Giáo trình điều khiển mờ và mạng noron

ĐIỀU KHIỂN MỜ VÀ MẠNG NƠ-RON

09-2020


ii

Mở đầu
Ngày nay trí tuệ nhân tạo AI đang ngày càng được nghiên cứu và ứng dụng mạnh
mẽ trong hầu hết các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, dân dụng và cơng nghiệp. Những
cơng cụ chính của AI bao gồm: mạng nơ-ron, hệ suy luận mờ, giải thuật di truyền
và những phương pháp khác. Hiện tại mạng nơ-ron (mạng sâu - deep networks hay
deep learning) đang là công cụ mạnh và cốt lõi của trí tuệ nhân tạo. Cuốn sách này
được viết nhằm mục đích cung cấp những kiến thức cơ bản về hệ mờ, mạng nơ-ron
và những ứng dụng của chúng trong lĩnh vực Đo lường, Điều khiển tự động và Tự
động hóa. Đây là bản đầu tiên nên cịn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được những
ý kiên đóng góp từ độc giả để cho cuốn sách được hồn thiện hơn. Mọi góp ý xin gửi
về Email : , xin chân thành cảm ơn.


Mục lục
I

HỆ SUY LUẬN MỜ

1 Tập
1.1
1.2
1.3

1

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
hợp
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3

5
6
6
7
7
8
9
9
10
15
19
19
20
22

2 Hệ suy luận mờ
2.1 Biến ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mệnh đề mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mệnh đề NẾU THÌ . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Hệ nhiều mệnh đề mờ . . . . . . . . . . .
2.2.3 Mệnh đề mờ nhiều đầu vào và một đầu ra
2.2.4 Hệ mờ nhiều đầu vào và một đầu ra . . .
2.2.5 Phương pháp cực đại . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

27
27
29
29
31
34
36
38

1.4

1.5

mờ
Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc . . . . . . . . . . . . . . . .
Các phép toán cơ bản trên tập hợp . . . . .
1.3.1 Phép giao của hai tập hợp . . . . . .
1.3.2 Phép hợp của hai tập hợp . . . . . .
1.3.3 Phép bù của tập hợp . . . . . . . . .
1.3.4 Các tính chất của phép giao và phép
Tập mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Các dạng hàm liên thuộc . . . . . .
1.4.3 Một số khái niệm mở rộng . . . . . .
Các phép tính cơ bản trên tập mờ . . . . .
1.5.1 Phép bù của tập mờ . . . . . . . . .
1.5.2 Phép hợp của hai tập hợp mờ . . . .
1.5.3 Phép giao của hai tập mờ . . . . . .

iii


iv

MỤC LỤC

2.3
2.4

2.2.6 Phương pháp điểm trọng tâm . . . . . . . . .
2.2.7 Phương pháp đường phân tích (BISECTOR)
Mơ hình mờ Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ mờ nhiều đầu vào và nhiều đầu ra . . . . . . . .
2.4.1 Mô hình Mamdani . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Mơ hình Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

40
40
42

45
45
46

3 Thiết kế bộ điều khiển mờ
3.1 Quan hệ vào ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Mơ hình mờ Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Quan hệ vào ra của mệnh đề mờ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Quan hệ vào ra của khâu giải mờ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Mơ hình mờ Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Các bước thiết kế bộ điều khiển mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Đặc điểm của hệ mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các bước thiết kế bộ điều khiển mờ . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng cho bài toán xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Xấp xỉ hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Xấp xỉ hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Bộ điều khiển mờ PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Bộ điều khiển mờ tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Bộ điều khiển mờ PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Chỉnh định tham số PID bằng hệ mờ . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Điều khiển mờ thích nghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Điều khiển mờ thích nghi gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Điều khiển mờ thích nghi trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Điều khiển dựa trên mơ hình Sugeno động . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Mơ hình Sugeno động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Phân tích tính ổn định của mơ hình Sugeno động . . . . . . . .
3.6.3 Bộ điều khiển phản hồi trạng thái dựa trên mơ hình Sugeno động

51
51

51
52
52
54
55
55
55
58
58
62
64
64
71
74
77
78
83
85
85
87
89

II

93

MẠNG NƠ-RON NHÂN TẠO

4 Mạng nơ ron
4.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Quá trình phát triển mạng nơ-ron nhân tạo . . . . . . . . . . .
4.1.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95
95
95
96


MỤC LỤC
4.2

4.3

4.4

4.5

v

Nơ-ron nhân tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Mơ hình nơ-ron nhân tạo . . . . . . . . . .
4.2.2 Một số hàm truyền cơ bản . . . . . . . . . .
4.2.3 Nơ-ron nhiều đầu vào . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Lớp nơ-ron . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mạng nơ-ron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Mạng truyền thẳng (Feedforward Networks)
4.3.2 Mạng hồi quy (Recurrent Networks) . . . .
4.3.3 Mạng sâu (Deep Networks) . . . . . . . . .
4.3.4 Mạng xuyên tâm (RBF) . . . . . . . . . . .

