Chương 2 các phép biến đổi hình chiếu

2.1. Đặt vấn đề
2.2. Phép thay mặt phẳng hình chiếu
2.3. Phép quay hình quanh một trục
2.1. Đặt vấn đề
Khi giải các bài toán hình họa ở phần trước, ta
nhận thấy rằng:
Nếu các yếu tố của bài toán (đường thẳng, mặt
phẳng) ở vị trí đặc biệt thì việc giải các bài toán
đó sẽ đơn giản hơn nhiều so với các bài toán mà
các yếu tố cho ở vị trí bất kỳ.
Các ví dụ minh họa làm sáng tỏ vấn đề:
1
A
2
b
x
1
b //x
2
A
1
B
2
B
x
2
A
2
B
1
B

1
A
*
B
Vì vậy, khi các bài toán mà các yếu tố của nó
được cho ở vị trí bất kỳ, nên sử dụng các
phép biến đổi hình chiếu để đƣa các yếu tố
của nó về vị trí đặc biệt, tìm lời giải và sau đó,
nếu cần, chúng ta có thể đƣa kết quả bài toán
về hình biểu diễn ban đầu bằng cách biến
đổi ngƣợc lại.
x
1
A
1
C
1
B
2
A
2
B
2
C
x
1
B
1
A
2

B
2
A
1
C
2
C
Có hai cách biến đổi hình chiếu:
1.Giữ nguyên vị trí vật thể trong không gian,
thay đổi mặt phẳng hình chiếu. Phương
pháp này gọi là “Phép thay mặt phẳng hình
chiếu”.
2.Giữ nguyên vị trí mặt phẳng hình chiếu,
thay đổi vị trí của vật thể trong không gian.
Đó là “Phép quay hình quanh một trục”.
2.2. Phép thay mặt phẳng hình chiếu
2.2.1. Thay mặt phẳng hình chiếu đứng
a) Định nghĩa:
Phép thay mặt phẳng hình
chiếu đứng là phép giữ nguyên
vật thể và mặt phẳng hình
chiếu bằng P
2
trong hệ thống
mặt phẳng chiếu ban đầu, thay
mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
bằng mặt phẳng P
1
’ P

2
= x’ ở vị
trí thích hợp, rồi tìm hình chiếu
của vật thể trong hệ thống mặt
phẳng chiếu mới (P
1
’, P
2
).
x
x
P
1
’
P
1
P
2
A
2
A
1
A’
1
A
A
x
A
x’
b)Cách thực hiện đối với một điểm:

- Giữ nguyên điểm A
và mặt phẳng hình
chiếu bằng P
2
.
- Thay mặt phẳng hình
chiếu đứng P
1
bằng mặt
phẳng hình chiếu đứng
mới P
1
’ P
2
và P
1
’ P
2
theo trục chiếu mới x’.
-Trong không gian của hệ thống hai mặt phẳng hình
chiếu (P
1
, P
2
) ta lấy điểm A bất kỳ có hai hình chiếu
là: A
1
, A
2
x

x
P
1
’
P
1
P
2
A
2
A
1
A
A
x
Chiếu thẳng góc điểm
A lên P
1
’ ta được hình
chiếu đứng mới A’
1
Ta quay phần phía trước
mặt phẳng P
2
quanh trục x
và trục x’ về trùng với
phần dưới của mặt phẳng
P1 và P
1
’ ta có đồ thức điểm

A trong các hệ thống: (P
1
, P
2
)
và (P
2
, P
1
’) tương ứng là (A
1
,
A
2
) và (A
2
, A
1
’).
A
2
A
1
A’
1
x
x
x
x
P

1
’
P
1
P
2
A
2
A
1
A’
1
A
A
x
A
x’
A
2
A
1
A’
1
x
x
c) Các tính chất:
- Hình chiếu bằng của một
điểm A trên vật thể giữ
nguyên, hình chiếu đứng
mới A

