TONG HOP CONG THUC 12

CHNG I: DAO NG C
I. DAO NG IU HO
1. P.trỡnh dao ng : x = Acos(t + )
2. Vn tc tc thi : v = -Asin(t + )
3. Gia tc tc thi : a = -
2
Acos(t + ) = -
2
x
a
r
luụn hng v v trớ cõn bng
4. Vt VTCB : x = 0; |v|
Max
= A; |a|
Min
= 0
Vt biờn : x = A; |v|
Min
= 0; |a|
Max
=
2
A
5. H thc c lp:
2 2 2
( )
v
A x

= +

;
2
2 2 2
2
a
v A


+ =
6. C nng:
2 2

1
W W W
2
t
m A

= + =
2 2 2 2 2

1 1
W sin ( ) Wsin ( )
2 2
mv m A t t

= = + = +
2 2 2 2 2 2
1 1
W ( ) W s ( )

2 2
t
m x m A cos t co t

= = + = +
7. Dao ng iu ho cú tn s gúc l , tn s f, chu k
T. Thỡ ng nng v th nng bin thiờn vi tn s gúc
2, tn s 2f, chu k T/2.
8. Tỉ số giữa động năng và thế năng :
2
1
d
t
E
A
E x

=
ữ

9. Vận tốc, vị trí của vật tại đó :
+đ.năng= n lần thế năng :
( )
1
1
n A
v A x
n
n

= =
+
+
+Thế năng= n lần đ.năng :
1
1
A n
v x A
n
n

= =
+
+
10. Khong thi gian ngn
nht vt i t v trớ cú li
x
1
n x
2
2 1
t





= =

vi

1
1
2
2
s
s
x
co
A
x
co
A



=




=


v
1 2
0 ,


)
11. Chiu di qu o: 2A

12. Quóng ng i trong 1 chu k luụn l 4A; trong
1/2 chu k luụn l 2A
13. Quóng ng vt i c t thi im t
1
n t
2
.
Phõn tớch: t
2
t
1
= nT + t (n N; 0 t < T)
-Quóng ng i c trong thi gian nT l S
1
= 4nA
-Trong thi gian t l S
2
.
Quóng ng tng cng l S = S
1
+ S
2
Lu ý:
+ Nu t = T/2 thỡ S
2
= 2A
+ Tớnh S
2
bng cỏch nh v trớ x
1

, x
2
v v vũng trũn
mi quan h
+ Tc trung bỡnh ca vt i t thi im t
1
n t
2
:
2 1
tb
S
v
t t
=


14. Bi toỏn tớnh quóng ng ln nht v nh nht vt
i c trong khong thi gian 0 < t < T/2.
- Vt cú vn tc ln nht khi qua VTCB, nh nht khi
qua v trớ biờn nờn trong cựng mt khong thi gian
quóng ng i c cng ln khi vt cng gn VTCB
v cng nh khi cng gn v trớ biờn.
- S dng mi liờn h gia dao ng iu ho v chuyn
ng trũn u.
+ Gúc quột = t.
+ Quóng ng ln nht khi vt i t M
1
n M
2

i
xng qua trc sin
ax
2Asin
2
M
S


=
+ Quóng ng nh nht khi vt i t M
1
n M
2
i
xng qua trc cos
2 (1 os )
2
Min
S A c


=
Lu ý: + Trong trng hp t > T/2
Tỏch
'
2
T
t n t = +
(trong ú

*
;0 '
2
T
n N t < <
)
Trong thi gian
2
T
n
quóng ng luụn l 2nA
Trong thi gian t thỡ quóng ng ln nht, nh nht
tớnh nh trờn.

+ Tc trung bỡnh ln nht v nh nht ca trong
khong thi gian t:
ax
ax
M
tbM
S
v
t
=

v
Min
tbMin
S
v

t
=


vi S
Max
; S
Min
tớnh nh trờn.
14. Cỏc bc lp phng trỡnh dao ng dao ng
iu ho:
* Tớnh
* Tớnh A da vo phng trỡnh c lp
* Tớnh da vo /k u v v vũng trũn:
thng t
0
=0
0
0
Acos( )
sin( )
x t
v A t



= +

= +

Lu ý: + Vt chuyn ng theo chiu dng thỡ v > 0,
ngc li v < 0
1
-A
A
x
1
x
2
O


A
-A
M
M
1
2
O
P
x x
O
2
1
M
M
-A
A

P
2
1
P
P
2


2


+ Trước khi tính ϕ cần xác định rõ ϕ thuộc góc
phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác (thường
lấy -π < ϕ ≤ π)
15. Các bước giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí
đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) lần thứ n
* Xác định M
0
dựa vào pha ban đầu
* Xác định M dựa vào x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F)
* Áp dụng công thức
ω

ϕ
∆
=
t
(với
OMM
0
=
ϕ
)
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t
(Với t > 0 ⇒ phạm vi giá trị của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý: Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì
tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối
liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn
đều
16. Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động
sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian ∆t.
* Xác định góc quét
ϕ
∆
trong khoảng thời gian ∆t :
t
∆=∆
.
ωϕ
* Từ vị trí ban đầu (OM

1
) quét bán kính một góc lùi
(tiến) một góc
ϕ
∆
, từ đó xác định M
2
rồi chiếu lên Ox
xác định x
17. Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã
biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) từ thời điểm t
1
đến t
2
.
* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm
* Từ t
1
< t ≤ t
2
⇒ Phạm vi giá trị của (Với k ∈ Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua
vị trí đó.
Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối
liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi

vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.
18. Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động
sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian ∆t.
Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x
0
.
* Từ phương trình dao động điều hoà: x =
Acos(ωt + ϕ) cho x = x
0
Lấy nghiệm ωt + ϕ = α với
0
α π
≤ ≤
ứng với
x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0)
hoặc ωt + ϕ = - α ứng với x đang tăng
(vật chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời
điểm đó ∆t giây là
x Acos( )
Asin( )
t
v t
ω α
ω ω α
= ± ∆ +


= − ± ∆ +


hoặc
x Acos( )
Asin( )
t
v t
ω α
ω ω α
= ± ∆ −


= − ± ∆ −

19. Dao động có phương trình đặc biệt:
* x = a ± Acos(ωt + ϕ) với a = const
Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu ϕ
x là toạ độ, x
0
= Acos(ωt + ϕ) là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên
x = a ± A
Vận tốc v = x’ = x
0
’, gia tốc a = v’ = x” = x
0
”
Hệ thức độc lập: a = -ω
2
x
0

2 2 2
0
( )
v
A x
ω
= +

* x = a ± Acos
2
(ωt + ϕ) (ta hạ bậc)
Biên độ A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2ϕ.
II. CON LẮC LÒ XO
+ Phương trình dao động:
cos( )x A t
ω ϕ
= +
Phương trình vận tốc:
'; sin( ) cos( )
2
dx
v x v A t A t
dt
π
ω ω ϕ ω ω ϕ
= = = − + = + +
+ Phương trình gia tốc:
2
2 2

2
'; ''; cos( );
dv d x
a v a x a A t a x
dt dt
ω ω ϕ ω
= = = = = − + = −

Hay
2
cos( )a A t
ω ω ϕ π
= + ±

+ Tần số góc, chu kì, tần số và pha dao động, pha ban
đầu:
a. Tần số góc:
2
2 ( / );
k g
f rad s
T m l
π
ω π ω
= = = =
∆
;
( )
mg
l m

k
∆ =
b. Tần số:
1 1
( );
2 2
N k
f Hz f
T t m
ω
π π
= = = =
c. Chu kì:
1 2
( ); 2
t m
T s T
f N k
π
π
ω
= = = =
d. Pha dao động:
( )t
ω ϕ
+
e. Pha ban đầu:
ϕ
Chú ý: Tìm
ϕ

, ta dựa vào hệ phương trình
0
0
cos
sin
x A
v A
ϕ
ω ϕ
=


= −

lúc
0
0t =

MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP
2
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
cân bằng
0
0x =
theo chiều dương
0
0v >

:
Pha ban đầu
2
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
cân bằng
0
0x =
theo chiều âm
0
0v <
:
Pha ban đầu
2
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua biên
dương
0
x A=
: Pha ban đầu

