∫
(3)
• Ghi chú 3: Thực chất
cb
12 a c
S S S S (x) S (x)=+= +
Khi gặp trường hợp tổng quát phải phân nhỏ
S = S
1
+ S
2

+ S
3
+ + S
n
ta làm tương tự cho (3).

• Ghi chú 4: Khi phức tạp ta có thể chuyển sang tính nếu phán đoán được nó
đơn giản hơn khi tính .
b
a
S(x) S(y)
β
α
b
a
S(x)

• Ghi chú 5: Khi diện tích giới hạn ở vò trí phức tạp, ta có thể sử dụng tính chất: Diện
tích S bất biến qua một phép dời hình.

TÍNH THỂ TÍCH BẰNG
b
a
f(x)dx
∫
Dạng 1: Thể tích cố thể tròn xoay

Áp dụng các công thức sau:
y
x

a
b
(C):y=f(x)
O

y
x
a
b
(C):y=f(x)
O

[]
b
2
a
Vf(x)=π
∫
dx dy
2

[]
b
2
a
Vg(y)=π
∫

• Ghi chú 1: Khi gặp các cố thể tròn xoay phức tạp thì phương pháp cộng thể tích thành
phần là quan trọng lúc tính thể tích:

12 1
VVV V VV
=
+⇔=−. Trong đó:
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
22
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
V
1
: là thể tích cần tìm trong giả thiết.
V; V
2
: là các thể tích liên đới tính nó đơn giản hơn V
1
.
• Ghi chú 2: Đôi khi ta còn áp dụng tính bất biến của S và V qua 1 phép dời hình.
Dạng 2: Thể tích cố thể do hình thang hỗn tuyến đáy Ox quay quanh Oy
Ta xét một trường hợp đặc biệt của dạng 1 khi cho hình thang hỗn tuyến AA
0
BB
0
B (đáy A
0
B
0
y
x
a-a b
B
B'

A' A
B
0
A
0
-b
O
y
x
(
C
)
:
y
=
f
(
x
)
a
b
B
f(b)
f(a)
A
B
0
O
y
x

A
A
x
B
x
C
x
B
C
H
S
b
O
B
2
x

⊂ Ox) quay quanh Oy.

Lúc đó cố thể tạo thành có thể tích: (1)
b
a
V2 xf(x)dx=π
∫
Vậy (1) thay có cách tính phức tạp hơn của phương pháp tổng thể tích:
f(b)
2
21
f(a)
Vbf(b) f(y)dyaf(a)

−
⎛⎞
⎡⎤
=π − π +π
⎜⎟
⎣⎦
⎜⎟
⎝⎠
∫


Dạng 3: Thể tích cố thể tùy ý

Sử dụng công thức tính thể tích
b
a
VB(x)d=
∫

• B là đáy (diện tích đáy)
• B(x) là diện tích thiết diện song
song với đáy B tại x tùy ý trong
[a;b].
Ghi chú: Thường chọn trục Ox hợp lý
để biểu thức B(x) đơn giản.


a