tiểu luận Modôn

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I.GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ MAPLE.
I.1 Giới thiệu sơ lược về maple
- Maple là một hệ thống đại số máy tính cho phép người sử dụng thực hiện các phép tính toán đại
số trên ký hiệu (symbol) hoặc trên các con số cụ thể và minh họa toán học mạnh mẽ. Maple được xây
dựng và phát triển bởi công ty Waterloo Maple In.
- Maple cung cấp dầy đủ các công cụ về hình học như là: vẽ đồ thị tỉnh và động, vẻ hình không
gian ba chiều…
- Một ngôn ngử lập trình đơn giản mạnh mẽ có thể tương tác với phần mềm khác.
- Một công cụ biên soạn giáo án và bài giản điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp.
- Một công cụ hửu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học.
II- KIỀN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
II.1- Quy trình khảo sát hàm số:
I.1.1. Tập xác định.
I.2. Sự biến thiên
I.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y’
+ Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
I.2.2 Tìm cực trị
I2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (
x → ±∞
), các giới hạn có kết quả là vô cực (
= ±∞
) và tìm
tiệm cận nếu có.
I.2.4 Lập bảng biến thiên.
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
I.3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?)

- Giao của đồ thị với trục Ox:
0 ( ) 0 ? (?;0)y f x x= ⇔ = ⇔ = ⇒
- Các điểm CĐ; CT nếu có.
II.1- Quy trình khảo sát hàm số bâc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) .
II.1.1. Tập xác định. D=R
II.1.2. Sự biến thiên
II.1.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm:
2
' 3ax +2bx+cy =
+
2
' 0 3ax +2bx+c=0y = ⇔
( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải
; '∆ ∆
nếu nghiệm lẻ-
không được ghi nghiệm gần đúng)
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
II.1.2.2 Tìm cực trị
II.1.2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (
x → ±∞
)
(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)
II.1.2.4 Lập bảng biến thiên.
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
II.1.3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
- Giao của đồ thị với trục Ox:
3 2
0 ax +bx +cx+d 0 ?y x= ⇔ = ⇔ =

- Các điểm CĐ; CT nếu có.
 Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
Dấu của
a
Dấu
∆
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0 có
hai nghiệm
phân biệt.
2
-2
O
2
-2
Pt y’ = 0 có
nghiệm kép
2
2
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
4

2
II.3- Quy trình khảo sát hàm số bậc bốn:y = ax4 + bx2 + c (a  0)
II.3.1. Tập xác định. D=R
II.3.2. Sự biến thiên
II.3.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
3
' 4ax +2bxy =
+ Ta có:
3 2
2
2
' 0 4ax +2bx=0 2x(2ax +b)=0
0
0

2ax +b=0
2a
y
x
x
b
x
= ⇔ ⇔
=

=


⇔ ⇔ ⇔

−


=



+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
II.3.2 2 Tìm cực trị
II.3.2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (
x → ±∞
). (Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.)
II.3.2.4 Lập bảng biến thiên.
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
II.3.3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)
- Giao của đồ thị với trục Ox:
4 2
0 ax +bx +c 0 ? (?;0)y x= ⇔ = ⇔ = ⇒
- Các điểm CĐ; CT nếu có.

Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
Dấu a
y’=0 a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm

phân biệt
-2
2
Pt y’ = 0 có
một nghiệm
2
-2
II.4- Quy trình khảo sát hàm số nhất biến y =
)0,0( ≠−≠
+
+
bcadc
dcx
bax
II.4.1. Tập xác định.
\
d
D R
c
−
 
=
 
 
II.4.2. Sự biến thiên
II.4.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm
2
d-bc
' '

(cx+d)
ax b a
y
cx d
+
 
= =
 ÷
+
 
+ y’ không xác định khi
d
x
c
−
=
; y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi
d
x
c
−
≠
+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng
( ; )
d
c
−∞ −
và
( ; )
d

c
+∞
II.4.2 2 Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
II.4.2.3 Tiệm cận:
Ta có:
ax+b
lim lim
cx+d
x x
a
y
c
→±∞ →±∞
= =
nên
a
y
c
=
là TCN
ax+b
lim lim ( )
cx+d
d d
x x
c c
y
− −
− −
→ →

