chứng minh không tiết lộ thông tin

Trường Đại học Dân lập Hải Phòng
BỘ MÔN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
  
Chứng minh không tiết lộ thông tin
( Zero-knowledge proofs)
Giảng viên: Th.s Trần Ngọc
Thái
Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Thế Tân
Lê Quang Đức
2
Chứng minh không tiết lộ thông tin

Là sự chứng minh tương tác mà không tiết lộ
thông tin hơn là xác nhận tính chính xác của sự
khẳng định đã được chứng minh.

Là công cụ chủ yếu trong việc học tập các giao
thức mật mã.

Là nguồn gốc của sự tương tác giữa mật mã và
các lý thuyết phức tạp.
3
Những nét chính

Đặt vấn đề.

Quá trình giải quyết trong Lý thuyết phức tạp

Chứng minh không tiết lộ thông tin


Thống kê Zero Knowledge
4
Lược đồ giao phó
Bên nh nậ
Bên g iử
m2{0,1}
m
Giai đoạn giao phó
Giai đoạn tiết lộ
m
5
Lược đồ giao phó
Bên nh nậ
Bên g iử
m2{0,1}
Giai đoạn giao phó
Giai đoạn tiết lộ
Thuộc tính ẩn: Bên nhận không biết về m ở
Giai đoạn giao phó.
Thuộc tính kết nối: Bên gửi không thể thay đổi m sau
Giai đoạn giao phó.
6
Lược đồ giao phó Blum
Bên nh nậ
Bên g iử
m2{0,1}
Giai đoạn giao phó
Giai đoạn tiết lộ
Thuộc tính ẩn: phân biệt lsb(x) từ 1 bit ngẫu nhiên
đưa ra x

2
mod n là “rõ ràng” như phân tích n thành
Thừa số
1. Chọn ngẫu
nhiên k-bit
tối ưu
p´ q ´ 3 (mod 4),
để n=pq.
2.Chọn ngẫu
nhiên x sao
cho x<n/2,
gcd(x,n)=1,
(n, x
2
mod n, m©lsb(x))
(m,x)
Verify!
Thuộc tính kết nối: x được xác định duy nhất x
2
mod n
với điều kiện là n được chọn đúng cách.
7
Biện pháp khắc phục?

Chứng minh không tiết lộ thông tin:
Bên gửi có thể “chứng minh” rằng n=pq để cho p
´q´3 mod 4 mà không lộ ra bất cứ cái gì về p,q!

Giải pháp luân phiên:
Gửi p,q trong Giai đoạn tiết lộ.

(Không cho phép sử dụng lại cùng n.)
8
Những nét chính

Đặt vấn đề

Quá trình giải quyết trong Lý thuyết phức tạp

Chứng minh không tiết lộ thông tin

Thống kê không tiết lộ thông tin
9
Lý thuyết phức tạp

Các ký hiệu

Λ = τ π η π χηυ ι κ τậ ợ ỗ ự

ε.γ. ΠΡΙΜΕΣ = { ξ : ξ λ◊ γι〈 τρ νη πην χ α µ τ ị ị ủ ộ
πριµε #}

Τνη το〈ν: α ρα ξ, ϖ ι ξđư ớ 2Λ

Thời gian đa thức

Π = { Λ : Λ λ◊ τηυ τ το〈ν ω /τη ι γιαν ξ λ ậ ờ ử · |ξ|
κ

ϖ ι µ ιớ ọ ξ}


“ κι µ λ ι”Để ể ỗ

Κι µ τη χηνη, χ〈χ ψ υ τ θυψ τ νη, λ π τρνη ể ử ế ố ế đị ậ
τυψ ν τνη,…

ΒΠΠ = Τη ι γιαν α τη χ νγ υ νηιν.ờ đ ứ ẫ

ΒΘΠ = Τη ι γιαν  α τη χ   νη λ  νγ
10
NP

Định nghĩa: Một hệ thống chứng minh cho một
hệ thống ký tự L là một thuật toán thời gian đa
thức V( Verifier):

