Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

các dạng toán thường gặp trong đề thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.96 KB, 5 trang )

Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA
HÀM SỐ
Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số
• Tìm TXĐ
• Tính y’. Tìm các điểm tới hạn.
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận.
Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
R hoặc trên từng khoảng của tập xác định.
• Tìm TXĐ
• Tính y’
• Hàm số ĐB trên R
' 0,y x R≥ ∀ ∈

0
0a
∆ ≤



>

( Hàm số nghịch biến trên R 
' 0,y x R≤ ∀ ∈

0
0a
∆ ≤




<

)
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến
trên khoảng (a,b)
* Cách 1:
+ Hàm số ĐB trên (a,b) 
( )
' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈

[ ]
' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈
( vì y’liên tục tại x = a và x =b)
 g(x)

h(m) ,
[ ]
,x a b∀ ∈

( ) ( )
min
,
g x h m
a b
 
 
 


(*)
+ Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x
0
[ ]
,a b∈

Tính
( ) ( ) ( )
0
, ,g x g a g b
=>
( )
min
,
g x
a b
 
 
 
+ Từ (*) suy ra điều kiện của m.
* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2)
+ Hàm số ĐB trên (a,b) 
( )
' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈

Có 2 trường hợp :
* TH1 :
0
' 0,

0
y x R
a
∆ ≤

≥ ∀ ∈ ⇔

>

suy ra m
* TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa
…….(điều kiện về x
1
, x
2
để hàm số ĐB trên (a,b) – xem
phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai )
Suy ra m
Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm.
Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ
dài bằng d.
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Hàm số có khoảng ĐB, NB  y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt x
1

, x
2

0
0a
∆ >





.suy ra m. (*)
+ Biến đổi
1 2
x x d− =
thành
( )
2
2
1 2 1 2
4x x x x d+ − =
Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m.
Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm.
Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x),
( )
,x a b∀ ∈
bằng cách sử dụng tính đơn điệu
( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )
• Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b).
• Tính

'( )f x
. Chứng tỏ
'( ) 0, [ , )f x x a b≥ ∀ ∈
 Hàm số đồng biến trên [a,b).

( )
, : ( ) ( )x a b f x f a∀ ∈ >
=…
Suy ra đpcm

Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số
• Quy tắc 1:
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có)
+Lập bảng biến thiên
+ Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =…

và y
CĐ = …
Hàm số đạt cực tiểu tại x =…

và y
CT = …
• Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng
giác):
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x
i


+ Tính y”
Tính y”(x
i
)
+Kết luận :
y”(x
i
) >0 => hs đạt CT tại x
i
và y
CT
=…
y”(x
i
) <0 => hs đạt CĐ tại x
i
và y

=…
Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị.
(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’
đổi dấu khi qua nghiệm đó)
• Tìm TXĐ
• Tính y’
- Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có
2 cực trị)  pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt

'
0
0

y
a
∆ >




.suy ra m.
- Hàm b3 ko có cực trị  y’=0 có n
0
kép hoặc vô n
0
.
- Hàm
2
1
b
b
có cực trị  pt y’=0 có hai nghiệm
phân biệt khác x
0
( với x
0
là nghiệm ở mẫu)

0
0
( ) 0
g
g x

∆ >





( với g(x) = tử số của y’ )
Giải hệ tìm m.
Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x
0
.
• Tìm TXĐ
• Tính y’
Cách 1:
• Hàm số đạt cực trị tại x = x
0
=> y’(x
0
) = 0 .tìm m
• Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập
bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có
thỏa ycbt không.
Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x
0

( )
( )
0
0
' 0

" 0
y x
y x
=






Giải hệ tìm m.
Trang 1
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x
0
• Tìm TXĐ
• Tính y’ , y”
• Hàm số đạt cực đại tại x = x
0

( )
( )
0
0
' 0
" 0
y x
y x
=



<


( Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

( )
( )
0
0
' 0
" 0
y x
y x
=


>


)
• Giải hệ tìm m.
Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc
có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x
1
, x
2
)
.

+ Tìm TXĐ
+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*)
+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0
( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của
các hoành độ)
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K.
So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt.
Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực
trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông
góc hoặc song song với đt cho trước,….)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*)
+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)
Gọi
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
, , ,M x y M x y
là các điểm cực trị.
=>
( )
1
' 0y x =

( )
2
' 0y x =
Suy ra :
1 1
y ax b= +

,

2 2
y ax b= +
Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d
m
: y =
ax +b
+ Tìm m thỏa điều kiện K.
+ So với (*) kết luận m cần tìm .
Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương
( )
4 2
0y ax bx c a= + + ≠
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax
3
+2bx

( )
2
0
' 0
4 2 0 *
x
y
ax b
=

= ⇔


+ =

• Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
• Hàm số có 3 cực trị  y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
 pt (*) có 2 nghiệm phận biệt
khác 0
 a.b <0
• Hàm số có 2 CĐ và 1 CT
 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0

0
0
a
b
<


>


• Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0

0
0
a
b
<



>

• Hàm số có đúng 1 cực trị
 pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.

