Số phức ôn thi tốt nghiệp

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -1-






















Naêm hoïc: 2009 – 2010

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -2-

A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và
số i thỏa mãn
2
1
i
= -
.
Kí hiệu
z a bi
= +

· i: đơn vò ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo.
Chú ý:
o
z a 0i a
= + =
được gọi là số thực

(a )
Ỵ Ì
¡ £

o
z 0 bi bi
= + =
được gọi là số ảo
o
0 0 0i
= +
vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z =
a + bi
2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức
z a bi
= +
và
z' a ' b'i
= +
với
a,b,a ',b'
Ỵ
¡

a a'
z z'
b b'
=
ì

= Û
í
=
ỵ

3. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức
z a bi
= +
và
z' a ' b'i
= +
với
a,b,a ',b'
Ỵ
¡

(
)
(
)
z z' a a' b b' i
+ = + + +

(
)
(
)
z z' a a' b b' i
- = - + -

o Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b
)
Ỵ
¡

4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức
z a bi
= +
và
z' a ' b'i
= +
với
a,b,a ',b'
Ỵ
¡

(
)
(
)
z.z' aa' bb' ab' a 'b i
= - + +

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi
= -

o '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
o z là số thực zz =Û ; z là số ảo zz -=Û
6. Môđun của số phức z = a + bi

o
2 2
z a b zz OM
= + = =
uuuur

o 00,0 =Û=Ỵ"³ zzCzz
o
z.z' z z' , z z' z z' z,z'
= + £ + " Ỵ
£

7. Chia hai số phức.
o Số phức nghòch đảo của z (z )0
¹
: z
z
z
2
1
1
=
-

x
y
a
b
O
M

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -3-

o Thương của z’ chia cho z (z
0)
¹
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1
===
-

o Với z .'
'
,0 wzzw

z
z
=Û=¹ ,
z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==
÷
ø
ư
ç
è
ỉ



II. CÁC DẠNG TOÁN
Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a.
z i (2 4i)(3 2i)
= + - +

; b.
3 3
z ( 1 i) (2i)
= - + - ; c.
( )
2
z 1 i
1 i
= + +
-

Giải.
a.
z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i
= + - + = + - = -

Phần thực a = 14; Phần ảo b =
7
-
; môđun
z 7 5
=
b.
3 3
z ( 1 i) (2i) 2 2i ( 8i) 2 10i
= - + - = + - - = +
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun
z 2 26
=
c.

( )
2
z 1 i 1 i 1 i 2
1 i
= + + = + + - =
-

Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun
z 2
=

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a. (4 – i) + (2 + 3i)
– (5 + i)
b. (2 + i)
3
– (3 – i)
3

c.
-
1
2 3i

d. -
3
(2 3i)

e. (1 + i)

2
– (1 – i)
2

f.
(
)
(
)
+ - -
2 2
3 i 3 i

g. (2 + i)
3
– (3 – i)
3

h.
+ - -
+ - -
2 3
3 2
(1 2i) (1 i)
(3 2i) (2 i)

i.
( )
2
4 5

3 2
2
-
- +
+
i
i
i

j. ( 1- 2 i ) +
i
i
+
+
2
1

k.
-
3 2i
i

l.
(
)
(
)
[
]
.)25(223

3
iii +

m.
- -
-
+
3 2
1
i i
i i

n.
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3

o.
+ +
+
- -
3 2i 1 i
1 i 3 2i

p.
( )
)32(41
43
ii
i
+-
-

2. Tính
a.
i
2
1
3
+

b.
i
i
-
+
1
1

c.
mi
m

h.

ai
bia +

i. (2 – i)
4

j.
i
2
3
2
1
1
-

n. (2 + 3i)
2

o. (2 – 3i)
3

p.
i
i
+
+
1
24

q.

