Tài liệu những bài toán hay môn cơ học hệ nhiều vật

Câu 1:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,3m và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ = π/2 rad, Ψ = π rad,

ϕ

= 1rad/s,
Ψ

= 2rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m

B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Xác định các ma trận quay:










ϕϕ
ϕ−ϕ=
cossin0
sincos0
001
10
A
,











ΨΨ−
ΨΨ
=
cos0sin
010
sin0cos
21
A










ΨϕϕΨϕ−
Ψϕ−ϕΨϕ
ΨΨ
==
coscossinsincos

cossincossinsin
sin0cos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
•










ϕ
ϕ=





















ϕϕ
ϕ−ϕ+











=+==
sin
cos
0
0
0
cossin0
sincos0
001
0
0
0
21101020A
a
aaRARRr
(1)
•
)2(
B2020
)0(
BB
rARrr +=≡
=





















ΨϕϕΨϕ−
Ψϕ−ϕΨϕ
ΨΨ
+










ϕ

ϕ
ba
a 0
0
coscossinsincos
cossincossinsin
sin0cos
sin
cos
0
⇔ r
B
=










Ψϕ+ϕ
Ψϕ−ϕ
Ψ
coscossin
cossincos
sin
ba

ba
b
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ xác định bởi:










ϕϕ
ϕϕ−==
cos
sin
0
AA


a
arV
(3)











ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ
ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ−
ΨΨ
==
sincoscossincos
sinsincoscossin
cos
BB






bba
bba
b
rV
(4)
• Khi ϕ = π/2, Ψ = π,
ϕ

= 1,
Ψ


= 2: sinϕ = 1, cosϕ = 0, sinΨ = 0, cosΨ = -1.
Thay vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, -0.5, 0]
T
(m/s) ⇒ V
A
= 0.50m/s,
V
B
= [-0.6, -0.5, 0.3]
T
(m/s) ⇒ V
B
=
70.0
≈ 0.8367m/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr

B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
= Mδϕ +
[ ]






Ψδ
δϕ











Ψϕ−Ψϕ−ϕ
ΨϕΨϕ−ϕ−
Ψ
sincoscossincos
sinsincoscossin
cos0
321
bba
bba
b
FFF
=
[ ]
δϕΨϕ−ϕ+Ψϕ+ϕ− )cossincos()coscossin(
32
baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨϕ−Ψϕ+Ψ sincossinsincos
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)cossincos()coscossin(
32
Ψϕ−ϕ+Ψϕ+ϕ−=
ϕ
baFbaFMQ
[ ]

Ψϕ−Ψϕ+Ψ=
Ψ
sincossinsincos
321
bFbFbFQ
5) Viết phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ+ϕϕ=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)cos()sin(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+ΨΨ+
22
B
)sinsincoscossin()cos(
2

1



bbabm
]
2
)sincoscossincos( ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ+


bba
T =
[ ]
ΨΨϕ−Ψ+ϕΨ++ sin
2
1
)cos(
2
1
B
22
B
2222
B
2
A





abmbmbamam
•
[ ]
ΨΨ−ϕΨ++=
ϕ∂
∂
sin)cos(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
2
[ ]
−ΨΨϕ−ϕΨ++=








ϕ∂

∂
2sin)cos(
2
B
222
B
2
A



bmbamam
T
dt
d
ΨΨ−ΨΨ− cossin
2
BB

abmabm
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψϕ−Ψ=
Ψ∂
∂
sin

B
2
B



abmbm
T
,
ΨΨϕ−Ψϕ−Ψ=






Ψ∂
∂
cossin
BB
2
B




abmabmbm
T
dt
d

,
ΨΨϕ−ΨΨϕ−=
Ψ∂
∂
coscossin
B
22
B


abmbm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−








ϕ∂
∂
Q

TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d

⊕
[ ]
[ ]
ΨΨ+ΨΨ+ΨΨϕ−ϕΨ++ cossin2sin)cos(
22
B
222

B
2
A


ababbmbamam
=
=
[ ]
)cossincos()coscossin(
32
Ψϕ−ϕ+Ψϕ+ϕ− baFbaFM
⊕
ΨΨϕ+Ψϕ−Ψ cossinsin
22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
[ ]
Ψϕ−Ψϕ+Ψ sincossinsincos
321
bFbFbF
3
Câu 2:
Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,4m và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ = π rad,
Ψ = π/2 rad,

