điều hành dự án bằng phương pháp sơ đồ mạng lưới (phương pháp pert-cpm)

1



ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




PHAN NGUYỄN VIỄN DI






ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ MẠNG LƯỚI
(PHƯƠNG PHÁP PERT-CPM).

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


















Tp.HCM-2009

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Họ tên học viên cao học:
PHAN NGUYỄN VIỄN DI





LUẬN VĂN THẠC SĨ




Tên đề tài: ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ MẠNG LƯỚI
(PHƯƠNG PHÁP PERT-CPM).



Chuyên ngành: LÍ THUYẾT TỐI ƯU VÀ HỆ THỐNG.

Mã số: 60 46 20




Cán bộ hướng dẫn: PGS TS.TRẦN THỊ HUỆ NƯƠNG.

Tp.HCM-2009

3



LỜI MỞ ĐẦU

Lí thuyết toán học về tối ưu được hình thành và phát triển mạnh như một lĩnh vực khoa học quan
trọng từ khoảng giữa thế kỉ thứ hai mươi. Tùy theo dạng các bài toán được nghiên cứu, đặc điểm của
mô hình toán học và công cụ xét chúng hoặc phạm vi áp dụng…, nhiều lĩnh vực khá gần nhau và đan
xen với nhau của lí thuyết được hình thành với các tên gọi khác nhau như :
- Tối ưu hóa (Optimization).
- Qui hoạch toán học ( Mathematical Programming).
- Vận trù học (Operations Research).
- Điều khiển tối ưu (Optimal Control).
- Lí thuyết các bài toán cực trị (Theory of Extremal Problems).
- Phép tính biến phân (Variational Calculus).
- ….

GS.Hoàng Tùy là người chọn thuật ngữ tiếng Việt Vận trù (Operations Research) từ đầu thập niên
60 của thế kỉ hai mươi. Theo đó, Vận trù có nghĩa là vận dụng khoa học mà nền tảng là Toán học để
trù tính mọi việc. Phát triển và ứng dụng thật sự Vận trù đầu tiên là ở nước Anh trong việc dùng ra-đa
phòng không chống tàu ngầm (thời kì chiến tranh thế giới thứ hai). Sau chiến tranh, Vận trù càng phát
triển rộng rãi trong các lĩnh vực rất đa dạng như kinh doanh, quản lí hành chính, xây dựng, quân sự,
chính trị, giáo dục đào tạo,… Vận trù đôi khi được dùng gần như đồng nghĩa với khoa học quản trị
(Management Science) và chọn quyết định (Decision Making). Điểm nổi bật của bài toán Vận trù là
thường nhằm tìm nghiệm tối ưu, tức là chọn quyết định tốt nhất theo một mục tiêu nào đó. Do đó, Vận
trù rất gần với tối ưu hóa, nhưng lại có liên quan đến rất nhiều lĩnh vực khoa học khác như lí thuyết
kinh tế, xác suất thống kê, công nghệ thông tin… Dù vậy, vẫn khẳng định đây là bộ phận của Toán
ứng dụng vì phương pháp và ngôn ngữ Toán học là chủ đạo.

Người viết đã chọn đề tài làm luận văn là Vận trù trong điều hành dự án bằng phương pháp PERT –
CPM. Phương pháp PERT-CPM gồm có ba pha (phase): lập dự án bằng sơ đồ mạng lưới; điều hành dự
án thông qua các chỉ tiêu về thời gian, tài nguyên, chi phí; kiểm tra điều chỉnh dự án so với điều kiện
thực tế.
Luận văn gồm ba chương, trong đó chương cuối là giao diện chương trình điều hành dự án bằng
phần mềm Microsoft Project 2007 với đầy đủ các tính năng cần thiết, có tính trực quan cao, dễ sử dụng.

4

Người viết xin gửi lời biết ơn chân thành đến quí Thầy Cô ở khoa Toán – Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi
trong quá trình ba năm học tập ở bậc cao học.
Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Phó Giáo sư Tiến sĩ Trần Thị Huệ Nương đã tận tình hướng dẫn tôi
trong suốt quá trình làm luận văn. Nhờ đó, tôi đã bổ sung thêm rất nhiều kiến thức hữu ích cho mình.
Xin cám ơn các bạn đồng nghiệp, các bạn học khóa 16 đã cùng học tập và làm việc trong suốt ba
năm qua.
Cuối cùng, người viết rất mong nhận được những góp ý sửa đổi cho các thiếu sót khó tránh khỏi của
luận văn này.

5

CHƯƠNG 1:
LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT CƠ BẢN.

1.1. Lí thuyết đồ thị:
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Người ta phân loại đồ

thị tuỳ theo đặc tính và số các cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị. Nhiều bài toán thuộc những lĩnh
vực rất khác nhau có thể giải được bằng mô hình đồ thị. Chẳng hạn người ta có thể dùng đồ thị để
biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi trường tự nhiên, dùng đồ thị để biểu diễn ai có ảnh
hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó, và cũng có thể dùng đồ thị biểu diễn các kết cục của cuộc
thi đấu thể thao.Hoặc chúng ta cũng sẽ chỉ ra có thể dùng đồ thị để giải các bài toán như bài toán
tính số các tổ hợp khác nhau giữa các chuyến bay giữa hai thành phố trong một mạng hàng không,
hay để giải bài toán đi tham quan tất cả các phố của một thành phố sao cho mỗi phố đi qua đúng
một lần, hoặc bài toán tìm số các màu cần thiết để tô các vùng khác nhau của một bản đồ.
1.1.1. Các loại đồ thị :
c
a b d e a b a b c

f g
i
h j d c f e
Đơn đồ thị Đa đồ thị Giả đồ thị
H.1.1.1.a
Định nghĩa 1.1.1.1 : Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập không rỗng V mà các phần tử của nó
gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh (cung), đó là các cặp không thứ
tự của các đỉnh phân biệt .

Đôi khi có nhiều đường điện thoại giữa các máy tính trong mạng. Đó là khi có sự truyền thông
với cường độ cao giữa các máy tính. Mạng với nhiều đường thoại. Đơn đồ thị không thể mô hình
các mạng như thế này được . Thay vào đó người ta dùng đa đồ thị. Đó là đồ thị gồm các đỉnh và các
cạnh vô hướng, nhưng có thể có nhiều cạnh nối mỗi cặp đỉnh. Đơn đồ thị là một trường hợp riêng
của đa đồ thị.