2 i (1 i)(4 3i)
3 2i
+ + + -
+

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -4-

d.
aia
aia
-
+

e.
)1)(21(
3
ii
i
+-
+

f. 2i(3 + i)(2 + 4i)
g. 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)

k.
i
i
i
6
3
45
34
+
+
+-
l.
(
)
(
)
i
ii
+
-
+
2
21
32

m. (3 – 2i)(2 – 3i)

r.
(3 4i)(1 2i)

4 3i
1 2i
- +
+ -
-

s.
3 i
i
-
+ (5 – i)
2

t.
2 2i 1 2i
1 2i 2 2i
+ +
+
- -




Bài toán 2. Tính
2012
(1 i)
+
Giải.
1006
2012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006

(1 i) (1 i) (2i) 2 .i 2 .(i ) 2 .( 1) 2
é ù
+ = + = = = = - = -
ë û

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính.
a.
2 3 2009
1
i i i i
+ + + + +
b.
100
(1 )
i-

c.
2008 2008
(1 ) (1 )
+ + -
i i

Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết
2x yi 3 2i x yi 2 4i
+ - + = - + +

Giải.
2x 3 x 2 x 4
2x yi 3 2i x yi 2 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i

y 2 4 y y 1
- = + =
ì ì
+ - + = - + + Û - + + = + + - Û Û
í í
+ = - =
ỵ ỵ

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm các số thực x và y biết:
a. (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i
b. (2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y) i
c. (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y
– 5) i
d. (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) –
(y – 4) i
Bài toán 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho
số phức z thỏa mãn:
a.
z i z 2 3i
+ = - -
; b.
z 3 1
+ £

Giải. Đặt
z x yi
= +
, khi đó:
a.

z i z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i x 2 (y 3)i
+ = - - Û + + = + - - Û + + = - + -

2 2 2 2
x (y 1) (x 2) (y 3)
x 2y 3 0
Û + + = - + - Û + - =

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
x 2y 3 0
+ - =

b.
2 2 2 2
z 3 1 x yi 3 1 x 3 yi 1 (x 3) y 1 (x 3) y 1
+ £ Û + + £ Û + + £ Û + + £ Û + + £

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -5-

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn
2 2
(x 3) y 1
+ + £

tâm
I(-3;0) và bán kính bằng 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z
thỏa mãn:
a. 43 =++ zz
b. 2|z – i| = izz 2+-

c.
3 4
z z i
= - +

d.
1
z i
z i
-
=
+

e.
1 2
z i
- + =

a. z + 2
z
= 2 – 4i
b. 0

2
=- zz
f. 0
2
=+ zz
g. 2
z i z
+ = -

h. z = 1
i. z = iz 43+-
j. 10)_2( =- iz và '.zz = 25
k. z
£
1
l. z =1 và phần ảo của z =1
m.
(
)
243 = iz

n. 1
4
=
÷
ø
ư
ç
è
ỉ

-
+
iz
iz

o.
1=
+
-
iz
iz

p. 1< z
£
2
q. 1222 -=- zzi
r. phần thực của z
thuộc đọan [0;1],
phần ảo của z
thuộc đoạn [-1;2]
c. izz 422 -=+
d. 0
2
2
=+ zz

B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ
PHỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Căn bậc hai của số phức

o
z 0
=
có một căn bậc hai là 0
o
z a
=
là số thực dương có 2 căn bậc 2 là
a
±
o
z a
=
là số thực âm có 2 căn bậc hai là
a .i
±
o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho
2 2
2
x y a
w z
2xy b
ì
- =
= Û
í
=
ỵ
(a, b, x, y
)

Ỵ
¡

2. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước,
A 0
¹
).
Tính
2
B 4AC
D = -
o
0
D >
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
B
z ,
2A
- ± D
=
o
0
D <
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
B i
z ,

2A
- ± D
=
MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -6-

o 0
=
D
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
B
z z
2A
= = -
3. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước,
A 0
¹
).
Tính
2
B 4AC

D = -
o 0
¹
D
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
B
z ,
2A
- ± d
= ,
(
d
là 1 căn bậc hai của )
D

o 0
=
D
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
B
z z
2A
= = -
II. CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a.
4
-

; b.
3 4i
-
(NC)
Giải.
a. Hai căn bậc hai của
4
-
là
4 .i 2i
± - = ±

b. Gọi
w x yi
= +
là căn bậc hai của
3 4i
-
, ta có:
2
2 2 4 2
2 2
2
x 2
x 1 ( ) x 2
x y 3 x 3x 4 0
y 1
x y 3
x 2
x 4

2 2
2xy 4
x 2
y y
2
2
y
x x
y
y 1
x
x
é =
ì
ì
é
= - ì =
é
í
ê
ì ì
- = - - =
ï
ê
ï
ê
= -
ì
- =
ï ï ï ï ỵ= -

