Giáo trình tổng hợp những cách giải các bài toán phức tạp bằng phương pháp lập trường số phức phần 2 ppt

Chơng 1. Số Phức
Trang 10 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
1. Số phức z = 1 + i =
2
(cos
4

+ isin
4

) có các căn bậc 3 sau đây
w
0
=
6
2 (cos
12

+ isin
12

), w
1
=
6
2 (cos
12
9
+ isin
12
9

), w
2
=
6
2 (cos
12
17
+ isin
12
17
)
2. Giải phơng trình x
2
- x +1 = 0
Ta có = -3 < 0 phơng trình có nghiệm phức x
1,2
=
2
3i1


Hệ quả
Kí hiệu
k
=
n
2
ik
e

, k = 0 (n - 1) là các căn bậc n của đơn vị.
1.
k

=
n-k
2.
k
= (
1
)
k
3.


=

1n
0k
k
= 0

Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j =
3
2
i
e

=
1

. Suy ra
2
= j
2
= j và 1 + j + j
2
= 0




Đ4. Các ứng dụng hình học phẳng

Kí hiệu V là mặt phẳng vectơ với cơ sở trực chuẩn dơng (
i
,
j
). Anh xạ
: V, z = x + iy
v
= x
i
+ y
j
(1.4.1)
là một song ánh gọi là
biểu diễn vectơ
của số phức. Vectơ
v
gọi là

ảnh
của số phức z,
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của vectơ
v
và kí hiệu là
v
(z).
Kí hiệu P là mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ
: P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2)
là một song ánh gọi là
biểu diễn hình học
của số phức. Điểm M gọi là
ảnh
của số phức z
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của điểm M và kí hiệu là M(z).
Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M
1
(-
z
), M
2
(-z) và M
3
(
z
).

Nếu z = x 3 thì điểm M(z) (Ox), còn nếu z = iy thì điểm
M(z) (Oy). Do vậy mặt phẳng (Oxy) còn gọi là mặt phẳng
phức, trục (Ox) là trục thực và trục (Oy) là trục ảo. Sau này
chúng ta sẽ đồng nhất mỗi số phức với một vectơ hay một điểm
trong mặt phẳng và ngợc lại.

Định lý
Cho các vectơ
u
(a),
v
(b) V, số thực 3 và điểm M(z) P
1. |
u
| = | a | (
i
,
u
) = arg(a) (a + b) =
u
+
v
2. |
OM
| = | z | (
i
,
OM
) = arg(z)
Chứng minh

0

M

M
1

M
2

M
3

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11
Suy ra từ các công thức (1.4.1) và (1.4.2)

Hệ quả 1 Trong mặt phẳng cho các điểm A(a), B(b), C(c) và D(d)
1.
AB
(b - a), AB = | b - a |, (i,
AB
) = arg(b - a)
2. (
AB
,
CD
) = (i,
CD
) - (i,
AB
) = arg
a
b
cd



Chứng minh
Suy ra từ định lý



Ví dụ Cho z - {-1, 0, 1} và A(1), B(-1), M(z), N(
z
1

) và P(
2
1
(z +
z
1
)). Chứng minh
rằng đờng thẳng (MN) là phân giác của góc (
PA
,
PB
).
Ta có (
i
,
AP
) = arg(
2
1
(z +
z
1
) - 1) = arg
z2
)1z(
2


(
i

,
BP
) = arg(
2
1
(z +
z
1
) + 1) = arg
z2
)1z(
2
+

Suy ra
(
i
,
AP
) + (
i
,
BP
) = arg
z2
)1z(
2

z2
)1z(

2
+
= 2arg(z -
z
1
) = 2(
i
,
MN
)

Hệ quả 2
Với các kí hiệu nh trên
1. Hai đờng thẳng (AB) // (CD) arg
a
b
cd


= 0 []
a
b
cd


3
2. Hai đờng thẳng (AB) (CD) arg
a
b
cd

=
2

[]
a
b
cd


i3
3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng arg
a
b
ac


= 0 []
a
b
ac


3
Chứng minh
Suy ra từ các hệ thức hệ quả 1

Ví dụ Trong mặt phẳng tìm điểm A(z) sao cho ba điểm A(z), B(iz) và C(i) thẳng hàng
Kí hiệu z = x + iy, ta có
A, B, C thẳng hàng
i
z
iiz


= k 3 -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1)




=
=
)1y(k1x
kxy
x =
1
k
k1
2
+

, y =
1
k
)1k(k
2
+

với k 3


ánh xạ : P P, M N gọi là một phép biến hình
A

O

M

N

B

P

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X

C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

m
Chơng 1. Số Phức
Trang 12 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Phép biến hình M N = M + v gọi là phép tĩnh tiến theo vectơ v
Phép biến hình M N = A + k
AM
(k > 0) gọi là phép vi tự tâm A, hệ số k
Phép biến hình M N sao cho (
AM
,
AN
) = gọi là phép quay tâm A, góc
Tích của phép tĩnh tiến, phép vi tự và phép quay gọi là phép đồng dạng.

Định lý Cho phép biến hình : M N
1. Phép biến hình là phép tĩnh tiến z = z + b với b
2. Phép biến hình là phép vi tự z = a + k(z - a) với k 3
+
, a
3. Phép biến hình là phép quay z = a + e
i

(z - a) với 3, a
4. Phép biến hình là phép đồng dạng z = az + b với a, b
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa các phép biến hình và toạ vi phức.

