Tài liệu ôn thi lý thuyết dao động trong kỹ thuật

Câu 1: Định nghĩa, phân loại dao động, giới hạn nghiên cứu-
các bước nghiên cứu dao động của cơ hệ. Tác dụng hai mặt
của dao động và ý nghĩa của việc nghiên cứu dao động.
* Định nghĩa dao động : Dao động kỹ thuật là một dạng vận
động của hệ vật chất, trong đó giá trị các thông số trạng thái
(TSTT) thay đổi qua lại xung quanh giá trị TSTT chuẩn.
- TSTT là tất cả các tham số biểu diễn hệ vật chất trong sự quan
tâm của chúng ta.
- TSTT chuẩn là TSTT danh định được xác định, thường được
biểu diễn ở trạng thái cân bằng.
* Phân loại dao động: có nhiều cách phân loại dao động:
- theo bản chất vật lý: cơ, điện, từ, quang
- theo số bậc tự do: (là số tọa độ độc lập đủ để xác định vị trí
phần tử cơ hệ) một bậc tự do, nhiều bậc tự do, vô số bậc tự do.
- theo phương trình vi phân: dao động tuyến tính, dđ phi tuyến
- theo nguyên nhân gây dao động: dao động tự do, dao động
cưỡng bức, dđ tham số, tự dao động
- theo xác suất gây ra dao động: dđ tiền định XS=1, dđ ngẫu
nhiên XS<1
- theo dạng chuyển động: dđ dọc, ngang, uốn, xoắn.
* Giới hạn nghiên cứu
Khảo sát dđg của hệ rời rạc, tiền định, hệ 1 và nhiều bậc tự do, hệ
tuyến tính, phi tuyến, dạng d.đ tự do và d.đ cưỡng bức.
* Các bước nghiên cứu:
1. Lập mô hình toán học:
- Mục đích: Thể hiện tất cả những đặc điểm quan trọng của hệ phục
vụ cho việc thiết lập phương trình toán học thể hiện ứng xử của hệ
- Phương pháp: đầu tiên dưa ra mô hình sơ bộ để nhanh chóng
tìm ra ứng xử của hệ, sau đó sẽ hoàn thiện bằng cách thêm các
thành phần, chi tiết sao cho ứng xử của hệ sát thực hơn.
2. Thiết lập phương trình chuyển động

-Mục đích: sử dụng các nguyên lý động lực học để thiết lập
phương trình mô tả dao động của hệ.
- Phương pháp:
+ Vẽ sơ đồ giải phóng liên kết: cô lập khối lượng, chỉ ra lực tác dụng….
+ Thiết lập phương trình: Định luật 2 Niu tơn, nguyên lý
Dalambe, bảo toàn năng lượng, phương trình Lagrange loại II….
3. Tìm nghiệm phương trình chuyển động
- Mục đích: giải phương trình để tìm ra ứng xử của hệ
- Phương pháp: giải phương trình vi phân (= phương pháp biến
đổi laplace, phương pháp ma trận, phương pháp số).
4. Xử lý kết quả, nhận xét.
- Nghiệm phương trình cho ta chuyển vị, vận tốc, gia tốc
- Những kết quả này phải được xử lý tùy theo mục đích.
* Tác dụng hai mặt của dao động ý nghĩa của việc nghiên cứu
dao động
- Hầu hết các hoạt động của con người đều liên quan đến dao
động dưới dạng này hay dạng khác, chẳng hạn nghe được là do
màng tai dao động, hít thở là dao động của lá phổi…
- Hầu hết những dạng cử động cơ bản đều chứa đựng những vấn đề liên
quan đến dao động do sự mất cân bằng cố hữu trong các nguồn động lực
gây ra. Mất cân bằng của động cơ diezen có thể gây ra sóng đủ mạnh làm
phiền toái các đô thị, trong tuốc bin sự mất cân bằng có thể gây các hỏng
hóc cơ học không lường trước được…
- Khi tần số dao động riêng của máy móc hay kết cấu trùng với tần số
của nguồn kích thích bên ngoài thì hiện tượng cộng hưởng xuất hiện,
gây biến dạng và hư hỏng quá mức. Do những tác động nghiêm trọng
mà các dao động có thể gây ra cho máy móc và kết cấu nên việc kiểm
tra dao động đã trở thành một thủ tục tiêu chuẩn trong quá trình thiết kế
và chế tạo hầu hết các hệ thống kỹ thuật.
- Một trong những mục đochs quan trọng của việc nghiên cứu dđ là để

giảm thiểu các dđ thông qua việc thiết kế chính xác máy móc cùng với hệ
thống giá đỡ của chúng. Tiếp nữa các kỹ sư cơ học sẽ tìm cách thiết kế
động cơ và máy móc sao cho có thể giảm tối đa sự mất cân bằng, trong
khi kỹ sư kết cấu thì tìm cách thiết kế các kết cấu đỡ sao cho những tác
động của mất cân bằng trở thành vô hại.
- Bên cạnh những tác động có hại, dđ cũng có thể được sử dụng một cách
có lợi trong một số ứng dụng công nghiệp và tiêu dùng: băng tải, máy
sàng, máy ép, máy giặt….Nó còn được sử dụng để mô phỏng hiện tượng
động đất trong nghiên cứu địa chấn và để thực hiện các nghiên cứu trong
quá trình thiết kế các lò phản ứng hạt nhân.
Câu 2: Dao động điều hòa, dao động tuần hoàn, dao động á
tuần hoàn, dao động không tuần hoàn. Các định nghĩa và
quan hệ giữa các dạng dao động trên.
Trả lời
I. Các định nghĩa
1. Dao động điều hòa:
+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà mỗi TSTT được biểu diễn
bằng chỉ một hàm sin hoặc cosin:
cos( )x A t
ω ϕ
= +
hoặc
A sin( )y t
ω ϕ
= +
(1)
Trong đó: x,y – là độ dời (độ dịch chuyển)
A – là biên độ d.đ

2 f

ω π
=
- tần số vòng (rad/s)

t
ω ϕ
+
- pha (góc pha)

ϕ
- là pha ban đầu

2
T
π
ω
=
- Chu kỳ d.đ
1
f
T
=
- Tần số dđ: là số d.đ thực hiện được trong 1 giây (Hz)
Từ công thức (1) suy ra có 2 cách để xác địng một dđ điều hòa:
- biết 3 đại lượng
, ,A
ω ϕ
.
- biết tần số vòng và các điều kiện đầu:
Giả sử điều kiện đầu có dạng:

0; (0) . os ; (0) sin
0 0
t x x A c x x A
ϕ ω ϕ
= = = = = −
& &
2
2
0 0
; arctan
0
2
0
x x
A x
x
ω
ϕ
ω
⇒ = + =
&
&
+ Biểu diễn dđđh:
- biểu diễn = tọa độ đề các.
- biểu diễn = véc tơ quay.
- biểu diễn = số phức:
2
os +i.sin ; i 1
i
e c

θ
θ θ
= = −
Người ta còn có thể biểu diễn ddđh dưới dạng:
os sin
1 2
x C c t C t
ω ω
= +
(C
1
, C
2
được xác định từ ĐK đầu
2. Dao động tuần hoàn:
+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà sau những khoảng thời gian
bằng nhau thì hệ trở về trạng thái ban đầu:
Dđth được biểu diễn = hàm tuần hoàn:
f(t)= f(t+T)= f(t+2T)=….= f(t+nT) n= 1, 2, 3…
T: là chu kỳ d.đ, đó là khoảng thời gian ngắn nhất để hệ trở về
trạng thái ban đầu.
Vậy, chuyển động không đổi là 1 dđth có T=0, dđđh là 1 dạng
dđth đơn giản nhất.
+ Biểu diễn dđth:
- bd= tọa độ đề các,
- bd= miền tần số.
- bd= mặt phẳng pha.
Chú ý: 1 dđth có thể phân tích thành nhiều dđđh có tần số vòng
ω, 2ω, 3ω…
( ) [a osn t+b sin ]

n n
0
1
x t a c n t
n
ω ω
∞
∑
= +
=
(a
0
, a
n
, b
n
là các hệ số
hằng)
3. Dao động á tuần hoàn:
+ Định nghĩa: hàm y(t) là hàm á tuần hoàn (hầu tuần hoàn) nếu
với
0
η
>
cho trước bé tùy ý tồn tại một hằng số T
*
mà
*
( ) ( )y t T y t
η

+ − <
. Vậy, tổng hợp của hai dao động điều hòa
cùng phương, khác tần số vòng được 1 dao động á tuần hoàn khi
1
i
i
ω
ω
+
= số vô tỷ.
4. Dao động không tuần hoàn:
+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà một trong số các thông số
trạng thái thay đổi bất kỳ ( không lặp lại)
1
+ Một số dạng:
- Dao động : dđ tăng dần, dđ giảm dần (tắt dần)
( ) .
0
t
A t A e
β
=
(β>0: dđ tăng dần; β: dđ giảm dần)
- Dao động biến tần: tần số là 1 hàm theo thời gian.
II. Quan hệ giữa các dao động trên:
1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
( ) sin( )
1 1 1
( ) sin( )
2 2 2

( ) ( ) ( ) sin( )
1 2 1 1
sin( ) sin( )
2 2
x t A t
x t A t
x t x t x t A t
A t A t
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ ω ϕ
= +
= +
⇒ = + = + +
+ + = +



Trong đó:
2 2
2 os( )
1 2 1 2 2 1
sin sin
1 1 2 2
arctan
os os
1 1 2 2
A A A A A c
A A

A c A c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
= + + −
+
=
+
+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng
tần số vòng là 1 dao động điều hòa có tần số vòng bằng tần số
vòng của các dao động thành phần, biên độ A và góc pha ϕ.
2. Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hòa cùng phương,
khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ:
( ) sin( )
1 1 1 1
( ) sin( )
2 2 2 2
x t A t
x t A t
ω ϕ
ω ϕ
= +
= +



với
1 2
1; ( , 1, 2, 3 )

2 1
T
p
p q
T q
ω
ω
= = ≠ =
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )x t x t x t A t A t
ω ϕ ω ϕ
⇒ = + = + + +
+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác
tần số vòng với tỷ lệ giữa 2 tần số là số hữu tỷ sẽ là một dao động
tuần hoàn với chu kỳ :
1 2
T pT qT= =
Nếu
p
q
là phân số tối
giản thì T là bội số chung nhỏ nhất của
,
1 2
T T
3. Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hòa cùng phương,
khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vô tỷ:
( ) sin( )
1 1 1 1
( ) sin( )

2 2 2 2
x t A t
x t A t
ω ϕ
ω ϕ
= +
= +



với
1
2
ω
ω
=
số vô tỷ.
1
2
p
q
ω
ε
ω
= +
(
ε
bé tùy ý)
1 2 1 1 2 2
1 2

( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
T pT qT
x t x t x t A t A t
ω ϕ ω ϕ
⇒ ≈ ≈
= + = + + +
+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác
tần số với tỷ lệ giữa 2 tần số là số vô tỷ là một dao động á (hầu)
tuần hoàn.
4. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, có tần số
gần giống nhau, biên độ = nhau.
( ) sin( )
1 1 1 1
( ) sin( )
2 2 2 2
x t A t
x t A t
ω ϕ
ω ϕ
= +
= +



với
1 2
1 2 2 1
A A A
ω ω ω ω δ
= =

≈ ⇒ − =



(δ bé)
( )
1 2 1 2
( ).sin
1 2
2
t
x x x A t
ω ω ϕ ϕ
+ + +
⇒ = + =
 
 
 
( )
2 1 2 1
( ) 2 . os
2
t
A t A c
ω ω ϕ ϕ
− + −
=
 
 
 

là 1 hàm biến đổi chậm
theo thời gian. Khi đó, xảy ra hiện tượng phách.
Câu 3: Các thành phần cơ bản của hệ dao động: quán tính,
đàn hồi, cản và kích động.
1. Phần tử quán tính:
+ Các phần tử khối lượng (QT) được xem như vật thể rắn tuyệt
đối. Chúng có thể nhận thêm hay mất đi động năng mỗi khi vận
tốc thay đổi.
+ Theo định luật 2 Niu tơn, tích của khối lượng và gia tốc chuyển
động của vật bằng lực đặt lên vật đó. Công của lực bằng tích của
lực với độ dịch chuyển theo phương tác dụng của lực; công sinh
ra trên phần tử khối lượng được tích lũy dưới dạng động năng
của phần tử khối lượng đó.
+ Trong hầu hết các trường hợp, chúng ta cần sử dụng một số mô
hình toán học để mô tả dao động thực và thường thì chỉ có một
vài mô hình có thể chấp nhận được. Mục đích của việc phân tích
là để xác định xem mô hình toán học nào đúng đắn. Khi đã lựa
chọn được mô hình toán học, chúng ta có thể dễ dàng xác định
được các phần tử khối lượng hay các phần tử quán tính của hệ.
+ Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Phần tử khối lượng là
một số hạng không đổi đứng trước đạo hàm bậc 2 của chuyển vị trong
p.trình vi phân chuyển động. Nó có thể là một phần tử khối lượng hoặc
khối lượng tương đương của một tổ hợp khối lượng.
+ Đối với hệ dao động nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử khối
lượng hay phần tử quán tính là một số lượng hữu hạn các khối
lượng tập trung. Những mô hình như vậy được gọi là hệ tham số
tập trung hay hệ khối lượng tập trung hoặc hệ khối lượng rời rạc.
Phần tử khối lượng hay phần tử quán tính trong hệ phương trình
vi phân chuyển động là một ma trận khối lượng
2. Phần tử đàn hồi:

+ Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Lò xo là tuyến
tính, là một dạng khâu cơ học có khối lượng và cản không đáng
kể. Bất cứ khi nào có chuyển động tương đối giữa 2 đầu lò xo thì
lò xo sẽ phát sinh một lực. lực lò xo tỷ lệ thuận với biến dạng và
tính theo công thức: F=kx (F-lực; x-biến dạng; k- độ cứng). Phần
tử đàn hồi có thể là một lò xo hoặc tổ hợp của một số lò xo mắc
nối tiếp, song song, hỗn hợp. Phần tử đàn hồi trong phương trình
vi phân chuyển động là số hạng đứng trước chuyển vị.
+ Đối với hệ dđ nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử lò xo trong hệ p.trình
vi phân chuyển động là một ma trận độ cứng đứng trước chuyển vị.
3. Phần tử cản:
Cản là những tác động vào hệ dao động mà nó làm giảm cơ năng của hệ,
biến 1 phần cơ năng của hệ thành dạng năng lượng khác.
Trong hệ thực, năng lượng dao động dần dần bị chuyển hóa thành nhiệt
lượng hoặc âm thanh. Do mất năng lượng nên phản ứng của hệ (chẳng
hạn chuyển vị) giảm dần. Phần tử mà do nó năng lượng dao động dần
được chuyển hóa thành nhiệt hoặc âm thanh gọi là giảm chấn (cản).
- Các phần tử giảm chấn coi như không có khối lượng và không
có tính đàn hồi.
- Lực giảm chấn (lực cản) chỉ tồn tại khi có vận tốc tương đối
giữa hai đầu giảm chấn.
- Có 2 loại cản:
+ Cản ngoài: cản nhớt, cản khô (cản culông)
+ Cản trong: cản trễ của vật liệu.
Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Lực cản là tuyến
tính và hệ số cản là một hằng số không đổi. Phần tử cản trong
phương trình vi phân chuyển động là số hạng đứng trước đạo
hàm bậc nhất của chuyển vị.
Đối với hệ dao động nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử cản
trong hệ phương trình vi phân chuyển động là một ma trận cản

đứng trước đạo hàm bậc nhất của chuyển vị.
4. Phần tử kích động:
Kích động là những tác động cung cấp động năng cho hệ dao động
từ môi trường thông qua công của các lực hoặc các ngẫu lực.
Các loại kích động:
- Theo bản chất vật lý: kích động động lực, k.động động học.
- Theo sự biến đổi của thời gian: k.động điều hòa, tuần hoàn, á
tuần hoàn, k.động xung.
- Theo tần suất xuất hiện: k.động ngẫu nhiên, tiền định.
- Theo mối quan hệ giữa tác động và trạng thái động học:
+ k.động ngoài: hàm k.động chỉ phụ thuộc thông số thời gian.
+ Tự kích: hàm k.động không chỉ phụ thuộc thông số thời gian
mà còn phụ thuộc thông số trạng thái.
2
Câu 4: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ 1 bậc tự do bỏ qua
cản: Phương trình vi phân chuyển động, phương trình chuyển
động và các nhận xét về chuyển động của hệ, tần số riêng và
biên độ.
Trả lời:
1. Phương trình vi phân chuyển động:
0mx kx
+ =
&&
(1)
Trong đó: m- phần tử quán tính.
k- phần tử đàn hồi.
Nếu đặt
2 2
0
k

x x
m
ω ω
= ⇒ + =
&&
2. Phương trình chuyển động:

1 2
( ) os sinx t C c t C t
ω ω
= +
(2)
(2) là nghiệm tổng quát của ptvpcđ (1)
Với
1 2
,C C
được xác định từ điều kiện đầu:

0
0 0 1 0 2
0; (0) ; (0) ;
x
t x x x x C x C
ω
= = = ⇒ = =
&
& &
⇒ nghiệm riêng:

2

2
0 0
0 0
x
os t+ sin .sin( )
.sin( )
x
x x c t x t
A t
ω ω ω ϕ
ω ω
ω ϕ
 
= = + +
 ÷
 
= +
& &
(3)
(3) là phương trình chuyển động của hệ.
Với:
0
0
2
2
0
;
0
x
arctag

x
A x
x
ϕ
ω
ω
= + =
 
 ÷
 
&
&
3. Các nhận xét về chuyển động của hệ, tần số riêng và biên độ:
- Dao động tự do không cản của hệ 1 bậc tự do được mô tả bởi 1
hàm điều hòa. Vì vậy, dao động tự do không cản còn được gọi là
dao động điều hòa.
- Tần số
2
k
m
ω
=
và chu kỳ dao động
2
T
π
ω
=
không phụ thuộc
vào điều kiện đầu mà chỉ phụ thuộc vào các thông số kết cấu của hệ. vì

vậy, ω được gọi là tần số dao động riêng của hệ (ký hiệu
n
ω
)
- Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và pha ban đầu
của dao động tự do không cản phụ thuộc vào các điều kiện đầu
và các tham số của hệ. Nếu
0 0
0; 0 0x x A= = ⇒ = ⇒
&
vật
không dao động.
Câu 5: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ 1 bậc tự do có cản
nhớt: Phương trình vi phân chuyển động, phương trình
chuyển động, hệ số cản tới hạn, hệ số cản lehr. Khảo sát
chuyển động của cơ hệ khi C>Cc; C=Cc; C<Cc .
Trả lời:
1.Phương trình vi phân chuyển động:
0mx cx kx+ + =
&& &
(1)
Trong đó: m- phần tử quán tính.
k- phần tử đàn hồi.
c- phần tử cản
2.Phương trình chuyển động:
2 2
2 2 2 2
1 2
( )
c c k c c k

t t
m m m m m m
x t C e C e
   
   
   
− + − − − −
   
 ÷  ÷
   
   
   
= +
(2)
1 2
,C C
được xác định từ điều kiện đầu
3.Hệ số cản tới hạn, hệ số cản lehr:
- Hệ số cản tới hạn là giá trị của hệ số cản sao cho biểu thức
trong dấu căn của ptcđ (2) bằng 0.
2
0 2 2
2
c
c n
c
k k
c m m
m m m
ω

 
⇔ − = ⇔ = =
 ÷
 
- Độ cản Lehr: là tỉ số giữa hệ số cản với hệ số cản tới hạn.
Ký hiệu:
c
c
c
ξ
=
4. khảo sát chuyển động của cơ hệ khi
; ;
c c c
c c c c c c> = <
(lưu ý: khi ξ=0 thì hệ không có cản ⇒ hệ dao động điều hòa)
* Trường hợp 1:
1
c
c c
ξ
< ⇔ <
⇒ cản yếu

2
c
c k
c c
m m
< ⇔ <

- Phương trình chuyển động:
2
0 0
( ) . . os( 1- )
n
t
n
x t X e c t
ξω
ξ ω
−
= + Φ
(3)
Biên độ:
0
.
n
t
A X e
ξω
−
=

2
1
d n
ω ξ ω
= −
- Tần số dao động riêng khi có cản
2

d
d
T
π
ω
=
- là chu kỳ dao động khi có cản
Viết lại (3) dạng:
d 0
( ) . os( t+ )x t A c
ω
= Φ
(4)
(4) là dạng dao động điều hòa tắt dần.
- Ảnh hưởng của cản yếu đến biên độ và tần số vòng:
Độ giảm lôga:

2
( ) 2
ln
( )
1
d
A t
A t T
πξ
δ
ξ
= =
+

−

2
2
1
( )
( )
d
A t
e
A t T
πξ
ξ
−
⇒ =
+

2
1
1
n
d
ω
ω
ξ
=
−
Bảng kết quả:
ξ
0,1 0,2 0,5 0,9 1

( )
( )
d
A t
A t T+
1,88 3,61 37,55 427817
∞
n
d
ω
ω
1,005 1,02 1,15 2,09
∞
- Nhận xét:
+ Cản nhớt tuyến tính làm giảm mạnh biên độ, làm giảm yếu
tần số vòng.
+ Khi lực cản nhỏ hệ dao động tắt dần.
* Trường hợp 2:
1
c
c c
ξ
= ⇔ =
(hệ có cản tới hạn)
2
c
c k
c c
m m
= ⇔ =

- Phương trình chuyển động:
1 2
( ) ( )
n
t
x t C C t e
ω
−
= +
3
1 2
,C C
được xác định từ điều kiện đầu:
0 0
0 ;t x x x x= ⇒ = =
& &
1 0 2 0 0
,
n
C x C x x
ω
⇒ = = +
&
- Nhận xét:
+ Chuyển động là dao động không tuần hoàn
+ Do
0
n
t
e

ω
−
→
khi
t → ∞
nên chuyển động giảm dần tới 0
khá nhanh.
* Trường hợp 3:
1
c
c c
ξ
> ⇔ >
(hệ có cản lớn- giảm chấn mạnh):

2
c
c k
c c
m m
> ⇔ >
- Phương trình chuyển động:
2 2
( 1) ( 1)
1 2
( )
n n
t t
x t C e C e
ξ ξ ω ξ ξ ω

− + − − − −
= +
1 2
,C C
được xác định từ điều kiện đầu.
- Nhận xét:
Khi t tăng thì x giảm về không rất nhanh ⇒ hệ chuyển động tắt
dần. Vì vây, chuyển động của hệ là dao động không tuần hoàn.
Hình vẽ:
Câu 6: Dao động tuyến tính cưỡng bức của cơ hệ 1 bậc tự do
bỏ qua/ có cản nhớt, khô, kích động điều hòa, tuần hoàn, đa
tần, bất kỳ, động lực, động học, li tâm: Phương trình vi phân
chuyển động, phương trình chuyển động (biểu thức, đồ thị),
Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
Trả lời:
6.I. Dao động cưỡng bức kích động điều hòa bỏ qua cản
1. Phương trình vi phân chuyển động:

0
osmx kx F c t
ω
+ =
&&
(1)
Trong đó: : m- phần tử quán tính.
k- phần tử đàn hồi.
c- phần tử cản

0
osF F c t

ω
=
ur uur
là hàm kích động điều hòa.
2. Phương trình chuyển động:
- Biểu thức:
0 0 0
( ) os sin os
0
2 2
F x F
x t x c t t c t
n n
k m k m
n
ω ω ω
ω
ω ω
= − + +
− −
 
 ÷
 
&

0 0 0
0 n n
2 2
. os .sin os os
n

n
x F F
x c t t c t c t
k m k m
ω ω ω ω
ω ω ω
= + − +
− −
&
(2)
3. Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ:
- Chuyển động của hệ là hợp của 2 dđ điều hòa với tần số: ω, ω
n
- Chuyển động của hệ bao gồm: dđ tự do, dđ theo và dđ cưỡng bức.
+ dao động tự do:
0
0 n
. os .sin
n
n
x
x c t t
ω ω
ω
+
&
+ dao động theo:
0
n
2

os
F
c t
k m
ω
ω
−
−
+ dao động cưỡng bức:
0
2
os
F
c t
k m
ω
ω
−
- Từ (2), ta có:

0
n
0 n
2
os t-cos
( ) . os .sin
1
n st
n
n

x
c t
x t x c t t
ω ω
ω ω δ
ω
ω
ω
= + +
 
−
 ÷
 
&
(3)
Với:
0
st
F
k
δ
=
+ Trường hợp 1:
n
ω ω
=


0
0

( ) os sin sin
2
n
n n st n
n
x t
x t x c t t t
ω
ω ω δ ω
ω
⇒ = + +
&

2
n
st
t
A
ω
δ
=
là hàm bậc nhất của t. khi t→∞ thì A→∞. Khi đó
xảy ra hiện tượng cộng hưởng của hệ.
+ Trường hợp2:
n
ω ω
≈

2 2
2

4
2
n
n
n
ω ω ε
ω ω εω
ω ω ω
− =

⇒ ⇒ − =

+ =

(ε bé)
Chọn điều kiện đầu:
0 0
0; 0x x= =
&
0
2 2
( ) ( os t-cos )
( )
n
n
F
x t c t
m
ω ω
ω ω

⇒ =
−

0
.sin .sin ( )sin
2
F
t t A t t
m
ε ω ω
εω
= =

0
( ) .sin
2
F
A t t
m
ε
εω
=
là 1 hàm điều hòa.
Với ε nhỏ thì A(t) là một hàm điều hòa biến đổi chậm theo thời
gian, lúc đó xuất hiện hiện tượng phách.
Đồ thị:
4
2 2
2
b

b
π π π
τ
ω ε ε
= = =
(
b
τ
- chu kỳ phách)
2
b n
ω ω ω ε
= − =
- Xét thành phần dao động cưỡng bức:
0
2
2
( ) os
F
x t c t
k m
ω
ω
=
−
Đặt:
0 0
2
2
2

(1 )
n
F F
A
k m
k
ω
ω
ω
= =
−
−
Đặt:
0
1
2
1
; ;
1
st
n st
F
A
M
k
ω
δ
ω δ
= Ω = = =
− Ω

M
1
được gọi là hệ số biên độ dạng 1.
Ta thấy:
+ khi 0 < Ω < 1 ⇒ M
1
> 0 thì A, δ
st
cùng dấu ⇒ dao động
cưỡng bức cùng pha với lực kích động.
+ Khi Ω = 1 ⇒ M
1
= ∞ ⇒ xảy ra hiện tượng cộng hưởng.
+ Ω > 1 ⇒ M
1
< 0 thì A, δ
st
ngược dấu ⇒ dao động cưỡng bức
ngược pha với lực kích động.
Đồ thị:
6.II. Dao động cưỡng bức, kích thích điều hòa, cản nhớt tuyến tính

1. Phương trình vi phân chuyển động:
0
x osmx c kx F c t
ω
+ + =
&& &
(1)
Trong đó: m- phần tử quán tính.

k- phần tử đàn hồi.
c- phần tử cản
0
osF F c t
ω
=
ur uur
là hàm kích động điều hòa.
2. Phương trình chuyển động:
* Nghiệm tổng quát của (1): x(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
Trong đó:
1 2
2
n
1 1 2
1 2
. . os( 1- . t- )
( ) (C ).
. .
n
n
t
t
s t s t
X e c
x t C t e

C e C e
ξω
ξω
ξ ω
−
−

Φ


= +


+



c
c
c
nêu c < c
nêu c = c
nêu c > c

2
( ) . os( t- )x t X c
ω
= Φ
* Nhận xét:
- Chuyển động của hệ bao gồm một dao động tắt dần và một dao động

điều hòa.
- Chuyển động của hệ gồm hai giai đoạn:
+ giai đoạn chuyển tiếp: khi
1
( )x t
còn có ý nghĩa.
+ giai đoạn bình ổn: khi hệ chỉ còn một dao động
2
( )x t
(dao động
cưỡng bức)

2
( )x t
là dao động cưỡng bức, đó là một dạng dao động điều hòa có X,
Φ được xác định như sau:

( )
1
0
2
2
2 2 2
; tan
F
c
X
k m
k m c
ω

φ
ω
ω ω
−
 
= =
 ÷
−
 
− +
3. Biện luận và nhận xét:
* Xét giai đoạn dao động bình ổn:
2
( ) ( ) . os( t- )x t x t X c
ω
= = Φ
Đặt:
0
; ;
st
n c
F
c
k c
ω
δ ξ
ω
= Ω = =
2
1

2 2 2
(1 ) (2 )
X
M
st
δ
ξ
⇒ =
=
− Ω + Ω
- được gọi là hệ số biên
độ dạng 2.
* Nhận xét:
- khi bỏ qua cản (ξ = 0): Nếu Ω→1 ⇒ Μ
2
→∞ ⇒ hệ cộng hưởng
- Khi có cản (ξ > 0): thì ∀Ω, M
2
đều giảm so với khi ξ = 0.
- Với mỗi giá trị của Ω, nếu cản tăng thì M
2
sẽ giảm.
- Khi lực kích động F
0
= const thì M
2
= 1
- Khi có cản (ξ > 0): thì M
2
giảm mạnh tại vị trí cộng hưởng hoặc

gần cộng hưởng.
- Khi Ω→∞ ⇒ Μ
2
→0 thì ảnh hưởng của cản rất nhỏ, xem như
không đáng kể.
- Cộng hưởng trong hệ có cản tuyến tính chịu kích động điều
hòa là 1 dao động cưỡng bức khi M
2
đạt giá trị lớn nhất.
M
2
(max) khi
2
1 2
ξ
Ω = −

2
2
1
( ax)
2 1
M m
ξ ξ
⇒ =
−
- Đồ thị:
5
+
1

0
2
ξ
〈 〈
thì M
2
tăng từ 1 đến M
2
(max), sau đó giảm từ
M
2
(max) về 0.
+
1
2
ξ
=
thì
0
dM
d
=
Ω
tại Ω = 0
+
1
2
ξ
〉
thì M

2
giảm từ 1 về 0 khi Ω tăng.
Điều kiện cộng hưởng:

2
1
n
ω ω ξ
= −
và
1
2
ξ
〈
Tính chất cộng hưởng:
+ biên độ hữu hạn.
+ cộng hưởng sớm: ω < ω
n
6.III. Dao động cưỡng bức với cản Culong
1. Phương trình vi phân chuyển động

0
. sinmx kx f N F t
ω
+ ± =
&&
(1)
Tổng quát:

0

. . sinmx kx f N sigx F t
ω
+ + =
&& &
(2)

1 0
1 0
x
sigx
x
⇔ 〉

=

− ⇔ 〈

&
&
&
2. Phương trình chuyển động
Tìm hệ số cản nhớt tương đương sao cho với hệ số cản nhớt
tương đương đó thì mất mát năng lượng do cản nhớt gây ra = mất
mát năng lượng do cản cu lông gây ra.
cơ năng chuyển hóa trong 1/4 chu trình:
∆W = f.N.X (X- biên độ chuyển động)
Vậy, trong 1 chu trình mất mát năng lượng do cản cu lông là:
Σ∆W = 4f.N.X
Tổn hao năng lượng do cản nhớt trong 1 chu trình:
Σ∆W = C

eq
.Π.ω.X
2

trong đó
4
eq
fN
C
X
ω
=
Π
là hệ số cản nhớt tương đương.
⇒ phương trình vpcđ của vật:

0
. sin
eq
mx C x kx F t
ω
+ + =
&& &
(3)
Xét gia đoạn bình ổn ⇒ vật dao động điều hòa:

2
( ) sin( )x t X t
ω
= −Φ

Với:

2
0
0
2 2
4
1
(1 )
fN
F
F
X
k
π
 
−
 ÷
 
=
−Ω
;
n
ω
ω
Ω =
1
0
2
0

4
tan
4
1
fN
F
fN
F
π
π
−
 
 ÷
±
 ÷
Φ =
 ÷
 ÷
 
 ÷−
 ÷
 ÷
 
 
Điều kiện để X có nghiệm thực:
2
0
4
1 0
fN

F
π
 
− >
 ÷
 

0
4
ms
F
F fN
π
⇒ = ≤
đây chính là điều kiện để tồn tại dao
động á tuần hoàn của hệ.
3. Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Nếu lực cản do ma sát khô là lớn thì chuyển động của vật là
không liên tục (gián đoạn)
- Nếu lực cản do ma sát khô là nhỏ so với biên độ của lực đặt
0
F
thì nghiệm duy trì là gần tuần hoàn.
6
6.IV. Dao động cưỡng bức, kích động động học cản nhớt tuyến tính

1. Phương trình vi phân chuyển động

( ) ( ) 0mx c x y k x y+ − + − =
&& & &

(1)
với: y = Y.sinωt;
. . os ty Y c
ω ω
=
&
(1)
A sin( )mx cx kx t
ω
⇔ + + = − Φ
&& &
(2)
Với:
2 2 1
( ) ; tan
c
A Y k c
k
ω
ω
−
 
= + Φ =
 ÷
 
2. Phương trình chuyển động
Ta thấy:
- vế trái của phương trình vpcđ là 1 lực kích động điều hòa, lực
này do di chuyển điều hòa y = Y.sinωt gây ra.
- Nếu chỉ xét giai đoạn bình ổn thì chuyển động của hệ chỉ còn là

dao động cưỡng bức.
⇒ x(t) = x
2
(t) = X.
sin( )t
ω
− Φ
X- là biên độ của dao động cưỡng bức.
Φ- là pha ban đầu của dao động cưỡng bức.

2 2
( )
.
2 2 2
( ) ( )
k c
X Y
k m c
ω
ω ω
+
=
− +



3
2 2
m.c.
arctg

k(k-m )+(c. )
ω
ω ω
Φ =
Đặt:
;
n c
c
c
ω
ξ
ω
Ω = =

2 2 2
( ) 1 (2 )
2 2 2 2 2 2
4
( ) ( ) (1 ) (2 )
X k c
M
Y
k m c
ω ξ
ω ω ξ
+ + Ω
= = =
− + − Ω + Ω
M
4

được gọi là hệ số biên độ dạng 4, hay gọi là hệ số truyền chuyển vị.
3. Nhận xét.
+ M
4
= 1 tại 2 giá trị Ω ≥ 0 và
2Ω =
+ Khi ξ = 0 thì M
4
tăng →∞ khi Ω ≥ 1
+ M
4
< 1 khi Ω >
2
với mọi ξ
+ Khi Ω <
2
nếu ξ càng nhỏ thì M
4
càng lớn.
+ Khi Ω >
2
nếu ξ càng nhỏ thì M
4
càng nhỏ.
+ Khi 0< Ω < 1 thì M
4
đạt max tại:

2
1

1 8 1
2
ξ
ξ
Ω = + −
< 1
Đồ thị:

6.V. Dao động cưỡng bức, kích động tuần hoàn, cản nhớt
tuyến tính.
1. Phương trình vi phân chuyển động:
0
1 1
( ) cos sin
2
j j
j j
a
mx cx kx F t a j t b j t
ω ω
∞ ∞
= =
+ + = = + +
∑ ∑
&& &
(1)
Với:
0
0
2

( )cos ; 0,1,2
2
( )sin ; 0,1,2
j
j
a F t j t j
b F t j t j
τ
τ
ω
τ
ω
τ
= =
= =
∫
∫
2. Phương trình chuyển động
Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ
ptvpcđ (1) = tổng nghiệm của các phương trình sau:
0
2
cos
sin
a
mx cx kx
mx cx kx a j t
j
mx cx kx b j t
j

ω
ω
+ + =
+ + =
+ + =







&& &
&& &
&& &

(*)
(**)
(***)
- nghiệm của (*):
0
21
( )
2
a
x t
k
=
- nghiệm của (**):

22
2 2 2
.( ) os( )
2
(1 ) (2 )
1
j
a
x t c j t
k
j j
ω
ξ
Ω
= − Φ
− + Ω
- nghiệm của (***):

23
2 2 2
. sin( ) ( )
2
(1 ) (2 )
1
j
b
x t j t
k
j j
ω

ξ
Ω
= − Φ
− + Ω
Trong đó:
1
2 2
2
tan ;
1
n
j
r
j
ξ ω
ω
−
 
Ω
Φ = =
 ÷
− Ω
 
Nghiệm tổng quát (giai đoạn bình ổn) là:

2 21 22 23
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x t x t= = + +
3. Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Biên độ dao động của vật lớn nhất khi:
2 2

1
1 0
n n
j
j
ω ω
ω
ω ω
− Ω = ⇔ Ω = = ⇒ =
Cộng hưởng xảy ra với giá trị biên độ hữu hạn và là cộng hưởng sớm.
- Khi j tăng đến ∞ thì các số hạng tương ứng sẽ dần về 0. do đó,
ta chỉ cần dùng các giá trị j đủ lớn.
6.VI. Dao động cưỡng bức, kích động đa tần, cản nhớt tuyến tính.
Phương trình mô tả chuyển động:
0
1
.sin
n
i i
i
mx cx kx F t
ω
=
+ + =
∑
&& &
Đây là trường hợp riêng của kích động tuần hoàn.
7
6.VII. Dao động cưỡng bức, kích động bất kỳ, cản yếu.
1. Phương trình vi phân chuyển động

( )mx cx kx F t+ + =
&& &
2. Phương trình chuyển động.
* Khi chưa có lực tác dụng:
0mx cx kx+ + =
&& &
Phương trình chuyển động:
0 0
0 d
( ) ( os sin )
n
t
n
d
d
x x
x t e x c t t
ξω
ξω
ω ω
ω
−
+
= +
&
2
; 1
2
d n

c n
c c
c m
ξ ω ω ξ
ω
= = = −
* tại t = 0, đặt xung lực đơn vị
1
1
0
lim . 1
t t
t
t
f F dt
+∆
∆ →
= =
∫
vào hệ.
f
sẽ gây ra vận tốc đầu cho hệ. vận tốc này được xác định theo định
lý động lượng.
0 0
( 0 ) ( 0 )
1
1 1
t t
mx mx f mx x
m

+ −
= =
− = = ⇔ = ⇒ =
& & & &
Tại t =
0
−
:
0
0
0
0
x x
x x
= =

⇒

= =

& &
hệ đứng yên
Tại t =
0
+
:
0
0 0
0
1

;
x x
x x x
m
= =


⇒

= =


& & &
phương trình chuyển động của
hệ là:
1
( ) sin ( )
n
t
d
d
x t e t g t
m
ξω
ω
ω
−
= =
g(t)- được gọi là hàm đáp ứng xung lực của đơn vị, đây là hàm
miêu tả dao động tắt dần.

Nếu ta đặt vào hệ 1 xung lực
.
t t
t
F F dt
+∆
=
∫
thì ptcđ là:
( ) sin . ( )
n
t
d
d
F
x t e t F g t
m
ξω
ω
ω
−
= =
* tại t = τ > 0, đặt xung lực
F
vào hệ, ptcđ là:
( )
( ) sin ( ) . ( )
n
t
d

d
F
x t e t F g t
m
ξω τ
ω τ τ
ω
− −
= − = −
Nhận xét:
Một hàm bất kỳ có thể chia ra thành rất nhiều xung có độ lớn
khác nhau. Tại thời điểm t, 1 xung sẽ gây ra 1 di chuyển ∆x(t)
nào đó, được xác định như sau:

( )
( ) . ( ); .x t F g t F F
τ
τ τ
∆ = − = ∆
Như vậy, di chuyển của hệ bằng tổng các di chuyển do các xung
lực gây ra tại thời điểm t.