=
ê
ë
ë
Û Û Û Û Û
í í í í í
ê
= -
= -
= - = -
ì
ỵ
ï ï ï ï
ê
= -
ỵ ỵ
í
= -
ï ï
=
ỵ
ê
ỵ
ỵ
ë
loại

Vậy
3 4i
-

có hai căn bậc hai là
2 i
-
và
2 i
- +

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
8;3;
9
-
;
11
-
; -I; -2i; 2i; 4i
2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC)
5 12i
- +
;
8 6i
+
;
33 56i
-
;
3 4i
- +
; 3+4i; 5 – 12i
Bài toán 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a.
(3 2i)z 4 5i 7 3i
- + + = -
; b.
z
2 3i 5 2i
4 3i
+ - = -
-

Giải.
a.
3 8i 25 18
(3 2i)z 4 5i 7 3i (3 2i)z 3 8i z i
3 2i 13 13
-
- + + = - Û - = - Û = = -
-

b.
z z
2 3i 5 2i 3 i z (3 i)(4 3i) 15 5i
4 3i 4 3i
+ - = - Û = + Û = + - = -
- -

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
i

i
z
i
i
+
+
-
=
-
+
2
31
1
2

h.
3 5i
2 4i
z
+
= -

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -7-

b. 2iz + 1 – i = 0
c. (1 – i )z + 2 – i = 2z + i
d. ( iz –1 )( z + 3i )(
z
– 2 + 3i) =
0
e. ( 2 i)
z
– 4 = 0
f.
(
)
4 5i z 2 i
- = +

g.
( ) ( )
2
3 2i z i 3i
- + =

s. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
t. (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
i.
(2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i

+ - = -
-

j. (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i)
k. (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i
l. (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i.
m.
1 1
z 3 i 3 i
2 2
- = +
ỉ ư
ç ÷
è ø

n. 0)
2
1
](3)2[( =+++-
i
izizi
Bài toán 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a.
2
7z 3z 2 0
+ + =
; b.
2
3x 2x 1 0
- + - =

Giải.
a.
2
7z 3z 2 0
+ + =

2
b 4ac 47 0
D = - = - <

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
- + D
- +
= = = - +
2
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
- - D
- -
= = = - -
b.
2

3x 2x 1 0
- + - =

2
' b' ac 2 0
D = - = - <

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b' i '
1 2.i 1 2
x i
a 3 3 3
- + D
- +
= = = -
-

2
b' i '
1 2.i 1 2
x i
a 3 3 3
- - D
- -
= = = +
-

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a. 01.3
2
=+- xx
b. 02.32.23
2
=+- xx
c.
2
3 2 0
x x
- + =

d.
2
3 2 0
+ + =
x x

e.
2
1 0
+ + =
x x

f. z
4
–8 = 0
g. x
3
– 1 = 0

h. z
3
+ 1 = 0
i. z
4
+ 4 = 0
j. 5z
2
– 7z + 11 = 0
k. z
2
- 2
3
z + 7 = 0
l. z
3
– 8 = 0
m. z
2
+ z +7 = 0
n. z
2
– z + 1 = 0
o. z
2
+ 2z + 5 = 0
p. 8z
2
– 4z + 1 = 0
q. x

2
+ 7 = 0
r. x
2
– 3x + 3 = 0
s. x
2
–5x +7=0

t. x
2
–4x + 11 = 0
u. z
2
– 3z + 11 = 0
MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -8-

2. Giải phương trình sau trên trường số phức
a. z
4
– 5z
2
– 6 = 0

b. z
4
+7z
2
– 8 = 0
c. z
4
– 8z
2
– 9 = 0
d. z
4
+ 6z
2
+ 25 = 0
e. z
4
+ 4z – 77 = 0
f. 8z
4
+ 8z
3
= z + 1
g. z
4
+ z
3
+
2
1

z
2
+ z + 1 = 0
h. z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0
i.
4 3 7
2
z i
z i
z i
- -
= -
-

j.
3 2
1 1 1
0
2 2 2
z z z
+ + - =

Bài toán 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a.
2
x (3 4i)x 5i 1 0
- + + - =
; b.
2
z 2iz 2i 1 0
- + - =

Giải.
a.
2
x (3 4i)x 5i 1 0
- + + - =

2 2
b 4ac 3 4i (1 2i) 0
D = - = - + = + ¹

Gọi
d
là một căn bậc hai của
D
, ta có
1 2i
d = +

Do
0

D ¹
, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b 3 4i 1 2i
x 2 3i
2a 2
- + d + + +
= = = +

