Tong hop cong thuc nhi thuc newton

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Tổng hợp cơng thức nhị thức Newton
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Tổ hợp là gì?
•
Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
•

Kí hiệu: Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử ( 0  k  n ) . Ta có định lí, số

các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

( n − 1)( n − 2 )( n − 3 ) ... ( n − k + 1)
n!
=
k!
k !( n − k ) !

Cnk =

-

Tính chất chập k của n phần tử: Cnk

✓

Tính chất 1:

✓

Tính chất 2: Công thức pascal

Cnk = Cnn− k , ( 0  k  n )

Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk

2. Cơng thức nhị thức Newton
a. Định lí: Với n 

*

và với mọi cặp số ( a , b ) ta có:

n

( a + b ) =  Cnk an−kbk = Cn0an + Cn1an−1b + Cn2an−2b2 + ... + Cnn−1a1bn−1 + Cnnbn
n

k =0

b. Hệ quả
Hệ quả: ( 1 + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + ... + x nCnn
n

-

Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:

2 n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn

Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... + ( −1) Cnn = 0
n

c. Nhận xét
Trong khai triển Newton ( a + b ) có tính chất sau:
n

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

-

Gồm n + 1 phần tử.
Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.
Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n.

-

Các hệ số có tính đối xứng Cnk = Cnn− k , ( 0  k  n ) .

-

Số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk ab− k b k

Chú ý:
✓

Số hạng thứ nhất T1 = T0+1 = Cn0 an

✓

Số hạng thứ k: Tk = Tk −1+1 = Cnk −1an− k +1b k −1

3. Các công thức liên quan đến khai triển nhị thức Newton

•

( x + 1)
(1 + x )
( x − 1)

•

Cnk = Cnn− k

•
•

n

= Cn0 xn + Cn1 xn−1 + Cn2 x n−2 + ... + Cnk xn− k + ...Cnn−1x + Cnn

n

= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnk x k + ...Cnn−1x n−1 + Cnn x n

n

= Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − ... + ( −1) Cnk x k + ... + ( −1)
k

n−1

Cnn−1x n−1 + ( −1) Cnn x n

•

Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 , ( n  1)

•

k.Cnk =

•

n. ( n − 1) !
1
k.n !
1
.Cnk =
=
=
.Cnk++11
k +1

( k + 1) .k !( n − k ) ! ( n + 1)( n − k )! ( k + 1)! n + 1

n. ( n − 1) !
k.n !
==
= n.Cnk−−11
k !( n − k ) !
( n − k ) !. ( k − 1) !

4. Một số công thức thường dùng trong các bài tập
•
•
•
•
•
•

Cnk = Cnn− k
Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk

k.Cnk = n.Cnk−−11

1
1
.Cnk =
.Cnk++11
k +1
n+1
n
0

2 = Cn + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn

2

n−1

= C + C + Cn + ... + C
0
n

2
n

4

n
2 
2
n

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188

n


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

•

2

n−1

= C + C + Cn + ... + C
1
n

3
n

 n−1 
2
 +1
 2 
n

5. Công thức Newton mở rộng
•

Cnk + 2Cnk +1 + Cnk + 2 = Cnk++22

•

Cnk + 3Cnk +1 + 3Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++33

6. Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton
n

a. Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có:

C
i =1

n

 i ( i − 1) C

b. Biểu thức có

i =1

n

(i + k )C

c. Biểu thức có

i =1
n

d. Biểu thức có

 a .C
k

i =1
n

e. Biểu thức có

1

i
n

thì dùng đạo hàm

thì ta nhân hai vế với x k rồi lấy đạo hàm

thì ta chọn giá trị x = a thích hợp

 i − 1 .C
i =1

i
n

i
n

1
n

i
n

ta lấy tích phân xác định trên  a , b  thích hợp

7. Tam giác Pascal

n=0

1

n=1

1

n=2

1

n=3
n=4

1
1

1
2

3
4

1
3

6

1

4

1

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật
- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1
- Nếu biết hàng thứ n thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng
hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai
số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.
II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton
Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

a. ( a + 2b )

(

5

b. a − 2

)

6



1
c.  x − 
x


10

Hướng dẫn giải
5

5

a. Khai triển Newton của ( a + 2b ) =  C5k a 5− k ( 2b ) =  C5k a 5− k .2 k.b k
5

k

k =0

( a + 2b )

5

= C50 a 5 + C51a 4 2b + ... + C55 32b 5

(

b. Khai triển Newton của a − 2

(

a− 2

)

k =0

6

)

6

6

=  C6k a6− k
k =0

= C60 a6 + C61a5 . 2 + C62 a4 .2 + ... + C66 .