Mạng perceptron . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Luật học perceptron . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . .
Thuật toán lan truyền ngược . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

97
97
98
99
100
101
102
102
102
103

104
106
108
110

5 Tối ưu hóa hàm mục tiêu
5.1 Hàm mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Phương pháp hạ sâu nhất . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Hàm mục tiêu dạng toàn phương . . . . .
5.2.2 Tốc độ học tối ưu . . . . . . . . . . . . .
5.3 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Phương pháp Levenberg Marquardt . . . . . . .
5.5 Phương pháp lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Phương pháp chỉnh định Bayes . . . . . . . . . .
5.7 Những vấn đề trong quá trình huấn luyện mạng .
5.7.1 Chuẩn hóa tín hiệu . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Cấu trúc mạng . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Hiện tương overfitting . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

127
127
128
132
133

136
138
141
141
142
142
143
144

6 Mạng sâu
6.1 Mạng tích chập . . .
6.1.1 Lớp tích chập
6.1.2 Lớp dương .
6.1.3 Lớp nhóm . .
6.1.4 Lớp đủ . . .
6.1.5 Lớp softmax
6.2 Một số mạng sâu . .
6.2.1 GoogLeNet .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

147
147
147
150
151
152
152
156
156

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.


vi

MỤC LỤC

6.3

6.2.2 Alexnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Học kế thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 Thuật toán lan truyền ngược
7.1 Mạng nơ-ron động . . . . .
7.2 Nguyên lý học động . . . .
7.3 Thuật toán RTRL . . . . .

cho mạng động
161
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8 Thiết kế bộ điều khiển dựa trên mạng nơ-ron
173
8.1 Nhận dạng đối tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2 Thiết kế bộ điều khiển theo mơ hình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.3 Điều khiển dự báo dùng mạng nơ-ron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9 Công cụ lập trình
9.1 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Một số lệnh cơ bản . . . . . . . . . .
9.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . .
9.2 Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Những ứng dụng của Python . . . .
9.2.2 Một số ví dụ lập trình bằng Python

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

187
187
187
188
188
189
189


Danh sách hình vẽ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20

Tính chất bắc cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc của tập hợp nhiệt độ mát . . . . . . . . . .
Các hàm đặc tính của tập hợp A, B, A ∩ B . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc cho ví dụ 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc cho ví dụ 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc µF (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ về hàm liên thuộc dạng tam giác trong Matlab . . . .
Hàm liên thuộc dạng hình thang . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc hình chng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị của hàm gaussmf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm gauss2mf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc của tập mờ R . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm liên thuộc gaussmf với c = 2 và 0, 3 ≤ a ≤ 0, 6 . . . .
Hàm liên thuộc gaussmf với a = 2 và 0, 3 ≤ c ≤ 0, 6 . . . .
Hàm liên thuộc gaussmf với độ lệch chuẩn giảm dần khi xa
Giá trị của hàm liên thuộc µF¯ (x) tại x = 4 . . . . . . . . .
Đồ thị hàm liên thuộc của tập mờ bù µAc (x) . . . . . . . .
Đồ thị hàm liên thuộc của tập mờ C . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị hàm liên thuộc của tập mờ C = A ∩ B . . . . . . . .

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Các hàm liên thuộc tương ứng với giá trị của biến ngôn ngữ sai

Suy luận mờ với đầu vào rõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suy luận mờ với đầu vào là mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quá trình làm việc của hệ mờ sử dụng hàm suy luận MIN . . .
Quá trình làm việc của hệ mờ khi dùng hàm suy luận PROD .
Đồ thị µR (x0 ; y), µB1 (y) và µB2 (y) . . . . . . . . . . . . . . . .
vii

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
tâm
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
7
8
8
10
10
11
12
12
13
14
16
17
17
18
18
20
21
23

số.
. .
. .
. .
. .
. .