= = ± ∞
;
ax+b
lim lim ( )
cx+d
d d
x x
c c
y
+ +
− −
→ →
= = ± ∞
Do đó
d
x
c
−
=
là TCĐ
II.4.2.4 Lập bảng biến thiên.
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
II.4.3 Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y=
b
d
=> (0;
b
d
)

- Giao của đồ thị với trục Ox:
ax+b
0 0 0 ( ;0)
cx+d
b b
y ax b x
a a
− −
= ⇔ = ⇒ + = ⇔ = ⇒
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm
( ; )
d a
I
c c
−
là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối
xứng.

Các dạng đồ thị hàm số: y =
)0,0( ≠−≠
+
+
bcadc
dcx
bax
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4
2
4
2

-2
III. CÁC LỆNH VÀ HÀM TRONG MAPLE
III.1Giải phương trình và bất phương trình:
Cú pháp: > solve(equ,{var}); hoặc > solve(equ,var);
Trong đó:
Equ : là phương trình hoặc bất phương trình.
Var : là biến số(ẩn số).
Ví dụ 1: Giải phương trình:
043
22
=−+ xx
Ta nhập vào Maple như sau:
> solve(x^3+3*x^2-4=0,{x});
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
043
23
<−+ xx

> solve(x^3+3*x^2-4<0,{x});
III.2 Tính giới hạn hàm số:
Trong Maple có hai lệnh để tính và hiển thị kì hiệu giới hạn.
Cú pháp:
> Limit(hàm số,x=x
0
,left/right); để hiển thị biểu thức giới hạn bên trái hoặc
bên phải của hàm số tại x=x
0
.{ Chữ L trong từ khóa Limit là chữ in hoa}.
> limit(hàm số,x=x
0

,left/right); để tính giá trị biểu thức giới hạn bên trái hoặc
bên phải của hàm số tại x=x
0
. .{ Chữ L trong từ khóa limit là chữ thường}.
Ví dụ1: Tính giới hạn:
a)
32
43
2
2
lim
+
−
→
x
xx
x
Ta nhập vào Maple như sau:
> Limit((3*x^2-4*x)/(2*x+3),x=2); { Hiển thị giới hạn}

> limit((3*x^2-4*x)/(2*x+3),x=2);{ Tính giới hạn}
b) Tính giới hạn:
6
43
lim
1
−
−
+
→

x
x
x
> limit(3*x-4/x-6,x=1,right);
Ví dụ 2: Tính giới hạn:
643
23
lim
−−
−∞→
xx
x
Ta nhập vào Maple như sau:
> limit(3*x^3-4*x^2-6,x=-infinity);
III.3Tính đạo hàm:
Cú pháp:
> diff(f(x),var);{ tính giá trị đạo hàm chữ d trong từ khóa diff là chữ thường}
> Diff(f(x),var);{ tính giá trị đạo hàm chữ d trong từ khóa Diff là chữ in hoa}
Trong đó:f(x) : là biểu thức cần tính đạo hàm.
Var : là biến số(ẩn số).
Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số:
286
23
−+− xxx
Ta nhập vào Maple như sau:
> diff(x^3-6*x^2+8*x-2,x);
> Diff(x^3-6*x^2+8*x-2,x);
III.4Tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất:
Cú pháp:
+ minimize(expr, vars,ranges)

+ maximize(expr, vars,ranges)
*expr: Biểu thức cần tình giá trị.
*vars: biến lầy giá trị.
*ranges: phạm vi tính giá trị.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
543
23
−+−= xxxy
- Giá trị nhỏ nhất:
> minimize(x^3-3*x^2+4*x-5);
- Giá trị lớn nhất:

> maximize(x^3-3*x^2+4*x-5);
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
543
23
−+−= xxxy

x=0 5:
- Giá trì lớn nhất:
> minimize(x^3-3*x^2+4*x-5,x=0 5);
- Giá trị nhỏ nhất:
> maximize(x^3-3*x^2+4*x-5,x=0 5);
III.5Vẽ đồ thị hàm số y=f(x).
Maple cho phép ta hình dung bài toán thông qua khẳ năng vẽ đồ thị rất phong phú.
Các tiện ích vẽ đồ thị trong mặt phẳng cho phép vẽ đồ thị hàm số và điều chỉnh các thông
số liên quan như phạm vi vẽ, các trục toạ độ, màu sắc, tựa đề, chú thích,…cho đồ thị. Ta
có thể vẽ đồ thị của các hàm có cấu trúc đơn giản, các hàm xác định giá trị phức tạp, các
hàm ẩn…Trong không gian ba chiều, ta cũng có thể vẽ các đường (curves) và các mặt
(surfaces), chẳng hạn các mặt được cho dưới dạng tham số, dạng ẩn, các nghiệm của

phương trình vi phân, các trường véctơ…, sự hiển thị của đồ thị cũng có thể được thay
đổi thông qua việc điều chỉnh font chữ, cường độ sáng, màu sắc tiêu đề…, tính năng quay
(rotate) của Maple còn cho phép ta quan sát đồ thị dưới nhiều góc độ khác nhau. Ngoài ra
Maple còn cung cấp tính năng animation làm cho các đồ thị vận động theo sự thay đổi
của một tham số nào đó có mặt trong phương trình biểu thị hàm số.
Để vẽ đồ thị của hàm số trong mặt phẳng, ta thường sử dụng lệnh plot(…).
Cú pháp: > plot(f,opts);
> plot(f,x=x0 x1,y=y0 y1,opts); hoặc
> plot(f, view=[x0 x1,y0 y1],opts);
Trong đó:
f: là biểu ẩn x;
- opts:các thuộc tính liên quan đến đồ thị ( màu), kiểu đồ thị (style), dạng hệ trục
hiển thị (axes),
- x0 x1: khoảng [x0;x1] trên trục Ox;
- y0 y1: khoảng [y0;y1] trên trục Oy;
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số:
43
23
−+ xx
Ta nhập vào Maple như sau:
> plot(x^3+3*x^2-4);
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số:
43
23
−+ xx
Ta nhập vào Maple như sau:

> plot(x^3+3*x^2-4,x,view=[-10 10,-10 10]);
III.6 Các câu lệnh liên quan đến lập trình
III.6.1 Lệnh điều kiện

Cú pháp:
if <biểu thức điều kiện> then <công việc>
[ elif<biểu thức điều kiện> then<công việc> ]
|[else<công việc> ]
fi ;
III.6.2 vòng lặp
*Vòng lặp for:
Cú pháp:
for<biến chỉ số> from<giá trị khởi đầu> by<bước tăng> to<giá trị kết thúc>
do
<công việc>
od;
Ví dụ 1: In ra các số từ 1 đến 10.
> for i from 1 by 1 to 10
do print(i)
od;
*Vòng lặp While
Cú pháp:
While <điều kiện> do <dãy lệnh> od;
Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho >N cho trước. (với n = 100)
> N:=100:
k:=0:
while 2^k <=N do
k:=k+1:
end do:
printf("k=%d",k);
k=7
Cú pháp:
<Tên chu trình>:proc([tham biến 1, tham biến 2,…])
[<Khai báo biến cục bộ>]

[<khai báo biến toàn cục>]
[Các tùy chọn]
< các lệnh cần thực hiện>;
end;
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [-1; 1]
> ltdoan:= proc(a,b)
local f,ghr,ghl,gha,ghb;
f:=(x)->sqrt(1-x^2):
f(x):=f(x);
ghr:=limit(f(x),x=a,right):
ghl:=limit(f(x),x=b,left):
gha:=limit(f(x),x=a):
ghb:=limit(f(x),x=b):
f(a);
ghr;
if -1<=a and b<=1 then
if (( ghr = f(a)) and ( ghl= f(b))) then
printf("Ham so lien tuc tren khoang (%.2f,%.2f). \n",a,b); if( gha=f(a) and
ghb=f(b) ) then
printf("Ham so lien tuc tren doan [%.2f,%.2f]. \n",a,b); else
printf("Ham so gian doan tren doan [%.2f,%.2f]. \n",a,b); fi;
fi;
else
printf("ham so gian doan tren khoang (%.2f,%.2f). \n",a,b);
fi;
end:
> ltdoan(-1,1);
Ham so lien tuc tren khoang (-1.00,1.00).
Ham so lien tuc tren doan [-1.00,1.00].
III.6 Một số hàm khác:

Hàm lấy ra phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của dãy số:
Cú pháp:
> max(dãy số cần lấy giá tri lớn nhất).
> min(dãy số cần lấy giá tri nhỏ nhất).
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của dảy số: 1;2;3;9;-5;-9.
> max(1,2,3,9,-5,-9);
min(1,2,3,9,-5,-9);
Trích hệ số của một đa thức:
Cú pháp:
> coeff(f(x),x);
> coeff(f(x),x,n);
> coeff(f(x),x^n);
Trong đó:
f(x): là một biểu thức một biến theo biến x.
x: là biến.
n: là bậc của lũy thừa của biến x.
Ví dụ: Lấy hệ số của
3
x
với
943)((
34
−+= xxxf
.
> coeff(3*x^4+4*x^3-9,x,3);
Hàm tính giá trị của một biểu thức:
Cú pháp:
> eval(f,x=a,y=b…);
Trong đó:
f: là biểu thức, đa thức.

x=a;y=b là giá trị các biến.
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:
943)((
2
−+= xxxf
tại x=5.
> eval(x^3+3*x^2-9,x=5);
Hàm đơn gian phân thức hữu tỉ về dạng chuẩn:
Cú pháp: > normal(f);
Ví dụ: Đơn gian phân thức sau:
1
4
)2(
2
3
−
+
−
−
x
x
x
x
> normal(((x-2)^3/(x^2-4))+(x/(x-1)));
Hàm rút gọn một biểu thức:
Cú pháp:
> simplify(expr);{ expr là biểu thức cần rút gọn}.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau
)2sin()sin(cos2
3

xxx +
> simplify(2*cos(x)^3+sin(x)*sin(2*x));
CHƯƠNG II: KHẢO SÁT HÀM SÔ TRONG MAPLE 14.0
I. SỬ DỤNG CÁC CÂU LỆNH CỦA MAPLE VÀO GIẢI BÀI TOÁN KHẢO
SÁT HÀM SỐ.
I.1. Xác định tập xác định của hàm số f(x):
- Đối với hàm đa thức bậc ba và bậc bốn ta có TXĐ: D=R còn đối vời hàm phân
thức dạng
dcx
bax
y
+
+
=
thì tập xác định của hàm số là: D=
c
d−
.
I.2.Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
I.2.1 Hàm nhất biến:
- Nếu a*d-b*c>0 thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định, hàm số đồng biến
trên khoảng (
∞−
;TXĐ) và (TXĐ;
∞+
).
- Nếu a*d-b*c<0 thì hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định, nghịch biến trên
khoảng (
∞−
;TXĐ) và (TXĐ;

∞+
)
I.2.2 Hàm bậc ba:
- Tìm đạo hàm của hàm số với lệnh: [> diff(f(x),x);
[> dhb1:=diff(f,x);
- Giải phương trình dhb1=0, sử dụng hàm fsolve để tìm nghiệm:
+ Nếu phương trình vô nghiêm và a>0 thì hàm số luôn đồng biến.
+ Nếu phương trình vô nghiêm và a<0 thì hàm số luôn nghịch biến.
+ Nếu phương trình vô nghiêm và a<0 thì hàm số luôn nghịch biến.
+ Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệtvà thì ta sử dụng hàm min và max để
lấy hai nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình .
* a>0 thì hàm số đông biến trong khoảng(
∞−
,min(solve(dhb1=0))) và
max(solve(dhb1=0)),
∞+
)),nghịch biến trong khoảng
(min(solve(dhb1=0)),max(solve(dhb1=0))).
*a<0 hàm số nghịch biến trong khoảng(
∞−
,min(solve(dhb1=0))) và
(max(solve(dhb1=0)),
∞+
)),đồng biến trong khoảng
(min(solve(dhb1=0)),max(solve(dhb1=0))).
+ Nếu phương trình có 1 ngiệm kép và a>0 thì hàm số luôn đồng biến, nếu a<0 thì
hàm số luôn nghịch biến.
I.2.3 Hàm bậc bốn:
- Tìm đạo hàm của hàm số với lệnh: [> diff(f(x),x);
[> dhb1:=diff(f,x);

