Tài liệu Bài Tập cơ học hệ nhiều vật tuyển chọn

Câu 1:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,3m và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r


tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi  = /2 rad,  =  rad,


= 1rad/s,


= 2rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m

A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Xác định các ma trận quay:












cossin0
sincos0
001
10
A
,














cos0sin
010
sin0cos
21
A
















coscossinsincos
cossincossinsin
sin0cos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR

















































sin
cos
0
0
0
cossin0
sincos0
001
0
0
0
21101020A
a
aaRARRr
(1)

)2(
B2020
)0(
BB

rARrr 

=





































ba
a 0
0
coscossinsincos
cossincossinsin
sin0cos
sin
cos
0



1
 r
B
=














coscossin
cossincos
sin
ba
ba
b
(2)
3)  Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ xác định bởi:












cos
sin

0
AA


a
arV
(3)














sincoscossincos
sinsincoscossin
cos
BB







bba
bba
b
rV
(4)
 Khi  = /2,  = ,


= 1,


= 2: sin = 1, cos = 0, sin = 0, cos = -1.
Thay vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, -0.5, 0]
T
(m/s)  V
A
= 0.50m/s,
V
B
= [-0.6, -0.5, 0.3]
T
(m/s)  V
B
=
70.0
 0.8367m/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T
r
B
= M +
q
q
r
F 


B
T

= M +
 






















sincoscossincos
sinsincoscossin
cos0
321
bba
bba
b
FFF

=
 
 )cossincos()coscossin(
32

baFbaFM
+
+
 
 sincossinsincos
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)cossincos()coscossin(
32


baFbaFMQ

 


sincossinsincos
321
bFbFbFQ


5) Viết phương trình chuyển động của hệ.
 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB

T
BBA
T
AA
)cos()sin(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr



22
B
)sinsincoscossin()cos(
2
1



bbabm


2
)sincoscossincos( 



bba

T =
 
 sin
2
1
)cos(
2
1
B
22
B
2222
B
2
A




abmbmbamam


 



sin)cos(

B
222
B
2
A



abmbamam
T
,


2
 











2sin)cos(
2
B
222

B
2
A



bmbamam
T
dt
d

 cossin
2
BB

abmabm
,
0

T
,




sin
B
2
B




abmbm
T
,









cossin
BB
2
B




abmabmbm
T
dt
d
,




coscossin
B
22
B


abmbm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:















Q
TT
dt
d


và













Q
TT
dt
d



 
 
 cossin2sin)cos(
22
B
222
B
2
A



ababbmbamam
=
=
 
)cossincos()coscossin(
32
 baFbaFM


 cossinsin
22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
 
 sincossinsincos
321
bFbFbF

3
Câu 2:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,4m và các góc quay  = 

10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi  =  rad,
 = /2 rad,


= 2rad/s,



= 1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:












cossin0
sincos0
001
10
A
,














100
0cossin
0sincos
21
A















coscossinsinsin
sincoscossincos

0sincos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR
,
R
20
= R
10
+ A
10
R
21

 R
20

=













































cos
sin
0
0
0
cossin0
sincos0
001
0
0
0
a
a
a

 r
A
= R
20
= [0, - asin, acos]
T
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:


4
)2(
B2020
)0(
BB
rARrr 
=





































0
0
coscossinsinsin
sincoscossincos
0sincos
cos
sin

0
b
a
a

 r
B
=













cossincos
coscossin
sin
ba
ba
b
(2)
3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:













sin
cos
0
AA


a
arV
(3)















sinsincoscossin
sincoscossincos
cos
BB






bba
bba
b
rV
(4)
 Khi  = ,  = /2,


= 2,


= 1: sin = 0, cos = -1, sin = 1, cos = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 1.0, 0]

T
(m/s)  V
A
= 1.00 m/s
V
B
= [0, 1.4, 0]
T
(m/s)  V
B
= 1.40 m/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T
r
B
= M +
q
q
r
F 