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

28
30
30
33
34
37


viii

DANH SÁCH HÌNH VẼ
2.7
2.8
2.9

Đồ thị µR (x0 ; y), µR1 (y) và µR2 (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Đồ thị µR (x0 ; y) khi sử dụng luật hợp thành SUM-MIN và SUM-PROD 39

Giao diện thiết kế mơ hình mờ Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21

Giao diện công cụ neuroFuzzyDesigner . . . . . . . . . . . . . .
Đầu ra mẫu và đầu ra của hệ mờ . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quan hệ vào ra y(x) của hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . .
Các tập mờ đầu vào . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cửa sổ giao diện mờ trong Matlab . . . . . . . . . . . . . . . .
Giao diện chính của bộ điều khiển mờ tỉ lệ . . . . . . . . . . . .

Giao diện định nghĩa đầu vào ra . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giao diện định nghĩa mệnh đề nếu thì . . . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ hệ thống điều khiển mờ trong Matlab. . . . . . . . . . .
Đáp ứng đầu ra của hệ thống sử dụng bộ điều khiển mờ tỉ lệ. .
Các tập mờ đầu vào được chia đều. . . . . . . . . . . . . . . . .
Đáp ứng đầu ra của hệ thống sử dụng bộ điều khiển mờ tỉ lệ
mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển mờ động . . . . . . . . . . .
Hệ mờ tỉ lệ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đáp ứng đầu ra của hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đáp ứng đầu ra của hệ thống khi có bất định . . . . . . . . . .
Đáp ứng của hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các tham số của bộ điều khiển PID. . . . . . . . . . . . . . . .
Mơ hình con lắc ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Góc nghiêng và góc đặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tín hiệu x(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
với 5
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11

Sơ đồ khối nơ ron nhân tạo . . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ khối một nơ ron nhiều đầu vào . . . . . . . .
Sơ đồ cấu trúc một lớp nơ-ron . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ rút gọn một lớp nơ-ron . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ khối một mạng hai lớp . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ khối mạng hồi quy hai lớp . . . . . . . . . .
Sai số của mạng sâu trong phân loại ảnh . . . . . .
Biểu diễn mẫu vào ra trong mặt phẳng . . . . . . .

Minh họa phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . .
Các véc tơ đầu vào mẫu. . . . . . . . . . . . . . . .
Đáp ứng đầu ra của mạng với bộ tham số ban đầu

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

60
61
63
64
66
67
68
68
69
69
70
70
71
73

73
74
78
78
81
83
86
97
99
101
101
102
103
103
104
108
109
115


DANH SÁCH HÌNH VẼ

ix

4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17

Đáp ứng đầu ra của mạng sau huấn luyện 2000 kỷ nguyên
Giá trị hàm mục tiêu sau mỗi kỷ nguyên huấn luyện . . .
Các đường biên và véc tơ trọng số . . . . . . . . . . . . .
Đầu vào mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các đường biên và véc tơ trọng số . . . . . . . . . . . . .
Đầu vào mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

117
119
120
122
123
124

5.1
5.2
5.3

5.4
5.5

Quỹ đạo trạng thái xk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quỹ đạo trạng thái xk với tốc độ học và điểm đầu khác nhau
Quỹ đạo nghiệm xk và đường đồng mức . . . . . . . . . . . .
Đầu ra mẫu và đầu ra của mạng sau 10 kỷ nguyên . . . . . .
Giá trị hàm mục tiêu sau mỗi kỷ nguyên . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

130
131
135
140
140

6.1
6.2
6.3
6.4

Một số ảnh mẫu . . . . . . . . . . . . . . .
Quá trình huấn luyện mạng . . . . . . . . .
Một hình ảnh ví dụ về phân loại đối tượng.
Kết quả phân loại 4 ảnh ngẫu nhiên. . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

153
154
156
158

7.1
7.2

Đầu vào và đầu ra của nơ-ron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Đầu vào và đầu ra của nơ-ron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14

Nhận dạng hệ thống dùng mạng nơ-ron . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tín hiệu đầu vào mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tạo đầu ra mẫu từ mơ hình trong Simulink . . . . . . . . . . . . . . .
Tín hiệu đầu ra mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu trúc mạng nơ-ron của đối tượng N NP . . . . . . . . . . . . . . .
Giao diện trong quá trình huấn luyện mạng . . . . . . . . . . . . . . .
Đáp ứng đầu ra của mạng nơ-ron và sai số . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị hàm mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu trúc mạng N N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tín hiệu đầu ra mẫu cho mạng N N . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đầu ra của mạng N Np sau khi huấn luyện và sai số . . . . . . . . . .
Cấu trúc mạng N Nc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển theo mô hình mẫu dùng mạng nơ-ron
Giao diện nhận dạng và thiết kế bộ điều khiển . . . . . . . . . . . . .

