các dạng toán thường gặp trong đề thi đại học

Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA
HÀM SỐ
Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số
• Tìm TXĐ
• Tính y’. Tìm các điểm tới hạn.
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận.
Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
R hoặc trên từng khoảng của tập xác định.
• Tìm TXĐ
• Tính y’
• Hàm số ĐB trên R
' 0,y x R≥ ∀ ∈

0
0a
∆ ≤

⇔

>

( Hàm số nghịch biến trên R 
' 0,y x R≤ ∀ ∈

0
0a
∆ ≤


⇔

<

)
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến
trên khoảng (a,b)
* Cách 1:
+ Hàm số ĐB trên (a,b) 
( )
' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈

[ ]
' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈
( vì y’liên tục tại x = a và x =b)
 g(x)
≥
h(m) ,
[ ]
,x a b∀ ∈

( ) ( )
min
,
g x h m
a b
 
 
 

≥
(*)
+ Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x
0
[ ]
,a b∈

Tính
( ) ( ) ( )
0
, ,g x g a g b
=>
( )
min
,
g x
a b
 
 
 
+ Từ (*) suy ra điều kiện của m.
* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2)
+ Hàm số ĐB trên (a,b) 
( )
' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈

Có 2 trường hợp :
* TH1 :
0
' 0,

0
y x R
a
∆ ≤

≥ ∀ ∈ ⇔

>

suy ra m
* TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa
…….(điều kiện về x
1
, x
2
để hàm số ĐB trên (a,b) – xem
phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai )
Suy ra m
Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm.
Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ
dài bằng d.
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Hàm số có khoảng ĐB, NB  y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt x
1

, x
2

0
0a
∆ >

⇔

≠

.suy ra m. (*)
+ Biến đổi
1 2
x x d− =
thành
( )
2
2
1 2 1 2
4x x x x d+ − =
Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m.
Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm.
Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x),
( )
,x a b∀ ∈
bằng cách sử dụng tính đơn điệu
( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )
• Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b).
• Tính

'( )f x
. Chứng tỏ
'( ) 0, [ , )f x x a b≥ ∀ ∈
 Hàm số đồng biến trên [a,b).

( )
, : ( ) ( )x a b f x f a∀ ∈ >
=…
Suy ra đpcm

Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số
• Quy tắc 1:
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có)
+Lập bảng biến thiên
+ Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =…

và y
CĐ = …
Hàm số đạt cực tiểu tại x =…

và y
CT = …
• Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng
giác):
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x
i

+ Tính y”
Tính y”(x
i
)
+Kết luận :
y”(x
i
) >0 => hs đạt CT tại x
i
và y
CT
=…
y”(x
i
) <0 => hs đạt CĐ tại x
i
và y
CĐ
=…
Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị.
(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’
đổi dấu khi qua nghiệm đó)
• Tìm TXĐ
• Tính y’
- Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có
2 cực trị)  pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt

'
0
0

y
a
∆ >


≠

.suy ra m.
- Hàm b3 ko có cực trị  y’=0 có n
0
kép hoặc vô n
0
.
- Hàm
2
1
b
b
có cực trị  pt y’=0 có hai nghiệm
phân biệt khác x
0
( với x
0
là nghiệm ở mẫu)

0
0
( ) 0
g
g x

∆ >

⇔

≠

( với g(x) = tử số của y’ )
Giải hệ tìm m.
Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x
0
.
• Tìm TXĐ
• Tính y’
Cách 1:
• Hàm số đạt cực trị tại x = x
0
=> y’(x
0
) = 0 .tìm m
• Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập
bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có
thỏa ycbt không.
Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x
0

( )
( )
0
0
' 0

" 0
y x
y x
=

⇔

≠


Giải hệ tìm m.
Trang 1
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x
0
• Tìm TXĐ
• Tính y’ , y”
• Hàm số đạt cực đại tại x = x
0

( )
( )
0
0
' 0
" 0
y x
y x
=



<


( Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

( )
( )
0
0
' 0
" 0
y x
y x
=


>


)
• Giải hệ tìm m.
Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc
có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x
1
, x
2
)
.

+ Tìm TXĐ
+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*)
+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0
( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của
các hoành độ)
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K.
So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt.
Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực
trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông
góc hoặc song song với đt cho trước,….)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*)
+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)
Gọi
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
, , ,M x y M x y
là các điểm cực trị.
=>
( )
1
' 0y x =
và
( )
2
' 0y x =
Suy ra :
1 1
y ax b= +

,

2 2
y ax b= +
Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d
m
: y =
ax +b
+ Tìm m thỏa điều kiện K.
+ So với (*) kết luận m cần tìm .
Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương
( )
4 2
0y ax bx c a= + + ≠
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax
3
+2bx

( )
2
0
' 0
4 2 0 *
x
y
ax b
=

= ⇔


+ =

• Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
• Hàm số có 3 cực trị  y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
 pt (*) có 2 nghiệm phận biệt
khác 0
 a.b <0
• Hàm số có 2 CĐ và 1 CT
 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0

0
0
a
b
<


>


• Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0

0
0
a
b
<



>

• Hàm số có đúng 1 cực trị
 pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.