ϕ

= 2rad/s,
Ψ

= 1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m

B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:










ϕϕ
ϕ−ϕ=
cossin0
sincos0
001
10
A
,











ΨΨ
Ψ−Ψ
=
100
0cossin
0sincos
21
A










ϕΨϕΨϕ
ϕ−ΨϕΨϕ
Ψ−Ψ
==
coscossinsinsin

sincoscossincos
0sincos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,
R
20
= R
10
+ A
10
R
21
⇔ R
20
=











ϕ
ϕ−=





















ϕϕ
ϕ−ϕ+










cos
sin
0
0
0
cossin0
sincos0
001
0
0
0
a
a
a
• r
A
= R

20
= [0, - asinϕ, acosϕ]
T
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
4
)2(
B2020
)0(
BB
rARrr +=≡
=





















ϕΨϕΨϕ
ϕ−ΨϕΨϕ
Ψ−Ψ
+










ϕ
ϕ−
0
0
coscossinsinsin
sincoscossincos
0sincos
cos
sin
0
b
a
a
⇔ r

B
=










Ψϕ+ϕ
Ψϕ+ϕ−
Ψ−
cossincos
coscossin
sin
ba
ba
b
(2)
3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:











ϕϕ−
ϕϕ−==
sin
cos
0
AA


a
arV
(3)










ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ−
ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ−
ΨΨ−
==
sinsincoscossin
sincoscossincos

cos
BB






bba
bba
b
rV
(4)
• Khi ϕ = π, Ψ = π/2,
ϕ

= 2,
Ψ

= 1: sinϕ = 0, cosϕ = -1, sinΨ = 1, cosΨ = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 1.0, 0]
T
(m/s) ⇒ V
A
= 1.00 m/s
V
B

= [0, 1.4, 0]
T
(m/s) ⇒ V
B
= 1.40 m/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr
B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
=
[ ]







Ψδ
δϕ










Ψϕ−Ψϕ+ϕ−
Ψϕ−Ψϕ−ϕ−
Ψ−
+δϕ
sinsincoscossin
sincoscossincos
cos0
321
bba
bba
b
FFFM
=

[ ]
δϕΨϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ− )coscossin()cossincos(
32
baFbaFM
-
-
[ ]
ΨδΨϕ+Ψϕ+Ψ sinsinsincoscos
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)coscossin()cossincos(
32
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ−=
ϕ
baFbaFMQ
[ ]
Ψϕ+Ψϕ+Ψ−=
Ψ
sinsinsincoscos
321
bFbFbFQ
5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ−=+=
22
AB
T

BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ+ΨΨ−+
22
B
)sincoscossincos()cos(
2
1



bbabm
]
2
)sinsincoscossin( ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ+


bba
5

=
( )
ΨΨϕ+Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2cos
2
1
2
1
2222222
B
22
A




abbbamam
⇔
[ ]
ΨΨϕ+Ψ+ϕΨ++= sin
2
1
)cos(
2
1
B
22
B
2222
B
2

A




abmbmbamamT
•
[ ]
ΨΨ+ϕΨ++=
ϕ∂
∂
sin)cos(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
[ ]
+ΨΨϕ−ϕΨ++=









ϕ∂
∂
2sin)cos(
2
B
222
B
2
A



bmbamam
T
dt
d
ΨΨ+ΨΨ+ cossin
2
BB

abmabm
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•

Ψϕ+Ψ=
Ψ∂
∂
sin
B
2
B



abmbm
T
,
ΨΨϕ+Ψϕ+Ψ=






Ψ∂
∂
cossin
BB
2
B





abmabmbm
T
dt
d
,
ΨΨϕ+ΨΨϕ−=
Ψ∂
∂
coscossin
B
22
B


abmbm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−









ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d

[ ]
ΨΨ+ΨΨ+ΨΨϕ−ϕΨ++ cossin2sin)cos(
2

BB
2
B
222
B
2
A


abmabmbmbamam
=
[ ]
)coscossin()cossincos(
32
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ− baFbaFM
,
( )
ΨΨϕ+Ψϕ+Ψ cossinsin
22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
[ ]
Ψϕ+Ψϕ+Ψ− sinsinsincoscos
321

bFbFbF
,
6
Câu 3:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,25m và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,

B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ = π/2 rad,
Ψ = π/2 rad,
ϕ

=
Ψ

= 1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q

Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:










ϕϕ
ϕ−ϕ
=
100
0cossin
0sincos

10
A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A











ΨΨ
Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
==
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,











ϕ
ϕ−
=




















ϕϕ
ϕ−ϕ
+











=+==
0
cos
sin
0
0
100
0cossin
0sincos
0
0
0
21101020A
a
a
aRARRr
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(

BB
rARrr +=≡
=




















ΨΨ
Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
+











ϕ
ϕ−
b
a
a
0
0
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
0
cos
sin
7
⇔ r
B
=











Ψ
Ψϕ−ϕ
Ψϕ+ϕ−
cos
sincoscos
sinsinsin
b
ba
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ−
==
0
sin

cos
AA



a
a
rV
(3)










ΨΨ−
ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ−
ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ−
==
sin
coscossinsinsin
cossinsincoscos
BB







b
bba
bba
rV
(4)
• Khi ϕ = Ψ = π/2,
ϕ

=
Ψ

= 1: sinϕ = 1, cosϕ = 0, sinΨ = 1, cosΨ = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, -0.5, 0]
T
(m/s), V
A
= 0.50m/s,
V
B
= [0, -0.25, -0.25]
T
(m/s), V
B
=

42
≈ 0.3536m/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr
B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
=
[ ]







Ψδ
δϕ










Ψ−
Ψϕ−Ψϕ+ϕ−
ΨϕΨϕ+ϕ−
+δϕ
sin0
coscossinsinsin
cossinsincoscos
321
b
bba
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ−ϕ−Ψϕ−ϕ− )sinsinsin()sincoscos(
21

baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨ−Ψϕ−Ψϕ sincoscoscossin
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
21
Ψϕ−ϕ−Ψϕ−ϕ−=
ϕ
baFbaFMQ
Ψ−Ψϕ−Ψϕ=
Ψ
sincoscoscossin
321
bFbFbFQ
5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ−=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(

2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)sin()coscossinsinsin( ΨΨ−+ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ+


bbba
=
( )
Ψϕ−Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2sin
2
1
2

1
22222222
B
22
A



abbbamam
⇔
[ ]
22
B
22
B
2
A
2
1
)sin(
2
1
Ψ+ϕΨ−+=


bmbamamT
8
•
[ ]
ϕΨ−+=

ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(
B
2
B

2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψ=
Ψ∂
∂


2
B
bm
T
,
Ψ=






Ψ∂

∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ−=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−









ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d

[ ]

ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
21
Ψϕ−ϕ−Ψϕ−ϕ− baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ+Ψ


babmbm
=
=
Ψ−Ψϕ−Ψϕ sincoscoscossin
321
bFbFbF

,
9
Câu 4:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=1,0m, b =0,6m và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B

r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=3π/2 rad,
ϕ

=
Ψ

= 3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:










ϕϕ
ϕ−ϕ
=
100
0cossin
0sincos
10

A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A










ΨΨ

Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
==
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,











ϕ
ϕ−
=




















ϕϕ
ϕ−ϕ
+











=+==
0
cos
sin
0
0
100
0cossin
0sincos
0
0
0
21101020A
a
a
aRARRr
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(
BB

rARrr +=≡
=










−










ΨΨ
Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
+











ϕ
ϕ−
b
a
a
0
0
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
0
cos
sin
10
⇔ r
B
=











Ψ−
Ψϕ+ϕ
Ψϕ−ϕ−
cos
sincoscos
sinsinsin
b
ba
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ−
==
0
sin

cos
AA



a
a
rV
(3)










ΨΨ
ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ−
ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ−
==
sin
coscossinsinsin
cossinsincoscos
BB







b
bba
bba
rV
(4)
• Khi ϕ = Ψ = 3π/2,
ϕ

=
Ψ

=3: sinϕ =-1, cosϕ = 0, sinΨ =-1, cosΨ = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 3.0, 0]
T
(m/s), V
A
= 3.00m/s,
V
B
= [0, 1.2, -1.8]
T
(m/s), V
B
=

5133
≈ 2.1633m/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr
B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
=
[ ]







Ψδ
δϕ










Ψ
ΨϕΨϕ−ϕ−
Ψϕ−Ψϕ−ϕ−
+δϕ
sin0
coscossinsinsin
cossinsincoscos
321
b
bba
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ− )sinsinsin()sincoscos(
21

baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨ+Ψϕ+Ψϕ− sincoscoscossin
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
21
Ψϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ−=
ϕ
baFbaFMQ
Ψ+Ψϕ+Ψϕ−=
Ψ
sincoscoscossin
321
bFbFbFQ
5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ−=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(

2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)sin()coscossinsinsin( ΨΨ+ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+


bbba
=
( )
Ψϕ+Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2sin
2
1
2

1
22222222
B
22
A



abbbamam
⇔
[ ]
22
B
22
B
2
A
2
1
)sin(
2
1
Ψ+ϕΨ++=


bmbamamT
11
•
[ ]
ϕΨ++=

ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(
B
2
B

2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψ=
Ψ∂
∂


2
B
bm
T
,
Ψ=






Ψ∂

∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−









ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d

[ ]

ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
21
Ψϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ− baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ−Ψ


babmbm
=
=
Ψ+Ψϕ+Ψϕ− sincoscoscossin
321
bFbFbF

,
12
Câu 5:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học a
= 5dm, b = 4dm và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B

r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=π/2 rad,
ϕ

=3rad/s,
Ψ

=1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ

gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:










ϕϕ−
ϕϕ
=
cos0sin
010
sin0cos
10

A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A










ΨϕΨϕϕ−

Ψ−Ψ
ΨϕΨϕϕ
==
coscossincossin
sincos0
cossinsinsincos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,











ϕ
ϕ
=




















ϕϕ−
ϕϕ
+











=+==
cos
0
sin
0
0
cos0sin
010
sin0cos
0
0
0
21101020A
a
a
a
RARRr
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(

BB
rARrr +=≡
13
=




















ΨϕΨϕϕ−
Ψ−Ψ
ΨϕΨϕϕ
+











ϕ
ϕ
0
0
coscossincossin
sincos0
cossinsinsincos
cos
0
sin
b
a
a
⇔ r
B
=











Ψϕ+ϕ
Ψ
Ψϕ+ϕ
sincoscos
cos
sinsinsin
ba
b
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ
==
sin
0

cos
AA



a
a
rV
(3)










ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ−
ΨΨ−
ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ
==
coscossinsinsin
sin
cossinsincoscos
BB







bba
b
bba
rV
(4)
• Khi ϕ=3π/2, Ψ=π/2,
ϕ

=3,
Ψ

=1: sinϕ=-1, cosϕ=0, sinΨ=1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, 15]
T
(dm/s) ⇒ V
A
= 15.0dm/s,
V
B
= [0, -4.0, 27.0]
T
(dm/s) ⇒ V
B
=

745
≈ 27.2947dm/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr
B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
=
[ ]







Ψδ
δϕ










ΨϕΨϕ−ϕ−
Ψ−
ΨϕΨϕ+ϕ
+δϕ
coscossinsinsin
sin0
cossinsincoscos
321
bba
b
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ+ )sinsinsin()sincoscos(
31

baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨϕ+Ψ−Ψϕ coscossincossin
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
31
Ψϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ+=
ϕ
baFbaFMQ
Ψϕ+Ψ−Ψϕ=
Ψ
coscossincossin
321
bFbFbFQ
5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(

2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)coscossinsinsin()sin( ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+ΨΨ−+



bbab
14
=
( )
Ψϕ+Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2sin
2

1
2
1
22222222
B
22
A



abbbamam
⇔
[ ]
22
B
22
B
2
A
2
1
)sin(
2
1
Ψ+ϕΨ++=


bmbamamT
•
[ ]

ϕΨ++=
ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(
B
2

B
2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψ=
Ψ∂
∂


2
B
bm
T
,
Ψ=







Ψ∂
∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−









ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d


[ ]
ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
31
Ψϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ+ baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ−Ψ


babmbm
=
=
Ψϕ+Ψ−Ψϕ coscossincossin
321

bFbFbF
,
15
Câu 6:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học a
= 4dm, b = 5dm và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,

B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=π/2 rad,
Ψ=3π/2 rad,
ϕ

=1rad/s,
Ψ

=3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q

Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:










ϕϕ−
ϕϕ
=
cos0sin
010
sin0cos

10
A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A











ΨϕΨϕϕ−
Ψ−Ψ
ΨϕΨϕϕ
==
coscossincossin
sincos0
cossinsinsincos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a−=R
,











ϕ−
ϕ−
=










−










ϕϕ−
ϕϕ
+











=+==
cos
0
sin
0
0
cos0sin
010
sin0cos
0
0
0
21101020A
a
a
a
RARRr
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(

B2020
)0(
BB
rARrr +=≡
16
=




















ΨϕΨϕϕ−
Ψ−Ψ
ΨϕΨϕϕ
+











ϕ−
ϕ−
0
0
coscossincossin
sincos0
cossinsinsincos
cos
0
sin
b
a
a
⇔ r
B
=











Ψϕ+ϕ−
Ψ
Ψϕ+ϕ−
sincoscos
cos
sinsinsin
ba
b
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ
ϕϕ−
==

sin
0
cos
AA



a
a
rV
(3)










ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ
ΨΨ−
ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ−
==
coscossinsinsin
sin
cossinsincoscos
BB







bba
b
bba
rV
(4)
• Khi ϕ=π/2, Ψ=3π/2,
ϕ

=1,
Ψ

=3: sinϕ=1, cosϕ=0, sinΨ=-1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, 4]
T
(dm/s) ⇒ V
A
= 4.0dm/s,
V
B
= [0, 15.0, 19.0]
T
(dm/s) ⇒ V

B
=
2074.24586 ≈
dm/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr
B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
=
[ ]







Ψδ
δϕ










ΨϕΨϕ−ϕ
Ψ−
ΨϕΨϕ+ϕ−
+δϕ
coscossinsinsin
sin0
cossinsincoscos
321
bba
b
bba
FFFM
=
[ ]

δϕΨϕ−ϕ+Ψϕ−ϕ− )sinsinsin()sincoscos(
31
baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨϕ+Ψ−Ψϕ coscossincossin
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
31
Ψϕ−ϕ+Ψϕ−ϕ−=
ϕ
baFbaFMQ
Ψϕ+Ψ−Ψϕ=
Ψ
coscossincossin
321
bFbFbFQ
5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ+ϕϕ−=+=
22
AB
T
BBA
T

AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ−+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)coscossinsinsin()sin( ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ+ΨΨ−+



bbab
17
=
( )

Ψϕ−Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2sin
2
1
2
1
22222222
B
22
A



abbbamam
⇔
[ ]
22
B
22
B
2
A
2
1
)sin(
2
1
Ψ+ϕΨ−+=


bmbamamT

•
[ ]
ϕΨ−+=
ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(

B
2
B
2
A
babmbamam
T
dt
d
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψ=
Ψ∂
∂


2
B
bm
T
,
Ψ=







Ψ∂
∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ−=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−









ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT
dt

d

[ ]
ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
31
Ψϕ−ϕ+Ψϕ−ϕ− baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ+Ψ


babmbm
=
=

Ψϕ+Ψ−Ψϕ coscossincossin
321
bFbFbF
,
18
Câu 7:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=6dm, b =4dm và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r


,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=π/2 rad,
ϕ

=3rad/s,
Ψ

=1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q

ϕ
, Q
Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:










ϕϕ
ϕ−ϕ
=
100

0cossin
0sincos
10
A
,










ΨΨ−
ΨΨ
=
cos0sin
010
sin0cos
21
A











ΨΨ−
ΨϕϕΨϕ
Ψϕϕ−Ψϕ
==
cos0sin
sinsincoscossin
sincossincoscos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,
R
20
= R
10

