bài tiểu Luận

Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ NHỮNG
ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC
(Môn ĐẠI SỐ - Lớp 10)
1) Lí do chọn đề tài:
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một mảng kiến thức hay và quan trọng ở trường phổ thông, có nhiều
ứng dụng trong thực tế.
- Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có lien quan chặt chẽ đến Quy hoạch
tuyến tính. Đó là một nghành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế.
- Việc giải bài toán bất phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng vào việc tìm cực trị của biểu thức
P(x,y)= ax + by (b
≠
0 )trên một miền đa giác phẳng lồi.
- Việc nắm vững kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh có thể quy những bài toán
kinh tế trong đời sống về toán học.
2) Mục đích của đề tài:
-Tìm hiểu Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được đưa vào sách giáo khoa như thế nào và đưa vào
cùng với mạng lưới tri thức nào?
-Việc áp dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán kinh tế như thế nào?
-Phương pháp tìm cực trị có thể áp dụng vấn đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như thế nào?
-Đưa ra một giáo án tiêu biểu cho việc dạy học bài Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn.
3) Phương pháp nghiên cứu:
-Bàn về vấn đề bất phương trình hai ẩn và những ứng dụng của nơ trong toán học
-Phân tích việc các tác giả sách giáo khoa đưa vấn đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào chương
trình theo hai hướng: đưa vào cùng mạng lưới tri thức nào, bố cục và nội dung bài Bất phương trình bậc nhất
hai ẩn trong sách Đại số 10 ra sao.
-Phân loại những dạng bài tập,tiếp cận bài toán kinh tế và một phương pháp tìm cực trị mà sách giáo khoa
đưa vào.
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 1

Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
Nội Dung Nghiên Cứu
A>
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC
A.1.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng ax +
by +c < 0,ax + by +c > 0, ax + by + c ≤ 0 , ax + by +c ≥ 0
trong đó a, b, c là những số thực cho trước sap cho a
2
+b
2
≠ 0; x và y là các ẩn.
Mỗi cặp số ( x
0
;y
0
) sao cho ax
0
+ by
0
+ c < 0 gọi là một nghiệm của bất phương
trình ax + by + c <0
Như vậy trong mặt phẳng toạ độ, mỗi nghiệm của bất phương tình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi
một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm.Ta gọi tập hợp điểm đó là miền
nghiệm của bất phương trình.
Việc xác định miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn (hay biểu diễn hình học tập
nghiệm của nó) trong mặt phẳng toạ độ dựa trên định lý được thừa nhận sau:
Trong mặt phẳng toạ độ, đường thẳng (d): ax + by + c =0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng
.Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có toạ độ thoã mãn bất phương
trình ax + by +c >0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có toạ độ thoã mãn bất

phương trình ax + by + c <0
Từ định lý ,ta suy ra:
Nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm của bất phương trình ax + by +c > 0 (hay ax + by + c<0) thì nửa
mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M(x
0
;y
0
) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.
Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0, ta làm như sau:
-Vẽ đường thẳng (d) : ax + by + c =0;
-Xét một điểm M(x
0
; y
0
) không nằm trên (d).
Nếu ax
0
+ by
0
+ c <0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất
phương trình ax + by +c <0
Nếu ax
0
+ by
0
+ c <0 thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của

bất phương trình ax + by +c <0.
Đối với các bất phương trình dạng ax + by +c ≤ 0 hoặc ax + by + c ≥ 0 thì miền nghiệm là nửa mặt
phẳng kể cả bờ.
A.2.Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y mà ta phải tìm
nghiệm chung của chúng.
Trong mặt phẳng toạ độ,ta gọi tập hợp các điểm có toạ độ thoã mãn mọi bất phương trình trong hệ là
miền nghiệm của hệ.Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong
hệ.
Để xác định miền nghiệm của hệ,ta dung phương pháp biểu diễn hình học như sau:
-Với mỗi bất phương trình trong hệ,ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
-Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng
toạ độ,miền còn lại không bi gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương tình đã cho.
Sau đây là một ví dụ minh hoạ về cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Giải hệ bất phương trình sau:
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 2
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu

3 3 0
2 3 6 0
2 4 0
x y
x y
x y
− + >


− + − <



+ + >

(1)
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
(d
1
): 3x - y + 3 = 0;
(d
2
): -2x + 3y - 6 = 0;
(d
3
): 2x + y + 4 = 0.
Sau khi tô màu các miền không thích hợp, miền không bị tô màu trên hình vẽ (không kể biên) là miền
nghiệm của hệ (I).
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho phần không tô màu trong đồ thị trên.
A.3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong một phương pháp tìm cực trị của biểu thức
P(x;y) = ax +by trên một miền đa giác lồi.
Ta có bài toán:Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x ;y ) = ax + by (b≠0) trên một miền
đa giác phẳng lồi (kể cả biên)
Bài toán đó có nghĩa là:
Cho biểu thức P (x; y) =ax +by (b≠0) và một miền đa giác lồi (S),kể cả biên, trong mặt phẳng toạ độ
Oxy.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất ) của P(x; y) với (x ;y) là toạ độ của các điểm thuộc (S).
Cách giải.Ta luôn có thể giả thiết rằng b>0, bởi vì nếu b< 0 thì ta có thể nhân hai vế với -1 và bài
toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P(x; y) sẽ trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ
nhất) của -P(x; y) = -ax + b’y, trong đó b’ = -b >0.
Tập các điểm (x; y) để P(x; y) nhận giá trị p là đường thẳng ax +by = p; hay y=
.
b

p
x
b
a
+−
Đường thẳng này có hệ số góc bằng
b
a
−
và cắt trục tung tại điểm M( 0; m) với m =
b
p
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 3
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
Ký hiệu đường thẳng này là (d
m
).Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P (x; y) = p
với (x; y)
∈
(S) quy về việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của m=
b
p
,tức là tìm điểm M ở vị trí
thấp nhất (hay cao nhất) trên trục tung sao cho đường thẳng ( d
m
) có ít nhất một điểm chung với (S).
Từ đó chú ý rằng ( d
m
) có hệ số góc bằng -

b
a
không đổi.Ta đi đến cách làm sau :
.Khi tìm giá trị nhỏ nhất của P( x; y), ta cho đường thẳng (d
m
) chuyển động song song với chính nó từ
một vị trí nào đó ở phía dưới miền (S) và đi lên cho đến khi (d
m
)lần đầu tiên đi qua một điểm (x
0
; y
0
)
nào đó của (S).Khi đó ,m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P(x ; y). Đó là
P(x
0
; y
0
) = ax
0
+ by
0
.
.Khi tìm giá trị lớn nhất của P(x ; y) ,ta cho đường thẳng (d
m
) với hệ số góc
b
a
−
chuyển động song

song với chính nó từ một vị trí nào đó trên miền (S) và đi xuống cho đến khi (d
m
) lần đầu tiên đi qua
một điểm (x
0
; y
0
) nào đó của (S).Khi đó , m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất
của P(x; y). Đó là
P(x
0
;y
0
) = ax
0
+ by
0
.
Qua cách làm trên ,ta thấy rằng P(x ; y ) đạt giá trị nhỏ nhất ( hay lớn nhất ) tại một đỉnh nào đó của
đa giác (S).
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 4
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu


Áp dụng:Tìm giá trị nhỏ nhất của T(x; y) = 4x + 3y trong miền đa giác lồi sau









≥+
≥+
≤≤
≤≤
3052
142
90
100
yx
yx
y
x
Ta có đa giác sau : (là phần không tô màu)
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 5
y
x
dm
O
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
Áp dụng cách làm trên ,ta thấy khi (d
m
) đi qua đỉnh A(5; 4) thì m nhỏ nhất . Điều đó có nghĩa là T(x; y)
đạt gía trị nhỏ nhất khi x= 5 và y = 4.Khi đó ,T(5; 4) = 32
A4. Áp dụng của hệ bất phương trình hai ẩn vào bài toán kinh tế
Ta có bài toán kinh tế sau :

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140kg hoá chất A và 9kg chất B.Từ
mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng ,có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 chất B.Từ mỗi
tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng ,có thể chiiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B.Hỏi
phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất ,biết rằng cơ sở
cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn
nguyên liệu loại II?
Phân tích bài toán:Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II thì theo giả thiết,có
thể chiết xuất được (20x + 10y) kg chất A và (0,6x +1,5y)kg chất B.Theo giả thiết,x và y phải thoã
mãn các điều kiện:
0 ≤ x ≤10
0 ≤ y≤ 9
20x +10y ≥ 140 hay 2x +y ≥ 14
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 6
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
0,6x + 1,5y ≥ 9 hay 2x + 5y ≥ 30
Tổng số tiền mua nguyên liệu là T(x ;y) = 4x+ 3y.
Bài toán đã cho trở thành :Tìm các số x và y thoã mãn hệ bất phương trình







