Phương trình bậc hai và hệ thức viét

1
Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham
số
Bài toán 1 : Giải ph ơng trình bậc hai có chứa tham số .
Ph ơng pháp
: Xét các trờng hợp của hệ số a :
- Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phơng trình bậc nhất .
- Nếu a

0 thì tiến hành các bớc sau:
+ Tính biệt số
)(
'

.
+ Xét các trờng hợp của
)(
'

( Nếu
)(
'

chứa tham số ).
+ Tìm nghiệm của phơng trình theo tham số.
Bài 1 : Giải phơng trình bậc hai ( m là tham số ) sau :
a) x
2
- 2(3m - 1)x + 9m
2
- 6m - 8 = 0

b) x
2
- 3mx + 2m
2
- m - 1 = 0
c) 3x
2
- mx + m
2
= 0
d) x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0
HDẫn : a/
'

= 9 ; x
1
= 3m + 2 ,
2
x
= 3m - 4
b/

= (m + 2)
2
: + m

-2 : x
1

= 2m + 1 ,
2
x
= m - 1
+ m =-2 : x = -3 ( nghiệm kép)
c/

= -11m
2
: + m = 0 : x = 0 ( nghiệm kép)
+ m

0 : PT vô nghiệm.
d/
'

= m
2
- 3m + 4 = (m -
2
3
)
2
+
4
7
> 0 :+ x
1
= m - 1 +
4

7
2
3
2
+






m
+
2
x
= m - 1 -
4
7
2
3
2
+






m
Bài 2 : Giải phơng trình (m là tham số) :

(m - 1)x
2
- 2mx + m + 2 = 0
HDẫn : * m =1 : x =
2
3
* m

1 :
'

= 2 - m
+ m > 2 : Vô nghiệm.
+ m = 2 : x = 2 (nghiệm kép )
+ m < 2 :
1
2
1

+
=
m
mm
x
;
1
2
2

=
m
mm
x
Bài 3 : Giải phơng trình (m là tham số) :
(m - 1)x
2
+ 3mx + 2m + 1 = 0
HDẫn : + m = 1 : x =-1
+ m

1 :x
1
=-1 ; x
2
=
m
m
a
c

+
=

1
12
*1*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bài 4 : Giải phơng trình (m là tham số) :
x

2
- 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0
HDẫn :
'
=m
2
- 9 Nếu : -3<m<3 : Vô nghiệm
Nếu



=
=
3
3
m
m
thì



=
=
4
2
x
x
( nghiệm kép)
Nếu

>
<
3
3
m
m
thì
91
2
2,1
+= mmx
2
Bài 5 : Giải phơng trình (m là tham số) :
(4m
2
+ 4m + 1)x
2
- 2m(2m + 1)x + m
2
= 0
HDẫn : m =-
2
1
vô nghiệm.
m

-
2

1
,
'
=0 : x =
12 +m
m
(nghiệm kép)
Bài toán 2 : T ìm giá trị của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép,có hai nghiệm
phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm.
Ph ơng pháp:
Điều kiện để phơng trình bậc 2 có :
- Nghiệm kép
( )



=

0
0
'
a
- Hai nghiệm phân biệt
( )



>

0'

0a
- Có nghiệm :+Xét a= 0 (Nếu a chứa tham số )
+Xét
( )





0'
0a

- Vô nghiệm : + Xét a= 0
+ Xét
( )



<

0'
0a
Bài 6 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
a) 2x
2
- 4x + m = 0 (m < 2)
b) 5mx
2
- 4x - 3m = 0
(m

0
)
c) mx
2
- 3x + m = 0
(-
2
3
2
3
<< m
, m
0
)
Bài 7 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm kép :
a) 3x
2
- 2mx + 1 = 0
(m =
3
)
b) 4mx
2
- 6x - m - 3 = 0
(m = -
2
3
)
c) (m + 2)x
2

- 2(m - 1)x + 4 = 0 (m = 7 hoặc m = -1)
Bài 8 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau vô nghiệm :
a) 3x
2
+ 2mx + 4 = 0
(-2
3
<m< 2
3
)
*2*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
b) x
2
- (2m + 3)x + m
2
= 0
(m <-
4
3
)
c) m
2
x
2
+ mx + 3 = 0
(

m)
Bài 9 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm :

a) mx
2
- 2(m + 1)x + m + 3 = 0
b) (m
2
- m)x
2
+ 2mx + 1 = 0
HDẫn : a/ + m = 0 : x =
2
3

+ m

0 : m

1
b/ + m = 0 : Vô nghiệm.
+ m = 1 : x =-
2
1
+ m
0
, m
1
:
0'


m > 0

3
Bài 10 : Cho phơng trình : mx
2
+ 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0
Tìm các giá trị của m để phơng trình :
a) Có nghiệm kép .
b) Có 2 nghiệm phân biệt.
c) Vô nghiệm .
HDẫn : a/



=

0'
0m






=
=

5
9
4
m
m

b/



>

0'
0m






<
>

0,
5
9
4
mm
m
c/ + m = 0 : Có nghiệm.
+ m
0

:
4
5

9
0' <<< m
Bài 11 :
a) Tìm các giá trị nguyên dơng của k để phơng trình :
x
2
- 4x + k = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ( k = 1; 2; 3 )
b) Tìm các giá trị nguyên âm của m để phơng trình :
2x
2
- 6x + m + 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ( m = -3; - 4; - 5; )
Bài 12 : Cho phơng trình (m là tham số) :
(2m - 7)x
2
+ 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0
Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép đó.
HDẫn :



+=

252'
072
2
mm
m

=
=

2
1
2
m
m
+ Với m = 2 : x = 3
+ Với m =
2
1
: x = 1
Bài 13 : Cho phơng trình (m là tham số) : (m + 3)x
2
+ 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0
Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
HDẫn :
( )








<

>








+






+=
+
1
3
0
64
551
8
19
14
03
2
m
m

mm
m
Bài toán 3 : Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc 2 nhận một số k (k

R) cho

tr ớc làm nghiệm .
Ph ơng pháp
:
- Thay giá trị x = k vào phơng trình tìm tham số.
- Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào
21
xx +
hoặc
21
.xx
để tìm nghiệm còn lại
(nếu cần).
Bài 14 : Xác định giá trị của tham số m để phơng trình :
a) (3m + 4)x
2
- (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhận 3 làm nghiệm. ( m = -
13
36
)
4
b) (m
2
+ 1)x
2

+ (3m - 4)x + m - 11 = 0 nhận - 2 làm nghiệm. (




=
=
4
1
1
m
m
)
Bài 15 : Tìm giá trị của m để phơng trình :
a) mx
2
- 3x - 5 = 0 có một nghiệm bằng -1. ( m = 2 )
b) x
2
- 2(m - 1)x + m - 5 = 0 có một nghiệm bằng 3. ( m = 2 )
Bài 16 : Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng 1.Tìm nghiệm còn lại :
a) 2x
2
- 3x + m = 0 ( m = 1 ,
2
1
2
=x
)
b) 3x

2
+ 7x + m = 0 ( m = -10 ,
3
10
2
=x
)
Bài 17 : Với giá trị nào của k thì phơng trình :
a) 2x
2
+ kx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.Tìm nghiệm còn lại .
b) k
2
x
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.Tìm nghiệm còn lại .
c) (k - 4)x
2
- 2kx + k - 2 = 0 có một nghiệm bằng
3
.Tìm nghiệm còn lại .
HDẫn : a/ k = 8 , x
2
= - 1
b/ k =
7
74

, x
16

7
2
=

*4*
c/ k = 7
( )
32 +
, x
47
3914
2
+
=


Bài 18 : Cho phơng trình (2m - 1)x
2
- 4mx + 4 = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm bằng m.
HDẫn :+



=

0)22(
012
2'
m

m









0)22(
2
1
2
m
m
ta có :
2
1
=x
;
12
2
2

=
m
x
Phơng trình có nghiệm bằng m thì

=
=
12
2
2
m
m
m







=
=

4
171
2
m
m
+ m =

2

1
phơng trình (1) có nghiệm x = 2
2
1
2
1
= m
không thoả mãn.
Bài 19 : Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để
phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
1
=
x
* m
1
: m - 1 + (-2m) +m +1 = 0
1
1
= x
;
1
2
1
1
1
2

+=

+
=
mm
m
x
{ }
3;2;0;12;11 = mm
Bài 20 : Cho phơng trình x
2
+ (2m - 5)x - 3n = 0 . Xác định m và n để phơng trình có 2
nghiệm là 3 và -2.
5
HDẫn :



=+
=
1434
636
nm
nm




=
=

2
2
n
m
Bài 21 : Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là
2
1
:
mx
2
+ (mn + 1)x + n = 0
HDẫn :
( )







=+++
=

0
2
1
.1
4
0

0
nmn
m
m






=
=

2
1
2
n
m
Bài 22 : Xác định các số m, n của phơng trình: x
2
+ mx + n = 0 sao cho các nghiệm của
phơng trình cũng là m và n.
*5*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
HDẫn : *

= m
2
- 4n 0
nm 4

*







=+



=
=
=



=
=




==
=+=+
02:
2
1
0:

0
0

2
2
21
21
xxPT
n
m
xPT
n
m
nnmxx
mnmxx
Bài toán 4 : Chứng minh ph ơng trình bậc 2 có nghiệm .
Ph ơng pháp
:
- Cách 1 : Chứng minh
( )
0'

- Cách 2 : Chứng minh ac < 0
( Chú ý : Cả 2 cách đều phải xét các trờng hợp a = 0 và a

0 nếu a chứa tham số )
Bài 23 : CMR các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m :
a) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 d) x

2
+ 4x - m
2
+ 4m - 9 = 0
b) x
2
- mx + m - 4 = 0 e) (m + 1)x
2
+ x - m = 0
c) -3x
2
+ 2(m - 2)x + 2m + 5 = 0 f) x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m + 5) = 0
( dùng ac < 0 )

Bài 24 : CMR phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0

) có nghiệm, biết rằng 5a + 2c = b .
HDẫn :

= b
2

- 4ac = (5a + 2c)
2
- 4ac = ( 4a + 2c)
2
+ 9a
2

0

Bài 25 : Cho phơng trình mx
2
- (2m - 1)x + m = 0 (1) .Gọi
21
, xx
là 2 nghiệm của phơng
trình (1) . Chứng minh rằng nếu
2
2
2
1
2
=+ xx
thì phơng trình (1) có nghiệm kép.
HDẫn :+
2
2
2
1
2
=+ xx

2
1
22)(
21
2
21
==+ mxxxx
+



==

021
0
'
m
m

2
1
= m


kết luận ?
Bài 26 : CMR phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b, c :
a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0
b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0
c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Với a + b + c

0)
6
HDẫn : a/ 3x
2
- 2.(a + b + c)x + ab = 0

=(a -
2
b
)
2
+
0
4
3
2

b
b/ 3x
2
- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0
( ) ( ) ( )
[ ]
0
2
1
222
222
++=++= accbbacabcabcba

c/ (a + b + c)x
2
- 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0


= a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
- a
2
bc - ab
2
c - abc
2
*6*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
=
( )
[ ]
( )
[ ]

( )
[ ]
{ }
++
222
2
1
bacacbcba
0
Bài 27 : Cho phơng trình (a, b là tham số ) :
ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm.
b) Tìm giá trị của a, b để phơng trình có một nghiệm kép là
2
1
.
HDẫn : a) a = 0 : x = b
a

0 :

= (ab-1)
2


0
b)

=
+

=
2
1
2
1
01
a
ab
ab







=
=
2
1
2
b
a

Bài 28 : CMR : Nếu phơng trình cx
2
+ bx + a = 0 (1) có nghiệm
thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (2) cũng có nghiệm .
HDẫn :
2

= b
2
- 4ac =
0
1

Bài 29 : CMR phơng trình sau có nghiệm với mọi a và b :
x
2
+ (a + b)x - 2(a
2
- ab + b
2
) = 0
HDẫn :

= (3a + b)
2
+ 8b
0
2

Bài toán 5 : Chứng minh ít nhất 1 trong 2 ph ơng trình đã cho có nghiệm .
Ph ơng pháp
:
- Tính các biệt số
21
;
.
- Chứng minh
0
21
+
hoặc
0.
21

để suy ra một biệt số không âm (Chú ý kết
hợp giả thiết nếu có)
Bài 30 : Cho hai phơng trình : x
2
- 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x
2
+ x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
=+
21

26 > 0

có 1 biệt số không âm .
Bài 31 : Cho hai phơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 (1) và ax
2
+ bx - c = 0 (2)
CMR với mọi a, b, c ít nhất 1 phơng trình có nghiệm .
HDẫn :
=+
21

2
0
2
b


có 1 biệt số không âm .
Bài 32 : Cho hai phơng trình : x
2
+ (m - 1)x + m
2
= 0 (1) và x
2
+ 2mx - m = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
7
HDẫn :

=+

21
(m + 1)
2


0

có 1 biệt số không âm .
*7*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bài 33 : Cho hai phơng trình : x
2
- 3x - a - 2 = 0 (1) và x
2
+ ax + 1 = 0 (2)
CMR với mọi a trong 2 phơng trình trên luôn có ít nhất 1 phơng trình có hai
nghiệm phân biệt.
HDẫn :