6

Ta không thể dùng một cặp đỉnh để xác định một cạnh trong đa đồ thị. Định nghĩa đa đồ thị vì

vậy phức tạp hơn một chút.
Định nghĩa 1.1.1.2: Một đa đồ thị G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập các cạnh(cung) E
và một hàm f từ E tới {{u, v}│u, v € V, u ≠ v }. Các cạnh e
1
và e
2
được gọi là song song hay cạnh
bội nếu f(e
1
) = f(e
2
).
Ta không thể dùng đa đồ thị để mô hình các mạng như thế được vì đa đồ thị không chứa các
khuyên, đó là các cạnh nối một đỉnh với chính nó. Khi đó ta phải dùng một loại đồ thị tổng quát
hơn, gọi là giả đồ thị .
Định nghĩa 1.1.1.3 : Một giả đồ thị G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập các cạnh(cung) E
và một hàm f từ E tới {{u, v}│u, v € V }. Một cạnh là một khuyên nếu f(e) = {u } với một đỉnh u
nào đó.
Tóm lại : Giả đồ thị là loại đồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó các khuyên và các cạnh bội. Đa đồ
thị là loại đồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội nhưng không thể có các khuyên, còn đồ thị đơn là
loại đồ thị vô hướng không chứa cạnh bội hoặc các khuyên.
Định nghĩa 1.1.1.4 : Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh (cung có
hướng) E là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V.
Định nghĩa 1.1.1.5 : Một đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh (cung
có hướng) E và một hàm f từ E tới {{u, v}│u, v € V }. Các cạnh e
1
và e
2
được gọi là song song hay
cạnh bội nếu f(e

1
) = f(e
2
).
a
b h a
b
c g
d f d c
e
Đồ thị có hướng Đa đồ thị có hướng
H.1.1.1b





7

Bảng thuật ngữ đồ thị
Loại
Cạnh
Có cạnh bội không ?
Có khuyên không ?
Đơn đồ thị
Đa đồ thị
Giả đồ thị
Đồ thị có hướng
Đa đồ thị có hướng
Vô hướng

Vô hướng
Vô hướng
Có hướng
Có hướng
Không
Có
Có
Không
Có
Không
Không
Có
Có
Có

1.1.2. Thuật ngữ cơ sở :
Định nghĩa 1.1.2.1 : Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G được gọi là liền kề (hay láng
giềng ) nếu {u , v} là một cạnh của G. Nếu e = {u, v} thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và
v. Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của
cạnh {u, v}.

Định nghĩa 1.1.2.2 : Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng
khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Người ta ký hiệu bậc của đỉnh v là deg(v).


Ví dụ 1 : Đồ thị G : b c d


a f e
●

g

Ta có :
deg(a) = 4, deg(b) = 3, deg(c) = 3, deg(d) = 1, deg(e) = 2, deg(f) = 3, deg(g) = 0.
Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập. Từ đó suy ra đỉnh cô lập không nối với bất kỳ đỉnh nào.
Đỉnh g trên đồ thị G trong Ví dụ 1 là cô lập. Một đỉnh gọi là treo (móc) nếu và chỉ nếu có bậc bằng
1. Do vậy đỉnh treo liên kề (nối) với đúng một đỉnh khác, đỉnh d trên đồ thị G trong Ví dụ 1 là một
đỉnh treo.



8

Định lý 1.1.2.1 : (Định lý bắt tay)
Cho G = (V, E) là một đồ thị vô hướng có e cạnh. Khi đó:

2 deg( )
vV
ev
∈
= Σ


(Định lý này đúng cả khi đồ thị có cạnh bội hoặc các khuyên )
Định lý 1.1.2.2 : Một đồ thị vô hướng có một số chẵn các đỉnh bậc lẻ.
Định nghĩa 1.1.2.3 : Khi (u, v) là cạnh của đồ thị có hướng G, thì u được gọi là nối tới v, và v được
gọi là được nối từ u. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cạnh (u, v). Đỉnh đầu và
đỉnh cuối của khuyên là trùng nhau.
Định nghĩa 1.1.2.4 : Trong đồ thị có hướng bậc – vào của đỉnh v ký hiệu là deg
-

(v) là số các cạnh
có đỉnh cuối là v. Bậc – ra của đỉnh v ký hiệu là deg
+
(v) là số các cạnh có đỉnh đầu là v.
(chú ý: một khuyên tại một đỉnh sẽ góp thêm 1 đơn vị vào bậc – vào và 1 đơn vị vào bậc – ra của
đỉnh này).
Ví dụ 2 : Đồ thị H dưới đây có :
deg
–
(a) = 2, deg
–
(b) = 2, deg
–
(c) = 3, deg
–
(d) = 2, deg
–
(e) = 3, deg
–
(f) = 0.
deg
+
(a) = 4, deg
+
(b) = 1, deg
+
(c) = 2, deg
+
(d) = 2, deg
+

(e) = 3, deg
+
(f) = 0.


a b c

e d ● f

Định lý 1.1.2.3 : Gọi G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó
deg ( ) deg ( )
vV vV
v vE
−+
∈∈
Σ=Σ=

Một số tính chất của đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng của các cạnh của nó. Do đó, sẽ
có lợi hơn khi ta lờ đi các hướng này. Đồ thị vô hướng nhận được bằng cách này được gọi là đồ thị vô
hướng nền. Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng nền của nó có cùng số cạnh.
Định nghĩa 1.1.2.6 : Đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị H = (W, F) trong đó W
⊂
V,F
⊂
E.
Định nghĩa 1.1.2.7 : Hợp của hai đồ thị đơn G
1
= (V
1
, E

1
) và G
2
= (V
2
, E
2
) là một đồ thị đơn có tập
các đỉnh là V
1
∪
V
2
là tập các cạnh là E
1
∪
E
2
. Ta ký hiệu hợp của các đồ thị G
1
và G
2
là G
1
∪
G
2
.