Τνη ηο◊ν τη◊νη ( Ξ〈χ νη ν χ〈χ χη νγ µινη ):“ ”ậ ứ
x∈L ⇒ ∃ proof : |proof |≤ poly(|x|) ϖ◊ V (x, proof )=accept

Σ η π λự ợ ( Κηνγ ξ〈χ νη ν χ〈χ χη νγ µινη σαι ):“ ”
x∉L ⇒ ∀ proof
*
V (x, proof
*
)=reject

NP = lớp các ký hiệu w/ các hệ chứng minh.
11
Đồ thị 3 màu

ĐN: đồ thị 3 màu là một đồ thị gán màu trong { , , }

cho các đỉnh sao cho không có cặp đỉnh liền kề nào có
màu giống nhau.
•
Biểu diễn: 3-COL = {G : G là 3 màu có thể gán} trong NP.
Đồ thị 3 màu Không là đồ thị 3 màu
12
NP- hoàn thành

ĐN: một hệ thống ký hiệu L làNP-hoàn thành nếu

Λ2 ΝΠ

Μ ι κ ηι υ τρονγ ΝΠ βι ν ι τη◊νη Λ“ ”ọ ệ ế đổ

Thm [C71,L72,K72]: 3-COL is NP-hoàn thành.
P
NP
P=NP
P
NP
NPC
Có thể xảy ra
Có thể hiểu được
Không thể xảy ra!
NPC
NPC
13
Những nét chính

Đặt vấn đề


Quá trình giải quyết trong Lý thuyết phức tạp

Chứng minh không tiết lộ thông tin

Thống kê không tiết lộ thông tin
14
Các thành phần mới

Các chứng minh NP cổ điển vốn đã không tiết lộ
thông tin.

ςεριφιερ χ⌠ κη ν νγ χη νγ µινη ξả ă ứ 2Λ χηο αι  ⌠.

Sự ngẫu nhiên: verifier có thể “ tung đồng xu”

Χηο πηπ ϖεριφιερ χ⌠ σαι σ νη χ⌠ τη χη π νη ν ố ỏ ể ấ ậ
χ.đượ

Sự tương tác: thay thế proof bằng proof động, tất
cả quyền lực của prover

Σ τ νγ τ〈χ ϖ ι ϖεριφιερ ϖ◊ τη χη νγ µινη ν⌠ λ◊ “ ” “ ”ẽ ươ ớ ử ứ
ξ〈χ νη ν  νγ.
15
Các giao thức tương tác

Alice, Bob là các hàm :
(đầu vào chung, random coins, thông điệp trước)(thông điệp tiếp theo


Các thông điệp ∈∑
*
∪ {accept, reject, halt}

Đòi hỏi các giao thức phải là đa thức giới hạn : độ dài của thông điệp
& # của thông điệp ≤ poly(|x|).
a
1
b
1
a
2
a
k
Bob
Alice
b
k
Đầu vào chung x
Random coins
B
Random coins
A
16
Các chứng minh tương tác [GMR85,B85]
ĐN: Một hệ thống chứng minh tương tác cho một hệ
ký hiệu L là một giao thức tương tác (P,V) với

V thời gian đa thức có thể tính được.


Sự hoàn thành: nếu x∈L, sau đó
V accepts trong (P,V)(x) với xác suất là 1

Tính hợp lý: nếu x∉L, sau đó với mỗi P
*
,
V accepts trong (P
*
,V)(x) với xác suất ≤ 1/2
ĐN: IP = { L : L là một chứng minh tương tác }
17
Giải thích cho Định nghĩa

Xác suất thu được chỉ vượt qua coin tosses,
không vượt qua đầu.

Có thể giảm xác suất lỗi (chấp nhận được) tới2
-
1000
với 1000 bản sao.