2
b 3 4i (1 2i)
x 1 i
2a 2
- - d + - +
= = = +

b.
2
z 2iz 2i 1 0
- + - =

2 2
' b' ac 2i (1 i) 0
D = - = - = - ¹

Gọi
'
d
là một căn bậc hai của
'

D
, ta có
' 1 i
d = -

Do
' 0
D ¹
, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b' ' i 1 i
z 1
a 1
- + d + -
= = =

2
b' ' i (1 i)
z 1 2i
a 1
- - d - -
= = = - +

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC)
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. x
2
– (3 – i)x + 4 – 3i = 0
b. (z
2

+ i)(z
2
– 2iz - 1) = 0
c.
(
)
2
1 2 0
+ + - - =
x i x i

d. 2z
2
– iz + 1 = 0
e. z
2
+ (-2 + i)z – 2i = 0
f. z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
g. z
2
+ ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0
h.
(
)
2
2 8 14 23 0
x i x i
- + + - =

j.
2
80 4099 100 0
- + - =
z z i

k.
(
)
(
)
2
3 6 3 13 0
+ - - + - + =
z i z i

l.
(
)
2
cos sin cos sin 0.
- + + =
z i z i
j j j j

m.
(
)
4 2

8 1 63 16 0
- - + - =
z i z i

n.
(
)
4 2
24 1 308 144 0
- - + - =
z i z i

o. ( 1 – i)x
2
– 2x – (11 + 3i) = 0
p. ( 1 + i)x
2
– 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -9-

i.
(
)

(
)
2
5 14 2 12 5 0
- - - + =
z i z i
q. z
2
+ 18z + 1681 = 0
2. Giải các hệ phương trình :
a.
ỵ
í
ì
-=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21

b.
ỵ
í
ì

+-=+
=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21

c.
2 2
1 2
1 2
5 2
4
ì
+ = +
í
+ = -
ỵ
z z i
z z i

d.
2 2
4 0
2

ì
+ + =
í
+ =
ỵ
u v uv
u v i

e.
2
1
ì - =
ï
í
- = -
ï
ỵ
z i z
z i z


C. DẠNG LƯNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. (NC)
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Dạng lượng giác của số phức.
z =
r(cos isin )
j + j
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b
, z 0)
Ỵ ¹

¡
o
2 2
r a b
= +
là môđun của z
o
j
là một acgumen của z thỏa
a
cos
r
b
sin
r
ì
j =
ï
ï
í
ï
j =
ï
ỵ

2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z =
r(cos
isin ) , z' r'(cos ' isin ')
j + j = j + j
thì :

o
z.z' r.r'[cos( ') isin( ')]
= j+ j + j + j

o
z r
[cos( ') isin( ')]
z' r'
= j - j + j- j

3. Công thức Moa-vrơ :
*
NnỴ thì
n n
[r(cos isin )] r (cosn isin n )
j + j = j + j

Nhân xét:
n
(cos isin ) cosn isin n
j + j = j + j

4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cos )sin
j
j
i
+
(r > 0) là
(cos sin )

2 2
r i
j j
+ và
(cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2 2 2
r i r i
j j j j
p p
- + = + + +
II. CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a.
z 2 2i
= -
; b.
z 1 3.i
= - -
Giải.
a.
z 2 2i
= -

o Mô đun
2 2
r a b 2 2
= + =
MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -10-

o Gọi
j
là một acgumen của z ta có
1
cos
2
1
4
sin
2
ì
j =
ï
p
ï
Þ j = -
í
ï
j = -
ï
ỵ

Dạng lượng giác z 2 2 cos isin
4 4

é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

b.
z 1 3.i
= - -
o Mô đun
2 2
r a b 2
= + =

o Gọi
j
là một acgumen của z ta có
1
cos
2
2
3
3
sin
2
ì
j = -
ï

p
ï
Þ j = -
í
ï
j = -
ï
ỵ

Dạng lượng giác
2 2
z 2 cos isin
3 3
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a. i.322 +-
b. 4 – 4i
c. 1 – i.3
d.
4
sin.
4

cos
p
p
i-
e.
8
cos.
8
sin
p
p
i
f. )1)(3.1( ii +-
g.
1 3
1
-
+
i
i

2. Thực hiện phép tính
a. 5 )
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6

(cos
p
p
p
p
ii ++
b.
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+

c. 3(cos20
o
+ isin20
o
)(cos25
o
+
isin25
o
)
d.
)
2
sin.