B
T

=
 






















sinsincoscossin

sincoscossincos
cos0
321
bba
bba
b
FFFM

=
 
 )coscossin()cossincos(
32
baFbaFM
-
-
 
 sinsinsincoscos
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)coscossin()cossincos(
32


baFbaFMQ

 



sinsinsincoscos
321
bFbFbFQ


5) Phương trình chuyển động của hệ.
 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr



22
B

)sincoscossincos()cos(
2
1



bbabm


2
)sinsincoscossin( 


bba



5
=
 
 sin2cos
2
1
2
1
2222222
B
22
A





abbbamam


 
 sin
2
1
)cos(
2
1
B
22
B
2222
B
2
A




abmbmbamamT


 




sin)cos(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
 











2sin)cos(
2
B
222
B

2
A



bmbamam
T
dt
d

 cossin
2
BB

abmabm
,
0

T
,




sin
B
2
B




abmbm
T
,









cossin
BB
2
B




abmabmbm
T
dt
d
,



coscossin

B
22
B


abmbm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:















Q
TT
dt
d

và














Q
TT
dt
d


 
 cossin2sin)cos(
2
BB
2
B
222
B
2
A



abmabmbmbamam

=
 
)coscossin()cossincos(
32
 baFbaFM
,
 
 cossinsin
22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
 
 sinsinsincoscos
321
bFbFbF
,



6
Câu 3:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,25m và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r


tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi  = /2 rad,
 = /2 rad,


=


= 1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:













100
0cossin
0sincos
10

A
,












cossin0
sincos0
001
21
A
















cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR
,

















































0
cos
sin
0
0
100
0cossin
0sincos
0
0
0
21101020A
a
a
aRARRr
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(

B2020
)0(
BB
rARrr 

=





































b
a
a
0
0
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
0
cos
sin



7
 r
B
=














cos
sincoscos
sinsinsin
b
ba
ba
(2)
3)  Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:














0
sin
cos
AA



a
a
rV
(3)














sin

coscossinsinsin
cossinsincoscos
BB






b
bba
bba
rV
(4)
 Khi  =  = /2,


=


= 1: sin = 1, cos = 0, sin = 1, cos = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, -0.5, 0]
T
(m/s), V
A
= 0.50m/s,
V

B
= [0, -0.25, -0.25]
T
(m/s), V
B
=
42
 0.3536m/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T
r
B
= M +
q
q
r
F 


B

T

=
 






















sin0
coscossinsinsin
cossinsincoscos
321

b
bba
bba
FFFM

=
 
 )sinsinsin()sincoscos(
21
baFbaFM
+
+
 
 sincoscoscossin
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)sinsinsin()sincoscos(
21


baFbaFMQ



sincoscoscossin
321
bFbFbFQ

5) Phương trình chuyển động của hệ.
 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr



2
B
)cossinsincoscos(
2
1



bbam


22
)sin()coscossinsinsin( 


bbba

=
 
 sin2sin
2
1
2
1
22222222
B
22
A



abbbamam


 
22
B

22
B
2
A
2
1
)sin(
2
1



bmbamamT



8

 





2
B
2
A
)sin( bamam
T

,
 














)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0

T

,






2
B
bm
T
,











2
B
bm
T
dt
d
,

2
B
)sin(cos 



babm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:















Q
TT
dt
d


và













Q
TT
dt
d


 



)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A

babmbamam
=
=
 
)sinsinsin()sincoscos(
21
 baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos 


babmbm
=
=
 sincoscoscossin
321
bFbFbF
,



9
Câu 4:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=1,0m, b =0,6m và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =3/2 rad,
=3/2 rad,



=


= 3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m

B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:













100
0cossin
0sincos
10
A
,













cossin0
sincos0
001
21
A
















cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR
,

















































0
cos
sin
0
0
100
0cossin
0sincos
0
0
0
21101020A
a
a
aRARRr
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(
BB

rARrr 

=






































b
a
a
0
0
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
0
cos
sin



10
 r
B
=














cos
sincoscos
sinsinsin
b
ba
ba
(2)
3)  Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:














0
sin
cos
AA



a
a
rV
(3)














sin
coscossinsinsin
cossinsincoscos

BB






b
bba
bba
rV
(4)
 Khi  =  = 3/2,


=


=3: sin =-1, cos = 0, sin =-1, cos = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 3.0, 0]
T
(m/s), V
A
= 3.00m/s,
V
B
= [0, 1.2, -1.8]

T
(m/s), V
B
=
5133
 2.1633m/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T
r
B
= M +
q
q
r
F 


B
T

=
 






















sin0
coscossinsinsin
cossinsincoscos
321
b
bba

bba
FFFM

=
 
 )sinsinsin()sincoscos(
21
baFbaFM
+
+
 
 sincoscoscossin
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)sinsinsin()sincoscos(
21


baFbaFMQ



sincoscoscossin
321
bFbFbFQ

5) Phương trình chuyển động của hệ.
 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr



2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam


22
)sin()coscossinsinsin( 


bbba

=
 
 sin2sin
2
1
2
1
22222222
B
22
A



abbbamam


 
22
B
22
B

2
A
2
1
)sin(
2
1



bmbamamT



11

 





2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
 















)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0

T
,







2
B
bm
T
,











2
B
bm
T
dt
d
,
2
B

)sin(cos 



babm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:















Q
TT
dt
d

và














Q
TT
dt
d


 



)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=

=
 
)sinsinsin()sincoscos(
21
 baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos 


babmbm
=
=
 sincoscoscossin
321
bFbFbF
,



12
Câu 5:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học a

= 5dm, b = 4dm và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =3/2 rad,
=/2 rad,



=3rad/s,


=1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các

điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:













cos0sin
010
sin0cos
10
A
,













cossin0
sincos0
001
21
A















coscossincossin

sincos0
cossinsinsincos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR
,


















































cos
0
sin
0
0
cos0sin
010
sin0cos
0
0
0
21101020A
a
a
a
RARRr
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(
BB

rARrr 



13
=





































0
0
coscossincossin
sincos0
cossinsinsincos
cos
0
sin
b
a
a

 r
B
=














sincoscos
cos
sinsinsin
ba
b
ba
(2)
3)  Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:














sin
0
cos
AA



a
a
rV
(3)














coscossinsinsin
sin
cossinsincoscos
BB







bba
b
bba
rV
(4)
 Khi =3/2, =/2,


=3,


=1: sin=-1, cos=0, sin=1, cos=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, 15]
T
(dm/s)  V
A
= 15.0dm/s,
V
B
= [0, -4.0, 27.0]
T

(dm/s)  V
B
=
745
 27.2947dm/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T
r
B
= M +
q
q
r
F 


B
T

=

 






















coscossinsinsin
sin0
cossinsincoscos
321
bba
b
bba

FFFM

=
 
 )sinsinsin()sincoscos(
31
baFbaFM
+
+
 
 coscossincossin
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)sinsinsin()sincoscos(
31


baFbaFMQ



coscossincossin
321
bFbFbFQ


5) Phương trình chuyển động của hệ.

 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr



2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam


22
)coscossinsinsin()sin( 



bbab



14
=
 
 sin2sin
2
1
2
1
22222222
B
22
A



abbbamam


 
22

B
22
B
2
A
2
1
)sin(
2
1



bmbamamT


 





2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
 















)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0

T
,







2
B
bm
T
,











2
B
bm
T
dt
d
,
2
B

)sin(cos 



babm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:















Q
TT
dt
d

và














Q
TT
dt
d


 



)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=

=
 
)sinsinsin()sincoscos(
31
 baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos 


babmbm
=
=
 coscossincossin
321
bFbFbF
,



15
Câu 6:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học a

= 4dm, b = 5dm và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =/2 rad,
=3/2 rad,



=1rad/s,


=3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các

điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:













cos0sin
010
sin0cos
10
A
,













cossin0
sincos0
001
21
A















coscossincossin

sincos0
cossinsinsincos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR
,



















































cos
0
sin
0
0
cos0sin
010
sin0cos
0
0
0
21101020A
a
a
a
RARRr
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(

