Đáp án dao động một bậc tự do

ĐÁP ÁN BÀI TẬP DAO ĐỘNG
Bài 1:

Xét hệ dao động gồm vật nặng m, lò xo k1, k2 và giảm chấn c
Chọn trục toạ độ như hình vẽ, gốc toạ độ là trọng tâm của m
khi hệ đang ở trạng thái cân bằng.
p dụng đònh luật II Newton ta có phương trình vi phân
chuyển động của hệ:
212
mx k x k x k y cx=− − + −
 
(1)
(1) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2
0
2sin
x
xxqt
δ
ωω
++=
 

Với
2
12 2
0
;;
2
kk kac

q
mmm
δω
+
== =

Bài 2:


Xét hệ dao động là khối trụ 1
Chọn trục toạ độ x như hình vẽ, gốc toạ độ trùng với trọng tâm của khối trụ 1 khi
nó ở vò trí cân bằng.
Ta thấy rằng nếu khối trụ dòch chuyển từ vò trí cân bằng một khoảng x thì áp lực
của nước sinh ra tác dụng lên khối trụ là:
2
()Hxzdgr
π
∆= + (1)
Vì thể tích khối trụ chiếm chổ khi dòch chuyển một khoảng bằng với thể tích khối
nước dâng lên nên ta có:
222
12
()VrxV Rrz
ππ
===−
2
22
r
zx
R

r
⇒=
−
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:

222
2
22 22
() ()
rRr
Hx xdgrdg x
Rr Rr
ππ
∆= + =
−−

p dụng đònh luật II Newton cho khối trụ ta có phương trình vi phân chuyển động:

22
22
()
Rr
mx dg x
R
r
π
=−
−


(3)
Hình 1.2. Dao động hệ một bậc tự do.
Hình 1.1 dao động hệ 1 bậc


Phương trình (3) được viết dưới dạng chuẩn như sau:

2
0
0xx
ω
+=


Với
22
2
0
22
()
dg R r
mRr
π
ω
=
−

Vậy chu kì dao động riêng của khối trụ là:
22 22
0

0
22 ( )2 ( )mR r m R r
T
Rr dg Rr dg
ππ π
ωπ
−−
== =

Bài 3:


Xét dao động của đóa 1
Chọn toạ độ suy rộng là
ϕ
, là góc quay của đóa so với
vò trí ban đầu.
p dụng đònh lý biến thiên moment động lượng cho
đãi 1 ta có:
0
()
i
dL
mF
dt
=
∑
G

2
s
IkcR
ϕ
ϕϕ
⇔=−−

(1)

Với:
2
2
mR
I =
là moment quán tính của đóa 1 quanh trục quay.
4
32
s
TTJG DG
k
TL
LL
JG
π
ϕ
== = = độ cứng của thanh.
Phương trình (1) được viết dưới dạng như sau:

4
2

0
32
DG
IcR
L
π
ϕϕ ϕ
++ =
 

Phương trình này được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2
0
20
ϕδϕωϕ
++=
 
(2)
Với:
24
2
0
;
232
cR D G
IIL
π
δω
==
Bài 4:

Chọn toạ độ suy rộng là
ϕ
, là góc quay của
tấm 1 so với vò trí nằm ngang ban đầu như
hình vẽ.
p dụng đònh lý biến thiên moment động
lượng cho đãi 1 ta có:
0
()
i
dL
mF
dt
=
∑
G


IM
ϕ
⇔=

(1)
Với:
2
6
mb
I =

là moment quán tính của tấm 1 quay quanh trục đi qua O.
Hình 1.3. Hệ dao động đóa và trục
Hình 1.4. Dao động 1 bậc tự do của
á
Và
22
M
kl cb
ϕ
ϕ
=− −

là lực cản sinh ra bởi lò xo và giảm chấn.
Vậy (1) được viết như sau:

2
22
0
6
mb
cb kl
ϕϕϕ
++=
 
(2)
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:

2
0
20

ϕδϕωϕ
++=
 

Với:
2
2
0
2
63
;
kl c
mb m
ωδ
==

Bài 5:


Chọn trục toạ độ x như hình vẽ, gốc toạ
độ tại vò trí hệ đang ở trạng thái cân
bằng.
Khi trục của motor quay, do trục lệch
tâm nên sinh ra lực ly tâm có giá trò:

2
Fm
µ
ω
=

Thành phần lực này theo phương thẳng
đứng có giá trò:
2
sinFm t
µ
ωω
=

p dụng đònh luật II Newton cho hệ ta có phương trình vi phân chuyển động của
motor:

2
sin
M
xcxkxm t
µ
ωω
++=
 
(1)
Với:
3
48EI
k
l
=
là độ cứng của dầm.
Phương trình (1) được viết dưới dạng chuẩn như sau:

2

0
2sin
x
xxqt
δ
ωω
++=
 
(2)
Với:
2
2
0
;;
2( )
ckm
q
M
mMM
µ
ω
δω
===
+

Bài 6:



p dụng đònh lý biến thiên moment động lượng cho bánh xe ta có:

0
()
i
dL
mF
dt
=
∑
G

Hình 1.5 Dao động hệ moteur và dầm
Hình 1.6 Dao động hệ một bậc tự do.
2
()
422
Ddd
Ik c y
ϕϕϕ
⇔=− − −
 


22
44 2
cd kD dca
Icost
ω
ϕ
ϕϕ ω
⇔+ + =

 
(1)
Phương trình (1) được viết dưới dạng chuẩn như sau:

2
0
2 qcos t
ϕ
δϕ ω ϕ ω
++=
 

Với:
22
2
0
;;
842
cd kD dca
q
III
ω
δω
===

Trong đó:
22
1
(2)
24 4

Dd
IM m=−

Với:
2
1
2
2
4
42
D
M
VL
dLl
mV
π
ρρ
π
ρρ
==
−
==


44 4
()
32
DdLdl
I
ρπ

−−
⇒=

Bài 7:


Chọn toạ độ suy rộng là
ϕ
, là góc quay của
trụ 1 so với vò trí cân bằng.
p dụng đònh lý biến thiên moment động
lượng cho khối trụ 1 ta có:
0
sinJmgl
ϕ
ϕ
=−

(1)
Với:
2
222
0
1(2)
22
c
mR L
J J mL mR mL
+
=+ = + =

Vì dao động của hệ bé nên ta lấy gần đúng:

sin
ϕ
ϕ
≈
Vậy ta có phương trình vi phân chuyển động của khối trụ là:
0
0Jmgl
ϕ
ϕ
+=

(2)
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:

2
0
0
ϕωϕ
+=


Với:
2
0
0
mgl
J

ω
=
Bài 8:


Chọn toạ độ suy rộng là
ϕ
, là góc quay của tấmï 1 so với vò trí cân bằng.
p dụng đònh lý biến thiên moment động lượng cho tấmï 1 ta có:
0
()
i
dL
mF
dt
=
∑
G


22
Iklcb
ϕ
ϕϕ
⇔=− −
 
(1)

Hình 1.7 Dao động con lắc

Với:
2
3
mb
I =
là moment quán tính của tấm 1 quay quanh trục đi qua O.
Vậy (1) được viết như sau:

22
0Icb kl
ϕϕϕ
++=
 
(2)
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:

2
0
20
ϕδϕωϕ
++=
 

Với:
22
2
0
;
2

kl cb
II
ωδ
==

Bài 9:




* Khảo sát chuyển động rơi tự do của toa hàng 1 khi dây nâng bò đứt
Phương trình chuyển động của toa hàng:

2
1
2
x
ABt gt=+ + (Toa hàng chuyển động nhanh dần đều)
Với điều kiện ban đầu:
00
0; 0xx==


0; 0AB⇒= =
Hình 1.8 Dao động đóa đồng chất.
Hình 1.9 Dao động hệ thang máy và toa hàng.
Vậy
2
1
2

x
gt=
(1)
Vậy thời gian để toa hàng chạm vào giảm chấn là:
0
2H
t
g
=
Từ (1)
vxgt⇒==