( )
( ) ( ) . . ( )x t x t F g t
τ
τ τ
= ∆ = ∆ −
∑ ∑
Cho ∆τ→0 thì phương trình chuyển động là:
1

( )
( )
0
1
( ) sin ( )
n
t
d
d
x t F e t d
m
ξω τ
τ
ω τ τ
ω
− −
= −
∫
3. Nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Biểu thức nghiệm trên thể hiện đáp ứng của hệ một bậc tự do
giảm chấn yếu trước kích thích không tuần hoàn F(t). Lưu ý rằng
công thức nghiệm trên không xét đến ảnh hưởng của các điều
kiện đầu của hệ.
- Tích phân trong nghiệm trên gọi là tích phân chập hay tích phân
Duhamel
6.VIII. Dao động cưỡng bức, kích động động lực ly tâm, cản
nhớt tuyến tính.
1. Phương trình vi phân chuyển động:
2
sinMx cx kx me t

ω ω
+ + =
&& &
2. Phương trình chuyển động
Xét hệ trong giai đoạn bình ổn: x(t) = x
2
(t)


Nghiệm riêng của phương trình:
2
( ) sin( )x t X t
ω
= −Φ
Với
( )
2
2
2
2 2
1
; tan
( )
me c
X
k M
k M c
ω ω
ω
ω ω

−
= Φ =
−
− +
 
 ÷
 
Với các ký hiệu
,
c n
c
c
ω
ξ
ω
= Ω =
thì ta có:
( )
3
2
2
1
; tan
2
2
1
2 2
1 (2 )
MX
M

me
ξ
ξ
Ω
=
Ω
−
= Φ =
− Ω
− Ω + Ω
 
 ÷
 
M
3
được gọi là hệ số biên độ dạng 3.
3. Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Tất cả các đường cong biểu diễn M
3
đều đi qua gốc tọa độ.
- Khi Ω tăng cao thì M
3
→1.
- Khi 0< ξ <
1
2
thì M
3
đạt max khi
2

1
1 2
ξ
Ω =
−
>1

3
2
1
( ax)
2 1
M m
ξ ξ
=
−
- Khi ξ >
1
2
thì M
3
không đạt giá trị (max), nghĩa là M
3
tăng
từ 0 đến 1 khi Ω tăng từ 0→∞
- Cộng hưởng là 1 dao động cưỡng bức khi M
3
đạt max.
+ Điều kiện cộng hưởng:

2
1
;
2
1 2
n
ω
ω ξ
ξ
= 〈
−
+ Tính chất của cộng hưởng:
Biên độ là hữu hạn.
Cộng hưởng là cộng hưởng muộn, tức là ω > ω
n

Đồ thị:
8
Câu 7: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ nhiều bậc tự do bỏ
qua cản: Phương trình vi phân chuyển động, Tần số riêng,
dạng riêng, ma trận dạng riêng, tính trực giao của ma trận
dạng riêng, phương trình chuyển động, tọa độ chính, tọa độ
chuẩn:
Trả lời
1. Phương trình vi phân chuyển động:
Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

0
d L L
dt q q

j j
 
∂ ∂
 ÷
− =
 ÷
∂ ∂
 ÷
 
&
(1)
Trong đó: +
L T= − ∏
- Hàm Lagrange
+ q
j
là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ. (
1,j s=
)
+
j
q
&
là vận tốc suy rộng
+ T - Động năng của hệ
+ Π - Thế năng của hệ
Lập được ptvpcđ:

[ ]
{ }

[ ]
{ } { }
0M q K q+ =
&&
(2)
Trong đó:
[ ] [ ]
M ; K
lần lượt là các ma trận khối lượng và ma
trận độ cứng.

{ }
q
là véc tơ các tọa độ suy rộng.
{ }
1 2

T
n
q q q q=
 
 
2. Tần số riêng
Điều kiện đầu:
0 0
0 ;
i i i i
t q q q q= ⇒ = =
& &
Tìm nghiệm riêng của phương trình có dạng:

{ } { }
sin( )q A t
ω α
= +

[ ] [ ]
{ }
[ ]
2
(2) 0K M A
ω
 
⇒ ⇔ − =
 
(3)
(3) là hệ pt đại số tuyến tính thuần nhất đối với các thành phần
A
1
, A
2
, …A
s
Để (3) không có nghiệm tầm thường thì:
det
[ ] [ ]
2
0K M
ω
 

− =
 
(4)
(4) được gọi là pt tần số (pt đặc trưng của (3)). Đây là pt đại số
thuần nhất bậc “s” đối với ω
2
. Giải (4) sẽ tìm được các nghiệm
ω
1
, ω
2
,…,ω
s
. Các tần số này được gọi là các tần số riêng của hệ.
3. Dạng riêng, ma trận dạng riêng.
ứng với mỗi
2
j
ω
(nghiệm của (4)) ta có phương trình:
{ } { }
1j
2j
j j j j
j j
sj
A
q = A cos(ω t+φ )= cos(ω t+φ )

A

A
 
 
 
 
 
 
 
ω
j
, A
ij
thỏa mãn:
[ ] [ ]
{ } { }
2
0
j
K M A
ω
 
− =
 
(5)

1
2 2
1
1
.

j
j j
j
sj sj
A
A V
A
A V
   
   
   
=
   
   
   
   
;
{ }
ij
ij
1j
A
A
V
 
 
=
 
 

 
- được gọi là véc tơ riêng.
Một véc tơ riêng sẽ mô tả 1 dạng dao động riêng của hệ nên còn
gọi là rạng riêng. Ký hiệu A
1j
= C
j
⇒ Dạng riêng:
{ }
2
j j
j
1
q =C . cos(ω t+φ )

j
j
sj
V
V
 
 
 
 
 
 
 
(có “s” dạng riêng)
* Ma trận dạng riêng: Tập hợp các véc tơ riêng sẽ được 1 ma
trận dạng riêng.

21 22 2
1 2
1 1 1



j
s s sj
V V V
V
V V V
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
4. Phương trình chuyển động.
Dạng riêng thứ j:
{ } { }
j j
j j
q = A cos(ω t+φ )
Đây là một nghiệm của hệ ptvp chuyển động. Các nghiệm q
j

là độc lập
tuyến tính. Tổ hợp các nghiệm này là nghiệm tổng quát của cơ hệ:
⇒ Nghiệm tổng quát:
{ } { }
1
s
j
j
q q
=
=
∑
⇒
1 11 12 1
2 21 22 2
2 3
q q q q
q q q q

q q q q
s
s
s s s ss
= + + +


= + + +


=



= + + +

1 1 1 1 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s
C c t C c t C c t
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
= + + + + + +
2 1 21 1 1 2 22 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s s
CV c t C V c t C V c t
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
= + + + + + +

=
s 1 1 1 1 2 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s ss s s
C V c t C V c t C V c t
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
= + + + + + +
Các giá trị ω
j
được xác định từ phương trình tần số.
V
ij
được xác định từ dạng riêng.