( )

( )

k

2

6

2

c. Khai triển Newton của
10
10
10
−1)
k 10 − 2 k

1
k
10 − k  −1 
k
10 − k (
k
 x − x  =  C10 .x .  x  = C10 .x . k =  C10 . ( −1) x
x
k =0
k =0


  k =0
10

k

k

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức ( 1 − 2x )

10

Hướng dẫn giải
10

10

k
Ta có: f ( x ) = (1 − 2 x ) =  C10
.110−k ( −2 x ) = Cnk . ( −2 ) .x k
10

k =0

k

k

k =0

7

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa x 7 :
7
C10
. ( −2 ) = −15360
7

n


2
Ví dụ 3: Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển sau:  x 3 −  biết
x


rằng: Cnn−1 + Cnn−2 = 78, x  0
Hướng dẫn giải
Ta có: Cnn−1 + Cnn−2 = 78, n  2


n!
n!
+
= 78
( n − 1) !(n − n + 1)! ( n − 2 ) ! ( n − 2 + 2 ) !

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí



n!
n!
+
= 78
( n − 1) !(1)! ( n − 2 ) ! ( 2 ) !

 n+

n ( n − 1)
2

n = 12 (TM )
= 78  n2 + n − 156 = 0  
 n = −13 ( L )

Do đó biểu thức khai triển là
12

12
 3 2
x
−
=
C12k x 3



x
k =0


( )

12 − k

k

k

12
12
k
k
 2
k
36 − 3 k  1 
k
36 − 4 k
−
=
C
.
x
.
.
−
2
. ( −2 )

  12
  ( ) =  C12 .x
k =0
 x  k =0
x

Số hạng không chứa x ứng với k: 36 − 4 k = 0  k = 9
9
Số hạng không chưa x là: C12
. ( −2 ) = −112640
9


1
Ví dụ 4: Xét khai triển:  2x + 
x


20

a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.
c.Xác định hệ số của x 4 trong khai triển.
Hướng dẫn giải
20

k

20
20
20 − k  1 

1
k
k
20 − k 20 − 2 k

2
x
+
=
C
2
x
=
x
(
)



   C 20 2
20
x
k =0

 x  k =0

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: 20 − 2 k = 0  k = 10
10
.210
Số hạng không chứa x trong khai triển là: C 20

Số hạng chứa x 4 trong khai triển ứng với k là: 20 − 2 k = 4  k = 8
8
Vậy số hạng chứa x 4 trong khai triển có hệ số là: C 20
.212

( −1) C n
1
1
1
1
Ví dụ 5: Tính tổng: S = Cn0 − cn1 + Cn3 − Cn4 + ... +
2
4
6
8
2 ( n + 1) n
Hướng dẫn giải
Ta có: S =

( −1) C n 
1 0 1 1 1 3 1 4
 Cn − cn + Cn − Cn + ... +
2 
2
3
4
n + 1 n 

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

( −1)

Vì

k

k +1

C

k
n

( −1)
=

k

k +1

Cnk++11

n
k
k
−1  n+1
1
1
k
0 

k +1
S=
−1) Cn+1 =
(

  ( −1) Cn+1 − Cn+1  =
2 ( n + 1)  k = 0
2 ( n + 1) k =0
 2 ( n + 1)

III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
a. ( 1 + 2x )

20


1 
b.  x + 
3x 


c.

(

11

x − 4x + 6

d. ( n + 2m )

)

8

7


1
Bài 2: Xét khai triển  3x 2 + 
x


30

a. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển.
b. Hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển.
c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.
Bài 3: Tính tổng: S = C20n + C22n + C24n + C26n + ... + C22nn
Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển ( 1 + x ) là 64. Số hạng
3n

2n


1 
không chứa x trong khai triển  2nx +
.
2nx 



Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển ( 1 + x ) có hai hệ
n

số liên tiếp có tỉ số là 7:15.
Xem thêm các bài tiếp theo tại: />
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188