9

1.1.3. Tính liên thông:
Định nghĩa 1.1.3.1: Đường đi độ dài n từ u tới v, với n là một số nguyên dương, trong một đồ thị
vô hướng là một dãy các cạnh e
1
, e
2
, , e
n
của đồ thị sao cho f(e
1
) = {x
0
, x
1
}, f(e
2
) = {x
1
, x
2
},…,
f(e
n
) = {x
n-1
, x
n
}, với x
0

= u và x
n
=v. Khi đồ thị là đơn ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các đỉnh
x
0
, x
1
, …., x
n-1
. Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh quá một lần.
Định nghĩa 1.1.3.2: Đường đi độ dài n , với n nguyên dương , từ u với v trong đa đồ thị có hướng
là dãy các cạnh e
1
, e
2
,…, e
n
của đồ thị sao cho (e
1
) = {x
0
, x
1
}, f(e
2
) = {x
1
, x
2
},…, f(e

n
) = {x
n-p
,
x
n
},với x
0
= u và x
n
= v. Khi không có cạnh bội trong đồ thị ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các
đỉnh x
0
, x
1
, …., x
n
. Đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh được gọi là một chu trình.
Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh quá một lần.
Định nghĩa 1.1.3.3: Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh
phân biệt của đồ thị.
Ví dụ 3: a b a b

Đồ thị G e Đồ thị H

liên thông c c không liên thông.
f d d f

g h
Định lý 1.1.3.1: Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị vô hướng liên thông luôn có đường đi

đơn.
Đôi khi, việc xoá đi một đỉnh và tất cả các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra một đồ thị con mới có
nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị xuất phát. Các đỉnh như thế gọi là các đỉnh cắt hay các
điểm khớp. Việc xoá đỉnh cắt khỏi một đồ thị liên thông sẽ tạo ra một đồ thị con không liên thông.
Hoàn toàn tương tự, một cạnh mà khi ta bỏ nó đi sẽ tạo ra một đồ thị có nhiều thành phần liên thông
hơn so với đồ thị xuất phát được gọi là một cạnh cắt hay một cầu.
Ví dụ 4: a d f g

Đồ thị G

b c e h

10

Đỉnh cắt của đồ thị G là : đỉnh b, c ,e . Khi xóa một trong 3 đỉnh này (và các cạnh nối với nó ) sẽ
làm mất tính liên thông của đồ thị G .
Các cạnh cầu là : {a,b}, {c,e} vì khi xóa một trong 2 cầu này sẽ làm đồ thị G mất tính liên thông.
Định nghĩa 1.1.3.4 : Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh nếu có đường đi từ a tới b và từ b tới a
với mọi đỉnh của a và b của đồ thị.
Trong đồ thị có hướng liên thông mạnh luôn tồn tại dãy các cạnh có hướng từ một đỉnh bất kì đến
một đỉnh bất kỳ khác của đồ thị. Đồ thị có hướng có thể không là liên thông mạnh nhưng vẫn còn
liên thông theo một nghĩa nào đó. Để xác định chính xác điều này, ta có định nghĩa 5 sau:
Định nghĩa 1.1.3.5 : Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu nếu có đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ
của đồ thị vô hướng nền.
Do vậy đồ thị có hướng là liên thông yếu nếu và chỉ nếu luôn tồn tại đường đi giữa hai đỉnh khi ta
không quan tâm tới hướng của các cạnh. Rõ ràng mọi đồ thị có hướng liên thông mạnh cũng là đồ
thị liên thông yếu.
Ví dụ 4 : a b a b
c c

e d e d

Đồ thị có hướng G Đồ thị có hướng H
liên thông mạnh không liên thông mạnh
(nhưng liên thông yếu )
1.2. Lí thuyết xác suất :
1.2.1.Các khái niệm cơ bản:
1.2.1.1.Đại số các biến cố ngẫu nhiên:
Trong các hiện tượng xảy ra xung quanh, ta có thể phân thành hai loại :
+ Hiện tượng tất yếu: có tính chất đặc trưng là nếu xảy ra trong cùng điều kiện thì chúng cho các kết
quả giống nhau.
+ Hiện tượng ngẫu nhiên: có tính chất đặc trưng là dù có xảy ra trong cùng điều kiện thì chúng vẫn có
thể cho kết quả khác nhau.
Ví dụ : Gieo hạt xúc xắc, số nút xuất hiện ( từ 1 đến 6) là ngẫu nhiên (còn gọi là biến cố ngẫu nhiên).
Các biến cố (ngẫu nhiên) luôn liên quan đến 1 phép thử nào đó. Mỗi phép thử lại liên quan đến một tập
hợp các kết quả có thể xảy ra. Khi xét một biến cố nào đó, ta cần quan tâm: với kết quả nào của phép
thử thì biến cố xảy ra (hoặc không xảy ra).

11

Ta trang bị một cấu trúc đại số cho các biến cố ngẫu nhiên như sau:
Cho A,B,C là các biến cố ngẫu nhiên liên quan đến một phép thử F.Ta có các định nghĩa :
i) A = B (A, B đồng nhất) : A và B cùng xảy ra (hoặc cùng không xảy ra), với mỗi kết quả của
phép thử F.
ii) Biến cố đối của A, kí hiệu là A
c
, được đặc trưng bởi tính chất sau: trong phép thử F, A và A
c

không cùng xảy ra.

iii) A
∩
B (hay AB): biến cố chỉ sự đồng thời xuất hiện của A và B.
iv)
∅
: là biến cố chỉ sự không thể xuất hiện trong F.
v) AB =
∅
: A và B gọi là xung khắc.
vi) A
∪
B : là biến cố chỉ sự xuất hiện ít nhất của 1 trong 2 biến cố A, B.(Khi A.B =
∅
thì ta viết
A+B thay A
∪
B.)
vii)
Ω
: là biến cố chỉ sự chắc chắn xuất hiện trong F.
viii) A
⊂
B: nếu sự xuất hiện của A luôn kéo theo sự xuất hiện của B.
ix) A \ B = AB
c
.
x) Họ biến cố { B
1
,B
2

…,B
n
} là đầy đủ, nếu chúng xung khắc đôi một và
1
n
i
i
B
=
= Ω
Σ
.
Các tính chất :