BB
rARrr 



16
=





































0
0
coscossincossin
sincos0
cossinsinsincos
cos
0
sin
b
a
a

 r
B
=














sincoscos
cos
sinsinsin
ba
b
ba
(2)
3)  Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:














sin
0
cos
AA



a
a
rV
(3)














coscossinsinsin
sin
cossinsincoscos

BB






bba
b
bba
rV
(4)
 Khi =/2, =3/2,


=1,


=3: sin=1, cos=0, sin=-1, cos=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, 4]
T
(dm/s)  V
A
= 4.0dm/s,
V
B
= [0, 15.0, 19.0]

T
(dm/s)  V
B
=
2074.24586 
dm/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T
r
B
= M +
q
q
r
F 


B
T

=
 






















coscossinsinsin
sin0
cossinsincoscos
321
bba
b

bba
FFFM

=
 
 )sinsinsin()sincoscos(
31
baFbaFM
+
+
 
 coscossincossin
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)sinsinsin()sincoscos(
31


baFbaFMQ



coscossincossin
321
bFbFbFQ

5) Phương trình chuyển động của hệ.
 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr



2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam


22
)coscossinsinsin()sin( 



bbab



17
=
 
 sin2sin
2
1
2
1
22222222
B
22
A



abbbamam


 

22
B
22
B
2
A
2
1
)sin(
2
1



bmbamamT


 





2
B
2
A
)sin( bamam
T
,

 














)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0

T
,







2
B
bm
T
,











2
B
bm
T
dt
d
,
2

B
)sin(cos 



babm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:















Q
TT
dt
d

và














Q
TT
dt
d


 



)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam

=
=
 
)sinsinsin()sincoscos(
31
 baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos 


babmbm
=
=
 coscossincossin
321
bFbFbF
,



18
Câu 7:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt

phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=6dm, b =4dm và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =3/2 rad,
=/2 rad,



=3rad/s,


=1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B

đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:













100
0cossin
0sincos
10
A
,














cos0sin
010
sin0cos
21
A
















cos0sin
sinsincoscossin
sincossincoscos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR
,
R
20
= R
10
+ A
10
R
21

 r
A
= R
20
=















































0
cos
sin
0
0
100
0cossin
0sincos

0
0
0
a
a
a
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020B
rARr 
=





































b
a
a
0
0
cos0sin
sinsincoscossin
sincossincoscos
0
cos
sin

19
 r
B
=













cos
sinsincos
sincossin
b
ba
ba
(2)
3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:














0
sin
cos
AA



a
a
rV
(3)















sin
cossinsincossin
coscossinsincos
BB






b
bba
bba
rV
(4)
 Khi =3/2, =/2,


=3,


=1: sin=-1, cos=0, sin=1, cos=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A

= [0, 18.0, 0]
T
(dm/s)  V
A
= 18.00dm/s
V
B
= [12, 18, -4]
T
(dm/s)  V
B
= 22.00dm/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T
r
B
= M +
q
q
r

F 


B
T

=
 























sin0
cossinsincossin
coscossinsincos
321
b
bba
bba
FFFM

=
 
 )sincossin()sinsincos(
21
baFbaFM
+
+
 
 sincossincoscos
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)sincossin()sinsincos(
21


baFbaFMQ

 



sincossincoscos
321
bFbFbFQ


5) Phương trình chuyển động của hệ.
 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr



2

B
)coscossinsincos(
2
1


bbam


22
)sin()cossinsincossin( 


bbba

=
 
 cos2sin
2
1
2
1
2222222
B
22
A





abbbamam


 
 cos
2
1
)sin(
2
1
B
22
B
2222
B
2
A




abmbmbamamT



20

 




cos)sin(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
 











2sin)sin(
2
B
222
B

2
A



bmbamam
T
dt
d

 sincos
2
BB

abmabm
,
0

T
,




cos
B
2
B




abmbm
T
,









sincos
BB
2
B




abmabmbm
T
dt
d
,



sincossin

B
22
B


abmbm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:















Q
TT
dt
d

và














Q
TT
dt
d


 
 sincos2sin)sin(
2
BB
2
B
222
B
2
A



abmabmbmbamam

=
 
)sincossin()sinsincos(
21
 baFbaFM
,
 
 cossincos
22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
 
 sincossincoscos
321
bFbFbF
,



21
Câu 8:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=5dm, b =4dm và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính
A
r

,
B
r


tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =/2 rad,
=3/2 rad,


=1rad/s,


=3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:













cos0sin
010
sin0cos
10

A
,













100
0cossin
0sincos
21
A
















cossinsincossin
0cossin
sinsincoscoscos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR
,
R
20
= R
10

+ A
10
R
21

 r
A
= R
20
=















































cos
0
sin
0

0
cos0sin
010
sin0cos
0
0
0
a
a
a
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:


22
)2(
B2020B
rARr 
=





































0
0
cossinsincossin
0cossin
sinsincoscoscos

cos
0
sin
b
a
a

 r
B
=













sinsincos
cos
sincossin
ba
b
ba
(2)

3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:













sin
0
cos
AA



a
a
rV
(3)















cossinsincossin
sin
coscossinsincos
BB






bba
b
bba
rV
(4)
 Khi =/2, =3/2,


=1,



=3: sin=1, cos=0, sin=-1, cos=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, -5.0]
T
(dm/s)  V
A
= 5.00dm/s
V
B
= [-4, 18, -5]
T
(dm/s)  V
B
=
185
 13.6015dm/s

4) Tính các lực suy rộng.
 q = [, ]
T
 cần tính các lực suy rộng Q

và Q

.
 Tổng công ảo của mômen M và lực F:
W = W(M) + W(F) = M + F
T

r
B
= M +
q
q
r
F 


B
T

=
 























cossinsincossin
sin0
coscossinsincos
321
bba
b
bba
FFFM

=
 
 )sincossin()sinsincos(
31
baFbaFM
+
+
 
 cossinsincoscos
321
bFbFbF

 Các lực suy rộng:
 
)sincossin()sinsincos(

31


baFbaFMQ

 


cossinsincoscos
321
bFbFbFQ


5) Phương trình chuyển động của hệ.
 Tổng động năng của hệ:
 

22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1


aammmT rrrr



22
B
)sin()coscossinsincos(
2
1


bbbam


2
)cossinsincossin( 


bba



23
=
 
 cos2sin
2
1
2

1
2222222
B
22
A




abbbamam


 
 cos
2
1
)sin(
2
1
B
22
B
2222
B
2
A





abmbmbamamT


 



cos)sin(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
 












2sin)sin(
2
B
222
B
2
A



bmbamam
T
dt
d

 sincos
2
BB

abmabm
,
0

T
,





cos
B
2
B



abmbm
T
,









sincos
BB
2
B




abmabmbm
T
dt

d
,



sincossin
B
22
B


abmbm
T
,
 Các phương trình chuyển động của hệ:
















Q
TT
dt
d

và













Q
TT
dt
d


 
 sincos2sin)sin(
2
BB
2

B
222
B
2
A


abmabmbmbamam

=
 
)sincossin()sinsincos(
31
 baFbaFM
,
 
 cossincos
22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
 
 cossinsincoscos
321
bFbFbF

,



24
Câu 9:

Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học a
= 5dm, b = 3dm và các góc quay  = 
10
,  = 
21
.

1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo  và .
3) Tính

A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =3/2 rad,
= rad,


=3rad/s,


=2rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3

được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính
các lực suy rộng Q

, Q

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).

1) Các ma trận quay:














100
0cossin
0sincos
10
A
,












cossin0
sincos0
001
21
A
















cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
211020
AAA


2) Xác định r
A
, r
B
.

T
10
]000[R
,
T
21
]00[ aR

,

















































0
cos
sin
0
0
100
0cossin
0sincos
0
0
0

21101020A
a
a
aRARRr
(1)
 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(
BB
rARrr 

=





































b
a
a
0
0
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
0
cos
sin