+ A
10
R
21
⇔ r
A
= R
20
=










ϕ
ϕ−
=





















ϕϕ
ϕ−ϕ
+










0
cos
sin
0
0

100
0cossin
0sincos
0
0
0
a
a
a
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020B
rARr +=
=





















ΨΨ−
ΨϕϕΨϕ
Ψϕϕ−Ψϕ
+










ϕ
ϕ−
b
a
a
0
0
cos0sin
sinsincoscossin
sincossincoscos
0

cos
sin
19
⇔ r
B
=










Ψ
Ψϕ+ϕ
Ψϕ+ϕ−
cos
sinsincos
sincossin
b
ba
ba
(2)
3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:











ϕϕ−
ϕϕ−
==
0
sin
cos
AA



a
a
rV
(3)











ΨΨ−
ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ−
ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ−
==
sin
cossinsincossin
coscossinsincos
BB






b
bba
bba
rV
(4)
• Khi ϕ=3π/2, Ψ=π/2,
ϕ

=3,
Ψ

=1: sinϕ=-1, cosϕ=0, sinΨ=1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A

= [0, 18.0, 0]
T
(dm/s) ⇒ V
A
= 18.00dm/s
V
B
= [12, 18, -4]
T
(dm/s) ⇒ V
B
= 22.00dm/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr
B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ

∂
∂
B
T
=
[ ]






Ψδ
δϕ










Ψ−
ΨϕΨϕ+ϕ−
ΨϕΨϕ−ϕ−
+δϕ
sin0
cossinsincossin

coscossinsincos
321
b
bba
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ− )sincossin()sinsincos(
21
baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨ−Ψϕ+Ψϕ sincossincoscos
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)sincossin()sinsincos(
21
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ−=
ϕ
baFbaFMQ
[ ]
Ψ−Ψϕ+Ψϕ=
Ψ
sincossincoscos
321
bFbFbFQ

5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ−=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+
2
B
)coscossinsincos(
2
1


bbam
]

22
)sin()cossinsincossin( ΨΨ−+ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ+


bbba
=
( )
ΨΨϕ−Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ cos2sin
2
1
2
1
2222222
B
22
A




abbbamam
⇔
[ ]
ΨΨϕ−Ψ+ϕΨ++= cos
2
1
)sin(
2
1
B

22
B
2222
B
2
A




abmbmbamamT
20
•
[ ]
ΨΨ−ϕΨ++=
ϕ∂
∂
cos)sin(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
[ ]

−ΨΨϕ+ϕΨ++=








ϕ∂
∂
2sin)sin(
2
B
222
B
2
A



bmbamam
T
dt
d
ΨΨ+ΨΨ− sincos
2
BB

abmabm

,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψϕ−Ψ=
Ψ∂
∂
cos
B
2
B



abmbm
T
,
ΨΨϕ+Ψϕ−Ψ=






Ψ∂
∂
sincos
BB

2
B




abmabmbm
T
dt
d
,
ΨΨϕ+ΨΨϕ=
Ψ∂
∂
sincossin
B
22
B


abmbm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−









ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT

dt
d

[ ]
ΨΨ+ΨΨ−ΨΨϕ+ϕΨ++ sincos2sin)sin(
2
BB
2
B
222
B
2
A


abmabmbmbamam
=
[ ]
)sincossin()sinsincos(
21
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ− baFbaFM
,
( )
ΨΨϕ−Ψϕ−Ψ cossincos
22
BB
2
B



bmabmbm
=
=
[ ]
Ψ−Ψϕ+Ψϕ sincossincoscos
321
bFbFbF
,
21
Câu 8:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=5dm, b =4dm và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B

theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=π/2 rad,
Ψ=3π/2 rad,
ϕ

=1rad/s,
Ψ

=3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2

, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:











ϕϕ−
ϕϕ
=
cos0sin
010
sin0cos
10
A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ
=
100
0cossin
0sincos
21
A











ϕΨϕΨϕ−
ΨΨ
ϕΨϕ−Ψϕ
==
cossinsincossin
0cossin
sinsincoscoscos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,

R
20
= R
10
+ A
10
R
21
⇔ r
A
= R
20
=










ϕ
ϕ
=





















ϕϕ−
ϕϕ
+










cos

0
sin
0
0
cos0sin
010
sin0cos
0
0
0
a
a
a
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
22
)2(
B2020B
rARr +=
=





