1
’ nằm trên đƣờng
dóng qua A
2
và vuông góc
với trục chiếu mới x’
- Độ cao của điểm A không đổi: A
1
’A
x
’ = A
1
A
x
= AA
2
(vì độ cao của điểm A là khoảng cách từ A đến P
2
)
* Từ tính chất độ cao của điểm A không đổi suy ra góc
hợp bởi đường thẳng (hay mặt phẳng trên vật thể) với
mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
cũng không đổi.
d) Các thực hiện đối với đƣờng thẳng,
mặt phẳng
Đối với đƣờng thẳng,
ta dùng 2 điểm để xác
định hình chiếu của
đường thẳng trong hệ

thống mặt phẳng chiếu
mới (Vẽ minh hoạ đoạn
thẳng AB).
A
1
x
x
B
1
A
2
B
2
A’
1
B’
1
- Đối với mặt phẳng, ta dùng các yếu tố xác định
của mặt phẳng (3 điểm không thẳng hàng, 1 điểm và
một đường thẳng, 2 đường thẳng cắt nhau, 2 đường
thẳng song song) để xác định hình chiếu của mặt
phẳng trong hệ thống chiếu mới. Ví dụ minh họa
mặt phẳng ( ABC).
A
1
A’
1
B’
1
x

x
B
1
A
2
B
2
C
1
C
2
D
1
D
2
C’
1
D’
1
- Biến đường thẳng bất kỳ thành đường mặt
(trong hệ mới).
-Biến đường bằng trở thành đường thẳng
chiếu đứng (trong hệ mới).
-Biến mặt phẳng bất kỳ thành mặt phẳng
chiếu đứng(trong hệ mới).
-Biến mặt phẳng chiếu bằng thành mặt phẳng
mặt (trong hệ mới).
d) Ứng dụng:
Phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng P
1

có thể:
Ví dụ 1: Cho đường
thẳng AB bất kỳ. Dùng
phép thay mặt phẳng
hình chiếu đứng để xác
định độ lớn của AB.
A
1
x
B
1
A
2
B
2
Ví dụ 2: Xác định độ
lớn góc nhị diện giữa mặt
phẳng ABC và mặt phẳng
hình chiếu bằng P
2
A
1
x
B
1
A
2
B
2
C

1
C
2
Ví dụ 3: Dùng phép
thay mặt phẳng hình
chiếu đứng để xác định
tâm đường tròn ngoại
tiếp ABC P
2
A
1
x
B
1
A
2
B
2
C
1
C
2
A’
1
B’
1
x
C’
1
2.2.2. Thay mặt phẳng hình chiếu bằng

a) Định nghĩa:
-Phép thay P
2
là phép giữ nguyên vật thể và mặt
phẳng hình chiếu đứng P
1
trong hệ thống mặt
phẳng chiếu ban đầu, thay P
2
bằng một mặt phẳng
hình chiếu bằng mới P
2
’ P
1
= x’ ở vị trí thích hợp, rồi
tìm các hình chiếu của vật thể trong hệ thống mặt
phẳng hình chiếu mới.
x
x
P
1
P
2
A
2
A
1
A’
2
P’

2
A
x
x
P
1
P
2
A
2
A
1
P’
2
A
b)Cách thực hiện đối với một điểm
-Trong không gian của hệ thống hai mặt phẳng hình
chiếu P
1
, P
2
ta lấy điểm A bất kỳ có hai hình chiếu là
A
1
, A
2
.
-Giữ nguyên điểm A và
mặt phẳng hình chiếu
đứng P

1
.
- Thay mặt phẳng hình
chiếu bằng P
2
bằng
mặt phẳng hình chiếu
bằng mới P’
2
P
1
= x’.
x
x
P
1
P
2
A
2
A
1
A’
2
P’
2
A
- Chiếu thẳng góc điểm
A lên P’
2

ta được hình
chiếu bằng mới A’
2
-Ta quay phần phía trước
mặt phẳng P
2
quanh trục x
và P’
2
quanh trục x’ về
trùng với phần dưới của
mặt phẳng P
1
, ta có đồ thức
điểm A trong các hệ thống:
(P
1
, P
2
) và (P
1
, P’
2
) tương
ứng là (A
1
, A
2
) và (A
1

, A
2
’).
A
2
A
1
A’
2
x
x
c)Tính chất:
-Hình chiếu đứng A
1
của một
điểm A thuộc vật thể giữ
nguyên, hình chiếu bằng
mới A
2
’ nằm trên đường
dóng qua A
1
và vuông góc
với trục chiếu mới x’
-Độ xa của điểm A không đổi: A
2
’A
x
’ = A
2