. 0
0
a b
b
>


=

Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A
thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A.

Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
khoảng (a,b)
• Xét hàm số trên (a,b)
• Tính y’
Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )
• Lập bảng biến thiên
• Dựa vào BBT kết luận
(
)
(

)
max , min
,
,
y y
a b
a b
.
Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
[a,b]
• Xét hàm số trên [a,b]
• Tính y’
Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x
i

[ , ]a b∈
• Tính
( ) ( ) ( )
, ,
i
y x y a y b
• Kết luận
max , min
[ , ]
[ , ]
y y
a b
a b
.
Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên

[a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp
• Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác
của cùng một cung
• Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t
( )
[ , ] t
α β
∈
Ta được : g(t) = …
Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm t
i
[ , ]
α β
∈
Tính g( t
i
) ,
( ) ( )
,g g
α β
• Suy ra :

( )
( )
max max
[ , ]
[ , ]
min min
[ , ]
[ , ]

y g t khi x
a b
y g t khi x
a b
α β
α β
= = =
= = =
Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN )
bằng d trên [a,b]
• Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]
• Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
• Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần
chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc
[a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên
[a,b] )
• Suy ra
max
[ , ]
y
a b
( hoặc
min
[ , ]
y
a b
)
• Cho
max
[ , ]

y
a b
= d (hoặc
min
[ , ]
y
a b
=d ) tìm m.
Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán
VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình
chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Trang 2
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương
• B1 : Tập xác định : D = R
• B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm .
• B3 : Giới hạn :
lim
x
y
→+∞
và
lim
x
y
→−∞
• B4: Bảng biến thiên
Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực
tiểu

• B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)
• B6 : Vẽ đồ thị.
( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương
nhận Oy làm trục đối xứng)
Bài 4.2 : Khảo sát hàm
( )
1
: 0
1
b ax b
y ad bc
b cx d
+
= − ≠
+
• B1 : Tập xác định : D =
\
d
c
−
 
 
 
¡
• B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0,
d
x
c
−
∀ ≠

• B3 : Giới hạn và tiệm cận :
+
0
lim
x
y y
→±∞
=


⇒
y =
0
y
là tiệm cận ngang.
+
lim
d
x
c
y
+
−
 
→
 ÷
 
= ∞
và
lim

d
x
c
y
−
−
 
→
 ÷
 
= ∞
(-
∞
hoặc+
∞
)

d
x
c
−
⇒ =
là tiệm cận đứng.
• B4: Bảng biến thiên .
Kết luận :
- Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng
khoảng xác định.
- Hàm số không có cực trị.
• B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)
• B6 : Vẽ đồ thị.

Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C):
( )
y f x=
đã vẽ, biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
, 0F m x =
(1)
• Đưa pt (1) về dạng :
( ) ( )
f x g m=
• Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)
và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang)
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d.
• Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận.
g(m) m Số nghiệm pt (1)
+∞
-
∞
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C)
tại điểm
( )
0 0
,M x y
có dạng :

( ) ( )
0 0 0
' .y y f x x x

− = −

* Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là
(C
1
) và (C
2
).
(C
1
) tiếp xúc với (C
2
)
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=



=


có n
0
Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại
điểm
( )

0 0
,M x y
• Tìm x
0
, y
0
.
• Tính y’ . => y’(x
0
)
• Pt tiếp tuyến của (C) tại
( )
0 0
,M x y
có dạng :
( ) ( )
0 0 0
' .y y y x x x− = −
Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết
tiếp tuyến có hệ số góc k.
• Gọi
( )
0 0
,M x y
là tiếp điểm.
• Tiếp tuyến d cần tìm có dạng:
( )
0 0
.y k x x y= − +
• d có hệ số góc k =>

( )
0
'y x
= k.
Giải tìm x
0
. suy ra y
0
= y(x
0
)
• Suy ra Pt tiếp tuyến d.
Cách 2: Dùng đk tiếp xúc
+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b
+ d tiếp xúc với (C) 
( )
( )
'
f x kx b
f x k
= +


=


có nghiệm
+ Giải hệ tìm b . Viết pttt d.
Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián
tiếp như sau :

+ d song song với
( )
2 2
: y k x b∆ = +
=> k = k
2
+ d vuông góc với
( )
2 2
: y k x b∆ = +
=>
2
1
k
k
−
=
+ d tạo với
( )
2 2
: y k x b∆ = +
một góc
α
thì