≥+
≥+
≤≤
≤≤
3052

142
90
100
yx
yx
y
x
(II)
Sao cho T(x ; y)= 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất
Bài toán dẫn đến hai bài toán nhỏ sau :
Bài toán 1 :Xác định tập hợp (S) các điểm có toạ độ (x ;y) thoã mãn hệ (II)
Bài toán 2 :Trong tất cả các điểm thuộc (S),tìm điểm (x ; y) sao cho T(x ; y) có gí trị nhỏ nhất.
Việc giải bài toán 1 chính là việc xác định miền nghiệm cuả hện bất phương trình (II) mà ta đã lâp
được.
Giải bài toán 2 ta đã trình bày trong phần áp dụng tìm giá trị cực đại trong miền đa giác lồi ở trên.
Vậy , để chi phí nguyên liệu ít nhất ,cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II
(khi đó ,chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng)
A5 .Một ứng dụng của hệ bất phương tình bậc nhất hai ẩn trong bài toán Quy hoạch tuyến tính :
Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu được nguyên cứu trọn vẹn cả về phương
diện lý thuyết lẫn thực hành.
Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nguyên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng,Viện sĩ
Kantorovicla L.V.
Một trong những phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính là phương pháp đơn hình, đây là
một phương pháp do nhà toán học Dantzig công bố năm 1974,dựa trên phương pháp tìm cực trị
trong miền đa giác.Thuật toán có hai giai đoạn :
Giai đoạn 1 :tìm một phương án cực biên ( một đỉnh).
Giai đoạn 2 :kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án tìm được ở giai đoại 1
Ta xét bài toán Quy hoạch tuyến tính dưới dạng chuẩn với hai biến số sau :
c
1

x
1
+ c
2
x
2

→
max
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 7
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
D =
1 1 2 2
, 1,..,
0, 1,2
i i i
j
a x a x b i m
x j
+ ≤ =



≥ =


Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phương trình tuyến tính a
i1
x

1
+ a
i2
x
2
≤ b
i
xác định một nửa
mặt phẳng.
Như vậy miền ràn buộc D được xác định như là giao của m nửa mặt phẳng và sẽ là một đa giác lồi
trên mặt phẳng.Phương trình c
1
x
1
+ c
2
x
2
= α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các đường
song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức (với giá trị mức α).Mỗi điểm
1 2
( , )x x x D= ∈
sẽ
nằm trên một đường mức
1 1 2 2
c x c x
α
= +
.
Bài toán đặt ra có thể phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau:trong số các đường mức cắt tập

D,hãy tìm đường mức với giá trị mức lớn nhất.
Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vectơ pháp tuyến của chúng
1 2
( , )n c c=
r

thì giá trị mức sẽ tăng,nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm.Vì vậy để giải
bài toán đặt ra,ta có thể tiến hành như sau.
Bắt đầu từ một đường mức cắt D,ta dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vectơ pháp
tuyến (c
1
,c
2
) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức không còn cắt D nữa thì
dừng. Điểm của D(có thể nhiều điểm )nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu cần
tìm, còn giá trị hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài toán.
Ví dụ:Xét bài toán:
F(x)_= 4x

+ 5y
→
max

2 8
2 7
3
0, 0
x y
x y
y

x y
+ ≤


+ ≤


≤


≥ ≥


Xét đường mức: 4x +5y =10. Đường mức
này sẽ đi qua hai điểm (0,2) và (2.5, 0).Ta
có x
*
=(3,2). F
max
=22.
Và x
*
sẽ là một đỉnh của D.
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 8
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
B.PHÂN TÍCH BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
Phân tích sách giáo khoa
Chúng ta sẽ đi vào phân tích sách Giáo khoa lớp 10 (Ban A_ ban khoa học tự nhiên)- Nhà xuất bản giáo

dục 2006.
Bố cục chung của sách:
Chương I : Mệnh đề.Tập hợp.
Chương II : Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.
Chương III : Phương trình.Hệ phương trình.
Chương IV : Bất đẳng thức.Bất phương trình.
Chương V : Thống kê.
Chương VI : Cung và Góc lượng giác.Công thức lượng giác.
Như vậy, ta có thể thấy nội dung các chương trong sách này nhiều hơn ở SGK chỉnh lý hợp nhất năm
2000: có thêm chương Thống kê, chương Góc lượng giác và công thức lượng giác.
Trong đó, bài Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trong bố cục của chương
IV:
§1. Bất đẳng thức
§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
§3. Dấu của nhị thức bậc nhất.
§4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 9
y
x
O
x
*
n