=+
21

(a +2)
2
+ 9 > 0

có 1 biệt số lớn hơn 0 .
Bài 34 : Cho hai phơng trình : x
2
+ (m - 2)x +

4
m
= 0 (1)
và 4x
2
- 4(m - 3)x + 2m
2
- 11m + 13 = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
)4)(1(
1
= mm
;
)4)(1(16
2
= mm
0)4()1(16.
22
21
= mm


có 1 biệt số không âm .
Bài 35 : Cho b, c là các số thoả mãn :
2
11
=+
cb
. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng

trình sau có nghiệm : x
2
+ 2bx + c = 0 và x
2
+ 2cx + b = 0 .
HDẫn :
0)()(
222
2
'
1
'
=++=+ cbccbb


có 1 biệt số không âm .
Bài 36 : Cho hai phơng trình bậc hai : x
2
+ ax + b = 0 (1) và x
2
+ cx + d = 0 (2)
Biết b + d =
ac
2
1
. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
=+
21

(a - c)
2


0

có 1 biệt số không âm .
Bài 37: Cho hai phơng trình bậc hai : x
2
+
0
11
=+ bxa
và x
2
+
0
22
=+bxa
có các hệ số thoả
mãn điều kiện :
)(2
2121
bbaa +
. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình trên có
nghiệm .
HDẫn : Giả sử 2 phơng trình vô nghiệm :

=+
21

)(4
21
2
2
2
1
bbaa ++
< 0

)(4
21
2
2
2
1
bbaa +<+

2121
2
21
2)(4)( aabbaa +<



0


2121
2
21

2)(4)( aabbaa +<

)(2
2121
bbaa +<

( mâu thuẫn với giả thiết)
bài toán 6:Tìm giá trị của tham số để 2 ph ơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
Ph ơng pháp
:
* Cách 1 :
- Giả sử
0
x
là nghiệm chung, lập hệ 2 phơng trình ( ẩn x và tham số )
- Giải hệ phơng trình tìm
0
x
, tìm tham số .
- Thử lại : Thay các giá trị của tham số vào từng phơng trình, giải các
phơng trình, tìm nghiệm chung.
- Rút kết luận .
* Cách 2 : - Rút tham số từ 1 phơng trình đã cho
*8*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
- Thế giá trị của tham số vào phơng trình còn lại tìm x .
- Thay giá trị của x tìm m .
- Rút kết luận .
Bài 38 : Với giá trị nào của k thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung :
x

2
- (k + 4)x + k + 5 = 0
8
x
2
- (k + 2)x + k +1 = 0
HDẫn : x
0
= 2 ; k = 1
Bài 39 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ 2x + m = 0
x
2
+ mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x
0
= m - 2 : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x
2
+ 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
+ m

2 : x
0
= 1 ; m = -3
Bài 40 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0

2x
2
+ mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m - 4)x
0
= m - 4 : + m = 4 : hai phơng trình có dạng : x
2
+ 2x +3 = 0 ( vô nghiệm)
+ m

4 : x
0
= 1 ; m = -2
Bài 41 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
2x
2
+ (3m - 5)x - 9 = 0 (1)
6x
2
+ (7m - 15)x - 19 = 0 (2)
HDẫn :
* Cách 1 : m x
0
= 4 : + m = 0 : hai phơng trình không có nghiệm chung.
+ m

0 : x
0
=
m

4
; m = 4 hoặc m =
3
8

* Cách 2 : (1)

m =
x
xx
3
529
2
+
(x
)0
thay vào (2) :
4x
2
- 10x + 6 = 0 ta có x
1
= 1 ; x
2
=
2
3
. x
1
= 1

m = 4 ( nghiệm chung là 1)
. x
2
=
2
3


m =
3
8
( nghiệm chung là
2
3
)
Bài 42 : Với giá trị nào của m thì 2 phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
2x
2
- (3m + 2)x + 12 = 0 (1)
4x
2
- (9m - 2)x + 36 = 0 (2)
HDẫn : (1)

m =
x
xx
3
1222
2

+
(x
)0
thay vào (2) :
*9*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
x
2
- 4x = 0 ta có x
1
= 0 (loại) ; x
2
= 4
. x = 4

m = 3 ( nghiệm chung là 4)
Bài 43 : Tìm giá trị của m để 2 phơng trình :
x
2
+ x + m - 2 = 0 (1)
x
2
+ (m - 2)x + 8 = 0 (2) có nghiệm chung.
HDẫn : (2)

m =
x
xx 82
2

(x
)0
thay vào (1) :
x
3
- 8 = 0

x = 2

m = - 4 (nghiệm chung là 2)
Bài 44: Tìm giá trị nguyên của a để 2 phơng trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung.
2x
2
+ (3a - 1)x - 3 = 0 (1)
6x
2
- (2a - 3)x - 1 = 0 (2)
9
HDẫn : (11a - 6)x
0
= 8 : + a =
11
6
cả hai phơng trình vô nghiệm.
+ a


11
6

611
8
0

=
a
x
khi đó :
(1)
06816499
2
= aa
ta có : a
2
1
=
; a
99
34
2
=
(loại)
. a = 2 nghiệm chung là
2
1
Bài toán 7 : Khi ph ơng trình bậc hai có nghiệm , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa 2
nghiệm
x
1
và

x
2
không phụ thuộc vào tham số m.

Ph ơng pháp
:
- Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm :
( )





0
0
'
a
- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x
1
và x
2
.
- Tính m theo S, P.
- Khử m tìm hệ thức chỉ còn S, P . Thay S = x
1
+ x
2
, P = x
1
. x

2
Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình : x
2
- (m + 3)x + 2m - 5 = 0
mà hệ thức này không phụ thuộc vào m.
HDẫn : .

= (m -1)
2
+ 28
0
. m = S - 3 và m =
2
5+P
ta có hệ thức : 2(x
11)
2121
=+ xxx
Bài 46: Cho phơng trình : x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0 . Không giải phơng trình, hãy tìm 1
biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
HDẫn : .

= (m -
2
1
)
2
+

4
19
0
>
*10*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
. m =
2
2S
và m = P + 4 ta có hệ thức : x
0102
2121
=+ xxx
Bài 47 : Cho phơng trình : x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 . Khi phơng trình có nghiệm, hãy
tìm 1 hệ thức giữa
x
1
và
x
2
không phụ thuộc vào m.
HDẫn : .

=
2
2
02
2'
m
m
m
. m =
2
2S
và m =
2
3P
ta có hệ thức :
01)(
2121
=+ xxxx
Bài 48 : Cho phơng trình : (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 . Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm 1 hệ thức giữa
x
1
và
x
2
không phụ thuộc vào m.
HDẫn : .
100010

2'
+= mmm
và m
2
. m =
2
42

+
S
S
và m =
2
22


p
P
ta có hệ thức : 4
06)(
2121
=+ xxxx
Bài 49 : Cho phơng trình : (2m - 1)x
2
- 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 . Khi phơng trình có nghiệm,
10
hãy tìm 1 hệ thức giữa
x
1
và

x
2
không phụ thuộc vào tham số m.
HDẫn : .




++=
012
01899
2'
m
mm








2
1
21
m
m
. m =
22
8

+
S
S
và m =
52
2

+
P
p
ta có hệ thức : ( x
042)
2121
=++ xxx
Bài 50 : Trong các phơng trình sau, giả sử chúng có nghiệm x
1
và x
2
. Hãy tìm một hệ thức liên
hệ giữa các nghiệm của mỗi phơng trình không phụ thuộc vào tham số k.
a) (k - 1)x
2
- 2kx + k - 4 = 0 (k

1)
b) (k + 3)x
2
- 3(k + 4)x - k + 7 = 0 (k

-3)
c) kx
2
- 2(k + 1)x + (k - 4) = 0 (k

0)
HDẫn : a/ .
5
4
045
'
= kk

. k =
2S
S
và k =
1
4


P
P
ta có hệ thức : 3 ( x
082)
2121
=++ xxx
b/ .

++=
2
13
30
3
0605613
2
k
k
kk
. k =
3
312


S
S
và k =
1
37
+

P
P
ta có hệ thức : 10 (x
0333)

2121
=+ xxx
*11*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
c/ .
6
1
0016
'
+= kk

. k =
2
2
S
và k =
P1
4
ta có hệ thức :
05)(2
2121
=++ xxxx
Bài 51 : Cho phơng trình : (m + 1)x
2
- (2m - 3)x + m + 2 = 0 . Khi phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.
HDẫn : +

+
24
1
1
0
01
m
m
m
+
15
7
075
1
1
22121
+

==++

x
x
xxxxx
(hoặc ngợc lại)
Bài 52 : Cho phơng trình :
3
1
1
1

+
xx
= m . Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm
hãy biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia.
HDẫn : mx
2
- (4m + 2)x + 3m + 4 = 0 (x
1
; x
3
)
+



>+=

044
0
2

m
m
+
1
1
22121
2
25
0522
x
x
xxxxx


==+
Bài toán 8 : Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc hai có 2 nghiệm
21
, xx
thoả mãn
11
một đẳng thức liên hệ giữa 2 nghiệm.
Ph ơng pháp
:
- Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
:
( )

0
0
'
a
- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x
1
và x
2
.
- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phơng trình gồm 3 phơng trình.
- Giải hệ phơng trình tìm tham số.
- Đối chiếu điều kiện, thử lại, rút kết luận.
Bài 53 : Cho phơng trình : 3x
2
- 4x + m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng trình có các
nghiệm
21
, xx
thoả mãn :
21
3xx =
HDẫn : *
3
4
034' = mm
*m = 1 (t/m)
Bài 54 : Xác định giá trị của tham số k sao cho hai nghiệm
21
, xx

của phơng trình
x
2
- 6x + k = 0 thoả mãn điều kiện :
2023
21
=+ xx
HDẫn : *
909' = kk
*k = -16 (t/m)
Bài 55 : Cho phơng trình : x
2
- (m + 5)x - m + 6 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm
21
, xx
ta
*12*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
có hệ thức :
1332
21
=+ xx
HDẫn : *




+

++=

347
347
0114
2
m
m
mm
*



=
=
1
0
m
m
(t/m)
Bài 56 : Cho phơng trình : x
2
+ 2x + 3k = 0 . Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình, không
giải phơng trình hãy tìm giá trị của k để :
14
21
= xx
HDẫn : *
3

1
031' = kk
*k = -16 (t/m)
Bài 57 : Cho phơng trình : 3x
2
- mx + 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm
21
, xx
ta có
hệ thức :
22.3
121
= xxx
HDẫn : *






=
62
62
024
2
m
m
m
* m = 7 (t/m)
Bài 58 : Cho phơng trình : (m + 3)x

2
- 3mx + 2m = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm

21
, xx
ta có hệ thức :
32
21
= xx
HDẫn : *















=
+
24
0
3

024
03
2
m
m
m
mm
m
* m = -1 (t/m)
Bài 59 : Gọi
1
x
và
2
x
là những nghiệm của phơng trình : 3x
2
- (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn :
653
21
= xx
12
HDẫn : *
3
4
0)43(
2
+= kk
*

=
=
15
32
0
k
k
(t/m)
Bài 60 : Cho phơng trình : x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm

21
, xx
ta có hệ thức :
07)(53
2121
=++ xxxx
HDẫn : *
4
7
074 = mm
*

=
=
3
4
2
m
m
loại m =
3
4
Bài 61 : Cho phơng trình : x
2
+ (2 - 3m)x + m
2
= 0. Tìm các giá trị của m để phơng trình
có các nghiệm
21
, xx
thoả mãn :
2121
xxxx =+
*13*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
HDẫn : *

+=
2
5
2
04125
2
m
m
mm
*



=
=
2
1
m
m
loại m = 1
Bài 62 : Cho phơng trình bậc hai : (k + 1)x
2
- 2(k + 2)x + k - 3 = 0. Xác định k để giữa
hai nghiệm
21
, xx
ta có hệ thức :

18)14).(14(
21
=++ xx
HDẫn : *
6
7
076' += kk
* k = 7 (t/m)
Bài 63 : Cho phơng trình : x
2
- 2x + m = 0. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm
phân biệt
21
, xx
thoả mãn :
3
10
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
HDẫn : *
101
<>=
mm

*
3
1024
=

m
m
(m
0

)
3
=
m
(t/m)
Bài 64 : Cho phơng trình : x
2
- 2(m- 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng trình có
hai nghiệm phân biệt
21
, xx
thoả mãn :
5
11
21
21
xx
xx

+
=+
HDẫn : *
6
7
067' <>= mm
*



=
=
4
2
m
m
loại m = 2
Bài 65 : Tìm giá trị của m để phơng trình : x
2
- 3mx + m
2
= 0 có các nghiệm
21
, xx
thoả
mãn :
75,1
2
2
1

2
=+ xx
HDẫn : *
05
2
= m
*
2
1
=m
(t/m)
Bài 66 : Xác định m để hai nghiệm
21
, xx
của phơng trình : x
2
+ 3x + m = 0 thoả mãn
điều kiện :
34
2
2
1
2
=+ xx
13
HDẫn : *
4
9
049 = mm
* m =

2
25

(t/m)
Bài 67 : Tìm m để phơng trình : x
2
- 5x + 3m - 1 = 0 có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn điều
kiện :
17
2
2
1
2
=+ xx
HDẫn : *
12
29
01229 = mm
* m =
3
5
(t/m)
Bài 68 : Tìm giá trị của m để các nghiệm
21
, xx
của phơng trình : mx
2

- 2(m - 2)x + m - 3 = 0
thoả mãn :
1
2
2
1
2
=+ xx
HDẫn : *
40
04'
0




=

m
m
m
*



=
=
8
2
m

m
loại m = 8
Bài 69 : Xác định m để phơng trình : mx
2
- (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 có tổng bình phơng
các nghiệm là 13.
HDẫn : *



++=

mmm
m
014413641
0
2
*



=
=
8,1
4
m
m
(t/m)
Bài 70 : Cho phơng trình bậc hai : x
2

- 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 ( k là tham số). Gọi
21
, xx
là
hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị của k sao cho :
18
2
2
1
2
=+ xx
HDẫn : *
08)1('
2
>+= k
*



=
=
2
1
k
k
(t/m)
Bài 71 : Xác định m sao cho phơng trình : 3x
2
+ mx - 2 = 0 có các nghiệm
21

, xx
thoả
mãn :
9
13
2
2
1
2
=+ xx
HDẫn : *
024
2
>+= m
* m =
1
(t/m)
Bài 72 : Cho phơng trình bậc hai : (2m - 1)x
2
+ 2(1 - m)x + 3m = 0. Xác định m để
giữa hai nghiệm
21
, xx
ta có hệ thức :
4
2
2
1
2
=+ xx

HDẫn : *







+







++=

10
211
10
211
2
1
015'
012
2
m
m
mm

m
*




=
=
12
7
0
m
m
loại m =
12
7
Bài 73 : Cho phơng trình : x
2
+ 2x + 3k = 0 . Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình,
không giải phơng trình hãy tìm giá trị của k để :
a)
10
2
2
1
2
=+ xx

b)
20
2
2
1
2
= xx
HDẫn : *
3
1
031' = kk
* a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - 8 (t/m)
14
Bài 74 : Cho phơng trình : x
2
+ (m - 3)x - 2m + 1 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm

21
, xx
ta có hệ thức :
06
21
2
2
1
2
=++ xxxx
HDẫn : *
04)1(
2

>++= m
* m
2
- 14m + 13 = 0



=
=

13
1
m
m
(t/m)
Bài 75 : Tìm giá trị của m để phơng trình : x
2
- 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm
21
, xx
thoả
mãn :
2
2
3
1
3
=+ xx
HDẫn : *

=
1
1
01'
2
m
m
m
*
( ) ( )




=
=
=+=
2
1
1
012.1268
2
3
m
m
mmmm

loại m = -
2
1
Bài 76 : Cho phơng trình : x
2
- 4x + m = 0. Tìm giá trị của m để giữa hai nghiệm
21
, xx

thoả mãn :
26
2
3
1
3
=+ xx
HDẫn : *
404' = mm
* m = 6
3
1
( loại)
Bài 77 : Cho phơng trình : x
2
+ mx + n - 3 = 0 (1)
Tìm m và n để hai nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình (1) thoả mãn hệ thức

=
=
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
HDẫn : *

= m
2
4n + 12

0
*



=
=
7
1
2

2
2
1
21
xx
xx




=
=

3
4
2
1
x
x
thay vào (1) :



=
=




=+

=+
15
7
63
134
n
m
nm
nm
( t/m)
Bài 78 : Cho phơng trình : x
2
+ mx + n = 0 . Tìm m, n biết phơng trình có hai nghiệm x
1
,
x
2
thoả mãn



=
=
7
1
3
2
3
1
21

xx
xx
HDẫn : *

= m
2
4n

0 *



=
=
7
1
3
2
3
1
21
xx
xx
( )
( )

=
=



=
=

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
+ Từ (1):
)/(
2

3
2
1
mt
n
m
nm
nm



=
=





=
; + Từ (2):
)/(
2
3
1
42
mt
n
m
nm
nm

=
=




=+
=+
Bài 79 : Xác định các hệ số p và q để hai nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình: x
2
+px + q = 0
thoả mãn điều kiện



=
=
35
5
3
2
3
1

21
xx
xx
HDẫn : *

= p
2
4q

0 *










=
=



=
=

=
=
)/(
6
1
)/(
6
1
9015
254
2
mt
q
p
mt
q
p
q
qp

15
*16*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bài 80: Cho phơng trình
( )
0122
2
=+++ mxmx
. Gọi x

1
, x
2
là hai nghiệm của phơng
trình. Tìm giá trị của m để
( ) ( )
2
1221
2121 mxxxx =+
HDẫn : *
'

=
0
4
3
2
3
2
>+






+m
*
( ) ( )
2

1221
2121 mxxxx =+
( )



=
=
=+=+
2
0
024
2
2121
m
m
mmmxxxx
Bài 81: Cho phơng trình
( )
07232
2
=+ mxmx
(1)
Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x
1
, x
2
. hãy tìm m để
m
xx

=
+
+
+ 1
1
1
1
21
HDẫn : *

=
( )
04
2
m
*
m
xx
=
+
+
+ 1
1
1
1
21

4
337
0272

2

==+ mmm
Bài 82: Giải phơng trình
06
2
=+ mxx
. Biết rằng hai nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức:
10293939
3
22
2
1
3
1
2
21
=+++ xxxxxx
(*)
HDẫn : *

= m
2
- 2 4

0







62
62
m
m
*



=
=+
6
21
21
xx
mxx

(*)
( ) ( ) ( )
[ ]
1029339
2121

3
212121
=++++
xxxxxxxxxx
( )
343
3
21
=+ xx
)/(77
21
mtmxx ==+
Phơng trình: x
2
- 7x + 6 = 0 có x
1
= 1; x
2
= 6
Bài 83: Cho phơng trình x
2
- ( 2m + 1)x + m
2
+ m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x
1
<x
2
<4
HDẫn : *

= 1>0 * x
1
= m , x
2
= m + 1

x
1
< x
2
Do đó:
32
3
2
4
2
2
1
<<



<
>




<

>
m
m
m
x
x
Bài 84: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phơng trình: x
2
+ 2ax + 4 = 0 (1) có các
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện
3
2
1
2
2
2
1

+








x
x
x
x
HDẫn : *
'

= a
2
- 4

0






2
2
a

a

*
32
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1









+=

+








x
x
x
x
x
x
x
x
( )
5
2
2
21
21
2
21

+

xx
xxxx
5
4
84
2



a
( vì





2
2
a
a
nên 4a
2
- 8 > 0 )

16
)/(5252
2
mtaa ++
Bài 85: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình:
x
2
+ ax + 1 = 0 thoả mãn
7
2
1
2
2
2
1
>








+

x
x
x
x
HDẫn : *
'

= a
2
- 4

0






2
2
a
a

*
72
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
>








+=

+








x
x
x
x
x
x
x
x
( )
9
2
2
21
21
2
21
>

+

xx
xxxx
( )
92
2
2
> a
392
2
=> a
( vì





2
2
a
a
nên a
2
- 2 > 0 )

)/(55

2
mtaa >>
Bài 86:
a) Cho hai phơng trình a
2
x
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a
2
= 0 (2) (Với a>c>0)
Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
; phơng trình (2) có hai nghiệm
'
2
'
1
, xx
Chứng minh rằng: x
1
x
2
+
'
2
'

1
.xx
2
b) Cho các phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0

) (1) và cx
2
+ dx + a = 0 ( c
0

) (2)
Biết rằng phơng trình (1) có các nghiệm là m và n, phơng trình (2) có các nghiệm là p
và q. Chứng minh rằng m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2

4
.
HDẫn :
a) Điều kiện để 2 phơng trình có nghiệm: b
2
- 4a

2
c
0

- Ta có x
1
x
2
+
'
2
'
1
.xx
2
2.
2
2
=
c
a
a
c
b)
a
c
mnnm 22
22
=+
;

c
a
pqqp 22
22
=+
42.22
2222
=








++++
c
a
a
c
qpnm
Bài 87: Cho phơng trình
0
2
=++ cbxax
(1) có 2 nghiệm dơng x
1
, x
2

a) Chứng minh rằng phơng trình
0
2
=++ abxcx
(2) cũng có 2 nghiệm dơng
43
, xx
b) Chứng minh rằng S =
4
4321
+++ xxxx
HDẫn :
a)Phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi:







>
<

>=
>=+
=
0
0
04
0
0
0
04
2
43
43
2
ac
bc
acb
c
c
a
xx
c
b
xx
acb
(I)

- Vì phơng trình (1) có 2 nghiệm dơng nên:
17







>
<












>=
>=+
=
0
0
04
0

0
0
04
2
21
21
2
ac
ab
acb
c
a
c
xx
a
b
xx
acb







>
<

0
0
04
0
2
ac
bc
acb
c
(II)
- Từ (I) và (II)

kết luận ?
b) Cách 1: Nếu

là nghiệm của (1) thì
0
2
=++ cba

Thay

1
=x
vào (2) ta có:
0
1
.
1
2

2
=++=++








abcabc

1

là nghiệm của (2). Do đó nếu x
1
, x
2
là nghiệm của (1) thì
2
4
1
3
1
,
1
x
x
x
x ==

là 2 nghiệm của (2).
Vậy S =
422
11
2
2
1
1
=+








++








+
x
x
x

x
( Bất đẳng thức Côsi)
Cách 2:
( ) ( )
( )
43214321
2 xxxxxxxx ++++
=
41.2.2.2.22 ==








+
c
a
a
c
c
a
a
c
Bài toán 9 : So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với số 0.
Ph ơng pháp
:
Phơng trình bậc hai

ax
2
+
bx
+
c
= 0 ( a
0

)
1)PTB2 có 2 nghiệm trái dấu

P< 0
0< ac
- Đặc biệt PTB2 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm
dơng
( )



<
>

0
0
'
S
hoặc

<
<
0
0
S
P
2) PTB2 có 2 nghiệm cùng dấu
( )



>


0
0
'
P
a- PTB2 có 2 nghiệm cùng âm
( )





<
>

0
0
0
'
S
P
b- PTB2 có 2 nghiệm cùng dơng
( )





>
>


0
0
0
'
S
P
3) P TB2 có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau
( )



=

>

1
0
'
P

4) P TB2 có 2 nghiệm là 2 số đối nhau ( 2nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt
đối)
( )



=
>

0
0
'
S
hoặc



=
<
0
0
S
P

Bài 88: Tìm các giá trị của m để phơng trình:
a) x
2
- 2x + m = 0 có 2 nghiệm trái dấu. ( m < 0)
b) x
2
- 2mx + (m - 1)
2
= 0 có 2 nghiệm dơng. (
1
2
1
< m
)
18
c) 2x
2
- 2(m + 1)x + m = 0 có 2 nghiệm âm.

<
>
>+
1
0
01
2
m
m
m
không xảy ra.
Bài 89: Tìm các giá trị của m để phơng trình:
a) x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. ( m < 4)
b) x
2
- 2(m + 1)x + m
2
= 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng. (-
0
2
1
< m
)

c) x
2
- 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều là số dơng. ( 0<m<1)
Bài 90: Xác định điều kiện của k để phơng trình:
a)
( ) ( )
05262
2
=+ kkxxk
có 2 nghiệm trái dấu. ( 2<k < 5)
b)
( ) ( )
0121
2
=+ kxkxk
có 2 nghiệm dơng.






<< 0
3
1
k
c)
( ) ( )
05322
2

=++ kxkxk
có 2 nghiệm âm.






< 2
13
1
k
Bài 91: Xác định điều kiện của m để phơng trình:
a)
( )
0245
2
=+ mmxxm
có 2 nghiệm trái dấu. ( 2<m < 5)
b)
( ) ( )
034312
2
=+++ mxmxm
có 2 nghiệm trái dấu. ( -3<m<
2
1
)
c)
( )

0121
2
=++ mmxxm
có 2 nghiệm dơng.











>
<
1
1
m
m
Bài 92: Tìm giá trị của m để phơng trình:
a)
( )
012
22
=++ mxmmx
có 2 nghiệm trái dấu. (0<m < 4)
b) x
2

- 2(m + 1)x + m
2
= 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng âm.























<

>
1

0
2
1
m
m
m
không xảy
ra.
c)
( )
0321
2
=+ xxm
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu. (1<m<
3
4
)
Bài 93: Cho phơng trình bậc hai
( )
05625
2
=+ mxmmx
1-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau. ( m =
5
2
)
2-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
( )
1=m
Bài 94: Tìm giá trị m để phơng trình:

a) 2x
2
+ mx + m - 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
nghiệm dơng. ( 0<m < 3)
b) x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt
đối. (m = 1)
Bài 95: Tìm giá trị m để phơng trình:
a)
( )
02332
22
=++++ mmxmx
có 2 nghiệm đối nhau. ( m = -1,5)
b)
( ) ( )
017221
2
= mxmxm
có 2 nghiệm đối nhau. ( m = 2)
19
Bài 96: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0. Xác định điều kiện của m để 2
nghiệm x
1
và x
2
là độ dài hai cạnh một hình chữ nhật.

<
1
0
3
1
m
m
Bài 97: Xác định m để phơng trình x
2
- (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao
cho x
1
, x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

=







==
>
>
+><

=+
>
>
>
6
4;6
0
1
83;83
5
0
0
0
2
2
2
2
1
m
mm
m
m
mm
xx
P
S

Bài 98: Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai
( ) ( )
0122
2
=+ mxmxm
. Hãy xác định giá trị của m để số đo đờng cao ứng
với cạnh huyền là
5
2
.
*

















>
<

>
>


2
0
0
0
0
2
'
m
m
S
P
m
*
)/(4
5
2
111
22

2
2
1
mtm
xx
=








=+
khi đó x
1
= 1; x
2
= 2
Bài 99: Tìm các giá trị của m để phơng trình
03
22
=+ mmmxx
(m>0) có hai nghiệm
x
1
, x
2
tơng ứng là độ dài hai cạnh AB, AC của

ABC vuông ở A và BC = 2.
Bài toán 10 : Tìm giá trị của các tham số để hai ph ơng trình bậc hai đã cho t ơng
đ ơng với nhau. ( Trong trờng hợp mỗi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt)
Ph ơng pháp
: - Chỉ ra một phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Lập hệ phơng trình



=
+=+
4321
4321
xxxx
xxxx
- Giải hệ phơng trình tìm giá trị của các tham số.
- Thử lại, rút kết luận.
Bài 100: Cho phơng trình bậc hai
( )
( )
0
222
=++ nmxnmx
(1)
Tìm m và n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình
05
2
= xx
(2)

*Phơng trình (2) có ac = - 5<0

(2) có 2 nghiệm phân biệt.
*
( )



=+
=+
5
1
22
nm
nm










=
=

=
=




=
=+

2
1
1
2
2
1
n
m
n
m
mn
nm
* Thử lại, rút kết luận.
Bài 101: Cho hai phơng trình
( )
032
2
=+ mxnmx
(1) và
( )
063

2
=+ xnmx
(2)
Tìm m và n để các phơng trình (1) và (2) tơng đơng.
*Phơng trình (2) có ac = - 6<0

(2) có 2 nghiệm phân biệt.
20
*



=
=




=
+=+
1
2
63
32
n
m
m
nmnm
* Thử lại, rút kết luận.
Bài 102: Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng :

( )
0934
2
=++ xnmx
(1) và
( )
0343
2
=+++ nxnmx
(2)
*Phơng trình (1) có ac = - 9<0

(1) có 2 nghiệm phân biệt.
*
( ) ( )
3
39
4334
==



=
+=+
nm
n
nmnm
* Thử lại, rút kết luận.
Bài toán 11 : Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph ơng trình bậc

hai theo tham số.

Ph ơng pháp
: - Tìm điều kiện để phơng trình đã cho có nghiệm
( )





0'
0a
- Tính tổng S, tích P theo tham số.
- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện S, P.
- Thay giá trị S, P tính giá trị của biểu thức theo tham số.
Bài 103: Cho phơng trình
( ) ( )
0254212
2
=+++ mxmxm
. Trong trờng hợp phơng
trình có nghiệm, tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm.
*

21
2
1
0
012
'
m
m
m
*S =
( )
12
42

+
m
m
; P =
12
25


m
m

Bài 104: Cho phơng trình
07
2
=+++ mmxx
. Không tính nghiệm x
1
, x
2
theo m hãy tính:
a) A =
2
2
2
1
xx +
b) B =
3
2
3
1
xx +
*




+

=
242

242
0142
2
m
m
mm
*



+=
=+
7
21
21
mxx
mxx
* A =
142
2
mm
; B =
mmm 213
23
++
Bài 105: Cho phơng trình
0)12(
2
=+ mxmx
. Tính A =

21
2
2
2
1
6 xxxx +
theo m.
(x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình)
*
14
2
+= m
* A =
( )
2
12 +m
Bài 106: Cho phơng trình
( )
0224
2
=+ mmxxm
. Không giải phơng trình để tìm x
1
, x
2

Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m.
a) A =
2
2
2
1
xx +
c) C =
21
11
xx
+
b) B =
3
2
3
1
xx +
d) D =
2
2
2
1
11
xx
+
*

=


3
4
4
086
4
m
m
m
m
21
* a) A =
( )
2
2
4
16122

+
m

mm
c) C =
2
2
m
m
b) B =
( )
( )
3
2
4
19182

+
m
mmm
d) D =
( )
2
2
2
16122

+
m
mm
Bài 107: Cho phơng trình
( )
0412

2
=++ mxmx
Không giải phơng trình tìm
21
, xx
hãy tính giá trị các biểu thức sau theo m:
a)
21
xx
c)
2
3
1
3
xx
b)
2
2
1
2
xx
*
0
4
19
2
1
2
'
>+

+= m
* a)
( ) ( )
( )
544
2
21
2
21
2
21
++=+= mmxxxxxx
52
2
21
++=
mmxx
b)
2
2
1
2
xx
= (

21
xx
)(
21
xx +
)
( )
514
2
+++= mmm

c)
2
3
1
3
xx
= (
21
xx
)(
2
2
21
1
2
xxxx ++
) = (
21
xx

)
( )
[ ]
21
2
21
xxxx
+
=
( )
87452
22
++++ mmmm
Bài 108: Cho phơng trình
0
2
=++ cbxax
(
)0a
có hai nghiệm
21
, xx
. Tính theo
cba ,,

các biểu thức sau:
a) M =
( )( )
1221
3535 xxxx

b) N =
21
2
12
1
33 xx
x
xx
x

+

* Điều kiện để phơng trình có nghiệm ac <0
* a) M = 64
( )
2
2
2
2121
1564
15
a
bac
xxxx

=+
b) N =
( )
( )
2

2
2
2121
21
2
21
316
8
316
8
bac
acb
xxxx
xxxx


=
+
+
Bài toán 12 : Tìm giá trị của tham số để một biểu thức của
21
, xx
đạt giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất.
(
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai chứa tham số)
Ph ơng pháp
: - Tìm điều kiện để phơng trình đã cho có nghiệm

( )





0'
0a
- Tính tổng S, tích P theo tham số.
- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện S, P.
- Thay giá trị S, P tính giá trị của biểu thức theo tham số.
- Đánh giá xác định GTLN hoặc GTNN dựa vào
0
2
a
và kết hợp tính
chất của bất đẳng thức tìm giá trị của tham số.
- Đối chiếu điều kiện rút kết luận.
Bài 109: Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình
( )
010212
2
=+++ mxmx
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2
2

1
2
21
10 xxxx ++
*





=
3
3
09
2'
m
m
m
* A = 4
( )
348483
min
2
==++ mAm
(t/m)
22
Bài 110: Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm của phơng trình
02
2
=++ aaxx

là bé nhất.
*
( )
042
2
>+= a
*
( )
( )
13331
min
2
2
1
2
2
2
2
1
2
==++=+ axxaxx
Bài 111: Cho phơng trình
( )
012
2
=+ mxmx
. Tìm giá trị của m để A =
21
2
2

1
2
6 xxxx +
Có giá trị nhỏ nhất.
*
014
2
>+= m
* A =
( )
2
1
0012
min
2
==+ mAm
Bài 112: Cho phơng trình
( )
0312
2
=+ mxmx
. Tìm giá trị của m để P =
2
2
1
2
xx +
Có giá trị nhỏ nhất.
*
0

4
7
2
3
2
'
>+






= m
* P =
4
5
4
15
4
15
4
15
2
5
2
min
2
==+

mPm
Bài 113: Cho phơng trình
01
2
=+ mmxx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
21
2
2
1
2
6 xxxx +
và giá trị tơng ứng của m.
*
( )
02
2
= m
* A =
( )
48884
min
2
== mAm
Bài 114:

1) Cho phơng trình
01
2
=+ mmxx
. Gọi
21
, xx
là các nghiệm, tìm giá trị nhỏ nhất
của A =
2
2
1
2
xx +
.
2) Cho phơng trình
01)3(22
2
=++++ mxmx
. Xác định giá trị của m để
2
2
1
2
xx +
đạt giá trị nhỏ nhất.
1)
011 =+=++ mmcba

phơng trình luôn có nghiệm.
A =
( )
11111
min
2
==+ mAm
2)
( )
032
2
'
>+= m
2
2
1
2
xx +
=
( )
( )
23332
min
2
2
1
2
2
==++ mxxm
Bài 115: Cho phơng trình

0122
2
=+ mmxx
. Tìm m sao cho A =
21
2
2
1
2
5)(2 xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất.
*
( )
01
2
'
= m
*
8
9
8
9
8
9
8
9
4
9
229188
min

2
2
==






=+= mAmmmA
Bài 116: Cho phơng trình
06)2(2
2
= mxmx
(1). Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng
trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
1
2
xx +
.
*
( )
031
2
'

>++= m
*
2
2
1
2
xx +
=
( )
( )
2
1
15151512
min
2
2
1
2
2
==++ mxxm
23
Bài 117: Cho phơng trình
015)1(2
22
=+ mxmx
. Tìm các giá trị của m và các nghiệm
21
, xx
của phơng trình sao cho tổng
2

2
1
2
xx +
có giá trị nhỏ nhất.
* Giả sử phơng trình có nghiệm ta có:
2)(222
min21
2
21
=+=+ xxmxx
0= m
* m = 0 :
21012
2,1
2
==+ xxx
Bài 118: Cho phơng trình
( )
11
22
+=+ mxabax
(1)
a) Với
2;1 == ba
. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm
21
, xx
với
mọi giá trị của m.

b) Tìm m để cho
2
2
1
2
xx +
đạt giá trị nhỏ nhất và tính nghiệm trong trờng hợp này.
a)
012
22
= mxx
có
Rmm >+= 02
2'
b) *
2
2
1
2
xx +
=
+ 662
2
m
( )
06
min
2
2
1

2
==+ mxx
*
21012:0
2,1
2
=== xxxm
Bài 119: Cho phơng trình
01)12(2
2
=++ mxmx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
21
2
2
1
2
xxxx +
*
( )
032
2
= m
*
4
5
16
3
16

3
16
3
4
2
5
2
min
2
==+







= mA
m
A
Bài 120: Gọi
21
, xx
là nghiệm của phơng trình sau, tìm giá trị của m để
2
2
1
2
xx +
có giá trị

nhỏ nhất.
1)
( )
0212
2
=+ mxmx
2)
( ) ( )
0112
2
=++ mxmx
1)
( )
0514
2
>+= m

2
2
1
2
xx +
=
+

=+
4
11
4
11
2
3
2564
2
2
mmm
( )
4
3
4
11
min
2
2
1
2
==+ mxx
2)
=
054
2
>+m

2
2

1
2
xx +
=
+






+=++
4
5
4
5
2
1
2324
2
2
mmm
( )
4
1
4
5
min
2
2

1
2
==+ mxx

Bài 121: Gọi
21
, xx
là nghiệm của phơng trình sau, tìm giá trị của m để
2
2
1
2
xx +
có giá trị
nhỏ nhất.
1)
( ) ( )
07222
2
=+ mxmx
2)
( )
010322
2
=++ mxmx
1)

=
3
1
032
2'
m
m
mm

2
2
1
2
xx +
=
( )
7322124
2
2
=+ mmm
+
( )
2733.23
2
= Am
+
( )
[ ]
18731.21

2
= Am

24
Suy ra
32
min
== mA
2)





=
3
2
06
2'
m
m
mm

2
2
1
2
xx +
=
4

41
2
5
24104
2
2







= mmm
+
2
4
41
2
5
3.23
2
=






Am

+
( )
32
4
41
2
5
2.22
2
=






Am

Suy ra
32
min
== mA
Bài 122: Gọi
21
, xx
là nghiệm của phơng trình sau, tìm giá trị của m để
21
xx
có giá trị
nhỏ nhất.

1)
( ) ( )
011
2
=+ mxmx
2)
( )
014
2
2
=++ mmxx
1)
=
( )
041
2
>++m

( ) ( )
41
22
21
++= mxx
( ) ( )
41
22
21
++= mxx
( )
241

2
21
++= mxx
( )
12
min
21
== mxx
2)






=
1
3
1
0123
2'
m
m
mm
;
4812
2
21
= mmxx
*

0
3
1
21
xxm
*
01
21
xxm

Suy ra
( )




=
=
=
1
3
1
0
min
21
m
m
xx
Bài 123: Cho phơng trình
034)1(2

22
=+++ mmxmx
. Xác định m để hiệu giữa tổng
Hai nghiệm và tích hai nghiệm của phơng trình đạt giá trị lớn nhất.
*
2024
'
= mm
*
( ) ( )
66152
2
2
2121
++=+=+ mmmxxxx
( )
[ ]
16
max
2121
==+ mxxxx
(t/m)
Bài 124: Cho phơng trình
0)1(
2
=+++ mxmx
(1). Gọi
21
, xx
là nghiệm của phơng trình (1)

Tìm giá trị của m để biểu thức B =
2
2
12
1
2
xxxx +
đạt giá trị lớn nhất.
( )
01*
2
= m
* B =
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
)(
max
2
2
2121
==+

+==+ mBmmmxxxx
25
Bài 125: Cho phơng trình
0132
2
=+ mmxmx
. Tìm giá trị của m để các nghiệm
21
, xx
của phơng trình trên có tích
21
xx
lớn nhất.
*
2
1
0
02
0
2
<



=

m
mm
m
*
21
xx
=
mm
m 1
3
13
=

Do 0<m
2
1

nên
21
xx
lớn nhất

m
1
nhỏ nhất

m lớn
nhất
2

1
= m
. Suy ra (
21
xx
)
1
max
=
Bài 126: Cho phơng trình bậc hai (ẩn là x):
( )
05212
2
=++ mxmx
. Tìm m sao cho
A =
( )
2
2
1
2
21
1012 xxxx +
đạt giá trị lớn nhất.
*

=
2
2
04
2'
m
m
m
* A =
( )
2
2
1
2
21
1012 xxxx +
=
( )
446232244
2
2
+=+ mmm

34
max
== mA
Bài 127: Giả sử
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình

022)1(
22
=+++ mmxmx
. Tìm m
để
2
2
1
2
xx +
đạt GTNN, GTLN.
*
3
7
107103
2
+= mmm
*
=A
2
2
1
2
xx +
( )
2
2
3636 =+= mmm
; Do
3

7
1 m
nên
9
50
2 A
Vậy
12
min
== mA

3
7
9
50
max
== mA
Bài 128: Cho phơng trình
( ) ( )
01381
222
=++++ xmmxmm
có hai nghiệm
21
, xx
. Tìm
GTNN và GTLN của biểu thức S =
21
xx +
*

0
4
3
2
1
1
2
2
>+






+=++= mmma
, c = -1
<
0ac
phơng trình luôn có nghiệm.
*
( )
( ) ( )
0381381
1
38
222
2
2
=++++=++

++
++
= SmSmSmmmmS
mm
mm
S
3
132
3
132
3
52
0523
22
+= SSS
Vậy
3132
3413
3
132
min
+
+
== mS

1323
3413
3
132
max

== mS
Bài 129: Cho phơng trình
01
2
=+ mmxx
1) Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có nghiệm.