( )
( )
0 0
2
1 2

tan , 0 ,90
1
k k
k k
α α
−
= ∈
+
+d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc
α
thì k = tan
α
Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết
tiếp tuyến đi qua điểm A (x
A
, y
A
)
• Gọi d là tiếp tuyến qua A (x
A
, y
A
) và có hệ số
góc k . Suy ra : d :
( )
A A
y k x x y= − +
• d tiếp xúc với (C)  hệ pt sau có nghiệm :

( )

( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=


• Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt.
Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm :
• Gọi
( )
0 0 0
,M x y
là tiếp điểm.Khi đó
( )
0 0
y f x=
• Pt tiếp tuyến d tại M có dạng :

( ) ( )
0 0 0
' .y y y x x x− = −
• Vì d qua A(x
A
, y

A
) nên :
( ) ( )
0 0 0
' .
A A
y y y x x x− = −
• Giải pt tìm x
0
. Từ đó viết pttt.
Trang 3
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường:
Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là
( ) ( )
1 2
,C C
. Biện luận theo m số giao điểm của (C
1
) và (C
2
):
* B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C

f(x,m) = g(x, m) (1)
* B2: Biện luận theo m số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
.
Chú ý :
* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau:
- Tính
∆
.
- Biện luận theo
∆
=> số nghiệm pt (1) => Số giao điểm
của
( )
1
C
và
( )
2
C
.
* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau :
- Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a)
- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có:

(1)  (x-a)(Ax
2
+Bx + C) = 0

2
0 (2)
x a
Ax Bx C
=


+ + =

- Tính
∆
, Biện luận theo
∆
=> Số nghiệm pt(2) => số
nghiệm pt (1).
Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba:
Số n
0
của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox
Pt bậc 3 Đồ thị của hàm
số và trục hoành
Nếu
Có 3 nghiệm
tạo thành cấp
số cộng
Cắt tại 3 điểm

cách đều nhau
(hay 3 điểm lập
thành CSC)
f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb và
điểm uốn nằm trên
trục Ox
Có 3 n
0
đơn
phân biệt
Cắt nhau tại 3
điểm phân biệt
f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb và
y
CĐ
.y
CT
<0
Có 1 n
0
kép,
1 n
0
đơn
Tiếp xúc nhau tại
1 điểm và cắt

nhau tại 1 điểm
f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb và
y
CĐ
.y
CT = 0
Có duy nhất
1 n
0
đơn
Cắt nhau tại 1
điểm
Có 2 trường hợp :
* f ’(x) = 0 có n
0
kép
hoặc vô n
0
.
* f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb
và y
CĐ
.y
CT
>0
Định lí Viet về pt bậc 3:

1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a
−

+ + =



+ + =


−

=


Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ
Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị
(C

m
): y = f(x,m)
Cách 1:
• Gọi M(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ đồ thị (C
m
)
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
. , ,
m
M x y C m y f x m∈ ∀ ⇔ =
có n
0
m
∀
• Biến đổi pt theo ẩn m.
• Áp dụng đk pt có n
0

m∀
 các hệ số đồng thời
bằng 0. giải tìm x
0
, y
0
. => Kết luận.

Lưu ý :* ax + b = 0 ,
m
∀



0
0
a
b
=


=

*
2
0
0, 0
0
a
ax bx c m b
c
=


+ + = ∀ ⇔ =


=


Cách 2:
• Gọi M(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ đồ thị (C
m
)

( ) ( ) ( )
0 0 0 0
. , , ,
m
M x y C m y f x m m∈ ∀ ⇔ = ∀
(*)
• Đặt F(m) = f(x
0
,m) .
F(m) = y
0
không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x
0
.
• Thay vào (*) tìm y
0
. Kết luận điểm cố định.
Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ
thị (C’) : a)

( )
y f x=
, b)
( )y f x=
• Vẽ đồ thị (C) : y = f(x)
a) Đồ thị hàm số
( )y f x=
Ta có:

( ), ( ) 0
( )
( ), ( ) 0
f x f x
y f x
f x f x
≥

= =

− <

+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành
+Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành
qua trục hoành
Suy ra đồ thị hàm số
( )y f x=
b) Đồ thị hàm số
( )y f x=
Ta có:
( )y f x=

là hàm số chẳn và
( ), 0
( )
( ), 0
f x x
y f x
f x x
∀ ≥

= =

− ∀ <


+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung
+Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung.
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua
trục tung.
Suy ra đồ thị hàm số
( )y f x=
Trang 4
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
( )
( )
P x
y
Q x
=
có tọa độ nguyên
* Phân tích

( )
( )
( )
( )
P x
a
y A x
Q x Q x
= = +
, với A(x) là đa
thức , a
∈¢
* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên  x nguyên và a là
bội của Q(x).
* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận.
Trang 5