ϕΨϕΨϕ−
ΨΨ
ϕΨϕ−Ψϕ
+










ϕ
ϕ
0
0
cossinsincossin
0cossin

sinsincoscoscos
cos
0
sin
b
a
a
⇔ r
B
=










Ψϕ+ϕ
Ψ
Ψϕ−ϕ
sinsincos
cos
sincossin
ba
b
ba
(2)

3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ
==
sin
0
cos
AA



a
a
rV
(3)











ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ−
ΨΨ−
ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ
==
cossinsincossin
sin
coscossinsincos
BB






bba
b
bba
rV
(4)
• Khi ϕ=π/2, Ψ=3π/2,
ϕ

=1,
Ψ


=3: sinϕ=1, cosϕ=0, sinΨ=-1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, -5.0]
T
(dm/s) ⇒ V
A
= 5.00dm/s
V
B
= [-4, 18, -5]
T
(dm/s) ⇒ V
B
=
185
≈ 13.6015dm/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr

B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
=
[ ]






Ψδ
δϕ











ΨϕΨϕ+ϕ−
Ψ−
Ψϕ−Ψϕ+ϕ
+δϕ
cossinsincossin
sin0
coscossinsincos
321
bba
b
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ+ )sincossin()sinsincos(
31
baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨϕ+Ψ−Ψϕ− cossinsincoscos
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)sincossin()sinsincos(
31
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ+=
ϕ
baFbaFMQ

[ ]
Ψϕ+Ψ−Ψϕ−=
Ψ
cossinsincoscos
321
bFbFbFQ
5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨΨ−+ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+
22
B
)sin()coscossinsincos(

2
1


bbbam
]
2
)cossinsincossin( ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ+


bba
23
=
( )
ΨΨϕ−Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ cos2sin
2
1
2
1
2222222
B
22
A




abbbamam
⇔
[ ]

ΨΨϕ−Ψ+ϕΨ++= cos
2
1
)sin(
2
1
B
22
B
2222
B
2
A




abmbmbamamT
•
[ ]
ΨΨ−ϕΨ++=
ϕ∂
∂
cos)sin(
B
222
B
2
A




abmbamam
T
,
[ ]
−ΨΨϕ+ϕΨ++=








ϕ∂
∂
2sin)sin(
2
B
222
B
2
A



bmbamam
T
dt

d
ΨΨ+ΨΨ− sincos
2
BB

abmabm
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψϕ−Ψ=
Ψ∂
∂
cos
B
2
B



abmbm
T
,
ΨΨϕ+Ψϕ−Ψ=







Ψ∂
∂
sincos
BB
2
B




abmabmbm
T
dt
d
,
ΨΨϕ+ΨΨϕ=
Ψ∂
∂
sincossin
B
22
B


abmbm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:

ϕ
=
ϕ∂
∂
−








ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−







Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d

[ ]
ΨΨ+ΨΨ−ΨΨϕ+ϕΨ++ sincos2sin)sin(
2
BB
2
B
222
B
2
A


abmabmbmbamam
=
[ ]
)sincossin()sinsincos(
31
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ+ baFbaFM
,
( )
ΨΨϕ−Ψϕ−Ψ cossincos

22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
[ ]
Ψϕ+Ψ−Ψϕ− cossinsincoscos
321
bFbFbF
,
24
Câu 9:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học a
= 5dm, b = 3dm và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A

20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=π rad,
ϕ

=3rad/s,
Ψ

=2rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]

T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:











ϕϕ
ϕ−ϕ
=
100
0cossin
0sincos
10
A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001

21
A










ΨΨ
Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
==
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R

,
T
21
]00[ a−=R
,










ϕ−
ϕ
=










−











ϕϕ
ϕ−ϕ
+










=+==
0
cos
sin
0
0
100
0cossin

0sincos
0
0
0
21101020A
a
a
aRARRr
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(
BB
rARrr +=≡
=





















ΨΨ
Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
+










ϕ−
ϕ
b
a
a
0
0
cossin0
sincoscoscossin
sinsincossincos

0
cos
sin
25