Các phương pháp động lượng.

Chương 2. Các phương pháp động lượng
♣ Mở đầu về các hệ cơ học ♣ Định lý biến thiên động lượng
♣ Mômen quán tính khối của vật rắn ♣ Định lý biến thiên mômen động lượng
♣ Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Người trình bày: Phạm Thành Chung
Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 1 / 27
Nội dung
1
Mở đầu về các hệ cơ học
2
Định lý biến thiên động lượng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn
4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 2 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học
Nội dung
1
Mở đầu về các hệ cơ học
Sự phân loại các mô hình cơ học
Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Sự phân loại các lực
Khối tâm của cơ hệ
2
Định lý biến thiên động lượng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn

4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 2 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.1 Sự phân loại các mô hình cơ học
Nội dung
1
Mở đầu về các hệ cơ học
Sự phân loại các mô hình cơ học
Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Sự phân loại các lực
Khối tâm của cơ hệ
2
Định lý biến thiên động lượng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn
4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 2 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.1 Sự phân loại các mô hình cơ học
Các mô hình cơ học
Hệ các chất điểm
Hệ các vật rắn
Hệ liên tục (chất lỏng, vật rắn biến dạng)
Hệ các phần tử hữu hạn
Hệ hỗn hợp.
Trong học phần này, chúng ta chỉ xét các hệ gồm các chất điểm và các

vật rắn (chủ yếu là các vật rắn phẳng).
Thuật ngữ hệ cơ học (gọi tắt là cơ hệ) quy ước dùng để chỉ hệ các chất
điểm và các vật rắn.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 3 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.2 Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Nội dung
1
Mở đầu về các hệ cơ học
Sự phân loại các mô hình cơ học
Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Sự phân loại các lực
Khối tâm của cơ hệ
2
Định lý biến thiên động lượng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn
4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 3 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.2 Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Cơ hệ tự do và cơ hệ chịu liên kết (không tự do)
Cơ hệ tự do: vị trí và vận tốc của các chất điểm và các vật rắn thuộc hệ
có thể nhận các giá trị tuỳ ý.
Cơ hệ chịu liên kết
1
: (ngược lại ) - vị trí và vận tốc của các chất điểm
và các vật rắn thuộc hệ bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và
động học.

Phân loại các cơ hệ chịu liên kết:
Cơ hệ chỉ có các liên kết hình học (hôlônôm
2
)
Cơ hệ vừa có liên kết hình học, vừa có liên kết động học không khả
tích (không hôlônôm).
1
Trong kỹ thuật ta thường gặp các cơ hệ chịu liên kết.
2
Liên kết hôlônôm và liên kết không hôlônôm:
/>f
s
(q
k
, ˙q
k
, t) = 0 : liên kết không hôlônôm
f
s
(q
k
, t) = 0 : liên kết hôlônôm
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 4 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.2 Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Toạ độ suy rộng và số bậc tự do của cơ hệ
Các tham số dùng để xác định vị trí của cơ hệ trong một hệ quy
chiếu được gọi là các toạ độ suy rộng.
Ký hiệu toạ độ suy rộng bởi q
1
, q

2
, q
3
, , q
m
. Thông thường, các toạ
độ suy rộng là các độ dài, các góc quay.
Số bậc tự do của một cơ hệ chịu các liên kết hình học là số các toạ
độ suy rộng độc lập tối thiểu, đủ để xác định vị trí của cơ hệ.
Ký hiệu f là số bậc tự do của cơ hệ.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 5 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.2 Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Toạ độ suy rộng tối thiểu và toạ độ suy rộng dư
Nếu số các toạ độ suy rộng độc lập dùng để xác định vị trí của cơ hệ
đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ (m = f ) thì chúng được gọi là các
toạ độ suy rộng tối thiểu
3
.
Nếu số các toạ độ suy rộng dùng để xác định vị trí của cơ hệ lớn hơn
số bậc tự do của cơ hệ (m > f ) thì chúng được gọi là các toạ độ suy
rộng dư.
3
gọi tắt là các toạ độ tối thiểu
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 6 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.2 Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Thí dụ về toạ độ suy rộng và số bậc tự do
A
Con lắc eliptic là một cơ hệ gồm hai vật A và B (coi như các chất điểm)
nối với nhau bằng dây mềm không dãn. Các toạ độ suy rộng tối thiểu là:
q

1
= x
A
, q
2
= ϕ. Số bậc tự do: f = 2.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 7 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.2 Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Thí dụ về toạ độ suy rộng và số bậc tự do
0
l

2
l

3
l
1
l
3
ϕ
2
ϕ
1
ϕ
x
O
A
C
B

Vị trí của cơ cấu bốn khâu phẳng OABC được xác định hoàn toàn khi biết
góc quay ϕ
1
. Số bậc tự do của cơ cấu là f = 1. Góc ϕ
1
là toạ độ tối thiểu
của cơ cấu bốn khâu OABC.
Mặt khác, vị trí của cơ cấu có thể được xác định bằng ba góc quay
ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
. Ba góc quay này là các toạ độ suy rộng dư.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 8 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.2 Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Một số công thức tính số bậc tự do
Nếu cơ hệ gồm n chất điểm chuyển động trong không gian, chịu r điều
kiện ràng buộc, thì số bậc tự do của cơ hệ là
f = 3n − r (1)
Nếu cơ hệ gồm n chất điểm chuyển động trong cùng một mặt phẳng, chịu
r điều kiện ràng buộc, thì số bậc tự do của hệ là
f = 2n − r (2)
Nếu cơ hệ gồm p vật rắn phẳng chuyển động trong cùng một mặt phẳng,
chịu r điều kiện ràng buộc, thì số bậc tự do của hệ là
f = 3p − r (3)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 9 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.3 Sự phân loại các lực
Nội dung

1
Mở đầu về các hệ cơ học
Sự phân loại các mô hình cơ học
Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Sự phân loại các lực
Khối tâm của cơ hệ
2
Định lý biến thiên động lượng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn
4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 9 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.3 Sự phân loại các lực
Sự phân loại các lực - Quan điểm 1: Ngoại lực và nội lực
Ngoại lực là các lực từ bên ngoài tác dụng vào hệ khảo sát. Nội lực là các
lực tác dụng tương hỗ giữa các vật thể trong cùng một hệ khảo sát.
Ký hiệu: ngoại lực

F
e
k
(external force), nội lực

F
i
k
(internal force).

Một lực có thể là ngoại lực hay nội lực tuỳ theo sự lựa chọn hệ khảo sát.
Nếu cơ hệ là hệ các chất điểm và các vật rắn thì hệ nội lực của cơ hệ có
hai tính chất sau:
- Véctơ chính của các nội lực bằng không,
- Véctơ mômen chính của các nội lực đối với một điểm O bất kỳ bằng
không


F
i
k
= 0,


m
O


F
i
k

= 0. (4)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 10 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.3 Sự phân loại các lực
Sự phân loại các lực - Quan điểm 2: Lực hoạt động và lực
liên kết
Lực liên kết là các lực do các vật gây liên kết tác dụng lên các vật của hệ
khảo sát hoặc các lực tác dụng tương hỗ giữa các vật thể trong cùng một
cơ hệ khảo sát (hình thành do liên kết). Lực hoạt động là các lực không

phải là lực liên kết.
Ký hiệu: lực liên kết

F
c
k
(constraint force) hoặc

R
k
(reaction force), lực
hoạt động

F
a
k
(applied force, active force).
Thí dụ: Trọng lực, sức đẩy của gió, v.v là các lực hoạt động.
Quan điểm 1 được dùng khi tính toán bằng phương pháp động lượng, quan
điểm 2 được dùng khi tính toán bằng phương pháp năng lượng. Chú ý rằng
nội và ngoại lực đều có thể là lực hoạt động hoặc lực liên kết và ngược lại.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 11 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.4 Khối tâm của cơ hệ
Nội dung
1
Mở đầu về các hệ cơ học
Sự phân loại các mô hình cơ học
Toạ độ suy rộng, số bậc tự do của cơ hệ
Sự phân loại các lực
Khối tâm của cơ hệ

2
Định lý biến thiên động lượng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn
4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 11 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.4 Khối tâm của cơ hệ
a) Khối tâm của hệ n chất điểm
Định nghĩa. Khối tâm của hệ n chất điểm là một điểm hình học C được
xác định bởi công thức sau

r
C
=
1
m
n

i=1
m
i

r
i
(5)
Trong đó m
i

là khối lượng chất điểm thứ i,

r
i
là véctơ định vị của nó, còn
m =

m
i
là khối lượng của tất cả các chất điểm của cơ hệ. Các toạ độ
của khối tâm C là
x
C
=
1
m
n

i=1
m
i
x
i
, y
C
=
1
m
n


i=1
m
i
y
i
, z
C
=
1
m
n

i=1
m
i
z
i
(6)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 12 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.4 Khối tâm của cơ hệ
O
z
x
y
C
P
1
P
2
P

n
1
r
r
2
r
r
C
r
r
n
r
r

O

z

x

y

B

r
r

dm

O


z

x

y

k
C
Ck
r
r
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 13 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.4 Khối tâm của cơ hệ
b) Khối tâm của vật rắn
Định nghĩa. Khối tâm của vật rắn B là một điểm hình học C được xác
định bởi công thức

r
C
=
1
m

B

rdm (7)
Trong đó m là khối lượng của vật rắn. Các tọa độ của khối tâm C là
x
C

=
1
m

B
xdm, y
C
=
1
m

B
ydm, z
C
=
1
m

B
zdm (8)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 14 / 27
§1. Mở đầu về các hệ cơ học 1.4 Khối tâm của cơ hệ
c) Khối tâm của cơ hệ
Định nghĩa. Khối tâm của cơ hệ gồm n chất điểm và p vật rắn là một
điểm hình học C được xác định bởi công thức sau

r
C
=
1

m

n

i=1
m
i

r
i
+
p

k=1
m
k

r
Ck

(9)
Trong đó m
i
là khối lượng chất điểm thứ i, m
k
là khối lượng vật rắn thứ
k,

r
i

là véctơ xác định vị trí của chất điểm thứ i,

r
Ck
là véctơ xác định vị
trí khối tâm C
k
của vật rắn thứ k, m =

m
i
+

m
k
là khối lượng toàn
cơ hệ. Các tọa độ của khối tâm C là
x
C
=
1
m
(

m
i
x
i
+


m
k
x
Ck
) y
C
=
1
m
(

m
i
y
i
+

m
k
y
Ck
) (10)
z
C
=
1
m
(

m

i
z
i
+

m
k
z
Ck
)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 15 / 27
§2. Định lý biến thiên động lượng
Nội dung
1
Mở đầu về các hệ cơ học
2
Định lý biến thiên động lượng
Các khái niệm cơ bản
Định lý biến thiên động lượng
Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ
Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ
Thí dụ áp dụng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn
4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 15 / 27
§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản

Nội dung
1
Mở đầu về các hệ cơ học
2
Định lý biến thiên động lượng
Các khái niệm cơ bản
Định lý biến thiên động lượng
Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ
Định lý bảo toàn động lượng của cơ hệ
Thí dụ áp dụng
3
Mômen quán tính khối của vật rắn
4
Định lý biến thiên mômen động lượng
5
Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 15 / 27
§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản
a) Động lượng của chất điểm
Định nghĩa. Động lượng của chất điểm là một đại lượng véctơ, ký hiệu là

p, bằng tích khối lượng chất điểm với vận tốc của nó

p = m

v (11)
z
x
O
r

r
y
P
mv
r
O

z

x

y

B
vdm
r
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 16 / 27
§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản
b) Động lượng của vật rắn
Định nghĩa. Động lượng của vật rắn B là một đại lượng véctơ được xác
định bởi công thức

p =

B

vdm (12)
Trong đó

v dm là động lượng một phân tố nhỏ của vật rắn. Theo định

nghĩa khối tâm vật rắn (7), ta suy ra biểu thức động lượng vật rắn

p = m

v
c
(13)
Trong đó m là khối lượng,

v
C
là vận tốc khối tâm vật rắn.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 17 / 27
§2. Định lý biến thiên động lượng 2.1 Các khái niệm cơ bản
c) Động lượng của cơ hệ
Định nghĩa. Động lượng của cơ hệ (gồm n chất điểm và p vật rắn) là tổng
các động lượng của các chất điểm và các vật rắn thuộc cơ hệ

p =
n

i=1
m
i

v
i
+
p


k=1
m
k

v
Ck
(14)
Trong đó m
i
là khối lượng chất điểm thứ i, m
k
là khối lượng vật rắn thứ
k, n là số chất điểm, p là số vật rắn.
Chú ý đến công thức (9) về định nghĩa khối tâm cơ hệ ta có

p = m

v
C
(15)
Trong đó m là khối lượng của toàn hệ, m =

m
i
+

m
k
, còn


v
C
là vận
tốc khối tâm cơ hệ.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 2. Các phương pháp động lượng Học kỳ 20132 18 / 27