0
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua biên
âm
0
x A= −
: Pha ban đầu
ϕ π
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x =
theo chiều dương
0
0v >
: Pha ban đầu
3
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian

0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x = −
theo chiều dương
0
0v >
:
Pha ban đầu
π
ϕ
= −
2
3
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x =
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
3

π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x = −
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
2
3
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x =
theo chiều dương

0
0v >
:
Pha ban đầu
4
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x = −
theo chiều dương
0
0v >
:
Pha ban đầu
π
ϕ
= −
3
4
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =

là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x =
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
4
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x = −
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
3
4
π

ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x =
theo chiều dương
0
0v >
:
Pha ban đầu
6
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x = −
theo chiều dương

0
0v >
:
Pha ban đầu
π
ϕ
= −
5
6
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x =
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
6
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí

0
3
2
A
x = −
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
5
6
π
ϕ
=
♦
cos sin( )
2
π
α α
= +
;
sin cos( )
2
π
α α
= −
3
Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc )
đặc biệt (ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi
nhớ các giá trò đặc biệt)

- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3 /3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5
π
/6
3
π
/4
2

π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2
- 2/2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3/3
3

B
π
/2
3/3
1
3
O
5. Phương trình độc lập với thời gian:
ω
= +
2
2 2
2

v
A x
;
ω ω
= +
2 2
2
4 2

a v
A
Chú ý:
2
: Vật qua vò trí cân bằng

: Vật ở biên

M
M
M
M
v A
a
v
a A
ω
ω
ω
=

⇒ =

=

6. Lực đàn hồi, lực hồi phục:
a. Lực đàn hồi:
( )
( ) ( ) nếu
0 nếu l A
đhM
đh đhm
đhm
F k l A
F k l x F k l A l A
F
= ∆ +



= ∆ + ⇒ = ∆ − ∆ >


= ∆ ≤

b. Lực hồi phục:

0
hpM
hp
hpm
F kA
F kx
F
=

= ⇒

=

hay
2

0
hpM
hp
hpm
F m A
F ma

F
ω

=

= ⇒

=


lực hồi phục ln hướng
vào vị trí cân bằng.
Chú ý: Khi hệ dao động theo phương nằm ngang thì lực
đàn hồi và lực hồi phục là như nhau
đh hp
F F=
.
Góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135

0
150
0
180
0
360
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2
sin
α

0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0 0
cos
α
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
2
2

−
2
3
−
-1 1
tg
α
0
3
3
1
3
kxđ
3
−
-1
3
3
−
0 0
cotg
α
kxđ
3
1
3
3
0
3
3

−
-1
3
−
kxđ kxđ
4
7. Thi gian, quóng ng, tc trung bỡnh
a.Thi gian:Gii phng trỡnh
cos( )
i i
x A t

= +
tỡm
i
t
Chỳ ý:
Gi O l trung im ca qu o CD v M l
trung im ca OD; thi gian i t O n M l
12
OM
T
t =
, thi gian i t M n D l
6
MD
T
t =
.
T v trớ cõn bng

0x
=
ra v trớ
2
2
x A=
mt
khong thi gian
8
T
t =
.
T v trớ cõn bng
0x
=
ra v trớ
3
2
x A=
mt
khong thi gian
6
T
t =
.
Chuyn ng t O n D l chuyn ng chm
dn (
0; av a v<
r r
), chuyn ng t D n O

l chuyn ng nhanh dn (
0; av a v>
r r
)
Vn tc cc i khi qua v trớ cõn bng (li
bng khụng), bng khụng khi biờn (li cc
i).
b. Quóng ng:
Neỏu thỡ
4
Neỏu thỡ 2
2
Neỏu thỡ 4
T
t s A
T
t s A
t T s A

= =



= =


= =

suy ra
Neỏu thỡ 4
Neỏu thỡ 4
4
Neỏu thỡ 4 2
2
t nT s n A
T
t nT s n A A
T
t nT s n A A


= =


= + = +



= + = +


Chỳ ý:

2 2
2 neỏu vaọt ủi tửứ
2 2

neỏu vaọt ủi tửứ

4
M
s A x A x A
T
t
s A x O x A
= = =
=
= = =
m
( )


2 2
2 2 neỏu vaọt ủi tửứ
2 2
2 2
neỏu vaọt ủi tửứ 0
2 2

8
2 2
1 neỏu vaọt ủi tửứ
2 2
m
M
m
s A x A x A x A
s A x x A
T

t
s A x A x A







= = = =


= = =
=

= = =
ữ
ữ


( )

3 3
neỏu vaọt ủi tửứ 0
2 2

neỏu vaọt ủi tửứ
6
2 2
3 3

2 3 neỏu vaọt ủi tửứ
2 2
M
m
s A x x A
T
A A
t
s x x A
s A x A x A x A







= = =
=
= = =
= = = =



neỏu vaọt ủi tửứ 0
2 2

3 3
12
1 neỏu vaọt ủi tửứ

2 2
M
m
A A
s x x
T
t
s A x A x A

= = =




=




= = =

ữ
ữ

1.
2
2
2
2
4
2
4
kT
m
m
T
k
m
k
T




=


=


=

m = m
1
+ m
2
----> T
2
= (T
1
)
2
+ (T
2
)
2
m = m
1
- m
2
----> T
2
= (T
1
)
2
- (T
2
)
2
* Ghộp ni tip cỏc lũ xo

1 2
1 1 1
...
k k k
= + +
cựng treo
mt vt khi lng n
h nhau thỡ: T
2
= T
1
2
+ T
2
2
* Ghộp song song cỏc lũ xo: k = k
1
+ k
2
+ cựng
treo mt vt khi lng nh nhau thỡ:
2 2 2
1 2
1 1 1
...
T T T
= + +
* Tn s gúc:
k
m

=
; chu k:
2
2
m
T
k



= =
;
tn s:
1 1
2 2
k
f
T m


= = =
iu kin dao ng iu ho: B qua ma sỏt, lc cn
v vt dao ng trong gii hn n hi
2. C nng:
2 2 2
1 1
W
2 2
m A kA

= =
3. * bin dng ca lũ xo thng ng khi vt VTCB:
5
m tỉ lệ thuận với T
2
k tỉ lệ nghịch với T
2

mg
l
k
∆ =
⇒
2
l
T
g
π
∆
=
* Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB với con lắc lò
xo nằm trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α:

sinmg
l
k
α
∆ =
⇒

2
sin
l
T
g
π
α
∆
=
+ Chiều dài lò xo tại VTCB: l
CB
= l
0
+
∆
l
(l
0
là chiều dài tự nhiên)
+ Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất):
l
Min
= l
0
+
∆
l – A
+ Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất):
l
Max

= l
0
+
∆
l + A
⇒
l
CB
= (l
Min
+ l
Max
)/2
+ Khi A >∆l (Với Ox hướng xuống):
- Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật
đi từ vị trí x
1
= -
∆
l đến x
2
= -A.
- Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để
vật đi từ vị trí x
1
= -
∆
l đến x
2
= A,

Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2 lần và
giãn 2 lần!
4. Lực kéo về hay lực hồi phục F = -kx = -mω
2
x
Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật.
* Ln hướng về VTCB
* Biến thiên điều hồ cùng tần số với li độ
5. Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo khơng biến
dạng. Có độ lớn F
đh
= kx
*
(x
*
là độ biến dạng của lò xo)
* Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn
hồi là một (vì tại VTCB lò xo khơng biến dạng)
* Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng
nghiêng. Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
* F
đh
= k|∆l + x| với chiều dương hướng xuống
* F
đh
= k|∆l - x| với chiều dương hướng lên
+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): F
Max
= k(∆l + A) = F
Kmax

(lúc vật ở vị trí thấp nhất)
+ Lực đàn hồi cực tiểu:
* Nếu A < ∆l ⇒ F
Min
= k(∆l - A) = F
KMin
* Nếu A ≥ ∆l ⇒ F
Min
= 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo
khơng biến dạng)
6. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các
lò xo có độ cứng k
1
, k
2
, … và chiều dài tương ứng là l
1
,
l
2
, … thì có: kl = k
1
l
1
= k
2
l
2
= …
7. Đo chu kỳ bằng phương pháp trùng phùng