C
) suy ra B=A.
A.A=A
ii)AB=BA
(AB)C=A(BC)
iii)A .
(A ) ( )
)
A\
)
).
)A ( ) ( )(A )
)A(B )
)( )
(A )
)

C
CC
CCC
C CC
iA B
BBA
B CA BC
iv A A
A
AB
vi A B
BA
vii A B B A
viii BC A B C
ix C AB AC
x AB A B
B AB
xi A B
=
∪=∪
∪∪=∪∪
+=Ω
= Ω
⊂

= ⇔

⊂

⊂⇔ ⊂

∪=∪∪
∪= ∪
= ∪
∪=
∪=
C
A BA+


12

1.2.1.2.Định nghĩa đại số và
σ
- đại số:
Tập A gọi là đại số Boole (hay trường), nếu thỏa điều kiện sau :
i) A,B
⊂
A tồn tại AB
⊂
A gọi là tích của A và B, tồn tại A
∪
B
⊂
A gọi là hợp của Avà B.
ii) Với mỗi A
⊂
A tồn tại A
c

⊂

A, gọi là đối của A.
iii)
,Ω∅

⊂
A.
iv) Với mọi A,B,C
⊂
A, các phép toán sau thỏa :
iv.1) AA=A, AB=BA, (AB)C=A(BC).
iv.2) A
∪
A=A, A
∪
B=B
∪
A, (A
∪
B)
∪
C=A
∪
(B
∪
C).
iv.3) A(B
∪
C)=AB
∪
AC, A

∪
BC=(A
∪
B)(A
∪
C).
iv.4) A.A
C
=
∅
, A
∪
A
C
=
Ω

iv.5) A
Ω
=A, A
∪
Ω
=
Ω

iv.6) A
∅
=
∅
, A

∪
∅
= A .
Đại số Boole được gọi là
σ
-đại số nếu nó đóng kín với phép lấy hợp đếm được hay với phép giao đếm
được.
1.2.1.3.Liên hệ giữa đại số các biến cố và đại số các tập hợp :
Định lí 1.2.1.3: (định lí Stone)
Mỗi đại số các biến cố có một đại số các tập hợp đẳng cấu với nó.
Ví dụ 1: Cho phép thử F : gieo hai xúc xắc đồng chất .Khi đó
Ω
={(e
i
,e
j
), i=
1, 6
}, với (e
i
,e
j
) là biến cố
:” xúc xắc 1 xuất hiện nút i, xúc xắc 2 xuất hiện nút j ”.
Ta xét biến cố A:” tổng số nút của 2 xúc xắc xuất hiện là 7 “, thì A có dạng :
A = {(e
1
,e
6
), (e

2
,e
5
), (e
3
,e
4
), (e
4
,e
3
), (e
5
,e
2
), (e
6
,e
1
)} hay A= (e
1
,e
6
)+(e
2
,e
5
)+(e
3
,e

4
)+(e
4
,e
3
)+(e
5
,e
2
)+(e
6
,e
1
)
Các biến cố (e
i
, e
j
), i=
1, 6
, gọi là các biến cố sơ cấp
Biến cố A gọi là biến cố phức hợp.
1.2.2.Hệ tiên đề Kolmogorov:
i) Tồn tại tập
Ω≠∅
gọi là không gian biến cố sơ cấp.Mỗi
ω
∈Ω
được gọi là biến cố sơ cấp.
ii) Tồn tại

σ
-đại số A các tập con của
Ω
. Mỗi A thuộc A được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
iii) Mỗi A thuộc A có một số thực P(A)
≥
0 gọi là xác suất của A.
iv)P(
Ω
)=1.
v)Nếu {A
i
, i
≥
1} là họ vô hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi một xung khắc thì :

11
( ) ()
ii
ii
P A PA
∞∞
= =
=
ΣΣ
(tiên đề
σ
-cộng tính)

13

Bộ ba (
Ω
,A,P) được gọi là không gian xác suất.
1.2.3.Tính chất của xác suất:
*Định lí 1.2.3.1:
Trong không gian xác suất (
Ω
,A,P), ta có :
i) P(
∅
)=0
ii) Nếu {A
i
, i =
1, n
} là họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi một xung khắc thì :

11
( ) ()
nn
ii
ii
P A PA
= =
=
ΣΣ
(tính cộng tính)
Chứng minh:
i)Vì

∅∈
A , nên
()0P ∅≥
(theo tiên đề Kolmogorov).
Xét họ {A
i
=
∅
,i=1,2…,n,…}, thì :
1
( ) ()
i
i
PA P
∞
=
= ∅
Σ

Vậy
()0P ∅=
.
ii)Xét họ biến cố {A
1
, A
2
,…, A
n
, A
n+1

=
∅
, A
n+2
=
∅
,…}từng đôi một xung khắc, thì :

1111
( ) ( ) () ()0
nn
iiii
iiii
P A P A PA PA
∞∞
= = = =
= = = +
ΣΣΣΣ
(đpcm)
*Định lí 1.2.3.2:
Cho A,B là các biến cố ngẫu nhiên bất kì .Khi đó :

C
)( ) () () ( )
) A B P(A) P(B)
iii)0 P(A) 1
P(A ) 1 ( )
iPA B PA PB PAB
ii
PA

∪= + −
⊂⇒ ≤
≤≤
= −

Chứng minh :
i)A,B
∈
A , nên A
∪
B
∈
A, ta có :
A
∪
B=A+BA
c
, suy ra : P(A
∪
B)= P(A)+P(BA
c
).
Mặt khác : B=AB+A
c
B , suy ra : P(A
c
B)= P(B) – P(AB).
Do đó : P(A
∪
B)= P(A)+ P(B) – P(AB).

ii)A
⊂
B,suy ra: B = A + BA
c
.
Do đó : P(B) = P(A) + P(BA
c
)
≥
P(A).
iii)Ta có :
0 () ()PA P≤ ≤Ω
(theo ii)).