Các hệ số C
j
, ϕ
j
được xác định từ điều kiện đầu.
Nhận xét:
- Nghiệm tổng quát là một lớp “s” chuyển động của hệ theo
từng ω
j
- Từng chuyển động của hệ là hợp của “s” dao động điều hòa.
5. Tính trực giao của các dạng riêng.
Xét phương trình:

[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
0M q K q+ =
&&
(2)
Xét 2 dạng riêng u, r có ω
u
≠ ω
r
- Với ω = ω
u
⇒ dạng riêng tương ứng:
{ } { }
u u
u u

q = A cos(ω t+φ )
- Với ω = ω
r
⇒ dạng riêng tương ứng:
{ } { }
r r
r r
q = A cos(ω t+φ )
Điều kiện trực giao:

{ }
[ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
ir ij
, 1
ir ij
, 1
. .
. .
s
T
ju
r u
i j
s
T
ju

r u
i j
A M A A m A
A K A A k A
=
=

=




=


∑
∑
6. Tọa độ chính
Từ phương trình vpcđ:
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
0M q K q+ =
&&
(2)
Khi ta chọn 1 véc tơ tọa độ suy rộng đặc biệt là
{ }
p
sao cho khi đưa

thêm
{ }
p
vào thì các ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng trở
thành ma trận đường chéo. Khi đó,
{ }
p
được gọi là tọa độ chính.
Dựa vào phép biến đổi:
{ }
[ ]
{ }
q V p=

{ }
[ ]
{ }
q V p⇒ =
&& &&
Thay vào (2)
[ ] [ ]
{ }
[ ] [ ]
{ } { }
0M V p K V p⇒ + =
&&
(6)
Nhân trái (6) với
[ ]
T

V

[ ] [ ] [ ]
{ }
[ ] [ ] [ ]
{ } { }
(6) 0
T T
V M V p V K V p⇔ + =
&&
(7)
[ ] [ ] [ ]
T
V M V
và
[ ] [ ] [ ]
T
V K V
là các ma trận đường chéo.
[ ] [ ] [ ]
11
22
0
0
T
ss
m
V M V m
m
 

 
=
 
 
 
;
[ ] [ ] [ ]
11
22
0
0
T
ss
k
V K V k
k
 
 
=
 
 
 
Suy ra:
11 1 11 1
22 2 22 2
. . 0
. . 0
. . 0
ss s ss s
m p k p

m p k p
m p k p
+ =


+ =


+ =

&&
&&
&&
(8) gồm s phương trình tuyến tính
thuần nhất hệ số hằng. Giải tìm được p
1
, p
2
,…, p
s
{ }
[ ]
{ }
q V p⇒ =
Nhận xét: Khi dùng các tọa độ p
i
để đưa hệ ptvp thành “s” ptvp
đại số độc lập tuyến tính thì p
i
được gọi là véc tơ tọa độ chính.

9
Câu 8: Dao động tuyến tính tự do hệ nhiều bậc tự do có cản nhớt:
phương trình vpcđ và cách tìm phương trình chuyển động.
Trả lời
1. Phương trình vi phân chuyển động
Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

c
j
d L L
Q
dt q q
j j
 
∂ ∂
 ÷
− =
 ÷
∂ ∂
 ÷
 
&
(1)
Trong đó: +
L T= − ∏
- Hàm Lagrange
+ q
j
là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ. (
1,j s=

)
+
j
q
&
là vận tốc suy rộng
+ T - Động năng của hệ
+ Π - Thế năng của hệ
+
c
j
Q
- là lực suy rộng ứng với tọa độ q
j
do lực cản gây ra

c
j
j
R
Q
q
∂
= −
∂
&
;
2
1
1

.
2
n
k k
k
R c V
=
=
∑
- Hàm hao tán Reyleigh
c
k
- phần tử cản thứ k
Lập được ptvpcđ dạng ma trận:

[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
0M q C q K q+ + =
&& &
(2)
2. Cách tìm phương trình chuyển động. Có 2 phương pháp giải:
* Phương pháp 1: giải trực tiếp.
+ Tìm nghiệm riêng dạng:
{ } { }
t
q A e

λ
=

+ Tính
{ } { }
;q q
& &&
và thay vào ptvpcđ, ta được:

[ ] [ ] [ ]
{ } { }
2
0M C K A
λ λ
 
+ + =
 
(3)
+ Để hệ pt (3) có nghiệm không tầm thường thì:

[ ] [ ] [ ]
2
det 0M C K
λ λ
 
+ + =
 
(4)
+ Ta chỉ xét 1 trường hợp nghiệm cho đơn giản:
j j j

i
λ δ ω
= − ±

có véc tơ dạng riêng:
{ } { } { }
j j j
A u i v= ±

Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:
{ }
{ } { }
( )
{ } { }
( )
1
os sin
os sin
j
s
j j j
j j
t
j
j j j
j j
B u c t v t
q e
D u c t v t
δ

ω ω
ω ω
−
=
 
− +
 
=
 
−
 
 
∑
(5)
Với
, ;( 1, )
j j
B D j s=
được xác định từ điều kiện đầu.
Vậy, chuyển động của hệ là hợp của 2 dao động:
+
j
t
e
δ
−
: dao động tắt dần.
+
{ } { }
( )

{ } { }
( )
os sin os sin
j j j j j j
j j j j
B u c t v t D u c t v t
ω ω ω ω
 
− + −
 
:dđđh
* Phương pháp 2: Giải theo phương pháp ma trận dạng riêng.
Có một số cơ hệ mà khi thành lập phương trình vi phân, ta có thể
khai triển thành:

[ ] [ ] [ ]
1 2
C M K
α α
= +
(
1 2
; onstc
α α
=
)
Khi đó, dùng ma trận dạng riêng để giải.
Ta có:
[ ] [ ] [ ]
C M K

β
αω
ω
= +

ω
là 1 tần số quy chiếu tùy ý, sao cho khi đưa vào thì α, β là
các đại lượng không thứ nguyên.
Dùng phép biến đổi
{ }
[ ]
{ }
q V p=
Tính
{ } { }
;q q
& &&
và thay vào
ptvpcđ, rồi nhân trái với
[ ]
T
V
để đưa về dạng:

. . . 0
ii i ii i ii
m p c p k p+ + =
&& &
(6)
Với:

[ ] [ ] [ ]
T
ii
m V M V=

[ ] [ ] [ ]
T
ii
c V C V=


[ ] [ ] [ ]
T
ii
k V K V=
Từ (6) tính được p
i
⇒ tính được
{ }
[ ]
{ }
q V p=
Câu 9: Dao động tuyến tính cưỡng bức hệ nhiều bậc tự do:
phương trình vpcđ và cách tìm phương trình chuyển động.
Trả lời
1. Phương trình vi phân chuyển động
Sử dụng phương trình Lagrange loại II:
- Khi bỏ qua cản:

a

j
d L L
Q
dt q q
j j
 
∂ ∂
 ÷
− =
 ÷
∂ ∂
 ÷
 
&

- Khi có cản:

c a
j j
d L L
Q Q
dt q q
j j
 
∂ ∂
 ÷
− = +
 ÷
∂ ∂
 ÷

 
&

Trong đó:
+
L T= − ∏
là hàm Lagrange (T: động năng; Π: thế năng )
+ q
j
là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ. (
1,j s=
)
+
j
q
&
là vận tốc suy rộng
+
c
j
Q
- là lực suy rộng ứng với tọa độ q
j
do lực cản gây ra
+
a
j
Q
- là lực suy rộng ứng với tọa độ q
j

do các hoạt lực
a
m
F
uuur
gây ra
Hệ phương trình vi phân chuyển động:
- Khi bỏ qua cản:

[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
M q K q F+ =
&&
- Khi có cản:

[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
M q C q K q F+ + =
&& &
2. Cách tìm phương trình chuyển đông
Có hai phương pháp giải:
* Phương pháp 1: giải trực tiếp
Nghiệm tổng quát có dạng:
{ } { }

{ }
*
1
l
m
m
q q q
=
= +
∑


{ }
q
là nghiệm tổng quát của phương trình có vế phải.

{ }
q
là nghiệm tổng quát của phương trình không có vế phải.