. 0
0
a b
b
>


=

Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A
thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A.

Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
khoảng (a,b)
• Xét hàm số trên (a,b)
• Tính y’
Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )
• Lập bảng biến thiên
• Dựa vào BBT kết luận
(
)
(

)
max , min
,
,
y y
a b
a b
.
Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
[a,b]
• Xét hàm số trên [a,b]
• Tính y’
Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x
i

[ , ]a b∈
• Tính
( ) ( ) ( )
, ,
i
y x y a y b
• Kết luận
max , min
[ , ]
[ , ]
y y
a b
a b
.
Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên

[a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp
• Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác
của cùng một cung
• Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t
( )
[ , ] t
α β

Ta được : g(t) = …
Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm t
i
[ , ]
α β

Tính g( t
i
) ,
( ) ( )
,g g
α β
• Suy ra :

( )
( )
max max
[ , ]
[ , ]
min min
[ , ]
[ , ]

y g t khi x
a b
y g t khi x
a b
α β
α β
= = =
= = =
Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN )
bằng d trên [a,b]
• Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]
• Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
• Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần
chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc
[a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên
[a,b] )
• Suy ra
max
[ , ]
y
a b
( hoặc
min
[ , ]
y
a b
)
• Cho
max
[ , ]

y
a b
= d (hoặc
min
[ , ]
y
a b
=d ) tìm m.
Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán
VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình
chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Trang 2
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương
• B1 : Tập xác định : D = R
• B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm .
• B3 : Giới hạn :
lim
x
y
→+∞

lim
x
y
→−∞
• B4: Bảng biến thiên
Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực
tiểu

• B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)
• B6 : Vẽ đồ thị.
( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương
nhận Oy làm trục đối xứng)
Bài 4.2 : Khảo sát hàm
( )
1
: 0
1
b ax b
y ad bc
b cx d
+
= − ≠
+
• B1 : Tập xác định : D =
\
d
c

 
 
 
¡
• B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0,
d
x
c

∀ ≠

• B3 : Giới hạn và tiệm cận :
+
0
lim
x
y y
→±∞
=



y =
0
y
là tiệm cận ngang.
+
lim
d
x
c
y
+

 

 ÷
 
= ∞

lim

d
x
c
y


 

 ÷
 
= ∞
(-

hoặc+

)

d
x
c

⇒ =
là tiệm cận đứng.
• B4: Bảng biến thiên .
Kết luận :
- Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng
khoảng xác định.
- Hàm số không có cực trị.
• B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)
• B6 : Vẽ đồ thị.

Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C):
( )
y f x=
đã vẽ, biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
, 0F m x =
(1)
• Đưa pt (1) về dạng :
( ) ( )
f x g m=
• Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)
và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang)
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d.
• Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận.
g(m) m Số nghiệm pt (1)
+∞
-

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C)
tại điểm
( )
0 0
,M x y
có dạng :

( ) ( )
0 0 0
' .y y f x x x

− = −

* Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là
(C
1
) và (C
2
).
(C
1
) tiếp xúc với (C
2
)
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=



=


có n
0
Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại
điểm
( )

0 0
,M x y
• Tìm x
0
, y
0
.
• Tính y’ . => y’(x
0
)
• Pt tiếp tuyến của (C) tại
( )
0 0
,M x y
có dạng :
( ) ( )
0 0 0
' .y y y x x x− = −
Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết
tiếp tuyến có hệ số góc k.
• Gọi
( )
0 0
,M x y
là tiếp điểm.
• Tiếp tuyến d cần tìm có dạng:
( )
0 0
.y k x x y= − +
• d có hệ số góc k =>

( )
0
'y x
= k.
Giải tìm x
0
. suy ra y
0
= y(x
0
)
• Suy ra Pt tiếp tuyến d.
Cách 2: Dùng đk tiếp xúc
+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b
+ d tiếp xúc với (C) 
( )
( )
'
f x kx b
f x k
= +


=


có nghiệm
+ Giải hệ tìm b . Viết pttt d.
Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián
tiếp như sau :

+ d song song với
( )
2 2
: y k x b∆ = +
=> k = k
2
+ d vuông góc với
( )
2 2
: y k x b∆ = +
=>
2
1
k
k