Để xác định chu kỳ T của một con lắc lò xo (con lắc
đơn) người ta so sánh với chu kỳ T
0
(đã biết) của một
con lắc khác (T ≈ T
0
).
Hai con lắc gọi là trùng phùng khi chúng đồng thời đi
qua một vị trí xác định theo cùng một chiều.
Thời gian giữa hai lần trùng phùng
0
0
TT
T T
θ
=
−
Nếu T > T
0
⇒ θ = (n+1)T = nT
0
.
Nếu T < T
0
⇒ θ = nT = (n+1)T
0
. với n ∈ N*
Trong một chu kì, chất điểm qua vị trí
=
0

x x
là 4 lần,
nên
( )
π
ω ϕ α
+ = +
2
t k
8. Năng lượng trong dao động điều hòa:
đ t
E E E= +
a. Động năng:
2 2 2 2 2
1 1
sin ( ) sin ( )
2 2
đ
E mv m A t E t
ω ω ϕ ω ϕ
= = + = +
b. Thế năng:
2 2 2 2 2
1 1
cos ( ) cos ( );
2 2
t
E kx kA t E t k m
ω ϕ ω ϕ ω
= = + = + =

Chú ý:
2 2 2
2 2 2
2
1 1
2 2
1 1
: Vật qua vò trí cân bằng
2 2
1
: Vật ở biên
2
đM M
tM
E m A kA
E mv m A
E kA
ω
ω

= =



= =



=



Thế năng và động năng của vật biến thiên tuấn hồn với
' 2
'
2
' 2
f f
T
T
ω ω
=



=


=


của dao động.
Trong một chu kì, chất điểm qua vị trí
=
0
x x
là 4 lần,
nên
( )
π
ω ϕ α

+ = +
2
t k
III. CON LẮC ĐƠN
1. Con l¾c dao ®éng víi li ®é gãc bÐ (<10
0
- ®Ĩ ®ỵc coi
nh mét D§§H)
2
2
2
4
l gT
T l
g
π
π
= ⇒ =
tøc l tØ lƯ thn víi T
2
nªn
l = l
1
+ l
2
-----> T
2
= (T
1
)

2
+ (T
2
)
2

Tần số góc:
g
l
ω
=
; chu kỳ:
2
2
l
T
g
π
π
ω
= =
;
tần số:
1 1
2 2
g
f
T l
ω
π π

= = =
2.Lực hồi phục
2
sin
s
F mg mg mg m s
l
α α ω
= − = − = − = −
+ Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối
lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục khơng phụ thuộc vào
khối lượng.
6
0
s
s
0
hpM
hp
hpm
g
F m
g
F m
l
l
F

=


= ⇒


=

3.1 Phương trình dao động:
a. Phương trình li độ góc:
0
cos( )t
α α ω ϕ
= +
(rad)
b. Phương trình li độ dài:
0
cos( )s s t
ω ϕ
= +
với s = αl, S
0
= α
0
l
c. Phương trình vận tốc dài:
0
'; sin( )
ds
v s v s t
dt
ω ω ϕ

= = = − +
⇒ v = s’ = -ωS
0
sin(ωt + ϕ) = -ωlα
0
sin(ωt + ϕ)
d. Phương trình gia tốc tiếp tuyến:
2
2 2
0
2
'; ''; cos( );
t t t t
dv d s
a v a s a s t a s
dt dt
ω ω ϕ ω
= = = = = − + = −
Chú ý:
0
0
;
s
s
l l
α α
= =
e. Tần số góc, chu kì, tần số và pha dao động, pha ban
đầu:
3.2 a. Tần số góc:

2
2 ( / );
g mgd
f rad s
T l I
π
ω π ω
= = = =
b. Tần số:
1 1
( );
2 2
N g
f Hz f
T t l
ω
π π
= = = =
c. Chu kì:
1 2
( ); 2
t l
T s T
f N g
π
π
ω
= = = =
d. Pha dao động:
( )t

ω ϕ
+
e. Pha ban đầu:
ϕ
Chú ý: Tìm
ϕ
, ta dựa vào hệ phương trình
0
0
cos
sin
s s
v s
ϕ
ω ϕ
=