2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+

3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a. 31 i-
b. 1 + i
c. )1)(31( ii +-
d.
i
i
+
-
1
31

e. )3.(.2 ii -
f.

i
2
2
1
+

g. z =
j
j
cos.sin i
+

Bài toán 2. Tính:
a.
(
)
6
10
(1 i) 3 i
- +
; b.
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+

Giải.

a.
(
)
6
10
(1 i) 3 i
- +

( )
10
10 5
5 5
(1 i) 2 cos isin 2 cos isin 32 0 i 32i
4 4 2 2
é ù
ỉ p p ư é p p ù
ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư
- = - + - = - + - = - = -
ê ú
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷
ê ú
è ø è ø è ø è ø
è ø ë û
ë û

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com

www.mathvn.com -11-

( )
( ) ( )
6
6
6 6
3 i 2 cos isin 32. cos isin 2 1 0i 2
6 6
é p p ù
ỉ ư
+ = + = p + p = - + = -
ç ÷
ê ú
è ø
ë û

(
)
( )
5
10
(1 i) 3 i 32i. 64 2048i
Þ - + = - - =
b.
( )
10

9
(1 i)
3 i
+
+

( )
10
10 5
5 5
(1 i) 2 cos isin 2 . cos isin 32 i 32i
4 4 2 2
é p p ù p p
ỉ ư ỉ ư
+ = + = + = =
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

( )
9
9
9
3 3
3 i 2 cos isin 2 cos isin 512i
6 6 2 2
é p p ù p p
ỉ ư ỉ ư
+ = + = + = -

ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

( )
10
9
(1 i) 1
16
3 i
+
Þ = -
+

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính :
a. [
00
30sin30(cos2 i+ )]
7

b.
6
)3( i-
c.
33
1
1
÷

ø
ư
ç
è
ỉ
-
+
i
i

d.
12
2
3
2
1
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
+ i
e.
2010
i 1
i
+

ỉ ư
ç ÷
è ø

f.
21
321
335
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
-
+
i
i

g.
5 7
cos sin (1 3 )
3 3
ỉ ư
- +
ç ÷
è ø
i i i

p p

h.
280
3
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+-
+
i
i

i.
(
)
25
1 i+
j.
(
)
( )
49
50
3
1

i
i
+
+

k. (cos12
o
+ isin12
o
)
5


Bài toán 3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a.
z 1 i 3
= - - ; b.
1 i 3
z
1 i
-
=
+

Giải.
a.
1 i 3
- -
Dạng lượng giác:
2 2

z 2 cos isin
3 3
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

Hai căn bậc hai của z là
1
1 3 1 3 2 6
w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 2
2 2
ỉ ư
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + - = - = - = -
ç ÷
ç ÷ ç ÷
ê ú
ç ÷
è ø è ø
ë û
è ø
và
2
1 3 1 3 2 6

w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 2
2 2
ỉ ư
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - - + - = - - = - + = - +
ç ÷
ç ÷ ç ÷
ê ú
ç ÷
è ø è ø
ë û
è ø

b.
1 i 3
z
1 i
-
=
+

Dạng lượng giác
7 7
z 2 cos isin
12 12
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -

ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û

MATHVN.COM
–

www.mathvn.com



www.mathvn.com -12-

Hai căn bậc hai của z là
4
1
7 7
w 2 cos isin
24 24
é p p ù
ỉ ư ỉ ư
= - + -
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø è ø
ë û
và

4 4

2
7 7 17 17
w 2 cos isin 2 cos isin
24 24 24 24
é p p ù é p p ù
ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư
= - - + - = +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ê ú ê ú
è ø è ø è ø è ø
ë û ë û

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a. –1 + 4 i.3
b. 4 + 6 i.5
c. –1 – 2 i.6
d. 1+ 34 i
e. ( 3 - i)
6

f.
2004
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ

+ i
i

g. i3411+-
h.
( )
i-1
2
2

i.
4
sin
4
cos
p
p
i-
j.
3
sin
3
cos
p
p
i-
k.
4 6 5
i
+

l.
1 2 6
i
- -