Chuyên để đường tròn trong mặt phẳng(phân dạng và bài tập)

A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT
PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
1. Phương pháp giải.
Cách 1:
- Đưa phương tŕnh đă cho về dạng: (C) : x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (1)
- Xét dấu biểu thức P = a
2
+ b
2
– c
+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R =
2 2
a b c+ −
+ Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= P (2).
+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R =
P
+ Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán
kính nếu có.
a) x

2
+ y
2
+2x -4y + 9 = 0
b) x
2
+ y
2
-6x +4y + 13 = 0
c) 2x
2
+ 2y
2
-8x -4y -6 = 0
d) 5x
2
+ 4y
2
+x -4y + 1 = 0
Giải: a) Ta có: a
2
+ b
2
– c = -4 < 0 ⇒ phương trình này không phải là phương trình đường
tròn.
b) Ta có: a
2
+ b
2
– c = 0 ⇒ phương trình này không phải là phương trình đường tròn.

c) Ta có: a
2
+ b
2
– c = 8 ⇒ phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và
bán kính R =
5
2
7
d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x
2
và y
2
khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x
2
+ y
2
-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)
a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m.
Giải: (1) là phương trình đường tròn ⇔ a
2
+ b
2
– c > 0 ⇔ m
2
– 3m + 2 > 0 ⇔
2
1

m
m
>


<

Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I(m ; 2(m – 2)) và bán kính: R =
2
3 2m m− +
1
Ví dụ 3: Cho (C): x
2
+ y
2
-2xcos α -2y sin α + cos 2 α = 0
a) CMR: (C) là đường tròn.
b) Xác định α để (C) có bán kính Max
c) Tìm quỹ tích tâm I khi α thay đổi.
Giải:
a) a
2
+ b
2
– c = 1 – cos2 α ≥0 với mọi α
Khi a
2
+ b
2
– c = 0 thì coi là đường tròn có bán kính bằng 0.

c) Có R
2
= 2 sin
2
α ≤ 2. R
max
=
2
⇔ anpha = π /2 + k π
d) Toạ độ tâm I:
os
sin
x c
y
α
α
=


=

Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương
trình đường tròn: x
2
+ y
2

= 1.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.

Cách 1:
- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)
- Tìm bán kính R của đường tròn (C)
- Viết phương trình của (C) theo dạng (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
.
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0.
- Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
- Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý: :
*) Đường tròn (C) đi qua các điểm A, B ⇔ IA
2
= IB
2
= R
2
*) Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC", bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường tròn
đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước. Giải bài này ta làm theo cách 2.
Ví dụ 4 : Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0).
b) Có đường kính AB: A( 1; 1), B( 7; 5).

c) Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)
Giải:
2 2
1 5+
=
26
a) Đường tròn này có bán kính là OI =
2 2
1 5+
=
26

phương trình đường tròn có dạng (x-1)
2
+ (y+5)
2
= 26
2
b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =
2 13
13
2
=
 Phương trình đường tròn: (x-4)
2
+ (y-3)
2
= 13
d) Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x
2

+ y
2
-2ax -2by + c = 0.
Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:
2
4 16 4 8 0
1
25 25 10 10 0
2
36 4 12 4 0
20
a
a b c
a b c b
a b c
c
= −

+ + − + =


 
+ − − + = ⇔ = −
 
 
+ − + + =

= −



Vậy phương trình đường tròn có dạng: x
2
+ y
2
+ 4x +y -20 = 0
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.
Chú ý:
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d(I, ∆ ).= R
- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆: tại A ⇔ d(I, ∆ ) = IA.= R
- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
⇔ d(I, ∆
1
) = d(I, ∆
2
) = R.
Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.
b) (C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0.
Giải:
a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (∆ )
Ta có: R = d(I;;∆ ) =
3
3
1
=

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x-2)

2
+ (y – 3)
2
= 9
b) Ta có: R = d(I;;∆ ) =
1 4 7
2
1 4 5
− − −
=
+

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x+1)
2
+ (y – 2)
2
= 4/5
Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và
Oy
Giải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần tìm cũng ở góc phần tư thứ
tư. Do đó tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn.
R = IA ⇒ (2 – R)
2
+ (-1+ R)
2
= R
2
⇔ R
2
– 6R + 5 = 0 ⇒

1
5
R
R
=


=

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)
2
+ (y+1)
2
= 1
(x-5)
2
+ (y+5)
2
= 25
3
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d
1
: 3x + 4y + 5 = 0 và d
2
: 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình
đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng
d
1
và d
2

.
Giải:
Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d
⇒ toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)
- Vì đường tròn tiếp xúc với d
1
, d
2
nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này
bằng nhau và bằng bán kính R.
⇒
3(6 10) 4 5 4(6 10) 3 5
5 5
a a a a+ + + + − −
= ⇔
0
22 35 21 35
70
33
a
a a
a
=


+ = + ⇔
−

=


*) Với a = 0 ⇒ I(10;0) và R = 7 ⇒ ptđt: (x-10)
2
+ y
2
= 49
*) Với a = -70/33 ⇒ I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33
⇒ phương trình đường tròn: (x+ 30/11)
2
+ (y+70/33)
2
= (97/33)
2
Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y +
13 = 0 và với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2).
Giải:
Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường
thẳng đã cho và đến tiếp điểm M bằng nhau:
⇒
2 2
7 7 5 13
(1)
5 2 2
13
(1 ) (2 ) (2)
2
x x y
x y
x y

− − + +

=



+ +

= − + −


Từ (1) ⇒
3 35
7 5 5 5 65
3 15
x y
x y x y
y x
= +

− − = + + ⇔

= − −

*) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y
2
+ 4y + 4 = 0 ⇔ y = -2 ⇒ x = 29; R = 20
2
Phương trình đường tròn có dạng: (x-29)
2
+ (y+2)
2

= 800
*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x
2
+ 12x + 36 = 0 ⇔ x = -6 ⇒ y = 3 ; R = 5
2
Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)
2
+ (y-3)
2
= 50
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y – 35;
x – 1 = 0
Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường
thẳng đã cho bằng nhau:
4
⇒
3 4 35 3 4 35
(1)
5 5
1
3 4 35
(2)
1
5
x y x y
x
x y

+ − − −
=




−
− −

=


Từ (1) ⇒
35
3
0
x
y

=


=

Thay vào (2) ta được
35 40 32
, ,
3 3 3
25, 16
0
5, 4
x y R
x R

y
x R

= = ± =


= − =


= ⇒


= =


Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:
(x+25)
2
+ y
2
= 256
(x-5)
2
+ y
2
= 16
(x-35/3)
2
+ (y+40/3)
2

=(32/3)
2

(x-35/3)
2
+ (y-b=40/3)
2
= (32/3)
2

Ví dụ 10: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với
hai đường thẳng: d
1
: 3x – y + 3 = 0, d
2
= x – 3y + 9 = 0.
Giải: Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng x = 5 nên toạ độ của tâm I có dạng I
(5;b).Gọi R là bán kính đường tròn.
Khoảng cách từ I đến d
1
là: R =
15 3
10
b− +
.
Khoảng cách từ I đến d
2
là: R =
5 3 9
10

b− +
.
⇒
2 40
18 14 3
8
10
b R
b b
b
R

= − =

− = − ⇔ ⇒


=
=



Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:
(x-5)
2
+ (y+2)
2
= 40
(x-5)
2

+ (y-8)
2
= 10
Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách1:
- Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác: r =
S
p
- Gọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
⇒
Khoảng cách từ tâm I đến ba
cạnh bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y.
- Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn phải tìm.
Cách 2:
5
- Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.
- Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.
- Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác ta được bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)
Giải:
a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung
điểm của cạnh huyền AB ⇒ I(4;3)
Bán kính R = IA = 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
(x-4)

2
+ (y-3)
2
= 25
b) Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24
Cạnh huyền AB = 10
Nửa chu vi p = 12 ⇒ r =
S
p
=2
Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)
2
+ (y-2)
2
= 4
Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:
4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0
Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:
AB: 4x-3y-65 = 0;
BC: 7x-24y+55 = 0
CA: 3x+ 4y – 5= 0
⇒ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.
AB = 20; BC = 25; CA = 15
Diện tích tam giác là: S = 150
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đến
đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
4 3 65 7 24 5 3 4 5
5

5 25 5
x y x y x y− − − + + −
= = =
Giải hệ này ta tìm được I(10;0)
6
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)
2
+ y
2
= 25
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tìm toạ độ giao điểm.
Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 (1) (A
2
+ B
2
≠ 0)
và đường tròn (C): x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (2). (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của ∆ và (C). Số giao điểm của ∆ và (C) là số nghiệm của
hệ phương trình:
2 2
Ax 0
2ax 2 0
By C
x y by c

+ + =


+ − − + =

- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆ và (C) không có giao điểm nào ⇒ ∆ không cắt đường tròn.
- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì ∆ và (C) có một giao điểm ⇒ ∆ tiếp xúc với
đường tròn.
- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường tròn tại
hai điểm phân biệt
Nhận xét: ∆ và (C) có điểm chung ⇔ ∆ cắt hoặc tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R.
Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến ∆ ⇒ h =
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
TH1: h> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒ ∆ và (C) không có giao điểm nào.
TH2: h = R ⇔ ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒ ∆ và (C) có duy nhất một giao điểm.
TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và (C) có 2 giao điểm.
Nhận xét:
Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâm đến
toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.
Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R =
13
a) Viết phương trình đường tròn.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Giải:

Phương trình đường tròn là: (x+1)
2
+ (y-2)
2
= 13.
Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và d ta sủ dụng cách 1.
Toạ độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:
7
2 2
5 2 0
( 1) ( 2) 13
x y
x y
− − =


+ + − =

Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)
Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:
d: mx-y-3m-2=0
(C): x
2
+ y
2
-4x-2y = 0
Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp
2 để giải.
Tâm và bán kính của đường tròn này là: I(2;1) và R =
5

Khoảng cách từ tâm I đến d là h =
2
3
1
m
m
+
+
TH1:
2
3
1
m
m
+
+
<
5
⇔ (m+3)
2
<5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4> 0 ⇔
1
2
2
m
m


< −


>

⇒ h < R ⇒ d và (C) có 2 giao điểm.
TH2:
2
3
1
m
m
+
+
=
5
⇔ (m+3)
2
=5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4= 0 ⇔
1
2
2
m
m


= −


=

⇒ h = R ⇒ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C).
TH3:
2
3
1
m
m
+
+
>
5
⇔ (m+3)
2
>5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2
⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 15: Cho (C): x
2
+ y
2
-4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1).

1) Viết phương trình đường thẳng ∆
1
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB đạt giá trị lớn nhất.
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
2
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB đạt giá trị nhỏ nhất.
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
3
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
DA=2DB
Giải:
Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.
8