A
x
= AA
1
(vì
độ xa của điểm A là khoảng cách từ A đến P
1
, mà P
1
không đổi).
-Từ tính chất độ xa của điểm không đổi ta suy ra
góc hợp bởi đường thẳng hay mặt phẳng trên vật
thể đối với mặt phẳng hình chiếu đứng không đổi
trong hệ thống chiếu mới.
A
2
A
1
A’
2
x
x
d)Cách thực hiện đối với đƣờng thẳng,
mặt phẳng.
- Đối với đƣờng thẳng,
dùng 2 điểm thuộc nó để
xác định các hình chiếu
của đường thẳng này
trong hệ thống mặt
phẳng hình chiếu mới

(Minh hoạ đoạn thẳng
AB).
A
1
x
x
B
1
A
2
B
2
A’
2
B’
2
- Đối với mặt phẳng, ta dùng các yếu tố xác
định mặt phẳng này để tìm các hình chiếu của
nó trong hệ thống các mặt phẳng hình chiếu
mới (Vẽ minh hoạ mặt phẳng xác định bởi
3 điểm không thẳng hàng).
A
1
A’
2
B’
2
x
x
B

1
A
2
B
2
C
1
C
2
D
1
D
2
C’
2
D’
2
e) Ứng dụng:
Phép thay mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
có
thể:
- Biến đường thẳng bất kỳ thành đường bằng
(trong hệ mới).
- Biến đường mặt trở thành đường thẳng chiếu
bằng(trong hệ mới).
- Biến mặt phẳng bất kỳ thành mặt phẳng
chiếu bằng(trong hệ mới).
- Biến mặt phẳng chiếu đứng thành mặt phẳng
bằng(trong hệ mới).

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng
R(v
1
R, v
2
R). Tìm độ lớn
giữa góc phẳng nhị diện
giữa mặt phẳng R và P
1
1
v R
2
v R
x
A
1
x
B
1
A
2
B
2
C
1
C
2
Ví dụ 2: Cho ABC thuộc
mặt phẳng chiếu đứng.
Tìm tâm đường tròn ngoại

tiếp ABC.
2.2.3. Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu
Nhiều bài toán nếu chỉ sử dụng một phép thay
mặt phẳng hình chiếu ta chƣa có đƣợc vị trí
tƣơng đối cần thiết giữa vật thể và hệ thống mặt
phẳng hình chiếu.
Ví dụ: Thay một mặt phẳng hình chiếu chỉ có thể:
- Biến một đƣờng thẳng bất kỳ chỉ trở thành
đƣờng bằng hoặc đƣờng mặt mà chưa trở thành
đường thẳng chiếu;
-Biến một mặt phẳng bất kỳ chỉ trở thành
mặt phẳng chiếu đứng hoặc mặt phẳng chiếu bằng
mà chưa trở thành mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng
mặt.
Trong trường hợp cần thiết, để đạt được vị trí
mong muốn ta phải thực hiện liên tiếp hai
phép thay mặt phẳng hình chiếu.
Thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu:
Từ hệ hai mặt phẳng hình chiếu ban đầu ta giữ lại
một mặt phẳng, thay một mặt phẳng bằng một mặt
phẳng mới và ta có hệ mới. Từ hệ này ta giữ lại mặt
phẳng vừa thay, thay mặt phẳng hình chiếu cũ bằng
một mặt phẳng mới khác và được hệ gồm hai mặt
phẳng hoàn toàn mới so với hệ ban đầu.
Tại mỗi bƣớc thay một mặt phẳng hình chiếu, ta
lại tìm hình chiếu mới tƣơng ứng.
*Ứng dụng:
- Xác định khoảng cách từ điểm M đến đƣờng
thẳng AB bằng cách thay liên tiếp hai mặt phẳng
hình chiếu để đưa AB về đường thẳng chiếu (đứng

hoặc bằng)
- Xác định độ lớn thật của một hình phẳng
(chẳng hạn ABC) bằng cách thay liên tiếp hai
mặt phẳng hình chiếu để đưa mặt phẳng chứa hình
phẳng về mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt.
Ví dụ 1: Xác định tâm đường tròn ngọai tiếp
ABC.
A
1
B
1
A
2
B
2
C
1
C
2
x
A
1
B
1
C
1
A
2
C
2

B
2
B’2 D’2
D
2
D
1
A’
2
C’
2
C”
1
B”
1
A”
1
O”
1
O’
2
O
1
O
2
x
x
"x