=
+ d tạo với
( )
2 2
: y k x b∆ = +
một góc
α
thì

( )
( )
0 0
2
1 2

tan , 0 ,90
1
k k
k k
α α

= ∈
+
+d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc
α
thì k = tan
α
Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết
tiếp tuyến đi qua điểm A (x
A
, y
A
)
• Gọi d là tiếp tuyến qua A (x
A
, y
A
) và có hệ số
góc k . Suy ra : d :
( )
A A
y k x x y= − +
• d tiếp xúc với (C)  hệ pt sau có nghiệm :

( )

( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=


• Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt.
Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm :
• Gọi
( )
0 0 0
,M x y
là tiếp điểm.Khi đó
( )
0 0
y f x=
• Pt tiếp tuyến d tại M có dạng :

( ) ( )
0 0 0
' .y y y x x x− = −
• Vì d qua A(x
A
, y

A
) nên :
( ) ( )
0 0 0
' .
A A
y y y x x x− = −
• Giải pt tìm x
0
. Từ đó viết pttt.
Trang 3
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường:
Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là
( ) ( )
1 2
,C C
. Biện luận theo m số giao điểm của (C
1
) và (C
2
):
* B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của
( )
1
C

( )
2
C

f(x,m) = g(x, m) (1)
* B2: Biện luận theo m số giao điểm của
( )
1
C

( )
2
C
.
Chú ý :
* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau:
- Tính

.
- Biện luận theo

=> số nghiệm pt (1) => Số giao điểm
của
( )
1
C

( )
2
C
.
* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau :
- Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a)
- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có:

(1)  (x-a)(Ax
2
+Bx + C) = 0

2
0 (2)
x a
Ax Bx C
=


+ + =

- Tính

, Biện luận theo

=> Số nghiệm pt(2) => số
nghiệm pt (1).
Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba:
Số n
0
của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox
Pt bậc 3 Đồ thị của hàm
số và trục hoành
Nếu
Có 3 nghiệm
tạo thành cấp
số cộng
Cắt tại 3 điểm

cách đều nhau
(hay 3 điểm lập
thành CSC)
f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb và
điểm uốn nằm trên
trục Ox
Có 3 n
0
đơn
phân biệt
Cắt nhau tại 3
điểm phân biệt
f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb và
y

.y
CT
<0
Có 1 n
0
kép,
1 n
0
đơn
Tiếp xúc nhau tại
1 điểm và cắt

nhau tại 1 điểm
f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb và
y

.y
CT = 0
Có duy nhất
1 n
0
đơn
Cắt nhau tại 1
điểm
Có 2 trường hợp :
* f ’(x) = 0 có n
0
kép
hoặc vô n
0
.
* f ’(x) = 0 có 2 n
0
pb
và y

.y
CT
>0
Định lí Viet về pt bậc 3:


1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a


+ + =



+ + =




=


Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ
Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị
(C

m
): y = f(x,m)
Cách 1:
• Gọi M(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ đồ thị (C
m
)
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
. , ,
m
M x y C m y f x m∈ ∀ ⇔ =
có n
0
m

• Biến đổi pt theo ẩn m.
• Áp dụng đk pt có n
0

m∀
 các hệ số đồng thời
bằng 0. giải tìm x
0
, y
0
. => Kết luận.

Lưu ý :* ax + b = 0 ,
m




0
0
a
b
=


=

*
2
0
0, 0
0
a
ax bx c m b
c
=


+ + = ∀ ⇔ =


=


Cách 2:
• Gọi M(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ đồ thị (C
m
)

( ) ( ) ( )
0 0 0 0
. , , ,
m
M x y C m y f x m m∈ ∀ ⇔ = ∀
(*)
• Đặt F(m) = f(x
0
,m) .
F(m) = y
0
không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x
0
.
• Thay vào (*) tìm y
0
. Kết luận điểm cố định.
Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ
thị (C’) : a)

( )
y f x=
, b)
( )y f x=
• Vẽ đồ thị (C) : y = f(x)
a) Đồ thị hàm số
( )y f x=
Ta có:

( ), ( ) 0
( )
( ), ( ) 0
f x f x
y f x
f x f x


= =

− <

+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành
+Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành
qua trục hoành
Suy ra đồ thị hàm số
( )y f x=
b) Đồ thị hàm số
( )y f x=
Ta có:
( )y f x=

là hàm số chẳn và
( ), 0
( )
( ), 0
f x x
y f x
f x x
∀ ≥

= =

− ∀ <


+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung
+Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung.
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua
trục tung.
Suy ra đồ thị hàm số
( )y f x=
Trang 4
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A
( )
( )
P x
y
Q x
=
có tọa độ nguyên
* Phân tích

( )
( )
( )
( )
P x
a
y A x
Q x Q x
= = +
, với A(x) là đa
thức , a
∈¢
* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên  x nguyên và a là
bội của Q(x).
* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận.
Trang 5

×