- Nếu a<0 và b<0 thì hàm số đồng biến trong khoảng (-infinity,0), nghịch biến
trong khoảng (0,+infinity).
- Nếu a<0 và b>0 thì hàm số đồng biến trong khoảng (0, +infinity), nghịch biến
trong khoảng (-infinity,0).
- Nếu a<0 và b>0 ta sử dụng hàm solve để giải phương trinh va hàm max, min để
lấy ra hai nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất của phương trình, khi đó hàm số đồng biến trong
khoảng (-infinity,min(solve(dhb1=0))) và (0,max(solve(dhb1=0))), hàm số nghịch biến
trong khoảng (min(solve(dhb1=0)),0)+infinity) và (max(solve(dhb1=0)),+infinity).
- Nếu a>0 và b<0 ta sử dụng hàm solve để giải phương trinh va hàm max, min để
lấy ra hai nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất của phương trình, khi đó hàm số đồng biến trong
khoảng (min(solve(dhb1=0)),0)+infinity) và (max(solve(dhb1=0)),+infinity), hàm số
nghịch biến trong khoảng (-infinity,min(solve(dhb1=0))) và (0,max(solve(dhb1=0))).
I.3. Tìm cực trị của hàm số:
II.3.1 Hàm nhất biến:
Hàm nhất biến không có cực trị
II.3.2 Hàm bậc ba:
- Nếu phương trình vô nghiệm: “{fsolve(diff(f,x)=0)}={}” thì hàm số không có
cực trị.
- Nếu phương trình có nghiệm kép: “{fsolve(diff(f,x)=0)}<>{}and
max(solve(diff(f,x)=0))=min(solve(diff(f,x)=0 )))” thì hàm số không có cực
trị.
- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt và a>0 “{fsolve(diff(f,x)=0)}<>{}
and a>0 and max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))” thì hàm số
có một cực tiểu và một cực đại: cực tiểu của hàm số là:
“(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))))”, cực
đại của hàm số là:
“(min(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))))”.
- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt và a<0 “{fsolve(diff(f,x)=0)}<>{}
and a<0 and max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))” thì hàm số
có một cực tiểu và một cực đại: cực đại của hàm số là:

“(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))))”, cực
tiểu của hàm số là:
“(min(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))))”.
II.3.3 Hàm bậc bốn:
- Nếu a>0, b>0 thì hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại: cực tiểu của hàm sô
là: simplify(eval(f,x=0))).
- Nếu a<0, b<=0 thì hàm số chỉ có cực đại không có cực tiểu: cực đại của hàm
sô là: simplify(eval(f,x=0))).
- Nếu a>0, b<0 thì hàm số có hai cực tiểu và một cực đại: cực đại của hàm sô
là: simplify(eval(f,x=0))))),hai cực tiểu của hàm số là:
simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0
))))).
- Nếu a<0, b>0 thì hàm số có hai cực đại và một cực tiểu: cực tiểu của hàm sô
là: simplify(eval(f,x=0))))),hai cực đại của hàm số là:
simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0
))))).
II.4.Tính lồi lõm và điểm uống của đồ thị.( Chỉ xét đối với hàm bật ba).
- Điểm uốn U(x,y) với x là nghiệm của phương trình đạo hàm bậc hai của f(x), y là giá trị của
hàm số f(x) tại x.:
”U`(solve(diff(diff(f,x),x)),simplify(eval(f,x=solve(diff(diff(f,x),x))))));”.
- Tính lồi lõm:
+ Nếu a>0 thì hàm số lồi trong khoảng “(-infinity,solve(diff(diff(f,x),x))))”, hàm số lõm trong
khoảng “(solve(diff(diff(f,x),x)),+infinity))”
+ Nếu a<0 thì hàm số lồi trong khoảng “(-infinity,solve(diff(diff(f,x),x))))”, hàm số lõm
trong khoảng “(solve(diff(diff(f,x),x)),+infinity))”.
II.5. Giới hạn và tiệm cận:
II.5.1 Hàm nhất biến:
Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cưc: Limit(f(x),x=+ifninity).
Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới âm vô cưc: Limit(f(x),x=-ifninity).
Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới

±
−
c
d
: Limit(f(x),x=
±
−
c
d
).
Tiêm cận đứng:
c
d−
Tịêm cận ngang: y=Limit(f(x),x=ifninity).
Ví dụ: Tìm giới hạn và tiệm cận của hàm số:
44
43
−
−
=
x
x
y
> print(`Giới hạn và tiệm cận`);
print(Limit((3*x-4)/(4*x-4),x=1,left)=limit((3*x-4)/(4*x-4),x=1,left));
print(Limit((3*x-4)/(4*x-4),x=1,right)=limit((3*x-4)/(4*x-4),x=1,right));
print(`Tiệm cận đứng:x=`(1));
print(Limit((3*x-4)/(4*x-4),x=infinity)=limit((3*x-4)/(4*x-4),x=infinity));
print(Limit((3*x-4)/(4*x-4),x=-infinity)=limit((3*x-4)/(4*x-4),x=-infinity));
print(`Tiệm cận ngang:y=`(limit((3*x-4)/(4*x-4),x=infinity)));

II.5.2Hàm bậc ba và bậc bốn:
Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cưc: Limit(f(x),x=+ifninity).
Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới âm vô cưc: Limit(f(x),x=-ifninity).
Ví dụ: tìm giới hạn của hàm số:
5433
23
−+−= xxxy
> print(`Giới hạn của hàm số: `);
print(Limit((3*x^3-3*x^2+4*x-5),x=infinity)=limit((3*x^3-3*x^2+4*x-5*x-
4),x=infinity));
print(Limit((3*x^3-3*x^2+4*x-5),x=-infinity)=limit((3*x^3-3*x^2+4*x-5),x=-
infinity));
II.6.Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đồ thị là một trong những chức năng mạnh của Maple. Để vẽ đồ thị hàm số
f(x) trên đoạn [a,b], ta sử dụng lệnh [> plot(f(x),view=[a b,c d]);
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số:
34
43
−
−
=
x
x
y
.
> plot((3*x-4)/(4*x-3),view=[-10 10,-10 10]);
I. CHƯƠNG TRÌNH.
I.1. Chương trình khảo sát hàm nhất biến.
> KSHNB:=proc(a,b,c,d)local y,dy,txd;
y:=(a*x+b)/(c*x+d);

dy:=normal(diff(y,x));
txd:=-d/c;
print(`1)TXD:R/`((-d/c)));
print(`2)Sự biến thiên`);
print(`a)Chiều biến thiên`);
if((a*d-b*c)>0) then
print(`ham số luôn đông biến trên tập xác định`);
print(`ham số đồng biên trên khoang`(-infinity,txd) ,(txd,+infinity));
else
print(`ham số luôn nghich biến trên tập xác định`);
print(`ham số nghịch biến trên khoảng`(-infinity,txd),((txd,+infinity)));
end if;
print(`b)Cực trị`);
print(`Hàm số không có cực trị`);
print(`c)Giới hạn và Tiệm cận`);
print(Limit(y,x=txd,left)= limit(y,x=txd,left));
print(Limit(y,x=txd,rirht)= limit(y,x=txd,right));
print(` `);
print(Limit(y,x=infinity)= limit(y,x=infinity));
print(` `);
print(Limit(y,x=-infinity)= limit(y,x=-infinity));
print(` `);
print(`Tiệm cận đứng:x=`(txd));
print(`Tiệm cận ngang: y = `(limit(y,x=infinity)));
print(`3) Do thi:`);
print(`Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có tọa độ:`(fsolve(y = 0), 0));
print(`Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ:`(0, (b/d)));
print(plot({y,a/c},view=[-10 10,-10 10]));
end :
I.2. Chương trình khảo sát hàm bậc ba.

