Phương pháp giải hệ phương trình đại số

Tài liệu luyện thi đại học

Trang 1/3
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Dạng:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =


Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp cộng đại số hặc phương pháp thế.
2. Giải và biện luận phương trình
Bước 1: Tính các định thức:

1 1
1 2 2 1
2 2
D
a b
a b a b
a b
= = −

1 1
1 2 2 1

2 2
D
x
c b
c b c b
c b
= = −

1 1
1 2 2 1
2 2
D
y
a c
a c a c
a c
= = −


Bước 2: Biện luận:
• Nếu
D 0
≠
thì phương trình có nghiệm duy nhất
D
D
D
D
x
y

x
y

=




=



• Nếu D = 0 và
D 0
x
≠
hoặc
D 0
y
≠
thì hệ phương trình vô nghiệm.
• Nếu
D=D =D 0
x y
=
thì hệ có vô số nghiệm.
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
* Cách giải
: Giải bằng phương pháp thế: Từ phương trình bậc nhất, rút 1 ẩn theo ẩn

còn lại và thế vào phương trình bậc hai còn lại.
2. Hệ phương trình đối xứng loại 1
* Định nghĩa
: Đó là hệ phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho
nhau thì từng phương trình trong hệ không thay đổi.
* Cách giải:
• B1: Đặt S = x + y, P = x.y (S
2

≥
4P) ta đưa hệ về hệ mới chứa 2 ẩn S, P.
• B2: Giải hệ mới tìm S, P với S, P thỏa mãn S
2

≥
4P.
• B3: Với S, P tìm được thì x, y là nghiệm của phương trình
X
2
– SX + P = 0 (Theo định lý Viet đảo)
* Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P
•
( )
2
2 2 2
2 2
x y x y xy S P
+ = + − = −

•

( )
(
)
( ) ( )
(
)
2
3 3 2 2 2
3 . 3
x y x y x y xy x y x y xy S S P
 
+ = + + − = + + − = −
 

•
(
)
2 2
x y xy xy x y SP
+ = + =

•
(
)
(
)
2
2 2
4 4 2 2 2 2 2
2 2 2

x y x y x y S P P
+ = + − = − −

* Phương pháp giải dạng toán tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình đối
xứng loại 1 có nghiệm:
• B1: Đặt điều kiện (nếu có)
• B2: Đặt S = x+ y, P = x.y và đặt điều kiện của S, P và S
2

≥
4P (*).
• B3: Thay S, P vào hệ phương trình, giải hệ phương trình tìm S, P theo m
rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
• Do tính đối xứng nên nếu (x
0
, y
0
) là nghiệm thì (y
0
, x
0
) cũng là nghiệm
của hệ.
Tài liệu luyện thi đại học

Trang 2/3
• Có những phương trình sau khi ta đặt ẩn phụ sẽ trở thành phương
trình đối xứng loại 1.
3. Hệ phương trình đối xứng loại 2

* Định nghĩa
: Đó là hệ chứa 2 ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x, y cho nhau thì
phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
* Cách giải:
• B1: Trừ vế theo vế 2 phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích
số.
• B2: Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để
giải tìm nghiệm của hệ.
4. Hệ đẳng cấp bậc hai:
* Có dạng:
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

+ + =


+ + =



* Cách giải:
• B1: Kiểm tra xem y = 0 (hoặc x = 0) có phải là nghiệm của hệ hay
không?
• B2: Với y = 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t, y.
Từ 2 phương trình ta khử y để được 1 phương trình chứa t.
• B3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x, y.

5. Một số phương trình đưa về hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
* Dạng 1:
-
n
n
x b a ax b
+ =


Đặt
-
n
y ax b
=
ta đưa phương trình đã cho về hệ phương trình:
n
n
x b ay
y b ax

+ =


+ =



Đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại 2.
*
Dạng 2:

( ) ( )
n m
a f x b f x c
− ± + =

Đặt
( )
n
u a f x
= −
,
( )
m
v b f x
= +
ta đưa phương trình đã cho về hệ phương
trình
n m
u v c
u v a b
± =


+ = +

. Giải hệ tìm u, v sau đó thay vào tìm x.
6. Một số dạng hệ phương trình khác
Ngoài những dạng hệ phương trình đã nêu ở trên thì ta thường gặp một số dạng
hệ phương trình khác có cách giải không mẫu mực. Khi đó tùy từng hệ phương trình
mà ta vận dụng tổng hợp các kiến thức kết hợp với suy luận hợp lý để chọn cách giải

cho thích hợp như: Sử dụng đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, phương pháp cộng và thế, biến
đổi về dạng tích số.
Tài liệu luyện thi đại học

Trang 3/3
III. Một số bài tập vận dụng
Bài 1: Giải và biện luận hệ phương trình sau:
1
2
mx y m
x my
+ = +


+ =


Bài 2:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:
1
1 3
x y
x x y y m

+ =


+ = −



Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
4
2
x xy y
xy x y

+ + =

+ + =

2.
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + = −


+ − − =

3.
2 2
11
30
xy x y
x y xy

+ + =


+ =


4.
( )
2 2
13
3 2 9 0
x y
x y xy

+ =


+ + + =


5.
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y

+ =



+ =


6.
2 2
6
20
x y y x
x y xy

+ =


+ =



7.
x 4
4
y
x y xy

+ =


+ − =



8.
4 4
34
2
x y
x y

+ =

+ =

9.
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x y y
y x x

+ = −


+ = −



10.
2
2
2 3

2 3
x xy x
y xy y

+ =


+ =


11.
2
2
1
3
1
3
x y
x
y x
y

+ =




+ =



12.
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y

+
=



+

=



13.
2 2
2 2

1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


14.
2 2
2 2
3 1
3 13
x xy y
x xy y

− + = −


− + =



15.
2 2
7
5
x y xy
x y xy

+ + =

+ + =


Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
3
6
xy x y
x y x y xy
− + = −


+ − + + =

2.
( ) ( )
2 2
12
1 1 36

x y x y
x x y y

+ − − =


− − =


3.
2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y

− + − =


− − + =



4.
( )
2 2
2 2
3
x x y y

x y x y

+ = +


+ = +


5.
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −



= +


Bài 5: Giải các phương trình sau:
1.
3
3
1 2 2 1
x x
+ = −

2.
2
5 5
x x
− + =
3.
17 3
x x
+ − =