9.1
9.2

Quan hệ vào ra của dữ liệu mẫu t(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Sai lệch giữa đầu ra của mạng với đầu ra mẫu. . . . . . . . . . . . . . 189

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

174
176
176
177
177
178
179
179
180
182
182
183
184
184


x

DANH SÁCH HÌNH VẼ


Phần I

HỆ SUY LUẬN MỜ

1

Chương 1

Tập mờ
1.1

Tập hợp

Georg Cantor là một trong những người tiên phong đã đưa ra lý thuyết tập hợp
vào những năm 1870 [1]. Tập hợp là một nhóm các đối tượng xác định khác nhau có
chung một hoặc nhiều thuộc tính. Mỗi đối tượng ở đây được coi là một phần tử của
tập hợp. Các phần tử này có thể là một số, chữ, vật, con người, khái niệm ...

Ví dụ 1.1 Tập hợp các bạn nữ trong lớp A = {Hoa, M ai, Lam, T hanh}. Tập hợp
này có 4 phần tử, mỗi phần tử ở đây là một bạn nữ được ký hiệu bằng tên riêng và
có chung hai thuộc tính là nữ và học cùng một lớp. Như vậy số phần tử của tập hợp
là hữu hạn.
Ví dụ 1.2 Tập hợp các sai số dương và nhỏ hơn 10%, ký hiệu là B = {e|0 < e < 0.1}.
Tập hợp này có số phần tử là vơ hạn.
• Để mơ tả hay định nghĩa một tập hợp, người ta thường sử dụng một trong các
phương pháp như sau:
I Liệt kê các phần tử: Phương pháp này được sử dụng khi định nghĩa một
tập hợp có số phần tử là hữu hạn hoặc đếm được, chẳng hạn như ví dụ
1.1.
I Sử dụng tính chất đặc trưng của các phần tử: Phương pháp này được dùng
khi ta biết được một hay nhiều các đặc trưng giống nhau của mỗi phần tử,
như trong ví dụ 1.2.
3

4

CHƯƠNG 1. TẬP MỜ
I Sử dụng hàm đặc tính hay còn được gọi là hàm phụ thuộc hoặc hàm liên
thuộc MF: Nếu như một phần tử thuộc tập hợp thì hàm đặc tính sẽ cho
giá trị bằng 1, ngược lại, nếu phần tử đó khơng thuộc tập hợp thì hàm đặc
tính cho giá trị bằng khơng.
Như vậy với tập hợp kinh điển thì giá trị của hàm liên thuộc chỉ có thể là 0
hoặc 1. Đây là một hạn chế của tập hợp kinh điển. Để khắc phục hạn chế này
người ta đã đưa ra khái niệm về tập mờ, trong đó tất cả các phần tử đều thuộc
tập hợp nhưng với giá trị hàm đặc tính có thể lơn hơn hoặc bằng không hoặc
nhỏ hơn hoặc bằng một. Như vậy tập giá trị của hàm đặc tính được mở rộng
từ tập {0, 1} thành đoạn [0, 1]. Khi đó hàm đặc tính được gọi là hàm liên thuộc
hay hàm phụ thuộc và giá trị của hàm này thể hiện độ phụ thuộc của phần tử
vào tập hợp.
Để thuận tiên cho việc mô tả mối quan hệ giữa phần tử với tập hợp và mối quan
hệ giữa tập hợp với tập hợp, một số ký hiệu hay dùng được định nghĩa như sau:
• Giả sử A là một tập hợp đã cho, nếu một phần tử a thuộc tập hợp A ta ký hiệu
a ∈ A, nếu phần tử này không thuộc tập hợp A ta ký hiệu là a ∈
/ A.
• Tập hợp rỗng: ∅ là tập hợp khơng chứa phần tử nào. Chẳng hạn như tập hợp
các nghiệm thực của phương trình x2 + 1 = 0 là một tập rỗng. Bởi vì phương
trình này chỉ có nghiệm phức là x1,2 = ±j, trong đó j 2 = −1.
• Tập hợp con:
1. Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B nếu như mọi phần tử
thuộc tập hợp A cũng thuộc tập hợp B, hay
A ⊂ B ⇔ ∀a, a ∈ A ⇒ a ∈ B.
2. Nếu A không phải là tập hợp con của B, ta ký hiệu là : A 6⊂ B

