Chuyên đề đường tròn

1






CHUYÊN ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRÒN

Tiết 21: XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Định nghĩa đường tròn, hình tròn:
- Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một
khoảng bằng R, ký hiệu (O ; R), hoặc (O)



* Định nghĩa hình tròn:
- Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm
nằm bên trong đường tròn đó.





+ Tính chất của đường tròn:
- Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
- Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường
tròn.

Ví dụ: Cho hình vẽ:
Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn.
Giải:
- O là tâm đối xứng.
- AB, CD là trục đối xứng của đường tròn.

* Cung và dây cung:
- Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O. Hai điểm
này chia đường tròn thành hai phần mỗi phần gọi là một cung tròn (Gọi
tắt là cung).
- Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung.

- Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất.



* Sự xác định đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác:
- Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của
đường tròn đó hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường
tròn đó.



O
R
R
O

DC
O

A
D
B
C
A
A
A
B
O
Hình.1
Hình.
Hình.
3

Hình.
4

Hình.
5


2

Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B
Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó.
Giải:
Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB
=> (O;
2
AB

)

Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm đó.
Giải:
Vẽ các đường trung trực ba cạnh của ∆ABC
O là giao của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác => O là tâm của
đường tròn đi qua đi qua ba điểm A, B, C.

- Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một đường tròn. Nói cách khác qua ba đỉnh
của một tam giác ABC bao giờ cũng dựng được một đường tròn xác định. Ta nói đường
tròn đó ngoại tiếp tam giác, hay tam giác đó nội tiếp đường tròn.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo.
OA =
2
cm. Vẽ (A; 2cm). Trong 5 điểm: A, B, C, D, O điểm nào
nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ?. Điểm nào
nằm ngoài đường tròn ?.
Giải:
OA =
2
< 2 => O và A nằm trong đường tròn tâm A.
AB = AD = 2 => B và D nằm trên đường tròn tâm A.
AC = 2
2
> 2 => C nằm ngoài đường tròn tâm A.

Bài 2: Cho (O), dây AB. Biết M là trung điểm của AB, cho OA =
5cm, OM = 3cm .
Tính AB ?
Giải:
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông OAM
ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
OA AM OM
AM OA OM
AM OA OM 5 3 4
= +
⇒ = −
⇒ = − = − =


Vậy AB = 2AM = 8 cm.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là
trung điểm của cạnh huyền.
Chứng minh:
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A.
Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC
Nối O với A => OA là đường trung tuyến
C
O
B

A
5
3
O
M
B
A
A
B
C
O
2
2
A
B
D
C
O
Hình.
6

Hình.
7

Hình.
9

Hình.
8

3

Do đó OA =
1
2
BC => OA = OB = OC
=> O là tâm đường tròn đi qua A, B, C
Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC


Tiết 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Tâm đối xứng:
A’ đối xứng với A qua O.
Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn.
O
A'
A


b) Trục đối xứng:
C’ đối xứng với C qua đường kính thẳng AB.
Do đó đường kính AB là một trục đối xứng của (O)
I
O
C'
C

B
A

Vậy, bất kỳ đường kính nào cũng là một trục đối xứng của đường tròn; đường tròn có
vô số trục đối xứng.

c) Đường kính và dây của đường tròn.
Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn
nhất là đường kính.
AB
≥
CD; AB
≥
EF

F
E
D
C
O
B
A



d) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây

Hình.1
0

Hình.1
1

Hình.1
2

O
R

4

Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc
với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

AB là đường kính, CD là một dây của (O);
Nếu AB
⊥
CD tại I thì IC = ID
I
D
C
O
B
A


Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua
trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc
với dây ấy.

AB là đường kính, CD là một dây khác đường kính của
(O);
Nếu AB
∩
CD = I
Và IC = ID thì AB
⊥
CD
I
D
C
O
B
A


Ví dụ:
Đường kính AB đi qua trung điểm của dây CD nhưng
không vuông góc với CD.
(Vì dây CD đi qua tâm O)
O
D
C
B
A


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:

Cho hình vẽ, tìm điểm M’ đối xứng với M qua O?

M
O


Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là điểm đối xứng với M
qua O
(Vì OM’ = OM)
M'
M
O





Bài 2:
Hình.1
3

Hình.1
4

Hình.1
5

Hình.1
6

Hình.1
7


5


Cho hình vẽ, tìm điểm C’ đối xứng với C qua đường
thẳng AB?
C
O
B
A

Giải:
Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại
I, cắt (O) tại C’, khi đó C’ là điểm đối xứng với C qua
AB
(Vì AB
⊥
CC’ và IC = IC’)
I
C'
C
O
B
A

Bài 3:

Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm;
OM = 3 cm. Tính AB =?

Hướng dẫn: Đường kính OM
⊥
AB nên M là trung
điểm của AB
⇒
AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM từ
đó tính AB.

M
B
A
O

3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) AB > HK
Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABH là trung điểm I của AB)
+ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABK là trung điểm I của AB)
+ (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua bốn
điểm A, B, H, K )
b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) )
HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) )
So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O )

Bài 5:
Cho hình vẽ, biết OA = 10 cm;
OM = 6 cm. Tính AB =?

Hướng dẫn: Dây AB không đi qua tâm, đường kính OM
đi qua trung điểm M của AB nên OM
⊥
AB
⇒
AB =
2AM.
Xét tam giác vuông AMO để tính AM
⇒
AB = 2AM
M
B
A
O


TIẾT 23: DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Hình.1
8

Hình.1
9

Hình.2
0

Hình.2
1


6


I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Dây cung và khoảng cách đến tâm
+ Định lý : Trong một đường tròn
Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lí 1: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn
- Dây gần tâm hơn thì lớn hơn

H
K
O
A
B
D
C

+Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi
OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD
- dây AB = CD
⇔
OH = OK

- dây AB > CD
⇔
OH < OK

2. Vị trí tương đối của dường thẳng và đường tròn :
Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH là khoảng cách từ tâm đường tròn đến
đường thẳng a; (OH = d).
+ Đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
Ta có:



A B


+ Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.
Ta có:


a



+ Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Ta có:



a

VD1: d = 3cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn cắt nhau )
VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau )
VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại
I. IM = 2cm ; IN = 14cm . Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.

Hình.2
2

d < R

H

d

R

d = R

H

d

R

d > R

H

O

O

O

Hình.2
3

Hình.2
4

Hình.2
5


7

Giải
Kẻ OH
⊥
MN
OK
⊥
PQ
MN = MI + IN = 2 + 14 = 16 (cm)
MH =
1
2
MN = 8(cm)

IH = MH – MI = 8 – 2 = 6(cm)
Do MN = PQ nên OH = OK

I
K
H
O
Q
P
NM

Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông .
Do đó OH = OK = IH = 6(cm)

Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d
là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) :

R d
Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
5cm
7cm
6cm
3cm
……
8cm
……………….
Tiếp xúc nhau
…………
Giải

R d
Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
5 cm
7 cm
6 cm
3 cm
7 cm
8 cm
Đường thẳng cắt đường tròn
Tiếp xúc nhau
Đường thảng và đường tròn không giao nhau

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho (O; 12cm) đường kính CD vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho

NID
= 30
o
. Tính độ dài dây MN.
Hướng dẫn
- Kẻ OH
⊥
MN
- Xét tam giác vuông HOI Có :

HIO
= 30
o
do đó OH

=
0
2
I
= 3 (cm)
- Xét tam giác vuông HON có :
HN
2
= NO
2
– OH
2

⇒
HN =
3 15
(cm)
Vì MN = 2 HN vậy MN =
6 15
(cm)


H
I
M
O
N
D
C

Bài 2. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 6 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán
kính 10cm.
a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn tâm O ? Vì sao ?
b. Gọi B và C là giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O. Tính độ dài BC.
Hướng dẫn
a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) vì OH = 6 cm, OB = 10 cm; OH < OB
Hình.2
5

Hình.2
6


8


hay d < R
b) HC =
22
OHOB −
=
22
610 −
= 8
(cm)
BC = 16 cm

Tiết 24: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Ba vị trí tương đối của đường tròn.
* Hai đường tròn cắt nhau:
+ Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B
+ Hai điểm chung A và B được gọi là 2 giao điểm.
+ Đoạn thẳng nối 2 giao điểm AB gọi là dây chung.
+ OO’ gọi là đoạn nối tâm.
+ R - R’ < OO' < R + R’


* Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
+ Hai đường tròn có 1 điểm chung A
+ Điểm chung A được gọi là giao điểm.
a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:
OO' = R + R’

b) Hai đường tròn tiếp xúc trong:
OO' = R – R’


* Hai đường tròn không giao nhau:
+ Hai đường tròn không có điểm chung.

a) Nếu (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + R’

b) Nếu (O) đựng (O’) thì: OO’ < R + R’


c) (O) và (O’) đồng tâm thì: OO’ = 0











B

C

A
R R'
O O'
B

a)
O R R' O'
A
b) O O' A

a)

O R R' O'
b) O R O'
R'
c)
O O'


a)
d
1
Hình.2
6

Hình.2
7

Hình.2
8

1
0

6

O

H


9

* Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
+ d1, d2 là hai tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường
tròn (O) và (O’)



+ m1 và m2 là 2 tiếp tuyến chung trong của 2
đường tròn (O) và (O’)






II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
Cho hình vẽ, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau
tại điểm A.
Chứng minh rằng OC // OD
Chứng minh:
Xét
∆
OAC có OA = OC (cùng là bán kính của (O))
Suy ra
∆
OAC cân tại O do đó

C
=


1
A
(1)
Chứng minh tương tự ta có:
∆
O’AD cân tại O’.
Do đó

2
A
=

D
(2)
Mặt khác: Â1 = Â2 (đối đỉnh) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra:

C
=

D

Vậy OC // O’D vì có hai góc so le trong bằng nhau.

3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 2:
Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn
đường kính OA.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn.

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C.
Chứng minh rằng AD = CD.
Chứng mính:

a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA.
Vì OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong.
b) Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh A nên

'
ACO
=

D
, suy ra O’C //
OD.
Tam giác AOD có AO’ = O’O và O’C // OD nên AC = CD.


C
O R R' O'
A
D

C D
C
A
O O'

Hình.3
0

Hình.3
1


10

100
o

Tiết 25: GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG
LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc ở tâm , số đo cung
1.Góc ở tâm :
+ Định nghĩa : Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi
là góc ở tâm.
VD:

AOB
( hình 32) là góc ở tâm
- Cung AB được ký hiệu là:

AB
,

AmB
là cung nhỏ,


AnB
là cung lớn.
- Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn

VD:

AmB
là cung bị chắn bởi

AOB


A
B
O
m
n


2. Số đo cung:
+ Định nghĩa :
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360
0
và số đo của cung nhỏ
Số đo của nửa đường tròn bằng 180
0

+ Kí hiệu : Số đo của cung AB được kí hiệu Sđ


AB

VD: Hình 39 cung nhỏ

AmB
có Sđ là 100
0

cung lớn Sđ

AnB
= 360
0
- 100
0
Sđ

AnB
= 260
0


A
B
O
m
n
100

3. So sánh hai cung
+ Khái niệm : Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
+ VD: - Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là

AB
=

CD

- Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là

EF
<

GH
hay

GH
>

EF

2. Liên hệ giữa cung và dây
2. 1. Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
GT
(0); A,B,C,D

∈
(0)
Hình.3
3

Hình.3
2


11

O
C
B
A
D
H
K
KL
a; AB = CD =>

AB
=

CD


b;

AB

=

CD
=> AB = CD

2.2. Định lí 2 :
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?
b) Từ 1 giờ đến 1 giờ 30 phút thì kim phút quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?
Bài giải.
Với mặt đồng hồ như đường tròn, thì mỗi giờ các kim quay được một góc 30
0
.
Do đó kết quả ý a, là: 60
0
; ý b, là: 180
0
.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho:
AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường
vuông góc OH, OK xuống BC và BD ( H
∈
BC, K
∈
BD).

a)Chứng minh rằng OH < OK
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Bài giải
a, Trong tam giác ABC theo bất đẳng thức tam giác ta có:
BC > AB – AC
Do AC = AD nên BC > AB – AD hay BC > BD
Theo định lý về dây cung và khoảng cách đến tâm, từ BC >
BD suy ra OH < OK
b, Theo ý a, BC > BD suy ra BC > BD










III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Hai tiếp tiếp tuyến tại A, B của đường tròn tâm (O;R) Cắt nhau tại M. Biết
OM = 2R. Tính số đo của góc ở tâm AOB ?
gt
(0); A,B,C,D
∈
(0)
kl

a;


AB
>

CD
=> AB>CD

b; AB >CD =>

AB
>

CD

O
D
C
B
A

Hình.3
5

Hình.3
6


12

Bài giải
Vì OM = 2R nên ON = NM, MA

⊥
OM suy ra AN = ON =
OA
⇒
∆
AON đều, nên

AOB
= 60
0
.
Vậy

AOB
= 2

AOM
= 120
0
.


A
O
M
B
N


TIẾT 26: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn
+ Định lý:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi
qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.





Ví dụ 1:
Hình 38. Đường thẳng xy đi qua điểm C của đường tròn (0)
và vuông góc với bán kính OC
⇒
đường thẳng xy là tiếp
tuyến của đường tròn (0)





O
C
y
x

- Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (hình 39)

+ A cách đều hai tiếp điểm B và C
+ Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
AB, AC.
+Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC.



Ví dụ 2: Trên hình 43 ta có:
BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0).
Theo tính chất tiếp tuyến ta có :
AB
⊥
OB, AC
⊥
OC . Hai tam giác vuông OAB và OAC có OB = OC , OA là cạnh chung.
Do đó
∆
OAB =
∆
OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC.


OAB OAC
=
nên AO là tia phân giác của

BAC
.
Hình.3

7

Hình.3
8

Hình
39


13



AOB AOC
=
nên OA là tia phân giác của

BOC
.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm . Vẽ đường tròn (B, BA).
Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn .
Chứng minh :
Theo giả thiết ta có :
∆
ABC có AB =3, AC = 4, BC =5 nên BC2 = 52 = 25
AB
2
+ AC

2
= 32 + 42 = 25 vậy BC
2
= AB
2
+ AC
2

⇒
∆
ABC vuông tại A. Cũng theo giả thiết thì
A ∈ (B;BA) nên AC là tiếp tuyến (B,BA).



Bài 2 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) , kẻ
các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp
điểm).Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường
tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở D, E .
Chứng minh rằng chu vi
∆
ADE bằng 2AB.
Chứng minh:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :
AB = AC, DM = DB, EM = EC.
Vậy chu vi tam giác ADE bằng :
AD + DE + AE = AD + (DM + ME) + AE
= AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C,
CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A) . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường
tròn (B).
Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông góc
với AB (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) . Gọi M là điểm bất
kỳ thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt By ở N.
a, Tính số đo

MON
?
b, Chứng minh rằng MN = AM + BN.
c, Chứng minh rằng AM. BN = R2 (R là bán kính của đường tròn).


Tiết 27 : GÓC NỘI TIẾP
VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA GÓC NỘI TIẾP VÀ CUNG BỊ CHẮN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
+ Định nghĩa góc nội tiếp :

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của
đường tròn đó.
- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Ví dụ :
Hình.4
0

Hình.4
1

14

B
O
C
A

B
C
O
A


Hình 42 (a;b) :

BAC
là góc nội tiếp.
+ Tính chất của góc nội tiếp :
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ : sđ

BAC
=
1
2
sđ

BC

+ Hệ quả :
Trong một đường tròn :
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng
chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Ví dụ :
Hình 44.
0
F
A
C
B
D
E


Hình 45.
0
F
A
C
B
D
E

J
I
H

Hình 44 :

BAC
=

EDF
=>


sdBC = sdEF

Hình 45 :

BAC
=

BJC
=

BIC
và

EDF
=

EHF

mà

BAC
=

EDF
nên

BAC
=

BJC
=

BIC
=

EDF
=

EHF

0
F
A
B


Hình 46

Hình 47
0
C
D
E

Hình 46 :

AF
B
=
1
2

OF
B

Hình 47 :

DCF
=90
0
( do DE là đường kính )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
B
O
C
A
Hình.43
Hình.42.b

Hình.42.a

15

Bài 1 : Trong các hình vẽ sau, hình vẽ nào có góc nội tiếp:
A.
0
C
A

B.
0
T
V
U

C.
0

D.
0

Đáp án: Hình D:
Bài 2. Quan sát hình vẽ sau, hãy cho biết số cặp góc nội tiếp cùng chắn một cung là :


Đ.Án C: Có 4 cặp góc nội
tiếp cùng chắn 1 cung đó là
:


WY
Z
và

ZXY
cùng chắn
cung ZY ;

WZX
và

WYX
cùng chắn cung WX

WXZ
và

ZYW
cùng chắn cung ZW;

XZY
và

YWX
cùng chắn cung XY.

Bài 3. Trên hình vẽ sau, cho biết ABC là tam giác đều. Số đo cung nhỏ AC bằng :

A. 120

0
B. 90
0
C. 60
0
D. 240
0

Đáp án A : Vì sđ

ABC
=
1
2
sđ

AC
mà

ABC
=
60
0
( gt ) => sđ

AC
= 120
0
.

0
C
A
B

A. 2 cặp B. 3 cặp

C. 4 cặp D. vô số cặp

0
Y
Z
W X
Hình.
43

Hình.48
Hình.49

16

Bài 4. Trên hình vẽ sau, cho biết

ADO
= 25
0
. Số đo
cung DB bằng :
A. 25
0

B. 50
0

C. 60
0

D. Không tính được.
Đ. Án B : Vì

DAB
=

ADO
= 25
0
( do
∆
AOD là
tam giác cân )
=> sđ

DAB
=
1
2
sđ

DB
hay sđ


DB
= 2sđ

DAB
=
50
0


Bài 5. Trên hình vẽ sau, cho biết

MAB
= 20
0
;

DMB
= 30
0
. Sđ

DnB
bằng :
A. 50
0

B. 30
0

C. 60
0

D. 100
0
Đ. Án D : Vì trong tam giác MAD có

AMD
= 30
0
;

ADM
= 20
0
nên

DAB
= 50
0

=> Sđ

DnB
= 100
0
.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho hai đường tròn (o) và (o,) cắt nhau tại A và
B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn.

Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Hướng dẫn :
Chỉ ra

ABD
= 1V;

ABC
= 1V =>

CBD
= 180
0
=>
đpcm.

Bài 2. Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (o).
Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song
song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S.
Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Hướng dẫn :
Do

MCB
=

ACM
( cùng chắn hai cung bằng nhau,


AM
=

MB
)



NMC
=

MCB
( so le trong ) =>

ACM
=

NMC
hay
SMC là tam giác cân
=> SM = SC

Mặt khác :

NAC
=

NMC
( cùng chắn cung NC ),

mà

ANM
=

NMC
(=

ACM
)
=>


CAN ANM
=
hay SAN là tam giác cân => SA
= SN
0
B
A
D







n
A

O
B
M
D




A
B
O
0
C
D







S
O
CA
B
M
N

Hình.50
Hình.53

Hình.52
Hình.51

17

Tiết 28: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

xAB
họăc

yAB

- Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Sđ

xAB
=
1
2
Sđ

AnB

Ví dụ: Cho

AnB
có số đo 50

0
=> Sđ

xAB
=
0
0
50
25
2
=

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: a) Góc trong hình nào là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung?








Hình 55 Hình 56 Hình 57 Hình 58 Hình 59

b) Giải thích tại sao góc trong các hình còn lại không phải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung?
Bài giải:
a) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc ở hình 4.
b) Các hình còn lại không phải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
- Hình 1: Đỉnh không nằm trên đường tròn.

- Hình 2: Một cạnh không phải tia tiếp tuyến.(Là cát tuyến)
- Hình 3: Không có cạnh nào là dây cung.
- Hình 5: Hai cạnh của góc chứa hai dây cung.
Bài 2: Cho hình vẽ 6. Biết cung

AmB
có số đo 60
0
.
Tính

xAB
= ?
Giải:

Áp dụng công thức ở mục 1 ta có: Sđ

xAB
=
0
60
2
= 30
0
Hình 60

Bài 3: Cho đường tròn tâm 0, đường kính AB, bán kính 0C vuông góc với AB. Tính số đo
góc tạo bởi dây AC và tia tiếp tuyến tại A?

GT Cho (0;

2
AB
), OC
⊥
AB,
tia tiếp tuuyến Ax
n
m
O
O
O
O
O
B
x
A
m
C
B
x
O
A

18

KL Sđ

xAC
= ?

Giải:
Vì 0C
⊥
AB =>

AOC
= 90
0
=> Cung nhỏ

AC
= 90
0

Theo công thức ở mục 1 ta có Sđ

xAC
=
1
2
Sđ

AC
=
0
90
2
= 45

0


Bài 4: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng có bờ AB (
khác phía với C) kẻ tiếp tuyến Ax qua A. Tính số đo góc xAB?

GT Cho (O) ngoại tiếp
△
ABC,
AB = BC = CA, tia tiếp tuyến Ax
KL

xAC
= ?



Giải:
Vì tam giác ABC là đều nên ba điểm A,B,C chia đường tròn làm ba phần bằng nhau.
=>



AB BC AC
= =
=
360
3
= 120
0

Áp dụng công thức ở mục 1 ta có Sđ

xAC
=
1
2
Sđ

AC
=
0
120
2
= 60
0

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Cho đường tròn tâm 0 đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn, Gọi T là
giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh:


APO
=

PBT
.
Hướng dẫn:
Kéo dài P0 cắt (0) tại Q. Nhận xét hai góc 0
1

và 0
2

So sánh hai cung nhỏ QA và BP, từ đó so sánh hai góc

APO
và

PBT






TIẾT 29: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
CUNG CHỨA GÓC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

* Góc đỉnh có ở bên trong đường tròn :
x
0
C
B
A
2
1
Q

T
P
O
B
A
F
O
n
m
D
C
B
A
Hình.
61

Hình.62
Hình.63

19

1) Đặc điểm:
- Đỉnh ở bên trong đường tròn
- Hai cạnh là 2 cát tuyến .
2) Định lí : Số đo của một góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai
cung bị chắn
Nối AD ta có

DFB
là góc ngoài của tam giác ADF

Nên :

DFB
=


DAB ADC
+
=


2
sd AmC sdBnD
+

Vậy

DFB
=


2
sd AmC sd BnD
+

* Chú ý :Góc ở tâm là trường hợp đặc biệt của góc ở đỉnh có ở bên trong đường tròn (chắn 2
cung bằng nhau)
* Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn :
1)Đặc điểm :
- Đỉnh ở bên ngoài đường tròn

- Hai cạnh đều là cát tuyến hoặc 1 cạnh là cát tuyến, 1 cạnh là tiếp tuyến hoặc hai cạnh là
tiếp
2) Định lí: Số đo của một góc có đỉnh ở bên ngoài đường
tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn
a) Hai cạnh đều là cát tuyến :
Nối AB Ta có :

DAB
là góc ngoài của
∆
EAB


DAB
=

DEB
+

ABC

Ta có:

DEB
=

DAB
-

ABC

=


2
sdDnB sd AmC
−

b) Một cạnh là cát tuyến ,1 cạnh là tiếp tuyến :
Nối AC Ta có :

DAC
Là góc ngoài của
∆
EAC

DAC
=

DEC
+

ACE


DEC
=

DAC
-


ACE
=


2
sdDnC sd AmC
−

c) Hai cạnh đều là tiếp tuyến :
Nối AC Ta có :

CAx
là góc ngoài của
∆
EAC

AEC
=

CAx
-

ACE
=


2
sd AnC sd AmC
−

*Bài toán qũy tích “cung chứa góc” :
* Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc
∝
( 0
0
<
∝
<
180
0
). Tìm quỹ tích( tập hợp) các điểm M thỏa mãn

AMB
=
∝
.Ta
cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới
góc
∝
)
* Kết luận :Với đoạn thẳng AB và góc
α
(0
0
<
α
<180
0
) cho trước thì
quỷ tích các điểm M thoả mãn


AMB
=
α
là hai cung chứa góc
α
dựng
trên đoạn AB
E
O
n
m
D
C
A
E
O
n
m
C
A
E
B
O
n
m
D
C
A
m

d
α
α
M
/
y
x
O
M
B
A
Hình.64
Hình.64
Hình.65
Hình.66
Hình.67

20

* Chú ý : - Hai cung chứa góc nói trên là 2 cung tròn đối xứng với nhau qua AB
- A,B được coi là
∈
quỷ tích .
-
α
=90
0
: Quỹ tích là cả đường tròn đường kính AB.
b, Cách giải bài toán qũy tích
Muốn chứng minh quỹ tích(tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó,

ta phải chứng minh hai phần:
+ Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
+ Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
+ Kết luận: Quỹ tích(tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Cho hình vẽ:
Hãy tính :

DAB
+

ADC


Giải:
Ta có :

ADC
và

DAB
là góc nội tiếp của đường tròn (O)
Nên:

ADC
=

1

2
sd AmC
và

DAB
=

1
2
sd BnD

Vậy :

DAB
+

ADC
=


2
sd AmC sd BnD
−


III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1: Cho đường tròn ( O ) và hai dây AB, AC bằng
nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm
của AM và BC. Chứng minh rằng


ASC
=

MCA

Hướng dẫn :

ASC
là góc có đỉnh ở bên ngoài (O) và

MCA
là góc nội tiếp (O)

ASC
⇒
=


2
sd AB sdCM
−
=


2
sd AC sdCM
−
=

1

2
sd AM
=

MCA

(Do AB=AC suy ra

sd AB
=

sd AC
)

Bài tập 2: Dựng tam giác ABC biết BC = 6 cm

A
= 40
0
và đường cao AH = 4 cm
Giải:
- Dựng đoạn thẳng BC =6cm
- Dựng cung chứa góc 40
0
trên đoạn thẳng BC
- Dựng đt d//BC và cách BC 1 khoảng bằng 4 cm.Đoạn thẳng d cắt cung chứa góc
40
0
tại A
- Nối AB,AC ta được

∆
ABC cần dựng .
- Biện luận : bài toán có 2 nghiệm hình .


Tiết 30: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
S
O
M
C
B
A
B
F
O
n
m
D
C
A
Hình.70
Hình.69
Hình.68

21

O
A
B
D

C

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a.Khái niệm
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn
(Gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
b. Định lí
+ Thuận:
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
⇒


A
+

C
=

B
+

D
= 180
0

+ Đảo
Tứ giác ABCD có:

A
+


C
= 180
0
hoặc

B
+

D
= 180
0
⇒
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn



* Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn :
 Tứ giác nội tiếp đường tròn có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 180
0
.
 Hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi.
 Hai đỉnh đối diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.
 Bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cố định.
 Chứng tỏ tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.
Ví dụ 1: Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp được đường tròn .
O
O
O
A

B
D C
A
B
D C
A
D
B
C

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại N, hai cạnh AB và CD
cắt nhau tại M. Các điều kiện sau đây là tương đương.
a) Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.
b)

ACB
+

ADC
= 180
0
.
c)

ACB
=

ADB

d)


DAB
=

MCB

N
A
D
M
C
B


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Qua A kẻ tiếp tuyến AB và cát
tuyến AMN với đường tròn (O). Lấy điểm I là trung điểm MN. Chứng minh ABIO là tứ
giác nội tiếp .
Giải

Hình.72
Hình.73
Hình.71

22

*Trường hợp 1: Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về hai nửa mặt phẳng chứa đoạn
thẳng OA
Ta có:
AB là tiếp tuyến của (O) nên


ABO
= 90
0

I là trung điểm của dây cung MN nên OI
⊥
MN
hay

AIO
= 90
0

Do đó :

ABO
+

AIO
= 90
0
+ 90
0
= 180
0

⇒
ABIO là tứ giác nội tiếp.
I

N
M
O
B
A


*Trường hợp 2: Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về cùng nửa mặt phẳng chứa đoạn
thẳng OA
C1.Ta có:
I và B cùng thuộc cùng chứa góc 90
0
dựng trên đoạn
OA nên tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn
C2. Lấy C là trung điểm của OA
Ta có :
CB = CA = CO (∆ABO vuông tại B) (1)
//
//
C
I
N
M
O
B
A

Ta có : CI = CA = CO (∆AIO vuông tại I) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CA=CB = CI = CO
vậy A, B, I,O cùng thuộc (I) hay tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn

Bài tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy 2 điểm C và D
sao cho

AC
=

CD
=

DB
, các tiếp tuyến kẻ từ C và D của đường tròn cắt nhau tại I, kẻ từ A
và B của đường tròn cắt nhau tại K.
a) CM : KIBC là tứ giác nội tiếp.
b) CM :

CIB
=

CKB
và

CBK
=

CIK
.
a) Ta có

KCI
=

1
2

A C
(đối đỉnh với góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung chắn

A C
) (1)

KBI
=
1
2

BD
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến v
à dây cung)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra

KCI
=

KBI
hay C,B cùng thuộc
cung chứa góc dựng trên đoạn KI
⇒
Tứ giác KIBC nội tiếp đường tròn.
M

K
I
B
O
A
C
D



b) Vì tứ giác KIBC nội tiếp đường tròn.Nên ta có:

CIB
=

CKB
( Góc nội tiếp cùng chắn một cung

CB
)

CBK
=

CIK
( Góc nội tiếp cùng chắn một cung

CK
)

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Hình.74
Hình.74
Hình.
74

Hình.75
Hình.75

23

Bài tập 1: Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi:
Khẳng định Đúng Sai
a,


+ =
0
DAB BCD 180


b, Bốn đỉnh A, B, C, D cách đều điểm I.
c,


DAB BCD.
=

d,


ABD ACD.
=


e, Góc ngoài tại đỉnh B bằng góc A.
f, Góc ngoài tại đỉnh B bằng góc D.
g, ABCD là hình thang .
h, ABCD là hình thang vuông.
k, ABCD là hình thoi.

Đáp án:
a, Đúng.
b, Đúng.
c, Sai.
d, Đúng.
e, Sai.
f, Đúng.
g, Sai.
h, Sai.
k, Sai.
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sư
ưư
ư t
t t

tư
ưư
ưi
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu





-

- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 –
––
– 0989824932
0989824932 0989824932
0989824932

E mail:


-
Trang
1

-

Bài tập 2 : Cho
∆
ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Vẽ hai đường cao AD và BE của
tam giác lần lượt cắt đường tròn (O) tại M và N ; Gọi H là giao điểm của AD và BE . Chứng
minh
a/ Tứ giác HECD nội tiếp trong một đ/tròn .
b/ Tứ giác ABDE nội tiếp trong một đường tròn
c/ CM = CN
Hướng dẫn giải.
a/ Tứ giác HECD nội tiếp
Ta có

HEC
= 900 (BE là đường cao)

HDC
= 900 (AD là đường cao)
vậy

HEC
+

HDC
=180
0

⇒
tứ giác HECD nội tiếp trong một đường tròn

b/ Tứ giác ABDE nội tiếp
Ta có :

AEB
= 900 (AD là đường cao)

ADB
= 900 (BE là đường cao)
H
D
E
O
C
A
B
M
N

Mà

AEB
và

ADB
cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABDE nội tiếp .
c) Chứng minh
∆
MCN cân tại C
⇒
CM = CN .

Tiết 31: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN- DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Độ dài đường tròn.
R là bán kính của đường tròn tâm O
thì: C = 2
π
R.
d là đường kính của tròn tâm O
thì: C =
π
d.
π
: Là một số vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là 3,14.
Ví dụ 1:
Chu vi( độ dài) vành xe đạp có đườmg kính 650 mm là
C = 3,14 .650 = 2041(mm) = 2,041(m)
2. Công thức tính độ dài cung tròn.
Trên đuờng tròn bán kính R, độ dài l của một cung n
0
được tính theo công thức:
l =
180
Rn
π

Ví dụ 2
Độ dài cung tròn 60

0
của đường tròn có bán kính 2dm là:
l =
3,14.2.60
180
= 2,1(dm)
3. Công thức tính diện tích hình tròn
Hình.76
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sư
ưư
ư t
t t
tư
ưư
ưi
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu





-

- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027

ĐT: 2207027 –
––
– 0989824932
0989824932 0989824932
0989824932

E mail:


-
Trang
2

-

S = π.R2
R là bán kính của đường tròn tâm O

π
: Là một số vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là 3,14.
Ví dụ 3
Tính diện tích của hình tròn có bán kính 2cm
Giải
S = π.R2 ≈ 3,14. 22 ≈ 12,56 (cm
2
)
hoặc S = π.R2= π.22 = 4π (cm
2
)
4. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

S
q
=
2
360
R n
π
hay Sq =
2
lR

R là bán kính của đường tròn tâm O

π
: Là một số vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là 3,14.
l : là độ dài cung tròn n
o

Ví dụ 4:
Tính diện tích hình quạt tròn của đường tròn có bán kính 6cm biết số đo cung là 360.
Sq = ?, R = 6cm, n
0
= 360, Công thức S
q
=
2
360
R n
π

Kết quả : Sq ≈ 11,3 (cm2)

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài 40 000km. Hãy tính bán kính của
trái đất

Bài 2: Tính diện tích của hình tròn tâm O biết chu vi của nó là 144cm.
Hướng dẫn
Từ công thức C = 2
π
R. => R =
2
C
π
=
144
2.3,14
≃
22,92 cm
Vậy diện tích hình tròn tâm O là S = 3,14. (22,92)2
≈
1649,52 (cm
2
)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Biết C = 12cm tìm bán kính R của đường tròn.
Hướng dẫn
C = 2πR => R =
2
C

π
=
12
2.3,14
= 1,91cm
Bài 2:
Biết S
q
=114cm2 của đường tròn có bán kính 12 cm tìm số đo cung tròn ứng với diện tích hình
quạt tròn đã cho.
Hướng dẫn
Sq =
2
360
R n
π
=
0
.
360
S n
=> n
0
=
.360
q
S
S
mà S =
2

R
π
= 3,14. 122 = 452,16 cm2
Thay số n
o
=
114.360
3,14.12

≈
90,76
0


O
R

A

B

n
0

Hình.77