{ }
*
q
là các nghiệm riêng ứng với các thành phần hoạt lực F
j
Xác định
{ }
*
q
bằng cách:

- Cách 1: đồng nhất hóa hệ số dựa vào dạng các hoạt lực nếu các
hoạt lực cho dưới dạng hàm điều hòa.
- Cách 1: Dùng tích phân Duhamel nếu các hoạt lực hàm bất kỳ.
* Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi

{ }
[ ]
{ }
q V p=
Chỉ dùng phương pháp này khi ma trận cản có dạng:

[ ] [ ] [ ]
1 2
C M K
α α
= +
Đưa hệ phương trình vi phân chuyển động về dạng:

. . . 0
ii i ii i ii
m p c p k p+ + =
&& &
(*)
Với:
[ ] [ ] [ ]
T
ii
m V M V=

[ ] [ ] [ ]

T
ii
c V C V=


[ ] [ ] [ ]
T
ii
k V K V=
Từ (*) tính được p
i
⇒ tính được
{ }
[ ]
{ }
q V p=
10
Câu 10: Tần số riêng của cơ hệ dao động tuyến tính: Định
nghĩa, tính chất, ý nghĩa, cách tìm:
Trả lời
1. Định nghĩa:
+ Cơ học: Tần số riêng của hệ là các tần số vòng của các dao
động điều hòa tạo nên dao động tự do bỏ qua cản của hệ.
Một hệ dao động có n bậc tự do sẽ có n tần số dao động riêng khác nhau.
+ Toán học: Bình phương của tần số riêng là nghiệm của phương
trình tần số (pt đặc trưng):
[ ] [ ]
2
det 0K M
ω

 
− =
 
2. Tính chất:
-Tính chất 1:
+ Nếu tính cả
1
0
ω
=
là tần số riêng và ω
i
, ω
j
là 2 tần số riêng
thì nếu hệ có s bậc tự do sẽ có s tần số riêng.
+ Khi
1
0
ω
=
thì hệ được gọi là hệ bán xác định (hệ 2 đầu hở)
- Tính chất 2: Giả thiết của các TSR là do kết cấu động lực của
hệ (kết cấu động lực là số các phần tử quán tính, đàn hồi và giá
trị của nó; cách nối các phần tử quán tính với nhau và với giá)
3. Ý nghĩa:
- Tần số riêng không phụ thuộc vào kích động đầu hay thường xuyên, chỉ
phụ thuộc vào động lực của hệ, chỉ đúng với dao động tuyến tính.
- Đây là thông số rất quan trọng của hệ dao động vì quan hệ tần
số riêng với tần số vòng của lực kích động (

n
ω
ω
Ω =
) sẽ quyết
định ứng xử của hệ.
4. Cách tìm:
* Cách 1: Giải phương trình tần số
[ ] [ ]
2
det 0K M
ω
 
− =
 
2 2( 1)
1 1 0
0
s s
s s
b b b b
ω ω ω
−
−
⇔ + + + + =
(*)
Do tính chất đối xứng của
;M K
   
   

nên (*) có nghiệm không
âm. Tức là:
2 2 2
1 2
0
s
ω ω ω
≤ ≤ ≤ ≤
(phổ giá trị riêng)
Tương ứng sẽ là:
1 2
0
s
ω ω ω
≤ ≤ ≤ ≤
(phổ tần số riêng)
* Cách 2: Phương pháp Rayleigh:
- Cơ sở của phương pháp:
Tần số của một hệ bảo toàn đang dao động xung quanh một vị trí
cân bằng có giá trị không đổi trong vùng lân cận của một dạng
riêng. Trên thực tế, giá trị không đổi này chính là giá trị nhỏ nhất
trong lân cận của dạng riêng cơ bản”
- Phương pháp tính:
Động năng và thế năng của một hệ rời rạc n bậc tự do được biểu
thị dưới dạng:
[ ]
1
2
T
T x m x=

& &
(1)
[ ]
1
2
T
x k x∏ =
(2)
Để tìm TSR, chúng ta coi chuyển động là điều hòa:

osx Xc t
ω
=
(3).
Trong đó
X
là véc tơ của các biên độ và
ω
là tần số dao động
riêng. Nếu hệ là bảo toàn thì động năng lớn nhất sẽ bằng thế năng
lớn nhất:
ax axm m
T = ∏
Thay (3) vào (1) và (2) ta được
[ ]
2
ax
1
2
T

m
T X m X
ω
=
[ ]
ax
1
2
T
m
X k X∏ =
Cho
ax axm m
T
= ∏
ta rút ra:
[ ]
[ ]
2
T
T
X k X
X m X
ω
=
* Cách 3: Phương pháp lặp ma trận:
- Giả thiết: phương pháp lặp ma trận thừa nhận rằng các tần số
riêng của hệ là khác nhau và phân bố tách biệt theo trật tự:
1 2

n
ω ω ω
< < <
- Phương pháp:
+ Phép lặp được bắt đầu với việc chọn một véc tơ là giá trị thử cho véc tơ
1
X
+ Nhân trái
1
X
với ma trận động lực
[ ]
D
+ Ma trận cột thu được tiếp đó được chuẩn hóa, thường bằng
cách làm cho một trong số các thành phần của nó bằng đơn vị.
+ Đem véc tơ cột đã được chuẩn hóa nhân trái với
[ ]
D
để nhận
được véc tơ cột thứ 3. Véc tơ cột này lại được chuẩn hóa theo
cách tương tự trên và thu được véc tơ cột được chuẩn hóa khác.
+ Lặp lại quá trình cho đến khi các véc tơ cột chuẩn hóa kế tiếp
hội tụ đến một véc tơ cột chung, đó là véc tơ riêng cơ bản.
- Hệ số chuẩn hóa cho giá trị lớn nhất của
2
1
λ
ω
=
, nghĩa là cho

giá trị nhỏ nhất của
ω
, tức tần số riêng cơ bản.
Cụ thể:
+ Mọi véc tơ n chiều
1
X
đều có thể được biểu thị dưới dạng
một tổ hợp tuyến của n véc tơ trực giao của hệ
( )
( , 1,2,3 )
i
X i n=
:
(1) (2) ( )
1 1 2

n
n
X c X c X c X= + + +
(1)
với
1 2
,
n
c c c
là hằng số và
1
X
chọn tùy ý, đã biết.

( )i
X
chưa
biết song là các véc tơ hằng vì chúng chỉ phụ thuộc vào các tính
chất của hệ. Các hằng
i
c
chưa biết và cần xác định.
+ Theo PP lặp ma trận ta nhân trái véc tơ
1
X
với MT động lực
[ ]
D
[ ] [ ] [ ] [ ]
(1) (2) ( )

1 1 2
n
D X c D X c D X c D X
n
= + + +
(2)
+ Ta có:
[ ] [ ]
1
( ) ( )
;( 1, 2,3 )
2
i i

D X I X i n
λ
ω
= = =
(3)
+ Thay (3) vào (2) ta có:
[ ]
(1) (2) ( )
1 2

1 2
2 2 2
1 2
c c
c
n
n
D X X X X X
n
ω ω ω
= = + + +
(4)
Với
2
X
là véc tơ thử thứ 2.
+ Tiếp tục nhân trái
2
X
với MT động lực

[ ]
D
để nhận véc tơ
thử thứ 3
3
X

[ ]
(1) (2) ( )
1 2

2 3
4 4 4
1 2
c c
c
n
n
D X X X X X
n
ω ω ω
= = + + +
(5)
+ Tiếp tục lặp lại, sau bước thứ r chúng ta nhận được:
[ ]
(1) (2) ( )
1 2

1
2 2 2

1 2
c c
c
n
n
D X X X X X
r
r
r r r
n
ω ω ω
= = + + +
+
(6)
Do các tần số riêng được giả thiết là phân biệt, với
1 2

n
ω ω ω
< < <
,
nên với giá trị r đủ lớn sẽ cho kết quả
2 2 2
1 2
1 1 1

r r r
n
ω ω ω
>> >>

. Lúc đó,
số hạng đầu tiên ở vế phải công thức (6) sẽ trở thành số hạng duy nhất có
ý nghĩa. Vì vậy chúng ta có:
(1)
1
1
2
1
r
r
c
X X
ω
+
=
. Công thức này cho thấy
véc tơ thử (r+1) chỉ khác véc tơ riêng đầu tiên một hệ số nhân.
+ Do
(1)
1
2( 1)
1
r
r
c
X X
ω
−
=
nên chúng ta có thể tìm được TSR cơ bản

1
ω
bằng cách lấy tỉ số của hai thành phần tương ứng bất kỳ trong
các véc tơ
1
,
r r
X X
+
:
,
2
1
, 1
;( 1,2,3 )
i r
i r
X
i n
X
ω
+
= ∀ =
Với
, , 1
,
i r i r
X X
+
theo thứ tự là thành phần thứ I của véc tơ

1
,
r r
X X
+
* Cách 4: Phương pháp Jacobi
* Cách 5: Phương pháp Holzer
* Cách 6: Phương pháp Dunkerlay
11