3. A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A (hai tập hợp bằng nhau).

Ví dụ 1.3 Tập hợp các số nguyên là tập hợp con của tập hợp các số thực, tập hợp
các số thực là tập con của các số phức (khi phần ảo bằng khơng thì số phức là số
thực).
• Các tính chất của tập hợp:
1. A ⊂ A với mọi tập hợp A


1.2. HÀM LIÊN THUỘC

5

2. Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C. Tính chất này cịn được gọi là tính bắc
cầu, nó được minh họa trong khơng gian hai chiều như hình 1.1.
3. ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A. Như vậy tập rỗng luôn là tập con của mọi tập
hợp.

Hình 1.1: Tính chất bắc cầu

1.2

Hàm liên thuộc

Cho một tập hợp A là một tập con của tập vũ trụ U . x là một phần tử nào đó
trong tập U hay x ∈ U . Hàm liên thuộc của tập hợp A được định nghĩa như
sau:
(
1, nếu x ∈ A
µA (x) =

(1.1)
0, nếu x ∈
/A

Hình 1.2: Hàm liên thuộc của tập hợp nhiệt độ mát


6

CHƯƠNG 1. TẬP MỜ

Ví dụ 1.4 Cho một tập hợp nhiệt độ mát được định nghĩa như sau: A = {x|200 C ≤
x ≤ 250 C}. Hàm đặc tính của tập hợp A sẽ là:
(
1, nếu x ∈ A
µA (x) =
0, nếu x ∈
/A
Hàm đặc tính này có dạng hình xung vng như trong hình 1.2 và chỉ có hai giá trị
0 hoặc 1. Trong thực tế tại các nhiệt độ khác nhau thì độ mát là khác nhau, nhưng
với định nghĩa này thì độ mát là như sau nếu x ∈ [20, 25]. Mặt khác, mỗi người lại
có cảm giác mát khác nhau. Do đó, tập hợp mờ sẽ là một định nghĩa phù hợp hơn để
đánh giá độ mát. Ví dụ này sẽ được để cập sau ở phần tập mờ.

1.3

Các phép toán cơ bản trên tập hợp

Trong phần này, một số phép toán căn bản như phép hợp, phép giao và phép bù
sẽ được trình bày. Các phép toán này sẽ được thực hiện dựa trên các hàm đặc tính.

Đây là cơ sở để mở rộng các phép tính trên tập mờ sau này. Xét hai tập hợp A và B
với các hàm đặc tính tương ứng là µA (x) và µB (x).

1.3.1

Phép giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp được định nghĩa như sau:
A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}.

(1.2)

Khi đó hàm đặc tính của tập hợp A ∩ B sẽ là:
µA∩B (x) = µA (x).µB (x)

(1.3)

µA∩B (x) = min(µA (x), µB (x)).

(1.4)

hoặc
Cả hai cơng thức trên đều cho cùng một kết quả, tuy nhiên điều này khơng cịn đúng
nữa đối với tập mờ. Để chứng minh, ta có thể lập bảng chân lý, phần này dành cho
bài tập về nhà.

Ví dụ 1.5 Cho tập hợp A = {x|1 < x < 3} và B = {x|2 < x < 4}, giao của hai tập
hợp là: A ∩ B = {x|2 < x < 3}. Trên hình 1.3 thể hiện đồ thị các hàm đặc tính của
tập hợp A màu xanh và tập hợp B màu đỏ ở nửa bên trái, tập hợp A ∩ B ở bên phải.

1.3. CÁC PHÉP TỐN CƠ BẢN TRÊN TẬP HỢP

7

Hình 1.3: Các hàm đặc tính của tập hợp A, B, A ∩ B

1.3.2

Phép hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B được định nghĩa là: A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B}.
Hàm đặc tính của A ∪ B được tính như sau:
µA∪B (x) = µA (x) + µB (x) − µA (x).µB (x)

(1.5)

µA∪B (x) = max(µA (x), µB (x)).

(1.6)

hoặc

Cả hai cơng thức (1.6) và (1.5) đều cho cùng kết quả, phần chứng minh dành cho
bài tập về nhà. Tuy nhiên, đối với tập mờ thì các cơng thức này lại cho kết quả khác
nhau.
Ví dụ 1.6 Xét hai tập hợp A và B như trong ví dụ 1.5. Giao của hai tập hợp là:
µA∪B (x) = {x|1 < x < 4}. Đồ thị hàm đặc tính của tập hợp A ∪ B như hình 1.4.

