Bài giảng biểu diễn mặt phẳng

1.3
BIỂU
DIỄN
MẶT
PHẲNG
1.3.1.Biểu diễn mặt phẳng
bất kỳ trên đồ thức.
1.3.2.Biểu diễn các mặt phẳng
đặc biệt.
1.3.3.Sự liên thuộc của
điểm và đường thẳng với
mặt phẳng.
1.3.4.Các đường thẳng đặc
biệt thuộc mặt phẳng.
NỘI DUNG CHI TIẾT
1.3.1. Biểu diễn mặt phẳng bất kỳ
1.Biểu diễn mặt phẳng bằng điểm và đường thẳng
Người ta biểu diễn một mặt phẳng thông qua
các yếu tố xác định nó đó là điểm và đường thẳng.
Có 4 cách xác định một mặt phẳng nên ta có 4 cách
biểu diễn một mặt phẳng trên đồ thức như sau:
1
A
1
B
1
C
2
A
2
B

2
C
x
1.Biểu diễn mặt phẳng
bằng ba điểm không
thẳng hàng A, B, C.
1
m
1
I
2
I
2
m
x
2.Biểu diễn mặt phẳng
bằng một đường thẳng m
và một điểm Im
1
m
2
m
1
n
2
n
x
3.Biểu diễn mặt phẳng
bằng hai đường thẳng
cắt nhau: m, n

4.Biểu diễn mặt phẳng
bằng hai đường thẳng
song song: a//b
1
a
2
a
x
b
1
// a
1
b
2
// a
2
Trong các cách biểu diễn mặt phẳng trên, ta có thể
biến đổi từ cách biểu diễn này sang cách biểu diễn
kia và ngược lại.
1
m
1
A
1
B
1
C
2
A
2

B
2
C
1
I
2
I
2
m
1
m
2
m
1
n
2
n
1
a
2
a
1
b
2
b
x
x
x
a.Định nghĩa
*Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng

với mặt phẳng hình chiếu.
2.Biểu diễn mặt phẳng bằng vết
Ngoài các cách biểu diễn trên, người ta còn thường
biểu diễn mặt phẳng bằng vết. Vậy vết của mặt
phẳng là gì?
Q
x
Q
2
P
1
P
1
v Q
2
v Q
x
Q
x
1
v Q
2
v Q
x
Trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu, tương
ứng ta có hai vết là: vết đứng và vết bằng.
*Vết đứng là giao tuyến của mặt phẳng Q với mặt
phẳng hình chiếu đứng P
1
. Ký hiệu là: v

1
Q (= QP
1
)
Q
x
Q
2
P
1
P
1
v Q
2
v Q
x
Q
x
1
v Q
2
v Q
x
Q
x
Q
2
P
1
P

1
v Q
2
v Q
x
Q
x
1
v Q
2
v Q
x
*Vết bằng là giao tuyến của mặt phẳng Q với mặt
phẳng hình chiếu bằng P
2
. Ký hiệu là: v
2
Q (= QP
2
)
b.Tính chất của vết
- Điểm thuộc vết đứng(Nv
1
Q) có: N
1
 N, N
2
x.
Q
x

Q
2
P
1
P
1
v Q
2
v Q
x
1
NN
2
N
1
M
2
M M
- Điểm thuộc vết bằng(Mv
2
Q) có: M
2
 M, M
1
x.
1
v Q
2
v Q
1

N N
2
N
2
MM
1
M
x
-Vết của đường thẳng thuộc mặt phẳng nằm
trên vết cùng tên của mặt phẳng đó. Tức là: bQ,
bP
1
= N, bP
2
= M thì Nv
1
Q và Mv
2
Q
Q
x
Q
2
P
1
P
1
v Q
2
v Q

x
1
NN
b
2
N
1
M
2
M M
1
v Q
2
v Q
1
NN
2
N
2
M M
1
M
x
1
b
2
b
- Vết đứng và vết bằng của một mặt phẳng cắt
nhau tại một điểm Q
x

x (Q
x
có thể vô tận nếu Q  P
3
).
Q
x
1
v Q
2
v Q
x
1
//v Qx
2
//v Qx
x
(Q  P
3
)
Q
x
1
v Q
2
v Q
x
Q
x
1

v Q
2
v Q
x
1
v Q
2
v Q
x
Ví dụ về biểu diễn mặt phẳng bằng vết

2
1
vvQQ
x

2
1
vvQQ
x
1
A
2
A
Từ tính chất của vết ta suy ra: vết của mặt phẳng
là tập hợp vết cùng tên của tất cả các đường
thẳng thuộc mặt phẳng đó.
Do đó để tìm vết của một mặt phẳng ta tìm vết
cùng tên của hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Q

x
Q
2
P
1
P
1
v Q
2
v Q
x
1
MM
1
NN
2
M
a
b
2
N
'
1
M
'
2
N
''
2
MM

''
2
NN
c.Cách tìm vết của mặt phẳng.
- Để tìm v
2
Q, ta tìm các
vết bằng M’, N’ của hai
đường thẳng a, b thuộc
mp Q ; v
2
Q  M’N’
Giải:
- Để tìm v
1
Q, ta tìm các vết
đứng M, N của hai đường thẳng
a, b thuộc mp Q ; v
1
Q  MN.
Bài toán: Cho mặt phẳng
Q(a//b), tìm vết của Q .
x
1
a
1
b
2
a
2

b
Q
x
1
v Q
x
1
MM
1
NN
2
M
2
N
'
1
M
'
1
N
''
2
MM
''
2
NN
2
v Q
1
a

1
b
2
a
2
b
Ví dụ 1: Cho đường
thẳng d thuộc mặt phẳng
Q(v
1
Q, v
2
Q), biết d
2
, tìm d
1
.
1
v Q
x
2
v Q
2
d
x