> restart:
KSHB3:=proc(f)
local a,b,c,d,dh1;
a:=coeff(f,x,3):b:=coeff(f,x,2):
c:=coeff(f,x,1):d:=coeff(f,x,0):
print(`Khao sat ham so:y =`(f));
print(` `);
print(`1)TXĐ:R`);
print(`2) Sự biến thiên`);
dh1:=diff(f,x);
print(`a) Chiều biến thiên y'`=dh1);if({fsolve(diff(f,x)=0)}={} and a>0) then
print(`y' >0 với mọi x`);
print(`Hàm số đồng biến`);
end if;
if({fsolve(diff(f,x)=0)}={} and a<0) then
print(`y' <0 với mọi x`);
print(` Hàm số luôn nghịch biến`);
end if;
if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a>0 and
max(solve(diff(f,x)=0))=min(solve(diff(f,x)=0 ))) then
print(`Đạo hàm y' =0 tai x`=min(solve(diff(f,x)=0 )));
print(` y'>=0 với mọi x`);
print(` Hàm số luôn đồng biến`);
end if;
if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a<0 and
max(solve(diff(f,x)=0))=min(solve(diff(f,x)=0 ))) then print(`Đạo hàm y' =0 tai
x`=min(solve(diff(f,x)=0 )));
print (` y'<=0 với mọi x`);
print(` Hàm số luôn nghịch biến`);
end if;

if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a>0 and
max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))) then
dh1:=factor(dh1);
print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));
print(` Hàm số đồng biến trong các khoảng:`(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `)
(max(solve(diff(f,x)=0)),infinity));
print(` Hàm số nghịch biến trong các
khoảng:`(min(solve(diff(f,x)=0)),max(solve(diff(f,x)=0))));
end if;
if({fsolve(diff(f(x),x)=0)}<>{} and a<0 and
max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))) then
dh1:=factor(dh1);
print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));
print(` Hàm số nghịch biến trong khoảng:`(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `)
(max(solve(diff(f,x)=0)),infinity));print(` Hàm số đồng biến trong
khoảng:`(min(solve(diff(f,x)=0)),max(solve(diff(f,x)=0))));
end if;
print(`b) Cực trị:`);
if({fsolve(diff(f,x)=0)}={}) then
print(`Hàm số không có cực trị`);
end if;
if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{}and max(solve(diff(f,x)=0))=min(solve(diff(f,x)=0 ))) then
print(`Hàm số không có cực trị`);
end if;
if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a>0 and
max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))) then
print(` Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:`);
print(` Điểm cực đại:`
(min(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))));
print(` Điểm cực

tiểu:`(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))));
end if;
if({fsolve(diff(f,x)=0)}<>{} and a<0 and
max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))) then
print(` Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:`);
print(` Điểm cực
tiểu:`(min(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))));
print(` Điểm cực đại:`
(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))));
end if;
print(`c) Giới hạn:`);
print(Limit(f,x=-infinity)= limit(f,x=-infinity));
print(Limit(f,x=infinity)= limit(f,x=infinity));
print(` Đồ thị hàm số không có tiệm cận`);print(` `);
print(`d) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:`);
print(`y''`=diff(diff(f,x),x));
print(` Điểm uốn
:U`(solve(diff(diff(f,x),x)),simplify(eval(f,x=solve(diff(diff(f,x),x))))));
if (a>0) then
print(`Hàm số lồi trong khoảng:`(-infinity,solve(diff(diff(f,x),x))));print(`Hàm số lõm
trong khoảng:`(solve(diff(diff(f,x),x)),+infinity));
else
print(`Hàm số lõm trong khoảng:`(-infinity,solve(diff(diff(f,x),x))));
print(` Hàm số lồi trong khoảng:`(solve(diff(diff(f,x),x)),+infinity));
end if;
print(`3) Đồ thị:`);
print(` Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn U`);
print(` Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có hoành độ:`(fsolve(f=0)));
print(`Đồ thị cắt trục Oy tại điểm:`(0,d));
print(plot(f,view=[-10 10,-10 10]));