Các chứng minh tương tác khái quát hóa các
chứng minh cổ điển: NP⊆IP.

IP dường như lớn hơn: IP=PSPACE
[LFKN90,S90]
18
ZK Proof for 3-COL
Th i gian ờ
a th cđ ứ

Verifier
Không gi i h nớ ạ
Prover
1. Hoán vị ngẫu nhiên
các màu và đưa vào
các ô.
1
2
3
4
5
6
19
ZK Proof for 3-COL
1
2
3
4
5
6
Th i gian ờ
a th cđ ứ
Verifier
Không gi i h nớ ạ
Prover
1. Hoán vị ngẫu nhiên
các màu và đưa vào
các ô trống.
20
ZK Proof for 3-COL

2. Chọn một cạnh
ngẫu nhiên.
(1,4)
1
2
3
4
5
6
4. Chấp nhận nếu các
màu khác nhau.
3. Gửi các khóa cho
endpoints.


Sự hoàn thành: đồ thị 3 màu ) V chấp nhận w.p. 1
Th i gian ờ
a th cđ ứ
Verifier
Không gi i h nớ ạ
Prover
1. Hoán vị ngẫu nhiên
các màu và đưa vào
các ô trống.
21
ZK Proof for 3-COL
1
2
3
4

5
6
Sự hợp lý: không là đồ thị 3 màu ) 8 P
*
V từ chối w.p. ¸ 1/(#cạnh)


2. Chọn một cạnh
ngẫu nhiên.
(1,4)
4. Chấp nhận nếu các
màu khác nhau.
3. Gửi các khóa cho
endpoints.
Th i gian ờ
a th cđ ứ
Verifier
Không gi i h nớ ạ
Prover
1. Hoán vị ngẫu nhiên
các màu và đưa vào
các ô trống.
22
ZK Proof for 3-COL
1
2
3
4
5
6

Zero Knowledge: đồ thị 3 màu ) V thấy có 3 màu ngẫu nhiên rieeng biệt.


2. Chọn một cạnh
ngẫu nhiên.
(1,4)
4. Chấp nhận nếu các
màu khác nhau.
3. Gửi các khóa cho
endpoints.
Th i gian ờ
a th cđ ứ
Verifier
Không gi i h nớ ạ
Prover
1. Hoán vị ngẫu nhiên
các màu và đưa vào
các ô trống.
23
Cách bổ sung ô trống?

Bit-giao phó(không tương tác):
có thể tính thời gian đa thức Commit(m,K) s.t.

ν:Ẩ χηο γι〈 τρ νγ υ νηιν ị ẫ K,
Commit(0,K) & Commit(1,K)
  χ τνη κηνγ πην βι τ    χ.
() ζερο κνοωλεδγε)

Κ τ ν ι: Commit(0,¢) & Commit(1,¢)

ρ ι ρ χờ ạ () σ η π λự ợ )

Thm [N89,HILL90]: 9 các hàm 1 chiều
) 9 (tương tác) bit-Lược đồ giao phó.
Bên gửi
input m
Bên nhận
Giao phó:
z=Commit(m,K)
Tiết lộ:
(m,K)
24
ZK Proof for 3-COL
1
2
3
4
5
6


Com( )…Com( )
( ,K
1
),( ,K
4
)
2. Chọn một cạnh
ngẫu nhiên.
4. Chấp nhận nếu các

màu khác nhau.
3. Gửi các khóa cho
endpoints.
Th i gian ờ
a th cđ ứ
Verifier
Không gi i h nớ ạ
Prover
1. Hoán vị ngẫu nhiên
các màu và đưa vào
các ô trống.
25
Chính thức hóa Zero Knowledge
Mô phỏng mẫu
Verifier không thể biết
được gì nếu nó
không “”learns
nothing if it could
have “ mô phỏng” sự
tương tác của chính
bản thân nó.