2
1
vvQQ
1

d
Ví dụ 2: Cho đường
thẳng d thuộc mặt phẳng
Q(v
1
Q, v
2
Q), biết d
1
, tìm d
2
.
Các ví dụ vận dụng
Ví dụ 3: Cho đường
thẳng d thuộc mặt phẳng
Q(v
1
Q, v
2
Q), biết d
2
, tìm d
1
.
1
//v Qx
x
2
//v Qx
2

d
1.3.2.Biểu diễn các mặt phẳng đặc biệt.
1.Mặt phẳng chiếu đứng
a) Định nghĩa: Q  P
1
.
2
A
x
Q
x
1
v Q
1
P
2
P
Q
2
v Q
B
C
A
1
A
1
C
1
B
2

B
2
C

b) Tính chất:
- Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến
thành một đường thẳng: Q
1
 v
1
Q.
x
Q
x
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C

Q
1
 v

1
Q
v
2
Q
- Góc  = (v
1
Q, x) = (Q,P
2
)
x
Q
x
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C

Q
1
 v
1

Q
v
2
Q
- Vết bằng của mặt phẳng
chiếu đứng vuông góc với
trục x (v
2
Q x).
- Nếu một hình phẳng (ABC) thuộc mặt phẳng
chiếu đứng thì hình chiếu đứng của nó thuộc vết
đứng của mặt phẳng.
2.Mặt phẳng chiếu bằng
a).Định nghĩa: Q  P
2
x
Q
x
1
v Q

22
QvQ
1
A
1
C
1
B
2

A
2
B
2
C

x
Q
x
1
v Q
1
P
2
P
Q
2
v Q
B
C
A
1
A
2
B
2
C

1
B

1
C
2
A
b).Tính chất:
- Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến
thành một đường thẳng: Q
2
 v
2
Q.
x
Q
x
1
v Q

22
QvQ
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2

C

- Vết đứng của mặt phẳng
chiếu bằng vuông góc với trục
x (v
1
Q x).
- Góc  = (v
2
Q, x) = (Q,P
1
)
- Nếu một hình phẳng (ABC) thuộc mặt phẳng
chiếu bằng thì hình chiếu bằng của nó thuộc vết
bằng của mặt phẳng.
3. Mặt phẳng chiếu cạnh
a) Định nghĩa: Q  P
3
b) Tính chất:
x
1
v Q
1
P
2
P
Q
2
v Q
B

C
A
1
A
1
C
1
B
2
B
2
C

2
A
3
P

3
B
3
A
3
C
3
v Q
x
1
v Q
2

v Q
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C


33
QvQ
3
B
3
C
3
A

z
y
y
- Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến
thành một đường thẳng: Q
3

 v
3
Q.
x
1
v Q
1
P
2
P
Q
2
v Q
B
C
A
1
A
1
C
1
B
2
B
2
C

2
A
3

P

3
B
3
A
3
C
3
v Q
x
1
v Q
2
v Q
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C


33

QvQ
3
B
3
C
3
A

z
y
y
- v
1
Q //v
2
Q //x
- Nếu một hình phẳng ABC) thuộc mặt phẳng chiếu
cạnh thì hình chiếu cạnh của nó thuộc vết cạnh của
mặt phẳng.


31
,,v Q z Q






 Ρ



32
,,v Q y Q






 Ρ
- Góc:
và
4. Mặt phẳng bằng
a) Định nghĩa: Q // P
2
.
x

133
1
vvQ Q Q Q z
2
A
2
B
2
C
1
A

1
C
1
B
b) Tính chất:
-Nó tất cả các tính chất của một mặt phẳng chiếu đứng.
x
1
v Q
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C
1
P
Q
2
P
A
B
C
- Các hình nằm trong mặt phẳng bằng có hình

chiếu bằng hình gốc của chúng. Ví dụ ABC  mpQ
có hình chiếu bằng A
2
B
2
C
2
= ABC.
- Hình chiếu đứng và
hình chiếu cạnh của mặt
phẳng bằng Q suy biến
thành đường thẳng:
Q
1
v
1
Q v
3
Q Q
3
 z
x

133
1
vvQ Q Q Q z
2
A
2
B

2
C
1
A
1
C
1
B
5. Mặt phẳng mặt
a) Định nghĩa: Q // P
1
.

2 2
//vQ Q x
x
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C
x
2

v Q
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C
1
P
Q
2
P
A
C
B
b) Tính chất:
- Có tất cả các tính chất của một mặt phẳng
chiếu bằng
- Các hình phẳng nằm trong mặt phẳng mặt có
hình chiếu đứng bằng hình gốc của chúng. Ví dụ
ABC  Q có hình chiếu bằng A
1
B
1

C
1
= ABC
- Hình chiếu bằng của mặt
phẳng mặt Q suy biến thành
đường thẳng Q
2
v
2
Q//x;
hình chiếu cạnh suy biến
thành đường thẳng Q
3
v
3
Qz.

2 2
//vQ Q x
x
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B

2
C