end:
I 3. Chương trinh khảo sát hàm trùng phương.
> restart:
KSHB4:=proc(f)
local a,b,c,dh1;
a:=coeff(f,x,4):b:=coeff(f,x,2):
c:coeff(f,x,0):
print(`1)TXĐ:R`);
print(`2) Sự biến thiên`);
dh1:=diff(f,x);
print(`a) Chiều biến thiên y'`=dh1);
if(a<0 and b<=0) then
print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=0);
print(` Hàm số đồng biến trong khoảng:`
(-infinity,0));
print(` Hàm số nghịch biến trong khoảng:` (0,+infinity));
end if;
if(a>0 and b>0) then
print(`Đạo hàm y' =0 tại:x`=0);
print(` Hàm số đồng biến trong khoảng:`(0,+infinity));
print(` Hàm số nghịch biến trong khoảng:` (-infinity,0));
end if;
if(a<0 and b>0) then
print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));
print(` Hàm số đồng biến trong các khoảng:`
(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `) (0,max(solve(diff(f,x)=0))));
print(` Hàm số nghịch biến trong các khoảng:`(min(solve(diff(f,x)=0)),0)(`và `)
(max(solve(diff(f,x)=0)),-infinity));
end if;
if(a>0 and b<0) then

print(`Đạo hàm y' =0 tại x`=solve(diff(f,x)=0));
print(` Hàm số đồng biến trong các khoảng:`(min(solve(diff(f,x)=0)),0)(` và `)
(max(solve(diff(f,x)=0)),+infinity));
print(` Hàm số nghịch biến trong khoảng:`(-infinity,min(solve(diff(f,x)=0))) (` và `)
(0,max(solve(diff(f,x)=0))));
end if;
print(`b) Cực trị:`);
if(a>0 and b>0) then
print(`Hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại`);
print(`Điểm cực tiểu của hàm số là:`(simplify(eval(f,x=0))));
end if;
if(a<0 and b<=0) then
print(`Hàm số chỉ có cực đại không có cực tiểu`);
print(`Điểm cực đại của hàm số là:`(simplify(eval(f,x=0))));
end if;
if(a>0 and b<0) then
print(`Hàm số có hai cực tiểu và một có cực đại`);
print(`Điểm cực tiểu của hàm số
là:`(x=min(solve(diff(f,x)=0)),yct1=simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))) (va)
(x=max(solve(diff(f,x)=0)),yct2=simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))));
print(`Điểm cực đại của hàm số là:`(x=0,(ycd=simplify(eval(f,x=0)))));
end if;
if(a<0 and b>0) then
print(`Hàm số có hai cực đại và một có cưc tiểu`);
print(`Điểm cực đại của hàm số là:`(x=min(solve(diff(f,x)=0)),
ycd1=simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))) (và) (x=max(solve(diff(f,x)=0)),
ycd2=simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))));
print(`Điểm cực tiểu của hàm số là:`(x=0,(yct=simplify(eval(f,x=0)))));
end if;
print(`c) Giới hạn:`);

print(Limit(f,x=-infinity)=limit(f,x=-infinity));
print(Limit(f,x=+infinity)=limit(f,x=+infinity));
print(` Đồ thị không có tiệm cận`);
print(`3) Đồ thị:`);
print(` Độ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng`);
print(`Đồ thị cắt Oy tại điểm :`(0,(simplify(eval(f,x=0)))));
print(plot(f,view=[-10 10,-10 10]));
end:
II.MỘT SỐ VÍ DỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐƯỢC THỰC HIỆN BẰNG
PHẦN MÊM MAPLE
II.1. Khảo sát hàm nhất biến.
- Hàm nhất biến có dạng:
dcx
bax
y
+
+
=
. Để khảo hàm dang nài ta chi cần gọi lệnh:
> KSHNB(a,b,c,d); thi ta sẻ có được một bài khảo sát hàm số nhất biến
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
43
43
−
+
=
x
x
y
> KSHNB(3,4,3,-4);