1.3.3

Phép bù của tập hợp

Giả sử tập hợp A ⊂ U , trong đó U là tập vũ trụ. Tập hợp bù của A là: Ac =
{x|x ∈ U và x ∈
/ A}, với c là từ viết tắt của từ complement, có nghĩa là bù. Khi đó
hàm đặc tính của tập bù Ac được tính theo cơng thức sau:
(
µAc (x) =

1,
0,

nếu x ∈
/A
nếu x ∈ A

=1 − µA (x)

(1.7)


8

CHƯƠNG 1. TẬP MỜ

Hình 1.4: Hàm liên thuộc cho ví dụ 1.6

Hình 1.5: Hàm liên thuộc cho ví dụ 1.7

Ví dụ 1.7 Tiếp theo ví dụ 1.6, tập bù của tập A là: Ac = {x|x ≤ 1 hoặc x ≥ 3}.
Đồ thị của hàm đặc tính µAc (x) và µA (x) được vẽ trong hình 1.5, trong đó µAc có
màu đỏ ở bên phải và µA có màu xanh ở bên trái. Từ đồ thị ta dễ dàng nhận thấy
µAc (x) + µA (x) = 1 với mọi x.

1.3.4

Các tính chất của phép giao và phép hợp

Cho các tập hợp A, B và C, phép giao của hai tập hợp có những tính chất như
sau:
I Tính giao hốn: A ∩ B = B ∩ A
I Tính kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
I Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A và A ∩ C ⊂ B ∩ C


1.4. TẬP MỜ

9

I (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , (định luật De Morgan).
Các tính chất của phép hợp là:
I Tính giao hốn: A ∪ B = B ∪ A
I Tính kết hợp: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
I Nếu A ⊂ B thì A ∪ C ⊂ B ∪ C
I (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc , (định luật De Morgan).
Các tính chất cơ bản này sẽ là cơ sở để xây dựng nên các phép toán trong tập mờ
sau này.

1.4

1.4.1

Tập mờ
Định nghĩa

Lơ gíc mờ ra đời từ những năm 1960 bởi Lofti Zadeh [2]. Lơ gíc mờ là một khái
niệm được mở rộng từ lô gic kinh điển. Trong lô gic kinh điển chỉ có hai trạng thái
đúng hoặc sai, đóng hoặc mở, không hoặc một, hai trạng thái này phủ định lẫn nhau.
Về mặt toán học, hai trạng thái này thường có giá trị là 0 và 1. Cịn với lơ gíc mờ
thì ngồi hai trạng thái đúng hoặc sai, khơng hoặc một thì cịn có những trạng thái
khác giữa đúng và sai hoặc giữa không và một. Dựa trên lơ gíc mờ như thế, tập mờ
đã được đưa ra.
Cho tập hợp vũ trụ U , tập hợp mờ (gọi tắt là tập mờ) F được mô tả bởi một ánh xạ
từ tập hợp U tới đoạn [0; 1] như sau:
µF (x) : U → [0; 1], ∀x ∈ U

(1.8)

Hàm µF (x) được gọi là hàm liên thuộc hay hàm phụ thuộc, bởi vì mỗi phần tử x sẽ
thuộc tập mờ F với một độ phụ thuộc là một giá trị thuộc đoạn [0; 1].
Ví dụ 1.8 Tập mờ F là tập các sai số xấp xỉ bằng không.


 −100x + 1, nếu 0 ≤ x ≤ 0.01
µF (x) =
100x + 1, nếu − 0.01 ≤ x ≤ 0

 0, các trường hợp khác.

(1.9)

Tập mờ F có đồ thị dạng tam giác như hình 1.6. Ta thấy khi sai số bằng khơng x = 0,
hàm liên thuộc có giá trị lớn nhất là µF (0) = 1, khi sai số càng xa gốc 0 giá trị của
hàm µF (x) càng giảm và tiến đến 0 khi |x| ≥ 0.01.


10

CHƯƠNG 1. TẬP MỜ

1.2

1

F

(x)

0.8

0.6

0.4

0.2

0
-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

x

Hình 1.6: Hàm liên thuộc µF (x)

1.4.2

Các dạng hàm liên thuộc

Trong thực tế, có nhiều dạng hàm liên thuộc khác nhau do người sử dụng định
nghĩa dựa trên kinh nghiệm cá nhân hoặc tri thức của chuyên gia. Phần này sẽ giới
thiệu một số dạng hàm liên thuộc hay được sử dụng và được hỗ trợ trong cơng cụ của
Matlab [3]. Do đó, người học có thể dễ dàng tiếp cận với công cụ mờ trong Matlab
để phục vụ việc học tập, nghiên cứu, thiết kế và mơ phỏng các hệ mờ sau này.