Ví dụ Cho A(a), B(b) và C(c). Tìm điều kiện cần và đủ để ABC là tam giác đều
ABC là tam giác đều thuận (a - b) =
3

i
e

(c - b)
(a - b) = - j
2
(c - b) a + jb + j
2
c = 0
Tơng tự, ACB là tam giác đều nghịch
(a - b) = - j(c - b) a + jc + j
2
b = 0
Suy ra ABC là tam giác đều
(a + jb + j
2
c)(a + jc + j
2
b) = 0 a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca




Đ5. Dy trị phức

ánh xạ
: , n z
n
= x
n
+ iy
n
(1.5.1)
gọi là dy số phức và kí hiệu là (z
n
)
n

.
Dy số thực (x
n
)
n

gọi là phần thực, dy số thực (y
n
)
n

là phần ảo, dy số thực dơng
(| z
n
|)
n

là module, dy số phức (
n
z
)
n

là liên hợp phức của dy số phức.
Dy số phức (z
n
)
n

gọi là dần đến giới hạn a và kí hiệu là
+n
lim z
n
= a nếu




> 0,

N



:

n > N


|
z
n
- a
|
<


Dy số phức (z
n
)
n

gọi là
dần ra vô hạn
và kí hiệu là
+n
lim z
n
=

nếu


M > 0,

N

:

n > N


|
z
n

|
> M
Dy có giới hạn module hữu hạn gọi là
dy hội tụ
. Dy không hội tụ gọi là
dy phân kỳ
.

A
B

C

+
3


Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 13
Định lý Cho dy số phức (z
n
= x
n
+ iy
n
)
n

và a = + i
+n
lim z
n
= a

+n
lim x
n
=

và
+n
lim y
n
=

(1.5.2)
Chứng minh

Giả sử
+n
lim z
n
= a





> 0,

N

:

n > N


|
z
n
- a
|
<






n > N


|
x
n
-


|
<

và
|
y
n
-


|
<


Suy ra
+n
lim x
n
=

và
+n
lim y
n
=


Ngợc lại
+n
lim x
n
=

và
+n
lim y
n
=







> 0,

N



:

n > N


|
x
n
-


|

<

/2 và
|
y
n
-


|
<

/2



n > N


|
z
n
- a
|
<


Suy ra
+n
lim z

n
= a



Hệ quả
1.
+n
lim z
n
= a


+n
lim
n
z =
a



+
n
lim
|
z
n

|
=

|
a
|

2.
+
n
lim (

z
n
+ z
n
) =

+
n
lim z
n
+
+
n
lim z
n


+
n
lim (z
n

z
n
) =
+
n
lim z
n

+
n
lim z
n
và
+
n
lim (z
n
/ z
n
) =
+
n
lim z
n
/
+
n
lim z
n

3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn dy số thực


Cho dy số phức (z
n
= x
n
+ iy
n
)
n

. Tổng vô hạn


+
=0n
n
z
= z
0
+ z
1
+ + z
n
+ (1.5.3)
gọi là
chuỗi số phức
.
Chuỗi số thực

+
=0n
n
x
gọi là
phần thực
, chuỗi số thực

+
=0n
n
y
là
phần ảo
, chuỗi số thực
dơng

+
=0n
n
|z|
là
module
, chuỗi số phức

+
=0n
n
z

là
liên hợp phức
của chuỗi số phức.
Kí hiệu S
n
=

=
n
0k
k
z
gọi là
tổng riêng thứ n
của chuỗi số phức. Nếu dy tổng riêng S
n
dần
đến giới hạn S có module hữu hạn thì chuỗi số phức gọi là
hội tụ đến tổng S
và kí hiệu là

+
=0n
n
z
= S. Chuỗi không hội tụ gọi là
chuỗi phân kỳ
.

Ví dụ Xét chuỗi số phức

+
=0n
n
z
= 1 + z + + z
n
+ (
|
z
|
< 1)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 1. Số Phức
Trang 14 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Ta có S
n

= 1 + z + + z
n
=
1
z
1z
1n


+




+

z
1
1


Vậy chuỗi đ cho hội tụ.

Từ định nghĩa chuỗi số phức và các tính chất của dy số phức, của chuỗi số thực suy ra
các kết quả sau đây.

Định lý
Cho chuỗi số phức
( )

+
=
+=
0n
nnn
iyxz
và S = + i

+
=0n
n
z
= S

+
=0n
n
x
= và

+
=0n
n
y
= (1.5.4)
Chứng minh

Suy ra từ các định nghĩa và công thức (1.5.2)

Hệ quả

1.

+
=0n
n
|z|
= | S |



+
=0n
n
z
= S

+
=0n
n
z
=
S

2. Các tính chất khác tơng tự chuỗi số thực

Chuỗi số phức

+
=0n
n
z
gọi là
hội tụ tuyệt đối
nếu chuỗi module

+
=0n
n
|z|
hội tụ. Rõ ràng
chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ. Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung là không
đúng. Ngoài ra, có thể chứng minh rằng chỉ khi chuỗi số phức hội tụ tuyệt đối thì tổng
vô hạn (1.5.3) mới có các tính chất giao hoán, kết hợp, tơng tự nh tổng hữu hạn.




Đ6. Hàm trị phức

Cho khoảng I 3, ánh xạ
f : I , t f(t) = u(t) + iv(t) (1.6.1)
gọi là
hàm trị phức
.
Hàm u(t) = Ref(t) gọi là
phần thực
, hàm v(t) = Imf(t) là

phần ảo
, hàm | f(t) | là
module
,
hàm
)t(f là liên hợp phức của hàm trị phức.
Trên tập f(I,

) các hàm trị phức xác định trên khoảng I, chúng ta định nghĩa các phép
toán đại số tơng tự nh trên tập f(I,
3
) các hàm trị thực xác định trên khoảngI.
Hàm trị phức f(t) gọi là bị chặn nếu hàm module
|
f(t)
|
bị chặn.
Cho hàm f : I



và




I
. Hàm f gọi là dần đến giới hạn
L khi t dần đến và kí
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m