14

Mà :
()P Ω
=1 ( tiên đề Kolmogorov).
Và : A + A
c
=
Ω
.
Vậy: P(A
c
) = 1 – P(A). (đpcm)
*Định lí 1.2.3.3:
Trong không gian xác suất (

Ω
,A,P), cho biến cố ngẫu nhiên {A
i
, i
≥
1} thỏa :
12
1
)
)
n
k
k
iA A A
ii A
∞
=
⊃ ⊃⊃
= ∅


Khi đó :
( ) (n )
n
PA O→ →∞
.
Chứng minh:
Ta có :
1
( )( ) (theo i),ii))

kkkk
k kn kn kn
AAAA
∞
= <≥ ≥
= = = ∅
  

Mà :
1
c
n k kk
kn
kn
A A AA
+
≥
≥
= +
∑

Suy ra :
11
()() ()0 ()
cc
n k kk kk
kn kn
kn
PA P A PAA PAA
++

≥≥
≥
=+=+
∑∑

Khi n
→∞
thì
1
()
c
kk
kn
PAA
+
≥
∑
0→
vì là phần dư của chuỗi hội tụ.
Vậy:
( ) (n )
n
PA O→ →∞
(đpcm).
*Hệ quả 1.2.3.4:
i) Nếu {B
n
, n
≥
1} là họ các biến cố thỏa

1
1
.1)
.2)
nn
n
n
iB B
i BB
+
∞
=
⊂⊂
=


thì:
( ) ( ) (n )
n
PB PB→ →∞
.
ii) Họ biến cố ngẫu nhiên {C
n
, n
≥
1} thỏa:

12
1

.1)
.2)
n
n
n
ii C C C
ii C C
∞
=
⊃ ⊃⊃
=


Khi đó :
( ) ( ) (n )
n
PC PC→ →∞

Định lí 1.2.3.3, và hệ quả 1.2.3.4 chỉ ra tính liên tục của độ đo xác suất .

15

1.2.4.Sự độc lập ngẫu nhiên:
Giả sử B là lớp tùy ý các biến cố ngẫu nhiên (B
⊂
A).Ta nói lớp B độc lập nếu xác suất của một giao
hữu hạn bất kì các biến cố trong B bằng tích xác suất của các biến cố đó.
Ví dụ 2:
i) B
1

={A,B} độc lập
⇔
P(AB)=P(A).P(B)
ii) B
2
={A,B,C} độc lập
⇔

( ) ()()
( ) ()()
( ) ()()
( ) ()()()
PAB PAPB
PAC PAPC
PBC PBPC
P ABC P A P B P C
=


=


=


=


1.2.5.Phân phối xác suất:
1.2.5.1.Biến ngẫu nhiên :

Trong không gian xác suất (
Ω
, A, P), R=
(,)−∞ +∞
là đường thẳng thực với
σ
-đại số các tập Borel
B. Ánh xạ X:
Ω→ℜ
được gọi là biến ngẫu nhiên nếu
B∀∈
B, X
-1
(B)
∈
A.
Ví dụ 3: Xét phép thử F gieo 3 lần ngẫu nhiên đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi X là số lần sấp trong 3
lần gieo. Khi đó X là biến ngẫu nhiên. Ta xác định X như sau :
Kí hiệu :
S:” đồng xu xuất hiện mặt sấp”
N:” đồng xu xuất hiện mặt ngửa”
Khi đó các biến cố sơ cấp trong
Ω
:

Ω
={SSS, SSN, SNS, NSS, NNS, NSN, SNN, NNN}={w
1
, w
2

…,w
8
}

:
()
ii
X
w Xw
Ω→ℜ


Với X(w
i
) bằng số lần xuất hiện chữ S trong w
i
. (i=1, 2 , 8)
Khi đó:

8
8765
1
, x 0
{w } , 0<x 1
[ ] { , , , } , 1<x 2
\{ } , 2<x 3
, x>3
X x wwww
w
∅≤



≤


<= ≤


Ω≤


Ω





16

1.2.5.2.Hàm phân phối :
Trong không gian xác suất (
Ω
, A, P), cho biến ngẫu nhiên X.Ta gọi hàm thực F(x) xác định bởi hệ
thức: F(x) = F
X
(x) = P[X< x],
xR∀∈
là hàm phân phối (hay phân bố) của X.
ii)Phân phối rời rạc :
Ta định nghĩa: biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối rời rạc nếu miền giá trị của X là tập hữu hạn

hay đếm được. (Khi đó ta nói X là biến ngẫu nhiên rời rạc.)
Theo định nghĩa trên thì Im(X) = { x
i
, i
∈
I} với I là tập con của N.
f(x) = f
X
(x) = P[X=x] =
i
i
[ ] , x = x
0 , x x i I
i
PX x=


≠ ∀∈

gọi là hàm mật độ (rời rạc) của X.
Ví dụ 4: Trong ví dụ 3, ta có bảng (phân phối) sau :



Khi đó : giá trị hàm phân phối tại x = 2,38 là :
F(2,38) =
1
8
+
3

8
+
3
8
=
7
8
là tổng các giá trị P
i
ở bên trái điểm x = 2,38.
ii)Phân phối liên tục tuyệt đối :
Ta định nghĩa hàm F(x) là liên tục tuyệt đối trên [a, b], nếu :
0, 0
εδ
∀> ∃>
sao cho mọi hệ hữu hạn
bất kì các khoảng không giao nhau (a
1
, b
1
), (a
2
, b
2
),…, (a
n
, b
n
) thỏa :

11
( ) () ()
nn
kk k k
kk
b a fb fa
δε
= =
− <⇒ − <
∑∑

Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối F(x) của X liên tục tuyệt
đối trên R. Khi đó ta có tính chất sau :
Tồn tại hàm f(x)
0, xR≥ ∀∈
thỏa : F(x) =
()
x
f t dt
−∞
∫
,
xR∀∈
.(định lí E.Shylov)
Ta gọi f(x) là hàm mật độ của X:
()
()
dF x
fx
dx

=
(hầu khắp nơi).
Ví dụ 5: X là biến ngẫu nhiên có hàm F(x) liên tục tuyệt đối cho bởi:

1 ,0
()
0 , 0
ax
ex
Fx
x
−

−≥
=

<

với a hằng số dương.
Thì
,0
()
0 , 0
ax
ae x
fx
x
−

≥

=

<

.
x
0 1 2 3
P[X=x]

1
8

3
8

3
8

1
8


17

1.2.5.3.Kì vọng - Phương sai:
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc, với miền giá trị {x
i ,
i
∈
I}, nếu

[ ].
ii
iI
Px x x
∈
=
∑
hữu hạn thì nó được
gọi là kì vọng của X, kí hiệu EX ( X Expect).
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối trên [a,b], nếu
( ).
b
X
a
f x x dx
∫
hữu hạn thì nó được gọi là
kì vọng của X, kí hiệu EX ( X Expect).
Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kì vọng là EX, thì nếu tồn tại E(X-EX)
2
thì ta gọi đó là phương sai
(Variance) của X, kí hiệu
2
σ
. Khi đó
σ
gọi là độ lệch chuẩn ( Standard Deviation) của X.
Một cách khái quát (hiểu theo nghĩa xác suất) thì kì vọng chính là giá trị trung bình, còn độ lệch chuẩn
chính là trung bình giá trị tuyệt đối độ lệch của các giá trị so với EX.
1.2.5.4. Phân phối liên tục tuyệt đối thường gặp :

i)Phân phối chuẩn:
Hầu như chắc chắn, phân phối được nhiều người biết đến nhất và sử dụng nhiều nhất chính là phân
phối chuẩn (Normal Distribution). Phân phối này phù hợp với nhiều đặc trưng của con người như chiều
cao, cân nặng, tốc độ, chỉ số thông minh (IQ), thành tích học tập, triển vọng tuổi thọ,…. Như bản sao
của con người thì các sinh vật khác như cây, động vật, côn trùng,… cũng có nhiều đặc trưng tuân theo
(một cách xấp xỉ) phân bố chuẩn.

EX X

Hàm mật độ của phân phối chuẩn (còn gọi là đường cong chuẩn: normal curve)
Nhiều giá trị biến số dùng trong kinh doanh và ngành công nghiệp cũng có phân bố chuẩn.Ví dụ : chi
phí hàng năm của bảo hiểm nhà, chi phí trên đơn vị diện tích ( square foot) cho việc thuê không gian
nhà xưởng, các chỉ tiêu sản xuất của máy móc…
Vì có nhiều ứng dụng như vậy, nên phân bố chuẩn là phân bố cực kì quan trọng. Nó được phát minh
đầu tiên bởi nhà toán học và thiên văn học Karl Gauss(1777-1855). Ông nhận thấy rằng sai số trong
việc lặp lại các phép đo một đại lượng nào đó sẽ tuân theo phân bố chuẩn.Vì vậy phân bố chuẩn còn
gọi là phân bố Gauss hay đường cong sai số chuẩn. Kế đến, phân bố chuẩn được mở rộng thêm bởi
Pierre-Simon de Laplace(1749-1827). Tuy nhiên, ngày nay, người ta cho rằng Abraham de Moivre

18

(1667-1754) , nhà toán học người Pháp, là người đầu tiên trình bày trọn vẹn về phân phối chuẩn. Ông
định nghĩa phân bố nhị phân, gần đúng với phân bố chuẩn. Bảng giá trị của đường cong chuẩn được
ông phát hành lúc đó chỉ là vài phần trăm so với bảng giá trị ngày nay.
Phân phối chuẩn có các đặc trưng sau :
-là phân phối liên tục tuyệt đối.
-là phân phối đối xứng.
-tiệm cận với trục X.
-là một họ đường cong.
-toàn vùng dưới đường cong chuẩn có xác suất bằng 1.

-Hàm mật độ của phân bố chuẩn phụ thuộc 2 tham số : EX và
σ
. Giá trị của EX và
σ
tạo nên phân
phối chuẩn khác nhau.
f(x) =
2
1
.
2
1
.
2
x EX
e
σ
σπ
−

−



Ví dụ 6: 3 đường cong chuẩn sau tương ứng với 3 cặp tham số:
i)EX=50 ,
σ
= 5 .
ii) EX=80,
σ

= 5.
iii)EX=50,
σ
= 10.

σ
=5
σ
=5





σ
=10



50 80 X
Tất cả các phân bố chuẩn đều có thể chuyển về cùng phân bố (phân bố Z) bằng cách đổi biến : Z=
x EX
σ
−
. Khi đó, x - EX = Z.
σ
, tức là Z bằng số lần của độ lệch chuẩn của x so với kì vọng:

19



-Z.
σ
+ Z.
σ


EX X
Thay biến Z vào hàm mật độ tương ứng của phân phối chuẩn, ta được phân phối Z, là phân phối
chuẩn với EX=0,
σ
=1. Khi đó, những giá trị x tại EX thì có 0 độ lệch chuẩn so với EX. Những giá trị
x có 1 độ lệch chuẩn thì nằm ở trên EX,và có Z= +1.
Phân phối Z được cho bởi bảng A1 (xem phần phụ lục).
Bây giờ ta xét vài ví dụ để làm rõ cách tính phân bố xác chuẩn (thông qua phân bố Z):
Ví dụ 7: ta xét giá trị xác suất về điểm của bài test về phân cấp độ năng khiếu quản lí (GMAT). Đây là
test của dịch vụ kiểm định giáo dục (ETS) ở Princeton, New Jersey, và nó được dung rộng rãi trong các
trường chuyên ngành kinh doanh như là điều kiện đầu vào.Cho rằng điểm số bài test là phân bố chuẩn,
thì ta có thể tính xác suất điểm có thể đạt được, dựa trên sự biến thiên trong khoảng giữa điểm cao
nhất và thấp nhất trong tất cả bài test. Vài năm gần đây, GMAT có EX=494 ,
σ
=100. Ta có thể tính
xác suất điểm ngẫu nhiên của GMAT trong khoảng từ EX đến 600 như sau :
Ta có : Z=
600 494
1.06
100

x EX
σ
−−
= =

Tra bảng A1 , ta được số : .3554 , tức là xác suất có điểm ngẫu nhiên trong khoảng
[EX , 600] là: P [EX< X < 600 EX = 494 ,
σ
=100 ] = 35,54%.

.5
.3554

494 600
( Z=0 Z=1.06)

Ví dụ 8: vẫn là ví dụ trên, ta tính P [ X < 400 EX = 494 ,
σ
=100 ] = ?
Ta có : Z =
400 494
0.94
100
x EX
σ
−−
= = −

Do tính đối xứng của phân phối chuẩn, nên xác suất ứng với Z = - 0.94 bằng xác suất
Z= 0.94 .Vậy :

20

P [ 400 < X < 494 ] = .3264
Mà : P [ X < 494 ] = .5
Vậy : P [ X < 400 EX = 494 ,
σ
=100 ] = .5 - .3264 = .1736 ( =17.36%)



.3264
.1736
400 494

ii) Phân phối beta: (beta distribution)

Xác định bởi hàm mật độ :
f(x)
11 11
() 1
(1 ) (1 )
()() (, )
xx xx
B
αβ αβ
αβ
α β αβ
−− −−
Γ+

= −= −
ΓΓ
,
01x≤≤

Với:
,
αβ
: tham số

1
0
()
t
t e dt
α
α
+∞
−−
Γ=
∫
: hàm đặc biệt gamma.

1
11
( , ) (1 )
o
B t t dt
αβ
αβ

−−
= −
∫
: hàm đặc biệt beta.
Chú ý : Khi u thuộc [ a,b] có phân bố beta, thì ta đổi biến u = a + (b-a)x để có được hàm mật độ
f(u).













21


CHƯƠNG 2:
ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PERT-CPM.

Dự án (project) là một tập hợp các công việc (task) có liên quan trực tiếp đến một số kết quả chủ yếu
và đòi hỏi một giai đoạn thời gian để hoàn tất. Các công việc này (còn gọi là các hoạt động-activity)
được thực hiện theo một thứ tự nhất định cho đến khi hoàn thành toàn bộ chúng. Ngoài yếu tố thời
gian,các công việc còn chịu sự chi phối bởi hai nhân tố khác:
Chi phí : gồm các chi phí tài nguyên (Resource) như nhân lực, thiết bị, nguyên vật liệu, để hoàn

thành công việc.
Mục đích: thực hiện công việc và kế hoạch hoàn thành chúng.
Trước kia, để lập kế hoạch cho dự án, người ta thường dùng các cách sau:
* Biểu đồ Gantt (Gantt bar chart)
:
Do nhà bác học Gantt phát minh năm 1917. Theo biểu đồ này, thứ tự và thời gian thực hiện các công
việc thể hiện bằng một đồ thị gồm các đường kẻ ngang, gồm ba phần :
+Phần thứ nhất: là cột thông tin, kèm theo danh mục công việc, được thể hiện theo thứ tự diễn tiến
các công việc.
+Phần thứ hai: biểu đồ các công việc, gồm các đoạn thẳng nằm ngang ( liên tục, hay gián đoạn)
tương ứng với từng công việc, biểu thị điểm khởi công và kết thúc.
+Phần thứ ba: biểu đồ tài nguyên (nhân lực, máy ,vật liệu …).
Ưu điểm phương pháp này :
+Đơn giản, dễ nhìn, dễ hiểu, dễ kiểm tra.
+Thể hiện trình tự công việc và một phần mối liên hệ các công việc.
Nhược điểm phương pháp này :
+Không thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau, nên dễ dẫn đến sự chồng chéo khi tiến hành.
+Không cho biết công việc ảnh hưởng quyết định tới tiến độ thực hiện.

22



Biểu đồ tài nguyên
*Biểu đồ xiên

: (còn gọi là Xyklôgram)
Do Butnhicop (Liên Xô) tìm ra. Cấu tạo của nó giống như biểu đồ Gantt nhưng tiến trình công việc
được thể hiện bằng những đường xiên.
Ưu điểm :

+Dễ kiểm tra sự chồng chéo giữa các công việc, thể hiện tính chu kì (trong sản xuất).
+Áp dụng được cho các công trình chia được phân đoạn.
Nhược điểm :
+Không trực quan(phải ghép lại mới biết tên công việc).
+Không cho biết công việc ảnh hưởng quyết định tới tiến độ thực hiện.
Sơ đồ xiên
Cả 2 cách lập kế hoạch trên đều không thể áp dụng được cho các dự án lớn (large – scale project),
đòi hỏi lập kế hoạch (planning), điều hành ( scheduling) và kiểm tra (controlling)-điều chỉnh một cách
hệ thống và hiệu quả , thậm chí phải tối ưu hoá hiệu quả (về thời gian và tài nguyên). Vì vậy, gần như

23

đồng thời vào năm 1956-1958, hai phương pháp kế hoạch, điều hành và kiểm tra-điều chỉnh dự án đã ra
đời. Phương pháp đường găng và phương pháp đường tới hạn (CPM:Critical Path Method), được E.I
du Pont de Nemous và công ty xây dựng của ông đề xuất. Phương pháp thứ hai có tên là Kỹ thuật xem
xét và đánh giá dự án ( PERT:Project Evaluation and Review Technique) là kết quả nghiên cứu của
một công ty tư vấn theo đặt hàng của hải quân Mỹ, dùng để điều hành các hoạt động nghiên cứu và
phát triển chương trình tên lửa đối cực. Hai phương pháp được hình thành độc lập nhưng rất giống
nhau , cùng nhằm vào mục đích điều hành thời gian là chính. Sự khác nhau chính là trong CPM thời
gian ước lượng cho các hoạt động , được coi là không đổi ,hay tất định (deterministic), còn trong PERT
có thể là ngẫu nhiên (probabilistic). Ngoài ra CPM có tính đến quan hệ thời gian và chi phí, còn PERT
tập trung vào thời gian. Ngày nay, khi đã phát triển lên, hai phương pháp được coi là một, dưới một tên
chung là phương pháp điều hành dự án (Project Scheduling Method) hoặc phương pháp điều hành dự
án PERT-CPM, hoặc phương pháp sơ đồ mạng lưới hoặc hệ thống kiểu PERT (PERT – type system).
Nó được dùng để thực hiện rất nhiều kiểu dự án, từ xây dựng, lập trình máy tính, sản xuất phim đến
vận động tranh cử chính trị hoặc các cuộc giải phẫu phức tạp.
Phương pháp điều hành dự án PERT-CPM gồm 3 pha (phase), tức là 3 giai đoạn :
+ Lập kế hoạch.
+ Điều hành.
+ Kiểm tra và điều chỉnh.