Vận tốc của toa hàng khi chạm vào giảm chấn là:
0
2vgH=
* Khảo sát chuyển động của toa hàng khi chạm vào giảm chấn:
Chọn trục khảo sát y như hình vẽ, gốc toạ độ tại vò trí mà toa hàng bắt đầu chạm
vào giảm chấn.
Phương trình vi phân chuyển động của toa hàng là:

my cy ky mg++=
 
(2)
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:

2
0
2yyyg
δω

++=
 
(3)
Với
2
0
;
2
kc
mm
ωδ
==

Ta đã biết rằng nghiệm từng phần của phương trình không thuần nhất (3) có dạng:

2
0
p
g
y
ω
=
Hoạt động tốt nhất của giảm chấn được mong đợi nếu như hệ số giảm chấn đạt
trường hợp tới hạn. Như vậy phương trình thuần nhất có nghiệm là:

00
12
tt
g
yCe Cte

ω
ω
−−
=+
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

00
12
2
0
tt
g
yCe Cte
ωω
ω
−−
=+ +

Với điều kiện ban đầu:
000
0;yyv==


120
2
00
;
g
g
CCv

ω
ω
⇒=− =−
Vậy ta có:

00
(1 )
tt
yD e Ete
ω
ω
−−
=− +
Với:
0
2
00
;
g
g
DEv
ω
ω
==−

00
22
00 0
(2)
tt

yD Ee Ete
ω
ω
ωω ω
−−
⇒=− − +

(4)
Từ (4) ta thấy rằng giá trò lớn nhất của gia tốc (
y

) tại t=0
2
max 0 0
2
tn
ay D E
ω
ω
=
⇒==−−


Nếu
0
0
g
v
ω
>

Ta có:
2
max 0 0 0 0
22aD E vg
ωωω
=+ = −
Theo đề ta có:
2
max 0
200( / )aa ms<=
00 0
2vga
ω
⇒−<
1
0
0
4.28
22
ag
s
Hg
ω
−
+
<=

2
0
9160 /km Nm

ω
⇒= =
0
2 4280 /cmNsm
ζ
ω
== =
Kiểm tra điều kiện trên ta có:
0
0
2 24.5 2.4 /
g
vHg ms
ω
==>=
Vò trí, vận tốc, gia tốc của toa hàng trong quá trình va chạm được thể hiện ở đồ thò
sau:

Bài 10:


Chọn toạ độ suy rộng x là độ dòch chuyển của vật m so với vò trí cân bằng.
Vì lò xo lá có mặt cắt ngang bxh nên độ cứng của lò xo lá là:

3
3EI
k
l
=
với

3
12
bh
I =

Nếu xem vật nặng m dao động bé ta có phương trình vi phân chuyển động của m
là:
Hình 1.10 Dao động hệ 1 bậc tự do.
Vò trí
Vận tốc
Gia tốc

2
0
sin
P
x
xt
m
ω
+Ω =

(1)
Với:
k
m
Ω=

Nghiệm từng phần của phương trình không thuần nhất (1) là:
0

22
sin
()
h
P
x
t
m
ω
ω
=
Ω−

Nghiệm riêng của phương trình thuần nhất có dạng:

sin( )
p
xC t
γ
=Ω+
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là

0
22
sin( ) sin
()
P
x
Ct t
m

γ
ω
ω
=Ω++
Ω−

0
22
()
()
P
x
C cos t cos t
m
γ
ωω
ω
⇒=Ω Ω+ +
Ω−


Với điều kiện ban đầu:
00
0; 0 ; 0tx x===



0
22
0

22
()
sin sin
()
P
C
m
P
x
tt
m
ω
ω
ω
ω
ω
⇒=−
Ω− Ω
⎡⎤
⇒= − Ω
⎢⎥
Ω− Ω
⎣⎦

Vậy

0
1
lim sin
2

P
x
ttcost
m
ω
→Ω
⎡⎤
=Ω−Ω
⎢⎥
ΩΩ
⎣⎦
(2)
Từ (2) ta thấy rằng khi tần số của lực cưỡng bức bằng tần số dao động riêng của hệ
thì hiện tượng cộng hưởng xảy ra, lúc này hệ dao động với biên độ rất lớn. Dao
động của vật m được thể hiện ở đồ thò sau: