Hệ Phương trình đại số

Chủ đề: Hệ phơng trình
I. hệ hai PT bậc nhất
Bài 1: Giải và biện luận hệ PT:
(1 sin ) cos
cos (1 sin ) sin
x a y a cosa
x a a y a
+ =


+ =

(a là tham số)
Bài 2: Tìm b sao cho với moi a thuộc
a R
hệ PT sau có nghiệm.
2
2
(1 )
x ay b
ax a y b
+ =


+ =


Bài 3: Tuỳ theo m tìm GTNN của biểu thức:
[ ]
2
2

( 2) 4 2( 2) 1P x my x m y= + + +
Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm
sin cos 3
sin cos 2 1
x m x m
m x x m
+ =


+ = +

(HD: Đặt
sin ; cosX x Y x= =

2 2
1X Y+ =
)
Bài 5: Giả sử hệ PT sau có nghiệm:
ax by c
bx cy a
cx ay b
+ =


+ =


+ =

CMR:

3 3 3
3a b c abc+ + =
(abc
0

)
Bài 6: Cho hệ phơng trình
( 4) ( 2) 4
(2 1) ( 4)
m x m y
m x m y m
+ + =


+ =

1) Giải và BL hệ PT theo m
2) Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ gia x, y không phụ thuộc vào m
Bài 7: Cho hệ PT
2
( 1)
( 1) 3 1
x m y n
m x y p p
+ =


+ = + +

1) Giải và biện luận hệ với p = -1

2) Tìm n sao cho với mọi m tồn tại p để hệ có nghiệm
Bài tự làm
Bài 8: Cho hệ phơng trình
2
2 ( 1) 1x m y m
x my m

+ + = +

+ =

Tìm
[ ]
0;1m
để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x.y nhỏ nhất.
Bài 9: Tìm m để PT có nghiệm nguyên
2 3
1
mx y m
x y m
+ =


+ = +

Bài 10: Giải và biện luân hệ PT:
( ) ( )
(2 ) (2 )
a b x a b y a
a b x a b y b

+ + =


+ + =

Bài 11: Cho hệ PT:
2
ax y b
x ay c c
+ =


+ = +

1) Với b = 0 hãy giải và biện luận hệ theo a và c
2) Tìm b để với mọi a, ta luôn tìm đợc c sao cho hệ có nghiệm
Bài12: Tìm m để hệ PT sau có nghiệm:
1
1
mx y
x my
x y m
+ =


+ =


+ =

Bà 13: Cho hệ PT
(2 1) 1
( 1) 1
a x y
x a y
=


+ + =

Giải và biện luận hệ PT đã cho
Bài 14: Tìm m để hệ PT sau
3
1
mx y m
x y m
+ =


+ = +

có nghiệm nguyên
1
Bài15: Giải và biện luận hệ:
sin cos sin
cos in cos
x a y a a
x a ys a a
+ =

+ =

Bài 16: Giải và biên luận hệ PT
(1 cos 2 ) sin 2 sin 2
(1 cos 2 ) sin 2 cos 2
x a y a a
x a y a a
+ + =


+ =

Tìm hệ thức giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc a.
Bài17: Cho hệ PT:
2
2
2 1
x by ac c
bx y c

+ = +

+ =

Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với mọ b
II Hệ đối xứng:
Bài1: Giải hệ: 1)
2 2
3 3

30
35
x y y x
x y

+ =


+ =


(ĐH Mỏ 98) 2)
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x x y y
x x y y y

+ + =

+ + =

Bài 2 : Cho hệ
2 2
x y xy m
x y m
+ + =


+ =

1) Giải hệ với m = 5
2) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 3: Tìm m để hệ sau có đúng 2 nghiệm
2 2 2
3 1
1
x y xy m
x y xy m
+ + = +


+ + = +

Bài 4: Cho hệ
2 2
1x y xy m
x y y x m
+ + = +


+ =


1) Giải hệ với m = 2
2) Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thoả mãn
0; 0x y
Bài 5: Cho hệ PT
2 2
2

1
x xy y m
x y y x m
+ + = +


+ = +

(ĐH CSND KA-2000)
1) Giải hệ với m = 3
2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 7: Giải hệ: 1)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =

2)
4 4
6 6
1
1
x y
x y

+ =


+ =


Bài 8: Cho hệ
2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m

+ + + =

+ + =

(ĐH NT 97)
1) Giải hệ với m = 12 2)Tìm m để hệ có nghiệm.
Bài 9: Giải hệ:
3 4

3 4
y
x y
x
x
y x
y

=




=


(ĐH QG 97) Bài10: Cho hệ PT:
2
2
x y y m
y x x m

= +


= +


1) Giải hệ với m = 0
2) Tìm m để hệ có nghiệm

Bài 11: Giải và biện luận hệ PT:
2
2
2
2
x xy mx y
y xy my x

+ = +


+ = +


2
Bài 12: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
1)
2
2
( 1)
( 1)
xy x m y
xy y m x

+ =


+ =

2)
2 3 2
2 3 2
4
4
y x x mx
x y y my

= +


= +


Bài13: Chứng minh rằng với
0a
hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
2
2
2
2
a
x y
y
a
y x
x

= +




= +


Bài tập tự làm:
Bài 1 Tìm a để hê sau có đúng 2 nghiệm:
2 2
2
2( 1)
( ) 4
x y a
x y

+ = +


+ =



Bài 2: Cho hệ
2 2
1
2 2
x y xy a
x y y x a

+ + = +


+ =

1) Giải hệ với a = 2
2) Tìm a để hệ có nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
2 2
2
1
x y xy m
x y y x m
+ + =


+ =

Bài 4: Giải hệ: 1)
2 2
1
3
x xy y
x y xy

+ + =

=

(HD: Đặt t = -x) 2)

2 2
1
6
x xy y
x y y x
=


=

Bài 5: Giải và biện luận hệ:
8
x y
a
y x
x y

+ =



+ =

Bài 6 : Tìm m để hệ có nghiệm:
1
5( ) 4 4
x y xy m
x y xy
+ =

+ =

Bài 7: Cho hệ phơng trình:
2
2
2
2
y x y m
x x y m

=


=


Bài 8: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
2
2
( 1)
( 1)
x y a
y x a

+ = +


+ = +

Bài 9: Giải hệ:
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x

= +


= +


2)
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x

=

=



Bài 10: Tìm a để hệ có đúng 2 nghiệm
2
2
4 5 3
4 5 3
x x ay
y y ax

=


=


Bài 11: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2 2
3( 3 )x m x m+ =
Bài 12: Cho hệ
2 2 2
2 1x xy y m
x y y x m m

+ + = +


+ = +

1) Chúng minh rằng với mọi m hệ có nghiệm
2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3