2.1.Lập kế hoạch:
Pha này có nội dung là lập một sơ đồ mạng lưới (network diagram hoặc diagram), tương tự 1 đồ thị
có hướng, dựa trên cơ sở là lý thuyết đồ thị. Đầu tiên, dự án được tách thành nhiều hoạt động riêng và
định thời gian hoàn thành cho chúng. Sau đó, tùy theo từng loại sơ đồ mạng, các hoạt động và thời gian
được biểu diễn bằng nút (Node) hay là cung (Arc). Hiện nay, có các cách loại sơ đồ mạng lưới chính
sau :
AOA (Activity On Arc) hay còn gọi là ADM(Arrow Diagramming Method), AON(Activity On
Node) hay còn gọi là PDM (Precedence Diagramming Method).
Ưu điểm :
+ Đặt công việc trên đường vẽ logic, nên chỉ rõ được mối quan hệ logic và liên hệ kĩ thuật giữa các
công việc trong sơ đồ mạng.
+ Thể hiện rõ các công việc găng (công việc then chốt của dự án) và công việc không găng ( công
việc còn dự trữ thời gian và tài nguyên).
+ Cho phép điều chỉnh định kì mà không phải lập lại sơ đồ mạng.
+ Tạo khả năng tối ưu hóa tiến độ của kế hoạch, về thời gian, chi phí và tài nguyên.

24

+ Thuận lợi cho tự động hóa tính toán và điều hành kế hoạch.
2.1.1.Các phần tử của sơ đồ mạng :
+Biến cố (hay sự kiện-event): là mốc đánh dấu sự bắt đầu hay kết thúc của một hay nhiều công việc,
thường thì nó không tiêu hao thời gian hay tài nguyên, thể hiện vị trí cụ thể trên sơ đồ của công việc.
Sự kiện được biểu diễn bằng đường tròn trong đó ghi thứ tự của sự kiện. Người ta cũng có thể ghi vào
trong đường tròn các thông số thời gian.
+Công việc (hoạt động ): là khái niệm chỉ tập hợp các quá trình diễn ra trong dự án,cần tiêu hao thời
gian và tài nguyên.Ví dụ : công việc in tài liệu,đào tạo theo giáo trình, kiểm tra đánh giá công tác đào
tạo…Công việc được thể hiện bằng cạnh (cung có hướng) liền nét nối 2 sự kiện,bên trên ghi thời gian
thực hiện nó (dạng AOA), hoặc hình chữ nhật(cũng có khi là hình tròn) bên trong ghi các thông số thời
gian (AON).
+Công việc giả (công việc mốc -miletones) : đóng vai trò là mối liên hệ phụ thuộc giữa các công việc,

nó không làm tiêu tốn thời gian và tài nguyên.Công việc giả được thể hiện bằng cạnh (cung có hướng)
nét đứt nối 2 sự kiện ( dạng AOA), hay hình (cũng có khi là hình tròn) bên trong ghi thông số
thời gian(AON).
+Đường găng: là đường đi dài nhất từ sự kiện khởi công đến sự kiện hoàn tất dự án. Thời gian thực
hiện đường găng chính là thời gian thực hiện dự án.
+Công việc găng: là các công việc nằm trên đường găng, không có thời gian dự trữ.
2.1.2.Nguyên tắc lập sơ đồ mạng lưới:
2.1.2.1.Dạng AOA:
Biến cố được thể hiện bằng nút, công việc được thể hiện bằng cạnh (cung có hướng) nối 2 biến cố
với nhau.
Các công việc được triển khai theo một hướng nhất định, thường từ trên xuống dưới, bắt đầu từ nút
khởi công đến nút kết thúc dự án. Đánh số tăng dần từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, theo chiều
triển khai công việc.
Không cho phép tồn tại một chu trình trong mạng lưới (đồ thị).
Giữa hai sự kiện trong dạng AOA chỉ có 1 cung nối chúng. Nếu có nhiều công việc nối liền 2 sự kiện
thì phải tạo thêm các nút mới (sự kiện phụ) và các công việc giả.
Ví dụ 1:
Qua sơ đồ mạng lưới ở hình H.2.1a: ta thấy rõ các mối quan hệ giữa các hoạt động về thời gian.
Chẳng hạn hoạt động (6, 8) là trát ngoài- phải sau (4, 6) là lợp mái, nhưng độc lập với (5, 7). Ở đây có
hai hoạt động giả (dummy activity) với thời gian để thực hiện bằng 0 được đưa vào để đảm bảo các quy
tắc xây dựng sơ đồ.

25


● Cung giả (11,12) kí hiệu bởi đường đứt đoạn , đưa vào để đảm bảo quy tắc : không có 2 hoạt động
cùng biến cố bắt đầu và kết thúc, tức là không có 2 cung có cùng gốc và ngọn (tức là đồ thị là đơn) .
Việc sơn tường trong làm sàn có cùng biến cố đầu là nút 9 , tức là biến cố lát ván tường xong, và biến
cố cuối là nút 12 (làm sàn và sơn tường xong, bắt đầu hoàn thiện trong). Do đó ta phải thêm nút 11 là
biến cố giả và cung giả (11, 12).

● Cung giả (5, 8) để chỉ rằng hoạt động (4, 5) phải hoàn thành trước khi bắt đầu hoạt động (8, 10) (nếu
bỏ cung giả này thì thời điểm làm hai việc là độc lập).
Cung giả này phục vụ cho quy tắc sơ đồ mạng lưới phải thể hiện đủ quan hệ thứ tự cần có.

1
khởi công
2 đào móng
2
4
xây móng
3
10
xây tường thô
4 6
lợp mái
đặt 4chỉnh thẳng tường ngoài 6
dây 7 5 0 7 trát ngoài
điện 5 chỉnh thẳng tường trong 8
7 9
sơn ngoài
8
ép ván lát tường 10
9
làm sàn 4 5 sơn tường trong 2 hoàn thiện ngoài
11 0 12 hoàn thiện
6
trong 13
H.2.1a