Hình 1.7: Hàm liên thuộc dạng tam giác

• Hàm tam giác: Hàm tam giác là hàm liên thuộc có dạng giống như hình tam
giác, hàm này có ba tham số a, b và c, đây là các hoành độ của ba đỉnh của
tam giác, trong đó b là hồng độ tương ứng với đỉnh có tung độ bằng 1, a và c
là các hồnh độ tương ứng với các đỉnh có tung độ là 0. Hàm liên thuộc dạng
tam giác có cơng thức như sau:


1.4. TẬP MỜ

11


0, nếu x ≤ a



 x−a , nếu a ≤ x < b
b−a
µF (x) =
 c−x
, nếu b ≤ x < c


 c−b
0, nếu c ≤ x

(1.10)

Đồ thị hàm liên thuộc µF (x) như trong hình 1.7. Trong Matlab, hàm tam
giác được tạo ra bởi lệnh trimf, viết tắt bởi cụm từ TRIangular Membership

Function, lệnh này có 4 đầu vào như sau: µF (x) = trimf (x, [a; b; c]). Để thuận
tiện, khi định nghĩa hàm liên thuộc dạng tam giác, ta có thể dùng ký hiệu giống
như của Matlab là trimf (x, [a; b; c]), trong đó x là biến số.
Ví dụ 1.9 Để tạo một hàm liên thuộc dạng tam giác trong Matlab với các hoành
độ của các đỉnh lần lượt là 1, 2 và 3, ta soạn thảo như sau trong cửa sổ lệnh
(Command Windows) hoặc trong M-file của Matlab như sau:
x = [0 : 0.1 : 5]; % khai báo tập vũ trụ cho biến x
mu_A1 = trimf (x, [1, 2, 3]); % tạo hàm liên thuộc cho tập mờ A1
plot(x, mu_A1); % vẽ hàm liên thuộc
grid on; % tạo lưới trong hình vẽ
Đồ thị thu được trong Matlab như hình 1.8.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Hình 1.8: Ví dụ về hàm liên thuộc dạng tam giác trong Matlab

• Hàm hình thang: Cơng thức mơ tả hàm liên thuộc dạng hình thang như sau:


12

CHƯƠNG 1. TẬP MỜ


0, nếu x ≤ a



x−a



 b−a , nếu a ≤ x < b
µF (x) =
1, nếu b ≤ x ≤ c


d−x

, nếu c ≤ x < d


 d−c
0, nếu d ≤ x

(1.11)

Hàm này có 4 tham số là a, b, c và d. Nếu như b = c, đồ thị sẽ có dạng hàm tam
giác. Đồ thị có dạng như hình 1.9. Trong Matlab, để mơ tả hàm hình thang ta
dùng lệnh: mu_F = trapmf (x, [a; b; c; d]), với trapmf viết tắt của Trapezoidal
Membership Function.

Hình 1.9: Hàm liên thuộc dạng hình thang

1
gbellmf(x,[1 1 5])

0.9
0.8
0.7
0.6

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2

0

2

4

6

8

10

12

Hình 1.10: Hàm liên thuộc hình chng


1.4. TẬP MỜ

13

• Hàm hình chng: Hàm liên thuộc dạng hình chng được mơ tả như sau

µF (x) =

1
2b
1 + | x−c
a |

(1.12)

Trong đó, a đặc trưng cho độ rộng của hình chng, b > 0 thể hiện độ dốc
của hình chng và c là hồnh độ tâm của hình chng. Đồ thị của hàm hình
chng với các tham số là a = 1, b = 1, và c = 5 như hình 1.10. Trong Matlab,
ta sử dụng lệnh mu_F = gbellmf (x, [a; b; c]), trong đó gbellmf là từ viết tắt
của cụm từ Generalized BELL Membership Function.

1
gaussmf(x,[2 5])

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2

0

2

4

6

8

10

12

Hình 1.11: Đồ thị của hàm gaussmf

• Hàm Gauss: Hàm này có cơng thức như sau

µF (x) = e

− 12

x−c
σ

!2

(1.13)

Trong đó, c là hoành độ tâm của hàm liên thuộc, σ là độ rộng của hàm gauss.