= −

lúc
0
0t =
Lưu ý: S
0
đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
4. Hệ thức độc lập: a = -ω
2
s = -ω
2

αl

2 2 2
0
( )
v
S s
ω
= +

2
2 2
0
v
gl
α α
= +
Chú ý:
0
2
0
: Vật qua vò trí cân bằng

: Vật ở biên
M
M
M
M
v s
a

v
a s
ω
ω
ω
=


⇒ =

=


5. Cơnăng:
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
W
2 2 2 2
ω α ω α
= = = =
mg
m S S mgl m l
l
6. Khi con lắc đơn dao động với α
0
bất kỳ.
Cơ năng W = mgl(1-cosα
0
);

Tốc độ v
2
= 2gl(cosα – cosα
0
)
Lực căng T = mg(3cosα – 2cosα
0
)
- Khi con lắc đơn dao động điều hồ (α
0
<< 1rad) thì:
2 2 2 2
0 0
1
W= ; ( )
2
mgl v gl
α α α
= −

2 2
0
(1 1,5 )
C
T mg
α α
= − +
7. Năng lượng trong dao động điều hòa:
đ t
E E E= +

a. Động năng:
2 2 2 2 2
0
1 1
sin ( ) sin ( )
2 2
đ
E mv m s t E t
ω ω ϕ ω ϕ
= = + = +
b. Thế năng:
2 2 2 2 2
0
1 1
(1 cos ) cos ( ) cos ( );
2 2
t
g g g
E mgl m s m s t E t
l l l
α ω ϕ ω ϕ ω
= − = = + = + =
Chú ý:
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0
2
0 0
1 1

(1 cos )
2 2
1 1
: Vật qua vò trí cân bằng
2 2
1
(1 cos ): Vật ở biên
2
đM M
tM
g
E m s m s mgl
l
E mv m s
g
E m s mgl
l
ω α
ω
α

= = = −



= =



= = −



Thế năng và động năng của vật dao động điều
hòa với
' 2
'
2
' 2
f f
T
T
ω ω
=



=


=


Vận tốc:
2
0 0
2 (1 cos ) 2 (cos cos )v v gl gl
α α α
= ± − − = ± −
Lực căng dây:
0

(3cos 2cos )mg
τ α α
= −
8. C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng vỊ sù thay ®ỉi chu kú
tỉng qu¸t cđa con l¾c ®¬n (chó ý lµ chØ ¸p dơng cho
sù thay ®ỉi c¸c u tè lµ nhá):
g
g
l
l
T
T
T
TT
T
T '
.
'
1
'
1
'
'
'
−=−=
−
=
∆
0
' 2 2 2 2

cao sau
h h
T t g l
T R R g L
α
∆ ∆ ∆ ∆
= + + − +
víi : R = 6400km,
' , ' , 'T T T g g g l l l∆ = − ∆ = − ∆ = −
NÕu bµi to¸n cho thay ®ỉi u tè nµo th× dïng u tè ®ã
®Ĩ tÝnh cßn c¸c u cßn l¹i coi nh b»ng kh«ng
Sù sai lƯch ®ång hå trong mét ngµy ®ªm sÏ lµ :
86400
'
T
T
τ
∆
=
+ Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l
1
có chu kỳ
T
1
, con lắc đơn chiều dài l
2
có chu kỳ T
2
, con lắc đơn
chiều dài l

1
+ l
2
có chu kỳ T
2
,con lắc đơn chiều dài l
1
- l
2
(l
1
>l
2
) có chu kỳ T
4
.
Thì ta có:
2 2 2
3 1 2
T T T= +
và
2 2 2
4 1 2
T T T= −
7
9. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ cao h
1
, nhiệt độ t
1
.

Khi đưa tới độ cao h
2
, nhiệt độ t
2
thì ta có:
2
T h t
T R
λ
∆ ∆ ∆
= +
Với R = 6400km là bán kính Trái Đât, còn λ là
hệ số nở dài của thanh con lắc.
10. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ sâu d
1
, nhiệt độ
t
1
. Khi đưa tới độ sâu d
2
, nhiệt độ t
2
thì ta có:
2 2
T d t
T R
λ
∆ ∆ ∆
= +
Lưu ý: * Nếu ∆T > 0 thì đồng hồ chạy chậm

(đồng hồ đếm giây sử dụng con lắc đơn)
* Nếu ∆T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh
* Nếu ∆T = 0 thì đồng hồ chạy đúng
* Thời gian chạy sai mỗi ngày
(24h = 86400s):
86400( )
T
s
T
∆
θ =
11. Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực không
đổi:
Lực phụ không đổi thường là:
* Lực quán tính:
F ma= −
ur r
, độ lớn F = ma (
F a↑↓
ur r
)
* Lực điện trường:
F qE=
ur ur
, độ lớn F = |q|E (Nếu q > 0
⇒
F E↑↑
ur ur
; còn nếu q < 0 ⇒
F E↑↓

ur ur
)
* Lực đẩy Ácsimét: F = DgV (
F
ur
luông thẳng đứng
hướng lên)
Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất
khí.
g là gia tốc rơi tự do.
V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay
chất khí đó.
Khi đó:
'P P F= +
uur ur ur
gọi là trọng lực hiệu dụng hay trọng
lực biểu kiến (có vai trò như trọng lực
P
ur
)
'
F
g g
m
= +
ur
uur ur
gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia
tốc trọng trường biểu kiến.
Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó:

' 2
'
l
T
g
π
=
Các trường hợp đặc biệt:
*
F
ur
có phương ngang:
+ Tại VTCB dây treo lệch với phương thẳng đứng một
góc có:
tan
F
P
α
=
thì
2 2
' ( )
F
g g
m
= +
*
F
ur
có phương thẳng đứng thì

'
F
g g
m
= ±

+ Nếu
F
ur
hướng xuống thì
'
F
g g
m
= +
+ Nếu
F
ur
hướng lên thì
'
F
g g
m
= −
12. Sự thay đổi chu kì dao động của con lắc đơn:
a. Theo độ cao (vị trí địa lí):
2
0h
R
g g

R h
 
=
 ÷
+
 
nên
2
h
h
l R h
T T
g R
π
+
= =
b. Theo chiều dài dây treo (nhiệt độ):
0
0
(1 )l l t
α
= + ∆

nên
α
π
∆
= = +
0
0

2 ( 1)
2
t
l t
T T
g
Thời gian con lắc chạy nhanh (chậm trong 1s):
2 1
1 1
T TT
T T
−∆
=
Độ lệch trong một ngày đêm:
1
86400
T
T
θ
∆
=
c. Nếu
1 2
l l l= +
thì
2 2
1 2
T T T= +
; nếu
1 2

l l l= −
thì
2 2
1 2
T T T= −
d. Theo lực lạ
l
F
ur
:
2 2
hay
hay 2
hay
cos
l hd
l hd hd
hd
l hd
F P a g g g a
l
F P a g g g a T
g
g
F P a g g g a
π
α

↑↑ ↑↑ ⇒ = +



↑↓ ↑↓ ⇒ = − ⇒ =



⊥ ⊥ ⇒ = + =

ur ur r r
ur ur r r
ur ur r r
Chú ý: Lực lạ có thể là lực điện, lực từ, lực đẩy Acsimet,
lực quán tính (
qt
a a= −
uur r
)
Gia tốc pháp tuyến:
2
; : baùn kính quyõ ñaïo
n
v
a l
l
=
•Lực quán tính:
F ma= −
ur r
, độ lớn F = ma
(
F a↑↓

ur r
)
•Chuyển động nhanh dần đều
a v↑↑
r r

(
v
r
có hướng chuyển động)
•Chuyển động chậm dần đều
a v↑↓
r r
•Lực điện trường:
F qE=
ur ur
, độ lớn F = |q|E;
Nếu q > 0 ⇒
F E↑↑
ur ur
;
Nếu q < 0 ⇒
F E↑↓
ur ur
•Lực đẩy Ácsimét: F = DgV (
F
ur
luôn thẳng đứng
hướng lên)
Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất

khí.
g là gia tốc rơi tự do.
8