Trong Matlab, sử dụng lệnh mu_A = gaussmf (x, [σ; c]), với gaussmf là từ
viết tắt của cụm từ GAUSSian Membership Function. Trên hình 1.11 là đồ
thị của một hàm gauss với các tham số là σ = 2 và c = 5.
• Hàm Gauss2mf: Cho hai hàm được xây dựng từ hàm gaussmf như sau


(
x−c1 2
− 21
σ1
e
, nếu x ≤ c1
µ1 (x) =
1, nếu x > c1


14

CHƯƠNG 1. TẬP MỜ
và
(
µ2 (x) =

− 12



x−c2
σ2

2

, nếu x ≥ c2
e
1, nếu x > c2

Hàm gauss2mf được xây dựng như sau:
µF (x) = µ1 (x) ∗ µ2 (x)

(1.14)

Hàm này có 4 tham số, do đó sẽ có nhiều bậc tự do hơn khi chỉnh định hệ mờ.
Hình 1.12 là một ví dụ thể hiện đồ thị của một hàm µF = gauss2mf(x, [σ1 c1 σ2

Hình 1.12: Hàm gauss2mf
được vẽ trong cụng c fuzzy ca Matlab.
ã Hm sigmf: (SIGmoid Membership Function)
àF (x) =

1
.
1 + e−a(x−c)

(1.15)

Trong đó, a là độ dốc tại tâm c của đồ thị hàm sigmf . Dựa trên hàm sigmf ,
một số hàm liên thuộc khác được định nghĩa như hàm dsigmf và psigmf . Trong
Matlab sử dụng lnh àF = sigmf (x, [a; c]).
ã Hm dsigmf: (sai lệch giữa hai hàm sigmf )
µF (x) = |sig(x, a1 , c1 ) − sig(x, a2 , c2 )|

Sử dụng lệnh µ_F = dsigmf (x, [a1
Matlab.

c1

a2

(1.16)

c2 ]) để tạo hàm dsigmf trong

c2 ])


1.4. TẬP MỜ

15

• Hàm psigmf: (tích của hai hàm sigmf )
µF (x) = sig(x, a1 , c1 ) ∗ sig(x, a2 , c2 )
Sử dụng lệnh µF = psigmf (x, [a1
Matlab.

c1

a2

(1.17)

c2 ]) để tạo hàm psigmf trong

• Hàm zmf: (Hình chữ Z) Hàm này có đồ thị giống hình chữ Z, nó được tạo bởi
hai hàm parabol và có đặc trưng được thể hiện bởi hai tham số x1 và x0 .

1, nếu x ≤ x1



 1 − 2( x−x1 )2 , nếu x ≤ x < x1 +x0
1
x0 −x1
2
µF (x) =
(1.18)
x1 +x0
x−x1 2

)
,
nếu
2(
≤
x
≤
x
0

x0 −x1
2



0, nếu x0 ≤ x
Trong Matlab, hàm này được tạo ra bằng lệnh µ_F = zmf (x, [x1

x0 ]).

• Hàm Smf:(Hình chữ S) Hàm này có đồ thị dạng chữ S, được tạo ra từ hàm
zmf như cơng thức sau:
µF (x) = 1 − zmf (x1 , x0 )
Trong Matlab, hàm này được tạo ra bằng lnh àF = smf (x, [x1

(1.19)
x0 ]).

ã Hm Pimf: (Hỡnh số π) Hàm này là sự kết hợp giữa hai hàm zmf và smf , có
cơng thức tốn học được mơ tả như sau:
µF (x) = smf (x1 , x2 ) ∗ zmf (x3 , x4 )

(1.20)

Trong Matlab, hàm này được tạo ra bằng lệnh µ_F = pimf (x, [x1 x2 x3 x4 ]).
Trong thực tế, người thiết kế có thể định nghĩa và sử dụng các dạng hàm liên thuộc
khác ngoài những dạng được hỗ trợ trong Matlab như trình bày ở trên.

1.4.3

Một số khái niệm mở rộng

Trong phần này, một số khái niệm về tập hợp mức α của tập mờ, tập mờ bậc 2
và giảm bậc tập mờ sẽ được giới thiệu.

Tập hợp mức α
Cho một tập mờ F được định nghĩa với hàm liên thuộc µF (x) trên tập vũ trụ U .
Tập hợp mức α của tập mờ F được định nghĩa như sau [4]:
Fα = {x|µF (x) ≥ α}.

(1.21)